Các câu hỏi phụ trong bài toán khảo sát hàm số P1

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

2

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

C©u 1 Cho hàm số
1
1
x
y
x



(1) ,có đồ thò là (C)
1. Khảo sát hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C),biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1).
3.
0 0
( , )M x y
la ømột điểm bất kỳ thuộc (C) .Tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm
cận đứng và đường tiệm cận ngang của(C) theo thứ tự tại A và B .Gọi I là giao điểm của
hai đường tiệm cận của (C) .Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không phụ thuộc
vào vò trí của điểm M.
C
©u 2: (2 điểm) Cho hàm số:
2
1
x
y

x




1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Cho điểm A(0;a). Xác đònh a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai
tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.
C
©u 3: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò
( )C
của hàm số
2
2 1
1
x x
y
x
 



2) Gọi
( )M C
có hoành độ
M
x m
. Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ M
đến hai đường tiệm cận của

( )C
không phụ thuộc vào m
C©u 4: (2 điểm) Cho hàm số:
2
2 2
1
x mx
y
x
 


với m là tham số.
1) Xác đònh m để tam giác tạo bởi 2 trục toạ độ và đường tiệm cận xiên của hàm số
trên có diện tích bằng 4.
2) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số trên khi m= -3.
C
©u 5: (2 điểm) Cho hàm số:
4 2 2
( 10) 9y x m x   

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số ứng với m=0
2.Chứng minh rằng với mọi
0m 
,đồ thò của hàm số luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân
biệt .Chứng minh rằng trong số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3,3)
và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3,3)
C
©u 6: (2 điểm) Cho hàm số
3 2

( ) ( 3) 3 4y f x x m x x     
(m là tham số)
1.Tìm m để đồ thò hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu.Khi đó viết phương
trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trò này
2.Tìm m để
( ) 3f x x
với mọi
1x 

C
©u i 7: (2 điểm) Cho hàm số
2
6 9
2
x x
y
x
 

 

a)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số.
b) Tìm tất cả các điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được
tiếp tuyến với đồ thò,song song với đường thẳng
3
4
y x 

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

3
C©u 8: (2 điểm) Cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x     
(1)
a) Khảo sát hàm số (1) khi m=1
b) Chứng minh rằng,
m
hàm số(1) luôn đạt cực trò tại
1
x
,
2
x
với
1 2
x x
không phụ thuộc
m
C
©u 9: (2 điểm)
a) Khảo sát hàm số:
2
5 4y x x  

b) Cho 2 parabol:
2
5 6y x x  
và

2
5 11y x x   

Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 parabol trên
Bµi 10: (2 điểm)
a. Khảo sát,vẽ đồ thò (C) của hàm số
3 2
3y x x 

b. Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng ba tiếp tuyến của đồ
thò (C) ,trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
C
©u 11: (2 điểm) Cho hàm số
4 3 2
3 4(1 ) 6 1y x m x mx m     
có đồ thò
( )
m
C
.
1. Khảo sát hàm số trên khi m= -1
2. Tìm giá trò âm của tham số m để đồ thò và đường thẳng
( ) : 1y 
có ba giao
điểm phân biệt.
C©u
12: (2 điểm)
Cho hàm số:
3 2
3 ( 2) 2y x x m x m    

( )
m
C

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò(C
1
) của hàm số khi m=1
C©u
13: (2 điểm) Cho hàm số
3 2
7 3y x mx x   
(1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số (1) với m= 5
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu. Lập phương trình đường thẳng qua
điểm cực đại và cực tiểu đó.
C©u 14: (2 điểm) Cho hàm số
4 2
2y x x 

1a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số
1b. Dựa vào đồ thò (C) ,hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình :
4 2
2 0x x m  

C©u 15: (2 điểm)
a. Khảo sát hàm số (C) có phương trình:
2
4 8
2

x x
y
x
 



b. Từ đồ thò hàm số (C) suy ra đồ thò của hàm số :
2
4 8
2
x x
y
x
 



c. xét đồ thò họ (C
m
) cho bởi phương trình
2 2
4 8
2
x x m
y
x
  



. Xác đònh tập
hợp những điểm mà không có đồ thò nào trong họ (C
m
) đi qua.
C©u 16:
1. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò(C) hàm số: y = -(x + 1)
2
(x+4).
2. Dùng đồ thò (C) để biện luận theo số nghiệm của phương trình : (x + 1)
2
(x+4) =
(m+1)
2
(m+4)
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

4
C©u 17: ( 3 điểm) Cho hàmsố
2
( 1)( )y x x mx m   
(1), với m là tham số thực
1.Khảo sát hàm số (1) ứng với m= -2
2.Tìm các giá trò của m để đồ thò của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành .Xác đònh tọa
độ của tiếp điểm tương ứng trong mỗi trường hợp của m.
C©u 18: ( 3 điểm) Cho hàm số
1
1
x
y
x




(1) ,có đồ thò là (C)
1. Khảo sát hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C),biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1).
3.
0 0
( , )M x y
la ømột điểm bất kỳ thuộc (C) .Tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và
đường tiệm cận ngang của(C) theo thứ tự tại A và B .Gọi I là giao điểm của hai đường
tiệm cận của (C) .Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vò trí
của điểm M.
C©u 19: ( 2 điểm) Cho hàn số y= f(x) =
3
2( 1)
3
m
x m x 
( m là tham số )
a. Khảo sát hàm số khi m= 1
b. Tìm tất cả giá trò m sao cho hàm số có cực đại ,cực tiểu và tung độ điểm cực đại
CD
y
,
tung độ điểm cực tiểu
CT
y
thỏa:
2 3

2
( ) (4 4)
9
CD CT
y y m  

C©u 20: ( 2 điểm)
1. Khảo sát hàm số
1
1
y x
x
 

.Gọi (C) là đồ thò của hàm số.
2. Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) kẻ từ điểm A=(0;3)
CÂU 21: ( 4 điểm) Cho hàm số
3 2
( ) 2 2y f x x x x    

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò(C) của hàm số trên.
b. Biện luận theo k số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng (D
1
) : y=kx+2
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò (C) ,trục hoành và đường thẳng(D
2
) : y =
- x +1
CÂU 22:( 2 điểm)
Cho hàm số

2
3 2x x
y
x
 


1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò(C) của hàm số.
2. Tìm trên đường thẳng x=1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến
(C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
CÂU 23:( 2 điểm) Cho hàm số
2
3 2x x
y
x
 


1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò( C) của hàm số.
2.Tìm trên đường thẳng x=1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến
(C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
CAU 24:(3 điểm)
Cho hàm số
4 2
2 2y x x m   
(có đồ thò là
( )
m
C
), m là tham số

1. Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số khi m= 0
2. Tìm các giá trò của m sao cho đồ thò
( )
m
C
chỉ có hai điểm chung với trục Ox
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

5
3. Chứng minh rằng với mọi giá trò của m tam giác có 3 đỉnh là ba điểm cực trò của
đồ thò
( )
m
C
là một tam giác vuông cân
CAU 25
1. Khảo sát hàm số :
4 2
5 4y x x  

2. Hãy tìm tất cả các giá trò a sao cho đồ thò hàm số
4 2
5 4y x x  
tiếp xúc với đồ
thò hàm số
2
y x a 
Khi đó hãy tìm tọa độ của tất cả các tiếp điểm
CÂU 26: Cho hàm số
3 2 2

(2 1) ( 3 2) 4y x m x m m x      

1.Khảo sát hàm số khi m=1
2. Trong trường hợp tổng quát ,hãy xác đònh tất cả các tham số m để đồ thò của hàm
số đã cho có điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía của trục tung
CÂU 27:
1. Khảo sát hàm số:
2
3 6
1
x x
y
x
 


(1).
2. Từ đồ thò của hàm số (1) , hãy nêu cách vẽ và vẽ đồ thò của hàm số:
2
3 6
1
x x
y
x
 


3.Từ
góc toạ độ có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến của hàm số (1) ? Tìm toạ độ các tiếp
điểm (nếu có).

CÂU 28: Cho hàm số :
3
1
3
y x x m  
(1) , m là tham số
1. Khảo sát hàm số (1) khi
2
3
m 

2. Tìm các giá trò của tham số m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt.
CÂU 29:
Cho hàm số :
2
2
x x
y
x



(C)
1. Khảo sát hàm số (C)
2. Đường thẳng
( )
đi qua điểm B(0,b) và song song với tiếp tuyến của (C) tại
điểm O(0,0) .Xác đònh b để đường thẳng
( )

cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N. Chứng
minh trung điểm I của MN nằm trên một đường thẳng cố đònh khi b thay đổi.
CÂU 30: Cho hàm số :
2
2 2
1
x mx
y
x
 


, (m là tham số )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số với m=1
2. Tìm giá trò của m để đường thẳng hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và
khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x+y+2=0 bằng nhau
Câu 31:
Cho hàm số :
3 2
6 9y x x x  

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
2.a) Từ đồ thò của hàm số đã cho hãy suy ra đồ thò của hàm số :

3
2
6 9y x x x  

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

3
2
6 9 3 0x x x m    

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

6
Câu 32 :( 2,5 điểm) 1. Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
 



a. Khảo sát hàm số đã cho.
b. Xác đònh điểm
1 1
( ; )A x y
( với
1
1x 
) thuộc đồ thò của hàm số trên sao cho khoảng
cách từ A đến giao điểm của 2 tiệm cận của đồ thò là nhỏ nhất.
2. Tìm tập giá trò của hàm số
2
3

1
x
y
x



và các tiệm cận của đồ thò của hàm số đó
Câu 33:
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
 



2. Tìm điểm M trên đồ thò của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm
của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
Câu 34: Cho hàm số :
2
1
1
x mx
y
x
 




Tìm các giá trò của m để tiệm cận xiên của đồ thò của hàm số đã cho cắt trục toạ
độ tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 18.
Câu 35 :
Cho hàm số
3 2
3( 1) 3(2 1) 4y x m x m x      
( m là tham số )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số với m=1
2. Tìm giá trò của m để đồ thò hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và hai điểm
đó đối xứng qua điểm I(0,4)
Câu 36: Cho hàm số
2
2 (6 )
2
x m x
y
mx
 



1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
2. Khảo sát hàm số khi m=1 (C).
3. Chứng minh rằng tại mọi điểm của đồ thò (C) tiếp tuyến luôn luôn cắt hai tiệm
cận một tam giác có diện tích không đổi.
Câu 37:
1. Cho hàm số

3 2
3( 1) 3 ( 2) 1y x a x a a x     
trong đó a là tham số .
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi a= 0
b. Với các giá trò nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trò của x sao
cho:
1 2x 

2. Tìm tất cả các giá trò của tham số m để đồ thò hàm số
2
3 3
m
y x x
x
   
có ba điểm
cực trò .Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trò này đều nằm trên đường
cong:
2
3( 1)y x 

Câu 38:
1. Hãy vẽ đồ thò hàm số :
2 2 2 2
( 1) 4y x x x x     

2.Tìm toạ độ các giao điểm của các đường tiếp tuyến của đồ thò hàm số
1
3
x

y
x



với
trục hoành ,biết rằng các tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y=x+2001.
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

7
Câu 39: Cho hàm số :
2 3 2
( 1) 2 ( 2)m x mx m m
y
x m
    



( )
m
C
trong đó m là tham số.
1. Khảo sát hàm số đã cho với m= 0
2. Xác đònh tất cả các giá trò của m sao cho hàm số
( )
m
C
luôn luôn nghòch biến trên
các khoảng xác đònh của nó.

Câu 40:
1. Khảo sát hàm số :
2
5
2
x x
y
x
 


(C)
2. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thò (C) đến
các tiệm cận là một hằng số không phụ thuộc vò trí điểm M.
3. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thò (C) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ
nhất.
Câu 41:
Cho hàm số
3 2 2
3y x x m x m   

1. Khảo sát ( xét sự biến thiên . vẽ đồ thò ) hàm số ứng với m= 0.
2. Tìm tất cả giá trò của tham số m để hàm số có cực đại , cực tiểu và các điểm cực
đại , cực tiểu của đồ thò hàm số đối xứng với nhau qua đường thẳng
1 5
2 2
y x 

CÂU 42 : Cho hàm số :
3

3y x x 
(1)
1. Khảo sát hàm số (1)
2. Chứng minh rằng khi m thay đổi ,đường thẳng cho bởi phương trình
y=m(x+1)+2 luôn cắt đồ thò (1) tại một điểm A cố đònh.
Hãy xác đònh các gía trò của m để đường thẳng cắt đồ thò hàm số (1) tại 3 điểm
A,B,C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thò tại B vàC vuông góc với nhau.
Câu 43:

Cho hàm số :
2 2
2
2
x x m
y
x
 



1. Tìm giá trò của m sao cho
2y 
với mọi
2x  

2. Khảo sát hàm số với m=1
Câu 44 :
Cho hàm số :
2
8

8( )
x x
y
x m



(1) ,trong đó m là tham số .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1) với m=1.
2. Tìm tất cả các giá trò của tham số m sao cho hàm số (1) đồng biến trên
[1, )

Câu 45:

1. Khảo sát hàm số :
2
( 1) ( 2)y x x  

2. Cho đương thẳng

đi qua điểm M(2,0) và có hệ số góc là k . Hãy xác đònh tất cả các
giá trò của k để đường thẳng

cắt đồ thò hàm số sau tại bốn điểm phân biệt :
3
3 2y x x  

Câu 46:
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

8
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số :
3 1
3
x
y
x



(1)
2. Tìm một hàm số mà đồ thò của nó đối xứng với đồ thò hàm số (1) qua đường thẳng
x + y – 3 = 0 .
3. C là điểm bất kỳ trên đồ thò hàm số (1) .tiếp tuyến với đố thò hàm số (1) tại C cắt
tiệm cận đứng và ngang tại A và B .Chứng minh rằng C là trung điểm của AB và tam
giác tạo bởi tiếp tuyến đó với hai tiệm cận có diện tích không đổi.
CÂU 47 :
Cho hàm số :
4 2
4y x x m  
(C).
1. Khảo sát hàm số với m = 3
2. Giả sử đồ thò cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt .Hãy xác đònh m sao cho hình
phẳng giới hạn bởi đồ thò (c) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới
trục hoành bằng nhau .
Câu 48: Cho hàm số :
3 2
1
1
3

y x mx x m    

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số ứng với m= 0 .
2. Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thò của hàm số đã khảo sát , hãy tìm tiếp tuyến
có hệ số góc nhỏ nhất .
3. Chứng minh rằng với mọi m , hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu
.Hãy xác đònh m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất
Câu 49: Cho hàm số :
3 2
6 9y x x x  

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số.
2. a. Từ đồ thò của hàm số đã cho hãy suy ra đồ thò của hàm số
3
2
6 9y x x x  

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
3
2
6 9 3 0x x x m    

Câu 50
: Cho hàm số :
3 2
( 2) 3 5y m x x mx    
(m là tham số )
1. Với giá trò nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu.
2. Khảo sát hàm số (C) ứng với m= 0 .
3. Chứng minh rằng từ điểm A(1;-4) có 3 tiếp tuyến với đồ thò (C).

Câu 51:
1. Cho hàm số :
3 2
3( 1) 3 ( 2) 1y x a x a a x     
trong đó a là tham số .
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi a= 0.
b.Với các giá trò nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trò của x
sao cho :
1 2x 

2. Tìm tất cả các giá trò của tham số m để đồ thò hàm số :
2
3 3
m
y x x
x
   
có ba
điểm cực trò .Khi đó chứng minh rằng cả ba điểm cực trò này đều nằm trên đường
cong:
2
3( 1)y x 

Câu 52 :
Cho hàm số :
2
1
1
x x
y

x
 



1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số .Gọi đồ thò đó là (C)
2. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) tới hai
tiệm cận của nó là một số không đổi .
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

9
Câu 53: Cho hàm số :
3 2
2 3 12 1y x x x   
(1)
1. Khảo sát hàm số (1) .
2. Tìm điểm M thuộc đồ thò (C) của hàm số (1 ) sao cho tiếp tuyến của (C) tại hai
điểm đi qua gốc toạ độ .
Câu 54: Cho hàm số :
2
( 2) 1
1
x m x m
y
x
   



1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi m = 2 .

2. Tìm m để trên đồ thò có hai điểm phân biệt A,B sao cho :

5 3 0,
A A
x y  
;
5 3 0
B B
x y  

Tìm m để hai điểm A,B đó đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) có phương trình:
x + 5y + 9 = 0.
Câu 55: Cho hàm số :
3 2
2y x x x  

1. Khảo sát hàm số đã cho .
2. Tìm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thò vừa vẽ và đường thẳng y= 4x
Câu 56
: Cho hàm số:
2
2 3
2 1
x x m
y
x
  



1. Với những giá trò nào của tham số m thì hàm số nghòch biến trong khoảng
1
;
2
 
 
 
 
?
2. Khảo sát hàm số khi m = 1.
Câu 57 : Cho hàm số :
3 2
3 2( 1) 2y mx mx m x    
,trong đó m là tham số thực.
1. Tìm những điểm cố đònh mà mọi đường cong của họ trên đều đi qua .
2. Chứng tỏ rằng những điểm cố đònh đó thẳng hàng và từ đó suy ra họ đường cong
có chung một tâm đối xứng.
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số ứng với giá trò m=1
4. Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thò tại điểm uốn và chứng tỏ rằng trong
các tiếp tuyến của đồ thò thì tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất.
5. Tìm diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số ( ứng với m = 1) ; tiếp tuyến
tại điểm uốn và trục Oy.
Câu 58: Cho hàm số :
3 2 2
3 3( 1) 2y x mx m x    

1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số đã cho khi m= 1.
2. Tìm giá trò tham số m để đồ thò hàm số đã cho các điểm cực đại ,cực tiểu ,đồng
thời các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung .
CÂU 59: Cho hàm số

2
3
1
x
y
x



(1)
1. Khảo sát hàm số (1)
2. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm
2
2,
5
M
 
 
 
sao cho d cắt đồ thò hàm
số (1) tại hai điểm phân biệt A ,B và M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
CÂU 60:
Cho hàm số :
3 2 2
3y x x m x m   

1. Khảo sát (xét sự biến thiên, vẽ đồ thò ) hàm số ứng với m= 0
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

10

2. Tìm tất cả các giá trò của tham số m đề hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm
cực đại ,cực tiểu của đồ thò hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
2 2
y x 

CÂU 61:
1. Khảo sát (xét sự biến thiên ,vẽ đồ thò) hàm số :
2
1
1
x x
y
x
  


.
Gọi đồ thò là (C)
2. Chứng minh rằng với mọi gía trò của m ,đường thẳng y=m cắt (C) tại hai
điểm phân biệt A ,B .Xác đònh giá trò của m để độ dài đoạn AB ngắn nhất.
CÂU 62:

1.Khảo sát (xét sự biến thiên ,vẽ đồ thò) hàm số :
2
1
x
y
x



.Gọi đồ thò là (C)
2.Tìm trên đường thẳng y=4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ tới đồ thò
(C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc
45

CÂU 63: Cho hàm số
3 2
2 3( - 3) 11- 3y x m x m  
(
m
C
)
1) Cho m=2 . Tìm phương trình các đường thẳng qua
19
( , 4)
12
A
và tiếp xúc
với đồ thò (
2
C
) của hàm số .
2) Tìm m để hàm số có hai cực trò. Gọi
1
M
và
2
M
là các điểm cực trò ,tìm

m để các điểm
1
M
,
2
M
và B(0,-1) thẳng hàng.
Câu 64:
Cho hàm số :
3
1 2
3 3
y x x  
(1)
a. Khảo sát sự biến thiên và cẽ đồ thò (C) của hàm số (1)
b. Tìm trên đồ thò (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thò (C) vuông góc với đường
thẳng :
1 2
3 3
y x  

c. Tính tích phân :
1
2 2
0
(1 )x x dx 


Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

11


Chuyªn ®Ị kh¶o s¸t hµm sè: Híng dÉn vµ ®¸p ¸n
Bài 1:
1) Khảo sát hàm số:



1
1
x
y
x
(C) TXĐ: D = R \ (1)
2
2

' 0
( 1)
y
x

  

Hàm số giảm trên từng khoảng xác đònh.
TCĐ: x = 1 vì

 
1
lim
x
y

TCN: y = 1 vì

lim 1
x
y

BBT:

Đồ thò:


2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1):
Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k:y = k( x-3) + 1
(d) tiếp xúc (C)









2
x+1
= k(x-3) + 1 (1)
x-1
-2
= k (2)
(x-1)
có nghiệm
Thay (2) vào (1) :

 

2
1 -2(x-3)
1
1 (x-1)
x
x

          
2 2
1 2( 3) ( 1) 4 8 2x x x x x

Thay vào (2)
  2k
Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua P là: y= -2x + 7
3)

0 0 0
( , ) ( )M x y C
. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác
có diện tích không phụ thuộc M.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:
  
0 0 0
'( )( )y f x x x y


  

  
  
  
2
0 0 0
0
2 2
0 0 0
2
0
1 3 1
3

)
1 ( 1) ( 1)
-3
(
( -1)
x x x
x x
x x x
y x
x

Giao điểm với tiệm cận đứng x =1.
 
 
   
 
 
 
0 0
0 0
4 4
1 1,
1 1
x x
x y A
x x

Giao điểm với tiệm cận ngang y = 1.
 
 

   
 
 
0 0
5 2 5 2
1 ,1
3 3
x x
y x B

Giao điểm hai đường tiệm cận: I(1, 1)
Ta có :
 
      

0 0
0
4 5 21 1 1
. . 1 . 1
2 2 2 1 3
A I B I
IAB
x x
IA IB y y x x
x
S


   


0
0
5 21 5 25
. 1 hằng số
2 1 3 6
x
x
Vậy:
IAB
S
không phụ thuộc vào vò trí điểm M.
A
B
M
O
x
y
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

12


C©u 2: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số:
2
1
x
y
x




TXĐ: D=R\{1}
 
3
,
0
2
1
y
x

  

Hàm số giảm trên từng khoảng xác đònh
TCD: x=1 vì
lim
1
y
x
 
 

TCN: y=1 vì
lim 1y
x

 

BBT:

Đồ thò:

2) Xác đònh a để từ A(0,a) kẻ được 2 tiếp tuyến đến
(C)
sao cho 2 tiếp điểm đến nằm về 2 phía của 0x.
Gọi
( ; ) ( )
0 0
M x y C
2
0
0
1
0
x
y
x

 


Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:
'
( )( )
0 0 0
y f x x x y  

2
2 4 2

3 3
0 0 0
( )
0
2 2 2
1
( 1) ( 1) ( 1)
0
0 0 0
x x x
y x x y x
x
x x x
  
 
      

  

Tiếp tuyến qua A(0,a)
2
4 2
0 0
2
( 1)
0
x x
a
x
 

 


2
( 1) 2( 2) 2 0
0 0
a x a x a
      
(1)
(vì
0
x
=1 không là nghiệm)
Điều kiện để có 2 tiếp tuyến kẻ từ A là:
1 0
1
,
2
0
a
a
a
 





 
 

 


Khi đó (1) có 2 nghiệm là
0
x
,
1
x


Tung độ tiếp điểm
2
0
0
1
0
x
y
x



và
2
1
1
1
1
x

y
x



Điều kiện 2 tiếp điểm nằm về 2 phía
Ox.
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

13
 
2 2( ) 4
2
0 0 1 0 1
1
0 . 0 0
0 1
1 1
1
0 1
0 1 0 1
2 4( 2)
4
9 6 2
1 1
0 0 3 2 0
2 2( 2)
3 3
1
1 1

x x x x x
x
y y
x x
x x x x
a a
a
a a
a a
a a
a a
   

     
 
  
 
 
 
 
         
 

 
 

Tóm lại:
2, 1
2
3

a a
a
  







2
3
a

 
và
1a 
ĐS:
2
, 1
3
a a

 

C©u 3: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số:
2
2 1
1

x x
y
x
 



TXĐ: D = R\{-1}
2
2 4
'
2
( 1)
x x
y
x




0
' 0
2
x
y
x


 


 


Tiệm cận đứng: x= -1 vì
lim
1
y
x
 
 

Ta có:
2
2 1
1
y x
x
  

Tiệm cận xiên: y = 2x - 1 vì
2
lim 0
1x
x


 

BBT

Đồ thò:
Cho x = 1 suy ra y = 2.




2) Gọi M
 (C) có X
M
= m. Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách
từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) không phụ thuộc m.
Ta có: X
M
= m
2
2 1
1
y m
M
m
   


Tiệm cận đứng : x + 1 = 0 (D1)
Suy ra d
1
(M, D1)
1

1
1
m
m

  

Tiệm cận xiên: 2x – y – 1 = 0 (D2) d
2
(M,D2) =
2
2 2 1 1
2
1
5 5 1
m m
m
m
   




Suy ra d
1
.d
2
=
2 2
1

5 1 5
m
m
 

(không phụ thuộc m)
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

14
C©u 4: (2 điểm) Cho hàm số:
2
2 2
1
x mx
y
x
 



1) Tìm m để diện tích tam giác tạo bởi TCX và 2 trục tọa độ bằng 4.
Ta có:
2 2
1
m
y x m
x
   


Với
0m 
thì TCX: y = 2x + m + 2 vì
lim 0
1
m
x
x


 

Giao điểm TCX và Ox: y = 0









 0,
2
2
2
2 m
A
m
x

Giao điểm TXC và oy:
0 2 (0, 2)x y m B m     

1 1 2
. 2 4
2 2 2
OAB
m
S OA OB m

     

2
2
( 2) 16
6
m
m
m


   

 

( thỏa điều kiện
0m 
)
2) Khảo sát và vẽ đồ thò khi m = -3:

2
2 3 2
(C)
1
x x
y
x
 



TXĐ: D = R\ {1}
0
)1(
542
'
2
2




x
xx
y

1x


Suy ra hàm số tăng trên từng khoảng xác đònh.

TCĐ: x = 1 vì
lim
1
y
x
 


TCX: y = 2x - 1 (theo câu 1)

BBT:


Đồ thò:
0 2, 2 0x y x y     




C©u 5: (2 điểm) Cho: y = x
4
– (m
2
+ 10)x
2
+ 9 (C
m
).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số với m = 0. y = x

4
– 10x
2
+ 9
TXD: D = R
3 2
' 4 20 4 ( 5)y x x x x   

0
' 0
5
x
y
x


 

 


5 44
2
'' 12 20 '' 0
3 9
y x y x y

       



điểm uốn
5 44 5 44
; ;
3 9 3 9
  
  
  
  
  

BBT:

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

15
Đồ thò:
Cho
2
1 1
0
2 3
9
x x
y
x
x

  



  

 









2) Chứng minh rằng với

0m 
, (C
m
) luôn luôn cắt Ox
tại 4 điểm phân biệt trong đó có hai điểm nằm

(-3,3)
và 2 điểm nằm ngoài (-3,3).
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và Ox.
4 2 2
( 10) 9 0x m x   
(1) Đặt
2
( 0)t x t 

Phương trình trở thành:
2 2
( 10) 9 0t m t   
(2)
Ta có:










mmS
P
mm
,010
09
,036)10(
2
22


0 < t
1
< t
2


(1) có 4 nghiệm phân biệt
2 1 1 2
x x x x    

Đặt f(t) =
2 2
( 10) 9t m t  
Ta có: af(9)=
2 2
81 9 90 9 9 0, 0m m m       

0 9
1 2
t t   

2
9 ( 3;3)
1 1
3 3
2 1 1 2
2 ( 3;3)
9
2
2
x x
x x x x
x
x


  

 
          
 
 
 




Vậy (C
m
) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó 2 điểm
( 3,3) 
và 2 điểm
( 3,3) 
.

C©u 6: (2 điểm) Cho hàm số
3 2
( ) ( 3) 3 4y f x x m x x     
(m là tham số)
1) Tìm m để đồ thò hàm số có điểm cực đại và cực tiểu. Khi đó viết phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm cực trò này.
Ta có:
2 2
' 3 2( 3) 3; ' 0 3 2( 3) 3 0 (1)y x m x y x m x         

Hàm số có CĐ, CT

(1) có 2 nghiệm phân biệt.
2 2
' 0 ( 3) 9 0 6 0 6 0m m m m m              

Chia f(x) cho f’(x) ta được :
1 1 2 1
2
'( ) ( 3) ( 6 ) 5
3 9 9 3
y f x x m m m x m
 
      
 
 

Vậy phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò là:
2 1
2
( 6 ) 5
9 3
y m m x m    
.
2) Tìm m để
( ) 3f x x
với mọi
1x 
Ta có:
4

3 2
( ) 3 , 1 ( 3) 4 0 , 1 3 , 1
2
f x x x x m x x m x x
x
               

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

16
min ( )
1
m g x
x
 

với
4
( ) 3
2
g x x
x
  

Ta có:
3
8 8
'( ) 1 , 1 ; '( ) 0 2
3 3
x

g x x g x x
x x

       

+) BBT:
min ( ) 0
1
g x
x
 

Vậy:
0m 

C©u 7: (2 điểm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò
2
6 9
( )
2
x x
y C
x
 

 

 TXĐ: D = R\ {2}
2

4 3
'
2
( 2)
x x
y
x
 

 

1
' 0
3
x
y
x


 




TCĐ: x = 2 vì
lim
2x
 

; Ta có:

1
4
2
y x
x
   
 

TCX: y = - x + 4 vì
1
lim 0
2x
x
 
 
 

BBT:

Đồ thò:
Cho x = 0
9
2
y 

b) Tìm M

Oy sao cho tiếp tuyến kẻ từ M đến (C)
song song với đường thẳng y=
3

4

x có dạng.
Gọi M(0, b)
Oy
, tiếp tiếp qua M song song
đường thẳng
3
4
y x 
có dạng: (D):
3
4
y x b  

(D) tiếp xúc (C)
2
6 9 3
(1)
2 4
2
4 3 3
(2)
2
4
( 2)
x x
x b
x
x x

x

 

  
 





  

 

 

co ù nghiệm

(2)
2
4 0 0 4x x x x      
Thay vào (1):
9 5
0 ; 4
2 2
x b x b     

Vậy :
9 5

(0; ), (0; )
1 2
2 2
M M

C©u 8: (2 điểm)
a) Khảo sát (1)
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1 (1)y x m x m m x     
khi m= 1:
3 2
1: 2 9 12 1m y x x x    
TXĐ: D= R
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

17
1 6
2
' 6 18 12 ; ' 0
2 5
3 11 3 11
'' 12 18 ; '' 0 ,
2 2 2 2
x y
y x x y
x y
y x y x y
  

    


  

 
       
 
 
điểm uốn I




BBT:

Đồ thò:



b) Chứng minh rằng

m hàm số (1) luôn đạt cực trò
tại x
1
, x
2
với x
1
- x
2
không phụ thuộc m.

Ta có:
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
2 2
' 6 6(2 1) 6 ( 1); ' 0 (2 1) ( 1) 0 (*)
2
(2 1) 4 ( 1) 1 0
y x m x m m x
y x m x m m y x m x m m
m m m
     
           
      


(*) luôn có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,x x
.

Hàm số luôn đạt cực trò tại
1 2
,x x
.
Ta có:
2 1 1 2 ; 2 1 1 2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
x m m x m m x x m m               (hằng số)

Vậy:

2 1
x x
không phụ thuộc m.

Bµi 9: (2 điểm)

a) Khảo sát hàm số:
2
5 4y x x  
.
Tập xác đònh: D = R
y’= 2x – 5

BBT:
Đồ thò:





b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai parapol:
2
( ) : 5 6
1
P y x x  
và
2
( ) : 5 11
2
P y x x   

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

18
- Gọi
 

: y= ax + b là tiếp tuyến chung của (P1) và (P2).
-
 

tiếp xúc với (P1) và (P2).
2
5 6
2
5 11
x x ax b
x x ax b

   




    

co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép

2

(5 ) 6 0
2
(5 ) 11 0
2
0
10 4 1 0 3 3
1
0 2 10 5
10 4 19 0
2
x a x b
x a x b
a a b a a
b b
a a b

    




    


 

      
 
 
   

   
    
 
 
   


co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép

Vậy phương trình tiếp tuyến chung là: y = 3x – 10 hay y = - 3x + 5

C©u 10: (2 điểm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
3 2
3 ( )y x x C 

TXĐ: D = R
2
' 3 6 3 ( 2)y x x x x   

0
' 0
2
x
y
x


 


 


'' 6 6y x 

'' 0 1 2y x y       Điểm uốn I(-1, 2)



+) BBT:

Đồ thò:
Cho x = -3, y = 0
x = 1, y = 4


b) Tìm điểm M trên Ox sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau.
Gọi
M(a,0) Ox
, đường thẳng (d) qua M và có hệ số góc K là:
y = k( x - a)
(d) tiếp xúc (C)
2
3 ( ) (1)
2
3 6 (2)
x x k x a
x x k


  




 

3
co ùnghiệm

Thay (2) vào (1):
2 2
3 3 6 ( ) 2 3( 1) 6 0
0
2 3( 1) 6 0
2 3( 1) 6 0 (3)
x x x x x a x a x ax
x
x x a x a
x a x a
        


 
     

 
 
   



3 3 2
2
2

Với x = 0

k = 0

1 tiếp tuyến là y = 0.
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

19
+) Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

(3) có 2 nghiệm phân biệt
, 0
1 2
x x 
và
1
1 2
k k  
.
0
0
2
0 9( 1) 48 0
2 2 2

(3 6 )(3 6 ) 1 9( ) 18 ( ) 36 1
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
3
3
1
3
vì x x = - 3a
3
1 2
2
81 81 ( 1) 108 1 0
3(a-1)
x + x =
1 2
2
a
a
a a
x x x x x x x x x x x x
a a
a a
a a a a
 


