Một số phương pháp lặp và điếm bất động
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (587.02 KB, 87 trang )
1
CẢM
Bộ GIÁO DỤC LỜI
VÀ ĐÀO
TẠOƠN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc củci mình tới Tiến sĩ Nguyễn
Văn Hùng, người thầy đã hướìĩg dân, chỉ bảo tận tình đế tôi hoàn thành luận
văn này.
NGUYỄN ĐỨC TƯỞNG
Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tạo điều kiện của Trung tâm
giáo dục thường xuyên Huyện Bát Xát, Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Lào Cai
nơi tôi công tác và Ban giám hiệu Trường ĐHP Hà Nội 2.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
Tác giả xin chân thành cảm ơn các ỷ kiến đóng góp xác đáng của các
thầy giáo phản biện đê luận văn hoàn thiện hơn.
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng
Nguyễn Đức Tưởng
2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan kết quả đạt được của luận văn là trung thực, chưa
từng được công bo trong các công trình nghiên cứu nào khác. Tỏi cũng xin
cam đoan rang mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm
ơn và các thông tin trích dân trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Nguyễn Đức Tường
3
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN.......................................................................................................................... 1
LỜI CAM ĐOAN.................................................................................................................... 2
LỜI NÓI ĐẦU......................................................................................................................... 4
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị................................................................................................6
1.1 .Không gian metric, không gian metric đầy đủ........................................ 6
1.2........................................................................................................................TÔ
pô trong không gian metric............................................................................7
1.3........................................................................................................................ Á
nh xạ liên tục.................................................................................................8
1.4...............................................................................Tập hợp compact và bị chặn
.........................................................................................................................9
1.5........................................................Không gian véc tơ (không gian tuyến tính)
.......................................................................................................................10
1.6......................................................Không gian định chuấn, không gian Banach
.......................................................................................................................11
1.7.........................................................................................Sai số và số gần đúng
.......................................................................................................................12
Chương 2 Định lý điểm bất động và phương pháp lặp đơn...................................................14
2.1........................................................................................Định lý điểm bất động
.......................................................................................................................14
4
LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Các phương pháp giải gần đúng, mà tiêu biểu là các phương pháp lặp, là
cơ sở đế tìm lời giải số cho nhiều bài toán trong toán học và trong khoa học,
kỹ thuật. Trong việc tìm kiếm nghiệm của phương trình, phương pháp lặp sử
dụng dự đoán ban đầu để tạo ra các xấp xỉ có thế hội tụ tới nghiệm của bài
toán. Cách làm này là cách làm ngược so với phương pháp trực tiếp là cố
gắng giải quyết vấn đề bằng dãy hữu hạn các phép tính. Khi không có sai số
thì phương pháp trực tiếp sẽ đưa ra nghiệm chính xác nhưng với phương pháp
lặp ta vẫn chỉ có nghiệm gần đúng. Tuy nhiên, phương pháp trực tiếp sẽ rất
tốn kém (và trong một số trường họp là không thê) ngay cả với khả năng tính
toán tốt nhất có sẵn.
Hiện nay, việc nghiên cứu các phương pháp lặp một cách tống quát nhờ áp
dụng các kết quả và phương pháp giải tích hàm không nhừng chỉ cho cái nhìn
một cách bản chất nhiều phương pháp của giải tích số mà còn cho phép đề ra
nhiều thuật toán mới có hiệu quả trong các lĩnh vực khác nhau của toán học,
như đại số tuyến tính, phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ hàm số, giải tích
phi tuyến.... Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các phương pháp này, tôi
đã chọn đề tài nghiên cứu “ Một số phương pháp lặp và điếm bất động”.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Tìm hiếu một số phương pháp lặp trong việc giải các bài toán tìm nghiệm
của một số phương trình trong toán học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về lý thuyết điềm bất động.
- Trình bày các phương pháp lặp trong việc giải một số phương trình.
5
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Các vấn đề của lý thuyết điểm bất động, các phương pháp lặp đơn,
Newton-Kantorovich, dây cung và một số vấn đề mở rộng.
5. Phưong pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu dựa trên cơ sở của giải tích hàm, giải tích số, phương trình vi
phân, phương trình tích phân và đại số.
6. Những đóng góp mới của đề tài.
- Đe tài luận văn được trình bày một cách có hệ thống một số phương pháp
lặp hay được sử dụng khi giải phương trình toán tử mà sự hội tụ của nó đều
liên quan đến ánh xạ co.
- Các phương pháp lặp được trình bày có thế được nghiên cứu tiếp đế mở
rộng cho các không gian trừu tượng hơn.
6
Chương 1
Kiến thức chuẩn bỉ
1.1.
Không gian metric, không gian metric đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.1. Cho X ^0, ta gọi ỉà một metric trong X một ánh
xạ d từ tích Descartes XxX vào tập số thực R thoa mãn 3 tiên đề sau:
ỉ)(\/x,ye
X)
d(x,y)>0,d(x,y)
=
ii)(\/x,ye X) d(x, y) = d(y,x)
Ui)(Vx,y,zeX) d(x,y)
• X 0 được gọi là tập nền
• d là metric trong X
• d(x,y) là khoảng cách giữa hai phần tử X, y e X
• Các phần tử của X gọi là các điểm
(X,d)
0oX
=
y
7
Dãy cơ bản :dãy xn cz X gọi là dãy cơ bản ( dãy Cauchy )
o(V8 > 0) (3n0eN*) :(\/m,n > /20) thì d(xn,xm)< 8
o(\/8>0)(3n0£N*) (Vn>n0)(VpeN*) thì d(xn+p,xn) < 8
hay xn là dãy cơ bản <=> lim d(xm,xn) = 0
m,n—> 00
n—»00
hoặc limd(x xn) =0 Vp = 1,2,...
F
Không gian đủ: Không gian metric mà mọi dãy cơ bản đều hội tụ được
gọi là không gian metric đủ.
1.2.
Tô pô trong không gian metric
Định nghĩa 1.2.1.
Cho không gian (X,d), r > 0, a GX
Hình cầu mở: Ta gọi Bịa, r) - {
X G
X: d(x,a) < r j là hình cẩu mở tâm
a, bán kính r.
Hình cầu đóng. Ta gọi B’(a, r) = ịX e X: d(x,a)
Định
nghĩa
1.2.2.
Cho
không
gian
Tập mở: A được gọi là tập mở nếu Viẽi4 thì
X
(X,d),
A
cX
là điếm trong của A.
8
Định lý 1.2.1. Trong không gian metrỉc, hình cầu đóng là tập đóng,
hình cấu mở là tập mở.
Định
lý
1.2.2.
Cho
không
gian
metric
F là tập đóng c^> V |x;ỉỊ cz F và xn —> X thì X e F.
Định lý 1.2.3. Cho (X,d) là không gian metrỉc thì:
a) Hợp của một họ tùy ý các tập mở là tập mở:
IK là tập mở.
b) Giao của hữu hạn các tập mở là tập mở:
l,n ^>P|G là tập mở.
i=l
c) Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đỏng:
^>|JF là tập đóng.
i=l
(X,d),
F
cX
9
Định nghĩa 1.3.2. Ánh xạ f: X —> Y từ không gian metrỉc (X,dx)vào
không gian metric (Y,dy) được gọi là liên tục đều trên A cl nếu (Vs> 0),
(3Ô> 0) ( Vx, x’ e X): dx(x,x') < ổ thì dy(f{x),f{x'))<£.
Hiền nhiên ánh xạ/ liên tục đều thì liên tục.
1.4.
Tập hợp compact và bị chặn
Định nghĩa 1.4.1. Không gian compact
Không gian metrỉc (X,d) là không gian compact nếu với moi dãy điếm
(x„}cX,3 x„t <={x„}:xni —>X eX (k —>co)
Tập compact: Tập A là tập compact nếu không gian con A là không
Ị
gian compact nghĩa là 1/ fxnỊ czA, 3|xn c= {xn} : xn -^xeA(k^oo).
