SKKN khai thác từ kết quả một bài toán

SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU
Mục
1

Tên đề mục

Trang
2

Lý do chọn đề tài

2

Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

2

3

Đối tượng nghiên cứu

3

4

Phạm vi nghiên cứu

3

5

Phương pháp nghiên cứu

3

PHẦN II: NỘI DUNG
Mục
1

Tên đề mục
Cơ sở lý luận để thực hiện đề tài

Trang
3

2

Thực trạng

3

3

Giải pháp, biện pháp, nội dung

6

4

Kết quả

20
PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Mục
1

Tên đề mục
Kết luận

Trang
22

2

Kiến nghị

22

3

Tài liệu tham khảo

26
PHẦN I: MỞ ĐẦU

I.1./ Lý do chọn đề tài:
Hiện nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới, trước yêu cầu phát triển

kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước. Hướng đổi mới

Kim Nhân

1

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

của giáo dục và đào tạo là đào tạo con người năng động, sáng tạo, chủ động trong học
tập, dễ thích ứng với cuộc sống và lao động. Bên cạnh việc dạy cho học sinh (HS)
nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức, giáo viên (GV) còn phải dạy cho HS biết
suy nghĩ, tư duy sáng tạo, biết tạo cho HS có nhu cầu nhận thức trong quá trình học
tập. Từ nhu cầu nhận thức sẽ hình thành động cơ thúc đẩy quá trình học tập tự giác,
tích cực và tự lực trong học tập để chiếm lĩnh tri thức. Những thành quả đạt được sẽ
tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ đó mà những kiến thức sẽ trở thành “tài sản
riêng” của các em. HS không những nắm vững, nhớ lâu mà còn biết vận dụng tốt
những tri thức đạt được để giải quyết những vấn đề nảy sinh trong học tập, trong thực
tế cuộc sống và lao động mai sau. Đồng thời, HS có phương pháp học trên lớp học và
phương pháp tự học để đáp ứng được sự đổi mới thường xuyên của khoa học công
nghệ ngày nay.
Trong quá trình dạy học Toán nói chung , người dạy và người học cần phải tạo ra cho
mình một thói quen là: Sau khi đã tìm được lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức
tạp, cần tiếp tục suy nghĩ, lật lại vấn đề để tìm kết quả mới hơn. Tìm được cái mới
hơn rồi, lại tiếp tục đi tìm cái mới hơn nữa hoặc đi tìm mối liên hệ giữa các vấn đề, . .
cứ như thế chúng ta sẽ tìm ra được những kết quả thú vị.
Đã từng giảng dạy toán và hiện đang dạy toán lớp 8, tôi đã tích cực tự bồi dưỡng và
hướng dẫn các em HS bồi dưỡng kiến thức nâng cao, luôn quan tâm đến việc khai

thác bài toán. Với các lí do trên, tôi xin trình bày đề tài “Khai thác từ kết quả một bài
toán ” hi vọng góp phần vào giải quyết vấn đề trên.
I. 2./ Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
Củng cố và phát triển cho học sinh lớp 8 một số kiến thức để giải một bài toán
và khai thác chúng. Cũng từ đó mà phát triển tư duy lôgic cho học sinh, phát triển
năng lực giải toán cho các em, giúp cho bài giải của các em hoàn thiện hơn, chính xác
hơn và còn giúp các em tự tin hơn khi làm toán.

I. 3/ Đối tượng nghiên cứu: HS lớp 8ª1; 8ª2 THCS Lê Đình Chinh
Kim Nhân

2

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

I.4/ Giới hạn phạm vi nghiên cứu:
Các bài toán trong chương trình toán lớp 8.
I.5./ Các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo
khoa, sách tham khảo…
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm ở những lớp học sinh trước để rút kinh nghiệm
cho lớp học sinh sau.
PHẦN II: NỘI DUNG
II.1./ Cơ sở lý luận:
Đặc điểm của lứa tuổi HS THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự mình
khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt
động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có

sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy, cô giáo. Hình
thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho HS là một quá trình lâu dài.
* Tư duy tích cực, độc lập sáng tạo của HS được thể hiện ở một số mặt sau:
- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rập
khuôn, máy móc.
- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ở
nhiều khía cạnh.
- Có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Liệu có cách nào khác
nữa không? Các trường hợp khác thì kết luận còn đúng hay không? …
- Tính độc lập còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề.
- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết.
* Khai thác, phát triển kết quả một bài toán nói chung có nhiều hướng như:
- Nhìn lại toàn bộ các bước giải. Rút ra phương pháp giải một loại toán nào đó. Rút ra
các kinh nghiệm giải toán.

Kim Nhân

3

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

- Tìm thêm các cách giải khác.
- Khai thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán, đề xuất các bài toán mới.
II. 2./ Thực trạng:
a.Thuận lợi - Khó khăn:
* Thuận lợi : Khi thực hiện đề tài thuận lợi lớn nhất của tôi đó chính là HS, dạng khai
thác bài toán như thế này là dạng hơi khó nhưng các em đã cố gắng chăm chú lắng

nghe đặc biệt là các em HS giỏi luôn thích tìm tòi và thường xuyên đặt câu hỏi cho tôi
để tôi gợi mở khi các em thực hiện
* Khó khăn:
- Đa số HS, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài lòng và
dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, không sáng tạo
gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
b. Thành công – hạn chế:
* Thành công : Qua quá trình thực hiện đề tài ( Chỉ là một sáng kiến nho nhỏ) nhưng
đến nay thì 1 số em HS như em : Nguyễn Thị Nga lớp 8ª2 ; Em : Lê Thị Duyên lớp
8ª1... đã phần nào thành thạo trong quá trình giải xong bài toán rồi thì lại tò mò tìm lời
giải mới hoặc tiếp tục tự đặt đề bài cho mình tự giải.
* Hạn chế: Điều hạn chế của đề tài này là các em HS yếu của lớp, các em chưa thực
sự thấy thích thú với dạng toán này vì việc làm này đòi hỏi trí óc phải hoạt động thực
sự nhanh nhạy, với lại thời gian trên lớp quá ít.
c./ Mặt mạnh – mặt yếu:
* Mặt mạnh : Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với
nhau, phát triển một bài toán sẽ giúp cho HS khắc sâu được kiến thức. Quan trọng hơn
là nâng cao được tư duy cho các em HS, giúp HS có hứng thú hơn khi học toán.
* Mặt yếu: Không ít HS thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù
hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao. Một
số bài toán tuy không biết giải nhưng vẫn không chịu hỏi thầy cô.
Kim Nhân

4

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

d./ Nguyên nhân:
- Đa số HS, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài lòng
và dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, không sáng
tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân. Mặt
khác các em khi học trên lớp thì còn hơi ngại rất ít khi hỏi thêm thầy cô về bài toán đã
giải, thậm chí có HS không biết cách giải mà còn không hỏi thầy cô huống gì còn đi
khai thác thêm bài toán.
e. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đề ra:
Qua quá trình công tác giảng dạy, tôi thấy:
- Học sinh học không đi đôi với hành, làm cho bản thân HS ít được củng cố, khắc sâu
kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó
năng lực cá nhân không được phát huy hết.
- HS còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc. Từ đó dẫn đến làm mất đi tính tích
cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Một số GV chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài toán
trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác dạy học nói chung.
Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và
học sao cho phù hợp và ngày càng có chiều hướng tích cực hơn.
Phân tích nguyên nhân:
* HS không giải được:
- HS chưa biết liên hệ giữa kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao
- Chưa có tính sáng tạo trong giải toán và khả năng vận dụng kiến thức chưa linh hoạt
- HS chưa được trang bị đầy đủ về phương pháp giải dạng toán này
* HS giải được:
- Trình bày lời giải chưa chặt chẽ , mất nhiều thời gian
Kim Nhân

5

THCS Lê Đình Chinh

SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

- Chưa sáng tạo trong vận dụng kiến thức
Trước khi thực hiện đề tài qua khảo sát điều tra tôi thu được kết quả như sau:
Số h/s

Số h/s giải được

Số h/s có cách giải chưa

Số h/s không giải được

hợp lý

8ª1

8ª2

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

3

10%

5

16%

23

74%

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

2

7%

3

10%

25

83%

II.3./ Giải pháp , biện pháp :
a. Mục tiêu của giải pháp,biện pháp :
Qua những bài toán mà HS đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy, tập trung
nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó. Bằng các hình thức như:
- Kiểm tra kết quả. Xem xét lại các lập luận.
- Nghiên cứu, tìm tòi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như:

Liệu bài toán

còn có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để đề xuất bài toán
mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào khác không? . . ..
Trong đề tài này, tôi xin minh hoạ bằng cách khai thác, phát triển từ kết quả một bài
toán quen thuộc. Tôi xin đưa 2 bài toán gốc là 2 bài tập ở SGK Đại số lớp 8 và một số
ví dụ nhằm giúp HS thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán. Từ đó, giúp
HS tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán , giúp HS thêm yêu thích, nâng cao
chất lượng, kết quả học tập môn toán.
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp,biện pháp :
Việc khai thác và hình thành cho học sinh cách tự đặt đề bài tương tự là cách
tôi thường xuyên áp dụng nên khi dạy đến bài tập 18 trang 11 SGK Toán 8 Tập 1 và
Bài tập 32 SGK Toán 8 tập 1 trang 50 thì tôi nảy ra ý định làm một sáng kiến nho nhỏ
Kim Nhân

6

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

là từ kết quả của một bài toán hết sức đơn giản ban đầu, nếu chịu khó suy xét tiếp thì
ta có thể khai thác theo nhiều khía cạnh như: Tìm lời giải khác, phát triển bài toán, tạo
ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác. Theo tôi, một phần rất quan trọng khi
khai thác, phát triển bài toán đó là LỜI DẪN. Từ bài toán gốc, giáo viên phải có lời
dẫn để đến với các bài toán khác. Hay nói cách khác là VÌ SAO lại có được bài toán
này (thay cái gì, thêm cái gì....).

* Các biện pháp cụ thể tiến hành để giải quyết vấn đề:
- Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải tốt các bài tập cơ bản
trong sách giáo khoa và sách bài tập.
- Giáo viên đưa ra bài toán gốc và các bài toán hệ quả. Học sinh dựa vào bài
toán gốc để giải quyết, hoặc có thể hướng dẫn học sinh “tìm nhiều lời giải cho
một bài toán”
- Hướng dẫn học sinh liên hệ vận dụng phương pháp “Sử dụng bài toán gốc”
- Sau đây là một hệ thống bài toán mà tôi đã áp dụng cho học sinh trường tôi.
Nội dung các bài toán như sau:
* Phương pháp sử dụng bài toán gốc:
3.1. Bài toán gốc 1:
Bài tập 32 SGK Toán 8 tập 1 trang 50:
Đố em tính tổng sau:
S=

1

1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
x ( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6)

Hướng dẫn :
1
1
1
= −
x( x + 1) x x + 1
1
1
1
=
−
( x + 1)( x + 2) x + 1 x + 2

......................
1
1
1
=

−
( x + 5)( x + 6) x + 5 x + 6

Kim Nhân

7

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

1

1

6

Vậy: S = x − x + 6 = x( x + 6)
Nếu không có thời gian thì cũng không cần yêu cầu học sinh làm bài này trên
lớp. GV có thể hướng dẫn HS về nhà làm, Khai thác bài toán như sau:
a. Khai thác 1: Nếu GV muốn rèn thêm cho HS cách phân tích đa thức thành nhân tử
thì có thể khai thác bài toán sau:
Bài toán 1.1: Rút gọn biểu thức sau :
S=

