Hàm phân hình chung nhau các tập hợp với điều kiện CM và IM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO TUẤN ANH

HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU CÁC TẬP HỢP
VỚI ĐIỀU KIỆN CM* VÀ IM*

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO TUẤN ANH

HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU CÁC TẬP HỢP
VỚI ĐIỀU KIỆN CM* VÀ IM*
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Trần Phương

THÁI NGUYÊN - 2015


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả
nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ
công trình nào khác. Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo sự
trung thực và chính xác, tuân thủ các qui định về quyền sở hữu trí tuệ.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015
Tác giả

Đào Tuấn Anh


ii
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Trần Phương, người đã tận tình hướng dẫn để tôi
có thể hoàn thành khóa luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán, Trường

Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Đại học Thái

Nguyên đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể trường THPT 19-5, Kim
Bôi, Hoà Bình cùng gia đình, bạn bè những người đã giúp đỡ và chia sẻ với tác
giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả
Đào Tuấn Anh

iii

Mục lục
Mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1. Phân bố giá trị cho các hàm phân hình . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Công thức Poison-Jensen . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Các hàm Nevanlinna và tính chất

. . . . . . . . . .

5

1.1.3. Hai định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.4. Định lý cơ bản thứ hai cho các hàm nhỏ . . . . . . .

9

1.2. Điều kiện CM* và IM* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1. Khái niệm về điều kiện IM*, CM* . . . . . . . . . .

11

1.2.2. Một số tính chất của các hàm Nevanlinna . . . . . .

14

2 Hàm phân hình chung nhau hàm nhỏ với điều kiện CM*,
IM*

18

2.1. Các hàm phân hình chung nhau bốn giá trị . . . . . . . . .

18

2.1.1. Định lý bốn điểm với điều kiện CM*

. . . . . . . .

18

2.1.2. Hàm phân hình chung nhau bốn giá trị . . . . . . .

21

2.2. Các hàm phân hình chung nhau các cặp hàm nhỏ . . . . . .

33

2.2.1. Một số kết quả mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.2. Kết quả của P. Li và C.C. Yang . . . . . . . . . . .

35

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

47


1

Mở đầu

Năm 1929, R. Nevanlinna chứng minh hai định lí nổi tiếng về vấn đề duy
nhất cho các hàm phân hình, thường được gọi là Định lý năm điểm và Định
lý bốn điểm. Về sau có rất nhiều nhà toán học đã mở rộng những kết quả
của Nevanlinna cho những trường hợp khác nhau: hàm phân hình chung
nhau các tập điểm, kể cả bội, không kể bội,....
Cho f, g là các hàm phân hình, ta nói f và g chung nhau một giá trị a
CM (hoặc IM) nếu f − a, g − a có cùng không điểm kể cả bội (hoặc không
kể bội)1 . Nếu 1/f và 1/g chung nhau giá trị 0 CM (IM) thì ta nói rằng f
và g chung nhau giá trị ∞ CM (IM). Hiển nhiên, hai hàm f và g chung
nhau giá trị a CM thì cũng chung nhau giá trị a IM.Định lý năm điểm cho
thấy nếu f và g chung nhau ảnh ngược của năm giá trị phân biệt thì đồng
nhất bằng nhau. Nếu hai hàm phân hình chung nhau bốn điểm kể cả bội
thì chúng là phép biến đổi Mobius của nhau là nội dung chính của định lý
bốn điểm.
Gần đây, P. Li và C. C. Yang đã giới thiệu khái niệm các hàm chung nhau
nhau hàm nhỏ CM*, IM* là các điều kiện "nhẹ" CM và IM tương ứng và
các tác giả viết lại trong cuốn sách Unicity of Meromorphic Mappings
([4]). Cũng trong ([4]), các tác giả nghiên cứu lại định lý năm điểm và định
lý bốn điểm dưới điều kiện IM*, CM* và thấy rằng các định lý này vẫn còn
đúng dưới điều kiện IM* và CM* tương ứng. Trong thời gian gần đây cũng
có một số tác giả giới thiệu các công trình về vấn đề duy nhất cho các hàm
phân hình chung nhau các giá trị, hàm nhỏ hoặc các cặp hàm nhỏ CM*,
1 CM

kể bội.

là viết tắt của counting multiplicities nghĩa là kể cả bội, IM là viết tắt của ignoring multiplicities nghĩa là không