Định lý 1.4.1. (Định lý về tính chất của ánh xạ liên tục trên tập compact)
Ánh xạ liên tục f: X —> Y từ không gian metric (X,d x) vào không gian
metric (Y,dy). K là tập compact trong X thế thì:
1. f liên tục đểu trên K
Từ đó suy ra A bị chặn <^>BB(a,R): A c B(a,R).
10
1.5.
Không gian vectơ (không gian tuyến tính)
Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp, K là một trường (K = R vC) trên
có hai phép toán ‘d-\- ” và ” thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1) V*,yeX :x + y = ỵ + x
2) Vx,y,zeX :(x + y) + z = x + (y + z)
3) \/x e Xe X:
4)
X
+ ỡ =
X
VXE V : X + ( - X ' ) = 0 hay:x-x' = ỡ
5) Vxe X,\/a,j3e K :a(j3(x)) = (aj3)x
6) Vx,y e X,Va E K: a(x + y) = ax + ay
7) Vxe x,v a,p E K :(a + Ị3)x = ax + J3x
Khi đó nó là không gian vectơ
11
1.6.
Không
gian
Định nghĩa 1.6.1.
định
chuẩn
-
không
gian
Banach
Không gian định chuân:
Giả sử X là không gian vectơ (không gian tuyến tính), ánh xạ . : X —»• R ,
thỏa mãn các tính chât sau:
a) \/x e X : |x|| > 0; ||x|| = 0 <^> X = 0.
b) Viel, \/aeK: ||ajt|| = |a||bt||.
c) VJC, y e X : ||x + ỵ\\ < ||x|| + ịyị.
Khi đó ánh xạ ||.|| được gọi là một chuẩn xác định trên không gian vectơ
X. Không gian X cùng với một chuãn xác định trên nó ỉà một không gian định
chuẩn. Kí hiệu là: (x,||.||), ||x|| là chuẩn của xe X.
Định nghĩa 1.6.2. Sự hội tụ:
Dãy điềm ỊxnỊ hội tụ đên a trong không gian định chuẩn X nếu
lim 11^ - a|| = 0<^>V£>0, 3n0 : V/2 > nữ thì \\xn —a\\ < 8.
n—>00
= a hay xn —>a (n—>0 o).
o (Vs> 0) (3n0e N*): (Vn >n0) (Vp = 1,2... thì
< 8.
12
Định nghĩa 1.6.4. Không gian định chuấn X là khống gian Banach nêu
<1 x-yị
Định lý 1.6.1. Cho không gian định chuẩn X, với mọi x,y e X thì:
b) Đặt d(x, ỵ) = ||x- ỵ\\ thì d ỉà metric trong X gọi ỉà metric sinh bởi
(hay metric tương thích) với chuân.
Nhận xét:
• Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy.
• Không gian Banach cũng là một không gian định chuấn đầy đủ.
1.7.
Sai số và số gần đúng
Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của
các đại lượng. Ta nói a là số gần đúng của a , nếu a không sai khác a nhiều.
gọi là sai số thật sự của a. Do không biết â nên ta
cũng
không
biết
A. Tuy nhiên, ta có thế
đối của CI, thỏa mãn điều kiện:
*
a* < a + Aa .
tìm
được
Aa
>0,
gọi
là
sai
số
tuyệt
13
Đương nhiên, Aa thoa mãn điều kiện trên càng nhở càng tốt. Sai số tương đối
„ Aa
cứa a là oa := —-.
\a\
Ví dụ. Đo diện tích hai hình vuông ABCD và A'B'C'D' ta được
0
- _ 0 02
a = 1 Ocm2 và b = lcm2 với Aa = Ab = 0.02. Khi đó ta có ổa = —— = 0.2%
10
còn ổb = ^= 2% hay Ốb = l0ổa. Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác
hon hẳn phép đo b mặc dù Aa = Ab. Như vậy độ chính xác của một phép đo
phản ánh qua sai số tương đối.
1.7.2.
Chữ số chắc
Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác "0" và cả "0", nếu nó kẹp giữa hai
chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại.
Ví dụ. a = 0.0030140. Ba chữ số "0" đầu không có nghĩa.
