về hàm phân hình chung nhau hai tập hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGÔ LAN HƯƠNG
VỀ HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU
HAI TẬP HỢP
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGÔ LAN HƯƠNG
VỀ HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU
HAI TẬP HỢP
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS HÀ TRẦN PHƯƠNG
Thái Nguyên - Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Các hàm Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Định lý cơ bản thứ nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Định lý cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Định lý 5 điểm của Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2. VỀ HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU HAI
TẬP HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1. Một số khái niệm và kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Tập xác định duy nhất các hàm phân hình . . . . . 21
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU
Vấn đề nghiên cứu sự xác định duy nhất của các hàm hay ánh xạ phân
hình thông qua ảnh ngược của một tập hữu hạn thu hút được sự quan
tâm nghiên cứu của nhiều nhà Toán học trong và ngoài nước: G.Pólya,
R.Nevanlinna, F. Gross, và thu được nhiều kết quả quan trọng. Năm
1926, R.Nevanlinna đã chứng minh: Nếu hai hàm phân hình f và g chung
nhau 5 giá trị phân biệt, tức là tồn tại các giá trị phân biệt a
1
, a
2
, . . . , a
5
∈
C = C ∪ {∞} sao cho
f
−1
(a
j
) = g
−1
(a
j
) với mọi j = 1, 2, . . . , 5
thì f ≡ g. Kết quả này của Nevanlinna cho thấy một hàm phân hình phức
được xác định một cách duy nhất bởi ảnh ngược, không kể bội, của 5 giá

trị phân biệt. Công trình này của Ông được xem là khởi nguồn cho các
công trình nghiên cứu về sự xác định duy nhất hàm hay ánh xạ phân hình.
Một vấn đề tự nhiên được đưa ra bởi F. Gross (xem [4]), đó là không
xét ảnh ngược của các điểm rời rạc mà xét ảnh ngược của một tập hợp
điểm. Từ đó đến nay, vấn đề này được nghiên cứu một cách liên tục và
mạnh mẽ với những kết quả của H. Fujimoto, W. Stoll, L. Smiley, M. Ru,
Z. Tu, C. C. Yang, G. Frank, M. Reinders,. . . .
Kí hiệu F là một họ hàm nào đó xác định trên C lấy giá trị trên C. Với
f ∈ F và S ⊂ C, đặt
E(S, f) =

a∈S
{(z, n) ∈ C × N : f(z) = a với bội n}.
Tập S ⊂ C được gọi là tập xác định duy nhất (kể cả bội), kí hiệu là URS,
cho họ hàm F nếu với hai hàm khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn điều kiện
E(S, f) = E(S, g) thì f ≡ g.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Kí hiệu A(C) là vành các hàm nguyên và M(C) trường các hàm phân
hình trên trên C. Năm 1982, F. Gross và C.C. Yang đã đưa ra ví dụ đầu
tiên về URS (xem [5]) cho các hàm nguyên. Năm 1994, H. Yi (xem [8]) tìm
ra URS cho các hàm nguyên có hữu hạn phần tử. Năm 1998, G. Frank và
M. Reinders (xem [2]) đã đưa ra URS cho M(C) gồm 11 phần tử và đó là
URS cho M(C) với số phần tử ít nhất được tìm thấy cho đến nay. Thời
gian gần đây nhiều tác giả tập chung vào nghiên cứu URS theo hai hướng:
Tìm các tập xác định duy nhất với số phần tử ít nhất có thể và tìm các
đặc trưng của tập xác định duy nhất.
Luận văn "Về hàm phân hình chung nhau hai tập hợp" là một
trong những nghiên cứu theo hướng trên. Trong luận văn này chúng tôi
sẽ trình bày một số kết quả nghiên cứu về sự xác định duy nhất của hàm

phân hình qua ảnh ngược của hai tập hữu hạn. Luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở, trình bày những kiến thức cơ bản, cần
thiết cho việc chứng minh những kết quả trong chương 2 như: hàm phân
hình, lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna.
Chương 2: Về hàm phân hình chung nhau hai tập hợp, trình bày những
kết quả về các tập xác định duy nhất cho các hàm phân hình, một trong
những ứng dụng quan trọng của lý thuyết phân bố giá trị.
Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tôi đã nhận được sự dạy
bảo tận tình của các thầy cô giáo ở trường ĐHSP Thái Nguyên, ĐHSP
Hà Nội, Viện Toán học. Đặc biệt là sự chỉ bảo, hướng dẫn trực tiếp của
thầy giáo TS Hà Trần Phương. Ngoài ra, việc tạo điều kiện thuận lợi và
sự động viên, khích lệ kịp thời của BGH và các bạn đồng nghiệp trường
THPT Chuyên Thái Nguyên cũng đã giúp tôi rất nhiều trong việc hoàn
thành khóa học.
Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Hà Trần
Phương, tới các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian qua. Luận văn chắc chắn không tránh khỏi nhiều thiếu sót,
rất mong được các thầy cô và các bạn quan tâm, góp ý.
Ngô Lan Hương
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Các hàm Nevanlinna
Cho f là một hàm xác định trên mặt phẳng phức C, lấy giá trị trên C,
D ⊂ C là một miền. Ta nói f chỉnh hình tại z
0
∈ C nếu tồn tại một lân
cận U của z
0

sao cho
f(z) =
∞

n=0
c
n
(z − z
0
)
n
với mọi z ∈ U, trong đó c
n
∈ C là các hằng số. Hàm f(z) được gọi là
chỉnh hình trên D nếu nó chỉnh hình tại mọi z ∈ D.
Định nghĩa 1.1. Hàm f(z) được gọi là hàm nguyên nếu nó chỉnh hình
trong toàn mặt phẳng phức C.
Với hàm f : C −→
C, một điểm z
0
∈ C được gọi là điểm bất thường cô
lập của hàm f(z) nếu f(z) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của z
0
,
trừ ra tại chính z
0
. Điểm bất thường cô lập z
0
của hàm f(z) được gọi là:
i) Điểm bất thường khử được của hàm f(z) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

lim
z→z
0
f (z) .
ii) Cực điểm của hàm f(z) nếu lim
z→z
0
f (z) = ∞.
iii) Điểm bất thường cốt yếu của hàm f(z) nếu không tồn tại lim
z→z
0
f (z) .
Định nghĩa 1.2. Hàm f(z) được gọi là hàm phân hình trong miền D ⊂ C
nếu nó chỉnh hình trong miền D, trừ ra một số hữu hạn các điểm bất thường
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
cực điểm. Nếu D = C thì ta nói f(z) là hàm phân hình trên C, hay đơn
giản là hàm phân hình.
Nhận xét. Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì trong mỗi lân cận của
z ∈ D hàm f(z) biểu diễn được dưới dạng thương của hai hàm chỉnh hình.
Định nghĩa 1.3. Điểm z
0
được gọi là không điểm cấp m ≥ 0 của hàm f(z)
nếu trong lân cận của z
0
, hàm f(z) có biểu diễn f(z) = (z − z
0
)
m
.h(z),

trong đó h(z) chỉnh hình trong lân cận của z
0
và h(z
0
) = 0. Điểm z
0
được
gọi là cực điểm cấp m ≥ 0 của hàm f(z) nếu z
0
là không điểm cấp m của
hàm
1
f(z)
.
Với hàm phân hình f, ta kí hiệu
ord
f
z
0
=







m nếu z
0
là không điểm cấp m của f(z)

0 nếu f(z
0
) = 0, ∞
−m nếu z
0
là cực điểm cấp m của f(z).
Nhận xét. Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì f

(z) cũng là hàm phân
hình trên D. Hàm f(z) và f

(z) có cùng cực điểm, đồng thời, nếu z
0
là
cực điểm cấp m > 0 của f(z) thì nó là cực điểm cấp m + 1 của f

(z). Hơn
nữa, hàm f(z) có không quá đếm được các cực điểm trên D.
Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng Nevan-
linna của một hàm phân hình.
Với mỗi số thực dương x ∈ R
∗
+
, kí hiệu
log
+
x =

log x nếu x ≥ 1
0 nếu 0 < x < 1.

Như vậy
log
+
x = max {log x, 0}
và
log x = log
+
x − log
+
1
x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Cho f : C −→ C là một hàm phân hình, với một số thực R > 0, ta có
1
2π
2π

0
log


f

Re
iϕ




dϕ =
1
2π
2π

0
log
+


f

Re
iϕ



dϕ−
1
2π
2π

0
log
+




1

f (Re
iϕ
)




dϕ.
Định nghĩa 1.4. Hàm
m (R, f) =
1
2π
2π

0
log
+


f

Re
iϕ



dϕ
được gọi là hàm xấp xỉ của hàm phân hình f.
Kí hiệu n(t, f) (tương ứng n(t, f)) là số cực điểm kể cả bội (tương ứng
không kể bội) của hàm f(z) trong đĩa {|z| < t} và n(0, f) = lim

t−→0
n(t, f)
(tương ứng n(0, f) = lim
t−→0
n(t, f)). Khi đó, nếu f(0) = ∞, ta có
R

0
log
R
t
dn (t, f) =
N

ν=1
log




R
b
ν




,
trong đó b
ν

, ν = 1, 2, . . . , N, là các cực điểm của hàm f trong đĩa {|z| ≤ R} .
Thật vậy, trước hết, bằng phương pháp tích phân từng phần ta có
R

0
log
R
t
dn (t, f) = log
R
t
.n (t, f)




R
0
−
R

0
n (t, f) d log
R
t
=
R

0
n (t, f)

dt
t
.
Do hàm f chỉ có hữu hạn cực điểm trong {|z| ≤ R} nên hàm n(t, f)
chỉ nhận một số hữu hạn giá trị nguyên không âm và tăng theo t. Gọi
r
1
, r
2
, . . . , r
n−1
∈ {|b
ν
|, ν = 1, . . . , N} và r
0
, r
n
là các số thực không âm
sao cho 0 = r
0
< r
1
< r
2
< · · · < r
n−1
< r
n
= R và trên mỗi hình vành
khăn {r

j
< |z| ≤ r
j+1
} hàm n(t, f) không đổi. Khi đó
R

0
n (t, f)
dt
t
=
r
1

r
0
n (t, f)
dt
t
+
r
2

r
1
n (t, f)
dt
t
+ +
r

n

r
n−1
n (t, f)
dt
t
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Giả sử
n(t, f) =











0 nếu t ≤ r
1
α
1
nếu r
1
< t ≤ r

2
. . .
α
n−1
= N nếu r
n−1
< t ≤ r
n
= R.
Khi đó ta có
R

0
n(t, f)
dt
t
=
r
1

r
0
0.
dt
t
+
r
2

r

1
α
1
.
dt
t
+ · · · +
r
n

r
n−1
α
n−1
.
dt
t
= α
1
log t



r
2
r
1
+ α
2
log t




r
3
r
2
+ + α
n−1
log t



R
r
n−1
=
N

ν=1
log
R
r
ν
=
N

ν=1
log
R

|b
ν
|
,
trong đó mỗi cực điểm được tính một số lần bằng bội của nó.
Định nghĩa 1.5. Hàm N (R, f) =
N

ν=1
log
R
|b
ν
|
được gọi là hàm đếm (còn
gọi là hàm đếm tại các cực điểm) của hàm f.
Tương ứng với hàm N (R, f) ta có hàm N (R, f) là hàm đếm tại các
cực điểm của hàm f nhưng mỗi cực điểm chỉ được tính đúng một lần.
Định nghĩa 1.6. Hàm
T (R, f) = m (R, f) + N (R, f)
được gọi là hàm đặc trưng của hàm f (còn được gọi là hàm đặc trưng
Nevanlinna).
Một số tính chất
Sử dụng tính chất
log
+






K

i=1
a
i





≤
K

i=1
log
+
|a
i
|
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
và
log
+






K

i=1
a
i





≤ log
+

K max
1≤i≤K
{|a
i
|}

≤
K

i=1
log
+
|a
i
| + log K,
với a
1

, . . . , a
K
là các số phức, áp dụng cho các hàm phân hình f
j
,
j = 1, . . . , p, ta thu được
1) m


R,
p

j=1
f
j


≤
p

j=1
m (R, f
j
) + log p.
2) N


R,
p


j=1
f
j


≤
p

j=1
N (R, f
j
).
3) m


R,
p

j=1
f
j


≤
p

j=1
m (R, f
j
).

4) N


R,
p

j=1
f
j


≤
p

j=1
N (R, f
j
).
5) T


R,
p

j=1
f
j


≤

p

j=1
T (R, f
j
) + log p.
6) T


R,
p

j=1
f
j


≤
p

j=1
T (R, f
j
).
1.2. Định lý cơ bản thứ nhất
Định lý 1.1 (Công thức Poisson-Jensen). Giả sử f(z) là hàm phân hình
trong đĩa {|z| ≤ R} , 0 < R < +∞. Giả sử a
1
, . . . , a
M

là các không điểm kể
cả bội và b
1
, . . . , b
N
là các cực điểm kể cả bội của f(z) trong đĩa {|z| ≤ R}.
Giả sử z = re
iθ
là một điểm thuộc đĩa {|z| ≤ R} sao cho f(z) = 0, ∞.
Khi đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
log |f (z)| =
1
2π
2π

0
log


f

Re
iϕ



R
2

− r
2
R
2
− 2Rr cos (ϕ − θ) + r
2
dϕ
+
M

µ=1
log




R (z − a
µ
)
R
2
− a
µ
z




−
N


ν=1
log




R (z − b
ν
)
R
2
− b
ν
z




.
Từ công thức Poisson-Jensen, ta có thể tính được giá trị |f (z)| tại mọi
điểm trong miền {|z| ≤ R} khi biết |f (z)| trên biên {|z| = R} và các
không điểm, cực điểm của hàm f(z).
Hệ quả 1.1 (Công thức Jensen). Cho f(z) là hàm phân hình trong đĩa
{|z| ≤ R} , 0 < R < ∞. Giả sử a
1
, . . . , a
M
là các không điểm kể cả bội và
b

1
, . . . , b
N
là các cực điểm kể cả bội của f(z) trong đĩa {|z| ≤ R}. Khi đó
nếu f(0) = 0, ∞ ta có
log |f (0)| =
1
2π
2π

0
log


f

Re
iϕ



dϕ +
M

µ=1
log
|a
µ
|
R

−
N

ν=1
log
|b
ν
|
R
. (1.1)
Công thức (1.1) được gọi là công thức Jensen.
Từ công thức Jensen, đối với một hàm phân hình f(z) trên C, ta có
log |f (0)| =
1
2π
2π

0
log
+


f

Re
iϕ



dϕ −

1
2π
2π

0
log
+
1
|f (Re
iϕ
)|
dϕ
+
M

µ=1
log
|a
µ
|
R
−
N

ν=1
log
|b
ν
|
R

.
Từ đó suy ra
log |f (0)| = m (R, f) − m

R,
1
f

− N

R,
1
f

+ N (R, f)
= (m (R, f) + N (R, f)) −

m

R,
1
f

+ N

R,
1
f

= T (R, f) − T


R,
1
f

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Do đó, công thức Jensen trở thành
T

R,
1
f

= T (R, f) − log |f (0)| .
Bây giờ, nếu f(z) là hàm hằng, tức là f(z) = a với a là một hằng số nào
đó, thì
m (R, f) =
1
2π
2π

0
log
+


f


Re
iϕ



dϕ
=
1
2π
2π

0
log
+
|a| dϕ
= log
+
|a| .
và
T (R, f) = m (R, f) + N (R, f) = m (R, f) = log
+
|a| .
Ta có
Bổ đề 1.1. Giả sử f là hàm phân hình, a ∈ C là một hằng số tùy ý, khi
đó
|T (R, f) − T (R, f − a)| ≤ log
+
|a| + log 2.
Chứng minh. Đặt f = (f − a) + a = f
1

+ f
2
với f
1
= f − a, f
2
= a.
Ta có
T (R, f) ≤ T (R, f
1
) + T (R, f
2
) + log 2
= T (R, f − a) + log
+
|a| + log 2.
Từ đó suy ra
T (R, f) − T (R, f − a) ≤ log
+
|a| + log 2.
Ngoài ra
T (R, f − a) ≤ T (R, f) + log
+
|a| + log 2,
kéo theo
T (R, f) − T (R, f − a) ≥ −

log
+
|a| + log 2


.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Vậy
|T (R, f) − T (R, f − a)| ≤ log
+
|a| + log 2.
Bổ đề được chứng minh.
Định lý 1.2 (Định lý cơ bản thứ nhất). Giả sử f là hàm phân hình trong
miền {|z| ≤ R} , a ∈ C là một hằng số tùy ý, khi đó
m

R,
1
f − a

+ N

R,
1
f − a

= T (R, f) − log |f (0) − a| + ε (a, R) ,
trong đó |ε (a, R)| ≤ log
+
|a| + log 2.
Chứng minh. Ta có
m


R,
1
f − a

+ N

R,
1
f − a

= T

R,
1
f − a

= T (R, f − a) − log |f (0) − a|
= T (R, f) − log |f (0) − a| + (T (R, f − a) − T (R, f)) ,
và (T (R, f − a) − T (R, f)) = ε(a, R).
Định lý được chứng minh.
Chú ý. Ta hay dùng định lý cơ bản thứ nhất dưới dạng
m

R,
1
f − a

+ N

R,

1
f − a

= T(R, f) + O(1).
Từ đây về sau, với một hàm phân hình f(z) cố định, đôi khi để cho
ngắn gọn, ta sử dụng các kí hiệu m (r, a) , N (r, a) theo thứ tự thay cho
các kí hiệu m

r,
1
f−a

, N

r,
1
f−a

.
1.3. Định lý cơ bản thứ hai
Định lý 1.3 (Bất đẳng thức cơ bản). Giả sử f(z) là hàm phân hình khác
hằng trong miền {|z| ≤ r} và a
1
, . . . , a
q
, (q ≥ 2) là những số phức tùy ý
đôi một khác nhau, δ > 0 và |a
µ
− a
ν

| ≥ δ với 1 ≤ µ < ν ≤ q. Khi đó ta
có
m (r, f) +
q

j=1
m (r, a
j
) ≤ 2T (r, f) − N
1
(r, f) + S (r, f),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
trong đó
N
1
(r, f) = N

r,
1
f


+ 2N (r, f) − N (r, f

) ,
S (r, f) = m

r,
f


f

+ m

r,
q

ν=1
f

f − a
ν

+ qlog
+
3q
δ
+ log 2 + log
1
|f

(0)|
= o (T (r, f) + log r) .
Định lý 1.4 (Định lý cơ bản thứ hai). Giả sử f(z) là hàm phân hình
trong miền {|z| ≤ r} và a
1
, . . . , a
q
, (q ≥ 2) là những số phức tùy ý đôi một

khác nhau. Khi đó ta có
(q − 1) T (r, f) ≤
q

j=1
N (r, a
j
) + N (r, f) − N
1
(r, f) + S (r, f)
≤ N (r, f) +
q

j=1
N (r, a
j
) − N
0

r,
1
f


+ S (r, f) ,
trong đó S (r, f) = o (T (r, f)) khi r → ∞, r nằm ngoài một tập có độ đo
hữu hạn, N
1
(r, f) = N


r,
1
f


+ 2N (r, f) − N (r, f

), N
0

r,
1
f


là hàm
đếm tại các không điểm của f

mà không là không điểm của f − a
j
với
j = 1, . . . , q.
Chứng minh. Theo bất đẳng thức cơ bản ta có
m (r, f) +
q

j=1
m (r, a
j
) ≤ 2T (r, f) − N

1
(r, f) + S (r, f) .
Cộng vào hai vế đại lượng N (r, f) +
q

j=1
N (r, a
j
) ta có
(m (r, f) + N (r, f)) +
q

j=1
(m (r, a
j
) + N (r, a
j
))
≤ 2T (r, f) +
q

j=1
N (r, a
j
) + N (r, f) − N
1
(r, f) + S (r, f) .
Mặt khác
m (r, f) + N (r, f) = T (r, f)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
và
m (r, a
j
) + N (r, a
j
) = m

r,
1
f − a
j

+ N

r,
1
f − a
j

= T

r,
1
f − a
j

= T (r, f − a
j
) + O (1)

= T (r, f) + O (1) .
Điều đó kéo theo
T (r, f) +
q

j=1
(T (r, f) + O (1))
≤ 2T (r, f) +
q

j=1
N (r, a
j
) + N (r, f) − N
1
(r, f) + S (r, f) ,
hay
(q − 1) T (r, f) ≤
q

j=1
N (r, a
j
) + N (r, f) − N
1
(r, f) + S (r, f) .
Lại có
N (r, f) +
q


j=1
N (r, a
j
) − N
1
(r, f) + S (r, f)
=
q

j=1
N (r, a
j
) − N

r,
1
f


+ N (r, f

) − N (r, f) + S (r, f) .
Vì
N (r, f

) = N (r, f) + N (r, f) ⇒ N (r, f

) − N (r, f) = N (r, f) . (1.2)
Ngoài ra
q


j=1
N (r, a
j
) − N

r,
1
f


=
q

j=1
N (r, a
j
) − N
0

r,
1
f


. (1.3)
Thật vậy, giả sử b là nghiệm bội k > 1 của phương trình f = a
j
,
j = 1, . . . , q thì b là nghiệm bội (k − 1) của phương trình f


= 0.
Ta có
q

j=1
N (r, a
j
) =

b
log
r
|b|
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Với mỗi b bội k > 1 thì đại lượng log
r
|b|
được tính k lần trong
q

j=1
N (r, a
j
)
và (k − 1) lần trong N

r,

1
f


.
Vậy log
r
|b|
được tính đúng 1 lần trong hiệu
q

j=1
N (r, a
j
) − N

r,
1
f


.
Chú ý rằng N

r,
1
f


=


b
log
r
|b|
+

b

log
r
|b

|
trong đó b là nghiệm của
phương trình f = a
j
, j = 1, . . . , q và b

là nghiệm của phương trình f

= 0
nhưng không là nghiệm của phương trình f = a
j
, j = 1, . . . , q. Vậy có
(1.3).
Kết hợp (1.2) và (1.3) ta có
q

j=1

N (r, a
j
) − N

r,
1
f


+ N (r, f

) − N (r, f) + S (r, f)
= N (r, f) +
q

j=1
N (r, a
j
) − N
0

r,
1
f


+ S (r, f) .
Vậy
(q − 1) T (r, f) ≤ N (r, f) +
q


j=1
N (r, a
j
) − N
0

r,
1
f


+ S (r, f) .
Định lý được chứng minh.
1.4. Định lý 5 điểm của Nevanlinna
Cho f là hàm chỉnh hình hoặc phân hình trên C và a ∈ C. Nếu a hữu
hạn ta kí hiệu
E (a, f) = {(z, n) ∈ C × N|f(z) = a bội n}
là tập hợp các không điểm của f − a kể cả bội.
E (a, f) = {z ∈ C|f (z) = a}
là tập hợp các không điểm của f − a không kể bội.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Trường hợp a = ∞, ta đặt
E (∞, f) = E

0,
1
f


;
E (∞, f) = E

0,
1
f

;
Giả sử S ⊂ C ta kí hiệu
E (S, f) =

a∈S
E (a, f)
và
E (S, f) =

a∈S
E (a, f).
Định nghĩa 1.7. Nếu E (a, f) = E (a, g) thì ta nói f và g chung nhau
giá trị a kể cả bội, nếu E (a, f) = E (a, g) thì ta nói f và g chung nhau
giá trị a không kể bội.
Định lý 1.5 (Định lý 5 điểm). Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác
hằng trên C. Nếu tồn tại 5 giá trị phân biệt a
1
, a
2
, . . . , a
5
∈ C sao cho
E (a

j
, f) = E (a
j
, g) , j = 1, , 5
thì f ≡ g.
Chứng minh. Ta có
{z |f (z) = a
j
} = {z |g (z) = a
j
} , ∀j = 1, , 5
nên
N

r,
1
f − a
j

= N

r,
1
g − a
j

và gọi chung là N
j
(r) .
Theo Định lý cơ bản thứ 2 của Nevanlinna áp dụng cho 5 điểm a

1
, . . . , a
5
ta được
4T (r, f) ≤
5

j=1
N (r, a
j
) + N (r, f) + S (r, f) ,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
mà
N (r, f) ≤ N (r, f) ≤ T (r, f) .
Do đó
4T (r, f) ≤
5

j=1
N (r, a
j
) + T (r, f) + S (r, f) ,
hay
3T (r, f) ≤
5

j=1
N (r, a
j

) + S (r, f) . (1.4)
Tương tự với hàm g ta có
3T (r, g) ≤
5

j=1
N
j
(r) + S (r, g) . (1.5)
Cộng (1.4) và (1.5) ta được
3 (T (r, f) + T (r, g)) ≤ 2
5

j=1
N
j
(r) + S (r, f) + S (r, g). (1.6)
Giả sử f và g là hai hàm phân hình phân biệt khác hằng số. Do f −g =
0 nên
1
f−g
cũng là hàm phân hình. Theo Định lý cơ bản thứ nhất của
Nevanlinna ta có
T

r,
1
f − g

= T (r, f − g) + o (T (r, f − g))

≤ T (r, f) + T (r, g) + o (T (r, f) + T (r, g)) .
Ta thấy nếu f = a
j
thì g = a
j
nên f − g = 0. Do đó các điểm mà tại
đó f = g = a
j
đều là cực điểm của hàm
1
f−g
. Từ đó
T

r,
1
f − g

≥ N

r,
1
f − g

≥
5

j=1
N


r,
1
f − a
j

=
5

j=1
N
j
(r).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Vậy ta có
T (r, f) + T (r, g) ≥ T

r,
1
f − g

+ o (T (r, f) + T (r, g))
≥
5

j=1
N
j
(r) + o (T (r, f) + T (r, g)) .
Kết hợp với (1.6) ta có

2
3
5

j=1
N
j
(r) ≥
5

j=1
N
j
(r) + S (r, f) + S (r, g) ,
hay
1
3
5

j=1
N
j
(r) ≤ S (r, f) + S (r, g) .
Điều vô lý này chứng tỏ f = g.
Chú ý rằng, số 5 trong Định lý 5 điểm là số nhỏ nhất có thể, tức là tồn
tại những hàm phân hình phân biệt, khác hằng chung nhau p ≤ 4 giá trị
phân biệt. Chẳng hạn: hai hàm f(z) = e
z
và g(z) = e
−z

chung nhau 4 giá
trị 0, 1, −1, ∞; hai hàm f = e
h(z)
và g =
1
2

e
h(z)
+ a
2
1
e
h(z)

chung nhau 3
giá trị a
1
= 0, a
2
= −a
1
, ∞.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Chương 2
VỀ HÀM PHÂN HÌNH CHUNG
NHAU HAI TẬP HỢP
Ta đã nói trong phần mở đầu, Định lý năm điểm của R. Nevanlinna là
khởi nguồn cho các công trình về tập xác định duy nhất cho các hàm phân

hình. Trong kết quả đó, Ông xem xét sự xác định duy nhất một hàm phân
hình thông qua ảnh ngược của 5 điểm rời rạc. Về sau F.Gross (xem [3])
đặt vấn đề nghiên cứu sự xác định duy nhất của hàm phân hình chung
nhau các tập hợp thay vì các giá trị rời rạc.
Các kết quả theo hướng này phải kể đến công trình của F.Gross và
C.C.Yang (năm 1982, xem [5]). Trong công trình này, các tác giả đã chỉ
ra rằng hai hàm nguyên khác hằng f và g thỏa mãn E (S, f) = E (S, g)
là đồng nhất, trong đó S = {ω ∈ C |ω + e
ω
= 0}. Chú ý rằng tập S trong
trường hợp này gồm vô hạn giá trị. Năm 1994, H.Yi đã chứng minh tập
S
Y
= {z ∈ C|z
n
+ az
m
+ b = 0},
trong đó n ≥ 15, n > m ≥ 5, a, b là các hằng số khác 0 sao cho phương
trình z
n
+ az
m
+ b = 0 không có nghiệm bội, là URS cho các hàm nguyên
trên C. Năm 1998, G. Frank và M. Reinders (xem [2]) đã chứng minh với
mọi n ≥ 11, c /∈ {0, 1}, tập hợp
S
F R
= {z ∈ C|
(n − 1)(n − 2)

2
z
n
− n(n − 2)z
n−1
+
n(n − 1)
2
z
n−2
− c = 0}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
là URS cho các hàm phân hình trên C. Từ đó đến nay, các nhà toán học
đã tìm cách đưa thêm một số điều kiện để giảm số phần tử trong tập URS
cho các hàm phân hình và tiếp tục nghiên cứu theo hai hướng: tìm URS
với số phần tử ít nhất có thể và tìm các điều kiện về tôpô, hình học hay
đại số để một tập là URS cho các hàm phân hình. Các kết quả nghiên cứu
về vấn đề này đã hình thành nên lý thuyết tập duy nhất. Trong phần này,
chúng tôi trình bày một số kết quả nghiên cứu mới của các tác giả trong
lý thuyết tập duy nhất.
2.1. Một số khái niệm và kí hiệu
Trước hết chúng tôi giới thiệu thêm một số hàm đếm cần thiết cho các
chứng minh trong chương này.
Cho f là một hàm phân hình trên C và a ∈ C. Với một số nguyên
dương k, kí hiệu n
k)
(r,
1
f − a

) là số không điểm kể cả bội, chỉ tính đến
những không điểm có bội nhỏ hơn hoặc bằng k, của hàm f − a trong đĩa
{|z| < r}, n
(k+1
(r,
1
f − a
) là số không điểm kể cả bội, chỉ tính đến những
không điểm có bội lớn k, của hàm f − a trong đĩa {|z| < r}, n
k)
(r,
1
f − a
)
là số không điểm không kể bội, chỉ tính đến những không điểm có bội nhỏ
hơn hoặc bằng k, của hàm f − a trong đĩa {|z| < r}, n
(k+1
(r,
1
f − a
) là
số không điểm không kể bội, chỉ tính đến những không điểm có bội lớn k,
của hàm f − a trong đĩa {|z| < r}. Dễ thấy rằng
n(r, f) = n
k)
(r,
1
f − a
) + n
(k+1

(r,
1
f − a
);
n(r, f) = n
k)
(r,
1
f − a
) + n
(k+1
(r,
1
f − a
).
Kí hiệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
N
k)
(r,
1
f − a
) =

r
0
n
k)
(t,

1
f − a
) − n
k)
(0,
1
f − a
)
t
dt + n
k)
(0,
1
f − a
) log r;
N
(k+1
(r,
1
f − a
) = N(r,
1
f − a
) − N
k)
(r,
1
f − a
);
N

k)
(r,
1
f − a
) =

r
0
n
k)
(t,
1
f − a
) − n
k)
(0,
1
f − a
)
t
dt + n
k)
(0,
1
f − a
) log r;
N
(k+1
(r,
1

f − a
) = N(r,
1
f − a
) − N
k)
(r,
1
f − a
),
trong đó
n
k)
(0,
1
f − a
) = lim
t−→0
n
k)
(t,
1
f − a
);
n
k)
(0,
1
f − a
) = lim

t−→0
n
k)
(t,
1
f − a
).
Định nghĩa 2.1. Các hàm N
k)
(r,
1
f − a
), N
k)
(r,
1
f − a
) được gọi là các
hàm đếm kể cả bội (tương ứng không kể bội) tại những không điểm có bội
nhỏ hơn hay bằng k. N
(k+1
(r,
1
f − a
), N
(k+1
(r,
1
f − a
) được gọi là các hàm

đếm kể cả bội (tương ứng không kể bội) tại những không điểm có bội lớn
hơn k.
Tiếp theo ta xem xét một số kí hiệu về tập xác định duy nhất. Cho f
là một hàm phân hình trên C và a ∈ C. Với một số nguyên dương k, nếu
a hữu hạn, ta kí hiệu E
k)
(a, f) là tập các không điểm của f − a với bội
nhỏ hơn hoặc bằng k, kể cả bội. Tức là
E
k)
(a, f) = {(z, n) ∈ C × N|f(z) = a bội n với n ≤ k}.
Hiển nhiên, theo kí hiệu trên,
E (a, f) = E
+∞)
(a, f) .
Trường hợp a = ∞, ta đặt
E
k)
(∞, f) = E
k)
(0,
1
f
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Hiển nhiên, với a ∈ C,
E
k)
({a} , f) = E

k)
(a, f) .
Định nghĩa 2.2. Tập hợp S ⊂ C được gọi là tập xác định duy nhất, kí
hiệu là URS (không kể bội, kí hiệu là URSIM) cho các hàm phân hình nếu
với mọi cặp hàm phân hình khác hằng f, g, điều kiện
E(S, f) = E(S, g) (tương ứng E(S, f) = E(S, g))
dẫn đến f ≡ g.
Nếu S là tập xác định duy nhất (kể cả bội) của các hàm phân hình f
và g thì ta cũng nói f và g là hai hàm phân hình chung nhau tập S. Dễ
thấy, nếu S chỉ gồm một phần tử thì định nghĩa trên trùng với định nghĩa
hàm phân hình chung nhau các giá trị.
Nhận xét. Điều kiện E
k)
(S, f) = E
k)
(S, g) hiển nhiên kéo theo
E
j)
(S, f) = E
j)
(S, g) với mỗi 1 ≤ j ≤ k.
Để hiểu rõ hơn định nghĩa trên, ta xét một số ví dụ sau
Ví dụ 2.1. Tập S = {ω ∈ C |ω + e
ω
= 0} là tập xác định duy nhất các
hàm nguyên.
Ví dụ 2.2. Xét tập S = {−9, −5} và hai hàm
f (x) = x
2
− 6x, g (x) = −x