1
1
1
1

1
1
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
x + x x + 3 x + 2 x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 x + 11x + 30
2

* Hướng giải:
S=
=

1
1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
x + x x + 3 x + 2 x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 x + 11x + 30
2

1
1

1
1
1
1
+
+
+
+
+
x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6)

b. Khai thác 2: Còn nếu GV muốn vận dụng bài toán 1 vào giải phương trình thì thêm
1
vào vế phải như sau:
x+6

Bài toán 1.2: Giải phương trình:
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
=

(1)
x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) x + 6

* Hướng giải: ĐKXĐ : x ∉ { 0; −1; −2; −3; −4; −5; −6}
1
x

Rút gọn vế trái : VT= −
(1) ⇔

1
, Khi đó :
x+6

6− x
1
2
= 0 ⇒ x = 6 (TM ĐK)
−
=0 ⇔
x( x + 6)
x x+6

Vậy pt (1) có một nghiệm là: x = 6
c. Khai thác 3: Muốn dẫn học sinh giỏi vào dạng toán tìm cực trị thì yêu cầu HS làm
bài tập sau:
Bài toán 1.3: Tìm GTLN của biểu thức:

Kim Nhân

8

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

B=

1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6)

* Hướng giải: Rút gọn A =

6
x + 6x
2

Vì: x 2 + 6 x = ( x + 3)2 − 9 ≥ −9∀x
2

3

Nên A ≥ 6: (-9) = − . Vậy MaxA = −

2
tại x = - 3
3

d. Khai thác 4: Ta có thể mở rộng bài toán với số lớn hơn và yêu cầu HS tính giá trị
biểu thức
Bài toán 1.4: Tính giá trị biểu thức tại x =
1

1

1
2010

1

1

S = x( x + 1) + ( x + 1)( x + 2) + ( x + 2)( x + 3) + ... + ( x + 2009)( x + 2010)
2010

Kết quả: S = x( x + 2010)
Tại x =

1
thì S = 2009,999502

2010

*Ứng dụng quy luật trên vào tính giá trị các biểu thức số:
Bài toán 1. 5: Tính tổng
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
1 .2 2 .3 3 .4 4 .5
2009.2010
1
2009
=
Kết quả: S = 12010 2010

S=

• Tổng quát hóa bài toán 1-5 ta có:
Bài toán 1- 6: Tính tổng
1

1

1

1

1

S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + n( n + 1)
Kết quả: S = 1 -

với n ∈ N*

1
n
=
n +1 n +1

• Dùng phép tương tự ta xét đặc điểm mẫu các phân thức: Mỗi phân thức có tử thức
bằng 1 và mẫu thức là tích của hai nhân tử “hơn kém nhau 2 đơn vị ”
Hoặc “hơn kém nhau 3; 4; 5;... đơn vị ”để từ đó ta có các dạng bài toán khác:
Bài toán 1- 7: Tính các tổng sau:
Kim Nhân

9

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

1
1
1

1
+
+
+ ... +
1 .3 3 .5 5 .7
2009.2011
1
1
1
1
B = 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + ( 2n + 1)( 2n + 3) với n ∈ N

A=

Hướng giải:
1
1 1 1 
=  − 
1.3 2  1 3 
1
11 1
=  − 
3.5 2  3 5 

...
1
1 1
1 
= 
−


2009.2011 2  2009 2011 
1
1  1005
=
Suy ra A = 1 −
2  2011  2011
1
1 
n +1
=
B = 1 −
2  2n + 3  2n + 3

Bài toán 1 - 8: Tính các tổng sau:
1

1

1

1

M = 2.5 + 5.8 + 8.11 + ... + ( 3n + 2)( 3n + 5) với n ∈ N
1 1

1



n +1

HD: Khai triển tương tự ta có kết quả: M = 3  2 − 3n + 5  = 2(3n + 5)


• Nếu tiếp tục biến đổi bằng cách thay tử của các bài toán 1-5 đến 1-8 thành những
số khác 1 và tổng quát lên ta được những bài toán thú vị hơn .
Bài toán 1 - 9: Tính tổng sau:
a

a

a

S = b .b + b .b + ... + b .b
với bk+1 - bk = b và a; b ; k ∈ N*
1 2
2 3
k k +1
Hướng Dẫn : Phân tích tương tự :
S=

a
a 1
1 
 và được kết quả
=  −
bk .bk +1 b  bk bk +1 

a 1

1 
ab −b 
 −
 =  k +1 1 
b  b1 bk +1 
b  b1.bk +1 

• Nếu thay đổi mẫu thức thành tích 3;4;5 ... nhân tử “cách đều nhau” thì ta có bài
toán sau:
Bài toán 1 - 10:

Kim Nhân

10

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

Tớnh M =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5

2007.2008.2009

Giải:
2
2
2
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4
2007.2008.2009
1   1
1 
1
1
1
 1

 1
−
= −
=  −  +  −  + ... + 
 1.2 2.3   2.3 3.4 
 2007.2008 2008.2009  2 2008.2009
2017035
=> M = 0,249999876 =
8068144

a)

2M=

• Nếu tổng quát lên thì ta có bài toán sau
1

1

1

Bài toán 1 - 11: Tớnh N = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n − 1)n(n + 1)
Hướng giải:
Chú ý rằng
Thì N =

2
1
1
=
−
(n − 1)n(n + 1) (n − 1)n n( n + 1)

11
1 
 −

2  2 n(n + 1) 

• Nếu ta nâng mẫu lên lũy thừa thì ta có bài toán sau:
Bài toán 1 - 12: Tính
3

5

2n + 1

E = ( ) 2 + ( ) 2 + ... + (
2 với n = 1;2;3...
1.2
2.3
n(n + 1) )
Hướng giải:

2n + 1
1
1
= 2−
2
[ n( n + 1) ] n ( n + 1) 2
1
n( n + 2 )
=
Thỡ E = 1 - (
2
( n + 1) 2
n + 1)

Chỳ ý rằng

• Nếu ta muốn cho HS vào giải phương trình ta có:
Bài toán 1 -13: Giải phương trình ẩn x sau đây:
1 1 1

1
2009
+ + + ... +
=
x( x + 1) 2011 (1)
3 6 10
2

ĐK : x ≠ 0 và x ≠ -1 (*)

Hướng giải :
2

2

2

2

2009

Phương trình (1) <=> 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + x( x + 1) = 2011
Kim Nhân

11

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "


=> 2  −

1  2009
=
x + 1  2011

1
2

=> 1-

2
2009
=
x + 1 2011

=>

2
2
=
x + 1 2011

=> x = 2010 (Thỏa mãn ĐK (*) )
• Bài toán 1 có liên quan gì đến bất đẳng thức hay không ?
- Hoặc khai thác thêm ta được một bài toán cũng thường làm cho ta đau đầu nếu chủ
quan không chuẩn bị trước khi lên lớp bồi dưỡng:
Bài toán 1 – 14:

Chứng minh rằng

1
1
1
1
2
+
+
+ ... +
<
víi n ∈ N*
1.1.3 2.3.5 3.5.7
(2n − 1)n(2n + 1)
3

Hướng giải:
1

1

Vì (2n − 1)n(2n + 1) < (2n − 1)(2n + 1)
1

1

1

1

1

1

1

1

=>S = 1.1.3 + 2.3.5 + 3.5.7 + ... + (2n − 1)n(2n + 1) < 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + (2n − 1)(2n + 1) = P
2

2

2

2

1

1

Mà 2P = 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + (2n − 1)(2n + 1) = 1 − 2n + 1 < 1 ⇔ P < 2
=> S <

2
(đpcm)
3

- Còn nếu chú ý rằng ∀n > 1 thì (2n-1)n(2n+1) > n(n+1)(n+2)

=>

1
1
<
( 2n − 1) n( 2n + 1) n( n + 1)( n + 2) và kết hợp với bài toán 1 – 13 ta được:

Bài toán 1 – 14a:

Chứng minh rằng

1
1
1
1
5
+
+
+ ... +
<
1.1.3 2.3.5 3.5.7
(2n − 1)n(2n + 1)
12

với n ∈ N*, n >1

Hướng giải:
1

1

Vì (2n − 1)n(2n + 1) < n(n + 1)(n + 2)
1

1

1

1

=>S = 1.1.3 + 2.3.5 + 3.5.7 + ... + (2n − 1)n(2n + 1)
1

1

1

1

< 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2) = P
Mà P =

 1
11
1
5
 −
 <
nên S <
(đpcm)

2  2 ( n + 1)( n + 2 )  4
12

Đối với dạng này thì nếu khai thác thêm thì hơi quá nên dừng lại.
Kim Nhân

12

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

3.2. Bài toán gốc 2:
Bài 18 SGK trang 11
Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi
một số chỗ:
a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2;
b) ... - 10xy + 25y2 = ( ... - ... )2;
Hãy nêu một đề bài tương tự.
Lời giải:
* Nếu những phần của hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi là những đơn thức thì ta
có thể khôi phục lại những hằng đẳng thức trên như sau:
a) x2 + 6xy + 9y2 = ( x + 3y)2;
b) x2 - 10xy + 25y2 = (x - 5y )2
(hoặc x2 - 10xy + 25y2 = (5y - x)2) .
* Nếu những phần của hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi là những biểu thức thì ta
có thể khôi phục lại những hằng đẳng thức trên bằng rất nhiều cách khác nhau như
sau:
Ví dụ 1:

a) x2 + 6xy + (2xy + 16y2 ) = [(x + y) + 3y]2
tức là
x2 + 8xy + 16y2 = (x + 4y)2 ;
Hay nếu ta thay như sau :

b) (x2 + 4xy - 16y2) – 10xy + 25y2 = (x – 3y)2
tức là
x2 - 6xy + 9y2 = (x – 3y)2;
Ví dụ 2:
a) x2 + 6xy + (4xy + 25y2 ) = [(x + 2y) + 3y]2
tức là
x2 + 10xy + 25y2 = (x + 5y)2 ;
b) (x2 + 8xy - 24y2) - 10xy + 25y2 = (x - y)2
tức là
x2 - 2xy + y2 = (x - y)2;
..........................................................................
..........................................................................
* Đối với những em HS yếu thì ít nhất cũng đưa ra được đề bài tương tự như sau:
Hãy tìm cách giúp bạn Bình khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi
một số chỗ:
a) x2 + 10xy + ... = ( ... + 5y)2;
b) ... – 6xy + 9y2 = ( ... - ... )2;

