Hai mặt phẳng vuông góc

Người thực hiện: Dương Minh Tiến


Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc ( tiết 40-41)
Nội dung chính của tiết học
(tiết 40)

I.Góc giữa hai mặt phẳng
1.Định nghĩa góc giữa hai mp
2. Cách xác định góc giữa hai mp
II. Hai mặt phẳng vuông góc
và các tính chất


Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc ( tiết 40-41)
a

Câu hỏi :
Cho mp (P) và (Q). Lấy hai
đt a và b lần lượt vuông góc
với (P) và (Q) . Khi đó góc
giữa hai đt a và b có phụ
thuộc vào cách lựa chọn
chúng hay không?

a b

b

P

Q


Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc ( tiết 40-41)
I.Góc giữa hai mp

a

1.Định nghĩa 1:

Góc giữa hai mp là
góc giữa hai đt lần lư
ợt vuông góc với hai
mp đó.
Gọi là góc giữa (P)
0
0
và (Q) thì 0 ≤ 90

Khi đó ( (P), (Q) ) = 0o

a’ b’

a

P

P

b

Q

C©u hỏi :

Khi hai mp (P) và (Q)
song song hoặc trùng
nhau thì góc giữa chúng
bằng bao nhiêu?


Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc ( tiết 40-41)
Vy khi hai mặt phẳng (P), (Q)
cắt nhau thì góc giữa chúng
được xác định như thế nào?

∆

Khi đó ( (P), (Q) ) = (p, q)
Thật vậy:
p I
A
a

Gọi a, b ⊂ ( P ) Sao cho a ⊥ p
b⊥ q
⇒ a ⊥ ( P ) và b ⊥ ( Q )

q

C

R

D

b

⇒ (a, b) = ( (P), (Q) )
Mà (a, b) = ( p, q) ( góc có
cạnh tương ứng vng góc ).
⇒ ( (P), (Q) ) = (p, q) (đpcm)

P

Q


Ã
= SAH

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc ( tiÕt 40-41)
Các bước xác định góc
giữa hai mặt phẳng bất kỡ


* Xác định =(P)(Q)
* Chọn I
Trong (P) kẻ a qua I và a
Trong (Q) kẻ b qua I vµ b ⊥ ∆

* ϕ=(a,b)

P
a

I

Q
b


Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc ( tiết 40-41)
S

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình vuông và
SA(ABCD). Gọi AH là đường
cao của SAD, gọi là góc
giữa hai (ABCD) và (SCD).
a. CMR: = SAH = SCA

b. Gọi I là điểm bất kì thuộc
đt CD, trong (SCD) kẻ đt a
qua I và CD, trong (ABCD)
kẻ đt b qua I vµ ⊥CD.
CMR :
ϕ = (a , b)

H
ϕ

A

a

ϕ

ϕ

b
C

B

D
I

Lêi gi¶i
a. SA⊥(ABCD), AH ⊥(SCD)⇒
ϕ = (SA,AH) = SAH = SCA
b. Do a//SC và b//AC nên
= (SA,AH) = (a , b)


Câu hỏi :
Với giả thiết trong ví dụ trên,
xác định góc của các cặp mp
sau: (SBC) và (ABCD), (SAB)
và (SAD)?

S
H

D

A
B

C


Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC).
Ví dụ
Gọi ϕ là góc giữa mp(ABC) và mp(SBC).

CMR: SABC = SSBC.cos ϕ ( kí hiệu S* là diện tích của hình * )
S

Bài giải

Trong ∆ABC kẻ đường cao
AH ( hay AH ⊥ BC)
Vì SA ⊥(ABC)⇒ SA ⊥ BC
⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ SH ⊥ BC
Vậy SHA = ϕ , AH = SH.cos ϕ

A
ϕ

C

H
1
1
B
S ABC = lí 1 . AH = BC.SH . cos ϕ = S SBC . cos ϕ
Định BC
2
2

Gọi S là diện tích của đa giác M trong mặt phẳng (P)
và S’ là diện tích hình chiếu M’ của M trên mặt phẳng (P’)
thì S’ = S.cosϕ , trong đó ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (P), (P’).


Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc ( tiết 40-41)
nh nghĩa 2

Hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) gọi là vng
góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o.
Kí hiệu: ( P ) ⊥ ( Q ) hay ( Q ) ⊥ ( P )

Hoạt
động 2

Ta có: AD ⊥ AB & AD ⊥ AC
AD ⊥ (ABC)
Tương tự: AB ⊥ (ACD)
AC ⊥ (ABD)

B

A

Mà AB, AC, AD đôi một vng góc
⇒ (ABC), (ACD), (ABD) đơi một
vng góc.(đpcm)

D

C


Ã
= SAH

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc ( tiÕt 40-41)

Điều kiện để hai mặt phẳng Câu hỏi
vng góc
Cho a⊥(Q) và (P) ⊃ a. Tính
góc giữa (P) và (Q)
a ⊥ (Q ) 

 ⇒( P ) ⊥ (Q)
( P) ⊃ a 

P

Định lí 2 là phương pháp

chứng minh hai mặt phẳng
vng góc.
Nhận định sau
đúng hay sai

(P) ⊥ ( Q ) 
 ⇒ a ⊥ ( P) Sai
a ⊂ ( Q) 
( R ) ⊥ ( P)
 ⇒ ( Q ) // ( P )
( R) ⊥ ( Q) 
Sai

a

Q

H

c
b

⇒ ( a, b) = ( (P), (Q) )
Mà a ⊥ (Q) ⇒ a ⊥ b
⇒ ( (P), (Q) ) = 90o
Vậy (P) ⊥ (Q)


Ã
= SAH

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc ( tiÕt 40-41)
C©u hái:

Định lí 3:

( P ) ⊥( Q )

Cho (P)(Q). Khẳng định

( P ) (Q ) = b a (Q ) nào sau đây đúng?
a ( P ), a ⊥b 

A.Mäi ®t a n»m trong (P) ®Ịu
S

P Chứng minh

a
c

Q

vng góc (Q).

S
B.Mäi ®t a n»m trong (P) ®Ịu
vng góc víi mäi ®t n»m
trong (Q).

H
b
⇒ ( (P), (Q) ) = (a, b)
Đ
C.Mọi đt a nằm trong (P) và
m (P)(Q) a ⊥ b
vng góc víi giao tun cđa
Vậy : a ⊥ b và a ⊥ c ; b, c ⊂ (Q)
hai mp thì đều (Q).
a (Q) (pcm)


Vậy khi (P) ⊥ (Q)
ta suy ra được
điều gì?

∃a ⊂ ( P ) a ⊥ ( Q )
( P ) ⊥ ( Q ) ⇔
∃b ⊂ ( Q ) b ⊥ (P )

Các nhận xét sau đây là đúng hay sai
A. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt
S
phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước.
Đ
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước
và vng góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.


Ã

= SAH

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc ( tiết 40-41)
P

2. Điều kiện để hai mp vuông
góc
Đk:

a

.

a (Q) 
 ⇒ ( P) ⊥ (Q)
( P) ⊃ a 

(PP CM hai mp vu«ng gãc)

a

A

c
Q

3. TÝnh chÊt cđa hai mp vu«ng HQ1:
gãc
( P) ⊥ (Q), A ∈ ( P) 

( P) ⊥ (Q),( P) ∩ (Q) = c 
a ⊥ (Q), A ∈ a
 ⇒ a ⊥ (Q)
a ⊂ ( P), a c

PP CM đt vuông góc với mp

a (P)


vị trí tương đối của a
và (P) ?


a

HQ2:

P

( P ) ( Q ) = a 

( P ) ⊥ ( R )  ⇒ a ⊥ (R)
( Q) ( R)
R


b

A

Q

c

(PP CM đt vuông góc với mp)
Nếu a ⊥ (P) thì có bao nhiêu
mặt phẳng (Q) qua a và (Q) ⊥
(P)
Nếu a ⊥ (P) thì nhận định
trên cịn đúng hay khơng

Vơ số


HQ3:

 (Q) ⊃ a

a ⊥ ( P) ⇒  (Q) ⊥ ( P)
 (Q) lµ duy nhÊt.


Nhận định sau đây
đúng hay sai?

( P) ⊥ ( R) 
Sai
 ⇒ ( P) ⊥ ( Q)
( Q) ⊥ ( R) 

a

Q

.b

A

Q’
c

P

b ⊂(a, b )
mp(a, b) ⊥ (P) vì

b ⊥( P ) 

Các mặt phẳng cùng đi qua mp(a, b) ≡ (Q)
một điểm cho trước và
Giả sử có mp(Q’) sao cho a ⊂ (Q’)
vng góc với một mặt
Đúng
và (Q’) ≠ (Q) ⇒ a = (Q) ∩ (Q’)
phẳng cho trước thì ln đi Theo HQ2 ⇒ a ⊥ (P) (Mâu thuẫn
qua một đương thẳng cố
giả thiết. (Đpcm)
định

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc ( tiết 40-41)

Bi c

Cách xác định góc giữa hai mp
PP CM hai mp vu«ng gãc
a ⊥ (Q) 
 ⇒ ( P) ⊥ (Q)
( P) ⊃ a 

⊕ Bæ sung hai PP CM đt
S
vuông góc với mp

Câu hỏi và bài tập TNKQ
Bài tập:
Cho hình chóp S.ABCD có
ABCD là hình vuông cạnh a ,
O ; SA=x và SA(ABCD). Gọi
D lần lượt là hình chiếu của A
SB và SD.

