CHIỂU và độ RỘNG của MÔĐUNOOMPẲC TUYỂN TÍNH ròi rạc và đối ĐỊAPHƯONGHÓA

BỌ
BỌ GIÁO
GIÁO DỤC
DỤC VÀĐÀO
VÀĐÀO TẠO
TẠO
TRƯỜNG
ĐAI
HOCVESH
TRƯỜNG ĐAI HOCVESH

CAO HUY BẲNG

CHIÈƯVÀ Độ RỘNG CỦA MÔĐUN OOMPÁC
CHIỂU VÀ Độ RỘNG CỦA MÔĐUNOOMPẲC
LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

21


MỌCLỤC

IVIic luc

3

Mõ dầu

4

Chuông 1. Kiến thúc chuẩn bị

6

1.1 Địaphưonghóa................................................................................................ 6

1.2 Vành địa phưong đầy đủ theo tôpô m-adic............................................ g

1.3 Phồ, giá, độ cao, chiều Krull................................................................... 9

1.4 Iđêan nguyên tố hên kết................................................................................ 10

3


MỞ ĐÀU

Năm 1942, s. Lefschetz đưa ra khái niệm không gian vectơ compăc
tuyến tính nhằm nghiên cứu các không gian vectơ vô hạn chiều. Năm 1953, D.
Zelinsky đã 1TD' rộng khái niệm này thành khái niệm môđun compăc tuyến
tính. Từ đó đến nay, lóp môđun compăc tuyến tính đã đuợc nhiều nhà toán
học trên thế giói quan tâm nghiên cứu và nó trở thành một trong những huóng
nghiên cứu quan trọng không những của đại số, tôpô mà còn liên quan đến
nhiều lĩnh vực khác. Chú ý rằng, lóp môđun compăc tuyến tính rất rộng, chứa
nhiều lóp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán. Thậm chí một lóp môđun
con của môdun compăc tuyến tính đó là mô đun coinpăc tuyến tính ròi rạc
cũng chứa thực sự các ìnôđiin Artm; hon thế nữa nó còn chứa các môđun
Noether trên vành <Ịa phương đày đủ.

4


Luận văn đưọc hoàn thảnh vào tháng 07 năm 2013 tại trường Đại học
Sài Gòn dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tôi

Nghệ An, tháng 07 nam 2013

5


Chuông 1

KI ÉN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn luôn kí hiệu R là vành Noether giao hoán, M
là một R -môđun và A là rrpt R -môđun Artin. Cho An à một môđun con của

Mvà / là một iđêan của 7?, ký hiệu N: M I= I xe M : xỉ c ivj là một môđun

con của M Trong chưong này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại

6


của R. Ta có s}ỉ = S'R <=> /n

s

^ 0 . Do đó V7/ là iđêan thực sự của S'R

khi và chỉ khi ĩr\S =0. Chú ý rằng vành S ! R còn được ký hiệu là R s

Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó s = R \ p là một tập
nhân đóng cua vành R. Vành S r / R trong trường họp này là vành địa phưong,
ký hiệu là R9, với iđêan cực đại đuy nhất p/?p = s_1p = |<2 / s|ú! e p,Ẩ e i? \ pỊ
nên được gọi là đaphưong hoá cua xờnh R tại iđêan nguyên tố p.

1.1.2. Môđun dịa phuong hóa. Cho Sìầ tập nhân đóng của vành R. Khi đó ta
có vành các thưong s1 R. Trên tích Đề các Mx s ta xét quan hệ hai ngôi:
7


1.2. Vành đia phuơng đầy đủ theo tôpô tĩl — adic

Cho

là một vành địa phưong. Ta xét R như một vành tôpô \Ớ1 c O'

sở lân cận của phần tử 0 là các i đêan m', vói t = 0,1,2.... Chú ý ràng Cơ sở lân
cận của một phần tử tuỳ ý re R gồm các lớp ghép r + m/ \ói t = 0, 1,2....

Khi đó vành dầy đủ theo tôpô m - adỉc của R ký hiệu bởi R được định nghĩa
bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Mạt dãy Cauchy

8


tất cả các phần tử trong dãy đều là r. Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa
các vành

R -> R

r f—> (V),

9


p 6 Spec/7. Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p 0 = p
được gọi là độ cao cua p, kí hiệu là ht(p). Nghĩa là,

ht(p) = sup {đọ cao xích nguyên tố vói P = p }.
0

Cho / là một iđêan của R khi đó ta <Ịnh nghĩa
ht(7) = inf{ht(p) I p e Spec/?,p 3 ĩ}.

10


1.5 Idêan nguyên tố gắn kết, môđun biểu diễn duụv

1.5.1 Định nghĩa, (i) M>t R -môđun M đuợc gọi là thà-cấp nếu M * 0 và

nếu vói mọi X e R7 phép nhân bởi X trên M là toàn cấu hoặc lũy linh. Trong

truòng họp này Rad (Ann^M 1 là một iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p, và ta
gọi M \ầp-thứcap.

11

(iv) A có môdiM thưong Q sao cho p là phần tử tối thiêu trong tập các idêan
nguyên to chửa Ann^Q.

(v) A có môđun thuong Q sao cho AnnfíQ = p.

1.5.3.

Mênh dề. (ỉ) Cho Mlà một R -môdun biếu diên duọc. Khi đủ 0

khi và chi khi Att M * ộ. Trong timòng họp này tập các iđêan nguyên tố tối
thiểu cua R chửa Ann ỊM j chỉnh là tập các phần tử tối thiểu cua Att RM.
(ii) Cho 0-------->1V/------> M-------> Ah'------> 0 là dậy khớp các R -môãun biêu
diên duọc. Khi dó ta có

Att DM" C Att„M c AttDM' Att Đ M".
K
1.5.4.
mệnh

K

K
Mênh dề. Ký hiệu
đề

K
là hàm tử dối ngẫuhTatỉis. Các
sau

12

là


Vói A * 0, cho một số nguyên d > 0, ta đặt N- dim^ A = d nếu
N- dim^ A < d là sai và vói mỗi dãy tăng Aũ c Al c ... các môđun con của
A, tồn tại số nguyên 77,(J sao cho N- dỉm R Ịd 1 / A Ị < d, với mọi n > nịr

Từ định nghĩa trên, ta thấy rằng mọi R-mổđun khác không M\ầ Noether
khi và chỉ khi N- dim M - 0. Ta dã biết rang đối với mỗi môđun hữu hạn

sinh M thì dim M = 0 nếu và chí nếu M * 0 và íR ÍM ) <

13

00.

Từ Định


1.7 Hàm tủ’ xoắn

1.7.1.

Định nghĩa. Cho M, N là các R -inôđiin và n > 0 là một số tự nhiên.

Mồđun dẫn xuất trái thứ n của hàm tử - ® N ứng với A/đuợc gọi là môđun

xoắn thứ n của Mvầ N và được kí hiệu là Tor* í M, NỴ Cụ thể, để xây

14


1.7.3.

He quả. NeuAẩ, N hữu

hạn sinh thì Tor^ ỈM,

là hữu hạn sinh vói

mọi n.

15


CHƯƠNG 2

CHIỀU VÀ Độ RỘNG CỦA MÔĐUN GƠMPẮC
TUYẾN TÍNH RÒI RẠC VÀĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HÓA

Nam 1942, s. Leschetz đưa ra khái niệm không gian vectơ compắc
tuyến tính nhằm nghiên cứu các không gian vectơ vô hạn chiều. Năm 1953, D.
Zelinsky đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun compác tuyến
tính. Từ đó đến nay, lóp môđun compắc tiyến tính đà đuọc nhiều nhà toán
học tĩên thế giới quan tâm nghiên cứu. Chú ý rằng, lóp môđun compắc tuyến
tính rất rộng, chứa nhiều lóp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán. Thậm
chí rrpt lóp inôđun con của môđun compắc tuyến tính đó là môđun compắc

tuyến tính ròi rạc cũng chứa thực sự các môđun Artin; hon thế nữa nó còn
chứa các môđun Noether trên vành <Ịa phương đay đủ Khái niệm môđun đối
địa phưong hoá được giói thiệu bởi L. Melkersson và p. Schenzel [8]. Trong
[9], Lê Thanh Nhàn đã nghiên cứu về chiều và độ rộng của hai lóp môđun
compăc tuyến tính đặc biệt: môđun compăc tuyến tính ròi rạc và đối địa
phưong hóa của môđun Artin. Trong bài báo này, phần đầu tác giả nghiên cứu
về chiều và độ rộng của môđun compăc tuyến tính ròi rạc; phần tiếp theo
16


2.1. Môdun compắc tuyến tính ròi rac

Sau đây, chúng tôi trình bày khái niệm môđim Conpắc tuyến tính theo
I. G. Macdonald [3]. Mật /?-môđun Mđuoc gọi là môdun tôpô nếu M là một
không gian tôpô và các phép toán trên môdun M là liên tục. R- môdun tôpô
M đuọc gọi là Hausdorjf nếu giao của tất cả các lân cận của 0 bằng 0.

2.1.1.

Định nghĩa. Cho R là vành tôpô giao hoán và M là R -ìnôđun tôpô. Ta

hiểu một cơ sơ lân cận của M là một co sở lân cận của phần tử Oe M.

(i) M đuợc gọi là môàun tôpô tuyến tính nếu M có một co sở lân cận M
gồm các môđun con mỏ thỏa màn điều kiện: Cho truóc xe M và Ne M, tồn
17


2.13. Bổ đề. Giả sửKílà cornpắc tuyến tính rời rạc. Khi đó:
(ỉ)

Ton tại môđưn con Noether B của Kí sao cho KíB là Artin.

(ỉỉ)

Nếu f : Kí -» Mlà toàn cấu thà Ker f là Artin.

Năm 1995, trong hai bài báo khác nhau, s. Yasseirri đã đinh nghĩa tập họp
các iđêan nguyên tố đối hên kết (Coass M) và độ lớn (mag M) cua môđun M.

2.1.4.

Định nghĩa, (i) Mạt ảnh đồng cấu K của A/duợc gọi là dối xyclic nếu

tồn tại phần tử xe M và ìđcan cực đại m của R sao cho

18


(iii)

. Giả sử A là một /?-môđun Artin. Các mệnh đề sau đây là <±íng.

(a)

N- diiTb4< 00.

(b)

Cho J{Ẩ) là giao của tất cả các phần tử trong SuppT (lưu ý

rằng J (A) — m nếu (R, m) là một vành địa phưong). Khi đó \Ó1 n

19


mag A7= VOB%(M/B) = dim MB < dim M
Chú ý rằng JWB là inôđnn Artin, ta có

N-dim M— N-dim AfB < dim AfB = mag M< dim M

Khái niệm dãy đối chính quy và độ rộng cho môđun tùy ý đuọc nghiên
cứu bởi A Ooishi [10] năm 1976. Các khái niệm này theo nghĩa nào đó tuông
ứng đối ngẫu với các khái niệm dãy chính quy và độ sâu của môđun hữu hạn
sinh trên vành Noether.

20

□


2.1.8.

Bổ đề. Cho a là iãêan cùaR Khi ãó WiđthnM< N-dimM Đặc biệt, nếu

Mlà compac tuyến tính rời rạc thì Widthr M< 00.

Chứng minh. Giả sử Xị,...,x là M- dãy đối chính quy trong C1. Chúng ta cần
t

chứng minh t<N-dảxĩ\M . Trường họp t = 0 là hiểu nhiên. Cho í > 0. Vì
XịM= M nên vói mọi n > 0 tồn tại dãy khóp

0 -> (0 :M xỊR) -> (0 : M *r1

21

0 w * R) -> 0


Width„/f = infụ: Tor * 0}.
Ket quả sau đây trong [9] cho thấy các kết quả nói trên của Qoishi vẫn còn
đúng cho các môđun coinpắc tuyến tính ròi rạc.

2.1.10.

Định lý. Cho M là compac tuyến tính rời rạc và a là ỉãêan cuaR Khi

đó ta có
(ỉ) Độ dài cua mỗi M- dối dãy trong a là hữu hạn.

(ũ) Nếu (0:M a) ^ 0 thì hai M- doi dãy tối ãcá trong a có cùng độ dài
và

WidthaM= inf{/7> 0:Tor,f (M;R/a) * 0}.

22


các môdun con dơn ciẢCiAd Khi dó dộ dài của hai Aẩ - dối dãy tối đại trong a

là hữu hạn xà bằng nhau xà

(ỉ) héu SocA/= 0 thì magM< 1 xà WĩdthyW = 0.
(ii) Trường hợp ngược lại ta có

WidthjM = inf{«> 0:Tơr,f (M;R/a) * 0}.

Chứngminh (i). ChoSocM= 0. Từ [11] ta suyra rragAT< 1 và (0: M xR) = 0
với mọi xe R thoa mãn xM= M. Vì thế WidthM= 0.
23


(ỉ)

Cos Mlà tập họp của tất cả các iđêan nguyên tố chửa Ann M

(ii) Với môi p e Cos M, dối địa phương hóa p Mbiêu diên dược và

Att/(, (pM) = {qỉị : q c p,q € AìtMị.
(iiỉ) Giả sử 0 —^ M-> M—> M'—> 0 là một dãy khớp các môãtữĩ Artin.
Khi dó nếu s là một tập nhân dóng bất kỳ của R thì dây sau là khóp

Chú ý tằng đối địa phưong hoá của /?-môđun Artin Á tirong ứng với tập
đóng nhân

s

trong R thường không là /?s-môđun Artin. Thậm chí nó có thể

không là /?v-môđun có chiều Goldie hữu hạn ngay cả khi vành R là địa phưong

day đủ (một môđun được gọi là có chiều Goldie hữu hạn nếu nó không chứa
tổng trực tiếp của vô hạn các môđưn con). Tuy vậy, kết quả cua Ooishi [10] \è
độ rộng cho các tnôđun Ailm vẫn còn đứng cho đối địa phưong hoá
2.23. Định lý. Cho p lả idêan ngryèn to trong CòsA và acp là idêan cua
24


Lại vì (0:

4

aR p ) * 0 nên _y 1, . . j F m + i cũng là A -dãy đối chính quy trong

aR p. Điều này là rnân thuân vói tính tối đại của A -dãy đối chính quy yi ...
y m . Phần còn lại của định lý đuọc dễ dàng suy ra từ Bổ đề 2.1.9.

□

Chú ý ràng đối vói mỗi R -inôđun hữu hạn sinh M, nếu p là iđêan
nguyên tố của R chứa Ann^ M thi p 6 Supp^ M và do đó M ^ 0. Theo
Bổ đề Nakayama ta suy ra

25


tử. Bố đề sau cho ta tính chất linh hóa tử của các iđêan nguyên tố gắn kết của
inôđun Artin.

Chú ý rằng tồn tại môdim Artm trên vành địa phưong không thoả inãn
điều kiện (*). Tuy nhiên lóp các inôđun Artin thoả inãn đỉều kiện (*) là phổ

biến. Ngoài ra, đấi địa phưong hoá của nhũng inôđun Artin thoả mãn điều
kiện (*) vẫn còn rất “xấu” theo nghĩa nó vẫn thuòng không là môđun Artin và
thậm chí nó thuòng có vô hạn iđêan nguyên tố hên kết, do đó nó có c hiều
Goldie vô hạn (xem Ví dụ 2.3.2).
Widtha/^ ( P A) = infịn > 0: Tor^ ( p A;R p /aR p )* 0}.

26