Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM




LÊ THỊ HỒNG




NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU
ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI



LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC







THÁI NGUYÊN – 2009

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ HỒNG


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU
ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI


Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01


LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC


Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG



THÁI NGUYÊN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS-TS. Phạm Hiến
Bằng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn
hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và

hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học
Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã
giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN, Trường
THPT Bắc Kạn cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về
mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các
bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009
Tác giả
Lê Thị Hồng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC





Trang

MỞ ĐẦU
1
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4
1.1. Hàm đa điều hoà dưới 4
1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại 10
1.3. Hàm cực trị tương đối. 15
1.4. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu 19
1.5. Toán tử Monge-Ampe 21
1.6. Khối lượng xạ ảnh và các số Lelong 21
Chương 2. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI CÁC HÀM ĐA
ĐIỀU HÒA DƯỚI
24
2.1. Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit 24
2.2. Cận dưới đối với hàm đa điều hoà dưới 33
2.3. Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới 40
2.4. Nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới 45
KẾT LUẬN
50
TÀI LIỆU THAM KHẢO
51
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1

MỞ ĐẦU


1. Lý do chọn đề tài
Trong giải tích phức một biến số, ngoài nguyên lý cực đại cổ điển, còn
có nguyên lý khác, ít được biết đến nhưng khá là quan trọng. Đó là việc tìm
cận dưới đúng của môđun các hàm chỉnh hình trên một đĩa mở đã cho tại
mọi điểm của một đĩa nhỏ hơn, trừ ra những điểm thuộc về một tập con đặc
biệt chứa 0, theo nghĩa cực đại của nó trên đĩa đã cho. Kích thước của những

tập đặc biệt được ước lượng một cách chính xác theo nghĩa của dung lượng
hoặc dung lượng Hausdorff một chiều. Đó là nguyên lý môđun cực tiểu đối
với hàm chỉnh hình. Nguyên lý này đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài
toán bao gồm các hàm hữu tỷ hoặc các hàm phân hình, có thể có nhiều cực
trong một miền đã cho và từ đó cần tìm cận trên của những hàm như thế. Đã
có nhiều người quan tâm nghiên cứu đến nguyên lý này như B.Ya.Levin,
A.Yger, A.Zeriahi,... Ở đây chúng tôi chọn đề tài “Nguyên lý cực tiểu đối với
hàm đa điều hoà dưới” , trình bày các kết quả của A. Zeriahi về tổng quát
hóa nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển đối với các hàm chỉnh hình một biến
phức cho các lớp khác nhau của hàm đa điều hòa dưới, dựa vào bổ đề nổi
tiếng của Cartan-Boutroux.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của Luận văn là trình bày việc tổng quát hoá các lớp
khác nhau các hàm đa điều hoà dưới đối với nguyên lý mô đun cực tiểu cổ
điển các hàm chỉnh hình một biến phức, dựa vào bổ đề Cartan – Boutroux:
- Tổng quát hóa bổ đề Cartan-Boutroux về thế vị lôgarit trong
n

cũng
như trình bày nguyên lý cực tiểu các hàm đa điều hòa dưới trên hình cầu
Euclid trong
n

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2

- Từ nguyên lý cực tiểu về thế vị lôgarit trong
n


suy ra bất đẳng thức
so sánh giữa dung lượng Hausdorff thích hợp với dung lượng lôgarit cổ điển
trong
n

.
- Đồng thời áp dụng các kết quả trên để tìm các ước lượng chính xác về
cỡ của “Lemniscates đa điều hoà dưới” theo nghĩa xấp xỉ dung lưa
Hausdorff. (Ước lượng đều trên cỡ của tập mức con của lớp của các hàm đa
điều hòa dưới, được gọi là các lemniscat đa điều hòa dưới.)
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ trình bày:
- Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà
dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối.
- Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các
số Lelong.
- Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa
điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới.
3. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, chúng tôi đã đọc tham khảo các tài
liệu trong và ngoài nước. Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị
phức. Đồng thời kế thừa các kết quả và phương pháp của các tác giả đã nêu ở
trên để giải quyết các bài toán đã nêu ra.
Sử dụng phương pháp đã biết giống như phương pháp của “hình cầu
loại trừ” trong lý thuyết thế vị thực khi ước lượng thế vị tích phân, phương
pháp cho phép chúng ta đạt được ước lượng dưới tổng quát đối với các hàm
đa điều hoà dưới trên hình cầu đơn vị, mà nó kéo theo “nguyên lý cực tiểu 3–
vòng tròn” đối với các hàm đa điều hoà dưới, và có thể thấy nó giống như
đối ngẫu của bất đẳng thức 3- vòng tròn Hadamard.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3

4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chư-
ơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của
hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại và hàm cực trị tương
đối. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các
số Lelong.
Chương 2: Trình bày nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực
tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa
điều hoà dưới.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.












Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Hàm đa điều hoà dưới
1.1.1. Định nghĩa. Cho
W
là một tập con mở của
n

và
[ )
:,u    

là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với

trên bất kỳ thành phần
liên thông nào của
W
. Hàm
u
được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi
a 
và
n
b  
, hàm
()u a bll+a

là điều hoà dưới hoặc trùng


trên mỗi thành phần của tập hợp
{ }
:abll   
. Trong trường hợp
này, ta viết
()u PSH
. ( ở đây
()WPSH
là lớp hàm đa điều hoà dưới
trong
W
).
1.1.2. Định lý. Cho
[ )
:,u    
là một hàm nửa liên tục trên và
không trùng

trên bất kỳ thành phần liên thông của
n
 
. Khi đó
()u PSH
khi và chỉ khi với mỗi
a 
và
n

b  
sao cho
{ }
: , 1abl l l    
,
ta có
( ) ( ; , )u a l u a b
,
trong đó
2
0
1
( ; , ) ( )
2
it
l u a b u a e b dt
p
p
=+

.
Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5

Một số tính chất quan trọng của những hàm đa điều hoà dưới có thể được
suy ra từ kết quả tiếp theo. Tương tự như trường hợp của những hàm điều
hoà dưới, ta gọi nó là định lý xấp xỉ chính cho những hàm đa điều hoà dưới.
1.1.3. Định lý. Cho
W

là một tập con mở của
n

và
()u PSH
. Nếu
0e >
sao cho
e
  
, thì
()uC
ee
l

   PSH
 Hơn nữa,
u
e
l*
đơn
điệu giảm khi
e
giảm, và
0
lim ( ) ( )u z u z
e
e
l


*=
với mỗi
z 
.
Phép chứng minh giống như chứng minh của định lý xấp xỉ chính cho các
hàm điều hoà dưới. Trước tiên ta cần bổ đề sau:
1.1.4. Bổ đề. Cho
n
 

là một tập mở và
1
()
loc
uL
. Giả thiết rằng
a 
,
n
b  
, và
{ }
: , 1abl l l    
. Khi đó

( ( ;., ) )( ) ( ; , )l u b a l u a b
ee
cl* = *
.
Chứng minh. Vế trái của đẳng thức bằng

2
0
1
( ) ( ) ( )
2
n
it
u a e b dt d
p
e
w c w l w
p





+-








.
Do định lý Fubini, nó bằng vế phải của đẳng thức trên.
Bây giờ chúng ta có thể chứng minh định lý.
Chứng minh. Do [7], Mệnh đề 2.5.2 tr44

()i
,
()uC
ee
l

  
. Định lý
1.2.2 kết hợp với bổ đề trên, suy ra
()u
ee
l  PSH
. Sử dụng lập luận đó
như trong [7], bổ đề 2.5.3 tr 46, đối với mỗi biến riêng, chúng ta có thể
chứng minh (bằng qui nạp theo
j
) ước lượng sau :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6

1
1
1 1 1 1 1 1
( ,...., , ,..., ) ( ,..., , ,...., )
n
j j n j j n
C
u I d
e
l w w w w l w w w w

-
- + - +


,
trongđó
1 1 1
( ,...., , ,..., )
j j n
I w w w w
-+
=

1 2 1 2 1 1 1 1
( ,....., , ,..., ) ( ) ( )
j j j j n n j
C
u z z z z de w e w e w e w c w l w
++
+ + + +

,
21
0 ee
và
1
1
( ,..., )
n
z z z

e
  

. Từ đó
12
( )( ) ( )( ) ( )u z u z u z
ee
ll   
.
Phần còn lại của chứng minh cũng như trong [7], Định lý 2.5.5 tr47.
Bây giờ chúng ta sẽ trình bày vài hệ quả của định lý xấp xỉ chính.
1.1.5. Hệ quả. Cho
W
và

W
là những tập mở trong
n

và
k

, tương ứng.
Nếu
()u PSH
và
:f

  
là một ánh xạ chỉnh hình, thì

ufo
là đa
điều hoà dưới trong

W
.
Chứng minh. Nếu
u
và
u-
là đa điều hoà dưới, thì do Hệ quả 1.2.6 và (3),
2
()uC
. Bởi vậy
( ) , 0Lu a b b =
với mọi
,ab
thích hợp, và như vậy
()u PH
. Điều ngược lại là tầm thường.
Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới nên ta có thể phát biểu vài tính
chất khác:
1.1.6. Hệ quả. Nếu
, ( )uvPSH
và
uv=
hầu khắp nơi trong
W
, thì
uv

