Một số bài toán khảo sát hàm số

Bài 7 :

MỘT SỐ BÀI TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ


Bài toán 1:

Tìm giao điểm của hai đường
Giả sử hàm số y=f(x) có đồ thị là (C ) và hàm số
y=g(x) có đồ thị là (C1).Hãy tìm các giao điểm của
(C) và (C1).


Cách Giải :
B1: Giải phương trình hoành độ giao điểm sau :
f(x) =g(x)
(1)
B2: Tính các giá trị của y0 ,y1…. tương ứng với
các giá trị x0 ,x1…. tìm được ở (1).
B3:Ghi các giao điểm (x0,y0) ; (x1,y1)…
Chú ý : Ta có thể làm ngược lại , Có nghĩa là dưạ vào đồ thị để
biện luận số nghiệm của phương trình


Ví Dụ 1 :
Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số sau :

x2 − 6x + 3
y=
x−2

và

y = x−m

Cách giải :
Xét phương trình hoành độ giao điểm :

x2 − 6x + 3
= x−m
x−2
 x 2 − 6 x + 3 = ( x − m)( x + 2)
⇔
x ≠ 2

 x 2 − 6 x + 3 = x 2 + (2 − m) x − 2m
⇔
x ≠ 2

(1)


 x2 − 6 x + 3 = x − m
⇔
x ≠ 2

(8 − m) x − 3 − 2m = 0
⇔
x ≠ 2

(2)

Biện luận :
1) m = 8.Phương trình (2) có dạng: 0x19=0
⇒ (2) Vô nghiệm ⇒ Không có giao điểm
2) m ≠ 8.Phương trình (2) có nghiệm duy nhất x =
3 + 2m
nghiệm này khác -2 , vì nếu 8 − m = −2

3 + 2m
8−m

thì 3+2m = -16 + 2m

3 = -16 (vô lý). Vậy trong
hợp này , có một giao điểm
3 + 2trường
m
x=
;y = x−m
là (x ;y) với

8−m


Ví dụ 2 :
a) Vẽ đồ thị hàm số
y = f(x) = x3 + 3x2 -2

(C )

b) Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phươnh trình
x3 + 3x2 – 2 = m

(3)

Giải :
a) Đồ thị hs tự vẽ.
b) Số nghiệm của (3) chính là số giao điểm của đường thẳng y = m
và đồ thị (C ) .Ta vẽ thêm đường thẳng y = m và tìm số giao diểm
cuả để suy ra số nghiệm của (3)



Biện luận:
a) m > 2 : (3) có một nghiệm.
b) m = 2 : (3) có 2 nghiệm (một đơn , một kép).
c) -2 < m < 2 : (3) có 3 nghiệm.
d) m = -2 : (3) có hai nghiệm (một đơn , một kép).
e) m < -2 : (3) có một nghiệm.


Bài toán 2 :
Viết phương trình tiếp tuyến
Cho hàm số y = f(x).
a) Gọi (C) là đồ thị của nó, hãy viết phương trình
của tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm
M0(x0,f(x0)).
b) Hãy viết phương trình các đường thẳng đi qua
điểm M1(x1,y1)và tiếp xúc với (C)

c) Hãy viết phương trình các đường thẳng có hệ số
góc k và tiếp xúc với (C)


Cách Gi ải :

a) Ta đã biết phương trình của tiếp tuyến của (C)
tại M(x0,y0) (y0 = f(xo) ) :
y – y0 = f’(x0)(x – x0)
b) Đường thẳng d đi qua M1(x1,y1) và có hệ số góc
k có phương trình là : y = k(x – x1) + y1 .
Để cho đường thẳng d tiếp xúc với (C),hệ
phương trình sau phải có nghiệm :
 f ( x) = k ( x − x1 ) + y1

 f '( x) = k

Hệ trên cho phép xác định hoành độ x0 của tiếp
điểm,và hệ số góc k = f(x0)của tiếp tuyến.


Cách Gi ải :
c)Với k đã cho,giải phương trình : f’(x) = k,
ta tìm được hoành độ các tiếp điểm x0,x1,…
Từ đó suy ra phương trình các tiếp tuyến phải
tìm :
y – yi = k(x –xi) (i = 0,1,2,…..)


BTVN :

1)Dùng đồ thị ,biện luận theo m số nghiệm của
phương trình :
x3 – 6x + 5 – m = 0

(1)

2) Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình :
mx2 – (3m + 1 )x + 2m = 0
Bài tập : 1 ,2 ,3 ,4 ,5 SGK trang 103,104

(2)