TÍNH CATENARY, ĐẢNG CHIỀU địa PHƯƠNG và TÍCH TENXƠ của các đại số

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐAĨ HOC VINH

ĐOÀN THỊ HIÊN
ĐOÀN THỊ HIÊN

TÍNH CATENARY, ĐẢNG CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG
VÀ TÍCH TENXƠ
CỦA
CÁCĐỊA
ĐẠIPHƯƠNG
SỐ
TÍNH CATENARY,
ĐẲNG
CHIÈU
VÀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁC ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2013


3

MỤC LỤC

Mục lục.................................................................................................................. 3

Mở đầu........................................................................................................................ 4

Chương 1.

Kiến thức chuẩn bị................................................................................ 8

1.1 Phổ của vành.......................................................................................... 8

1.2 Giá của môđun....................................................................................... 9

1.3 Iđêan nguyên tố liên kết......................................................................... 9

1.4 Vành địa phương.......................................................................................... 10

1.5 Chiều Krull của vành và môđun................................................................... 10


4

MỞ ĐẦU

Trong toàn bộ luận văn các vành và đại số luôn được giả thiết là giao
hoán, có đơn vị và Noether; ký hiệu k là một trường.

Cho R là một vành. R được gọi là vành catenary nếu với mọi cặp iđêan
nguyên tố qcz p của R luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa p và q và
mọi dãy nguyên tố bão hòa giữa p và qđều có cùng độ dài.

Tính catenary cho các vành đã được quan tâm nghiên cứu đầu tiên bởi

w. Krull từ năm 1937. Sau đó rất nhiều kết quả về tính catenary của vành

được cho bởi w. Krull, M. Nagata, I. s. Cohen, D. Ferand và M. Raynaud, L.
J. RatliíẸ, R. Heitmann, M.Brodinann ..., các kết quả này đã làm cho tính
catenary của vành trở thành một lí thuyết quan trọng trong Đại số giao hoán,
nó hên quan với nhiều lĩnh vực khác của Đại số giao hoán như vành định
chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết...
Lớp vành catenary đầu tiên được chỉ ra bởi w. Krull trong một bài báo của
ông năm 1937, ở đó ông chỉ ra rằng nếu k là một trường thì mọi k-đại số hữu
hạn sinh đều là vành catenary. Tính catenary của lớp vành đầy đủ theo tôpô
m-adic được chứng minh bởi Cohen trong một bài báo năm 1946, ở đó ông đã
chứng minh tính catenary cho vành các chuỗi luỹ thừa hình thức trên một
trường và sau đó chỉ ra rằng mỗi vành địa phương đầy đú là thương của một
vành các chuỗi luỹ thừa hình thức. Hầu hết các vành được biết đến đều là
catenary. Cho đến tận năm 1956, M. Nagata mới chỉ ra được một lớp những
miền nguyên không catenary.

Cho R là một vành hữu hạn chiều. Vành R được gọi đang chiều nếu
dimj£= dimR với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu p của R. Vành R được gọi là


5

Cho R và
(nghĩa là

s

s

là các vành Noether, cp: 7^ —> iS là một đồng cấu phẳng

là một R- môđun phẳng). Năm

đã chứng minh được rằng

s

2003,

M. Tousi và

s.

Yassemi [9]

là chính qui (tương ứng giao đầy đủ địa phương,

Gorenstein hoặc Cohen - Macaulay) nếu vành R và các thớ Rv/pRv ®RS với p
e SpecK là chính qui (tương ứng giao đầy đủ địa phương, Gorenstein hoặc
Cohen - Macaulay). Năm
minh được rằng

s

2005,

M. Tousi và

s.

Yassemi

[10]

tiếp tục chứng

là catenary và đắng chiều địa phương nếu vành R và các thớ

Rv/pRv ®RS là catenary và đăng chiều địa phương với mọi i đêan nguyên tố tối
thiểu p của vànhR. Hơn nữa, nếu
(nghĩa là

s

(ọ:

R^

s \k

một đồng cấu hoàn toàn phẳng

là một 7?-môđun hoàn toàn phang) thì R là catenary và đắng chiều

địa phương nếu

s

của M. Tousi và

s.

là catenary và đẳng chiều địa phương. Những kết quả này
Yassemi đã làm sâu sắc hơn các kết quả đã biết từ lâu về

tính catenary và đắng chiều địa phương bởi đồng cấu phăng (xem

[5;

Theorem 31.5]).

Cho A và B là các k - đại số; K là một mở rộng trường của k. Một
hướng nghiên cứu quan trọng trong Đại số giao hoán là nghiên cứu việc
chuyển từ A, B tới tích tenxơ A®kB, nghĩa là nghiên cứu các iđêan nguyên tố
của A và B bởi mở rộng vô hướng. Đã có rất nhiều nhà toán học nghiên cứu
về vấn đề này như Grothendick, Bouchiba, Sharp, Vamos, Wadsworth, ....
Tuy nhiên vấn đề liệu K®ỵA có catenary (phổ dụng) hay không khi K là một
mở rộng đại số của k\kA là catenary (phổ dụng) vẫn đang là vấn đề mở. Vì
vậy, trong phần thứ hai của [10], M. Tousi và s. Yassemi đã đưa ra câu trả lòi
khẳng định cho vấn đề này trong một số trường hợp đặc biệt. Cụ thể là họ đã
chỉ ra rằng K®kA là catenary phổ dụng nếu một trong những điều kiện sau


6

(ii)

A là vành Noether catenary phổ dụng và t.á.(K:k) < co, trong
đó t.d.(K:k) là bậc siêu việt của K trên k;

(iii)

A là catenary phố dụng và K®iA là Noether.

Nội dung chính của luận văn là trình bày lại các kết quả trong bài báo

[10] của M. Tousi và s. Yassemi.

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành hai chương.

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại số giao
hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận
văn ở Chương 2. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới
dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau.

Chương

2.

TÍNH

CATENARY,

TENXƠ CỦA CÁC ĐẠI SỔ

ĐẲNG

CHIỀU

ĐỊA

PHƯƠNG

VÀ

TÍCH


7

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các cán bộ Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại học Vinh đã quan tâm giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và
nghiên cứu.

Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.
Tác giả mong được sự chỉ bảo của quý thầy, cô và các bạn bè học viên.


8

CHƯƠNG 1

1.1. Phổ của vành

1.1.1.

Định nghĩa. Cho / là iđêan thực sự của R . Khi đó:

(i) Iđêan / được gọi là nguyên tố nếu với mọi x,yeR mà xyeỉ kéo

theo XeI hoặc yel.

(ii) Iđêan / được gọi là cực đại nếu không tồn tại iđêan J ^R mà
/ ^ J và I czJ .

Từ định nghĩa trên ta suy ra / là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi vành
thương R/I là miền nguyên; I là iđêan cực đại khi và chỉ khi vành thương R/I
là một trường.

Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R được ký hiệu là Spec(i^). Với
mỗi iđêan/củai?, ký hiệu V(I) = Ịpe Spec(/?)| pz)/|.
1.1.2.
Mệnh đề. Cho vành R. Các phát biểu sau là đúng.
(/■) Cho I, J là các iđêan của R. Khi đó VỰ.J) = vự n J) =

vụ)

u VỤ)


9

Trong luận văn này, tập các iđêan cực đại của R được kí hiệu là Max(R),
tập các iđêan nguyên tố tối thiểu của R được kí hiệu là Min(R).

1.2. Giá của môđun

Tập con Supp^(M) = Ịpe Speci? |A/p ^

oj

của Spec(R) được gọi là

giá của môđun M.

Với mỗi X E Mtâ kí hiệu Ann^(v) = ịa e RI ax = 0} .

Ann^(AT) = ịa e RI aM = 0} = ịa e R I ax = 0,Vv evV/}.

Ta có Ann^(v) và Ann^(M) (hoặc viết gọn là Ann(x) và Ann(M))
là những iđêan của vành R, Ann^(A/)được gọi là linh hỏa tử của môđun M.
Hơn nữa, nếu M là i^-môđun hữu hạn sinh thì

Supp^(M) = V(Anni?M) = Ịpe Spec(i?) I Ann^^M CỊ pỊ.

1.3. Iđêan nguyên tố liên kết

1.3.1.

Dinh nghĩa. Cho M là một i?-môđun. Ta gọi iđêan nguyên tố p của R


10

(iv) Cho M là i^-môđun. N là môđun con của M thì AssV c AssM .

(v) Cho M là ^-môđun. Khi đó, AssM cSuppAT. Nếu peSuppAT và
p tối tiểu trong SuppM theo quan hệ bao hàm thì p e AssM .

1.4. Vành địa phương

Vành R được gợi là vành địa phương nếu R chỉ có duy nhất một iđêan
tối đại.

1.5. Chiều Krulỉ của vành và môđun

Cho R là vành giao hoán. Một dãy các iđêan nguyên tố của R:
P0 z> p^ 3 p0 z>... 3 p được gọi là một xích nguyên to có độ dài n.

(i) Cho pe SpecR . Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên
tố với P0 = p được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p). Nghĩa là,

ht(p) = sup {độ cao xích nguyên tố với P0 = p}.


11

1.6. Tích tenxơ của hai môđun

Khái niệm tích tenxơ có nguồn gốc từ Hình học, xuất phát từ định
nghĩa tích tenxơ của hai vectơ. Ngày nay, nó đã đirực định nghĩa một cách
rộng nhất.

1.6.1. Đinh nghĩa. Giả sử M và N là những i?-môđun đã cho. Từ hai môđun
này, chúng ta xây dựng một R- môđun mà sẽ gọi là tích tenxơ của chúng. Lấy

s=

M x N \ à tích Descartes của các tập M và N . Gợi

cơ sở là
y

s.

Chú ý rằng các phần tử của

c

c

là i?-môđun tự do có

là tống hình thức có dạng

a r v ( x , y ), trong đó a x v s R bằng 0 hầu hết, ( x , y ) e S . Gọi D là

môđun con của c sinh bởi tất cả các phần tử có dạng
(x + x',y)-(x,y)-(x',y),
(x,y + y')-(x,y)-(x,yr),
(ax,y)-a(x,y),
(x , a y ) - a ( x , y ),

, x,x'GM,

y,y'eN.

Khi đó môđun thương T = CỆD được gọi là

tích íenxơ của M với N và được kí hiệu là M ®R N hoặc gọn hơn là M ® N

khi vành R đã rõ. Ảnh của phần tử (x, y ) e S trong M ® N được kí hiệu là


12

(ax) ® y - a(x ® ỳ) = 0,
X ® (ay) - a(v ® y) = 0,

a & R , X , X 1 eM , y,y' e N . Vì thế ta nhận được
(JC + *') ® y = JC <s> y + x'<s> y,
X ® (y + y') = JC ® y + X ® ,

(ov) ® y =
® y),
X ® (ợy) = ữ(x ® 3;),
aeR, x,x'eM, y,y'eN.

Sau đây là một số tính chất cơ bản của tích tenxơ.
1.6.2.
Định lí ChoMlà mộtR-môđun. Khi đỏ R ® p M = M = M ® p R .
1.6.3.

Mệnh đề. Cho M và N là nhũng R-môđun và s là một tập nhân

đóng
của R. Khi đó
S~lM ®g.j S~lN = S~\M ®p N).

cấu phang

Giả sử f :R^> s \k một đồng cấu vành. Khi đó mỗi iS-môđun L đều có
cấu trúc là i?-môđun, trong đó phép cộng đã có sẵn trong L và tích vô hướng
của phần tử reR vói mỗi phần tử xeL được cho bởi tích f ( r ) x . cấu trúc
7?-môđun L xác định như thế được gọi là cấu trúc i?-môđun xác định bởi/


13

các i^-môđun thì (*) là khớp nếu và chỉ nếu dãy cảm sinh

0->Z,,®íS->Z,®S->L"®íS->0

Giả sử

s là một tập nhân đóng của vành R. Khi đó S~ R là phang trên
l

1.8. Đinh lý going-up và Định lý going-do\vn

Cho f: A —> B là một đồng cấu vành. Với mỗi iđêan nguyên tố q của B,
đặt p = /’1(q) := q n A. Khi đó p là một iđêan nguyên tố của A và iđêan q
được gợi là nằm trên (ỉying over) iđêan p. Ta nói Định lý going — up đúng đối
với / nếu với hai iđêan nguyên tố bất kỳ p và p' của A sao cho p c p' và với
iđêan nguyên tố bất kỳ q của B nằm trên p, tồn tại một iđêan nguyên tố q' của
B nằm trên p' sao cho q c q'. Tương tự, ta nói Định lý going - down đúng
đối với /nếu với hai iđêan nguyên tố bất kỳ p và p' của A sao cho p c p' và
với iđêan nguyên tố bất kỳ q' của B nằm trên p', tồn tại một iđêan nguyên tố q
của B nằm trên p sao cho q d q'.

Định lý going - up và Định lý going - down đúng trong một số trường

14

thành

dãy

qc.-.cq

sao

cho

q

nA

=p

với

(1

<

ỉ

Định

lý

going

-

down được phát biêu dưới dạng: Giả sử A CỊÌ? là các miền nguyên, A đóng
nguyên, B nguyên trên A. Cho p D...DP là một dãy các iđêan nguyên tố
trong A và q ỊD... 3q ( m < rì) là một dãy các iđêan nguyên tố trong B sao cho
q nv4=q(l < i < m). Khi đó dãy q: =3... =Dq? có thể mở rộng thành dãy
qỊ D...Dq sao cho q r^A = p với (1 < ì < n ) .

1.9. Bậc siêu việt

Ta gọi vành A là đại so trên vành
A là đại số trên vành

c.

c

nếu

c

là vành con của vành A. Cho

Ta gợi phần tử z e A là siêu việt trên

c

nếu z không

là nghiệm của mọi đa thức g * 0 với hệ số trong c. Ta gọi một hệ phần tử

eA là độc lập đại số trên

c nếu z

không là nghiệm của mọi

biến g * 0 với hệ số trong c. Dễ thấy rằng z ,...,z là hệ độc lập

c khi và chỉ khi C[z , z ] đắng cấu với vành đa thức m biến


15

Trong chương này các vành và đại số luôn được giả thiết là giao hoán,
có đơn vị; ký hiệu k là một trường và K là một trường mở rộng của k. Nội
dung của chương này là trình bày lại một cách chi tiết các kết quả trong bài
báo [10] của M. Tousi và s. Yasseini.

2.1 Tính catenary và đang chiều địa phương

Tính catenary cho các vành đã được quan tâm nghiên cứu đầu tiên bởi

w. Krull từ năm 1937. Sau đó rất nhiều kết quả về tính catenary của vành

được cho bởi w. Krull, M. Nagata, I. s. Cohen, D. Ferand và M. Raynaud, L.
J. RatlilT, R. Heitmann, M.Brodmann các kết quả này đã làm cho tính
catenary của vành trở thành một lí thuyết quan trọng trong Đại số giao hoán,
nó hên quan với nhiều lĩnh vực khác của Đại số giao hoán như vành định
chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết...
Lớp vành catenary đầu tiên được chỉ ra bởi w. Krull trong một bài báo của
ông năm 1937, ở đó ông chỉ ra rằng nếu k là một trường thì mọi k-đại số hữu
hạn sinh đều là vành catenary. Tính catenary của lớp vành đầy đủ theo tôpô
rn-adic được chứng minh bởi Cohen trong một bài báo năm 1946, ở đó ông đã
chứng minh tính catenary cho vành các chuỗi luỹ thừa hình thức trên một
trường và sau đó chỉ ra rang mỗi vành địa phương đầy đủ là thương của một
vành các chuỗi luỹ thừa hình thức. Hầu hết các vành được biết đến đều là
catenary. Cho đến tận năm 1956, M. Nagata mới chỉ ra được một lớp những
miền nguyên không catenary.


16

luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa p và q và mọi dãy nguyên tố
bão hòa giữa p và q đều có cùng độ dài.

2.1.2.

Chú ý. (/') Khi R là vành Noether địa phương thì dimR< 00. Vì thế

luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa p và q với mọi cặp iđêan
nguyên tố pbz q của R . Trong trường hợp này, R là vành catenary nếu và
chỉ nếu mọi dãy nguyên tố bão hòa giữa hai iđêan nguyên tố pt q đều có
cùng độ dài. Rõ ràng nếu dimR < 2 thì R là catenary. Thật vậy, cho pkz q là

các iđêan nguyên tố của R. Khi đó chỉ có một trong 2 khả năng xảy ra: hoặc
chèn được thêm 1 iđêan nguyên tố giữa p và q để được dãy bão hoà, hoặc

pt qđã là bão hoà. Vì thế R là catenary.

( i i ) Vành thương của vành catenary cũng là vành catenary. Thật vậy,
giả sử R vành catenary và I là iđêan của R. Khi đó, mỗi dãy iđêan nguyên tố
bão hòa giữa hai iđêan nguyên tố

của RỆl tương ứng với một dãy

iđêan nguyên tố bão hòa giữa hai iđêan nguyên tố pkz q của R chứa 7, trong
đó^?và^flà ảnh của p và q trong PỆ[. Vì thế PỆl là catenary.

Từ định nghĩa vành catenary, ta dễ thấy rằng nếu R là miền nguyên địa


17

2.1.4.

Định nghĩa. Cho R là một vành hữu hạn chiều. Vành R đirợc gọi

đãng

R với mọi peMin(R). Vành R đuợc gọi là đẳng

chiều địa phưong nếu Rplà đắng chiều với mọi pe SpecR .

Từ định nghĩa vành catenary, dễ thấy rằng nếu R là vành catenary thỉ

htp + dim RJp = dim R với mọi iđêan nguyên tố p của R. McAdam và R. J.
Ratliff năm 1974 đã chứng minh chiều ngirợc lại, kết quả này mở rộng Mệnh
đề 2.1.3 cho tất cả các vành địa phirơng đẳng chiều.
(ii)

2.1.5.

Mệnh đề. Giả sử R là vành địa phương Noether đãng chiều. Khi đó

R

(ỈU)
là caíenary nếu và chỉ nếu với mỗi iđêan nguyên tổ p của R ta có

ht p + dim R/p - dim R.

Kết quả sau đây là các đặc trung của vành catenary và đăng chiều địa
phuơng.
2.1.6.
đương:

Bổ đề. Cho R là một vành. Khi đỏ các điều kiện sau là tương


18

00 => (iii) . Giả sử p, q e speci?, p cz q ta có ht q = ht p + ht ((Ệp) với mọi
p,qeSpec7?

nên

với

p,qeSpeci?,

pczq

là

chuỗi

bão

hòa

thì

ta

có

ht(cjỆp) = 1. Do đó ta có htq = ht p +1.

(//'/)=> 00- Giả sử với bất kì chuỗi bão hòa các iđêan nguyên tố 1, ta đều
có htq = htp + l. Khi đó dễ thấy rằng với mọi p',q'eSpecR, p' czq' ta có
htq'= htp' + ht(q7 p'). ■

2.1.7.

Bổ đề. Nếu vành (TỌm) là catenary và đẳng chiều địa phưong thì

ht p2 = ht Pj + ht(p^|^) với mọi py p2 e specR thỏa mãn p, d p2.

Chủng

minh.
ht

Nếu

p

là

(pỆp)

=

ht

một
(n^>)

iđêan
-

nguyên
ht

(rỆ\)

tố

tối
=

thiêu

dimR

pcPị
-

thì

ht(njPDj)

và điều này là không phụ thuộc vào sự lựa chọn của p vì thế htp 1 = ht(p^)).
Tuông tự ht p2 = ht(p^Ịb). Từ đó suy ra ht p2 = ht Pj + ht(p^)j). ■

Từ hai bổ đề trên ta có ngay hệ quả sau.
2.1.8.
Hệ quả. Cho (R, m) là vành địa phương. Khi đó các điều kiện sau
là
tương đương:
(i)

R catenary và đắng chiều địa phương;

19

chiều địa phương. Những kết quả này của M. Tousi và s. Yassemi đã làm sâu
sắc hơn các kết quả đã biết từ lâu về tính catenary và đắng chiều địa phương
bởi đồng cấu phang (xem [5; Theorem 31.5]).
2.1.9.

Định lí. Cho (p: R^>s là một đồng cấu phang của các vành

Noether. Nếu R là đẳng chiều địa phương và vành pỆp®RS, peMin(R) là

s

catenary và đắng chiều địa phưong thì

là catenary và đấng chiều địa

phương.

Chứng minh. Xét chuỗi các iđêan nguyên tố trong s,

2.1.7

ta

có

htq,

=

htq

+

ht(q^jj).

(zq2. Theo Bố đề

Cho

qeMinS

sao

cho

qcqcq,.

Đặt

p = q; ni? với i = 1 , 2 Vã p= qoR . Do đó pe MinR . Với iđêan J bất kì của
s, đặt J = jỆpS . Khi đó ta có:

ht(q^l) = ht(q^1)

Vi

.y>S"

là

catenary

Theo

và
[5;

đẳng

chiều

địa

phuơng

Theorem

nên
15.1]

hl(qA,)

=

hlq,
ta

htq2 - htq

= ht(p^>) + d u n ( S Ậ p , / p ) ( S ậ )) - htípập)

))

-

hlq,
có


20

(ii)

R và ỆpS là đẳng chiều và catenary với mọi p e spec/?

(iii)

R và SỆpS là đẳng chiều và catenary với mọi pe Min R

Chủng minh. 0) => (ii). Giả sử p 0 là một ìđêan tối tiểu bất kì của R. Khi đó
tồn tại một iđêan tối tiểu q0 của

s

nằm trên p0. Khi đó dim£Ệt\ữ = dimS sao

cho áim^Ệp0S = dimS. Theo [5; Theorem 15.1] ta có:
ht(nỆp0) = ht(rỆpữS)-ht(rỆrrC) = á i m S - ht(rjỆmS)

Điều này độc lập với sự lựa chọn của p0, do đó R là đăng chiều. Nếu q là
iđêan nguyên tố tối tiểu của pS thì theo Định lí going- down ta thấy rằng
qn/?

=

p,

do

đó

theo

[5;

Theorem

15.1],

htq=htp

và

do

đó

ht(r^i) = htn - htq =htn-htp được xác định theo p duy nhất. Nghĩa là
£jỆpS là đẳng chiều. Nếu p'eSpec/? sao cho p' c= p và ht([j0|b') = 1. Ta cho

q' là một iđêan nguyên tố của p'5 chứa trong q thì £Ệlp'S là đẳng chiều và
phẳng trên ỉjỆp', do đó ht((ỆbỊ)

=

ht((Ệp'S)

=

ht(|^|b')

=

1. Tuy nhiên

s

là

đẳng chiều và catenary nên ht(^Ị') = htq- htq' = htp- htp' và do đó
ht p = ht p'+1. Theo Bố đề 2.1.7 suy ra R là catenary.

(/■«). Hiển nhiên vi Min/? c specR .

(iii) => (z) .Vì (Ọ là một đồng cấu địa phương phẳng nên ỆpSslỆ>®r.S với
mọi pe Min/?. Theo Định lí 2.1.9 thỉ

s là đẳng chiều và catenary.

■

2.1.11. Dinh lí. Cho (p\ R — > S là một đồng cấu hoàn toàn phắng của các


21

2.2. Tính catenary của tích tenxơ các đại số

2.2.1.
Dinh nghĩa. Một vành R được gọi là catenary phô dụng nếu mọi i?đại
số hữu hạn sinh là catenary.

Vì mọi R-đại số hữu hạn sinh sinh bởi n phần tử đều là thương của
vành đa thức i?Ịv15 X ] và thương của một vành catenary là một vành
catenary nên điều kiện cần và đủ để vành Noether R là catenary phổ dụng là
R [ x v X ] catenary với mọi n > 0. Tổng quát hơn điều này, ta có kết quả
sau đây (xem [5; Corollary 1- trang 255]).
2.2.2.

Mệnh đề. Vành Noether R là catenary phô dụng nếu và chỉ nếu i?

[X]
là catenary.

Cho A và B là các k - đại số; K là một mở rộng trường của k. Một
hướng nghiên cứu quan trọng trong Đại số giao hoán là nghiên cứu việc
chuyên từ A, B tới tích tenxơ A®kB, nghĩa là nghiên cứu các iđêan nguyên tố
của A và B bởi mở rộng vô hướng. Đã có rất nhiều nhà toán học nghiên cứu
về vấn đề này như Grothendick, Bouchiba, Sharp, Vamos, Wadsworth, ....
Tuy nhiên vấn đề liệu K®kA có catenary (phổ dụng) hay không khi K là một

mở rộng đại số của k x k A là catenary (phổ dụng) vẫn đang là vấn đề mở. Vì
vậy, trong phần thứ hai của [10], M. Tousi và s. Yassemi đã đưa ra câu trả lời
khẳng định cho vấn đề này trong một số trường hợp đặc biệt. Cụ thể là họ đã
chỉ ra rằng K®kA là catenary phổ dụng nếu một trong những điều kiện sau


22

Chủng minh. Ta có:

A

trong

đó

s

là

tập

nhân

® k K = S-'A[X„X 1,...,X n Ậf v f

đóng

của

A[X V X 2 ,..X

]

f ỉ ,f 2,...f n

và

là

một

S ~ l A \ X x , X 2 , . . . , X ]-dãy. Mặt khác, tính catenaiy phổ dụng là ổn định qua địa
phương hóa và phép lấy thương nên S~ l A[X v X 2,...,X n jỆf l ,f 2,...,f m )

là

catenary phổ dụng. Suy ra K A là catenary phổ dụng. ■
2.2.4.

Bố đề Cho A là vành con của B sao cho B nguyên trên A và B là

một A -môđun phăng. Khỉ đó, nếu B là đãng chiều địa phương thì A là
đăng
chiều địa phưong.

Chứng

minh.

Cho

peSpec/1

và

pữRp

eMin,4p.

Khi

đó

tồn

tại

qeSpeci?

sao

cho p= qn A. Theo Định lý going-down thì tồn tại q 0 E speci? với q0 czq và
q0r>>^í = p0. Chúng ta khẳng định rằng q0eMini?. Thật vậy, nếu tồn tại
q'cq0 thì p' = q'ndcq0nd = p0, suy ra p' = p 0. Do đó q' = q0 vì B nguyên
trên A. Khi đó htq = dim(i?q) = dim(i?^q0)i?q) = ht(cỆk\0). Vì nguyên
trên

nên

htíĩỆky

)-

ht(^30)

và

khi

đó

htq

=

ht((j^|0

)
Mặt kliác do p= qn>A nên htpphải chứng minh.

Cho A là một k- đại số và trường K là một mở rộng đại số của k. Các
kết quả sau đây cho thấy tính catenay (phổ dụng) và đăng chiều địa phương
được chuyển từ K A tới A .


23

(iii)
thì

Ả

Nếu K ®k A là catenary phô dụng và đăng chiều địa phương

cũng

là

catenary

phô

dụng

và

đắng

chiều

địa

phương.

Chứng minh, (ỉ) Xét đồng cấu tự nhiên (Ọ -. A 0^ A. Ta có K A là một
mở rộng nguyên của A. Hơn nữa, K ®, A là 4-môđun phang. Theo Bổ đề
2.2.4 thì A là đẳng chiều địa phương.

(ii) Ta có A là vành địa phương hữu hạn chiều. Áp dụng Bố đề 2.1.7, ta chỉ
cần chứng minh rằng với bất kì chuỗi bão hòa của các iđêan nguyên tố của
A:
(Z p2 thì ht p2 = 1 + ht P1. Vì K A là mở rộng nguyên của A nên tồn tại

một chuỗi bão hòa của các iđêan nguyên tố q : (Z q2 của K ®k A sao cho
q n A = p với i = 1,2. Do đó htq2 = 1 + htq. Như vậy htq = htp với i = 1,2.
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

(iii) Xét đẳng cấu
(K ® t A ) \ X 1 , X 2 , . . . , X J = K 0 t A \ X 1 , X 2 ....

trong đó X V X 2 , . . . , X

n

x.ĩ

là các biến. Vì K ®, A là catenary phổ dụng và đẳng

chiều địa phương nên ( K /4)ỊX1,X2,...,XJ là catenaiy và đẳng chiều địa
phương suy ra K®^ A [ X 1 , X 2 , . . . , X n ] là catenary và đẳng chiều địa phương.
Theo (iỉ) ta có A [ X V X 2 , . . . , X ] là catenary và đẳng chiều địa phương. Vậy A
là catenary phổ dụng và đắng chiều địa phương. ■
2.2.6.

Bố đề. Cho A là một vành Noether dăng chiều địa phưong. Khi đỏ,

A [ X ] cũng là một vành Noether đăng chiều địa phương.

24

Kabbại

sử

dụng

khái

niệm

MPC

(minimal

prime

comaximality)

đã

chứng

minh được rằng nếu K ® ỵ A thỏa mãn (MPC) và A[X\ là catenary thì K®kA
catenary phổ dụng. Định lý sau đây trong [10] là một sự tổng quát hóa kết quả
này.
2.2.7.

Đinh lí. Cho A là một vành Noether và là một k- đại so, K là trường

mở rộng của k với t.d. (K:k) < co. Khỉ đỏ:
(i)

Nếu A là catenary phô dụng thì K ® k A cũng là catenary phô
dụng.

(ii)

Nếu A là catenary phô dụng và đắng chiều địa phương thì
K ®k A cũng là catenary phô dụng và đăng chiều địa phương.

Chứng minh. Ta có K®k A = K ® k { ỵ

t = t . á . ( K : k ) và

s=

X)

S ~ l A [ X ĩ 9 X 2 , . . . , X t ] trong đó

k \ X l , X 2 , . . . , X t ] \ {0}. Vì A là đẳng chiều địa phương

là đẳng chiều địa phương và áp dụng Bổ đề 2.2.6 ta có thê giả sử K
mở rộng đại số của k .

( i ) Do ( K ® k A ) [ X ỉ , X 2 , . . . , X n ] = K ® k A [ X l , X 2 , . . . , X n ] trong đó

X l , X 2 , . . . , X n là biến (w>l) nên ( K ® k A ) [ X l , X 2 , . . . , X n ] là địa phương hữu
hạn chiều. Do đó K ®k A là catenary phổ dụng.

(tí) Cho q1 e Min(Ẩ" ®k A ) và q, e Spec(Ẩ" ®k A ) với q^q,. Đặt


25

Chủng

minh.

Do

t.d.(Ẩ": k )

K
< GO

®k

Ả

là

Noether

nên

ta

có

A

là

Noether

và

hoặc t.d.(N:Ẩ;)<00.

Nếu t.d.(Ẩ':

< 00 thì theo Định lí 2.2.7 suy ra K®k A là catenary phổ

Nếu t.d.(N:

< 00. Gọi B là cơ sở siêu việt của Ktrên k . Khi đó ta có

K ®k A = K ®i.(S) ( k ( B ) ® k A ) , với k ( B ) ® k A là Noether. Vì k ( B )

là trường mở rộng hoàn toàn siêu việt của k nên theo Bouchiba et al. (2002),
ta có k ( B ) ® k A là catenary phổ dụng. Như vậy, ta có k { B ) ® k A là Noether,
catenary phổ dụng và K là đại số trên k ( B ) . Do đó theo Định lí 2.2.7 thì
K ®,(fi) (k ( B ) ® , A ) là catenary phố dụng và vì vậy K ® , A là catenary phổ
dụng. ■
2.2.9.

Đinh 11. Giả s ử A là vành Noether, catenary, đắng chiều địa

phương

và

là k-đạỉ so; K là trường mở rộng đại so của k. Nếu Cjj,q2 e Spec(Ẩ' ®k A)
sao
cho Cjj (Z q2 thì ht (q^Ị,) = 1 hoặc ht(q^Ị]) = htq2 - htq.


26

ht

(q^jj)

+

dim

(K

®k

jỆ^2)

=

dim

(K

®k

Ệ\)-

Vì p2eMax^4 nên ta có q2 e Max(Ẩ" A) và do đó ht(q^1) = l hoặc
ht (q^!) = dim (K ®ỉc jỆ\). Nếu ht (q^!) * 1 thì ta có