.
1.1.7. Hệ quả. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong
miền bị chặn, tức là nếu
W
là một tập con mở liên thông bị chặn của
n


và
()u PSH
, thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi
z 
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7


( ) sup lim sup ( )
y
y
u z u y
ww   

<
.
1.1.8. Định nghĩa. Tập hợp
n
E  
được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm
aE

đều có một lân cận
V
của
a
và một hàm
()uV PSH
sao cho
{ }
: ( )E V z V u z     
.
Cho
W
là một tập con mở trong
.
n


Ta nói rằng một ánh xạ chỉnh
hình
:
m
f  

là không suy biến trong
W
nếu trong mỗi thành phần liên thông
của
W
có thể tìm được một điểm
z

sao cho hạng của
z
f
là
m
.
1.1.9. Mệnh đề. Cho
:
m
f  
là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến
trên một tập mở
m
 
và

W
là một lân cận mở của
()f W
trong
m

. Cho
{ }
()
A
u
a
a 


PSH
sao cho bao trên của nó
sup
A
uu
a
a 
=
là bị chặn trên địa
phương. Khi đó
**
( ) ( ).u f u f=oo

Chứng minh. Đặt
{ }
: det 0
z
A z f    
.
Vì
det
z
zfa
là một hàm chỉnh hình, A là đa cực nên A có độ đo
Lebesgue bằng không. Hạn chế của ánh xạ
f
trên
\ AW
là mở (do định lý
ánh xạ ngược) và liên tục nên ta có

{ }
*
0
( ) lim sup ( ( )) : ( , )u f u f z z B a
e
e

o

=
{ }
0
lim sup ( ) : ( ( , ))u f B a
e
w w e




( )( ),u f a
*
= o

với bất kỳ
\aA
. Bởi vậy
( ) ( )u f u f
**
=oo
hầu khắp nơi trong

W
.
Cũng vậy
( ) ,( ) ( )u f u f
**
ooPSH
. Do đó
( ) ( )u f u f
**
=oo
trong
W
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8

1.1.10. Mệnh đề. Cho dãy
{ }
()
j
j
u



PSH
bị chặn đều địa phương.
Đặt
( ) lim sup ( )
j

j
z
u z u z


=
. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên
u
*
là đa
điều hoà dưới trong
W
.
1.1.11. Định lý. Cho dãy
{ }
()
j
j
u



PSH
bị chặn đều địa phương trong
n
 
. Giả sử
lim sup ( )
j
j

u z M



với mỗi
z 
và một hằng số
M
nào đó. Khi đó với mỗi
0e >
và mỗi tập
compact
K 
 tồn tại một số tự nhiên
0
j
sao cho, với
0
jj
,
sup ( )
j
zK
u z M e


.
1.1.12. Định lý. Cho
W
là một tập con mở của

n

và

{ }
: ( )F z v z     

là một tập con đóng của
W
 ở đây
()v PSH
. Nếu
( \ )uFPSH
là bị
chặn trên, thì hàm
u
xác định bởi
( ) ( \ )
()
lim sup ( ) ( )
yz
yF
u z z F
uz
u y z F









=








là đa điều hoà dưới trong
W
. Nếu u là đa điều hoà và bị chặn trong
\ FW
,
thì
u
là đa điều hoà trong
W
. Nếu
W
là liên thông, thì
\ FW
cũng liên
thông.
1.1.13. Mệnh đề. Nếu
()
n

u  PSH
và
u
là bị chặn trên, thì
u
là hằng
số.
Cho
,

WW
là những tập mở liên thông trong
n

và
:f

 
là một
ánh xạ riêng. Dễ kiểm tra rằng
f
là ánh xạ đóng.
Ngoài ra, nếu
f
là chỉnh hình thì :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9

()i

f
là mở và đặc biệt là
()f

W = W
(vì
f
cũng đóng);
()ii
nếu
{ }
:0
z
A z f    
, thì với mỗi
a


có một hình cầu mở
B
,
tâm tại
a
và chứa trong

W
, và một hàm
()gB O
sao cho
0g 

và
1
( ) (0)f A B g
-

;
()iii
các thớ của
f
, đó là các tập hợp
1
()f w
-
trong đó
w


, là hữu hạn.
Chú ý rằng
()ii
là trường hợp đặc biệt của định lý ánh xạ riêng của
Remmert .
1.1.14. Mệnh đề. Cho
:f

 
là một toàn ánh chỉnh hình riêng giữa
hai tập mở trong
n


. Nếu
()u PSH
, thì công thức

{ }
1
( ) max ( ) : ( ) ( )v z u f z zww
-

   

xác định một hàm đa điều hoà dưới.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng

W
là liên
thông.
Nếu
G
là một tập con mở compact tương đối trong

W
, thì tập mở f
–1
(G)
là compact tương đối trong
W
,

vì

f
là ánh xạ riêng. Bởi vậy, theo định lý
xấp xỉ chính, chỉ cần chứng minh mệnh đề là đúng đối với các hàm đa điều
hoà dưới liên tục.
Giả sử rằng
( ) ( )u     PSH
. Nếu
a
và
b
là các số thực sao cho
ab<
, thì
[ )
1 1 1
(( , )) ( (( , ))) \ ( ( , )).v a b f u a f u b
- - -
  

Do đó
v
là liên tục trong

W
. Do đó
1
1
( \ ( ))
: ( \ ( )) \ ( )
f f A

f f f A f A
-
-

W

  

là song chỉnh hình địa phương. Bởi vậy tồn tại duy nhất một số
k  
sao
cho với mỗi
\ ( )z f A


tồn tại một lân cận
\ ( )V f A


của
z
và
những lân cận rời nhau
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10

1
,...,
k
UU

của
1
,...,
k
ww
, trong đó
{ }
1
1
,..., ( )
k
fzww
-
=
,
sao cho
()i

:
j
j
U
f U V
là ánh xạ song chỉnh hình,
()ii

1
1
( ) ...
k

f V U U
-
  
.
Do đó
( \ ( ))v f A

PSH
. Vì
v
là liên tục và
()fA
là đa cực nên suy ra
tính đa điều hoà dưới của
v
.
1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại
1.2.1.Định nghĩa. Cho
W
là một tập con mở của
n

và
:u  
là hàm
đa điều hoà dưới. Ta nói rằng
u
là cực đại (hoặc cực trị) nếu với mỗi tập
con mở compact tương đối G của
W

, và với mỗi hàm nửa liên tục trên
v
trên
G
sao cho
()vG PSH
và
vu
trên
G
, đều có
vu
trong G.
Ký hiệu
()WM PSH
là họ tất cả các hàm đa điều hoà dưới cực đại trên
W
.
Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại.
1.2.2. Mệnh đề. Cho
n
 
là mở và
:u  
là hàm đa điều hoà
dưới. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
()i
Với mỗi tập con mở compact tương đối G của
W
và với mỗi hàm

()v PSH
, nếu
lim inf( ( ) ( )) 0,
z
u z v z
x

với mọi
Gx 
, thì
uv

trong G ;
()ii
Nếu
()v PSH
và với mỗi
0e >
tồn tại một tập compact
K 

sao cho
uv e  
trong
\ KW
, thì
uv
trong
W
.

()iii
Nếu
()v PSH
, G là một tập con mở compact tương đối của
W
, và
uv
trên
G
thì
uv
trong G ;
()iv
Nếu
()v PSH
, G là một tập con mở compact tương đối của
W
, và
lim inf( ( ) ( )) 0,
z
u z v z
x

với mỗi
Gx 
, thì
uv
trong G ;
()v

u
là hàm cực đại.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11

Chứng minh.
( ) ( )i ii
: Cho
v
là một hàm đa điều hoà dưới có tính chất:
với mỗi
0e >
tồn tại một tập compact
K 
sao cho
uv e  
trong
\ KW
. Giả sử rằng
( ) ( ) 0u a v a h- = <
tại một điểm
a 
. Bao đóng của
tập hợp

{ }
: ( ) ( )
2
E z u z v z
h

    

là tập con compact của
W
. Bởi vậy có thể tìm được tập mở
G
chứa
E
và
compact tương đối trong
G
. Theo
()i
ta có
2
uv
h

trong
G
, điều đó
mâu thuẫn với
.aE

Phần còn lại được suy ra từ khẳng định: hàm
{ }
max ( ), ( ) ( )
()
( ) ( \ )
u z v z z G

z
u z z G
w





=







là đa điều hoà dưới trong
W
(xem Hệ quả 1.2.16) theo các giả thiết
()iii
,
()iv
,
()v
, và
()i
.
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một lớp quan trọng các hàm cực đại liên
tục.
Trước hết, chúng ta cần một số định nghĩa. Cho

