Nguyên lý so sánh mạnh đối với hàm đa điều hòa dưới trong lớp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.6 MB, 47 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
BÙI THANH TUẤN
NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH
ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI
TRONG LỚP
p
( )
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
BÙI THANH TUẤN
NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH
ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI
TRONG LỚP
p
( )
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG
THÁI NGUYÊN - 2015
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chƣa từng đƣợc công bố trong bất cứ
công trình nào.
Tác giả
Bùi Thanh Tuấn
ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn đƣợc hoàn thành tại Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học
Thái Nguyên dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của PGS.TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thầy về sự hƣớng dẫn hiệu quả cùng những
kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,
các thầy cô giáo Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
học và Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên,
Trƣờng THPT số 1 Bảo Thắng - Lào Cai, cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện
giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất
mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên
để luận văn này đƣợc hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi cùng
những trao đổi hữu ích trong thời gian tôi học tập, nghiên cứu và hoàn thành
bản luận văn này.
Tháng 6 năm 2015
Tác giả
Bùi Thanh Tuấn
iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii
MỤC LỤC ..........................................................................................................iii
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................. 1
3. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................. 2
4. Bố cục của luận văn ..................................................................................... 2
Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................... 3
1.1. Hàm đa điều hoà dƣới............................................................................... 3
1.2. Toán tử Monge - Ampère phức ................................................................ 4
1.3. Nguyên lý so sánh Bedford - Taylor ........................................................ 9
Chƣơng 2. NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH ĐỐI VỚI HÀM ĐA
ĐIỀU HÒA DƢỚI TRONG LỚP
p
( ) ........................................... 14
2.1. Nguyên lý so sánh mạnh......................................................................... 14
2.2. Ƣớc lƣợng năng lƣợng trong
2.3. Định lý hội tụ trong lớp
p
p
( ) ..................................................... 20
( ) .............................................................. 22
2.4. Nguyên lý so sánh mạnh trong lớp
p
( ) ............................................ 28
KẾT LUẬN....................................................................................................... 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 41
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết đa thế vị là một nhánh của Giải tích phức nhiều biến, đƣợc
phát triển mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở lại đây. Nhiều kết quả quan trọng
của lý thuyết này đƣợc biết đến từ trƣớc những năm 80 của thế kỷ XX. Tuy
nhiên sự phát triển của lý thuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng
dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học chỉ thực sự mạnh mẽ sau khi
E. Berfod và B. A. Taylor năm 1982, xây dựng thành công toán tử Monge Ampère phức cho lớp hàm đa điều hòa dƣới bị chặn địa phƣơng. Vì thế có thể
nói toán tử Monge - Ampère phức đóng một vai trò quan trọng, trung tâm trong
lý thuyết đa thế vị giống nhƣ toán tử Laplace trong lý thuyết thế vị cổ điển.
Ta cũng biết rằng Định lý hội tụ đơn điệu và nguyên lý so sánh của Bedford
và Taylor là hai định lý cổ điển quan trọng và có nhiều ứng dụng trong lý
thuyết đa thế vị. Chúng đã đƣợc sử dụng trong hầu hết các công trình liên
quan đến toán tử Monge - Ampère. Nguyên lý so sánh không chỉ cho định lý
duy nhất của bài toán Driclelet đối với toán tử Monge - Ampère, mà còn là
một trong những công cụ chính trong việc giải phƣơng trình Monge - Ampère.
Theo hƣớng nghiên cứu này chúng tôi chọn "Nguyên lý so sánh mạnh đối với
hàm đa điều hoà dưới trong lớp
p
( ) " làm đề tài nghiên cứu. Đề tài có tính
thời sự, đã và đang đƣợc nhiều nhà toán học trong và ngoài nƣớc quan tâm
nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả gần đây của Yang Xing
về Nguyên lý so sánh mạnh đối với hàm đa điều hoà dƣới với năng lƣợng đa
phức hữu hạn. Áp dụng nguyên lý này có thể tìm thấy một số bất đẳng thức
quan trọng trong lý thuyết đa thế vị.
2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa
điều hoà dƣới, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford -Taylor,...
- Trình bày một số kết quả về nguyên lý so sánh mạnh đối với hàm đa
điều hoà dƣới với năng lƣợng đa phức hữu hạn.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phƣơng pháp của giải tích phức kết hợp với các phƣơng
pháp của giải tích hàm hiện đại, các phƣơng pháp của lý thuyết thế vị phức.
- Trình bày chi tiết các kết quả của Yang Xing.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chƣơng
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1. Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính
chất của hàm đa điều hoà dƣới, toán tử Monge - Ampère, nguyên lý so sánh
Bedford -Taylor.
Chương 2. Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên
cứu về nguyên lý so sánh mạnh đối với hàm đa điều hoà dƣới với năng lƣợng
đa phức hữu hạn.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt đƣợc.
3
Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hoà dƣới
1.1.1. Định nghĩa. Cho
n
là một tập con mở của
một hàm nửa liên tục trên và không trùng với
n
u(a
, hàm
:a
( ) ( ở đây kí hiệu
b
là
trên bất kỳ thành phần liên
b) là điều hoà dưới hoặc trùng
thành phần của tập hợp
u
,
. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a
thông nào của
b
và u :
và
trên mỗi
. Trong trường hợp này, ta viết
( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong
).
Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dƣới:
1.1.2. Định lý. Cho
(i ) Họ
u, v
( ) là nón lồi, tức là nếu
( ) , thì u
(ii ) Nếu
u
v
lim u j
uj
( ) hoặc u
j
(iii ) Nếu u :
, và nếu u j
tập con compact của
A
, thì u
,
. Khi đó
là các số không âm và
( ).
là liên thông và
(iv ) Giả sử u
n
là một tập con mở trong
j
( ) là dãy giảm, thì
.
( ) hội tụ đều tới u trên các
j
( ).
( ) sao cho bao trên của nó u
sup u là bị
A
chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa điều
hoà dưới trong
.
4
1.1.3. Định lý. Cho
n
là một tập con mở của
(i ) Cho u, v là các hàm đa điều hoà trong
và v
lồi, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong
(ii ) Cho u
( ), v
.
0 . Nếu
( ), và v
( ), u
: 0,
0,
0 trong
, và v
0 trong
. Nếu
:
.
0 trong
0 , thì v (u / v)
là lồi và (0)
là
.
là lồi và tăng dần, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong
(iii ) Cho u, v
:
. Nếu
( ).
1.2. Toán tử Monge - Ampère phức
n
Cho u là đa điều hoà dƣới trên miền
c
dd u
n
c
dd u
:
...
c
dd u
n
thì toán tử:
2
u
z j zk
n
4 n ! det
n
với dV là yếu có thể tích trong
C2
. Nếu u
dV ,
1 j ,k n
gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử này
có thể xem nhƣ độ đo Radon trên
, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 ( ) trên
dd cu
C0
n
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dƣới bị chặn
địa phƣơng trên
um
u và
thì tồn tại dãy
dd cum
lim
m
Hơn nữa
n
um
hội tụ yếu tới độ đo Radon
dd cum
n
d ,
không phụ thuộc vào việc chọn dãy um
(dd cu)n
và gọi là toán tử Monge-Ampère của u .
C
m 1
tức là:
trên
C0
sao cho
.
nhƣ trên, ta ký hiệu:
5
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère.
C p,p là (p, p) dạng lớp C
1.2.1. Mệnh đề. Nếu
và T là (q, q ) dòng với p
dd cT
n
q
dd c
n
trên tập mở
n
1 thì
T
d cT
d
dc
T .
Chứng minh. Ta có:
d cT
d
Nhƣng p
dc
q
d cT
d
1
T
d cT
d
dd c
dc
T
dT .
n nên
i
T
i
dd cT
T
T
T
i
T
T
dc
T
T
dT .
Do đó
d cT
d
dc
dd cT
T
dd c
T.
Từ mệnh đề trên và dùng công thức Stokes đối với dòng ta có: nếu T là
n
(q, q ) dòng trên tập mở
(n
q
1, n
q
1) dạng lớp C
dd cT
dd c
C 0, n
và
với hệ số trong D( ) thì
T
d cT
d
d cT
Vậy dd cT ,
dd cT
là
q 1,n q 1
dd c
T
dc
dc
T , dd c
T
T
.
