Bài giảng bài định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm giải tích 11 (4)

Chương V. ĐẠO HÀM

§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA
CỦA ĐẠO HÀM


Kiểm tra bài cũ
Tính giới hạn

HD.

x2  4
1) A  lim
.
x 2 x  2
 x2  9 
2) B  lim 
.
x   3  x  3 

x2  4
(x  2)(x  2)
1) A  lim
 lim
 lim (x  2)  4.
x2
x 2 x  2 x 2
x 2
 x2  9 
(x  3)(x  3)
2) B  lim 


lim
 lim (x  3)  6.

x 3
x   3  x  3  x   3
x  3


Chương V. ĐẠO HÀM

§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA
CỦA ĐẠO HÀM
I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm


a. Bài tốn tìm vận tốc tức thời

Tại thờiM
điểm
viên
ở 0vị) trí O.
0 M1t = 0f (t
1) bif (t

v tb 

O
f(t0)

M0
M0 M1
M1

f(t1)

.

Đến thời 
điểm
t t = t0 tviên
1  t 0bi ở vị trí
M
đã đinhỏ
được
đường
0 và
Nếu
t càng
thì vqng
càng
phản
tb
OM
= f(t0).
ánh 0chính
xác hơn sự nhanh chậm
Đến
thời bi
điểm

= t1điểm
viên bi
vị trí
của viên
tại tthời
t0. ởNgười
M
và giới
đã đihạn
được
ta 1xem
của quãng
vtb khi đường
t1 dần
OM
tới t10 =làf(tvận
1). tốc tức thời của viên
bi
tạitừthời
hiệu
là
Tính
thờiđiểm
điểm tt00 và
đếnkíthời
điểm
v(t
t (t0). < t ) viên bi đã đi được quãng

) 0)fvà

(t 0mất
)
đường M0M1 = f(tf1)(t–1f(t
v(t
)

lim
.
0
khoảng thời
gian
– tt0. Tính
t1 
t 0 t = tt11 
0
vận tốc trung bình của viên bi trên
quãng đường M0M1.
1

y



0

1


b. Bài tốn tìm cường độ tức thời
I tb 

Q(t)  Q(t 0 )
.
t  t0

Q(t)  Q(t 0 )
I(t 0 )  lim
.
t  t0
t t0


Nhiều vấn đề trong tốn học, vật lí, hố học, sinh
Vận
Cường
dịng
phản ứng
học,tốc
... tức
dẫnthời
tới bài
tốnđộtìm
giới Tốc
hạn độ
dạng
điện tức thời

hóa học tức thời

f (x)  f (x 0 )

lim
.
f (t )  f (t0 )
s(t )  s(t0 ) x  x 0 xQ(tx)0 Q(t0 )
C
(
t
)

lim
I (t0 )  lim
v(t0 )  lim
0
t t
t t0
t t0
t  t0
t  t0
t  t0
0

lim

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0


2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số y = f(x) xác định trên
khoảng (a; b) và x0 thuộc khoảng đó.
f(x) - f(x 0 )
Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số
khi x
x - x0
dần đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại
điểm x0, kí hiệu là f ’(x0) hoặc y’(x0), nghĩa là:

f(x) - f(x0 )
f'(x0 ) = lim
(1).
x  x0
x - x0


2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
f(x) - f(x0 )
f'(x0 ) = lim
(1).
x  x0
x - x0
Chú ý
1) f ’(x0) (nếu có) là một số.
2) Nếu giới hạn viết ở vế phải (1) không tồn tại
hoặc bằng vô cực thì f(x) khơng có đạo hàm
tại điểm x0.


2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

f (x)  f (x 0 )
f '(x 0 )  lim
(1).
x  x0
x x0

Cho f (x)  x 2 , tính f '(2), f '(3).
f (x)  f (2)
x2  4
f '(2)  lim
 lim
 lim (x  2)  4.
Lưu ý:x Có
thể
áp
dụng
(1)
để
tínhxf’(x
)
x

2
x

2
2
x

2

2
0
2
2
- Áp dụng (1). x  x
00 
sau
đó0 )lần
lượt
thay
x
= 2,
x0 (x
=tra
-3
để
được
2xbài
f- Xem
'(x

lim
lim

) cũ!
2x 0
lại các
bàitập
phần
kiểm

09
f (x)
f
(

3)
x

x0 x  x0
x0
f f'(’(2)
3) vàlim
x lim
fx’(-3).
x 3
x 3
x 3 x  3
 f '(2)  4, f '(3)  6.
 lim ( x  3)  6.

Ví dụ 1.
HD

x  3


Đặt x  x  x 0 gọi là số gia của biến số tại x0 , và đặt
y  f  f(x 0  x)  f(x 0 )

gọi là số gia tương ứng của hàm số.

Ta có x  x 0  x và y  f  f (x 0  x)  f (x 0 )  f (x)  f (x 0 ).

Từ định nghĩa

f ( x)  f ( x0 )
f '( x0 )  lim
x x
x  x0
0

f (x 0  x)  f (x 0 )
y
 f (x 0 )  lim
 lim
.
x
x 0
x 0 x


2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

f (x)  f (x 0 )
f '(x 0 )  lim
(1).
x  x0
x x0
f (x 0  x)  f (x 0 )
y

f '(x 0 )  lim
 lim
(2).
x
x 0
x 0 x


2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
CHÚ Ý
3) Số x không nhất thiết chỉ mang dấu dương.
4) x, y là những kí hiệu, khơng được nhầm lẫn
rằng: x là tích của  với x, y là tích của  với y.
Như vậy có thể thay kí hiệu x bởi kí hiệu khác.


Cơng thức ở định nghĩa có thể viết

f (x)  f (x 0 )
f '(x 0 )  lim
x  x0
x x0
f ( x 0  x )  f (x 0 )
f (x 0 )  lim
x
x 0
f (x 0  h )  f (x 0 )
f (x 0 )  lim
h
h 0

f (x 0  t )  f (x 0 )
f (x 0 )  lim
...
t
t 0

y
f '(x 0 )  lim
x 0 x


3. Cách tính đạohàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 theo
định nghĩa ta thực hiện 2 bước sau :

B1. TÝnh Δy = f(x0 +Δx) – f(x0 ).
Δy
Δy
B2. LËp tØ sè
. T×m lim
.
Δx
Δx  0 Δ x
(xem thªm SGK trang 149)


Ví dụ 2: Cho f (x)  x, tính f '(1).
HD. C1.
-Tính y:

y  f  f (1  x)  f (1)
x
 1  x  1 
.
1  1  x
y
-Tính lim
:
x 0 x
y
1
1
lim
 lim
 .
x 0 x x 0 1  1  x 2
1
 f '(1)  .
2

B1. Tính Δy = f(x 0 +Δx) – f(x 0 ).
Δy
B2. Tìm lim
.
C2. Δx 0 Δx

f (x)  f (1)
f '(1)  lim
x 1
x 1

x 1
 lim
x 1 x  1
x 1
 lim
x 1 ( x  1)( x  1)
1
1
 lim (
) .
2
x 1 1  x


1
Ví dụ 3. Cho f(x) = . Tính f '(2).
x

HD.
Cách 2.1.
Cách
Δf = f(x0 +Δx) - f(x0 ) = f(2+Δx)
1 1 - f(2)
f(x) - f(2)
1
1
x
2
1
1

Δx
f '(2) =
= lim
= -lim
=. lim ( ) = - .
=
2
4
x2
+
2 Δxx - 22
x 2(2
2 x+- Δx)
x  2 2x
Δf
1
1
lim
= lim
=- .
4
Δx 0 Δx Δx 0 2(2 + Δx)
1
f '(2) = - .
4


Nhận xét:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0, tức là
f(x) - f(x 0 )

f '(x 0 ) = lim
.
x x0
x - x0

Ta có

lim (x  x 0 )  0

x x 0

 f ( x)  f ( x0 )

x  x0    f ’(x0).0 = 0
lim  f ( x)  f ( x00 )  lim 

0.
x  x0
x  x0
x  x0



f ( x)  f ( x0 ) hay
Vậy xlim
f (x)hàm
 f (x 0số
) f liên tục tại x 0.
x
0

lim

x x 0

x  x0

 f '(x 0 )


4. Mối quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và
tính liên tục của hàm số

- Nếu hàm số y =f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó
liên tục tại điểm x0 .

- Một hàm số liên tục tại một điểm
có thể có, có thể khơng có đạo hàm tại điểm đó.
- Nếu hàm số y =f(x) gián đoạn tại điểm x0 thì nó
khơng có đạo hàm tại điểm x0 .


4. Mối quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và
tính liên tục của hàm số
f(x) có đạo hàm tại x0

f(x) liên tục tại x0


Qua tiết này, HS cần nắm được định nghĩa và cách

tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

f (x)  f (x 0 )
y
f (x 0 )  lim
 lim
.
x  x0
x x0
x  0 x
BTVN
1- Đọc bài đọc thêm SGK trang 154.
2- BT SGK: Bài 1, 2, 3, 4 trang 156.
3- BT SBT: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7 trang 194.
Câu hỏi bổ sung
Cho f(x) = x4. Tính f ’(x0), với x0 là một số thực.