Mọi chữ số có nghĩa (3 của a = ±(fi l0P +... + p _Ì0P~SJ gọi là chữ số
chắc, nếu Aa < co X10'.
là tham số cho trước. Tham số co được chọn đế một chữ số vốn
đã chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc. Giả sử chữ số chắc cuối cùng của
a trước khi thu gọn là p . Đế /?+1 và các chữ số trước nó vẫn chắc, phải có
Aa + Ta< coxìOi+l. Suy ra cox 10' +0.5xl0/+l <íyxlO'+l
Ta sẽ gọi chữ số chắc theo nghĩa hẹp (rộng) nếu co = 0.5 (co = l).
9
Khi viết số gần đúng, chỉ nên giữ lại một hai chữ số không chắc để khi
14
Chương 2
Định lý điếm bất động và phương pháp lặp đơn
2.1.
Định lý điểm bất động
Định nghĩa Cho (X,p)là không gian metric. Ánh xạ A: X —» X được
gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số a thỏa mãn 0 < a < 1 sao cho với bất
p(Ax,Ay)
Hiển nhiên ánh xạ co là liên tục đều. Điểm X* e X được gọi là điểm bất động
của A nếu ta có Ax* = X*. Nói cách khác, điếm bất động của ánh xạ A chính
là nghiệm của phương trình Ax = X.
Định lý 2.1. (Banach). NeuAỉà ánh xạ co, đi từ không gian metric
đủ(X ,p)vào chính nó thì A có duy nhất một điếm bất động và điếm đó cỏ
thê nhận được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với xấp xỉ ban đầu tùy ý
x0 e X .
Chủng minh. Lấy x() E X tùy ý. Dãy {x;?) được xác định bởi công thức
xn = Axn_J =... = A"x0 là dãy Cauchy.
m > n và theo (2.1), ta có
, Amx0) < ap(An-lxữ,Am-]xQ)
p(xo,JC|)
15
Từ đó p(xn,xm) —>0 khi ra,72 —>0. VI X đủ nên {x;?} có giới hạn là x*sX .
Vì A liên tục nên
Ax* = A(limx/;) = limy4x/; =limxrt+] =x*.
/? —>GO
n—>co
M—>00
Tính duy nhất được suy ra từ điều kiện (2.1). Giả sử G X sao cho
Ax* = JC* và Ạy* = ỵ*.
Khi đó theo (2.1)
p(Ax*, Ay*) = yơ(jc*, y*) < ap(x*, ỵ*)
nên p(jc*, y*) = 0 (do a < 1) hay là X* = y *.
Chú ý 2.1. Ánh xạ A thỏa mãn điều kiện
p(Ax, Ay) < p(x, ỵ)
(2.2)
với mọi cặp x^ y, X,y e X có thế không có điểm bất động trongX .
Chẳng hạn
,_1
Ax = X +
—
X
ánh xạ nửa đường thẳng [l,oo) vào chính nó và thoa mãn (2.2) nhung không
có điếm bất động trên nửa đường thắng đó.
Thông thường người ta xét các ánh xạ co xác định trên toàn không gian
X hoặc trong hình cầu s cz X . Trong trường họp ánh xạ co được xét trong
hình cầu s, định lý 2.1 thưòng được phát triến dưới dạng sau đây.
16
p(Ay0’y<>)^(ỉ-a)r
tồn tại duy nhất một điếm bất động của A .
Đế chứng minh định lý 2.2 ta chỉ cần kiểm tra AS a s . Vì với X e s ta có
p(Ax,yữ)< p(Ax,Ay0) + p(Ay0,y0)
dụng định lý 2.1.
Dưới đây ta đưa ra một cách chứng minh định lý 2.1 đôi khi có lợi cho
việc xây dựng phưong pháp gần đúng.
Giả sử o(x) là một phiếm hàm bị chặn dưới.
xeD(O) v 7
d = inf o(x).
(n = 1,2,...), xn e D(cí>) được gọi là dãy cực tiểu của phiếm hàm o
nếu ta có
limO(x ) = d.
n->00 v
7
Xét phiếm hàm liên tục, không âm
<X>(x) = p(x, Ax).
Ị là dãy cực tiểu nào đó của o(x), khi đó
d <$>(Axn) = p(Axn,
hay là d
)
<
n—> 00
v7
Tính duy nhất được chứng minh tương tự như trên.
Chú ý 2.2. Trong chú ý 2.1 ta đã thấy nếu A chỉ thỏa mãn điều kiện
(2.2)
thì định lý 2.1 chưa chắc đúng. Tuy vậy nếu miền giá trị của A là tập
compact thì định lý vẫn đúng.
17
Định lý 2.3. Giả sử A ánh xạ tập đóng M của không gian metrỉc đủ
X vào tập compact M và thỏa mãn điều kiện (2.2). Khi đó ánh xạ A cỏ điềm
bất động duy nhất trong M .
Chứng minh. Đe chứng minh ta lại xét phiếm hàm
d>(v) = p(x, Ax).
Vì đó là phiếm hàm liên tục, không âm nên tại một điểm * * nào đó trong tập
0(A;r*) = yơ(Ax*, A2X*) < >Ơ(X*,AJC*) = min
A. Tính duy nhất được chứng minh tưong tự như ở định lý 2.2.
Chú ý 2.3. Ánh xạ A thoa mãn điều kiện của định lý 2.3 không nhất
thiết là ánh xạ co trên M cũng như trên A(M ). Có thế thấy điều đó qua ví dụ
đơn giản sau đây:
Ax = X -
—
2
biến
đoạn
[0.1]
vào
chính
nó
và
thoa
mẫn
các
điều
kiện
của
định
lý
2.3;
tuy
vậy nó không phải là ánh xạ co.
Dưới đây ta nêu lên mà không chứng minh một định lý quan trọng về
sự tồn tại của điểm bất động, định lý Schauder.
Định lý 2.4. Giả sử ánh xạ liên tục A ánh xạ tập đóng, lồi M của
không gian Banach X vào chính nó và A(A/ )/à compact. Khi đó ảnh xạ A có
p(Ax, Ay)
(2.6)
0
g đó
(2.7)
18
19
20
g hạn,
nếu A thỏa mãn bất đắng thức
p(Ax, Ay) < p(x, y) - y[p(x, y)]
(2.8)
Điều
đó
mâu
thuẫn,
do
đó
a
—»
0.
Giả
sử
cho
số
£
>
0,
chọn
N
sao
cho
biến. Vì
tính mỗi
liên Xtụccố của
vào hên
thamtụcbiến
liên thếtục việc
theo xét
zn với
định nghiệm
nên ta phụ
suy thuộc
ra x*(z)
tại trong
điếm
a
x x
họp này rất quan trọng. Khái niệm về ánh xạ co đều có lợi cho việc xét
„=p{ ,,’ „-,)(«ztrường
0 e Sị. Định lý được chứng minh.
u*,a *+!)]"' (a*+l).
các vấn đề trên.
Dưới đây ta sẽ chứng minh định lý tổng quát hon trong không gian
Giả sử có hai không gian Banach X Xị và s là hình cầu ||x-x0||< r
metric. Giả sử X là không gian metric với metric p(x, y), ánh xạ A được gọi
ta sẽ chứng tỏ trong
xạ làrộng
A hình
biến
hình||z-zcầu
< £Toán
vào tửtrong
đó
Xánhco
và5j
trong
Xj.
A(x;z)nó,tác từdụng
N)
0||<7j p(x,x
làrằng
ánh xạ
suy
nếu cầu
suy
ra dãy
(2.10)
bản.thuộc vào tham biến z e Sj được gọi là ánh xạ co
trong
không
gianlà Xdãy
vàcơphụ
đều nếuThực
với mọi
vậy z e S\ ta có
\\A(x;Z) - A(y;z)II
(2.4)
< 1 và không phụ thuộc z.
là
một
hàm
khi uđó
> 0 thì
là ánhkhông
xạ co suy
rộng. Gọi a* là giới hạn của
Ta
có định
đâyliên
: tục, dương
Theo
điềulý sau
kiện
(2.6)
dãy số
là Adãy
tăng.
n)<£ thì p(Ax,xN)< p(Ax,AxN) +aN
Giới hạn X* của dãy (2.10) sẽ là điếm bất động của ánh xạ A. Tính duy nhất
(cũng do điều kiện (2.6))
của giới hạn đó là rõ ràng. Định lý được chứng minh.