Kim Nhân

13

THCS Lê Đình Chinh

SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

Trở lại nội dung bài 18 SGK trang 11 thì ta có nhận xét là không thể đưa ra được
một lời giải tối ưu bởi vì có rất nhiều cách để giúp bạn An khôi phục lại những hằng
đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ.
Để giúp học sinh đỡ lúng túng khi trình bày lời giải bài toán thì giáo viên nên thay
đổi nội dung câu hỏi một chút để có được lời giải tối ưu cho bài toán như sau:
Bài toán 1:
Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi
một số chỗ bằng cách điền các đơn thức thích hợp vào chỗ trống (...):
a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2;
b) ... – 10xy + 25y2 = ( ... - ... )2;
Hãy nêu một đề bài tương tự.
Hoặc là:
Bài toán 2:
Điền đơn thức thích hợp vào chỗ có dấu * để biểu thức
a) x2 + 6xy + * ;
b) * – 10xy + 25y2
trở thành bình phương của một nhị thức
*Việc đưa ra nội dung bài toán 2 lại giúp hình thành trong tôi một ý tưởng là tiếp
tục khai thác lời giải của bài toán 2, ta có ví dụ 1
Ví dụ 1:
Điền đơn thức thích hợp vào chỗ có dấu * để biểu thức A = x2 – 20x + *
trở thành bình phương của một nhị thức.
Giải: Đây là bài toán quen thuộc mà học sinh lớp 8 đều làm được:
A = x2 – 20x + * = x2 – 20x + 100 = x2 – 2.x.10 + 100 = (x - 10)2
Nhận xét: Trường hợp dấu * là một số cho trước
Chẳng hạn * = -1 ta có ví dụ 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 - 10x - 1
Giải: A = x2 - 10x - 1 = x2 - 10x + 25 - 26 = (x - 5)2 - 26

Vì (x - 5)2 ≥ 0 với mọi x thuộc R
nên (x - 5)2 – 26 ≥ -26 với mọi x thuộc R
Giá trị nhỏ nhất của A là -26 khi và chỉ khi x – 5 = 0 hay x = 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -26 khi x = 5
Nhận xét: Nếu ta đổi dấu của biểu thức A nói trên ta có
-A = -x2 + 10x + 1 = - (x2 – 10x +25) + 26 = - (x - 5)2 + 26 ≤ 26
Giá trị lớn nhất của A là 26 . Ta có ví dụ 3
Kim Nhân

14

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 1 + 10x - x2
Giải: B = 1 + 10x – x2
= - (x2 – 10x) + 1
= - (x2 – 10x + 25) + 26
= - (x - 5)2 + 26
Vì (x - 5)2 ≥ 0 với mọi x thuộc R
nên - (x - 5)2 ≤ 0 với mọi x thuộc R
Do đó - (x - 5)2 + 26 ≤ 26 với mọi x thuộc R
Giá trị lớn nhất của B là 26 khi và chỉ khi x – 5 = 0 hay x = 5
Vậy giá trị lớn nhất của B là 26 khi x = 5.
Nhận xét: Tổng quát bài toán trong ví dụ 2 ta có ví dụ 4
Ví dụ 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = ax2 + bx + c
Giải:

với a > 0

b
x) + c
a
b
b2
b2
2
P = a ( x + 2 x. + 2 − 2 ) + c
2a 4 a 4 a
P = a( x 2 +

b
b2
b2
P = a ( x + 2 x.
+ 2 ) +c −
2a 4a
4a
b 2
b2
4ac − b 2
P = a ( x + ) + (c − ) ≥
2a
4a
4a

2

4ac − b 2
Giá trị nhỏ nhất của P là
4a

khi và chỉ khi x =

−b
2a

Tương tự tổng quát bài toán trong ví dụ 3 ta có ví dụ 5
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = ax2 + bx + c
với a < 0
Kim Nhân

15

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

Giải: Tương tự như ví dụ 4 ta được giá trị lớn nhất của biểu thức P là
−b
4ac − b 2
khi và chỉ khi x =
2a
4a

Nhận xét: Kết hợp ví dụ 4 và ví dụ 5 ta có tam thức ax2 + bx + c có giá trị nhỏ
nhất nếu a > 0 ; có giá trị lớn nhất nếu a < 0.
Trong nhiều trường hợp, ta cần đổi biến đưa biểu thức về dạng tam thức bậc hai
đối với biến mới. Ví dụ 6
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = (3x - 1)2 – 4. 3x − 1 + 5
Giải: Đặt 3x − 1 = y , ta có:
M = y2 – 4y + 5 = (y – 2)2 + 1 ≥ 1
Giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi và chỉ khi y – 2 = 0 hay y = 2.
Với y = 2 ta có:
x = 1
3 x − 1 = 2
3x − 1 = 2 ⇔ 
⇔
x = − 1
3 x − 1 = −2
3


Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1 khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = −

1
3

Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
N = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)
Giải: Biến đổi N = x(x - 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)(x2 – 7x + 12)
Cách 1:
Đặt x2 – 7x = y ta có:
N = y(y + 12) = y2 + 12y = (y + 6)2 – 36 ≥ -36

Giá trị nhỏ nhất của N bằng -36 khi và chỉ khi y + 6 = 0 ⇔ y = - 6
Với y = - 6 ta có x2 – 7x = - 6 ⇔ x = 1 hoặc x = 6
Cách 2:
Đặt x2 – 7x + 12 = y ta có:
N = (y – 6 )(y + 6) = y2 – 36 ≥ -36
Giá trị nhỏ nhất của N bằng - 36 khi và chỉ khi y = 0
Khi đó x = 1 hoặc x = 6
* Phương pháp tìm nhiều lời giải cho một bài toán:

Kim Nhân

16

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

- Phương pháp này cũng là một trong những phương pháp khai thác bài toán ,
chắc có lẽ tất cả chúng ta đều thấy rằng khi dạy đến phần “Phân tích đa thức thành
nhân tử” thì tất cả chúng ta đều gợi ý cho học sinh tìm nhiều cách giải khác nhau. Sau
đây là một ví dụ minh họa:

3.3 Bài toán:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

Ví dụ 1: x2 – 3x + 2
* Hướng dẫn học sinh tìm các cách giải bài toán trên.
Ở bài toán này học sinh sẽ thấy là không có nhân tử chung. Không có dạng hằng