2
+ 6x − 14.
Ta có: Phương trình f(x) = −9 có nghiệm x = 3 bội 2.
Phương trình f(x) = −5 có nghiệm đơn x = 1, x = 5.
Phương trình g(x) = −9 có nghiệm đơn x = 1, x = 5.
Phương trình g(x) = −5 có nghiệm x = 3 bội 2.
Do đó E (S, f) = E (S, g) = {(1; 1) , (5; 1) , (3; 2)} nhưng f = g.
Vậy S không là tập xác định duy nhất các hàm phân hình.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Ví dụ 2.3. Xét tập S =

z ∈ C


z
7
− z
6
− 1 = 0

và hai hàm
f(z) =
e
z
+ e
2z
+ + e
6z
1 + e

z
+ + e
6z
,
g (z) =
1 + e
z
+ e
2z
+ + e
5z
1 + e
z
+ + e
6z
.
Ta có f = e
z
g. Ngoài ra
f
7
− f
6
= f
6
(f − 1) = e
6z
g
6
(f − 1) = −

e
6z
g
6
1 + e
z
+ + e
6z
và
g
7
− g
6
= g
6
(g − 1) = −
e
6z
g
6
1 + e
z
+ + e
6z
.
Vậy f
7
− f
6
= g

7
− g
6
, điều đó chứng tỏ E(S, f) = E(S, g) nhưng f = g
nên S không là tập xác định duy nhất các hàm phân hình.
Chú ý. Tập S =

z ∈ C


z
7
− z
6
− 1 = 0

không là tập xác định duy nhất
các hàm phân hình nhưng lại là tập xác định duy nhất các hàm nguyên
(xem [7]).
2.2. Tập xác định duy nhất các hàm phân hình
Để chứng minh các kết quả chính về tập xác định duy nhất, trước hết
ta cần các bổ đề sau.
Bổ đề 2.1 (xem [1]). Cho đa thức
P (ω) = aω
n
− n (n − 1) ω
2
+ 2n (n − 2) bω − (n − 1) (n − 2) b
2
, (2.1)

trong đó n ≥ 3 là một số nguyên và a, b là hai số phức khác 0 thỏa mãn
ab
n−2
= 2. Khi đó P (ω) chỉ có các không điểm đơn.
Chứng minh. Xét hàm hữu tỷ
R (ω) =
aω
n
n (n − 1) (ω − α) (ω − β)
, (2.2)
trong đó α, β là hai nghiệm phân biệt của
n (n − 1) ω
2
− 2n (n − 2) bω + (n − 1) (n − 2) b
2
= 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Từ (2.2) ta có
R

(ω) = a
nω
n−1
(ω − α) (ω − β) − ((ω − α) + (ω − β)) aω
n
n (n − 1) (ω − α)
2
(ω − β)
2

=
aω
n−1
(n (ω − α) (ω − β) − ω (2ω − (α + β)))
n (n − 1) (ω − α)
2
(ω − β)
2
=
aω
n−1
n − 1

n (n − 1) ω
2
− 2n (n − 2) bω + (n − 1) (n − 2) b
2

n (n − 1) (ω − α)
2
(ω − β)
2
+
aω
n−1
n − 1

−2ω
2
(n − 1) + 2 (n − 2) bω


n (n − 1) (ω − α)
2
(ω − β)
2
=
aω
n−1
(n − 2) (ω − b)
2
n (n − 1) (ω − α)
2
(ω − β)
2
.
Suy ra R

(ω) chỉ có nghiệm ω = 0 bội (n − 1) và ω = b bội 2.
Hơn nữa
R(0) = 0
và
R (b) =
ab
n
n (n − 1) (b − α) (b − β)
=
ab
n
n (n − 1) (b
2

− (α + β) b + αβ)
=
ab
n
n (n − 1)
1

b
2
−
2 (n − 2)
n − 1
b
2
+
n − 2
n
b
2

=
ab
n−2
2
= 0.
Suy ra R (ω) −
ab
n−2
2
= 0 có một nghiệm là ω = b.

Từ đó ω = 0 là nghiệm bội n của R(ω) = 0 và ω = b là nghiệm bội 3
của R (ω) −
ab
n−2
2
= 0. Do đó
R (ω) −
ab
n−2
2
=
a(ω − b)
3
Q
n−3
(ω)
n (n − 1) (ω − α) (ω − β)
,
trong đó Q
n−3
(ω) là một đa thức bậc n − 3.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên