XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU TÌM HIỂU CÁC PHƯƠNG PHÁP LẤY MẪU NÉN CHO XỬ LÝ ẢNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA ĐIỆN - ĐIỆN TỬ
BỘ MÔN ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG

BÁO CÁO TIỂU LUẬN
MÔN HỌC: XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU

TÌM HIỂU CÁC PHƯƠNG PHÁP LẤY MẪU NÉN
CHO XỬ LÝ ẢNH

GHVD: PGS TS Lê Tiến Thường
HVTH:
Nhóm: 32
Draft:

TP Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2012

04


Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh
Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

Mục Lục

Trang 2

Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh
Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

1. Tóm tắt:
Bài viết này trình bày phương pháp mới để thu các tín hiệu có tốc độ nhỏ
hơn tốc độ Nyquist, được gọi là phương pháp lấy mẫu nén (compressed
sampling hay compressed sensing). Phương pháp này sử dụng các ánh xạ tuyến
tính không thích nghi lưu trữ cấu trúc dữ liệu, tín hiệu sau đó được tái tạo lại
bằng việc sử dụng các lý thuyết tối ưu như L1-minimization hoặc OMP.
Đồng thời, bài viết trình bày ứng dụng của phương pháp này trong nén dữ
liệu với Camera 1 điểm ảnh.

Trang 3


Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh
Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

2. Giới thiệu:
Ngày nay, khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển mạnh mẽ. Các phát
minh, nghiên cứu mới không ngừng phát triển giúp cho cuộc sống con người trở
nên tiến bộ hơn. Trong đó, các lý thuyết cũ được thay thế bằng các lý thuyết
mới hơn, tiến bộ hơn.
Lấy mẫu nén (Compress sampling hay Compress sensing),được công bố
vào năm 2006, là một trong những bước ngoặc quan trọng trong lĩnh vực xử lý
tín hiệu hiện nay. Dựa trên lý thuyết này, chúng ta có thể thực hiện việc lấy mẫu

tín hiệu với tốc độ lấy mẫu thấp hơn tốc độ lấy mẫu Nyquist mà vẫn đảm bảo
việc khôi phục lại tín hiệu ban đầu.
Ở đây, bài viết tập trung nghiên cứu lý thuyết lấy mẫu nén này theo hai
mảng lớn:
- Nghiên cứu lý thuyết lấy mẫu nén và những thành tựu đạt được cho
đến hiện tại.
- Ứng dụng của lý thuyết này trong xử lý ảnh.

3. Giới thiệu các phương pháp nén cổ điển và hiện
đại:
3.1 Các phương pháp nén cổ điển và nhược điểm của chúng:
3.1.1 Tín hiệu thưa và có thể nén:
Cho một tín hiệu rời rạc x chiều dài hữu hạn, x có thể biểu diễn như một
vector cột N x 1 trong RN với các thành phần x[n], n = 1,2,…N. Bất kỳ tín hiệu
trong RN nào đều có thể biểu diễn thông qua một hệ các vector cơ sở trực chuẩn
N
i=1

N x 1 : {φi} . Sử dụng ma trận cơ sở N x N : Ψ = [φ1 φ2… φN] với các vector
{φi} là các vector cột, thì tín hiệu x có thể biểu diễn như sau:

Trang 4


Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh
Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

N

∑sϕ
x=

i =1

i

i

= Ψ.s
ϕiT x

Ở đây s là vector cột N x 1 của các trọng số si =< x, φi >=
và .T là ký
hiệu ma trận chuyển vị. Nói cách khác x và s là sự biểu diễn của cùng một tín
hiệu, x trong miền thời gian (hoặc không gian) và s trong miền φ.
Tín hiệu x chiều dài N được gọi là thưa K (K-sparse) nếu x là sự kết hợp
tuyến tính của duy nhất vector cơ sở, do đó chỉ có duy nhất K trọng số s ilà khác
không và (N-K) trọng số bằng không. Trong trường hợp K ≪ N thì tín hiệu x
gọi là thưa và có thể nén tức là nó có thể được biểu diễn chỉ với K trọng số lớn
và nhiều trọng số nhỏ.
3.1.2 Các phương pháp nén cổ điển và nhược điểm:
Các kỹ thuật nén cổ điển (DCT rời rạc hay wavelet) sử dụng một phép
biến đổi thuận nghịch (Transform coding) để xấp xỉ tín hiệu có thể nén bằng K
trọng số lớn. Cho một tín hiệu x dài N mẫu và là tín hiệu thưa K, sử dụng phép
biến đổi thông qua :
s = ΨTx
ΨT đại diện cho một phép biến đổi nào đó(DCT rời rạc hay wavelet) chúng ta sẽ
thu được một tập hợp các trọng số s i, trong đó K trọng số lớn nhất sẽ được lấy

mẫu và mã hóa, còn (N-K) trọng số nhỏ sẽ được loại bỏ.
Tuy nhiên cách làm này xuất hiện một số nhược điểm sau:
-

Số lượng N mẫu thu là lớn trong khi K lại là nhỏ K ≪ N.

-

Tất cả N mẫu đều phải được tính toán trong khi chúng ta chỉ giữ lại K
giá trị còn lại (N-K) giá trị bị loại bỏ.

-

Việc mã hóa K giá trị sau khi giữa lại (với mục đích lưu trữ và truyền
đi) chúng ta lại phải thêm các bit tiêu đề, các bít sửa lỗi…

Tất cả các nhược điểm đó làm chậm tốc độ xử lý dữ liệu. Và điều này càng
thể hiện rõ hơn trong trường hợp tín hiệu x với băng tần cao đòi hỏi tốc độ lấy
mẫu phải rất lớn mới đảm bảo khôi phục lại dữ liệu (theo tiêu chuẩn Nyquist).

Trang 5


Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh
Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

3.2 Phương pháp lấy mẫu nén:
Phương pháp lấy mẫu nén cho phép thu trực tiếp tín hiệu dưới dạng nén

mà không thông qua việc việc thu N mẫu tín hiệu rồi mới sử dụng phương pháp
nén như phương pháp thông thường.
Với tín hiệu x chiều dài N, phương pháp lấy mẫu nén sử dụng M quá
trình đo tuyến tính (M≪N) được biểu diễn bởi phép nhân giữa x và một tập
hợp các vector {φj}

M
j=1

:
yj = < x,ϕj >

Tập hợp các phép đo yj được sắp xếp trong một vector Y chiều dài M x 1
φ Tj

và các vector được sắp xếp như một hàng trong ma trận Φ kích thước M x N
và ta có thể viết lại :
Y = ΦX = ΦΨs = Θs
Quá trình đo ở đây là không thích nghi, tức là Φ cố định và không phụ thuộc
vào tín hiệu x.
-

-

3.3 Các vấn đề chính trong lấy mẫu nén:
Ma trận đo Φ ổn định có thể thu và lưu trữ các thông tin về tín hiệu (tín
hiệu thưa hoặc tín hiệu có thể nén) trong M phép đo (M≪N) mà vẫn
đảm bảo khôi phục lại tín hiệu.
Thuật toán khôi phục tín hiệu có thể tái tạo lại tín hiệu x từ M phép đo
y.

4. Kỹ thuật lấy mẫu nén:
4.1 Phương pháp lấy mẫu:
Phương pháp lấy mẫu truyền thống thường được biểu diễn bởi sơ đồ sau:

Trang 6


Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh
Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

Hình 1: Phương pháp lấy mẫu truyền thống.
Tín hiệu đầu vào x là một tín hiệu chiều dài N và thưa K (tín hiệu có thể nén)
có thể được biểu diễn qua một tập hợp các vector cơ sở.
N

∑sϕ
i =1

i

i

x=
Do x là thưa K nên x có thể biểu diễn xấp xỉ bằng K trọng số lớn nhất:

∑sϕ
i

x≈

i

K

Việc thực hiện nén trong khối Compress có thể thực hiện bằng một phương
pháp nào đó như DCT rời rạc, Wavelet…Tín hiệu sau đó gồm K trọng số lớn
nhất được mã hóa và truyền đi. Ở nơi thu, từ K trọng số lớn nhất thu được người
ta tái tạo lại tín hiệu sử dụng các phép biến đổi DCT ngược hoặc Wavelet ngược
(các phép biến đổi này là hoàn toàn thuận nghịch). Tuy nhiên phương pháp cổ
điển có nhiều nhược điểm như đã trình bày, do đó phương pháp lấy mẫu nén
được phát triển nhằm khắc phục các nhược điểm này.

Trang 7


Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh
Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

Hình 2: Phương pháp lấy mẫu nén.
Phương pháp này sử dụng M phép đo tuyến tính không thích nghi:
Y = ΦX = ΦΨs = Θs

Hình 3: Quá trình thu tín hiệu Y từ M phép đo tuyến tính không thích nghi.
Trong đó Φ là ma trận kích thước M x N. Từ “Không thích nghi” có nghĩa là
ma trận Φ là cố định, không phục thuộc vào tín hiệu đầu vào x.

4.2 Điều kiện để khôi phục được tín hiệu:
Vấn đề đặt ra là ta chọn ma trận đo Φ thế nào để cho phép tái tạo lại tín
hiệu x từ M phép đo (MMthưa K và vị trí của K hệ số khác 0 này được biết trước thì bài toán trở thành
giải phương trình K ẩn với M phương trình (M≥K) và lúc này ta có duy nhất
nghiệm.
-

Một điều kiện cần và đủ cho vấn đề này:

Cho vector ϑ bất kỳ có K hệ số khác 0, với ϵ > 0 thì Θ cần thỏa mãn điều kiện
sau:

1-ϵ≤

|| Θϑ ||2
|| ϑ ||2 |

≤1+ϵ,
Trang 8


Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh
Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

Điều kiện này gọi là điều kiện RIP (Restricted isometry property).
-

Một điều kiện khác yêu cầu các hàng trong ma trận Φ không được xuất
hiện thưa thớt trong các cột của ma trận Ψ. Đây là điều kiện tách biệt
(Incoherence).

Trong nghiên cứu của Emmanuel Candès, Justin Romberg, và Terence Tao đã
chứng minh:
Với việc sử dụng ma trận Φ là ma trận ngẫu nhiên, phân bố Gaussian,
thì cả điều kiện RIP và điều kiện tách biệt (Incoherence) đều được thỏa mãn. Và
với việc sử dụng số các phép đo M ≥ cKlog(N/K) với c là một hằng số nhỏ thì
hoàn toàn có thể tái tạo được tín hiệu x thưa K và có chiều dài N ban đầu.

Hình 4: Sử dụng ma trận ngẫu nhiên trong việc thu tín hiệu.

5. Khôi phục tín hiệu lấy mẫu nén:
Việc khôi phục tín hiệu trong lấy mẫu nén có thể thực hiện cụ thể bằng
nhiều phương pháp, sử dụng các thuật toán khác nhau.
5.1 Thuật toán khôi phục minimization:
Về cơ bản phương pháp khôi phục này sẽ tìm nghiệm thỏa phương trình
Y = ΦX với độ thưa nhỏ nhất. Phương pháp này sử dụng thuật toán đếm số phần

Trang 9


Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh
Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

tử khác không của vectơ , được gọi là norm bởi David Donoho. Khi đó bài toán

khôi phục X có thể được thể hiện qua hệ:
=
Y=ΦX
Phương pháp này thật ra là kiểm tra từng nghiệm x có thể thỏa mãn hệ phương
trình trên, và cho phép khôi phục chính xác dữ liệu. Tuy nhiên tốc độ tính toán
của phương pháp là chậm nên thường không được sử dụng trong thực tế. Vì vậy
với lấy mẫu nén người ta sử dụng chứng minh của Emmanuel Candès là trong
nhiều trường hợp hàm norm sẽ cho kết quả tương đương norm, và norm dễ
thực hiện hơn norm, để đưa ra giải pháp khôi phục tín hiệu lấy mẫu nén
minimization, thể hiện qua hệ sau:
=
Y = ΦX
5.2 Thuật toán khôi phục OMP (orthogonal matching pursuit):
Thuật toán đuổi khớp trực giao (OMP - orthogonal matching pursuit) sử
dụng giải thuật đuổi khớp để tìm vectơ ước lượng thỏa phương trình Y=ΦX gần
giống với vectơ tín hiệu cần khôi phục X nhất. Thuật toán được thể hiện như
sau:
- Đầu vào thuật toán: vectơ kết quả nén y, ma trận đo Φ và độ thưa K.
- Bước 1: Khởi tạo vectơ = y, t = 1.
- Bước 2: Tính cho cột i của ma trận Φ:
=
=y-y
y = ( là các trọng số ước lượng của )
và lập lại với t=t+1 cho đến khi t=N
Kết quả sẽ là tín hiệu khôi phục ước lượng .

Trang 10


Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh

Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

6. Ứng dụng của lý thuyết lấy mẫu nén:
6.1 Trong nén dữ liệu:
Thành tựu điển hình của lấy mẫu nén là việc thu các bức ảnh số với tốc
độ lấy mẫu nhỏ trong một camera có duy nhất 1 sensor thu được gọi là
CAMERA 1 ĐIỂM ẢNH (single pixel camera).
Sơ đồ khối của Camera được cho như trong hình bên:
Ở đây việc tạo ra một ma trận DMD bao gồm N mảnh gương rất nhỏ với
hệ số phản xạ trên

Hình 5: Camera 1 điểm ảnh.

mỗi gương là ngẫu nhiên được điều khiển bởi bộ phát số ngẫu nhiên RNG
(Random number generator) thay thế cho việc tạo ra ma trận Φ trong lý thuyết
lấy mẫu nén mà Candès, Romberg và Tao đã đề cập.
Toàn bộ bức ảnh đi qua một thấu kính thứ nhất và rơi vào ma trận gương
DMD với hệ số phản xạ ngẫu nhiên, sau đó được hội tụ tại một điểm khi đi qua
thấu kính thứ hai, tại điểm đó một photodiode được đặt thu nhận và lấy mẫu,
do đó chỉ cần một photodiode và thực hiện M phép đo cần thiết chúng ta có thể
khôi phục lại bức ảnh.

Trang 11


Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh
Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

Hình 6: Thực hiện M phép đo.

Sơ đồ bài trí của Camera như trong hình:

Hình 7: Sơ đồ bài trí Camera.
Và kết quả của nó:

Hình 8: So sánh kết quả giữa ảnh nguồn và ảnh gốc.
Trang 12


Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh
Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

6.2 Trong truyền thông:
Trong các ứng dụng truyền thông không dây ngày nay, việc tiết kiệm
băng tần là một vấn đề rất quan trọng, đem lại hiệu quả về mặt kinh tế. Các hệ
thống cảm nhận thông minh hiện nay cho phép cảm nhận môi trường phổ tần
vô tuyến để phát hiện các khoảng phổ trống (Việc làm này dựa trên các mô
hình ước lượng và nhận biết phổ), từ đó có thể nhanh chóng điều chỉnh các
thông số truyền và nhận để có thể gởi tín hiệu vào trong các khoảng phổ trống
đó. Cách làm này cho phép các nhà cung cấp dịch vụ tận dụng tối đa băng
thông cho phép, phục vụ hiệu quả người sử dụng mà vẫn đảm bảo tránh gây
nhiễu cho những người sử dụng ưu tiên.
Đối với truyền thông băng thông rộng, thách thức lớn nhất đối với các
mô hình ước lượng và nhận biết phổ là tần số lấy mẫu là quá lớn, nếu lấy mẫu

không đủ sẽ không cung cấp đầy đõ thông tin về mặt thống kê cho các thuật
toán khôi phục tín hiệu tuyến tính truyền thông.
Tuy nhiên, do tính chất điển hình của các tín hiệu trong truyền thông
không dây là thưa về mặt tần số. Nguyên nhân của tính chất này là do trong
thực tế các kênh radio được sở dụng chiếm dụng phổ rất ít. Đây chính là tiền
đề để có thể áp dụng kÿ thuật lấy mẫu nén (Compressed Sensing) trong mô
hình nhận biết vô tuyến để có thể giảm tốc độ lấy mẫu xuống trong khi vẫn đảm
bảo tính chính xác trong việc ước lượng các khoảng phổ trống.
Một nghiên cứu của các tác giả Z.Tian, G.B.Giannakis cho thấy kết quả
tốt khi áp dụng phương pháp lấy mẫu nén cho việc nhận biết phổ vô tuyến.
Trong bài báo này, kỹ thuật lấy mẫu nén được sở dụng để khôi phục dải phổ từ
mô hình lấy mẫu ngẫu nhiên - với số mẫu ít hơn so với tiêu chuẩn Nyquist - từ
đó xác định vị trí của các dải tần bằng phương pháp xác định biên dựa trên kÿ
thuật wavelet (wavelet based edge detector). Chúng ta có thể tóm lược phương
pháp sở dụng lấy mẫu nén mà các tác giả đã trình bày trong việc ứng dụng cho
nhận biết phổ vô tuyến như sau:
Giả sử một mạng không dây băng rộng có dải tần tổng cộng là B Hz (từ
f0 đến fN ). Hàm mật độ phổ công suất (PSD) trên dải tần này được thể hiện
trong hình:

Trang 13


Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh
Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

Hình 9: Mật độ phổ công suất trên dải tần tín hiệu.

Dải phổ này được thể hiện bằng tín hiệu liên tục r(t) (đây cũng chính là
tín hiệu mà bộ cảm nhận phổ vô tuyến (CR) phải cảm nhận). Giả sở khoảng thời
gian cần thiết để CR cảm nhận là t ∈ [0, M T0]. Trong đó T0 là chu kỳ lấy
mẫu theo Nyquist ⇒ cần tối thiểu M mẫu để khôi phục r(t) tùc là chúng ta phải
có một vectơ Γt kích thước M × 1 với các thành phần rt(n) = r(t)|t=nT0 . Đặt
biến đổi Fourier M điểm của Γt là Γf : Γf = FM Γt, trong đó FM là ma trận
biểu diễn biến đổi Fourier rời rạc M điểm. Nhiệm vụ của bài toán CR là xác
định được Γf để từ đó xác định được các khoảng phổ trống, rồi điều chỉnh
thông số và gởi tín hiệu vào trong khoảng phổ đó.
Gọi F là tập hợp các
khoảngc phổ làm cho r(t) khác 0 trong miền tần số
c
(trong trường hợp không có nhiễu). Do r(t) là thưa trong miền tần số nên |F |
B hay một cách tương đương khi rời rạc hóa, vectơ Γt có trung bình khoảng Kb
= |F |M/B hệ số khác 0 và Kb << M. Kÿ thuật lấy mẫu nén cho phép khôi
phục chính xác vectơ Γt từ một vectơ Υt có kích thước K × 1(Kb ≤ K ≤ M ) :
Υt = ScT Γt, trong đó Sc là một ma trận đo có kích thước M × K (trường hợp
đơn giản có thể lấy Sc là một ma trận lấy ngẫu nhiên K cột từ ma trận đơn vị).
Như vậy, chúng ta có thể biểu diễn: Υt = (ScT FM )rf , và chúng ta có thể ước
lượng rf dựa trên các phương pháp l1 minimization hoặc OMP:
r^t = arg minrf rf 1

, ScT Γt = Υt

Trang 14


Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh
Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

7. Kết luận:
Lấy mẫu nén ( Compressed Sensing ), một lĩnh vực mới được phát triển
trong 6 năm trở lại đây nhưng đã thể hiện được những ưu điểm vượt trội
của nó. Vượt qua tiêu chuẩn lấy mẫu Nyquist/Shanon nó cho phép lấy mẫu ở
tốc độ thấp hơn nhiều ( tùy từng loại tín hiệu ). Lấy mẫu nén thực sự là một giải
pháp hiệu quả trong thời đại ngày nay khi mà các tài nguyên như băng tần
( bandwidth ) ngày càng hạn hẹp do được sử dụng cho nhiều mục đích khác
nhau trong dân sự, quốc phòng, an ninh. Với tốc độ lấy mẫu thấp nó còn cho
phép giảm giá thành chế tạo đối với các thiết bị như ADC/DAC, đơn giản hóa
trong việc chế tạo các thiết bị thu tín hiệu.
Tiểu luận đã trình bày tổng quan về phương pháp lấy mẫu nén và giới thiệu
một số ứng dụng nó.
Lý thuyết lấy mẫu nén đang được tiếp tục phát triển và hoàn thiện trong
các kỹ thuật lấy mẫu mới. Việc áp dụng lấy mẫu nén trong các ứng dụng thực
tế, nơi mà các tín hiệu thưa là nhiều ( do đó việc lấy mẫu với tốc độ Nyquist
là dư thừa và không cần thiết ), xử lý ảnh...cũng đang được tiếp tục phát triển
hứa hẹn những kết quả khả quan trong tương lai.

Trang 15


Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh
Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

8. Danh sách hình vẽ, bảng biểu:
Hình 1: Phương pháp lấy mẫu truyền thống.

Hình 2: Phương pháp lấy mẫu nén.
Hình 3: Quá trình thu tín hiệu Y từ M phép đo tuyến tính không thích nghi.
Hình 4: Sử dụng ma trận ngẫu nhiên trong việc thu tín hiệu.
Hình 5: Camera 1 điểm ảnh.
Hình 6: Thực hiện M phép đo.
Hình 7: Sơ đồ bài trí Camera.
Hình 8: So sánh kết quả giữa ảnh nguồn và ảnh gốc.
Hình 9: Mật độ phổ công suất trên dải tần tín hiệu.

Trang 16


Tìm hiểu các phương pháp lấy mẫu nén cho xử lý ảnh
Thường

GVHD: PGS TS Lê Tiến

9. Tài liệu tham khảo:
[1] J. A.TROPP and A. C.GILBERT, “signal recovery from random
measurements via orthog- onal matching pursuit,” 2006.
[2] S. P. Emmanuel J. Candès, Michael B.Wakin, “Enhancing sparsity by
reweighted l1 mini- mization,” Nov 2007.
[3] R. G.Baraniuk, “Compressive sensing,” IEEE signal processing magazine,
pp. 118–124, July 2007.
[4] M. F. D. B. Joel A.Tropp, Michael B.Wakin and R. G.Braniuk, “Random
filters for com- pressive sampling
and
recontruction,”
Proc.Int.Conf.Acoustics, Speech, Signal Processing, May 2006.
[5] D. D. Michael Lustig and J. M.Pauly, “Sparse mri: The application of

compressed sensing for rapid mr imaging,” Magnetic Resonance in
Medicine, vol. 58, pp. 1182–1195, 2007.
[6] D. NEEDELL and R. VERSHYNIN, “Uniform uncertainty principle and
signal recovery via regularized orthogonal matching pursuit,” July 23
2007.
[7] P. T.Boufounos and R. G.Baraniuk, “Recontructing sparse signals from
their zero crossings,” 2007.
[8] Z. Tian and G. B. Giannakis, “Compressed sensing for wideband cognitive
radios,” IEEE, 2007.

Trang 17