hai mặt phẳng vuông góc p1

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

05. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

+ Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
+ Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
Để chứng minh (P)⊥ (Q) ta chỉ ra trong (P) có chứa một đường thẳng d mà d ⊥ (Q).
a ⊂ ( P )
Viết dạng mệnh đề: 

→ ( P ) ⊥ (Q).
a ⊥ ( Q )
+ Tính chất 1: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến ∆; a là
đường thẳng nằm trong (P), khi đó nếu a ⊥ ∆ thì a ⊥ (Q).
( P ) ⊥ ( Q ) ; ( P ) ∩ ( Q ) = ∆
Viết dạng mệnh đề: 

→ a ⊥ (Q ).
a ⊂ ( P ) ; a ⊥ ∆
+ Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến ∆ của (P) và
(Q) cũng phải vuông góc với (R).

( P ) ⊥ ( R )


→ ∆ ⊥ ( R ).
Viết dạng mệnh đề: ( Q ) ⊥ ( R )


( P ) ∩ ( Q ) = ∆
Ví dụ 1. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD).
a) Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SAD), (SAB) ⊥ (SBC).
b) Gọi H, I lần lượt là trung điểm AB và BC. Chứng minh rằng (SHC) ⊥ (SDI).
Ví dụ 1. [ĐVH]: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O, I, J là trung điểm của BC, AB và AC. Trên đường
thẳng vuông góc với (ABC) tại O ta lấy điểm S. Chứng minh rằng
a) (SBC) ⊥ (ABC).
b) (SOI) ⊥ (SAB).
c) (SOI) ⊥ (SOJ).
Ví dụ 3. [ĐVH]: Cho tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. AC = AC = BC
= BD = a và CD = 2x. Gọi I, J là trung điểm của AB, CD.
a) Chứng minh IJ ⊥ AB và CD.
b) Tính AB và IJ theo a và x.
c) Xác định x để (ABC) ⊥ (ABD).
2a
. Trên đường thẳng
3
vuông góc với (P) tại giao điểm của 2 đường chéo của hình thoi lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh
rằng
a) ∆ASC vuông.
Ví dụ 4. [ĐVH]: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a, BD =

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

b) (SAB) ⊥ (SAD).
Hướng dẫn giải:

 SO ⊥ AC
a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD. Theo bài, SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ 
.
 SO ⊥ BD
ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD. Xét tam giác vuông AOB: OA = AB 2 − OB 2 = a 2 −

a2 a 6
2a 6
=
⇒ AC =
3
3
3

a2 a 6 1
=
= AC
3
3
2
Tam giác ASC có trung tuyến SO bằng một nửa cạnh đối diện AC ⇒ ∆ASC vuông tại S.
b) Để chứng minh (SAB) ⊥ (SAD) ta không thể sử dụng cách truyền thống là chứng minh một đường thẳng nằm trong
mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia được. Ở đây, tác giả đi chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 900.
Ta có (SAB) ∩ (SAD) = SA. Vấn đề bây giờ là tìm mặt phẳng nào để vuông góc với SA.
 BD ⊥ AC
Ta nhận thấy 

⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SA , (1).
 BD ⊥ SO
Từ O, ta dựng OH ⊥ SA, (2). Khi đó, từ (1) và (2) ta có SA ⊥ (BHD).
( BHD ) ∩ ( SAB ) = HB
Lại có, 
⇒ ( ( SAB ),( SAD ) ) = ( HB, HD ) .
( BHD ) ∩ ( SAD ) = HD
Xét tam giác vuông SOB: SO = SB 2 − OB 2 = a 2 −

Chúng ta đi tính góc BHD để xem BHD là góc nhọn hay tù hay vuông!!!
1
1
1
1
1
3
a
Xét tam giác vuông SOA có đường cao OH:
=
+
=
+
= 2 ⇒ OH =
2
2
2
2
2
OH
OA

OS
a
3
a 6
a 6




 3 
 3 
a 1
Tam giác BHD có OH là trung tuyến và OH =
= BD ⇒ ∆BHD vuông tại H.
3 2
Vậy ( ( SAB ),( SAD ) ) = 900 ⇔ ( SAB ) ⊥ ( SAD ).

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với (ABCD). Biết
ABCD là hình vuông và SA = AB. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng
a) (SAC) ⊥ (SBD).

b) (SAD) ⊥ (SCD).

c) (SCD) ⊥ (ABM).

Bài 2. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SH ⊥ đáy với H thuộc đoạn BC.
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (ABC).
b) Kẻ HI ⊥ AB, HK ⊥ AC. Tứ giác AIHK có đặc điểm gì?
Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

c) Chứng minh (SHI) ⊥ (SAB) và (SHK) ⊥ (SAC).
d) Kẻ HM ⊥ SI, HN ⊥ SK. Chứng minh HM ⊥ (SAB) và HN ⊥ (SAC).
Bài 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai (SAB) và (SAD) cùng vuông góc
với đáy.
a) Chứng minh SA ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD).
c) Cho SA = 2a. Kẻ AH ⊥ (SBC). Tính AH?
Bài 4. [ĐVH]: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh AC’ ⊥ (A’BD) và (ACC’A’) ⊥
(A’BD).
Bài 5. [ĐVH]: Cho ∆ABC vuông tại A. Dựng BB′ và CC′ cùng vuông góc với (ABC).
a) (ABB′) ⊥ (ACC′).
b) Gọi AH, AK là các đường cao của các tam giác ABC và AB′C′. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BCC′B′)
và (AB′C′) cùng vuông góc với (AHK).
Bài 6. [ĐVH]: Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I.
Dựng đoạn SD =

a 6
và vuông góc với (ABC). Chứng minh rằng:
2

a) (SAB) ⊥ (SAC).
b) (SBC) ⊥ (SAD).
Bài 7. [ĐVH]: Cho tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ
giữa a, b, x, y để:

a) (ABC) ⊥ (BCD).
b) (ABC) ⊥ (ACD).
b2
Đ/s: a) x − y + = 0.
2
2

2

b) x2 – y2 + b2 – 2a2 = 0.

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!