MỘT số TÍNH CHẤT về ĐƯỜNG đi TRÊN đồ THỊ

1.6. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ
ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ

 Định lý 1.2: Giả sử đồ thị G có n đỉnh. Tồn tại
đường đi từ đỉnh a đến đỉnh b trên đồ thị G khi và
chỉ khi tồn tại đường đi từ a đến b trên đồ thị này
với độ dài không quá n-1.

1/63


1.6. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ
ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)
Chứng minh:

Giả sử có đường đi ngắn nhất từ a đến b
<a = x1, x2,…, xk = b>. Đường đi này có độ dài k-1.

a

b

Hình 1.6. Một đường đi từ đỉnh a đến đỉnh b
2/63


1.6. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ
ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)
Chứng minh:
- Nếu k-1 ≤ n-1 thì định lý được chứng minh.
- Ngược lại (nghĩa là k > n), trong dãy đỉnh của

đường đi có ít nhất hai đỉnh trùng nhau, chẳng hạn:
xi = xj. Khi đó <a = x1, x2, …, xi, xj+1, …, xk= b> cũng
là đường đi từ a tới b nhưng với độ dài ngắn
hơn. Mâu thuẫn với giả thiết đường đi là ngắn
nhất.
3/63


BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ

 Bài toán đường đi
Cho đồ thị G và hai đỉnh a, b thuộc G.
Có hay không một đường đi từ đỉnh a đến đỉnh b trên
đồ thị G ?

4/63


BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)
 Thuật toán 1.1
1. Xây dựng ma trận kề A cho đồ thị G.
2. Tính tổng các ma trận luỹ thừa:
T = A + A2 + … + An-1
3. Nếu T[a,b] ≥ 1 thì kết luận là có đường đi từ đỉnh
a đến đỉnh b, ngược lại thì kết luận là không có.

5/63


BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)

 Ma trận tổng T còn được gọi là bao đóng bắc cầu
của ma trận kề A.
 Các phần tử của ma trận T có thể rất lớn, hơn nữa
ta chỉ quan tâm đến tính chất khác 0 của các phần
tử này.

6/63


BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)
 Cải tiến thuật toán 1.1
- Có thể xem ma trận kề A như ma trận logic.
- Trong phép nhân ma trận ta thay các phép toán số
học + , * bằng các phép toán logic OR và AND.
- Dùng thuật toán Warshall để tính ma trận bao
đóng bắc cầu logic AS. Các phần tử logic của ma
trận AS cho biết có hay không đường đi giữa các
cặp đỉnh của đồ thị đã cho.
7/63


BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)

Thuật toán 1.2 (Warshall)
Dữ liệu: Ma trận kề logic A của đồ thị G.
Kết quả: Ma trận bao đóng bắc cầu logic AS.

8/63

BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TRÊN ĐỒ THỊ (tiếp)
Thuật toán 1.2 (Warshall)
1 Begin
2 for i := 1 to n do
3
for j := 1 to n do AS[i,j] := A[i,j] ;
4 for k := 1 to n-1 do
5
for i := 1 to n do
6
for j := 1 to n do
7
if ! AS[i,j] then AS[i,j] := AS[i,k] and
AS[k,j]
8 End .
 Độ phức tạp: O(n3).
9/63


1.7. BẬC CỦA ĐỈNH VÀ
TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ

 Bậc của đỉnh
 Tính liên thông của đồ thị
 Đồ thị đầy đủ
 Một số tính chất

10/63

BẬC CỦA ĐỈNH
 Định nghĩa 1.11:
Giả sử G = (V, E) là một đồ thị, ta gọi bậc của một
đỉnh là số cạnh kề với đỉnh đó.
Ký hiệu: r(a) là bậc của đỉnh a trong đồ thị G.

11/63


TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ
 Định nghĩa 1.12
Hai đỉnh của đồ thị G được gọi là liên thông, nếu trên
đồ thị có đường đi vô hướng nối chúng với nhau.
Đồ thị được gọi là liên thông nếu mọi cặp đỉnh của đồ
thị đều liên thông với nhau.

12/63


TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)
 Quan hệ liên thông trên tập đỉnh là một quan hệ
tương đương. Quan hệ đó cho một phân hoạch trên
tập các đỉnh.
 Mỗi lớp tương đương của quan hệ này được gọi là
một mảng liên thông (hay thành phần liên thông) của
đồ thị.

13/63

VÍ DỤ 1.6

b

a

c
d

e

Hình 1.7. Một đồ thị liên thông

14/63


TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)
1. Mỗi mảng liên thông của một đồ thị là một đồ thị con
không rỗng liên thông.
2. Hai mảng liên thông khác nhau thì không giao nhau.
3. Hai đỉnh ở hai mảng liên thông khác nhau thì không
liên thông với nhau.
4. Hợp các mảng liên thông cho ta đồ thị ban đầu.
Ký hiệu: p là số mảng liên thông của một đồ thị.
15/63


BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG
 Định lý 1.3

Tổng tất cả các bậc của các đỉnh trong một đồ thị
bằng hai lần số cạnh của đồ thị đó.
Chứng minh:
Ta tính bậc của các đỉnh. Mỗi đỉnh thuộc một cạnh
nào đó thì bậc của nó tăng thêm một.
Mà mỗi cạnh thì có hai đỉnh.

16/63


BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)
 Hệ quả 1.1: Số đỉnh có bậc lẻ trong một đồ thị phải
là một số chẵn.
 Hệ quả 1.2: Nếu đồ thị G có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì
hai đỉnh đó phải liên thông với nhau.

17/63


BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)
 Định lý 1.4
Đồ thị G có n đỉnh. Nếu bậc của mỗi đỉnh trong G
không nhỏ hơn n/2 thì đồ thị G liên thông.

18/63


BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)
 Chứng minh:
Phản chứng: Giả sử đồ thị G không liên thông.

Khi đó, có ít nhất hai đỉnh a và b nằm trong hai
mảng liên thông khác nhau.
Vậy thì, n ≤ r(a) + r(b) ≤ n-2.
Suy ra điều mâu thuẫn.

19/63


BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)
Định lý 1.5
Giả sử đồ thị G có n đỉnh, m cạnh, p mảng
liên thông và không có đỉnh nút. Khi đó:

(n − p )(n − p + 1)
m≤
2

20/63


BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)
 Chứng minh:
Giả sử mảng Gi có ni đỉnh. Thế thì ni ≥ 1.
Không mất tính tổng quát có thể xem G1 là mảng có
nhiều đỉnh nhất.
Ta "dồn" các đỉnh cho mảng G1 mà không làm thay
đổi số đỉnh, số cạnh và số mảng liên thông của đồ
thị cho đến khi n2 = n3 = . . . = np = 1.
21/63

BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)
Chứng minh:
Cách “dồn” các đỉnh vào mảng G1:
Giả sử còn mảng Gi mà n1 ≥ ni ≥ 2.
Chọn a là một đỉnh của Gi sao cho nếu ta bỏ a và
các cạnh kề với nó thì phần còn lại vẫn liên thông.
Giả sử a được nối với k đỉnh trong Gi.
22/63


BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)
Chứng minh:
Hiển nhiên 1 ≤ k ≤ ni -1 < n1.
Ta chọn k đỉnh bất kỳ trong mảng G1 và:
- Thêm k cạnh mới nối a với các đỉnh đã chọn trong
G1.
- Xoá bỏ k cạnh nối a với các đỉnh trong Gi.
Đỉnh a liên thông với đỉnh trong G1 nên thuộc vào
mảng G1.
23/63


BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)
Chứng minh:
Ta được một đồ thị mới với số đỉnh, số cạnh, số
mảng liên thông không thay đổi vì mảng Gi bớt a và
k cạnh vẫn còn ít nhất một đỉnh, G1 thêm đỉnh a và k
cạnh mới.

24/63


BẬC VÀ TÍNH LIÊN THÔNG (tiếp)
Minh hoạ cách “dồn” các đỉnh:

a
G1

G
i

Hình 1.8. Cách dồn đỉnh cho mảng G1
25/63