 
 
      
 

 
        
 
 

     


     

 
 

 

    
 

 

 

và a 0
và a 0
-27a
1
27
a



 



+ 1 = 0

Vậy chỉ có 1 điểm
1
( , 0)
27
M Ox
thoả điều kiện bài toán.
C©u 11: (2 điểm) Cho hàm số:
 
4 3 2
3 4 1 6 1 ( )y x m x mx m C
m
     

1) Khảo sát hàm số khi m= -1:
4 2
3 6 2y x x  
TXĐ: D = R
 
3 2
' 12 12 12 1y x x x x   

0
' 0
1

x
y
x


 

 


1 1 1 1
2
'' 36 12 '' 0 , ,
3 3 3
3
y x y x y
   
         
   
   
1 1
điểm uốn -
3 3

BBT:

Đồ thò:
Cho y=2
0
4 2
3 6 0
2
x
x x
x


   

 


2) Tìm giá trò m < 0 để (C
m
) và
( ) : 1y 
có ba giao điểm phân biệt.
Ta có:
 
4 3 2
3 4 1 6 1 ;y x m x mx m     

   

0 1
3 3 2
' 12 12 1 12 12 1 ' 0 1
4 3
2 1
x y m
y x m x mx x x m x m y x y m
x m y m m m

   

 
             

 
 

      




x -  -1 0 1
+

y’ - 0 + 0 - 0 +

y +  2 +
CĐ
-1 -1

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

20

( )C
m
Và
 

cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nếu đường thẳng :y=1 đi qua điểm cực trò
của
( )C
m
.
 
 
1 1 0( )
1 1( )
4 3
2
2 1 1
1 1 0
m m
m m
m m m
m m m m


  




   




    

   



loại
loại

0 ( )
1 ( )
1 5
( )
2
1 5
( )
2
m
m
m
m

















loại
loại
loại
nhận vì m < 0

ĐS:
1 5
2
m



C©u 12: (2 điểm)
Cho
 
3 2

3 2 2 ( )y x x m x m C
m
    

1) Khảo sát và vẽ đồ thò
( )
1
C
khi m = 1.
3 2
3 3 2 ( )
1
y x x x C   
TXĐ: D = R

 
2
2
' 3 6 3 3 1 0y x x x     
suy ra hàm số luôn tăng trên R
' 0 1 ; '' 6 6y x y x     
;
'' 0 1 1y x y      
điểm uốn I(-1, 1).
 BBT:

 Đồ thò:

Cho x = 0, y = 2
x = -2, y = 0

' 0y
I
 
tiếp tuyến tại I song song Ox.
2) Tìm m để
( )
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ âm.Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
m
C
và Ox.

   
 
3 2 2
3 2 2 0 2 0
2
(1)
2
0 (2)
x x m x m x x x m
x
x x m
         
 




  




( )
m
C
cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ âm

(2) có 2 nghiệm âm phân biệt khác -2.
2 2
2
0 1 4 0
1 1
0
0 0
4 4
0
0 1 0
m m
m
m
m m
P m
m
S
   
 

 

 

   
  
      
  
 
  

  
  

 
ĐS:
1
0
4
m 

C©u 13: (2 ®iĨm) Cho
3 2
7 3y x mx x   
(1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi m = 5.
3 2
5 7 3y x x x   

TXĐ :


y’= 3x
2
+10x + 7
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

21
1 0
5 16
' 0 ; '' 6 10 '' 0
7 32
3 27
3 27
x y
y y x y x y
x y
   


         

   



điểm uốn
5 16
,
3 27
 


 
 
.

BBT :

Đồ thò:



2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu.
Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu.
Ta có :
3 2 2
7 3; ' 3 2 7y x mx x y x mx      

2
' 0 3 2 7 0(*)y x mx    

Hàm số có cực đại và cực tiểu
(*)
có hai nghiệm phân biệt
2
' 0 21 0m     

21m  
v
21m 

Chia y cho y’ ta được :
2
1 2(21 ) 27 7
'( )
3 9 9 9
m m m
y f x x
 
 
   
 
 

Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là:
2
2(21 ) 27 7
9 9
m m
y
 
 

C©u 14: (2 điểm)
4 2
2y x x 

1a) Khảo sát và vẽ:
TXĐ:


3
' 4 4y x x 
2
1 5
' 0 0 1 ; '' 12 4; " 0
9
3
y x x y x y x y
              

=> Điểm uốn
1 2
1 5 1 5
; , ;
9 9
3 3
I I
   
    
   
   

BBT:


Đồ thò:

+) 1b. Biện luận số nghiệm:
Ta có :
4 2

2 0x x m  

4 2
2x x m  

Dựa vào đồ thò (C) ta kết luận :
m< -1: vô nghiệm. ; m= -1: 2 nghiệm.
-1< m < 0: 4 nghiệm. ; m= 0: 3 nghiệm. ; m> 0: 2 nghiệm.