0.
(1.1)
6
Giả sử T
q, q
là dòng dƣơng có bậc
trên tập mở
n
và
q
u
( ) Lloc
các độ đo phức trên
. Khi đó T
J ,K
. Vậy từ u
TJK
i
dzJ
2
( ) Lloc
dz K với TJK là
nên u là hàm khả tích
q
đối với các TJK . Do đó uT
J ,K
uTJK
i
dzJ
2
dz K là q, q
dòng
với hệ số độ đo. Ta đƣa ra định nghĩa sau:
dd cu T
dd c uT .
Từ (1.1) ta có
dd cu T
dd cu T ,
uT , dd c
đúng với mọi
C 0, n
1.2.2. Mệnh đề. Giả sử
tụ yếu tới độ đo Radon
uT
dd c
,
.
q 1,n q 1
j
dd c uT ,
là dãy các độ đo Radon trên tập mở
n
hội
. Khi đó
a) Nếu G
là tập mở thì (G )
b) Nếu K
là tập compact thì (K )
lim inf
j
lim
j
(G ) .
lim sup
j
sao cho ( E )
c) Nếu E compact tương đối trong
(E )
j
j
j
(K ) .
0 thì
(E ) .
Chứng minh.
a) Ta có
(G )
C0 G , 0
sup
(K ) : K
1 và
G . Giả sử K
1 trên K . Khi đó
G là tập compact. Lấy
7
(K )
( )
lim
(G )
Từ đó
b) Ta có (K )
inf
j
j
( )
lim inf
lim inf
j
j
(G ) .
(G ) .
j
j
(V ) : V
K ,V
V0 .
,V
C 0 (V ) , 0
Giả sử V là một lân cận mở của K và
1 và
1 trên
K . Khi đó
(V )
( )
lim
j
j
( )
lim sup
j
j
(K ) .
Từ đó
(K )
c) Viết E
IntE
lim sup
j
j
(K ) .
E . Khi đó
(E )
int E
(E )
lim sup
lim inf
j
j
int E
lim inf
j
j
(E ) .
Mặt khác
(E )
Từ đó
(E )
Vậy
j
lim sup
lim
j
j
cho
u, v
n
1, n
1
0
(E )
n
trên
vdd cu T
z
j
j
(E ) .
(E ) .
là miền bị chặn và u, v
lim u z
và
z
dòng dương, đóng trên
Đặc biệt, nếu lim v z
lim sup
(E ) .
1.2.3. Mệnh đề. Giả sử
sao
j
j
j
0 thì
0.
( ) Lloc
Giả
. Khi đó
udd cv T .
vdd cu T
udd cv T .
sử
T
là
8
Chứng minh. Chú ý rằng dd cu
0 , đặt u
. Với
trên
T và dd cv T là các độ đo Borel dƣơng
max u,
và u tăng tới 0 khi
hòa dƣới trên
. Khi đó u
0 và là hàm đa điều
giảm về 0. Từ định lí hội tụ đơn điệu
Lebesgue ta có
udd cv T
u dd cv T
u
lim
0
và
u dd cv T
u
0 nên u
Do lim u z
z
miền
u
u
C0
1
j
u
u
dd cv T .
u
1
j
0 là tập compact tƣơng đối trong
u
0
. Lấy
. Khi đó với j đủ lớn,
và do giả thiết T là n
nên dd cu
đóng trên
0
u
u
sao cho
lim
1, n
1
dòng dƣơng,
T là (n, n) dòng dƣơng, đóng với mọi
( ) Lloc ( ) , suy ra
u
u
1/ j
dd cv T
vdd c u
u
vdd c u
1/ j
\
1/ j
'
T
u
1/ j
T
'
vdd c u
T
1/ j
vdd c u
T
'
vdd c u
u
1/ j
T
'
vdd c u
1/ j
T.
'
1/ j
vdd c u
T hội tụ yếu tới vdd cu T .
1/ j
T
dd c u
T hội tụ yếu tới dd cu T . Khi đó
Nhƣng dd c u
1/ j
9
Vậy
vdd cu T
vdd c u
lim inf
j
'
T
1/ j
u
'
u dd cv T .
'
0 ta đƣợc
Từ đó cho
vdd cu T
vdd cu T .
'
ta nhận đƣợc bất đẳng thức cần chứng minh.
Cho
1.3. Nguyên lý so sánh Bedford - Taylor
n
1.3.1. Định lý. Giả sử
sao cho lim inf(u(z )
v(z ))
z
(dd cv )n
u v
là miền bị chặn và u, v
( ) L ( )
0 . Khi đó
(dd cu )n .
(1.2)
u v
Chứng minh. Trƣớc hết ta giải thích điều kiện
lim inf(u(z )
z
v(z ))
0.
Điều này có nghĩa là với mọi
0 tồn tại K
u(z )
khi
u
u
v(z )
.
Hơn
v
u
v
v thì cho
sử lim inf(u(z )
z
nữa
sao cho
u
thay
0 suy ra (1.2) đúng trên u
v(z ))
và u
v trên
u
\ K thì
, >0 ,
thì
0 . Nếu bất đẳng thức (1.2) đúng trên
khi
0 . Vậy u
v
a ) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó
tục trên
bởi
z
. Với
0 , đặt u
v . Vì vậy có thể giả
.
u
v là tập mở, u, v liên
max u
,v .
10
lim inf(u(z )
Từ giả thiết
u(z )
v(z )
và u
biên
v(z ))
z
nên u(z )
v(z ) với z gần biên
v trên
v(z )
. Vậy u
hay
u(z )
gần
. Theo công thức Stokes
(dd cu )n
(dd cu )n ,
hay
(dd cu )n
(dd cu )n .
u v
u v
v nên (dd cu )n
Vì u
(dd cv )n
(dd cv)n . Vậy ta có
(dd cu )n
lim inf
0
u v
b ) Giả sử u, v tùy ý và
u v
(dd cu)n .
u v
là miền sao cho u
v
/2
. Tồn tại
hai dãy u j và vk các hàm đa điều hòa dƣới trơn trên lân cận của
và v sao cho u j
vk trên
\G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm
liên tục trên
trên F
u v
vì C n G,
0 . Lấy
, u, v là các hàm
liên tục trên
sao cho
(dd cv )n .
lim
j
uj v
v
uj
(dd cv )n
uj v
u j , vk
\ G . Ta có
(dd cv )n
Nhƣng u j
1
là tập mở sao cho C n G,
0 và giả sử G
v
với mọi i, k . Có thể coi
giảm tới u
G và vì u j
(dd cv )n
uj
(dd cv )n
G
là tập mở nên
(dd cvk )n
lim
k
và (dd cvk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n .
uj v
,
11
Từ u j
uj
v
(dd cvk )n
G và u j
v
(dd cvk )n
uj
uj
vk suy ra
(dd cvk )n
(dd cvk )n
G
uj v
u j vk
Áp dụng a ) vào các hàm liên tục u j và vk ta thu đƣợc
(dd cvk )n
(dd cu j )n .
u j vk
u j vk
Do đó
(dd cv)n
lim inf lim inf
j
u v
k
(dd cu j )n
2
v
v nên ta có
uj vj
(dd cu j )n
lim sup
j
2 .
uj v
Hơn nữa
(dd cu j )n
(dd cu j )n
uj v
và do u
v
uj v
F
F là tập compact và u j
(dd cu j )n
lim sup
j
uj v
u
(dd cu)n
u v
F
(dd cu)n .
F
u v
0 tùy ý nên ta đƣợc
Do
(dd cv )n
(dd cu )n .
u v
u v
0 ta có
Từ đó với mọi
(dd cv )n
u
v
(dd c (u
u
v
))n
(dd cu )n .
u
v
Nhƣng
u
v
u
v và u
v
u
v
.
12
0 . Do đó
khi
(dd cv )n
(dd cu )n .
u v
u v
n
1.3.2. Hệ quả. Giả sử
sao cho u
v và lim u(z )
là miền bị chặn và u, v
lim v(z )
z
0 . Khi đó
z
(dd cv )n
(dd cu )n .
( )
( )
Chứng minh. Từ nguyên lí cực đại suy ra u
u
v
0 trên
v trên
(nếu ngƣợc lại thì
1 thì u
0 và kết luận là hiển nhiên). Khi đó nếu
Vậy u
( ) L ( )
u trên
.
. Từ đó
(dd cv)n
(dd c u)n
( )
n
( )
(dd cu)n .
( )
1 ta đƣợc điều cần chứng minh.
Cho
n
1.3.3. Hệ quả. Giả sử
là miền bị chặn và u, v
( ) L ( )
sao cho
lim inf(u(z )
v(z ))
z
Giả sử (dd cu)n
(dd cv)n trên
Chứng minh. Đặt
trên
. Giả sử u
(z )
z
2
0.
. Khi đó u
v trên
.
M , với M đƣợc chọn đủ lớn sao cho
v khác rỗng. Khi đó có
0 sao cho u
v
khác rỗng và do đó nó có độ đo Lebesgue dƣơng. Do Định lí 1.3.1 ta có
(dd cu)n
u v
u v
(dd cv )n
u v
(dd c (v
n
(dd c )n
u v
))n
0
13
(dd cv)n
n
4n n !
n
u
v
u v
(dd cv )n
(dd cu )n
u v
u v
và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy u
n
1.3.4. Hệ quả. Giả sử
sao cho lim inf(u(z )
z
v(z ))
1.3.5. Hệ quả. Giả sử
cho lim inf(u(z )
z
v(z ))
n
v trên
.
là miền bị chặn và u, v
0 và (dd cu)n
(dd cv)n . Khi đó u
là miền bị chặn và u, v
(dd cu )n
0 và
u v
( ) L ( )
v.
( ) L ( ) sao
0 . Khi đó u
v trên
.
14
Chƣơng 2
NGUYÊN LÝ SO SÁNH MẠNH ĐỐI VỚI
HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI TRONG LỚP
p
( )
2.1. Nguyên lý so sánh mạnh
Cho
là một miền siêu lồi trong
n
thông và bị chặn của
sao cho z
n
là tập con mở, liên
- nói cách khác
và tồn tại một hàm đa điều hòa dƣới liên tục
: (z )
c
với
c
các hàm đa điều hòa dƣới không dƣơng trên
0 . Kí hiệu
trong
( ) là tập
. Ta có nguyên lý so sánh mạnh
sau đây:
n
2.1.1. Định lý (Bất đẳng thức kiểu Xing). Giả sử
và u, v
( ) L ( ) sao cho lim inf u(z )
v(z )
z
mọi hằng số r
1
(n !)2
1 và
( ), 0
j
u )n dd c
(v
1
1, j
j
... dd c
n
(r
1
là tập mở, bị chặn
0 . Khi đó với
1, n , ta có
{u v }
(r
1
)(dd cv)n
{u v }
)(dd cu)n
(2.1)
{u v }
Chứng minh. Chú ý rằng điều kiện đặt trên u, v cho chúng ta với
E
sao cho
z
\ E ta có u(z )
v(z )
0,
. Ta xét hai trƣờng hợp
sau đây:
Trƣờng hợp 1: u, v là các hàm liên tục. Khi đó tập {u
đó có thể coi
từng phần ta đƣợc
{u
v} . Với
0 , đặt v
u gần
v} là tập mở và do
. Do đó tích phân
15
u )dd c
(v
n
... dd c
1
dd c ((v
n
u)n ) dd c
... dd c
1
(2.2)
n 1
Tuy nhiên
dd c ((v
u)n )
d(d c (v
u)
u)n 2d c (v
1)(v
u)n 1d c (v
d(n(v
u)n 1 ) d c (v
nd((v
n(n
u)n )
u))
u)n 1dd c (v
n(v
u)
u)
n(v
u)n 1dd c (v
n(n
1)
n
u)
Thay vào (2.2) ta có
u)dd c
(v
d c (v
... dd c
1
u) dd c
... dd c
1
(v
u)n 2d(v
n
(v
u )n 1dd c (v
u ) dd c
1
... dd c
n 1
n
n
(v
u)n 1dd c (v
u ) dd c
1
... dd c
n 1
u )n 1dd c (v
(v
Lặp lại quá trình này n
u )n dd c
1
n!
(v
u)
k 0
2
(n !)
(v
1
... dd c
n 1
.
n
u )(dd c (v
n 1
n!
u ) dd c
2 lần, ta nhận đƣợc
... dd c
(v
u)
n 1
n
n
(v
n
u ))n
1
C nk 1dd c (v )n
u )dd
n 1
c
1
k 0
dd c
1 k
dd c (v )n
1
(dd cu )k
1 k
dd c
(dd cu)k
1
16
2
(n !)
(
(n !)2
(n !)2
(
c
1
r )(dd v
1
r )((dd cv )n
(r
nhƣng do (r
1
n 1
c
dd u )
dd c (v )n
1 k
(dd cu )k
k 0
1
)(dd cu)n
)(dd cv )n
(dd cu)n )
(n !)2
(r
1
(r
1
)(dd cv )n
)(dd cv)n yếu khi
0 và do
mở
nên ta nhận đƣợc
(r
1
)(dd cv )n
(r
lim inf
0
)(dd cv )n .
0 và áp dụng Định lí hội tụ đơn điệu ta có
Cho
1
(n !)2
(v
u )n dd c
... dd c
1
(r
n
1
Trƣờng hợp tổng quát: Từ lim inf(u(z )
cho u(z )
v(z )
0, z
Lấy lân cận E
)(dd cu )n
(r
v j gần biên
{uk v j }
sao
\E .
sao cho lim uk
u, lim v j
k
j
v trên
. Sử dụng kết quả đạt đƣợc ở phần trƣớc với
hàm trơn uk , v j ta có
{uk v j }
(r
)(dd cv )n .
và hai dãy giảm các hàm đa điều hòa dƣới {uk } và
{v j } trong lân cận của
1
(n !)2
1
0 suy ra tồn tại E
v(z ))
z
uk
1
1
(v j
uk )n dd c
1
)(dd cuk )n
... dd c
(r
{uk v j }
1
n
)(dd cv j )n .
và
và các
17
Tuy nhiên {uk
vj }
(r
1
v} với mọi j và r
{uk
)(dd cv j )n
(r
{uk v }
1
0 nên
1
)(dd cv j )n .
{uk v j }
Do đó ta có
1
(n !)2
{uk v j }
(r
1
uk )n dd c
(v j
)(dd cuk )n
{uk v j }
Nhƣng {uk
1
là dãy giảm tới
j 1
uk )n dd c
(v
1
{uk
vj }
)(dd cv j )n
(r
... dd c
1
1
W
{uk
(r
)(dd cv)n
(v j
1
v} và
n
j
(v
uk )n dd c
1
1
... dd c
)(dd cv)n nên
(r
{uk v }
Nhƣ vậy từ (2.3) ta có
{uk v }
{uk
uk )n dd c
lim inf
{uk v }
1
(n !)2
(2.3)
{uk v }
1
lim inf
2
(n !) j
1
)(dd cv j )n .
(r
uk )n nên theo Bổ đề Fatou ta có
(v
1
(n !)2
Do (r
n
{uk v }
v j }j
uk }n
{v j
... dd c
1
... dd c
n
1
)(dd cv j )n
n
18
(r
lim inf
j
1
)(dd cuk )n
(r
{uk
(r
1
)(dd cv)n
(2.4)
{uk
)(dd cuk )n
(r
{uk v }
Nhƣng
1
1
)(dd cv)n .
{uk v }
{uk v }
uk )n
và (v
{u v }
u)n nên theo Định lí hội tụ
(v
đơn điệu Lebesgue ta có
1
(n !)2
u )n dd c
(v
... dd c
1
n
{u v }
(r
lim sup
k
1
)(dd cuk )n
(r
{uk v }
1
)(dd cv)n
{u v }
Lập lại lí luận trong chứng minh Định lí 1.3.1 (nguyên lý so sánh) ta có
(r
lim sup
k
1
)(dd cuk )n
(r
{uk v }
1
)(dd cu)n .
{u v }
Do vậy từ (2.5) ta nhận đƣợc
1
(n !)2
u )n dd c
(v
1
1
(r
1
)(dd cu)n
{u v }
)(dd cv)n
{u v }
Bây giờ ta thay u bởi u
với
(v
{u
u
0 ta có
)ndd c
1
... dd c
n
v}
(r
{u
n
{u v }
(r
1
(n !)2
... dd c
v}
1
)(dd cu)n
(r
{u
v}
1
)(dd cv)n
(2.5)
19
Nhƣng {u
v}
{u
v} khi
0 nên áp dụng định lí hội tụ
Lebesgue ta đƣợc
1
(n !)2
u )n dd c
(v
1
... dd c
n
(r
1
{u v }
(r
1
)(dd cu)n
{u v }
)(dd cv)n
□
.
{u v }
2.1.2. Mệnh đề (Phiên bản 1 của nguyên lý so sánh Bedford -Taylor ).
( ) L ( ) thỏa mãn lim inf(u(z )
Nếu u, v
z
u v
(dd cv)n
u v
v(z ))
( )
0 thì
(dd cu)n
Chứng minh. Chia cả hai vế bất đẳng thức của nguyên lý so sánh mạnh cho r
và cho r
ta đƣợc bất đẳng thức cần chứng minh.
Chú ý rằng đây chính là Định lý 1.3.1 đã trình bày trong chƣơng 1.
2.1.3. Mệnh đề (Phiên bản 2 của nguyên lý so sánh Bedford -Taylor ).
( ) L ( ) thỏa mãn (dd cv)n
Nếu u, v
z
lim inf(u(z )
v(z ))
( )
Chứng minh. Vì u
sánh mạnh cho u
đƣợc u
0 thì u
v trong
v
, v và
và nếu
.
0 tùy ý, nên áp dụng nguyên lý so
với
1
(dd cu)n trong
2
...
2
n
2
z (sup z )
1
v hầu khắp nơi đối với độ đo Lebesgue. Từ đó suy ra kết quả
cần chứng minh.
Chú ý rằng đây chính là Hệ quả 1.3.3 đã đƣợc trình bày trong chƣơng 1.
2.1.4. Mệnh đề (Bất đẳng thức Cegrell; [7]). Cho
u, v
1 ta
0
( ) với v
(
u trong
)(dd cv)n
thì
(
)(dd cu)n
( ) nếu
20
Chứng minh. Áp dụng nguyên lý so sánh mạnh cho u và
max
1
s
, 1 và r
Cho s
1,
1 ta đƣợc bất đẳng thức
0 , khi đó cho
max( , s )(dd cv)n
v với
max( , s )(dd cu)n
ta đƣợc kết quả cần chứng minh.
□
2.1.5. Mệnh đề (Bất đẳng thức Blocki; [5]).
Nếu u, v,
1
,
2
lim v(z )
1
0 và
u)n dd c
L ( ) , sao cho v
( )
n
u(z )
z
(v
,...,
1
... dd c
0, j
i
,
1,2,..., n thì
(n !)2
n
u trong
(
1
)(dd cu )n
Chứng minh. Sử dụng nguyên lý so sánh mạnh với r
0 ta đƣợc bất đẳng
thức cần chứng minh.
2.2. Ƣớc lƣợng năng lƣợng trong
p
( )
Trong phần này chúng ta sẽ ƣớc lƣợng năng lƣợng trong
p
( ) , sẽ
đƣợc sử dụng về sau. Trƣớc tiên ta ký hiệu
0
p
u
( )
u
( )
L ( ) : lim u(z )
( )
( ):
z
0
( ) uj
u; sup
j
Ngoài ra u j có thể chọn sao cho sup j
u
p
( ) . Ta có
ứng đối với
p
p
( )
p1
( ) nếu p
0,
(dd cu)n
( u j )p (dd cu j )n
(dd cu j )n
,p
0
thì ta viết
p1 , tuy nhiên các tính chất tƣơng
( ) không còn đúng. Trong [6] Cegrell đã cho một đặc trƣng
của độ đo dƣơng, đó là độ đo Monge - Ampère của một hàm số trong
p
. Một