đáy
tâm
B ,
trên

Câu 3: CMR : một kết luận sai?
Câu 1: HÃy chọn một kết luận đúng?

Câu 2: Chän (AB’C)⊥(SBC)
( P) ⊥ (Q), ( P) ∩ (Q) = c 
PP1:
 ⇒ a ⊥ (Q ) vµ A.
(SAB)⊥(SAD)
(AD’C)⊥(SCD).
a ( P ), a c
Góc giữa (SBD) và (ABCD) là:

D
Câu 4: Biết rằng góc giữa (SBC) và
B.A.
(SAC)(ABD)
SOC
0
( P) ⊥ (Q) = a 
(SCD)= 60 .TÝnh x theo a.

C.B.
(SAC)⊥(ABCD)
SBA
PP2: ( P) ⊥ ( R)
B’
 ⇒ a⊥(R)
A
D

(Q) ⊥ ( R)
D.§
(SBD)⊥(ABCD)


§ C.
SOA
O
D.
SAO
B
C


Hình lăng trụ đứng
B
C

A
E

B’

Hình chữ nhật

D

Mọi mặt bên của hình lăng trụ
C’ đứng đều vng góc với mặt đáy.

A’
E’

Các mặt bên của hình

lăng trụ đứng là hình
gì?

D’

Tính chất: Các cạnh bên
vng góc với mặt đáy.

Các mặt bên của hình lăng
trụ đứng có vng góc với
mặt đáy khơng?


Hình lăng trụ đều
A2

A3
O

A1

A4
A5

A6
A’3

A’2

A’1

O’
A’6

Các mặt bên của
hình lăng trụ đều có
bằng nhau khơng?

A’5

Bằng nhau

Vậy giữa hình lăng trụ
đứng và hình lăng trụ đều
có gì khác nhau?
Hình lăng trụ đều là
A’4 trường hợp đặc biệt của
hình lăng trụ đứng khi
đáy là một đa giác đều.


Hình hộp đứng
Hình hộp đứng có
bao nhiêu mặt là
hình chữ nhật

α

Có đáy là hình bình hành

Có 4 mặt là HCN, đó là các
mặt bên của nó.


Hình hộp chữ nhật

6 mặt của hình hộp
chữ nhật đều là
HCN ?

Đáy là hình
chữ nhật

Đún
g
Một hình hộp có 6 mặt là HCN có phải là
hình hộp chữ nhật khơng?


Hình lập phương
a
c

b

Hình lập phương có tất cả
các cạnh bằng nhau

Hình hộp
chữ nhật

mà diện
tích các
mặt đều
bằng nhau
có phải
là hình
lập phương
hay khơng?
Theo giả thiết ta có: ab = bc = ca ⇒
a = b = c. Vậy hình hộp CN thoả
điều kiện trên là hình lập phương


4. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.
Định nghĩa:
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu
đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau
S S
S
S

B

B

A

C
C

H

A

C

B
A

D

A

D

H H

B H
E

C

F

D

E


Các mặt bên của hình

chóp đều có gì đặc biệt ?

Có nhận xét như thế
nào về hình chiếu
của các cạnh bên

Là các tam giác cân
S

A

⇒ H là tâm đường trong
ngoại tiếp ∆ABC
Vậy đối với hình chóp đều hình chiếu
của đỉnh bao giờ cũng trùng với tâm đường
tròn ngoại tiếp đa giác đáy

HA = HB = HC

α
C

Xác định góc giữa các
cạnh bên và mặt đáy?
Nhận xét.

H
Các góc tạo bởi cạnh bên với mặt đáy là = SCH
SAH = SBH những
góc bằng nhau.

B


Xác định góc giữa
các mặt bên và mặt
đáy. Nhận xét
S

Góc giữa các mặt bên dễ dàng tìm
được bằng cơng thức định lí cosin

Góc tạo bởi các mặt bên với
mặt đáy là những góc bằng nhau

A

ϕ
M
B

H

Bnhận xét đáy chiếu của đều,
Từ 1: Vẽ mặthình ( tam giác đỉnh tứ
giác đều…)
trùng với tâm của mặt đáy, các em
hãy cho biết cách vẽ một đáy chóp
B2: Xác định tâm của hình
đều?
C B3: Vẽ đường thẳng qua tâm và

vng góc với đáy.
B4: Chọn điểm S và nối các cạnh