Định lý 2.5. Giả sử ánh x ạ A(x;z) liên tục theo zvới môi X co định và
Chú ý rằng dãy xấp xỉ (2.10) hội tụ đều tương ứng với các xấp xỉ ban đầu
co suy
A ánh xạ
khôngx ạ gian
metric
đủ
với môiĐịnh
z e lý
S\ 2.6.
biếnGiả
cầusửs ánh
vào xạ
trong
nó. rộng
Neu A(x;z)
là ánh
co đểu
trong
trong mỗi hình cầu p(x,x*) < r.
X
chính nó.
Khi đó phương trình
s vào
thì phương
trình
x = Ax gian X được gọi là tương (2.9)
p(x, ỳ) và Pị (x, ỵ) trong không
đương
nếu mỗi dãy cơ bản theo metric này cũng là dãy cơ bản theo metric kia.
có nghiệm duy nhất X * trong X . Dãy xấp xỉ liên tiếp
xn =Ax
ỉ, (n = 1,2,...)
x =n_A[x\z)
(2.10)
(2.5)
Định lý 2.7. Giả sử A ảnh xạ không gian metric đủ X đường kính hữu
hạn với metrỉc pữ(x,y) vào trong nó. Giả sử A cỏ trong X điềm bất động
nhất
dãy
(2.10)
hội đó.
tụ đều tương ứng với các xấp xỉ ban đầu x0 e X về
Với xấp xỉ ban đầuduy
x{) tùy
ý sẽvàhội
tụ về
nghiêm
có trong hình cầu s nghiệm duy nhất x* = x*(z) liên tục theo z.
điểm đó.
Chứng minh.
dãylýsố 2.1 đã khắng định sự tồn tại và duy nhất của
minh. Xét
Định
Khỉ
đó
trong
X
có
thế đưa vào metric tương đương p(x,y)sao
x*(z đó
)-**(z)|<-^—||A(x*(z
chuyên sang metric
A trở thành ánh xạ co: );z )-A(x*(z );z)||.
0
0
0
0
cho
khi
= !,2,...)
C
^~ - (2ĩĩ - (Ọ)(p, khi t = 1 thỏa mãn điều kiên ban đầu (p{ữ) = (Ọữ
dt
21
2.2. giò’
Phương
Bây
giả sửpháp
rằnglặp
A đơn
là liên tục, ánh xạ không gian metric đủ, giới nội
Xét phương trình dạng
vào trong nó và có trong X một điếm bất động duy nhất X *. Giả thiết rằng
Ax bất kỳ x 0 e X .Có phải dãy đó
(2.12)
dãy xấp xỉ xn = A"x0 hội tụ về Xx *= với
luôn
tụ đều về
X * tuơng
với I0Gmetric
X hay không?
A luôn
tác hộidụng
trong
khôngứnggian
đủ X . Giải phương trình
(2.12) có nghĩa là tìm phần tử X E D(A) bất động với toán tử A .
Câu trả lời là phủ định ngay cả khi X là compact. Có thê xét ví dụ: X
là vòng tròn2.2.1.
đon vị trênPhương
đó tọa pháp
độ là lặp,
góc miền
cực (p,
hội(0tụ< cp < 2/r) với ánh xạ A đặt
tuơng ứng mỗi điếm (pữ với giá trị của nghiệm của phuong trình vi phân
Phương pháp đơn giản đế xác định các nghiệm gần đúng của phương
trình (2.12) là xuất phát từ một phần từ (tùy ý) x 0 e D(A) xác định liên tiếp
các phần tử gần đúng theo x],x2,...,xn theo công thức
xn+ì=Axa (n = 0,1,2,...)
(2.13)
Các vấn đề được đặt ra một cách tự’ nhiên và xét xem với điều kiện nào
của toán tử A quá trình lặp có thế tiến hành vô hạn và dãy {* n} hội tụ tới
nghiệm của phưong trình (2.12), đồng thời xét tốc độ của sự hộ tụ đó.
Nói chung sự hội tụ phụ thuộc vào cách chọn phần tử ban đầu x0. Với
điểm bất động X*, tập hợp tất cả các phần tử x0, mà dãy {xn} tương ứng hội
tụ về phần tử X *, được gọi là miền hội tụ của điểm X *. Điểm X * được gọi là
hút nếu có một lân cận nào đó của X * nằm hoàn toàn trong miền hội tụ của
nó. Neu như tồn tại một lân cận nào đó của điếm bất động X* không chứa
22
một điếm nào đó của miền hội tụ trừ chính điếm
bất động đẩy.
X
* thì
X
* được gọi là điểm
Trong trưòng hợp A là ánh xạ co, D(A) đóng và D(A) d D thì theo
định lý 2.1 dãy xấp xỉ liên tiếp (2.13) với giá trị tùy ý x 0 e D(A) hội tụ về
nghiệm duy nhất
X
* của phương trình (2.12) và dĩ nhiên trong trường hợp đó
điểm X* là điểm bất động hút. Tốc độ hội tụ được đặc trung bằng bất đẳng
thức
p(x*, xw ) <
yơ(x,, x0)
(2.14)
1 -a
Bất đắng thức (2.14) được suy ra từ bất đẳng thức trong định lý 2.1 khi
Nhận xét 2.1. Neu thay cho phưong trình (2.12) ta xét phương trình
x = Ax + ỵ
trong
đó
Ae£(X,X)với
X
là
một
không
gian
(2.15)
Banach
và
IIAIkl
thì
bằng
được
bang
định lý 2.1 ta có kết quả sau:
Với điều kiện vừa nêu toán tử ỉ-Ả có nghịch đảo và
II (/ - A)“' ll<—-ỉ—1—II AII
đồng
thời
nghiệm duy nhất của phương
phương pháp xấp xỉ liên tiếp
trình
*„+i =y+Ax„
(2.15)
có
thế
tìm
23
(B + A)x = ỵ
(2.16)
xn+]=B-](ỵ-Axlt)
(2.17)
có nghiệm duy nhất X * và là giới hạn của quá trình lặp
Điều
đó
được
thấy
rõ
nếu
đặt
B~'A
=
-A],
B~]y
=
y,
vì
lúc
đó
phương
trình
(2.17) tương đương với phương trình
x-Aỉx = yỉ
(2.17’)
vói II Aị Ik 1, trở về trường họp của phương trình (2.15).
Nhận xét 2.3. Giả sử Ae£(X,X) trong đó X là một không gian
Hilbert. Neu toán tử A có nghịch đảo tuyến tính bên trái A~x thì phương trình
Ax = y,(ỵ eX)
(2.18)
tương đương với phương trình
A*Ax = A*y
(2.19)
là toán tử liên hợp của A .
Quả vậy, rõ ràng nghiệm (2.18) là nghiệm của (2.19) . Ta còn cần
chứng minh điều ngược lại. Giả sử X là nghiệm của phương trình (2.19). Lúc
đó
24
(A(x — x*),A(x —X*)) =11 A(x —X*) ll2> m2 II X - X* II2
. Đó là điều phải chứng minh.
Như vậy trong trường hợp đó để giải phương trình (2.18), ta có thể giải
phương trình (2.19). Mặt khác dễ dàng thấy phương trình (2.19) tương đương
với phương trình loại 2 sau đây:
x-ự- kA*A)x = kA* y
Nếu chọn 0 < k < —, ta có2
II AII
((/ - kA* A)x,x) = (x,x) - k(A Ax,x) = (x,x) - k(Ax, Ax)
nhưng (Ax, Ax) <11 AII2 (x,x)nên
0 < (v,x) -k\\ A II2 (x,x) < ((/ - kÁ A)x,x) < (x,x) - km2(x,x).
Từ đó nhờ bất đắng thức bên phải và đắng thức
(I-kA*A)* = I-kA*A
II / - kA*A ll< 1 - km <
1
Áp dụng nhận xét 2.8 cho phương trình
(2.20)
25
2.2.2.
siêu
việt
Phương pháp lặp đế giải phương trình đại số và phương trình
a) Giả sử phải giải phương trình
/00
= 0 (2.21)
trong đó/ là hàm số xác định trên đoạn [a,b].
Bằng một cách nào nó ta đưa phương trình (2.21) về một dạng tương
x = ọ{x).
(2.2
V)
) thỏa mãn điều kiện Lipschitz
I <;p(x2) - (p{xx )\< K\x^ -x{\
K < 1 và ánh xạ đoạn [a,b] vào trong nó. Khi đó (p{x) là một ánh
xạ co và theo định lý 2.1 dãy các giá trị
xữ, x,=
của (2.21).
Trường hợp riêng, điều kiện co được thỏa mãn nếu hàm cho trên đoạn
[a,b] có đạo hàm (p\x) và I (p\x) \< K < 1 .
Với phương trình (2.21) ta giả thiết f(a).f(b) < 0 và 0 < kị < f\x) < k
trên [a,b]. Khi đó nói chung có thế xét hàm
26
Ví dụ. Tìm nghiệm của đa thức
P(x) = X - 4x2 + lOx -10
3
Vì P(l)=-3; P(2)= 2 nên P(1).P(2) = -6 < 0. Ta có P'(x) = 3x2 -8x +10
14
và trên đoạn [1, 2] ta có — < p (x) < 8. Do đó đê xác định ọ(x) trong (2.22)
0<Ẳ<—
. Chẳng hạn như có
thể chọn
9
à = —
,
khi đó phương
trình (2.21) có dạng
- 4x2 + lOx - 10) = —(-X + 4x2 - 10)
10
10
X = JC -— (x
3
3
và 1-— <(p\x)<\~— hay là — <(p\x)< — trên đoan [1, 2].
9
30
5
15
Trong ví dụ này ta có thế chỉ cần cho P(x) = 0, từ đó rút ra
1
3
,
2
,
,
3
X = — (-X + 4x +10) rôi thử lai điêu kiện cho (p(x). Nêu lây xn = ^ ta được
lần lượt X, = 1,5625;X2 = 1,5925;... Sai số được ước lượng bởi bất đẳng thức
,*
. an .
. ,.
8,_
IX -xn \< —— I Xj - x0 I với a = — , thay các giá tri của x0,X,,a ta có
1 -a
15
I X - X, k —.0,0625 « 0,038
105
Nghiệm chính xác tới 4 chữ số lẻ là X = 1,6203 hay X* - x2 = 0,0341.
2.2.3.
Phương pháp lặp để giải phương trình vi phân thuờng
a) Xét phương trình vi phân thường
dx
Jx
0
27
với điều kiện ban đầu
y(x0) = y„ (2.24)
Bài toán xác định nghiệm của phương trình (2.23) thỏa mãn điều kiện
(2.24) được gọi là bài toán Cauchy.
Giả sử hàm f(x,y)xác định và liên tục trong một miền phang G nào đó
chứa điếm (x0, ỵ0) và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y trong miền đó
ư(x,yí)-f(x,y2)\<\yíĐịnh lý Picard khắng định rằng với nhũng điều kiện đó trong một
khoảng \x-x0\
Đe chứng minh định lý đó chú ý rằng bài toán Cauchy(2.23), (2.24)
tương đương với phương trình tích phân
(2.25)
Jx0
Vì
/
liên
tục
nên
\
f(x,y)\<
K
trong
miền
G'czG
chứa
điếm
(x0,y0).
Chọn
d > 0 sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
1) (x, y) e G'nếu lx-x() \< d ,\ y - y{)\< Kd.
X - x0 ỉ< d . Ánh xạ A biến không gian đủ c vào trong nó và là ánh
xạ co. Thực vậy, giả sử cp G c , khi đó
(p = y0 + í f(t,ạ>ự))dt = A(p