W
là một miền bị chặn
trong
n

và
()fC 
. Bài toán Dirichlet suy rộng là tìm một hàm nửa
liên tục trên
:u  
sao cho
()u
W
M PSH
và
uf


.
Cho
W
là miền bị chặn trong
n

và
()fC 
. Ta sẽ ký hiệu
( , )UfW
là
họ của tất cả các hàm

()u PSH
sao cho
uf
*

trên

, trong đó

*( ) lim sup ( )
z
u z u
w
w
w


=

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12

với mọi
z 
. Đặt
{ }
,
( ) sup ( ) : ( , ) , .
f
z u z u U f zy

W
    

Hàm
,
()
f
zy
W
được gọi là hàm Perron – Bremermann đối với
W
và
f
; hàm
này được Bremermann (1959) nghiên cứu và nó là một hàm Perron cổ điển
được sử dụng trong lý thuyết thế vị (thực) ( Hayman và Kennedy 1976).
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng
,
()
f
zy
W
nghiệm của bài toán Dirichlet suy
rộng khi
W
là một hình cầu Euclid.
1.2.3. Định lý. Cho
()f C B
, trong đó
( , )B B a r=

là một hình cầu mở
trong
n

. Khi đó hàm
y
xác định bởi
,
( ) ( )
()
( ) ( )
Bf
z z B
z
f z z B
y
y





=







là một nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng đối với tập
B
và hàm
f
.
Hơn nữa,
y
là liên tục.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng
0a =
. Giả
sử
h
là nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển đối với
B
và
f
. Vì hàm đa
điều hoà dưới là điều hoà dưới, nên suy ra
,Bf
hy 
trong
B
theo nguyên lý
cực đại đối với những hàm điều hoà dưới. Do
h
liên tục trong
B
, nên ta có
,

()
Bf
hy
*

trong
B
. Đặc biệt, điều đó có nghĩa là
,
( ) ( , )
Bf
U B fy
*

và như
vậy
,
()
Bf
yy
*

trong
B


()By  PSH
. Để hoàn thành chứng minh kết
luận thứ nhất của định lý, ta chỉ cần chứng minh
,

()
Bf
fy
*

trên
B
. Ta sẽ
chứng minh một tính chất mạnh hơn:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13

với
0
zB
bất kỳ, thì
0
,0
lim inf ( ) ( )
Bf
zz
zB
z f zy



.
Thật vậy, lấy
0
zB

và
0e >
. Chứng minh sẽ được hoàn thành nếu ta có
thể tìm được một hàm liên tục
:vB 
sao cho
( , )
B
v U B f
và
00
( ) ( )v z f z e=-
. Điều đó có thể đạt được bằng cách định nghĩa
2
00
( ) Re , ( ) ,v z c z z r f z e

= - + -


trong đó
0c >
là hằng số, được chọn để
vf
trên
B
. (Chú ý rằng biểu
thức trong những dấu móc vuông là âm trên
{ }
0

\Bz
).
Từ đó với mỗi
0
zB
, ta có

0
0
lim ( ) ( )
zz
zB
zzyy


=
,
tức là
y
liên tục tại mỗi điểm biên.
Tính cực đại của
y
là hiển nhiên. Thực vậy, nếu
G
là một tập con mở
compact tương đối của
B
,
[ )
:,vG   

là nửa liên tục trên,
()
G
v PSH
và
v y
trên
G
, thì hàm
{ }
max ,
\
v z G
V
z B G
y
y





=







thuộc
( , )U B f


V y
. Đặc biệt,
v y
trong
G
. (đpcm)
Để chứng minh rằng
y
là liên tục, chỉ cần chứng tỏ nó nửa liên tục dưới.
Thật vậy, lấy
0e >
. Khi
B
là compact,
B
fy =
là liên tục đều. Điều đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14

kết hợp với
0
0
lim ( ) ( )
zz
zB

zzyy


=
suy ra tồn tại
(0, )
2
r
d =
sao cho nếu
zB
,
Bw 
, và
3z wd-<
, thì

( ) ( )
2
z
e
y y w-<
.
với bất kỳ
(0, )yBd
, đặt
{ }
max ( ), ( ) ( ( )
()
( ) ( \ ( )

y
z z y z B y B
Hz
z z B y B
y y e
y


     


=


  



.
Ta sẽ chứng minh rằng
( , )
y
B
H U B f
. Thật vậy vì
(0, ) ( ) (0, ) ( , )B r B y B B r B y rd       

nên
( (0, ))
y

H B r dPSH
là lớn nhất trong hai hàm đa điều hoà dưới.
Mặt khác,
y
H y=
trong
\ (0, 2 )B B r d-
. Thực vậy, theo định nghĩa
()
y
Hz

ta có
( ) ( ), \ ( )
y
H z z z B y By   
.
Nếu
( ( )) \ (0, 2 )z B y B B r d    
, thì ta chọn
0
zB
sao cho
0
2zz d-<
. Ta có
0
3z y z d+ - <
và do đó theo (11),
0

( ) ( )
2
zz
e
yy-<
và
0
( ) ( )
2
z y z
e
yy+ - <
.
Như vậy
( ) ( )z z yy y e  


( ) ( )
y
H z zy=


()
y
HB PSH
và
y
Hf=
trên
B



( , )
y
H U B f


.
y
H y

Từ đó nếu
,zBw 
và
z wd-<
, thì
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15

( ) ( ) ( ) ( )
z
z H z z z
w
y y w e y w e
-
      
.
Vậy
y

là nửa liên tục dưới. (đpcm).
1.2.4. Hệ quả. Cho
W
là một tập con mở của
n

và
()u M PSH
. Nếu
B
là một hình cầu mở sao cho
B

W
thì
B
u
là giới hạn của một dãy giảm
những hàm đa điều hoà dưới cực đại liên tục trong
B
.
Chứng minh. Cho G là tập con mở compact tương đối của
W
chứa
B
. Do
Định lý 1.2.3, có thể tìm được một dãy giảm
{ }
( ) ( )
j

j
u C G G




PSH

hội tụ tới
u
. Đặt
( )
,
( ) ( )
()
( ) ( \ )
jB
Bu
j
j
z z B
vz
u z z G B
y







=






.
Khi đó
()
j
B
vB M PSH
với mọi
j
,
()
j
vG PSH
và dãy
j
v
giảm đến
một hàm
()vG PSH
. Hiển nhiên,
vu
trong G. Cũng vậy,
vu
trong

\GB
. Vì
u
cực đại nên ta có
vu
trong
B
. Từ đó
lim ( ) ( )
j
j
v z u z

=
với
zB
.
1.3. Hàm cực trị tương đối.
1.3.1. Định nghĩa. Giả sử
W
là một tập con mở của
n

và
E
là tập con của
W
. Hàm cực trị tương đối đối với
E
trong

W
được định nghĩa là :
{ }
,
( ) sup ( ) : ( ), 1, 0
E
E
u z v z v v v
W
     PSH
(
z 
).
Hàm
( )
*
,E
u
W
là đa điều hoà dưới trong
W
.
Xét trường hợp đặc biệt khi
E
là đóng trong
W
. Ta sẽ chứng minh
,E
u
W

trùng với hàm Perron - Bremermann
\,
E
E c
y
W-
( ở đây
E
c
là hàm đặc trưng
của E ). Thực vậy, giả sử
( \ )uEPSH
âm sao cho:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16


\
lim sup ( ) 1
z
zE
uz
w


với mỗi
Ew   
.
Khi đó hàm

{ }
1
()
max 1, \
zE
vz
u z E




=


  



âm và nửa liên tục trên trong
W
. Hơn nữa, nó là hàm đa điều hoà dưới trong
W
do Định lý 1.2.2 ([7]). Như vậy
,E
u v u
W

trong
\ EW

. Từ đó
\ , ,
E
EE
u
c
y
W - W

trong
\ EW
. Bất đẳng thức ngược lại là hiển nhiên.
Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị
tương đối.
1.3.2. Mệnh đề.
Nếu
1 2 1 2
EE    
thì
1 1 2 1 2 2
,,,E E E
u u u
WWW


1.3.3. Mệnh đề.
Nếu
W
là siêu lồi và
E

là một tập con compact tương đối của
W
, thì tại
điểm
w  
bất kỳ ta có

,
lim ( ) 0
E
z
uz
w
W

=
.
Chứng minh. Nếu

< 0 là một hàm vét cạn đối với
W
, thì với số
0M >

nào đó,
1M r <-
trên
E
. Như vậy
,E

Mur
W

trong
W
. Rõ ràng,
lim ( ) 0
z
z
w
r

=
và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm.
1.3.4. Mệnh đề. Nếu
n
 
là siêu lồi và
K 
là một tập compact sao
cho
*
,
1
K
K
u
W
=-
thì

,K
u
W
là hàm liên tục.
Chứng minh. Lấy
,E
uu
W
=
và ký hiệu F 
()WPSH
là họ các hàm
u
. Giả
sử

là hàm xác định của
W
sao cho

<-1 trên K. Khi đó
ur 
trong
W
.
Chỉ cần chứng minh rằng với mỗi
(0,1)e 
tồn tại
()vC  
F. Sao cho

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17

u v ue  
trong
W
. Thật vậy, lấy
(0,1)e 


tồn tại
0h >
sao cho
u er-<
trong
\
h
WW
và
K
h

,

trong đó

{ }
: ( , )z dist z
h
h     

.
Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini
(Royden 1963), có thể tìm được
0s >
sao cho
u
d
c e r* - <
trên

và
1u
d
ce* - < -
trên
K
. Đặt

{ }
\
max ,
trong
v
u trong
h
e
dh
r
c e r


WW



=


* - W



.
Khi đó
v
e
 C(

) ∩ F và như vậy

{ }
max ,u u v u
e
e e r    

tại mỗi điểm trong
W
.
1.3.5. Mệnh đề. Cho
n
 

là tập mở liên thông, và
E 
. Khi đó các
điều kiện sau tương đương :
()i

*
,
0
E
u
W

;
()ii
Tồn tại hàm
()v PSH
âm sao cho
{ }
: ( )E z v z     

Chứng minh.
( ) ( )ii i
là hiển nhiên. Thật vậy, nếu
v
như ở trên
()ii
, thì
,E

vue
W

với mọi
0e >
, từ đó
,
0
E
u
W
=
hầu khắp nơi trong
W
. Như vậy
*
,
0
E
u
W

. Bây giờ giả sử
*
,
0
E
u
W


. Do [7] (mệnh đề 2.6.2 tr49), tồn tại
một điểm
a 
sao cho
,
( ) 0
E
ua
W
=
. Bởi vậy, với mỗi
j  
, có thể
chọn một
()
j
v PSH
sao cho

0, 1
jj
E
vv< < -
và
( ) 2
j
j
va
-
>-

.
Đặt

1
( ) ( ), .
j
j
v z v z z

=
  



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18

Chú ý rằng
( ) 1va >-
,
v
âm trong
W
, và
E
v   
.
Đồng thời
v
là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa

điều hoà dưới. Vì
v   
nên ta kết luận
()v PSH
.
1.3.6. Mệnh đề. Cho
W
là tập con mở liên thông của
n

. Giả sử
j
j
EE=
U
, trong đó
j
E 
với
1,2,...j =
. Nếu
*
,
0
j
E
u
W

với mỗi

j
,
thì
*
,
0
E
u
W

.
Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.3.5 chọn
()
j
v PSH
sao cho
0
j
v <

và
j
j
E
v   
.
Lấy điểm
{ }
1
\ ( )

j
j
av
-




   






U
. Bằng cách mở rộng mỗi hàm
j
v
bởi
một hằng số dương thích hợp, ta có thể giả thiết
( ) 2
j
j
va
-
>-
. Khi đó
()
j

j
vv  

PSH
,
0v <
và
E
v   
. Suy ra
*
,
0
E
u
W

.
1.3.7. Mệnh đề. Cho
W
là tập con siêu lồi của
n

và
K
là một tập con
compact của
W
. Giả thiết rằng
{ }

j
W
là một dãy tăng những tập con mở của
W
sao cho
1
j
j

=
W= W
U

và
1
K 
. Khi đó

,,
lim ( ) ( ),
j
KK
j
u z u z z
WW

  
.

Chứng minh. Lấy điểm

0
z 
. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử
rằng
{ }
01
Kz  
. Giả sử
0


là một hàm vét cạn đối với
W
sao cho
1


trên K.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19

Lấy
(0,1)e 
sao cho
0
()zre<-
. Khi đó tồn tại
0
j  
sao cho tập

mở
1
(( , ))w r e
-
   
là tập compact tương đối trong
0
j
W
. Lấy
0
()
j
u PSH
sao cho
0u 
trên
0
j
W

và
1u 
trên
K
. Khi đó
{ }
max ( ) , ( ) ,
()
( ), \

u z z z
vz
zz
e r w
rw





=







xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa
1
K
v 
và
0v 
. Như vậy
0 , 0
( ) ( )
K
v z u z
W


. Vì
u
là một phần tử tuỳ ý của họ
0
,
j
K
u
W
, nên ta có

0
, 0 , 0
( ) ( )
j
KK
u z u ze
WW

.
Do đó ta có
, 0 , 0 , 0
( ) ( ) ( )
jj
K K K
u z u z u ze
W W W
  
với mọi

0
jj
và
e
nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh.
1.4. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu
Đầu tiên chúng ta nhắc lại bổ đề nổi tiếng của Cartan-Boutroux:
Cho
( )
pz
là đa thức của một biến phức có bậc
1d 
. Với bất kỳ
0e >
, xét
đa thức
e
-lemniscate của P được xác định bởi:

( ) ( )
{ }
, : ;
d
E P z P zee  
.
Khi đó tồn tại một phủ hữu hạn của
( )
,EPe
bởi đĩa mở
d

với bán kính
( )
1
j
jd
r

thỏa mãn ước lượng:

1
2
j
jd
ree



. (1.1)
Nói cách khác
( )
( )
log log 1/ ,P z d ze    
ngoài hợp của các đĩa mở
d
với bán kính
( )
1
j
jd
r


thỏa mãn ước lượng
1
2
j d j
ree



.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20

Từ ước lượng này ta có thể suy ra nguyên lý cực tiểu đối với hàm chỉnh hình.
Nếu
f
là một hàm chỉnh hình trên đĩa
{ }
;2z z eRC
sao cho
( )
01f =
.
Khi đó, với bất kỳ số thực
01h<<


( ) ( ) ( ) ( )
3
3

log log 2 , : log ,
2
f
e
f z H M eR Hhh
h




> - =







xảy ra với
zR
ngoài hợp của một số hữu hạn những đĩa có bán kính
()
j
r
với
2
j
j
rRh


.
Một cách tổng quát hơn của bổ đề Cartan-Boutroux’ có thể phát biểu như
sau: Với
02a
tuỳ ý tồn tại một phủ hữu hạn của
( , )EPe
bởi đĩa mở
d
với bán kính
()
j
r
thỏa mãn ước lượng:

( )
1
2
d
j
j
re
a
a
e
=


. (1.2)
Nói cách khác, điều đó có nghĩa là với bất kỳ
(0,1]e 

cận dưới
( )
d
Pz e

xảy ra với mọi
z
ngoài hợp của đĩa
d
với bán kính
()
j
r
thỏa mãn ước lượng
( )
2.
jj
re
a
a
e


Điều này tương đương với ước lượng sau theo nghĩa của dung lượng
Hausdorff của số chiều
a
:

( )
( )

( )
;2h E P e
a
a
ee
,
[0,1]e
.
Chúng ta kết thúc phần này bằng cách nhắc lại định nghĩa của dung lượng
Hausdorff trong một tập hợp tổng quát hơn, sẽ được sử dụng về sau.
Cho
( , )Xd
là một không gian Metric và
0p >
là một số thực. Khi đó với
một số thực đã cho
0d >
, theo định nghĩa, dung lượng
d
- Hausdorff số
chiều
p
của tập
EX
được định nghĩa như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21


( )

( ) ( )
( )
: inf ; , ,
p
p
j j j
j
j
j
h E r B E B B B X d
dd






  








U
,
trong đó
( )

,B X d
d
là lớp tất cả các phủ đếm được
( )
j
j
B
 
của tập
E
bởi các
hình cầu của không gian Metric
( , )Xd
có bán kính tại hầu hết
d
và
( )
j
rB

là bán kính của hình cầu
j
B
với mỗi
j  
.
Giống như trong bổ đề Cartan-Boutroux, ta có thể lấy
d   
. Số tương
ứng ký hiệu là

( ) ( )
pp
h E h E

=
và được gọi là dung lượng Hausdorff số
chiều
p
của tập
E
.
Độ đo Hausdorff số chiều
p
của tập
E
được định nghĩa bởi
( ) ( ) ( )
00
: sup lim
p p p
H E h E h E
d d d d
==
.
1.5. Toán tử Monge-Ampe
Cho
u
là đa điều hoà dưới trên miền
n
 

. Nếu
2
uC
thì toán tử:
( ) ( ) ( )
1,
: ... 4 !det
n
c c c n
jk
n
j k n
u
dd u dd u dd u n dV
zz




   




1444444442 444444443

với dV là yếu có thể tích trong
C
n
gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này

có thể xem như độ đo Radon trên
W
, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên không gian các hàm liên tục với giá compact
0
()C W
trên
W
.
( )
( )
0
n
c
C dd ujj
W
W'

a

Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu
u
là đa điều hoà dưới bị chặn địa
phương trên
W
thì tồn tại dãy
 
 
1
n

n
uC


  PHS
sao cho
n
uu

và
 
 
n
c
n
dd u
hội tụ yếu tới độ đo Radon

trên
W
tức là: