MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU

MỤC LỤC

Trang
CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN 2
LỜI NÓI ĐẦU 3
Chương I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 5
§1. Môđun nội xạ và môđun con cốt yếu. 5
§2. Chiều Goldie và CS – môđun. 12
Chương II. MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU 17
§1. Môđun giả nội xạ. 17
§2. Môđun giả nội xạ cốt yếu. 24
§3. Môđun nội xạ cốt yếu. 28
KẾT LUẬN 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

1
CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
MA
≤
: A là môđun con của môđun M.
MA
e
≤
: A là môđun con cốt yếu của môđun M.
o
≤
: quan hệ thứ tự.
MA
⊆
: A là tập hợp con của tập M.
( )

M,NHom
: tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M.
⊕
: tổng trực tiếp của các môđun.
MN:f
→
: phép tương ứng từ N đến M.
NM
: môđun thương của M trên N.
: phép nhúng.
A
ϕ
: thu hẹp của
ϕ
trên A.
MN
≅
: môđun N đẳng cấu với M.
 : kết thúc một chứng minh.
2
LỜI NÓI ĐẦU
Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà toán học quan
tâm nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh. Trên cơ sở tương
tự dựa trên yếu tố nội xạ, người ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun. Các lớp
môđun như: môđun giả nội xạ, môđun giả nội xạ cốt yếu đã được nghiên cứu
bởi S.K.Jain and S.Singh (1967), M.L.Teply (1975), A.A.Tuganbaev (1978),
Đinh Quang Hải … ; các lớp CS – môđun, môđun liên tục cũng được Đinh
Văn Huỳnh, Nguyễn Việt Dũng, P.F.Smith, R. Wisbauer, N. Er, M.Okado,
S.H. Mohamed and B.J.Muller…phát triển, xây dựng mối liên hệ giữa các lớp
môđun mở rộng với nhau và đã đưa ra được nhiều kết quả hữu ích trong việc

phát triển lý thuyết môđun. Ngoài ra, lớp môđun nội xạ cốt yếu cũng được
nghiên cứu và phát triển bởi He Qun. Lần đầu tiên, mối liên hệ giữa môđun
nội xạ cốt yếu và hệ phương trình tuyến tính được thiết lập, tạo nền móng cho
việc nghiên cứu, xây dựng đặc trưng của các lớp môđun mở rộng khác theo
phương trình. Trên cơ sở vấn đề đặc trưng phương trình bởi môđun tựa nội xạ
của A.Laradji: “mọi hệ phương trình tuyến tính tương thích mạnh trên môđun
tựa nội xạ đều giải được”, He Qun đã đưa ra đặc trưng của môđun nội xạ cốt
yếu theo phương trình: “một môđun là nội xạ cốt yếu khi và chỉ khi mọi hệ
phương trình tuyến tính tương thích mạnh trên nó là giải được”.
Tiếp tục nghiên cứu về lớp môđun nội xạ cốt yếu, luận văn đã trình bày
một cách hệ thống một số vấn đề có liên quan về môđun giả nội xạ, giả nội xạ
cốt yếu, môđun nội xạ cốt yếu và chứng minh được: môđun giả nội xạ là nội
xạ cốt yếu, môđun nội xạ cốt yếu là giả nội xạ khi và chỉ khi nó là môđun đều.
Luận văn cũng chứng minh các kết quả như: hệ quả 2.2.8, định lí 2.3.6, mệnh
đề 2.3.7, mệnh đề 2.3.10. Cấu trúc của luận văn được chia thành hai chương:
3
– Chương I. Trình bày một số kiến thức cơ bản chuẩn bị. Các khái
niệm được đề cập chủ yếu trong chương này là môđun nội xạ, môđun con cốt
yếu, CS – môđun, môđun có chiều đều hữu hạn.
– Chương II. Trên cơ sở xem xét trình bày các tính chất của môđun
giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, nghiên cứu về lớp môđun nội xạ cốt yếu.
Chứng minh một số tính chất và đặc trưng của môđun nội xạ cốt yếu theo
phương trình.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Đồng Tháp,
dưới sự gợi ý và hướng dẫn nhiệt tình của Thầy PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng. Tác
giả xin bài tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy, đồng thời tác giả cũng xin
chân thành cảm ơn Thầy PGS.TS.Lê Quốc Hán, PGS.TS. Nguyễn Thành
Quang, TS.Chu Trọng Thanh cùng quý thầy cô trong bộ môn Toán, khoa Sau
đại học của Đại học Vinh, phòng QLKH&SĐH của ĐHSP Đồng Tháp, các
bạn học viên cao học Toán khoá 13 tại ĐHSP Đồng Tháp đã hỗ trợ giúp đỡ và

tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này.
Đồng Tháp, tháng 4 năm 2008.
Tác giả
4
CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
§1. MÔĐUN NỘI XẠ VÀ MÔĐUN CON CỐT YẾU

Trong luận văn này, ta xét vành R là vành kết hợp có phần tử đơn vị, kí
hiệu là 1, và tất cả các môđun xét trên vành R đều là R – môđun trái Unita.
1.1.1 Định nghĩa
– Cho M là R – môđun trái, môđun con A của M được gọi là môđun con
cốt yếu, kí hiệu
MA
e
≤
, nếu với mọi môđun con X của M thoả mãn
0
=∩
XA
thì X = 0. Môđun M được gọi là môđun đều nếu mọi môđun khác 0 của M đều
cốt yếu trong M. Môđun con K của M được gọi là phần bù của môđun B
trong M nếu K là môđun con tối đại trong số những môđun con của M có giao
với B bằng không, và K được gọi là phần bù trong M nếu K là phần bù của
môđun con nào đó của M. Môđun K được gọi là bao đóng của môđun B nếu
K là mở rộng cốt yếu tối đại của B.
– Môđun con K của M được gọi là môđun con đóng nếu K không có mở
rộng cốt yếu thực sự nào trong M.
1.1.2 Tính chất
(1)
MA

e
≤
khi và chỉ khi
0,,0
≠∈∀≠∩
xMxxRA
.
(2) Cho
MNA
≤≤
thì
MA
e
≤
khi và chỉ khi
NA
e
≤
và
MN
e
≤
.
(3) Cho
MA
e
≤
và MK ≤ thì
KKA
e

≤∩
.
(4) Cho
MNA
≤≤
. Nếu
AMAN
e
≤
thì
MN
e
≤
.
Chứng minh. (1) Hiển nhiên. (2) Giả sử A cốt yếu trong M, lấy
môđun con X bất kỳ của N mà
0
=∩
XA
. Do
NX
≤
nên
MX
≤
và
MA
e
≤
nên

X = 0. Vậy
NA
e
≤
. Tương tự, lấy môđun con Y bất kỳ của M mà
0
=∩
YN
.
Do
NA
≤
nên
0
=∩
YA
và
MA
e
≤
. Suy ra Y = 0. Vậy,
MN
e
≤
.
Ngược lại, nếu
NA
e
≤
và

MN
e
≤
thì với môđun con X bất kì của M mà
0
=∩
XA
. Đặt
XNB
∩=
, ta có
0
=∩=∩∩=∩
XAXNABA
, do
NA
e
≤
nên B =
0
0
=∩⇒
XN
và do
MN
e
≤

0
=⇒

X
. Vậy
MA
e
≤
.
5
(3) Lấy X là môđun con bất kì của K sao cho
0
=∩∩
XKA
hay
0
=∩
XA
, do
MA
e
≤

0
=⇒
X
. Vậy
KA
∩
cốt yếu trong K.
(4) Lấy
MX
≤

sao cho
0
=∩
XN
. Khi đó,
( )
AXAN
=⊕∩
, từ đây ta suy
ra
( )
0
=⊕∩
AXAAN
. Do
AMAN
e
≤
nên
( )
0
=⊕
AXA
hay
AXA
=⊕
. Vậy
X = 0 hay
MN
e

≤
. 
1.1.3 Bổ đề Cho
MN
→
:
ϕ
là đẳng cấu môđun trên R. Khi đó môđun con L
của N cốt yếu trong N khi và chỉ khi
ϕ
(L) cốt yếu trong M.
Chứng minh. (⇒) Cho
NL
e
≤
, thì
MX
≤∀
sao cho
( )
0=∩ XL
ϕ
. Suy
ra:
( ) ( )( ) ( )
00
111
==∩=∩
−−−
ϕϕϕϕ

XLXL
. Do
NL
e
≤
nên
( )
0
1
=
−
X
ϕ

0
=⇒
X
(ϕ là
đẳng cấu). Vậy
( )
ML
e
≤
ϕ
.
(⇐) Cho
( )
ML
e
≤

ϕ
, thì
NY
≤∀
sao cho
0
=∩
YL
. Do ϕ đẳng cấu
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
0
111
=∩=∩=∩⇒
−−−
YLYLYL
ϕϕϕϕϕϕϕ

( ) ( )
0
=∩⇒
YL
ϕϕ
. Do
( )
ML
e
≤
ϕ
nên
( )

0
=
Y
ϕ

0
=⇒
Y
. Vậy
NL
e
≤
.
1.1.4 Mệnh đề Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđun con T
của M sao cho
MTA
e
≤⊕
.
Chứng minh. Đặt
{ }
0:
=∩≤=
AXMXS
, vì
S
∈
0
nên
∅≠

S
. Ta sắp thứ
tự
S
theo quan hệ bao hàm. Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của
S
sao
cho:
......
21
≤≤≤≤
n
XXX
Khi đó
i
i
XB
∞
=
∪=
1
là môđun con của M và dễ thấy B là
cận trên của dãy đã cho. Lấy
BAx
∩∈
, suy ra có một số k nào đó sao cho
k
Xx
∈
. Từ đây ta có

k
XAx ∩∈
. Vậy x = 0 hay
0
=∩
AB
. Do đó, theo bổ đề
Zorn,
S
có phần tử tối đại là T. Ta chứng minh
MTA
e
≤⊕
.
Thật vậy,
MY
≤∀
thỏa mãn
( )
0
=∩⊕
YTA
. Ta có
0
=∩
YA
và
0
=∩
YT

. Nếu
có
Aa
∈
và
YyTt
∈∈
,
sao cho
yta
+=
thì
TAtay
⊕∈−=
, ta suy ra
0
=
y
và
0== ta
. Như vậy
( )
0
=⊕∩
YTA
, ta suy ra
( )
SYT
∈⊕
. Do tính tối đại của T

nên
0
=
Y
. Vậy
MTA
e
≤⊕
. 
1.1.5 Bổ đề Nếu K là phần bù của B trong môđun M thì
( )
KMKBK
e
≤⊕
.
6
Chứng minh. Giả sử
KMKX
≤
sao cho
( )
0
=∩⊕
KXKBK
, ta có
0
=∩
BK
và
( )

KXBK
=∩⊕
. Khi đó:
( )
BXBXBK
∩=∩∩⊕=
0
. Do tính tối đại
của K, nên X = K. Vậy
0
=
KX
hay
( )
KMKBK
e
≤⊕
. 
1.1.6 Mệnh đề Cho B là môđun con của M, K là phần bù của B trong M, thế
thì:
(1) K đóng trong M.
(2)
BK
⊕
là môđun con cốt yếu của M.
Chứng minh. (1) Giả sử có một môđun con N của M sao cho
NK
e
≤
,

thế thì, nếu
KN
≠
, do
0
=∩
BK
, K tối đại nên
0
≠∩
BN
. Ta có
( ) ( )
0
=∩=∩∩=∩∩
BKBNKBNK
, vì
NK
e
≤
, suy ra
0
=∩
BN
. Điều này vô lý.
Vậy, K đóng trong M.
(2) Suy ra từ 1.1.4. 
1.1.7 Định nghĩa Cho M và N là các R – môđun.
– Môđun M được gọi là N – nội xạ nếu với mọi
môđun con X của N, mọi đồng cấu f :

MX
→
đều mở
rộng thành đồng cấu
MNg
→
:
, tức là biểu đồ sau giao
hoán:

fig
o
=
, trong đó i là phép nhúng đồng cấu.
– Môđun M gọi là tựa nội xạ nếu M là M – nội xạ.
– Môđun M gọi là môđun nội xạ nếu M là N – nội xạ, với mọi môđun N.
– Hai môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu M là N – nội xạ và
N là M – nội xạ.
– Bao nội xạ của môđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé nhất sao cho
M cốt yếu trong E(M).
1.1.8 Mệnh đề [3, Proposition 18.12] Cho M là R – môđun trái. Khi đó:
(1) M là nội xạ khi và chỉ khi M = E(M).
(2) Nếu
MN
e
≤
thì E(N) = E(M).
(3) Nếu
QM
≤

và Q là môđun nội xạ thì
( )
'EMEQ
⊕=
.
7
X
N
M
i
f
g
(4) Nếu
( )
α
ME
A
⊕
là nội xạ (đặc biệt, nếu A là hữu hạn) thì
( ) ( )
αα
MEME
AA
⊕=⊕
.
1.1.9 Mệnh đề Giả sử môđun
i
Ii
MM
∈

⊕=
là tổng trực tiếp các môđun
i
M
. Khi
đó các phát biểu sau là tương đương:
(1) M là tựa nội xạ.
(2)
i
M
là tựa nội xạ và
( )
iIM
−
là
i
M
– nội xạ với mọi
Ii
∈
.
Chứng minh. xem [6, Proposition 1.18].
1.1.10 Mệnh đề Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi ideal trái I của R,
mọi đồng cấu
MIf
→
:
thì tồn tại
Mm
∈

để
( )
Ixxmxf
∈∀=
,
.
Chứng minh. (⇒) Cho M là môđun nội xạ. Lấy I là ideal trái của R,
MI:f →
là đồng cấu môđun. Vì R là R – môđun nên M là R – nội xạ. Do đó, f
mở rộng thành đồng cấu
MR:f
*
→
. Đặt
( )
1
*
fm
=
. Khi đó:
,Ix
∈∀
thì
( ) ( )
xmxfxfxfxf
====
)1()1.(1.
**
.
(⇐) Giả sử đã có điều kiện đủ, ta chứng minh M là N – nội xạ, với mọi

môđun N. Lấy X là môđun con tuỳ ý của N,
MXg
→
:
là đồng cấu bất kỳ. Ta
chứng minh tồn tại đồng cấu g
*
là mở rộng của g.
Thật vậy, xét họ
{ }
gMTNTXTS
X
=→≤≤=
ααα
,:,/),(
.
Ta thấy
( )
∅≠⇒∈
SSgX ,
. Sắp thứ tự tập S theo quan hệ như sau:

( ) ( )





=
≤

⇔≤
12
21
2211
1
αα
αα
T
o
TT
,T,T
. Ta chứng minh S thoả mãn bổ đề Zorn. Lấy tập con
sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho:

( ) ( ) ( )
......,T...,T,T
onnooo
≤≤≤≤
ααα
2211
(a)
Đặt
NTTT
i
i
≤⇒∪=
∞
=
1
. Lấy

MT
→
:
α
, với
k
TxkTx
∈∃⇒∈
:
Ta định nghĩa
( ) ( )
xx
k
αα
=
. Dễ dàng kiểm tra được α là đồng cấu. Khi đó
( )
α
,T
là cận trên của dãy (a). Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại, kí hiệu
( )
SB
∈
β
,
. Ta chứng minh
NB
=
và g* = β.
8

X
N
AX
AN
M
α
π
φ
ϕ
β
Thật vậy, nếu
BNaNB \
∈∃⇒⊂
. Đặt
RaBH
+=
⇒
HB
⊂
(do a∉B), ta xác
định đồng cấu
MHh
→
:
cho bởi
( ) ( )
rmbrabh
+=+
β
, trong đó m được xác định

như sau: Gọi
{ }
BraRrI ∈∈= /
. Ta hoàn toàn kiểm tra được I là ideal trái của R.
Xác định đồng cấu
MIg
→
:
bởi
( ) ( )
Ir,rarg
∈=
β
. Theo giả thiết nên
Mm
∈∃
để
( )
xmxg
=
, ∀x∈I. Như vậy, do
HB
⊂
, và theo cách xác định của h nên h là
mở rộng của β. Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của
( )
β
,B
. Vậy,
NB

=
và
lấy g* = β. Vậy g* là mở rộng của g. 
1.1.11 Mệnh đề Nếu M là N – nội xạ và
NA
≤
thì M là A – nội xạ và
AN
–
nội xạ.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh M là A – nội xạ. Thật vậy, lấy
AX
≤
và
MXf
→
:
là đồng cấu. Ta cũng có
NX
≤
, do M là N – nội xạ nên f
mở rộng thành đồng cấu
MNg
→
:
. Khi đó
A
g
là mở rộng của f trên A hay
M là A – nội xạ.

Bây giờ ta chứng minh M là
AN
– nội xạ. Lấy
ANAX
≤
và
MAX:
→
α
là đồng cấu. Gọi
ANN:
→
π
là đồng cấu tự nhiên.
Đặt
X
πϕ
=
. Do M là N – nội xạ nên
αϕ
mở
rộng thành đồng cấu
MN
→
:
φ
. Ta có:
( ) ( ) ( )
00
===

ααϕφ
AA
. Suy ra
φπ
kerker
≤
. Do đó,
tồn tại đồng cấu
MAN:
→
β
sao cho
φβπ
=
. Với
mọi
Xx∈
, ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
AxxxxAx
+====+
ααϕφβπβ
. Vậy,
β
là
mở rộng của
α
hay M là
AN
– nội xạ. 

1.1.12 Mệnh đề M là N – nội xạ khi và chỉ khi
( )
MN
≤
ϕ
với mọi
( ) ( )( )
MENEHom ,
∈
ϕ
.
Chứng minh. Vì E(N) là môđun nội xạ, ta chỉ cần chứng minh với
mọi
( )( )
ME,NHom
∈
ϕ
là đủ.
)(
⇒
Giả sử M là N – nội xạ, với
( )( )
MENHom ,
∈
ϕ
.
9
Đặt
( ){ }
MnNnX

∈∈=
ϕ
:
. Dễ thấy X là môđun con của N. Vì M là N – nội xạ,
X
ϕ
mở rộng thành đồng cấu
MN
→
:
φ
, ta chứng minh
( )( )
0
=−∩
NM
ϕφ
. Thật
vậy, giả sử có
Mm
∈
và
Nn
∈
sao cho
( )( )
nm
ϕφ
−=
. Khi đó,

( ) ( )
Mmnn
∈−=
φϕ
nên
Xn∈
.
Như vậy,
( ) ( ) ( ) ( )
0
=−=−=
nnnnm
ϕϕϕφ
. Vậy,
( )( )
0
=−∩
NM
ϕφ
và vì
( )
MEM
e
≤
nên
( ) ( )
MNN
≤=
ϕφ
.

( )
⇐
Giả sử có
( )
MN
≤
ϕ
với mọi
( )( )
MENHom ,
∈
ϕ
. Lấy
NX
≤
và
MXf
→
:
là
đồng cấu. Vì E(M) là nội xạ, nên
f
mở rộng thành đồng cấu
( )
MEN
→
:
ϕ
.
Theo giả thuyết

( )
MN
≤
ϕ
. Vậy,
MXf
→
:
mở rộng thành đồng cấu
MN
→
:
ϕ
hay M là N – nội xạ. 
1.1.13 Bổ đề Cho M
1
và M
2
là các môđun và
21
MMM
⊕=
. Thế thì, M
2
là M
1
– nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N của M mà
0
2
=∩

MN
đều tồn tại
môđun con K của M sao cho
2
MKM
⊕=
và
KN
≤
.
Chứng minh.
( )
⇒
Giả sử M
2
là M
1
– nội xạ và với mọi môđun con N
của M mà
0
2
=∩
MN
. Gọi
( )
2,1:
=→
iMM
ii
π

là các phép chiếu.
Đặt
NN
21
,
πβπα
==
. Vì
0
2
=∩
MN
nên
α
là đơn cấu và do M
2
là M
1
– nội xạ
nên tồn tại đồng cấu
21
: MM
→
ϕ
sao cho
βϕα
=
.
Lấy
( ){ }

1111
: MmmmK
∈+=
ϕ
. Với mọi
Nn
∈
thì
21
mmn +=
. Ta có
( ) ( )
nn
βϕα
=
hay
( )
21
mm
=
ϕ
, từ đây ta suy ra
( )
Kmmn
∈+=
11
ϕ
. Do đó,
KN
≤

.
Nếu có
11
Mm
∈
và
22
Mm
∈
sao cho
( )
211
mmm
=+
ϕ
thì
( )
2121
Mmmm
∈−=
ϕ
, nên
m
1
= 0 và m
2
= 0. Như vậy,
0
2
=∩

MK
. Mặt khác,
( ) ( )
2121121
, MKmmmmmmmMm
⊕∈−++=+=∈∀
ϕϕ
.
Vậy
2
MKM
⊕=
.

( )
⇐
Giả sử với mọi môđun con N của M mà
0
2
=∩
MN
đều tồn tại môđun
con K của M sao cho
2
MKM
⊕=
và
KN
≤
. Lấy X là môđun con của M

1
và
2
: MXf
→
là đồng cấu. Đặt
( ){ }
XxxfxH
∈−=
:
. Khi đó H là môđun con của M
và hiển nhiên
0
2
=∩
MH
. Theo giả thiết, tồn tại môđun con H’ của M sao cho
10
2
' MHM
⊕=
và
'HH
≤
. Lấy
22
': MMHM →⊕=
π
là phép chiếu. Đặt
1

M
g
π
=
,
Xx
∈∀
thì
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
xfxfxfxxxg
=+−==
ππ
.
Vậy, g là mở rộng của f, hay M
2
là M
1
– nội xạ. 
11
§2. CHIỀU GOLDIE VÀ CS – MÔĐUN
Cho môđun M, chúng ta định nghĩa các tính chất sau đây của M:
(C
1
) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.
(C
2
) Nếu một môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của
M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M.
(C
3

) Nếu M
1
và M
2
là hạng tử trực tiếp của M thoả mãn
0
21
=∩
MM
, thì
21
MM
⊕
là một hạng tử trực tiếp của M.
1.2.1 Định nghĩa
– Môđun M được gọi là CS – môđun nếu M thỏa mãn tính chất (C
1
), hay
nói cách khác, M là CS – môđun nếu mọi môđun con đóng của M đều là hạng
tử trực tiếp của M.
– Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn tính chất (C
1
) và (C
2
).
– Môđun M được gọi là có chiều đều (chiều Goldie) hữu hạn nếu M không
chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không. Ngược lại, ta nói M có
chiều đều vô hạn.
1.2.2 Bổ đề Cho M là R – môđun. Khi đó:
(1) Hạng tử trực tiếp của M là môđun con đóng trong M.

(2) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M.
Chứng minh. (1) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M, tức là
BAM
⊕=
, với
MB
≤
. Lấy
MN ≤
sao cho
NA
e
≤
, thế thì ta có
0
=∩
BN
. Gọi
ABA
→⊕
:
π
là phép chiếu. Do
B
=
π
ker
nên
0ker
=∩

π
N
, suy ra
N
π
là đơn
cấu. Vì thế N được nhúng đơn cấu vào A, mà
NA
e
≤
. Do vậy A = N, hay A là
môđun con đóng trong M.
(2) Trước hết ta chứng minh, nếu môđun con A đóng trong M và mọi
MQ
e
≤
sao cho
QA
≤
thì
AMAQ
e
≤
. Thật vậy, lấy
MP
≤
sao cho
PA
≤
và

0
=∩
APAQ
. Do
MQ
e
≤
nên
PPQA
e
≤∩=
. Từ đây, ta suy ra
PA =
. Do đó
AMAQ
e
≤
. Bây giờ ta chứng minh K đóng trong M. Lấy K’ là phần bù giao
12
của K trong L, L’ là phần bù giao của L trong M. Theo 1.1.6 thì
M'LL
e
≤⊕
và
theo kết quả chứng minh trên thì
( )
LML'LL
e
≤⊕
.

Theo 1.1.2, thì
( )
KMK'LL
e
≤⊕
, ta cũng có
( )
KLK'KK
e
≤⊕
và
( ) ( )( ) ( )
KMK'LKK'KKK'L'KK
e
≤⊕⊕⊕=⊕⊕
. Lấy
MV
≤
sao cho
VK
e
≤
.
Khi đó, do
( )
0
=⊕∩
'L'KK
nên
( )

0
=⊕∩
'L'KV
, từ đây suy ra
( ) ( )( )
0
=⊕⊕∩
K'L'KKKV
. Do đó
KV
=
hay K đóng trong M. 
1.2.3 Hệ quả Hạng tử trực tiếp của CS – môđun là CS – môđun.
Chứng minh. Giả sử M là CS – môđun, P là hạng tử trực tiếp của M,
tức là
QPM
⊕=
, với
MQ
≤
. Ta chứng minh P là CS – môđun.
Lấy A là môđun con đóng trong P, do P đóng trong M, theo 1.2.2, nên A đóng
trong M. Vì M là CS – môđun nên A là hạng tử trực tiếp của M, nghĩa là
BAM
⊕=
, với
MB
≤
.
Theo luật modular, thì

( ) ( )
BPABAPMPP
∩⊕=⊕∩=∩=
. Vậy, A là
hạng tử trực tiếp của P hay P là CS – môđun. 
1.2.4 Bổ đề Mọi môđun khác không có chiều đều hữu hạn luôn chứa một
môđun con đều.
Chứng minh. Giả sử M không chứa môđun con đều nào, nghĩa là tồn
tại các môđun con khác không K
1
, L
1
của M sao cho
0
11
=∩
LK
. Khi đó K
1
không là môđun con đều, nên tồn tại các môđun khác không K
2
, L
2
của K
1
sao
cho
0
22
=∩

LK
. Tiếp tục lí luận tương tự đối với K
2
, dẫn đến M chứa một tổng
trực tiếp vô hạn các môđun con khác không
...
21
⊕⊕
LL
. Điều này mâu thuẫn
với tính chiều đều hữu hạn của M. Vậy M có chứa môđun con đều. 
1.2.5 Mệnh đề M là CS – môđun và có chiều đều hữu hạn. Khi đó M phân
tích thành tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều.
Chứng minh. Bởi M có chiều đều hữu hạn, theo 1.2.4, nên trong M
tồn tại môđun con đều U
1
. Gọi X
1
là bao đóng của U
1
trong M. Giả sử X
1
không là môđun con đều, suy ra tồn tại
XBA
≤
,
mà
0,
≠
BA

sao cho
0
=∩
BA
. Do
XU
e
≤
1
nên
0,0
11
≠∩≠∩
BUAU
. Từ đây, ta có
13
( ) ( ) ( )
0
111
=∩∩=∩∩∩
BAUBUAU
. Điều này mâu thuẩn với tính đều của U
1
. Vậy
X
1
là môđun đều. Bởi M là CS – môđun và X
1
là bao đóng của U
1

nên X
1
là
hạng tử trực tiếp của M, tức là
11
MXM
⊕=
. Vì M là CS – môđun và có chiều
đều hữu hạn, theo 1.2.3, nên M
1
cũng là CS – môđun và có chiều đều hữu
hạn. Lí luận tương tự như trên đối với M
1
, ta có
221
MXM
⊕=
, trong đó X
2
là
môđun con đều và M
2
là CS – môđun có chiều đều hữu hạn. Tiếp tục lí luận
như trên, ta được
nn
MXXXM
⊕⊕⊕⊕=
...
21
, trong đó các

( )
niX
i
,..,2,1,
=
là
các môđun con đều và M
n
là CS – môđun có chiều đều hữư hạn. Do M có
chiều đều hữu hạn, nên quá trình trên dừng lại sau một số hữu hạn bước, tức
là tồn tại n để M
n
= 0. Khi đó
n
XXXM
⊕⊕⊕=
...
21
với
( )
niX
i
,...,2,1,
=
là các
môđun con đều. 
1.2.6 Định nghĩa và kí hiệu Cho R là vành có đơn vị, và hai tập khác rỗng J
và K. Một
KJ
×

– ma trận trên R là hàm
RKJA
→×
:
. Kí hiệu A là một
KJ
×
– ma trận trên R. Với mỗi
( )
KJkj
×∈
,
, đặt
( )
RakjA
jk
∈=
,
. Ta gọi
jk
a
là phần
tử trên A với chỉ số
( )
kj,
, ta viết
[ ]
KJ
jk
aA

×
=
. Nếu không có gì nhầm lẫn giữa
J và K, thì ta viết
[ ]
jk
aA
=
. Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu A
t
, là ma trận
dạng
[ ]
JK
kj
b
×
, trong đó
jkkj
ab
=
. Nếu
KKJJ
⊆⊆
','
là các tập con khác rỗng,
thì thu hẹp của A trên
'' KJ
×
là một ma trận con của A và kí hiệu:

[ ]
'' KJ
jk
a
×
.
Lấy
KkJj
∈∈
,
thì
[ ]
{ }
Kj
jk
a
×
và
[ ]
{ }
kJ
jk
a
×
theo thứ tự là dòng thứ j và cột thứ k
của ma trận A. Tập hợp tất cả các
KJ
×
– ma trận trên vành R, ta kí hiệu
( )

RM
KJ
×
. Ma trận A được gọi là dòng hữu hạn (cột hữu hạn) nếu mỗi dòng
của A ( mỗi cột của A) có hầu hết các phần tử bằng 0 trừ một số hữu hạn. Nếu
J = K thì ta gọi A là
JJ
×
– ma trận vuông hay
J
– vuông. Đường chéo của
ma trận
J
– vuông A là tập các phần tử có dạng
( )
Jj
jj
a
∈
.
Giả sử J, K, F là các tập khác rỗng.
[ ]
( )
RMaA
KJjk
×
∈=
,

[ ]

( )
RMbB
FKkf
×
∈=
. Với mỗi
FfJj
∈∈
,
, xét chuỗi
∑
∈
Kk
kfjk
ba
. Nếu A có dòng
hữu hạn hoặc B có cột hữu hạn thì chuỗi trên là tổng hữu hạn và
14