thể tích khối lăng trụ p2

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

08. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

DẠNG 2. KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. A ' B ' C ' D có đáy là hình chữ nhật với AB = a; AD = a 3.
Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABD. Biết góc giữa hai
mặt phẳng ( A ' BC ) và (ABCD) bằng 600.

a) Tính thể tích của lăng trụ đã cho.
b) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng A ' B và AC.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' C và BD.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của OB. Biết rằng ( A ' BC ; ABC ) = 600 .

a) Tính thể tích của lăng trụ đã cho.

(Đ/s: V =

a3 3
)
16

b) Tính góc giữa hai đường thẳng AA ' và BC.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và BC.
d) Tính khoảng cách từ G tới mặt phẳng ( AA ' B ) , với G là trọng tâm tam giác B ' C ' C.
Ví dụ 3: [ĐVH]. (Đề thi Đại học khối B – 2011)

Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a 3. Hình chiếu vuông góc
của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và
(ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.

Ví dụ 4: [ĐVH]. (Đề thi Đại học khối A – 2008)
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp
A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA' , B'C' .

Đ/s: VA '. ABC

a3
1
= , cos ( AA ', B ' C ' ) = .
2
4

Ví dụ 5: [ĐVH]. (Đề thi Đại học khối B – 2009)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc giữa đường thẳng BB' và (ABC) bằng 600; tam giác
ABC vuông tại C và BAC = 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên (ABC) trùng với trọng tâm của tam
giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a.
9a 3
.
208
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của A'

Đ/s: VA ' ABC =

trên (ABCD) nằm trong hình thoi, các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc 600.
a) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.

b) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'.

c) Tính thể tích của hộp.
Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Đ/s: a) S ACC ' A ' = a

2

b) S BDD ' B ' = a

2

Facebook: LyHung95

a3 2
c) V =
2

2

Lời giải:
a) Ta có: A ' AD = A ' AB = DAB = 600
⇒ ∆AA ' D, ∆AA ' B, ∆ABD là các tam giác đều
⇒ A ' D = A ' B = a ⇒ ∆A ' BD là tam giác cân

Gọi O = AC ∩ BD ⇒ A 'O ⊥ BD

 BD ⊥ AC
⇒ BD ⊥ ( A ' AC )
Ta có 
 BD ⊥ A ' C
Trong ( A ' AC ) kẻ A ' H ⊥ AC ⇒ BD ⊥ A ' H

 A ' H ⊥ BD
Ta có 
⇒ A ' H ⊥ ( ABCD ) :
 A ' H ⊥ AC
Vậy H nằm trên đường chéo AC
b) ∆A ' BD có A ' D = A ' B = BD = a ⇒ ∆A ' BD là tam giác đều ⇒ A ' O =

Ta có : cos A ' AO =

a 3
2

AA '2 + AO 2 − A ' O 2
a 3
a 3
3
, mà AA ' = a, AO =
, A 'O =
⇒ cos A ' AO =
2. AA '. AO
2
2
3

⇒ sin A ' AO = 1 − cos 2 A ' AO =

6
1
a2 2
⇒ S A ' AO = . AA '. AO.sin A ' AO =
⇒ S ACC ' A ' = 4 S A ' AO = a 2 2
3
2
4

Ta có : BD ⊥ ( AA ' C ) ⇒ BD ⊥ AA ' ⇒ BD ⊥ DD ' ⇒ S BDD ' B ' = BD.BB ' = a.a = a 2
c) Ta có sin A ' AH =

A'H
a 6
⇒ A ' H = AB.sin A ' AH =
AB
3

1
a 6 1
a3 2
⇒ VABCD. A ' B 'C ' D ' = A ' H .S ABCD = A ' H . . AC.BD =
. .a 3.a =
( dvtt )
2
3 2
2

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A bằng 600, chân
đường vuông góc hạ từ B' xuông (ABCD) trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy, cho biết BB' = a.

a) Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.
b) Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.
Đ/s: a) 60

0

3a 3
b) V =
; ΣS = a 2 15
4
Lời giải:

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

a) Gọi O = AC ∩ BD
A = 600 ⇒ ∆ABD là tam giác đều
Ta có: ( BB ', ( ABCD ) ) = ( BB ', BO ) = OBB '

cos OBB ' =

OB 1
= ⇒ OBB ' = 600

BB ' 2

b) B ' O == BB '2 − BO 2 =

a 3
2

a 3 1
3a 3
. .a.a 3 =
2 2
4
Gọi H là hình chiếu của A ' xuống ( ABCD )

⇒ VABCDA ' B ' C ' D ' = B ' O.S ABCD =

⇒ A ' B '/ / OH
Ta có: BH = BD 2 + DH 2 = BD 2 + AO 2 = a 2 +

A' B =

A ' H 2 + BH 2 = B ' O 2 + BH 2 =

cos A ' AB =

3a 2 a 7
=
4
2

3a 2 7 a 2 a 10
+
=
4
4
2

AA '2 + AB 2 − A ' B 2
a 10
1
mà AA " = a, AB = a, A ' B =
⇒ cos A ' AB = −
2. AA '. AB
2
4

a 15
1
a 2 15
a 2 15
⇒ sin A ' AB = 1 − cos A ' AB =
⇒ S A ' AB = AA '. AB.sin A ' AB =
⇒ S AA ' B ' B = 2 S A ' AB =
4
2
8
4
2
Tông diện tích các mặt bên của hình chóp là 4.S ABB ' A ' = a 15
2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
• CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI (Học sinh TB – Khá chỉ nên tham khảo)

Bài 1: [ĐVH]. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên
AA ' = a 3 và hợp với đáy (ABC) một góc 600. Tính thể tích lăng trụ.
3a 3 3
8
Bài 2: [ĐVH]. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A'

Đ/s: V =

xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết AA' hợp với đáy ABC một góc 600.
a) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.

b) Tính thể tích lăng trụ.
Đ/s: V =

a3 3
4

Bài 3*: [ĐVH]. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = a 3, AD = a 7 . Hai mặt
bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy các góc 450 và 600. Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên
bằng a.

Đ/s: V = 3a3

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

Bài 4: [ĐVH]. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đỉnh A' cách đều các
điểm A, B, C và AA ' =

2a 3
. Tính thể tích lăng trụ.
3

a3 3
Đ/s: V =
4
Bài 5: [ĐVH]. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh
A' lên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC và mặt bên (BB'C'C) hợp với đáy (ABC) một góc
600.
a) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.

b) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'.
3a 3 3
8
Bài 6: [ĐVH]. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh bên CC' = a và hợp

Đ/s: V =

với đáy ABC một góc 600, C' có hình chiếu trên ABC trùng với O.
a) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.

b) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'.

a2 3
3a 3 3
b) V =
2
8
Bài 7: [ĐVH]. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết chân đường vuông góc hạ
từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.

Đ/s: a) S AA ' B ' B =

a) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
b) Tính thể tích lăng trụ.
a3 3
8
Bài 8: [ĐVH]. Cho lăng trụ xiên ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C' trên
(ABC) là O. Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và hai mặt bên (AA'C'C) và

Đ/s: a) 300

b) V =

(BB'C'C) hợp với nhau một góc 900.

Đ/s: V =

27 a 3
.
4 2

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!