đẳng thức hoặc không nhóm các hạng tử được.
Vậy thì làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung?
Chúng ta có thể “Tách ” hạng tử bằng cách có thể như sau:
- Để chia nhóm ta có thể tách 1 hạng tử thành 2 hạng tử để thành 4 hạng tử và
như vậy ta sẽ chia thành 2 nhóm sẽ xuất hiện nhân tử chung.
- Có thể hướng dẫn học sinh giải theo cách sau:
a. Tách một hạng tử:
* Cách 1: x2 – 3x + 2 = x2 – x –2x +2
= (x2 – x) – (2x – 2)
= x (x – 1) – 2 (x – 1)
= (x – 1) (x –2)
* Cách 2: x2 – 3x + 2 = x2 – 3x +

9 1
−
4 4

9
1
4
4
3
1
= (x - )2 – ( )2
2
2
3
1
3 1
= (x - + ) (x - - )

2
2
2 2

= (x2 – 3x + ) -

= (x – 1) (x – 2)
* Cách 3: x2 – 3x + 2 = x2 – 3x +3 – 1
= (x2 – 1) – (3x – 3)
= (x + 1) (x – 1) –3(x – 1)
= (x – 1) (x + 1 – 3)
= (x – 1) (x – 2)
* Cách 4: x2 – 3x + 2= x2 – 3x + 6 – 4
= (x2 – 4) – (3x – 6)
= (x – 2) (x + 2) – 3(x – 2)
Kim Nhân

17

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

= (x – 2) (x + 2 – 3)
= (x – 2) (x – 1)
* Cách 5: x2 – 3x + 2= 3x2 – 2x2 – 3x + 2
= (3x2 – 3x) – (2x2 – 2)
= 3x(x – 1) – 2(x2 – 1)
= 3x(x – 1) – 2(x – 1) (x + 1)

= (x – 1) (3x – 2x – 2)
= (x – 1) (x – 2)
b. Tách hai hạng tử: Có thể hướng dẫn học sinh giải theo cách tách 2 hạng tử để chia
thành 2 nhóm trong đó có 1 nhóm được viết dưới dạng hằng đẳng thức và 1 nhóm thì
sẽ xuất hiện nhân tử chung, theo các cách sau:
* Cách 6: x2 – 3x + 2= x2 – 2x – x + 1 + 1
= (x2 – 2x + 1) – (x – 1)
= (x – 1)2 – (x – 1)
= (x – 1) (x – 1 – 1)
= (x – 1) (x – 2)
* Cách 7: x2 – 3x + 2= x2 – 4x + x + 4 – 2
= (x2 – 4x + 4) + (x – 2)
= (x – 2)2 + (x – 2)
= (x – 2) (x – 2 + 1)
= (x – 2) (x – 1)
c. Tách ba hạng tử. Có thể tách cả 3 hạng tử để chia thành 3 nhóm mà mỗi nhóm đều
có nhân tử chung như cách sau:
* Cách 8: x2 – 3x + 2= 3x2 – 2x2 – 6x + 3x + 8 – 6

= (3x2 – 6x) – (2x2 – 8) + (3x – 6)
= 3x(x – 2) – 2(x2 – 4) + 3(x – 2)
= 3x(x – 2) – 2(x – 2) (x + 2) + 3(x – 2)
= (x – 2) (3x – 2x – 4 + 3)
= (x – 2) (x – 1)
Ví dụ 2: x2 + x – 6
Tương tự như vậy ở ví dụ 1 giáo viên cũng có thể hướng dẫn giải theo các cách tách 1
hạng, tách 2 hạng tử hoặc tách 3 hạng tử, theo các cách sau:
* Cách 1: x2 + x – 6 = x2 + 3x – 2x – 6
= (x2 +3x) – (2x + 6)
= x(x + 3) – 2(x + 3)

= (x + 3) (x – 2)
Kim Nhân

18

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

* Cách 2:

x2 + x – 6 = x2 + x +

1 25
−
4 4

1
25
)4
4
1
5
= (x + )2 – ( )2
2
2
1 5
1
5

= (x + - ) (x + + )
2 2
2
2

= (x2 +x +

= (x – 2) (x + 3)
* Cách 3: x2 + x – 6 = x2 + x – 2 – 4
= (x2 – 4) + (x – 2)
= (x – 2) (x + 2) + (x – 2)
= (x – 2) (x + 2 + 1)
= (x – 2) (x + 3)
* Cách 4:
x2 + x – 6 = x2 + x – 9 + 3
= (x2 – 9) + (x + 3)
= (x – 3) (x + 3) + (x + 3)
= (x + 3) (x –3 + 1)
= (x – 2) (x + 3)
* Cách 5: x2 + x – 6 = x2 - 4x + 4 + 5x – 10
= (x2 - 4x + 4) + (5x – 10)
= (x – 2)2 + 5(x – 2)
= (x – 2) (x – 2 + 5)
= (x – 2) (x + 3)
* Tổng quát: Để phân tích đa thức có dạng: x2 + px + q.
Nếu ta tìm được 2 số a và b sao cho:
a + b = p và ab = q thì ta có thể tách px = (a + b)x = ax + bx để có dạng hằng đẳng
thức: x2 + px + q = x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
Ở dạng này có rất nhiều dạng bài tập nhưng tôi chỉ đưa ra một số ví dụ để tham
khảo, mong quý thầy cô góp ý thêm.

c. Điều kiện để thực hiện giải pháp, biện pháp:
Để thực hiện giải pháp, biện pháp như đã nêu trên phải đảm bảo những điều
kiện sau:
- Yêu cầu học sinh phải nắm thật chắc các kiến thức có liên quan đến bài toán mà
mình đưa ra, nghĩa là bài toán gốc ban đầu phải giải được thì mới khai thác được Ghi
nhớ được các dạng bài toán và phương pháp giải cho từng dạng.
- Học sinh biết nhận dạng được từng bài toán cụ thể, từ đó lựa chọn phương pháp giải
hợp lí.
- Học sinh biết cách biến đổi từ một bài toán chưa biết cách giải về bài toán quen
thuộc đã biết cách giải.

Kim Nhân

19

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

- Học sinh biết trình bày bài giải một cách đầy đủ, chính xác và khoa học.
- Giáo viên cần phân loại học sinh để có phương pháp và bài tập cũng như yêu cầu
phù hợp.
- Thường xuyên kiểm tra, hướng dẫn, sữa sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến phản hồi
của học sinh để có hướng điều chỉnh.
Quá trình đi sâu khai thác, phát triển bài toán có ý nghĩa vô cùng tích cực cho
việc dạy và học toán. Quá trình này rèn luyện trí thông minh, óc sáng tạo cho HS. Sau
khi giải xong một bài toán và tìm nhiều cách giải khác, nên tiếp tục sáng tạo: Dựa vào
bài toán đó mà tự nghĩ ra các bài toán mới. Việc làm này, giúp chúng ta nắm vững
mối quan hệ giữa các đại lượng và những quan hệ bản chất trong mỗi bài toán. Từ đó

mà HS hiểu bài hơn rất nhiều.
d. Mối quan hệ giữa các biện pháp, giải pháp:
Do đây là dạng toán hơi khó nên ban đầu tôi chưa dám đưa ra nhiều dạng khác, chỉ
thử nghiệm xem học sinh có thực sự hứng thú với việc khai thác một bài toán hay
chưa . Nhưng bước đầu đã gây được sự hứng thú của học sinh đã làm cho tôi thấy dần
dần sẽ phát huy cách làm này.
Để khai thác một nội dung kiến thức nào đó được triệt để đòi hỏi người GV
phải có sự chuẩn bị chu đáo và kỹ càng, đồng thời phải có nguồn tư liệu dồi dào
phong phú . Việc khai thác một bài toán phải xác định nhiều hướng khác nhau, nhiều
dạng bài tập khác nhau, nhưng phải đảm bảo tính logich, tính khoa học và tính chính
xác, tránh lung tung xa rời thực tế. Cung cấp kiến thức cho đúng đối tượng HS mới
phát huy được trí lực và phát triển được tính tự giác tích cực học tập của các em.Vì
vậy mỗi giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh vào các tình huống có vấn đề để
các em tư duy, tự tìm hiểu kiến thức mới qua mỗi dạng toán. Đồng thời phải biết động
viên, khích lệ, biểu dương sự cố gắng của các em, trân trọng thành quả đạt được của
các em.
e. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu:
Trên đây là một nội dung nhỏ trong việc rèn kĩ năng khai thác một bài toán cho
học sinh. Tôi đã áp dụng những kinh nghiệm trên vào thực tế giảng dạy bồi dưỡng
học sinh giỏi của trường đã thu được một số kết quả khả quan:
Đa phần các em đã có thể ngòai việc sau khi giải xong một bài toán thường thấy
các em trăn trở và tìm cách khai thác thêm bài toán.

Kim Nhân

20

THCS Lê Đình Chinh

SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

Học sinh, đặc biệt là các em trong đội tuyển Toán đã tạo cho mình kĩ năng khai
thác một bài toán và có khả năng phân tích, định hướng tìm lời giải mới . Hơn nữa,
các em đã tự tin vào khả năng giải toán của mình.
Điều quan trọng hơn là khi giáo viên hướng dẫn học sinh cách khai thác một bài
toán các em đã biết quan sát nhạy bén, linh hoạt và từ đó làm cho tư duy của các em
được phát triển.
Sau khi thực hiện đề tài qua khảo sát điều tra tôi thu được kết quả cụ thể
như sau:
Số h/s

Số h/s giải được

Số h/s có cách giải chưa

Số h/s không giải được

hợp lý

8ª1
8ª2

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

23

74%

4

13%

4

13%

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

20

67%
4
13%
6
20%
Ngoài ra trong năm học 2014-2015 này với việc áp dụng cách làm này thì kết
quả bồi dưỡng học sinh giỏi của tôi cũng đạt được thành công đáng kể đó là em Lê
Thị Duyên lớp 8ª1 đạt giải khuyến khích và Nguyễn Thị Nga lớp 8ª2 được công nhận
là học sinh giỏi môn Toán cấp huyện.
II.4./ Kết quả đạt được:
Trong quá trình dạy học, tôi đã áp dụng đề tài này không chỉ để dạy và bồi
dưỡng cho đối tượng HS khá giỏi mà còn linh hoạt dạy cho cả HS đại trà. Đặc biệt là
đối với HS lớp 8. Hầu như HS chỉ có ý thức làm bài tìm một lời giải và dừng lại
không suy nghĩ thêm sau khi có kết quả của bài toán, thỏa mãn với chính mình. Các
em chưa thấy được tác dụng mạnh của việc nhìn lại bài toán dưới nhiều góc độ, nhiều
khía cạnh khác sẽ củng cố được kiến thức của mình, rèn cho mình được thói quen suy
nghĩ tích cực, phát triển tư duy sáng tạo, tính kiên trì, độc lập – những đức tính tốt và
cần thiết của người học toán. Song, qua một thời gian kiên trì, linh hoạt áp dụng đề tài
và dạy HS theo ý tưởng trên, đến nay, hầu hết các em đã tham gia, hưởng ứng một
cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức khá thành thạo khi làm một số dạng bài
Kim Nhân

21

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

có liên quan từ dễ đến khó. Do đó các em đã nhiệt tình, chủ động, tích cực hơn, có

nhiều phát hiện thể hiện sự tìm tòi, sáng tạo bước đầu rất tích cực.
( Ở đây tôi không dám nói là sau khi thực hiện đề tài thì các em làm được tất cả
nhưng ít nhất đối với HS yếu thì cũng đã thay chữ cái khác trong các bài tập)
Thực tế, tôi đã sử dụng vào giảng dạy cho khối 8 hai năm học liền gần đây thì
kết quả cho thấy HS đều có ý thức thi đua nhau học tập, rất hào hứng phát biểu các
suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện của mình về cách giải khác, bài toán mới, . . .. Và tôi thấy
tinh thần học tập của các em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả năng tự nghiên cứu toán học
của các em được phát huy một cách tích cực; kết quả học tập môn toán, nhất là hình
học có nhiều tiến bộ. Các em không những nắm vững kiến thức trong SGK, các em
còn có cố gắng trong việc tìm hiểu giải các bài toán nâng cao, các bài toán khó, bước
đầu có thói quen tốt: Biết chịu khó, tích cực tìm tòi khai thác, phát triển các bài toán
cho trước, đối với HS đại trà thì hơi khó khăn nhưng đối với HS giỏi thì rất bổ ích.
PHẦN III.

KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ
III.1./ Kết luận: Việc khai thác, phát triển một bài toán cho trước góp phần rất
quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho HS khi học môn Toán - nhất là
việc bồi dưỡng HS giỏi. Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu, bản thân tôi nhận
thấy:
- Các GV giảng dạy toán đều đánh giá cao tầm quan trọng của việc khai thác,
phát triển từ một bài toán mà HS đã giải được. Mở rộng, phát triển thêm các bài toán
khác (đơn giản hoặc thường là phức tạp hơn) nhằm phát triển tư duy sáng tạo, linh
hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho cả người dạy và người học.
- Trong quá trình giảng dạy và học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm
kết quả của bài toán là rất quan trọng và rất có ích. Nó không chỉ giúp chúng ta nắm
bắt kĩ kiến thức của một dạng toán mà nó còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt
hoá, tổng quát hoá một bài toán; từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh
Kim Nhân

22

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

hoạt cho các em HS; giúp cho HS nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách
lôgic, khoa học; tạo hứng thú khoa học yêu thích bộ môn toán hơn.
Sau một thời gian kiên trì, nghiêm túc và nỗ lực thực hiện với sự giúp đỡ của
đồng nghiệp, tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài "Khai thác từ kết
quả một bài toán ". Tôi mong muốn được học hỏi, trao đổi thêm cùng tất cả đồng
nghiệp và bạn đọc quan tâm vấn đề này. Đồng thời, tôi cũng hi vọng đề tài này sẽ
đóng góp một phần nhỏ trong việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo
cho công tác giảng dạy toán cũng như học toán, từ đó nâng cao được chất lượng dạy
và học môn toán trong nhà trường.
Bước đầu, đề tài đã thu được khá nhiều kết quả tích cực, đã tạo thói quen tốt
cho nhiều HS tính kiên trì, độc lập suy nghĩ và có khả năng sáng tạo khi học toán, tự
thấy được sự phong phú, thú vị của toán học. Các em đã ham thích hơn với môn toán.
Mặc dù vậy, với khuôn khổ của đề tài này thì đây cũng chưa phải cho tất cả các đối
tượng HS và đây cũng chỉ là ý kiến của riêng cá nhân tôi là chính.
III.2./ Kiến nghị:
- Với đối tượng HS trung bình trở xuống khả năng lĩnh hội kiến thức, tư duy, nhận
thức chậm nên sự chuyển tải kiến thức rất khó khăn. Do vậy cần có thời gian và phải
vận dụng linh hoạt, thường xuyên, kiên trì và cần có nhiều tài liệu tham khảo liên
quan.
- Muốn dạy HS biết cách “Khai thác từ kết quả một bài toán”, bản thân GV phải
thường xuyên thực hiện điều đó, liên tục tự tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi kinh nghiệm
qua đồng nghiệp, sách, báo và đặc biệt là qua các trang Web có liên quan...; GV cần
có sự chủ động, có kế hoạch trong từng ngày, từng giờ lên lớp.
Phong trào thi viết sáng kiến kinh nghiệm trong các trường học là một phong

trào có tác dụng tốt, rất có ý nghĩa, đặc biệt là trong xu thế thời đại đang rất cần sự
sáng tạo, chủ động, tích cực trên mọi lĩnh vực công tác hiện nay. Vì vậy, tôi mạnh dạn
và mong muốn Phòng giáo dục đào tạo và cấp trên duy trì phong trào này, khích lệ
Kim Nhân

23

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

động viên các tập thể, cá nhân có những sáng kiến hữu hiệu, tích cực; có hình thức
phổ biến, trao đổi về các sáng kiến hay tới đông đảo giáo viên để nâng cao chất lượng
mũi nhọn ở học sinh.
Tuy đã cố gắng nhưng do kinh nghiệm cá nhân còn hạn chế nên nội dung của
sáng kiến kinh nghiệm này chắc chắn không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết. Tôi rất
mong được sự trao đổi, chỉ bảo và đóng góp ý kiến bổ sung của các thầy giáo, cô giáo
để đề tài được hoàn thiện hơn.

Quảng điền, ngày 22 tháng 02 năm
2015
Người viết

Dương Thị Kim Nhân
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
(Ký tên, đóng dấu)

Kim Nhân

24

THCS Lê Đình Chinh


SKKN: "Khai thác từ kết quả một bài toán "

TÀI LIỆU THAM KHẢO:
- SGK Toán 8 - NXBGD
- SBT Toán 8 - NXBGD
- Phương pháp dạy học môn Toán - NXBGD (dùng cho hệ CĐSP).
- Nâng cao và phát triển Toán 8 – NXBGD.
- Các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THCS chu kì I, II, III.
- Một số tạp chí Toán tuổi thơ 2.
- Đề thi chọn HSG các tỉnh thành phố
- Một số tạp chí Thế giới trong ta.

Kim Nhân

25

THCS Lê Đình Chinh