Bài toán biên thứ 2 đối với phưong trình Hyperbolic cấp 2 trong trụ vô hạn

2

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỘC sư PHẠM HÀ NỘI 2
-

-

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này là do tự bản thân tôi thực hiện, có sự hỗ
LÊ HOÀNG
trợ hướng dẫn của GS.TSKH
Nguyễn ANH
Mạnh Hùng và không sao chép các
công trình nghiên cứu của người khác đế làm sản phẩm của riêng mình. Các
nội dung sử dụng trong luận văn là có nguồn gốc và được trích dẫn rõ ràng.
Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm về tính trung thực và nguyên bản của luận
văn.

BIÊN
2 ĐỐI
VỚI
Neu BÀI
phát TOÁN
hiện có bất
kỳ sựTHỨ
gian lận
nào tôi
xin PHƯƠNG
hoàn toàn chịu trách
nhiệm

trước
Hội
đồng,
cũng
như
kết
quả
luận
văn
của
mình.
TRÌNH HYPERBOLIC CẨP 2 TRONG TRỤ VÔ HẠN
Hà Nội, ngày 16 thảng 6 năm 2013
Tác giả
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số
: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng


-

3

-

Mục lục

Phần I : Mỏ’ đầu............................................................................................4
1.1 Lý do chọn đề tài...........................................................................................4
1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài...........................................................................4
1.3 Đối tượng nghiên cứu đề tài..........................................................................5
1.4 Phương pháp nghiên cứu đề tài.....................................................................5
Phần II: Nội dung nghiên cứu.......................................................................6
Chưong I : Các không gian hàm...................................................................6
1.1 Không gian Banach.........................................................................................6
1.1.1...................................................................................Không gian định chuấn
.........................................................................................................................6
1.1.2.........................................................................................Không gian Banach
.........................................................................................................................7
1.2............................................................................................Không gian Hilbert
.........................................................................................................................9
1.2.1.................................................................................................Tích vô hướng
.........................................................................................................................9
1.2.2.....................................................................................................................K
hông gian Hilbert...........................................................................................11
1.3...........................................................................................Không gian Sobolev
.......................................................................................................................14
1.3.1...........................................................................................Đạo hàm suy rộng
.......................................................................................................................14
1.3.2........................................................................................Không gian Sobolev
.......................................................................................................................15
Chương II Bài toán CauchyNeumann đối với phương trình
Hyperbolic trong trụ vô hạn.........................................................................19
2.1....................................................................................................Giới thiệu:
.................................................................................................................19
2.2.........................................................................................Thiết lập bài toán
.................................................................................................................20

2.2.1.........................................................................................Đặt bài toán
...........................................................................................................21
2.2.2.........................................................................................................Sự
tồn tại và duy nhất nghiệm................................................................23
Chưong III Bài toán biên thứ 2 đối vói phương trình Hyperbolic


Phần III: Danh mục tài liệu tham kháo

45

Phân 1: Mở đâu

1. Lý do chọn đề tài

Lí thuyết các bài toán biên đối với các phương trình, hệ phương trình
dừng cũng như không dừng tuyến tính trong các miền trơn đã được nghiên
cứu gần như hoàn thiện vào giữa thế kỉ XX. Tuy nhiên, một vấn đề quan
trọng được đặt ra đó là khi tính trơn của biên bị phá vỡ, tức là biên của miền
xét bài toán chứa các điếm kì dị. Các kết quả nghiên cúư mang tính chất nền
móng của V.A Kondrative năm 1967 đã giải quyết được một số vấn đề mang
tính nguyên lí đế khắc phục điểm biên kì dị của bài toán biên tổng quát đối
với phương trình Elliptic. Từ những kết quả quan trọng của V.A Kondrative
các nhà toán học tiếp tục nghiên cún hệ phương trình Elliptic và hướng
nghiên cứu này đã khá hoàn thiện vào những năm chín mươi của thế kỉ XX.
Nghiên cúư các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình không
dừng trong trụ có đáy là miền với biên không trơn được nghiên cứu một cách
hệ thống với các hệ phương trình: Hyperbolic, parabolic và Schrodinger.
Trong đó, các kết quả của bài toán biên tống quát đối với phương trình và hệ
phương trình Hyperbolic có úng dụng thực tiễn quan trọng trong vật lí, cơ học

và hóa học lượng tử. Chình vì thế “Bài toán biên thứ 2 đối với phưong trình
Hyperbolic cấp 2 trong trụ vô hạn” là đề tài mà tôi đã lựa chọn nghiên cứu
trong luận văn.

2. Mục đích nghiên cửu đề tài


3

Đối tượng nghiên cứu đề tài

Phương trình hyperbolic bậc 2 với các điều kiện Cauchy-Neumann
trong trụ


-

6

-

Phần 2: Nội dung nghiên cứu
Chưong1
Các không gian hàm

1.1 Không gian Banach
1.1.1

Không gian định chuân

Định nghĩal.1.1 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường số
thực hay số phức K, p là một nửa chuấn xác định trong X , tức p là một
ánh xạ X —» i thỏa mãn hai điều kiện :

a) p Ảx = |Ắ|/7 X

VxeX,V/leK

b) p x + y < p x + p y

Vx, ỵ e X

Theo nhận xét p X >0 Vxe X .Ta có p 0 =0, nhưng có thế xảy
ra p X - 0 vói x^o nào đó. Neu p thoa mãn them điều kiện:

c) p X = 0 => X = 0 , thì p được gọi là một chuấn trong X . Khi đó ta
kí hiệu ||x|| thay cho p X . Như vậy một chuấn ||.|| thỏa mãn ba điều kiện:


1

11

a
-ệ'rỴj< £

(1.1.3)

--

78

-

= sup ệ gian
, ta cóBanach
:
1.1.2Vì ịx J| Không

(1.1.1)

n

Định nghĩal.1.3 Neu không gian định chuẩn X là một không gian
=> khi n cố đinh í là môt dãy số Cauchy. Do đó, tồn tai ệ° = liniu ”.
»1=1 * »!-><»
Metric đầy đủ (với khoảng cách d x,y = ||x-y||) thì X được gọi là không
(1.1.2)
gian Banach hay không gian định chuẩn đầy đủ.
\x\
V /7
< £•
7

Bởi vì lim£ =n 0 , cho nên 3n, v» > »x=
, x,,...,x €ị
m->cc

l

Không gian i " là
khôngk‘\gian
Banach.
\£°\<\ỉ"
+ \ỉ“'
‘ -ầ°\<2£

Ví suy
dụ ra
2: Gọi
Từ (1.1.2)

c

a,b là tập họp tất cả các hàm giá trị thực (hay giá trị
\\x -xn\\<£ khi m> mn.

II m

Không gian

011

0

c a,b là không gian Banach.

=> x0 = limx trong không gian c0.
Ví dụ 3: Giả sử c

s

là tập họp tất cả các hàm giá trị thực (hay phức)

s

liên tụcVítrên
compact
(S). c Giảlà sửkhông
địnhCauchy
chuẩn
dụ không
5: / p>gian
1 làTôpô
không
gian Banach.
Jt m x=gian
là dãy
với các phép toán đại số thông thường và với chuấn :

HI = maxlx t I
II II

tes I

I

Ví dụ 4: C và l là các không gian Banach. Ta sẽ chứng minh cho
Từ (1.1.3) suy0 ra: x
< 8 VAI

không gian C0 ; đối với chứng minh tương tự.
(1.1.5)


X

0-

71’72’"'

~

71

»72

»•••

71

71 »72

72-

-

9

-

Từ (1.1.4) suy ra với mọi n, tồn tại giới hạn:
lim í m =ặ°

Cho r—> 00 trong (1.1.5) ta nhận được
<£ v/v

Ẻ|c

-Ỉ:

(N

<£

y:= ỉ,"

(1.1.6)

=

H

X, - y

€/
Từ (1.1.6) suy ra:

Vm>m0

Tức là xn = lim* trong / .

Ví dụ 6: / ư,z? /?> 1 là không gian Banach. Định lý Fisher-Riesz
trong lý thuyết tích phân Lebesgue đã chỉ ra /, a,b là không gian Banach.
Tính đầy đủ của không gian / ci,b p> 1 cũng chứng minh tương tự.

y= ĩlvrỊ2,...,rỊk :
x,y
+ ...

=ỉ l Tj,+ậ 2 Jì 2

giữ một vai trò rất quan trọng và là một khái niệm được ứng dụng rộng rãi
trong toán học, cơ học, vật lý, ... Biết tích vô hưóng của mọi cặp vectơ thì có


-

10

-

của vectơ ấy với chính nó) và góc giữa hai vectơ (cosin của góc này bằng tích
vô hướng của hai vectơ chia cho tích các độ dài của chúng). Thành thử trong
khái niệm tích vô hướng đã bao hàm khả năng đo độ dài, đo góc, và từ đó đi
đến những khái niệm quan trọng khác như tính trực giao, hình chiếu thang,...

Ta hãy xét xem làm thế nào đưa được khái niệm tích vô hướng vào
không gian định chuấn. Ta nhận thấy tích vô hướng X, y của hai vectơ X, y

trong i k có các tính chất cốt yếu sau đây:
1. x,y = y,x .

2. x + y , z = x,z + y,z .

3. ax,ỵ =a x,y với mọi số thực a .

4. x,x >0nếux^0; x,x =0nếux=0.

Vả lại tích vô hướng liên hệ với độ dài (chuẩn) của các vecto- bởi hệ

thức

*

_ II \\2

||x+y||2

+

||x-y||2

=

2

||x||2

+

||y||2

.


-11 -

Đắng thức này có nghĩa là: tống bình phương các cạnh của một hình
bình hành bằng tồng bình phương của hai đường chéo, cho nên thường gọi là
điều kiện bình hành.

Vậy muốn đưa được tích vô hướng vào một không gian định chuấn thì
không gian này phải thỏa mãn điều kiện bình hành. Ngược lại có thê chứng
minh ( không khó lắm ) rằng nếu một không gian định chuấn thoa mãn điều
kiện bình hành thì bằng cách đặt

x,y =ị ||x+y||2-||x-x||2

(1.2.2)

4

ta sẽ có hàm hai biến X, y với các tính chất 1 đến 4

Tóm lại, không gian Hilbert chang qua là không gian định chuấn thoa
mãn điều kiện bình hành (1).

Nhưng trong phần lớn các úng dụng, khái niệm tích vô hướng đi trước
khái niệm chuẩn, cho nên trong lý thuyết không gian Hilbert người ta thường

xuất phát từ một không gian tuyến tính (chưa định chuấn ),lấy các tính chất 1.
- 4. làm những tiên đề đế định nghĩa tích vô hướng trong không gian đó, rồi

mới định nghĩa chuẩn bởi 5. Tức là ịxị = yj x,x (đương nhiên cần chứng
minh rằng đó là một chuấn, nghĩa là nó thỏa mãn đủ các tiên đề về chuẩn).
1.2.2

Không gian Hilbert

Một không gian tuyến tính thực X được gọi là không gian tiền Hilbert,
nếu trong đó có xác định một hàm hai biến X, y , gọi là tích vô hướng của


-

12

-

Trước hết, với mọi số thực a ta có

0< x-aỵ,x-aỵ

= x,x

-2a x+ỵ +a 2 y,y ,

cho nên tam thức bậc hai theo a này phải có biệt số < 0 :
I x,y \2 - x,x y,y <0

hay

I x,y |<||x||.||y||

(1.2.4)

Từ đó

x+y,x+y = x,x +2 x,y + y,y < ịxf + 2||*||.||y|| + ||y||2 = ||*|| + ||y||

Vậy

II* + y||<||x|| + ||y||

nghĩa là bất đang thức tam giác được thỏa mãn. Mặt khác từ 3. ,4. , 5. ta suy
ra ngay: 1*1 >0 nếu *5^0,1*1 = 0 nếu *=0 , và ||a*|| = |a|.||*||. Do đó 1*1
đúng là một chuấn.


- 13 -

Vì một không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn, nên mọi khái
niệm và sự kiện về không gian định chuẩn đều áp dụng cho nó. Nói riêng một
không gian tiền Hilbert có thế đủ hay không đủ. Một không gian tiền Hilbert
đủ gọi là một không gian Hilbert.

Một không gian tiền Hilbert không đủ bao giờ cũng có thể bố sung cho
thành không gian Hilbert: muốn như thế, người ta coi nó là một không gian

định chuẩn với chuẩn 1*1 = yỊ x,x để bổ sung cho thành một không gian

Banach (như đã thấy ở Chương 5, mục 1.4), sau đó sẽ chứng minh rằng trong
không gian Banach này có thế định nghĩa tích vô hướng thêm cho các phần tử

mới để vẫn có 11*1 = yj x,x

Giữa các khái niệm không gian Metric, không gian tuyến tính, không
gian định chuấn và không gian Hilbert, có nhũng liên hệ như trong Bảng 1.

Trong những ví dụ về không gian định chuẩn đã gặp, i * dĩ nhiên là
x
không gian Hilbert, với tích vô hưóng là

>y

Không gian L2 E,ju cũng là không gian Hilbert, với tích vô hướng:
x,y = ịEx t y t dụ

Tích phân này tồn tại và hữu hạn vì theo bất đẳng thức Holder:

j£|xy|< ịx2-<00.


-

14

-

Một không gian Hilbert thường gặp nữa là không gian /2, lập thành bởi

tập tất cả các dãy số

1=

ệx,ệ2,... sao cho X”|Í2<0°’ với các phép toán

tuyến tính : x+ y = ệx + rịvệ2 + ĩ]2,... \ax= aệx,aệ2,... , và tích vô hướng

x,y =Ẻ
i= 1

Không gian này là trường hợp riêng của L2 E,ịU với

E- 1,2,...,«,... ,ỊJ. 1 -ỊU 2 — ... = JU n =... = 1

Hai không gian Hilbert x,x gọi là đắng cấu nếu có một ánh xạ 1-1 n
từ X lên X bảo toàn các phép toán tuyến tính và bảo toàn tích vô hướng,
nghĩa là sao cho

1) 7T x+y =7T X + 7Ĩ y \n ax — OC7Ĩ X ;
2) 7ĩx,xy —71 X, y

Chẳng hạn, sau này sẽ thấy rằng hai không gian / 2 và L2 là đắng cấu.
1.3.

Không

gian

Sobolev

1.3.1 Đạo hàm suy rộng

Từ cồng thức Green cố điển suy ra một hàm V có đạo hàm liên tục cấp
a thì nó có đạo hàm suy rộng cấp a . Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng và từ


-

17
15
16

-

í ^ jj Da u X
\u a
K
VM-'''ÍÌ
Q hàm
- không
gian Soblev
có đạo
trọng
trị giả
phức
đo
định lí H'
rútp ra
V có không

quá một
hàmgồm
suy các
rộng.hàm
Thậtgiá
vậy,
sử Ui
(1.3.1)
và u2 là hai đạo hàm suy rộng của hàm V. Khi đó
0
< +00
f
\u\H'B ÍÌ
m
J
M,
X
u
X
Ụ/
X
dx=
0
,
I
eC"
Q . gian Banach với
2
Không khó khăn, ta kiểm2í,+htra được w 2Q là không
'ýjY '|

ơ-u\ dx
ẫ
1 < p < 00 và là không
gian Hilbert với p = 2. Không gian wm £2 với chuấn
Q - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị phức đo
Do đó U] = u2 hầu khắp nơi trong Q .
(4.1) được gọi là không gian Sobolev.

dxpx2

< +00

trùng với nón K = x:ỷvới các Lhàm
/,£ e L, i , nhưng có thế các đạo hàm ( cố điển ) cấp một và
2 QT - không gian các hàm bình phương khả tích trên QT vói chuẩn
= J | u x,t I dxclt
+ QT
cấp hai không tồn tại khắp nơi trong i 2.
với 0< T <+co;Q =Qx 0 ,t với 0 H Qr - không gian các hàm giá trị phức đo được u x,t có đạo
Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp a trong miền Q'cQ. Khi đó đạo
hàm suy rộng trong miền Q' được gọi là thu hẹp của đạo hàm suy rộng trong
Giả sử 1,\u\
k và h là những số nguyên khôngdxdt
âm; <
Ị3,y
+00là nhũng số thực
Q vào Q' . Dễ kiểm
tra được rằng

\H Qr
a+Íj
D v sử
= ưdụng
ưv , các không gian hàm
với Ỵ > 0. Trong luận văn
:=; ííl^v
này +
chúng
i",, tôi thường
lk

sau.
H' e~r' ,QT - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị phức
aDav] + bưv2 = Dx ưv, + bv2 ,
c' Q
- không
giansốcác
Q.
< +CO
ở đó ứ và
b là
các hằng
tùyhàm
ý. khả vi liên tục đến bậc 1 trên

Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được rằng đạo hàm suy
rộng không
phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung đạo hàm suy rộng
Hlpđược

e ỵt nhiều
,QT - tính
khôngchất
giancủaSobolev
có (cố
trọngđiển).
gồm Tuy
các nhiên
hàm giá
trị phức
bảo toàn
đạo hàm
không
phải
1
H Q. hạn
- không
cácđạo
hàm
giásuy
trị rộng
phứccấp
đo ađược
u suy
X córa đạo
tất cả, chang
từ sự gian
tồn tại
hàm
không

đượchàm
sự
tồn tại đạo hàmu suy rộng cấp nhở hon2a(ì+\x\
. +j-l
Hị, e .Qr
< +CO
r,

1.3.2

Không gian Sobolev


-

18

-

Vpl e~ỵi ,QT - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm nhận giá trị
trong không gian Hlfí Q , xác định trên (0,T) và có đạo hàm theo t đến cấp h,

hT

L/.O ỵi s-ị
1e

clju t
dt

ị

e r'dt

J

< +00

Hi, o

e~yi ,ST - không gian Sobolev có trọng gồm các hàm nhận giá trị

< +00
e2Yhàm
'dt theo
T 0,TJ và có đạo
trong Hp r , xác địnhh trên
t đến cấp h, thỏa mãn
dt
Hn - r
\u\\ í-i.0 -y, I-

lị e2ỵi, 0,T

- không gian Sobolev có trọng gồm các hàm giá trị

2r

\ủ 1 e~ ', 0.7

ị

u,t

-2 yt

dt<+00

_ 7=0 0

ư 0,7;L2 Q - không gian gôm các hàm nhận giá trị trong không
gian L2 CẰ , xác định trên 0,r và thỏa mãn

<+00


-

19

-

Chưong 2
Bài toán CauchyNeumann đối với phương trình Hyperbolic
trong trụ vô hạn

2.1.

Giới thiệu:

Các bài toán giá trị biên elip trong miền xác định với các điểm bất
thường được xem xét ở bài báo [1,2], trong đó một số quan trọng về sự tồn tại
duy nhất của nghiệm và sự khai triến tiệm cận của nghiệm cho các bài toán đó
trong không gian Sobolev được đưa ra. Tính trơn của các nghiệm của bài toán
Dirichlet cho phương trình eliptic bậc 2 trong miền xác định với biên được
mô tả ở [3]. Bài toán giá trị biên ban đầu cho các phương trình và hệ thống
bất định trong miền xác định với các điếm hình nón được nghiên cứu trong
các công trình [4,5]. Bài toán với điều kiện biên Neumann trong miền xác
định với biên được giải quyết cho phương trình nhiệt kinh điến ở [6] và cho
phương trình parabolic bậc 2 nói chung ở [7]. Bài toán Cauchy-Dirichlet cho
phương trình hyperbolic bậc 2 trong hình trụ với đáy không trơn được khảo
sát ở [8] và bài toán tương tự cho phương trình Schrodinger được mô tả ở
[9,10], trong đó tính trơn của nghiệm được nghiên cúư trong hình trụ với đáy
bao gồm các điếm hình nón. Trong bản luận văn này, chúng tôi xem xét
phương trình hyberbol bậc 2 với điều kiện Cauchy-Neumann trong hình trụ
với đáy chứa các điếm hình nón. Một số kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất và
tính trơn đối với sự biến đối của các nghiệm tống quát của bài toán được đưa
ra.

Bản luận văn được trình bày như sau. Phần 2 nói về các ký hiệu và sự


-

20

-

của nghiệm tống quát đối với biến không gian. Phần cuối úng dụng kết quả
phần 3 và 4 vào một vấn đề trong vật lý toán.

2.2.

Thiết lập bài toán

Q là một miền bị chăn trong i ", n>2 với biên dũ,. Chúng ta giả thiết
rằng ỔQ là một bề mặt khả vị vô hạn lần trừ điềm gốc, trong miền lần lận của
Q trung với hình nón K = {x:x/\x\ e ƠỊ, với G là một miền trơn trên hình

cầu đơn vị

sn~]. Ký hiệu Cl

T

= Cl X (0, T), ST= ÔQ X (0, T) với T bất kỳ:

0
Chúng ta sử dụng ký hiệu sau đây: với mỗi chỉ số p = (Pịj—,p„)e N\
\p\ = /?, +...+ p , ký hiệu Dpu = õịpịu/õp' ...ôp" =u „ „ là đạo hàm chung bậc
||w||2!

= V \r2ữ\DPU\ dx< 00

II II wcị n

,^ 7- 1 J I I

ịpị^l õ

||2
\\u\\wl k e'riflT

= Ị\ỵ\Dpu\ +ỵ\Uj ểlndxdt< 00


- 21 -

y
Wj’°(ể~'
T ',Qr)là không gian chứa tất cả các hàm u(x,t) thỏa mãn

-IX

u

.2«

\àíT\\n\+jíi

Dpu

+Ẹ|“/

&

\
/

e~2r'dxdt

X là một không gian Banach với chuấn ||.||x. Ký hiệu ZT(0,T,X) là
không gian chứa tất cả các giá trị X của hàm u .,t xác định trên (0,T) sao
cho

\\u\L

II IIL 0,T;X

„ = 6SS sup||w x,t II. <00
X

0<t>T

Trong suốt bản luận văn, ta sử dụng các ký hiệu sau đây:
.,t ,ợ> . ) = J v x,t (p X dx

n

tì

L x,t,ô = X Lp1
ôx.

(

a x,t —

Q
\

+ a x,t

Trong đó ứ = aụ(x,t) là các hàm giá trị phức bị chặn khả vị vô hạn lần
trên Qr, ứ =dji i,j = l,...,n và a = a(x,t) là các hàm giá trị thực bị chặn
khả vị vô hạn lần trongQr. Ngoài ra, giả sử rằng ai, j = l,...,n, là liên tục


n

3

J

j

'

- 22 -

vị ngoài với ST. Ta xemKý
xéthiêu
bài
Ẵ«„
N(x,t,õ)=
toànlJ sau trong
ỵ^a.. x,t
hình
--COS
trụ Qrx,v , trong

x,t(2.2.1)
đó pháp tuyên đon
í,7=1
1.7=1

dx.

đối vói tất cả ệ G R" \ 0 và x,t eCl r. , với jUữ = const> 0.


- 23 -

2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Bố đề 2.2.2. Giả sử rằng mọi hệ số của toán tử L(x,t,d) thoa mãn điều
da.
dt

kiện 2.2.1 và thoa mãn điều kiện sau:
;|ứ|ị < ỊLI 1 < /, j < n, ỊẤ - const > 0

thì bài toán 2.2.2 - 2.2.4 có nhiều nhất 1 nghiệm tổng quát W u(e’r',Qr) với
tất cả ỵ > 0.

Hàm u xẠ đuợc gọi là nghiệm tống quát cho bài toán 2.2.2 - 2.2.4
Đặt u = u]-u2, ta có ueWUỈ e~r',QT và u x,0 =0.
nếu và chỉ nếu

trong không gian W"(ể‘?',Qr)

Giả thiết rằng r>0và T t

ĩ] x,t
0 với
t> b,0ĨỊ x,t
= ịu
x,s ds với 0 u x,t eW (e ,C1T),U x,0
=—
0 và
phuơng
trình sau và
được
thỏa
mãn
u

yi

-Ệ
i,j=\ '

b
)n + (au,Tì) + (u„Tì,)
=
l
‘ -T

(2.2.5)

đối với tất cả các hàm thử TỊ-ĨỊ x,t e w"(ể ỵt,Qr) sao cho ĩ](x,t) =
u = rjt vào (2.2.5), sau đó cộng phương trình thu được với phức
liên họp của
nó, ta được

0

với

te [r,oo),0-2ReỆ( 7 »7,) +2Re(a?„»;) +2Re(7„,7,) =0
Đặt B u,u t -“X(aijux.a|j v>
\
i.j=\ '

'•7=1

1

b


-

Vì ZjfTỊ x,0 ||2

24

-

= 2Ã0 Re(//,,/; )n , từ bất đẳng thức Cauchy và (2.2.7)
+ \T]\ dxdt + cị. \ĩjt\ dxdt (2.2.8)

ta thu được

Ib x’b in +l‘ề x’° tn

trong đó c là hẳng số dương chỉ phụ thuộc vào JU,Ẳ0
Đặt V x,t = j°u x,s ds ; V x,t = J°u x,s ds, 0
Ta thu được
7] x,t =v x,b -V x,t , 7] x,0 =v x,b

7] x,t =v x,b -V x,t ,

TỊ x,0 =v.

,

1
Từ (2.2.8):

ịrji x,b ||2 _ + //0Z b <2c| z b dt + 2C^Z t dt +

Ị2 ^ dt,

íK

-

25
26

-

, 3 2 'N2
||2
II Ạí
||2 / ^
Bổ đề 2.2.3. Giả sử rằng / G ZT(0,r;L (Q)) và giả thiết của bổ đề 2.2.1
nụ.
được thỏa mãn. Như vậy sẽ tồn tại một hằng số) ỵ() sao cho với mọi ỵ>ỵ0, bài
II V

l,l
;/
toán
2.2.2
^(/>/k
+ - 2.2.4 có nghiệm tổng quát
V u x,t trong w (ể ',Q7) và

HLv"«r> ^cl/llf 0J.JĨ n *c =

L1 + jo

>

2

II2

°-

dt.
y
\

2

Chứng minh:
Xét hàm sau:
«y s = ^ _ J Ì + V > ^>0
//0 - £■
nụ W"'(I2)sao cho bao đóng của nó
Giả sử (pk X * là hệ các hàm
trong
2

n ỊLI

= t*ữ-e\

ỊLI + Ắ0

+ổ

4- njuổ
+ 4)Đặt
là W'"(Q) và nó là trực chuẩn trong L,(Q).

UN

nju
Mo~£
x,t =xr=ic
t

Vk

x

là nghiệm của hệ phương trình vi phân cấp 2:
Với mọi £> £(). Do đó, từ (2.2.11) ta thu được
-ẳ+ (auN,Ọ,)n -ự',ẹ)a = ự,/,ý=l

Với các điều kiện đầu

c." 0 = —c:v ° = 0
íử

Giả thiết rằng r > 0 và r < r. Nhân (2.2.9) với — —và lấy tổng với 1
dt

(2.2.10)

>


-

27

-

Từ (2.2.12) ta có: Ju{t)<ỵịj0 t dt +

II2 . nịt II N
X,T + -L-\\u x,ĩ .

II2

Do đó, ta có

\u.

X,T( + \\uN

YTII

^ Ce

Ỵ

X,T f,

IIL, n II

lliv' n


c,\\fị,

Krjfa

trong đó Clà

/'II2

\\f »

IK \\L 0,T:

;L, n
(2.2.13)

Trong đó Clà hằng số dương chỉ phục thuộc vào jư 0 ,jLi,ỵ

II llivu e~ỵ'ỉlT

In llzf 0.T:L Q

trong đó Clà hằng số dương chỉ phục thuộc vào ụữ,ụ,Ỵ. Từ đó, ta có tự tồn

lw

íì

N

tại của một chuỗi {u }hội tụ yếu về u e W ' A e~ỵt ,Q.T và u v,0 =0 trong
<
T
£
í \K -’ tống
L + f‘oQ. Dễ thấy u là nghiệm
quátIK
của bài toàn 2.2.2 -IL
2.2.4. Hơn nữa ta có: (2.2.12)
II

N

l|2

< /NI f\\2

Vậy bố đề được chứng minh.
thu được

AA)-^

(2s + \)n/u nụ 1 ,,
nu

2
s„ =max {0,//0 — ((2J +1) /r/r / (jU + Ắ0)2) Ị.

112
Đặt ỵ =max{ ỵ0,...,ỵ.}, ta có định lý sau về sự trơn của nghiệm tống quát đối
Đặt 70(f) = 1«," „r [1Q +—||MW .,r
với biến thời gian


n

V(

AI . N

/

N

N\

/N

N\

N >,

-

_2Re

ấi ^Ìẳ í, ị «,*

.
í s^dk+'a.
i-,( eílT

Kýsuphiệu
(i)

5!

28
29

-

a

Õ
M
v^ydt k l ( s_-k k ) l

<. Ta
JU xấp
; xỉ
l / , j thành
< f l , phần
0

k <(2.2.14).
s , J U >Vì0 ,

a = a -ú,
(ii)ta cóf ' k e ư 0,T;L2 Q ,0<Ấ:2ReẺ(«„ u* , U N )=
j
j
(iii) /;ỉ *,0
=0,|\ 0<Ấ:<
ÍJ=
t £ —1.
I / Q,

Thì bài toán (2.2.2) - (2.2.4) có một nghiệm tổng quát duy nhất
Từ đó ta ước lượng được
thành phần thứ nhất của (2.2.14)
u x,t trong miền không gian
wli cy'p.T với tất cả ỵ> ỵ 0 . Hơn nữa, với mọi
-2Re£
( < ) <
Jj
I > l lu, IV" e - ' p r
ứ O.T-.L Í1
i7=1\
2

-2Re^| |- ỚL UNX' ŨN' dxdt
-2^] số
I |-dương

ÚL uđộc
x ũ*lập với u và f
Trong đó c là hằng
dxdt+2
Chứng
minh:
1
1
i,ỹ=l '

Chúng ta sử dụng ý tưởng trong việc chứng minh bố đề 2.2.3. Vì

(2.2.9)

là một hệ vi phân thường tuyến tính với điều kiện đầu (2.2.10), áp

dụng giả thuyết (i)-(ii) ta được: ds+2ck / dt5+2 e L2(0,r) với 0< T < T. Do đó, tù’

(2.2.9)

:
yiJ=ì\

ij Xj

I’

Xj

Wn, \

--2Re
2Re(ii^,ii,l ) =2Re(/..M*) c

'* ' /í

(2.14)


7

t

X

1 t

- 30 2Reì Ệ(v

=
<

íRe

N
N

—

ẳIệ

%, u l „
1

ỉ,7=1 '

c

dxdt-sReỶj( a ,i„

1

X:

.V

,,

< ,,,.
' uí

í,7=1 '
s k X;

t

uN , L I v . dxdt

-

»

1-4-2

+2Reấ * lu

*=2y £ / «.7-1

k=\ y Ắ’ Ji,i=\ 1

1

1

+2Re^]
K ,t>
(<(2.2.15) có thế xấp xỉ như sau:
s) +
Thành
phần cuối cùng phía bên
phải
của
2 f b\ n Ị

V

s{k\nị

ữ
= “Ẻ JLxk,

ị aij. ul<|f (J dxdt + ReỊ^
<
= 2ReX
, <(t,)ý7
/Q+ 2ReX x(

< f,)Q
„

s ^k^ n f

N

N

atu,M

= 2sRe2ReẶ(a i J I u” f , u,) a +-

,?

2

1

ReX 1,5

ữ..„

‘j" xi ,s-l xj tr-ĩ

-2ReX SLệ
s s-ì

n

^/
Xj

Re

,M

— ->— ?.(

;J

+ {a ,

a

1,7=1 '

N
U
ÍJ_I
dxdt
/Q

a . Li

2Reí(*)ỉ((
2ReXV <* ẺU
a u ... . u )
,n

ijt

x

i rk-' *i r'/o

UN

, , ỉ/;v

‘j‘

-*+l X ị

ijtk

+

x

i tsk

Ị X

J t> / 0

< „ ) n + f v < r „ , < „)J (2.2.15)
+ {a,
\ ijI

UN

,

u

X

J rkk2 '

I

/ n.

-2ReXr xí(

(2.2.17)

Ta ước lượng tiếp 2 thành phần cuối của phía bcn phải của (2.2.15). Ta
Sử dụng
Do
đó, tù’giả(2.2.15),
thuyết (iii)

(2.2.16)
và điều
và (2.2.17)
kiện (2.2.10)
ta thudễ
được
thấy

(^),(x,0) = 0;0
có:

dxdt

K , dxdt

ijm 1-1*
/t=i \^s J i.j=

z

f /Q


x

> r' *’
j

J

I

I/n

- 31 a

,J

r

' /+
a

'

s

K

/= B u , u

-2ReỊỊ Ệ(a H u" .,r , <

T

.,*■ )

Ắr=l y 5 y /',7=1 '

'

s

\

u

K/

\

.,T , u

a..„ u

55+1

sK"

/

ữ. , M

.,r

.,T , M

ijtk xj ỊT-t-l

WÍ-^R.Ị(

.N

../V

M

ứ...w
iittl X, s-1 ’ X, .-1 /
,\r

-2ReU]xí(a . M *) w X.
w

-2Reỷ[ k\ỲẤU, *,

*

Í-Jt

#

-r'

7

X #A-1

/ n \ ijf'

,w^

+ («,.,V M

X

J t*t'i

\

,u

7

\ + (ứ* w;v _, u” ) ì (2.2.18)

* 'J"/+

\

\

\ ijl Xj r” * r' /Qắ)

Ta ước lượng thành phần thứ 2 và thứ 3 trong (2.2.14). Tích phân từng

phần và áp dụng điều kiện (2.2.10), ta thu được kết quả như sau:

(rì

(rì
Và

-2Re^5,M(^ =-

£/,+1 .,r

L, n

us .,T

VU,

ta được:

L, íì

= 2Re^Ầ0us,uNs^ ,từ đó cùng với (2.2.14),(2.2.18)-(2.2.20)

(2.2.20)

' k=ỉ\SJ