2

IM*.
Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình
chung nhau các giá trị, hàm nhỏ hoặc các cặp hàm nhỏ CM*, IM*, chúng
tôi chọn đề tài "Hàm phân hình chung nhau các tập hợp với điều
kiện CM* và IM*". Mục đích chính của luận văn giới thiệu một số kết
quả về định lý 4 điểm và các mở rộng của định lý này trong các trường hợp
các hàm phân hình chung nhau các giá trị hay các hàm nhỏ với điều kiện
IM*, CM* được P. Li và C. C. Yang trình bày trong ([4]). Chứng minh một
số kết quả về quan hệ biến đổi Mobius của hai hàm phân hình khi chúng
chung nhau các cặp hàm nhỏ với điều kiện IM*, CM* được P. Li và C. C.
Yang trình bày trong ([13]).
Luận văn chia thành hai chương:
Chương 1: Giới thiệu về một số kiến thức cơ bản sử dụng trong luận
văn và giới thiệu khái niệm các hàm phân hình chung nhau các giá trị, các
hàm nhỏ và các cặp hàm nhỏ với điều kiện IM*, CM*.
Chương 2: Chứng minh định lý 4 điểm và các mở rộng của định lý này
trong các trường hợp các hàm phân hình chung nhau các giá trị hay các
hàm nhỏ với điều kiện IM*, CM* và chứng minh một số kết quả về quan
hệ biến đổi Mobius của hai hàm phân hình khi chúng chung nhau các cặp
hàm nhỏ với điều kiện IM*.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác Giả

Đào Tuấn Anh


3

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.

Phân bố giá trị cho các hàm phân hình

1.1.1.

Công thức Poison-Jensen

Định nghĩa 1.1. Cho hàm chỉnh hình f trên mặt phẳng phức C, điểm z0
được gọi là không điểm bội k của f nếu tồn tại một hàm chỉnh hình h(z)
không triệt tiêu trong một lân cận U của z0 sao cho trong lân cận đó hàm

f được biểu diễn dưới dạng:
f (z) = (z − z0 )k h(z).
Nghĩa là f (z0 ) = f (z0 ) = . . . = f (k−1) (z0 ) = 0 và f k (z0 ) = 0. Với z ∈ C,
ta kí hiệu:

ordf (z0 ) =

k

nếu z0 là không điểm bội k của f ;

0

nếu f (z0 ) = 0.

Định nghĩa 1.2. Cho f là một hàm phân hình trên mặt phẳng phức C,

f1
khi đó f = , trong đó f1 , f2 là các hàm chỉnh hình. Một điểm z0 gọi là
f2
không điểm bội k của f nếu z0 là không điểm bội k của f1 , z0 gọi là cực
điểm bội k của f nếu z0 là không điểm bội k của f2 .
Trong mặt phẳng phức C, ta kí hiệu

D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | < r};
D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r};
∂D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | = r},


4

tương ứng là hình tròn mở, hình tròn đóng và đường tròn tâm z0 , bán kính

r. Với z0 = 0, ta kí hiệu ngắn gọn
DR = D(0, R);

DR = D(0, R).

Định lý 1.1 (Công thức Poison-Jensen). Giả sử f (z) ≡ 0 là một hàm phân
hình trong đĩa đóng DR , 0 < R < ∞. Giả sử a1 , . . . , ap là các không điểm
của f trong DR , kể cả bội, b1 , . . . , bp là các cực điểm của f trong DR , cũng
kể cả bội. Khi đó với mỗi z trong {|z| < R} không phải là không điểm hay
cực điểm của f , ta có
2π

1
log |f (z)| =

2π
0
p

+
i=1

R2 − |z|2
log |f (Reiϕ )|dϕ
iϕ
2
|Re − z|
R2 − a
¯i z
log
−
R(z − ai )

q

R2 − ¯bj z
.
log
R(z
−
b
)
j
j=1

(1.1)

Hệ quả 1.1. Với |z| < R, ta có
2π

dθ
1
=
.
|R2 eiθ − z|2 2π
R2 − |z|2
1

0

Cho z0 ∈ DR . Nếu f (z) = c(z − z0 )m + . . . , trong đó c là hằng số khác
không nhỏ nhất, khi đó m được gọi là bậc của f tại z0 và kí hiệu là ordz0 f.
Hệ quả 1.2. Giả sử f (z) ≡ 0 là một hàm phân hình trong đĩa đóng DR , 0 <

R < ∞. Giả sử a1 , . . . , ap là các không điểm của f trong DR − {0}, kể cả
bội, b1 , . . . , bp là các cực điểm của f trong DR − {0}, cũng kể cả bội. Khi đó
2π

1
log |cf | =
2π

p
iθ

log |f (Re )|dθ −
0

− (ord0 f ) log R,

i=1

R
log
+
ai

q

log
j=1

R
bj
(1.2)

trong đó f (z) = cf z ord0 f + . . . , ord0 f ∈ Z, cf là hằng số khác không nhỏ
nhất trong khai triển Laurent của f tại 0.


5

1.1.2.

Các hàm Nevanlinna và tính chất

Với mỗi số thực x > 0, kí hiệu:

log+ x = max{log x, 0}.
Khi đó log x = log+ x − log+ (1/x).
Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng của một hàm
phân hình. Cho f là một hàm phân hình trên DR và một số thực r > 0,
trong đó 0 < R ≤ ∞, r < R. Dễ thấy:
2π

1
2π

2π

1
log f (reiϕ ) dϕ =
2π
0

2π

1
f (reiϕ ) dϕ −
2π

log+
0

log+

1
dϕ.
f (reiϕ )

0

Định nghĩa 1.3. Hàm
2π

m(r, f ) =

1
2π

log+ f (reiϕ ) dϕ
0

được gọi là hàm xấp xỉ của hàm f .
Kí hiệu n(r, 1/f ) là số không điểm kể cả bội, n(r, 1/f ) là số không điểm
không kể bội của f , n(r, f ) là số cực điểm kể cả bội, n(r, f ) là số cực điểm
không kể bội của f trong Dr , nk (r, f ) là số cực điểm bội cắt cụt bởi k của

f (tức là cực điểm bội l > k chỉ được tính k lần trong tổng nk (r, f ) trong
Dr .
Định nghĩa 1.4. Hàm
r

N (r, f ) =

n(t, f ) − n(0, f )
dt + n(0, f ) log r
t

0

được gọi là hàm đếm kể cả bội của f (còn gọi là hàm đếm tại các cực điểm).
Hàm

r

N (r, f ) =

n(t, f ) − n(0, f )
dt + n(0, f ) log r
t

0

được gọi là hàm đếm không kể bội. Hàm
r

Nk (r, f ) =
0

nk (r, f ) − nk (0, f )
+ nk (0, f ) log r
t

6

được gọi là hàm đếm bội cắt cụt bởi k , trong đó n(0, f ) = lim n(t, f );
t→0

n(0, f ) = lim n(t, f ); nk (0, f ) = lim nk (r, f ). Số k trong nk (r, f ) được gọi
t→0

t→0

là chỉ số bội cắt cụt.
Mệnh đề 1.1. Giả sử b1 , b2 , . . . , bN là các cực điểm khác 0 của f trong đĩa

Dr , khi đó:
N

N (r, f ) =

log
ν=1

r
+ n(0, f ) log r.
|bν |

(1.3)

Định nghĩa 1.5. Hàm

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f )

gọi là hàm đặc trưng của hàm f .
Các hàm đặc trưng T (r, f ) hàm xấp xỉ m(r, f ) và hàm đếm N (r, f ) là
ba hàm cơ bản trong lý thuyết phân bố giá trị, nó còn gọi là các hàm
Nevanlinna. Lý thuyết Nevanlinna nghiên cứu quan hệ giữa tốc độ tăng của
ba hàm. Từ định nghĩa tích phân Lebesgue-Stieltjes ta có

1
N (r, ) = (ord+
0 f ) log r +
f
z∈D

(ord+
z f ) log
r ,z=0

r
,
z

(1.4)

trong đó ord+
z f = max{0, ordz f } chỉ là bội của không điểm tại z . Chú ý
1
rằng N r, f −a

đo số lần f nhận giá trị a. Với những kí hiệu như vậy, Hệ

quả 1.2 được viết lại như sau:

Hệ quả 1.3. Giả sử f (z) ≡ 0 là một hàm phân hình trong đĩa Dr , 0 < r <

∞. Khi đó
2π

1
log |cf | =
2π

log |f (reiθ )|dθ −

(ordz f ) log
z∈Dr ,z=0

0

r
z

− (ord0 f ) log r
2π

1
=
2π

1
log |f (reiθ )|dθ + N (r, f ) − N (r, ).
f
0

Định lý sau đây trình bày một số tính chất cơ bản của hàm xấp xỉ, hàm
đếm, hàm đặc trưng.


7

Định lý 1.2. Cho các hàm phân hình f1 , f2 , . . . , fp , khi đó:
p

(1)

p

fν ) ≤

m(r,
ν=1
p

(2)

ν=1
p

fν ) ≤

m(r,
ν=1
p

(3)

fν ) ≤

N (r,

fν ) ≤

N (r,

fν ) ≤

T (r,

T (r, fν ) + log p;
ν=1
p

fν ) ≤

T (r,
ν=1

1.1.3.

N (r, fν );
ν=1
p

ν=1
p

(6)

N (r, fν );
ν=1
p

ν=1
p

(5)

m(r, fν );
ν=1
p

ν=1
p

(4)

m(r, fν ) + log p;

T (r, fν ).
ν=1

Hai định lý cơ bản

Định lý cơ bản thứ nhất

Định lý 1.3. (Định lý cơ bản thứ nhất) Cho f ≡ 0 là một hàm phân hình
trên Dr , 0 < T ≤ ∞. Khi đó, với mỗi 0 ≤ r < R, ta có:

(1)
(2)

1
1
+ N r,
+ log |cf |
f
f
Với mỗi số phức a ∈ C,
1
1
c1
− N r,
T (r, f ) − m r,
≤ log
+
f −a
f −a
f −a
log+ |a| + log 2
T (r, f ) = m r,

Trong đó cf là hệ số khác 0 nhỏ nhất trong khai triển Taylor của hàm f
trong lân cận điểm 0, c1 /(f − a) là hệ số khác 0 nhỏ nhất trong khai triển

Taylor của hàm 1/(f − a) trong lân cận điểm 0.


8

Định lý cơ bản thứ hai

Giả sử f là một hàm phân hình, r > 0. Hàm

Nram (r, f ) = N r,

1
f

+ 2N (r, f ) − N (r, f )

gọi là giá trị phân nhánh của hàm f . Hiển nhiên Nram (r, f ) ≥ 0
Định lý 1.4. (Định lý cơ bản thứ hai) Giả sử f là hàm phân hình khác
hằng trên C, a1 , . . . , aq ∈ C, (q > 2) là các hằng số phân biệt, khi đó với mỗi

ε > 0, bất đẳng thức
q

(q − 1)T (r, f ) + Nram (r, f ) ≤

N r,
j=1

1
f − aj

+ N (r, f ) + log T (r, f )

+ (1 + ε) log+ log T (r, f ) + O(1)
đúng với mọi r ≥ r0 nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn.
Quan hệ số khuyết, điểm bỏ được Picard

Giả sử f (z) là hàm phân hình trên C, a ∈ C ∪{∞} và k là một số nguyên
dương. Ta kí hiệu

1
1
)
)
N (r,
f −a
f −a
δf (a) = lim inf
= 1 − lim sup
;
r→∞
T (r, f )
T (r, f )
r→∞
1
)
Nk (r,
f −a
k
δf (a) = 1 − lim sup

;
T (r, f )
r→∞
1
N (r,
)
f −a
Θf (a) = 1 − lim sup
;
T (r, f )
r→∞
1
1
N (r,
) − N (r,
)
f −a
f −a
θf (a) = lim inf
.
r→∞
T (r, f )
m(r,

Định nghĩa 1.6. δf (a) được gọi là số khuyết, δfk (a) là số khuyết bội cắt cụt
bởi một số nguyên dương k của f tại a, Θf (a) gọi là số khuyết không kể bội,

θf (a) gọi là bậc của bội của số khuyết.

9

Nhận xét

1
) = 0 với mọi r suy ra δf (a) = 1.
f −a
Chẳng hạn f (z) = ez thì δf (0) = 1.

1. Nếu f (z) = a vô nghiệm thì N (r,

1
) = o(T (r, f )) khi đó δf (a) = 1. Như vậy số khuyết
f −a
bằng 1 khi số nghiệm của phương trình quá ít so với cấp tăng của nó.

2. Nếu N (r,

3. Với mỗi hàm phân hình f và a ∈ C, ta luôn có

0

δf (a)

δfk (a)

Θf (a)

1.

Định lý sau cho ta một tính chất của số khuyết, thường được gọi là bổ
đề quan hệ số khuyết.
Định lý 1.5. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C. Khi đó tập hợp
các giá trị của a mà Θf (a) > 0 cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có

Θf (a)

δf (a) + θf (a)
a∈C

a∈C

1.1.4.

2.

Định lý cơ bản thứ hai cho các hàm nhỏ

Định lý 1.6 ([4]). Nếu f là một hàm phân hình trong mặt phẳng phức, và

a1 , a2 và a3 là ba hàm nhỏ phân biệt của f thì ta có
3

T (r, f ) <

N r,
j=1

1
f − aj

+ S(r, f ).

Định lý 1.7 ([4]). Nếu f là một hàm phân hình trong mặt phẳng phức, và

a1 , a2 , . . . , aq là các hàm nhỏ phân biệt của f thì ta có
q

(q − 1)T (r, f ) <

N r,
j=1

1
f − aj

+ qN (r, f ) + S(r, f ).

Định lý sau đây làm một sự khái quát hoá của Định lý 1.7


10

Định lý 1.8 ([4]). Giả sử f là một hàm phân hình siêu việt trong mặt phẳng
phức và a1 , . . . , aq (q ≥ 2) là các hàm nhỏ của f . Gọi k là số các phần tử
của tập con độc lập tuyến tính lớn nhất của {a1 , . . . , aq } thì ta có
q

(q − 1)T (r, f ) ≤

Nk r,
j=1

1
f − aj

+ kN (r, f ) + S(r, f ).

Theo định lý cơ bản thứ hai, ta có thể chứng minh các bổ đề
Bổ đề 1.1 ([4]). Giả sử f là một hàm phân hình trong mặt phẳng phức và

a1 , . . . , aq là các hàm nhỏ phân biệt của f , thì ta có


q
q
1 
1
= m r,
+ S(r, f ).
m r,
f
−
a
f
−
a
j
j
j=1

j=1
Bổ đề 1.2 ([4]). Giả sử f là một hàm phân hình siêu việt trong mặt phẳng
phức và n là một số nguyên dương, thì
thức vi phân đối với

f (n)
f

có thể được biểu thị là một đa

f
f

Định lý 1.9 ([4]). Giả sử f là một hàm phân hình siêu việt trong mặt phẳng
phức và a1 , a2 , . . . , aq (q ≥ 3) là các hàm nhỏ phân biệt của f . Với bất kì số
dương ε, ta có
q

m(r, f ) +

m r,
j=1

1
f − aj

≤ (2 + ε)T (r, f ) + S(r, f ).

Tương đương, ta có
q

(q − 1 − ε)T (r, f ) ≤ N (f, f ) +

N r,
j=1

1
f − aj

+ S(r, f ).

Định lý 1.10 ([4]). Cho f là một hàm phân hình khác hằng trong mặt
phẳng phức và a1 , a2 , . . . , aq (q ≥ 3) là các hàm nhỏ phân biệt của f . Với
bất kì số dương ε, tồn tại một số nguyên dương k , sao cho
q

(q − 2 − ε)T (r, f ) <

Nk r,
j=1

1
f − aj

+ S(r, f ).


11

1.2.

Điều kiện CM* và IM*

1.2.1.

Khái niệm về điều kiện IM*, CM*

Trong mục này ta luôn kí hiệu f và g là hai hàm phân hình khác hằng
trên mặt phẳng phức C, a là một giá trị hoặc một hàm nhỏ của f và g ,
nghĩa là a ∈ S(f ) ∩ S(g). Để trình bày khái niệm hai hàm phân hình chung
nhau một giá trị hoặc một cặp giá trị với điều kiện CM* hoặc IM*, trước
hết ta nhắc lại khái niệm về chung nhau với điều kiện IM, CM.
Định nghĩa 1.7 (Xem [4]). Ta nói f và g chung nhau một giá trị a CM
(hoặc IM) nếu f − a, g − a có cùng không điểm kể cả bội (không kể bội).
Nếu 1/f và 1/g chung nhau giá trị 0 CM (IM) thì ta nói rằng f và g chung
nhau giá trị ∞ CM (IM).
Dễ thấy, nếu a là một điểm bỏ được Picard của f và g thì f và g chung
nhau giá trị a CM, chẳng hạn, hàm ez và e−z chung nhau các giá trị 0 và

∞ CM là các điểm bỏ được Picard của chúng.
Hiển nhiên, hai hàm f và g chung nhau giá trị a CM thì cũng chung nhau
giá trị a IM.
Tiếp theo ta nghiên cứu khái niệm các hàm chung nhau giá trị với điều
kiện CM* và IM*. Kí hiệu S(f = a = g) là tập tất cả các không điểm
chung, không tính bội của f (z) − a(z) và g(z) − a(z), SE (f = a = g) là
tập các các không điểm chung của f (z) − a(z) và g(z) − a(z) với cùng bội,

S(k,l) (f = a = g) là tập tất cả các điểm là không điểm của f (z) − a(z)
bội k (k > 0) và là không điểm của g(z) − a(z)bội l (l > 0). Kí hiệu

N (r, f = a = g), N E (r, f = a = g) và N (k,l) (r, f = a = g) lần lượt là hàm
đếm rút gọn của f và g ứng với các tập S(f = a = g), SE (f = a = g) và

S(k,l) (f = a = g). Nghĩa là
N (r, f = a = g) = Nν1 (r);
N E (r, f = a = g) = Nν2 (r);
N (k,l) (r, f = a = g) = Nν3 (r),


12

trong đó

1,

ν1 (z) =

nếu µaf (z) > 0 và µag (z) > 0;

0, các trường hợp còn lại.
1,

ν2 (z) =

nếu µaf (z) = µag (z) > 0;

0, các trường hợp còn lại.
1,

ν3 (z) =

nếu µaf (z) = k và µag (z) = l;

0, các trường hợp còn lại.

Đặt

1
f −a
1
r,
g−a

N(k,l) r,

= kN (k,l) (r, f = a = g);

N(k,l)

= lN (k,l) (r, f = a = g).

Hiển nhiên

N E (r, f = a = g) ≤ N (r, f = a = g) ≤ N r,

1
f −a

Định nghĩa 1.8 (Xem [4]). Ta nói hàm f và g chung nhau giá trị a CM*
nếu

N r,

1
f −a

− N E (r, f = a = g) = S(r, f )

N r,

1
g−a

− N E (r, f = a = g) = S(r, g).

và

Định nghĩa 1.9 (Xem [4]). Ta nói hàm f và g chung nhau giá trị a IM*
nếu

N r,

1
f −a

− N (r, f = a = g) = S(r, f )

N r,

1

g−a

− N (r, f = a = g) = S(r, g).

và

Định nghĩa 1.10 (Xem [4]). Ta nói hàm f và g chung nhau giá trị ∞ CM*
(IM*) nếu 1/f và 1/g chung nhau giá trị 0 CM*(IM*).
Các khái niệm về chung nhau giá trị hoặc cặp giá trị CM* hoặc IM* được
mở rộng một cách tự nhiên thành chung nhau các hàm nhỏ hoặc cặp hàm


13

nhỏ CM* hoặc IM*. Hiển nhiên nếu f và g chung nhau giá trị a (hàm nhỏ

a) CM (IM) thì f và g chung nhau giá trị a (hàm nhỏ a CM* (IM*).
Định nghĩa 1.11 (Xem [13]). Ta nói rằng f và g chung nhau cặp các giá
trị (a, b) IM (CM) nếu f (z) − a và g(z) − b có cùng các không điểm không
tính bội (tính bội).
Bây giờ ta mở rộng khái niệm chung nhau cặp các giá trị (a, b) đối với
điều kiện IM*, CM*. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, và a, b
là hai hàm phân hình nhỏ đối với cả f và g . Kí hiệu N (r, f = a, g = b) là
hàm đếm các không điểm chung của f − a và g − b, mỗi không điểm được
tính chỉ một lần, N E (r, f = a, g = b) là hàm đếm các không điểm chung
của f − a và g − b với cùng bội, mỗi không điểm được tính chỉ một lần.
Định nghĩa 1.12 (Xem [13]). Ta nói rằng f và g chung nhau cặp giá trị

(a, b) theo tiêu chuẩn CM* nếu như:
N r,

1
f −a

− N E (r, f = a, g = b) = S(r, f ),

N r,

1
g−a

− N E (r, f = a, g = b) = S(r, g).

và

Định nghĩa 1.13 (Xem [13]). Ta nói rằng f và g chung nhau cặp giá trị

(a, b) theo tiêu chuẩn IM* nếu như:
N r,

1
f −a

− N (r, f = a, g = b) = S(r, f ),

N r,

1
g−a

− N (r, f = a, g = b) = S(r, g).

và

Để thuận tiện cho các chứng minh, ta kí hiệu S ∗ (r, f ) là đại lượng thỏa
mãn điều kiện với mỗi số dương ε, tồn tại một đại lượng S(r, f ) thỏa mãn
bất đẳng thức sau

|S ∗ (r, f )| ≤ εT (r, f ) + S(r, f ).


14

Ta kí hiệu M (C) là tập tất cả các hàm phân hình trên C. Với f ∈ M (C),
đặt

S (f ) = {g ∈ M (C) : T (r, g) = S(r, f )},
S ∗ (f ) = {g ∈ M (C) : T (r, g) = S ∗ (r, f )}.
Hiển nhiên S (f ) ⊂ S ∗ (f ).
1.2.2.

Một số tính chất của các hàm Nevanlinna

Bổ đề 1.3 ([9, 11]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, a1 , a2 và

a3 là ba hàm nhỏ phân biệt của f và g . Nếu f và g chung nhau các giá trị
a1 , a2 , a3 CM*, và nếu f không là một biến đổi tựa Mobius của g , thì với
bất kì hàm nhỏ c(≡ a1 , a2 , a3 ) của f và g , ta có:

T (r, f ) = N r,

1
f −c

+ S(r, f ) và N(3 r,

1
f −c

= S(r, f ).

Bổ đề 1.4 ([10]). Cho h1 và h2 là hai hàm phân hình khác hằng thỏa mãn

N (r, hi ) + N (r, 1/hi ) = S(r),

1 = 1, 2.

Nếu hs1 ht2 không đồng nhất không với mọi số nguyên s và t (|s| + |t| > 0)
thì với bất kì số dương ε, ta có:

N (r, h1 = 1, h2 = 1) ≤ εT (r) + S(r),
trong đó T (r) = T (r, h1 ) + T (r, h2 ) và S(r) = o(T (r)) khi r → ∞, với r là
tập hợp có độ đo tuyến tính hữu hạn.
Bổ đề 1.5 ([18]). Nếu f (z) là một hàm phân hình khác hằng, a1 (z), a2 (z),

. . . , aq (z) là các hàm nhỏ phân biệt của f (z), thì với bất kì số dương ε, ta
có:

q

(q − 2)T (r, f ) ≤

N r,
j=1

1
f − aj

+ εT (r, f ) + S(r, f ).

Bổ đề 1.6 ([13]). Cho h1 , h2 và h là các hàm phân hình khác hằng sao cho

T (r, hi ) ≤ cT (r, h) + S(r, h) (i = 1, 2), trong đó c là một hằng số dương,
và

N (r, hi ) + N r,

1
hi

= S(r, h),

i = 1, 2.


15

Cho a và b là hai hàm phân hình nhỏ của h. Nếu hàm f = ah1 + bh2 + 1
không là hằng số, thì

N (3 r,

1
f

= S(r, h).

Chứng minh. Đặt αi = hi /hi (i = 1, 2). Theo bổ đề đạo hàm lôgarit
và điều kiện của Bổ đề 1.6, ta có: T (r, αi ) = S(r, h) (i = 1, 2). Đặt

a1 = a + aα1 , b1 = b + bα2 , a2 = a1 + a1 α1 và b2 = b1 + b1 α2 . Hiển nhiên
T (r, ai ) = S(r, h) và T (r, bi ) = S(r, h), i = 1, 2. Nếu cả a1 và b1 đồng nhất
không, thì cả ah1 và bh2 là hằng số, từ đó suy ra f là hằng số, mâu thuẫn
với giả thiết. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng b1 không đồng
nhất không.
Giả sử rằng z0 là không điểm của f với bội ≥ 3, nhưng không là không
điểm hay cực điểm của αi (i = 1, 2). Do vậy ta có

f (z0 ) = a(z0 )h1 (z0 ) + b(z0 )h2 (z0 ) + 1 = 0,

(1.5)

f (z0 ) = a1 (z0 )h1 (z0 ) + b1 (z0 )h2 (z0 ) = 0,

(1.6)

f (z0 ) = a2 (z0 )h1 (z0 ) + b2 (z0 )h2 (z0 ) = 0.

(1.7)

Nếu z0 không là không điểm hay cực điểm của bi , thì từ ( 1.6) và ( 1.7) ta
có

a2 (z0 ) b2 (z0 )
=
.
a1 (z0 ) b1 (z0 )
Nếu a2 /a1 ≡ b2 /b1 thì ta có

N (3 r,

1
f

≤ N r,

1
a2 /a1 − b2 /b1

≤ S(r, h).

Giả sử rằng a2 /a1 ≡ b2 /b1 . Ta có

b
h
a1 h1
+
= 1 + 2.
a1 h1
b1 h2

(1.8)

Bằng cách lấy tích phân, ta có:

a1 h1 = cb1 h2 ,

(1.9)

trong đó c là một hằng số khác không. Từ ( 1.6) và ( 1.9), ta có (c +

1)b1 (z0 )h2 (z0 ) = 0. Nhớ rằng hi (z0 ) = 0(i = 1, 2). Ta có c = −1, do đó


16

f = a1 h1 + b1 h2 = 0, dẫn đến f là một hằng số, mâu thuẫn. Vậy z0 phải là
một không điểm hoặc cực điểm của b1 . Do đó, ta có:

N (3 r,

1
f

≤ T (r, b1 ) + S(r, h) ≤ S(r, h),

Bổ đề 1.6 được chứng minh.
Bổ đề 1.7 ([13]). Giả sử rằng f và g là các hàm phân hình khác hằng,

F = F (f, g) là một đa thức của f và g với hệ số là các hàm nhỏ của f và

g . Bậc của F với f là p, với g là q . Thì ta có
T (r, F ) ≤ pT (r, f ) + qT (r, g) + S(r, f ).

(1.10)

p
k nk
k=0 ck f g ,

với ck là các hàm

Chứng minh. Hàm F có thể viết là F =
nhỏ của f và g , và 0 ≤ nk ≤ q . Hiển nhiên là

N (r, F ) ≤ pN (r, f ) + qN (r, g) + S(r, f ).

(1.11)

Để ước lượng m(r, F ), với một số dương cố định r, ta đặt A1 = {θ ∈

[0, 2π] : |f (reiθ )| ≤ 1}, A2 = [0, 2π]\A1 , B1 = {θ ∈ [0, 2π] : |g(reiθ )| ≤ 1}
và B2 = [0, 2π]\B1 . Thì
1
1
log+ |F (reiθ )|dθ +
m(r, F ) =
2π
2π
A1 ∩B1

+

1
2π

log+ |F (reiθ )|dθ
A1 ∩B2

1
2π

log+ |F (reiθ )|dθ +
A2 ∩B1

log+ |F (reiθ )|dθ.
A2 ∩B2

Dễ dàng tính toán được

Ψdθ ≤
A1 ∩B1

Ψdθ ≤ q
A1 ∩B2

A1 ∩B1

log+ |g(reiθ )|dθ +

A1 ∩B2

Ψdθ ≤ p
A2 ∩B1

Ψdθ ≤ p
A2 ∩B2

Φdθ

A2 ∩B2

Φdθ,
A1 ∩B2

log+ |f (reiθ )|dθ +

A2 ∩B1

Φdθ,
A2 ∩B1

log+ |f (reiθ )|dθ + q
A2 ∩B2

log+ |g(reiθ )|dθ +

Φdθ,
A2 ∩B2

17
p
iθ
k=0 |ck (re )|).

Bằng cách cộng

m(r, F ) ≤ pm(r, f ) + qm(r, g) + S(r, f ).

(1.12)

trong đó Ψ = log+ |F (reiθ )| và Φ = log+ (
các bất đẳng thức trên, ta có

Bất đẳng thức (1.10) được suy ra từ (1.11) và (1.12).


18

Chương 2

Hàm phân hình chung nhau hàm
nhỏ với điều kiện CM*, IM*
2.1.

Các hàm phân hình chung nhau bốn giá trị

2.1.1.

Định lý bốn điểm với điều kiện CM*

Hai kết quả quan trọng đầu tiên của giá trị chung nhau thu được năm
1926 ([16]) bởi R. Nevanlinna được gọi là định lý 5 điểm và định lý 4 điểm.
Định lý 2.1 ([16]). (Định lý 5 điểm) Nếu f và g là hai hàm phân hình khác
hằng chung nhau 5 giá trị IM thì f = g .
Định lý 2.2 ([16]). (Định lý 4 điểm) Nếu f và g là hai hàm phân hình khác
hằng chung nhau 4 giá trị a1 , a2 , a3 , a4 CM thì f = g hoặc f là một biến
đổi Mobius của g . Hơn nữa hai giá trị a1 , a2 là bỏ được Picard của f và g
và tỷ số kép của 4 giá trị là −1, tức là

(a1 , a2 , a3 , a4 ) :=

a1 − a3 a2 − a3
:
= −1.
a1 − a4 a2 − a4

Chú ý. Điều kiện IM và CM trong hai định lý trên có thể lần lượt được
thay thế bằng điều kiện IM* và CM*. Lưu ý rằng a1 , a2 có thể không phải
là điểm bỏ được Picard của f (và g ) trong Định lý 2.2 nếu thỏa mãn

N r,

1
f − ai

= S(r, f ) và N r,

1
g − ai

= S(r, f ); i = 1, 2.


19

Chẳng hạn, f (z) = zez và g(z) = z1 e−z chung nhau các giá trị 0, ∞, 1, −1
IM* nhưng 0 không là điểm bỏ được Picard của f .
Bây giờ ta xem xét Định lý 2.2 trong trường hợp CM*.
Định lý 2.3 ([4]). (Định lý 4 điểm với điều kiện CM*) Nếu f và g là hai
hàm phân hình khác hằng chung nhau bốn giá trị CM* thì f = g hoặc f là
một biến đổi Mobius của g . Hơn nữa ta có

(a1 , a2 , a3 , a4 ) :=

a1 − a3 a2 − a3
:
= −1.
a1 − a4 a2 − a4

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử f và g là hai hàm
phân hình khác hằng chung nhau 4 giá trị hữu hạn a1 , a2 , a3 , a4 CM* và

f = g , theo định lý cơ bản thứ 2 ta có:
4

N r,

2T (r, f ) <
i=1

4

1
f − ai

+ S(r, f )

N E (r, f = ai = g) + S(r, f )

=
i=1

1
+ S(r, f )
f −g
≤ T (r, f ) + T (r, g) + S(r, f ).
≤ N r,

Do đó

T (r, f ) ≤ T (r, g) + S(r, f ).
Đổi vai trò của f và g , ta cũng có

T (r, g) ≤ T (r, f ) + S(r, g).
Vậy bất kỳ đại lượng S(r, f ) nào cũng là S(r, g) và ngược lại. Do đó, ta có
thể sử dụng ký hiệu S(r) để biểu thị cả S(r, f ) và S(r, g). Đặt

h1 =

f (f − a1 )

g (g − a1 )
−
,
(f − a2 )(f − a3 )(f − a4 ) (g − a2 )(g − a3 )(g − a4 )

h2 =

f (f − a2 )
g (g − a2 )
−
,
(f − a1 )(f − a3 )(f − a4 ) (g − a1 )(g − a3 )(g − a4 )


20

h3 =
và

f (f − a3 )
g (g − a3 )
−
,
(f − a1 )(f − a2 )(f − a4 ) (g − a1 )(g − a2 )(g − a4 )

f (f − a4 )
g (g − a4 )
−
.
(f − a1 )(f − a2 )(f − a3 ) (g − a1 )(g − a2 )(g − a3 )

Từ f và g chung nhau bốn giá trị a1 , a2 , a3 , a4 CM* nên N (r, hi ) = S(r).
h4 =

Ngoài ta, ta có m(r, hi ) = S(r). Do đó

T (r, hi ) = S(r) với i = 1, 2, 3, 4.
Nếu tồn tại ba giá trị hi không đồng nhất không, chẳng hạn hi = 0 với

i = 1, 2, 3 thì ta có
N r,

1
f − ai

≤ N r,

1
+ S(r) = S(r); i = 1, 2, 3.
hi

Theo định lý cơ bản thứ hai ta có
3

T (r, f ) <

N r,
i=1

1
f − ai

+ S(r),

mâu thuẫn. Do đó ít nhất hai giá trị hi , giả sử h3 , h4 là đồng nhất 0. Vậy
ta có

f − a3
f − a4
điều này kéo theo

2

=

g − a3
g − a4

2

,

f − a3
g − a3
=−
.
f − a4
g − a4

(2.1)

Như vậy

(a4 − a3 )(g − a3 )
.
2g − a3 − a4
Hiển nhiên, L là một phép biến đổi Mobius khác ánh xạ đồng nhất và
f = L (g) := a3 +

L (a3 ) = a3 , L (a4 ) = a4 . Do đó ta có L (a1 ) = a1 và L (a2 ) = a2 . Từ f
và g chung nhau các giá trị a1 , a2 CM*, phương trình (2.1) cho thấy

N (r, 1/(f − ai )) = S(r);

N (r, 1/(g − ai )) = S(r)

với i = 1, 2. Hiển nhiên có ít nhất một trong hai giá trị a1 hoặc a2 , giả sử
là a1 khác (a3 + a4 )/2. Vậy

(a3 − a4 )2 (g − a1 )
f − L (a1 ) = L (g) − L (a1 ) =
.
(a3 + a4 − 2a1 )(2g − a3 − a4 )