Giáo trình Cơ ứng dụng (ĐCN) Chương 4

Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

CHƯƠNG 4
KÉO NÉN ĐÚNG TÂM

I) ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp chịu lực đơn giản nhất
của thanh thẳng - thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm. Đó là một trong những
bài toán cơ bản của sức bền vật liệu.
Ta gọi một thanh chịu kéo hay nén đúng tâm là thanh chịu lực sao cho trên mọi
mặt cắt ngang chỉ có thành phần lực dọc Nz.

Để tính ứng suất trên mặt cắt ngang ta làm thí nghiệm với thanh mặt cắt ngang
chữ nhật chịu kéo đúng tâm.
Trước khi cho thanh chịu lực, vạch lên mặt thanh những đường thẳng song
song với trục tượng trưng cho các thớ dọc và những đường vuông góc với trục
thanh tượng trưng cho các mặt
cắt ngang, chúng tạo thành mạng
lưới ô vuông. Sau khi thanh bị
biến dạng ta thấy các đường

4-1

thẳng song song và vuông góc

với trục thanh vẫn còn song song và vuông góc với trục nhưng mạng lưới ô
vuông đã trở thành mạng lưới ô chữ nhật (hình 4-1).
Dựa vào nhận xét trên, ta đưa ra 2 giả thuyết cơ bản sau đây để làm cơ sở cho
việc tính ứng suất và biến dạng của thanh chịu kéo, nén đúng tâm:

1. Gỉa thuyết mặt cắt ngang phẳng

Cơ ứng dụng ĐCN

- 1-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Trong quá trình biến dạng mặt cắt ngang của thanh luôn luôn giữ phẳng và vuông
góc với trục của thanh.
Ý nghĩa của giả thuyết này là trên mặt cắt ngang chỉ có thành phần ứng suất
pháp  z mà không thể có thành phần ứng suất tiếp  . Thật vậy nếu có thành
phần ứng suất tiếp thì mặt cắt ngang của thanh sau biến dạng sẽ không còn
phẳng và vuông góc với trục thanh nữa, như vậy lưới ô vuông sẽ không trở
thành lưới ô chữ nhật. (Hình 4-1)

2. Giả thuyết về các thớ dọc
Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không ép lên nhau cũng không đẩy
nhau ra.
Ý nghĩa của giả thuyết này là thành phần ứng suất pháp trên các mặt cắt dọc
phải bằng không
Ngoài hai giả thuyết trên, ta vẫn coi vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi:
vật liệu tuân theo định luật Húc: quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là bậc
nhất:
3. Biểu thức ứng suất

Trong trường hợp đang xét, các góc vuông không đổi nên theo định luật
Hooke, ứng suất tiếp trên tiết diện sẽ bằng không.
Ưùng suất pháp tỷ lệ với biến dạng dài   E .
Vì biến dạng dọc trục là như nhau với mọi thớ dọc, là hằng số tại mọi điểm
trên tiết diện, nên ứng suất pháp cũng là hằng số trên tiết diện. Do đó, quan hệ
giữa ứng lực N và ứng suất  có dạng.
N   dA    dA  A
A

A

Cơ ứng dụng ĐCN

- 2-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Từ đó ta nhận được biểu thức đơn giản để tính ứng suất pháp


N
A

(4-0)

N- lực dọc tại tiết diện đang xét, tìm được theo phương pháp mặt cắt ;
A- diện tích tiết diện.
Xét một đoạn thanh có chiều dài dz, sau khi biến dạng, đoạn thanh này dãn ra
một lượng là dz . Dựa vào giả thuyết mặt cắt ngang phẳng ta nhận thấy các
thớ dọc của chúng đều giãn dài ra như nhau (Hình 4-2)
Như vậy ứng suất pháp  z tại mọi điểm trên mặt cắt ngang phải có giá trị bằng
nhau.
Tổng hình chiếu của nội lực trên trục z phải bằng lực dọc Nz

N z   dA    dA  A
A

(4-1)

A

Lực dọc Nz được coi là dương khi làm thanh chịu kéo: Nz>0 ; (z >0
Lực dọc Nz được coi là âm khi làm thanh chịu nén: Nz<0 ; (z <0
Với phương pháp tính toán chính xác (không thông qua các giả thuyết) lý
thuyết đàn hồi cũng đã chứng minh được rằng một thanh chịu kéo nén đúng
tâm thì dù hình thức đặt lực ở các đầu thanh là như thế nào thì sự phân bố ứng
suất trên những mặt cắt ở xa mặt cắt đặt lực cũng là phân
bố đều.
Mỗi loại vật liệu có một trị số môđun đàn hồi E. Ta phải
tiến hành thí nghiệm để xác định trị số đó. Thứ nguyên
của E là KN/cm2.
4-2

Cơ ứng dụng ĐCN

- 3-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Ta nêu lên vài trị số cụ thể của E như sau:
Thép chứa từ 0,1- 0,20%

E = 20.1010 N/m2 = 2.104 KN/cm2

cacbon

E = 22.1010 N/m2 = 2,2.104 KN/cm2

Thép lò xo

E = 19.1010 N/m2 = 1,9.104 KN/cm2

Thép Nicken

E = 11,5.1010 N/m2 = 1,15.104 KN/cm2

Gang xám

E = 12.1010 N/m2 = 1,2.104 KN/cm2

Đồng

E = (10

Đồng thau

KN/cm2

Nhôm và Đura

E = (7 8).1010 N/m2 = (0,7 0,8).104 KN/cm2

Gỗ dọc thớ

E = (0,8 1,2).1010 N/m2 = (0,8 1,2).104

Cao su

KN/cm2

12).1010 N/m2 = (1

1,2).104

E = 8.106 N/m2 = 0,8 KN/cm2

II) BIẾN DẠNG CỦA THANH
2-1 Biến dạng dài dọc trục
Khi thanh chịu kéo hay nén, chiều dài l của thanh dãn dài ra hay co ngắn lại
một lượng là l . Độ dãn hay độ co đó được gọi là biến dạng dài hay biến dạng

dọc.
Theo định luật Hooke, biến dạng dài dọc trục của một đơn vị chiều dài thanh
là



E



N
EA

(4-2)

Biến dạng dài dọc trục của một vi phân chiều dài thanh dz là  .dz
Cơ ứng dụng ĐCN

- 4-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Biến dạng dài dọc trục của cả chiều dài thanh L, ký hiệu L , là
N
dz

EA
L

L    .dz  
L

(4-3)

Khi tỷ số

N
là hằng trên cả chiều dài L :
EA

Khi tỷ số

N
 NL 
là hằng trên từng đoạn chiều dài Li : L   

EA
i  EA  i

Khi EA là hằng trên cả chiều dài L : L 

L 

NL
EA

N
EA

(4-4)
(4-5)

(4-6)

Với  N là diện tích biểu đồ lực dọc trên đoạn chiều dài L
2-2 Biến dạng dài theo phương ngang
Có thể nhận thấy biến dạng dài theo phưong dọc trục và biến dạng dài theo
phương ngang trục sẽ có dấu ngược nhau. Các nghiên cứu thực nghiệm và lý
thuyết cho thấy độ lớn của hai loại biến dạng này tỷ lệ với nhau, hệ số tỷ lệ phụ
thuộc vào vật liệu. Ký hiệu biến dạng theo phương ngang là  , và hệ số tỷ lệ là
 ta có quan hệ:

 ,      



(4-7)

E

Trong các biểu thức trên các hệ số E và  là hai hằng số đàn hồi của vật liệu
được xác định từ thí nghiệm. Hằng số E gọi là môđun đàn hồi khi kéo, nén có
thứ nguyên là [ lực/ (chiều dài)2. E còn được gọi là hằng số Young, tên nhà vật
lý người Anh. Hằng số  gọi là hằng số nở ngang hay hằng số Poisson theo
tên nhà bác học người Pháp. Hằng số  là đại lượng không thứ nguyên, với
mọi loại vật liệu giá trị của  nằm trong khoảng 0    0,5 .

Cơ ứng dụng ĐCN

- 5-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Biến dạng của thanh phụ thuộc vào tích EA. Tích này càng lớn thì biến dạng
càng nhỏ, vì vậy ta gọi EA là độ cứng khi kéo, nén của tiết diện. Trị số

EA
L

được gọi là độ cứng khi kéo nén của thanh.
2-3 Chuyển vị của tiết diện
Khi thanh thẳng chịu kéo, nén đúng tâm trục thanh vẫn thẳng. Các tiết
diện khơng xoay, vẫn vuơng gĩc trục và chỉ tịnh tiến dọc trục. Tại tiết diện ở
hồnh độ z , chuyển vị là w thì tại tiết diện lân cận ở hồnh độ z  dz chuyển vị
dọc trục sẽ là w  dw .
Biến dạng dài của chiều dài dz là dw biến dạng của một đơn vị chiều
dài sẽ là

dw
. Vậy
dz

N
dw
 
dz
EA

(4-8)

Ta phát biểu đạo hàm bậc nhất của chuyển vị dọc trục w sẽ bằng biến
dạng dài tỷ đối  . Như thế, chuyển vị được xác định bằng việc giải phương
N
= constant theo chiều dài đoạn thanh
EA

trình vi phân bậc nhất (4-8). Khi  
thì w là một hàm bậc nhất.
A. VẬT LIỆU DẺO
1. thí nghiệm kéo

Mẫu thí nghiệm: thường dùng là thanh thép hình trụ, đường kính ban đầu là d0
chiều dài ban đầu là l0 .Theo TCVN 197-66

d1

l1

Cơ ứng dụng ĐCN

- 6-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Ðể thí nghiệm được chính xác, hai
đầu mẫu thí nghiệm, chổ cặp vào
máy được gia công có đường kính

P

PB

B

lớn hơn.

C
Pch
Ptl

D
A

Sau khi cặp mẫu vào máy, ta
tăng lực dần từ 0 cho đến khi
mẫu bị đứt. Ðồ thị biểu diễn

quan hệ giữa lực kéo P và độ
biến dạng dài tuyệt đối (l của

L

O

mẫu thí nghiệm được một bộ phận tự động ghi lại như hình vẽ (4-6).
Qua đồ thị này ta có thể chia quá trình chịu lực của vật qua làm ba giai đoạn:
a./ Giai đoạn đàn hồi: (đoạn OA)
Vật liệu làm việc tuân theo định luật Húc: quan hệ giữa lực tác dụng và biến
dạng là bậc nhất .
Ứng với giai đoạn này ta có giới hạn tỉ lệ  tl là tỉ số giữa lực kéo lớn nhất và
diện tích mặt cắt ngang ban đầu
Ðường chét nốp hay Luđe: đường phát sinh trong giai đoạn chảy, nghiêng với
trục thanh một góc gần bằng 450 chứng tỏ sự trượt của các tinh thể trong giai
đoạn chảy của vật liệu
b./ Giai đoạn chảy (đoạn AB)
Tương quan giữa P và l là một đường nằm ngang. Ðặc điểm của giai đoạn
này là lực kéo không tăng trong khi đó biến dạng vẫn cứ tăng. Trị số lực tương
ứng với giai đoạn này là Pch và ta có giới hạn chảy là
Cơ ứng dụng ĐCN

- 7-

 ch :

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

c./ Giai đoạn củng cố: (đoạn BC)
Sau biến dạng chảy, vật liệu bị biến cứng nên ở giai đoạn này lực có tăng biến
dạng mới tăng. Quan hệ giữa lực kéo và biến dạng là một đường cong. Trị số
lực cao nhất trong giai đoạn này được ký hiệu là Pb và ta có giới hạn bền  b
Ba giới hạn  tl ,  ch ,  b là ba đặc trưng cơ học của vật liệu.
Ngoài ra, để đánh giá độ dẻo của vật liệu người ta thường dùng hai đại lượng
sau đây :
Biến dạng dài tỉ đối tính theo phần trăm
Ðộ thắt tỉ đối tính theo phần trăm
Trong đó:
l0 , F0 : chiều dài và diện tích mặt cắt ban đầu của mẫu thí nghiệm.
l1: chiều dài của mẫu thí nghiệm sau khi bị đứt.
F1: diện tích mặt cắt ngang nhỏ nhất của mẫu tại chổ đứt.
Ta nhận thấy rằng độ dốc của đường thẳng OA chính là mođun đàn hồi E
a- Giai đoạn đàn hồi (đoạn OA)
Trong giai đoạn này mẫu chỉ bị biến dạng đàn hồi. Diện tích mặt cắt ngang
thay đổi không đáng kể nên ta có thể xem đồ thị thực trùng với đồ thị quy ước.
b- Giai đoạn bắt đầu biến dạng dẽo cho đến lúc xuất hiện chổ thắt (đoạn AC')
Trị số lực tăng từ Ptl đến Pb. Ðộ giãn dài trên suốt chiều dài của mẫu là đồng
đều, diện tích mặt cắt ngang cũng thay đổi đều nên thể tích của mẫu không đổi
Vt = V0 => Ft.lt = F0l0
c- Giai đoạn từ lúc bị thắt đến lúc đứt

Cơ ứng dụng ĐCN

- 8-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Lúc này mẫu thử chịu lực chủ yếu là ở chổ bị thắt. Ở đây, mẫu bị dãn dài nhiều
hơn và diện tích mặt cắt ngang giảm đi nhanh chĩng cho nên dù lực kéo cĩ giảm
nhưng ứng suất tại chổ thắt vẫn tăng lên cho đến khi mẫu bị đứt.
V. MỘT SỐ HIỆN TƯỢNG PHÁT SINH KHI VẬT LIỆU CHỊU LỰC
1. Hiện tượng biến cứng
Hiện tượng biến cứng là hiện tượng tăng giới hạn đàn hồi của vật liệu bị biến dạng
dẽo. Trong thí nghiệm, nếu mẫu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi thì đường
biểu diễn sẽ là đường OA. Mẫu sẽ phục hồi lại hình dạng và kích thước ban đầu.
Nhưng nếu lực vượt quá giai đoạn đàn hồi thì khi bỏ lực, vật sẽ có biến dạng dư.
Ðường biểu diễn khi bỏ lực sẽ song song nhưng không trùng với OA. Sau đó nếu
cho mẫu chịu lực ta lại thấy giới hạn đàn hồi tăng lên so với vật liệu ban đầu. Vật
liệu biến dạng dư khi tăng giảm lực liên tục có giới hạn tỉ lệ cao hơn, nhưng biến
dạng dẽo kém hơn vật liệu ban đầu. (Hình 4-11)
Hiện tượng vật liệu giảm biến dạng dẻo và nâng cao giới hạn tỷ lệ gọi là hiện
tượng biến cứng .
Hiện tượng này có lúc ta phải loại trừ để khôi phục tính dẽo ban đầu của vật
liệu, có lúc người ta lợi dụng để tăng bền bề mặt chi tiết trong quá trình công
nghệ hoặc nén theo chu kỳ để tăng bền cho các cột trụ bêtông cốt thép (bêtông
tiền áp) .
Hiệu ứng Bauschinger: hiện tượng giảm giới hạn bền nén nếu lần trước mẫu
chịu kéo mà lần sau chịu nén .
2. Hiện tượng sau tác dụng

Hiện tượng sau tác dụng là hiện tượng xuất hiện biến dạng dẽo theo thời gian
làm thay đổi ứng suất và biến dạng trong vật thể chịu tác dụng của ngoại lực.

Cơ ứng dụng ĐCN

- 9-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Ðối với kim loại, nếu ứng suất ban đầu càng lớn, môi trường làm việc có nhiệt
độ càng cao thì hiện tượng sau tác dụng xảy ra càng rõ rệt. Hiện tượng sau tác
dụng được chia ra:
a./ Hiện tượng chùng
Hiện tượng chùng là hiện tượng biến dạng thay đổi theo thời gian khi ứng suất
được giữ không đổi
Thí nghiệm cho thấy, nếu tác dụng vào mẫu một lực đủ lớn để mẫu có thể biến
dạng dẽo, sau đó giữ cho lực không đổi thì ta thấy mẫu bị biến dạng liên tục
theo thời gian. Ta gọi đó là hiện tượng chùng .
Ban đầu thanh có biến dạng tức thời (đường OA), biến dạng này có thể là đàn
hồi hay đàn hồi dẽo tùy theo trị số của tải trọng. Ta có thể chia đồ thị trên làm
3 giai đoạn:
Ðoạn AB: biểu diễn giai đoạn thứ nhất của hiện tượng chùng, tốc độ biến dạng
(biến dạng dẽo) lúc đầu tăng nhanh, sau giảm dần do vật liệu bị biến cứng.
Ðoạn BC: biểu diễn giai đoạn thứ hai của hiện tượng chùng, tốc độ biến
dạng trong giai đoạn này được xem như không đổi trong một thời gian dài do

hiện tượng biến cứng và hiện tượng chùng trừ khử lẫn nhau .
Ðoạn CD: biểu diễn giai đoạn phá hoại của vật liệu: tốc độ biến dạng tăng
nhanh dần đến lúc phá hoại. Hiện tượng chùng càng tăng làm cho tính biến
cứng của vật liệu càng giảm .
Những cánh tuốc- bin trong nhà máy nhiệt điện làm việc ở nhiệt độ cao, do
hiện tượng chùng làm cho cánh tuốc- bin dãn dài ra có thể gây va đập vào
thành ống.
b./ Hiện tượng rão

Cơ ứng dụng ĐCN

- 10-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân
Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Hiện tượng rão là hiện tượng ứng suất thay đổi theo thời gian do sự xuất hiện
biến dạng dẽo trong vật thể chịu lực khi biến dạng toàn phần được giữ không
đổi.
Hiện tượng rão thường thấy ở các bulông nối ở các mối nối của nồi hơi ...
Bulông có hai đầu cố định nên độ dãn dài toàn phần của nó không đổi nhưng
do hiện tượng chùng làm biến dạng dẽo ngày một tăng nên ứng suất ngày một
giảm. Biến dạng dẽo ngày một tăng làm cho biến dạng đàn hồi ngày một giảm,
đưa đến sự giảm ứng suất.
Hiện tượng rão của bulông ở các mối nối có thể gây ra hiện tượng thẩm thấu

hơi trong các nồi hơi, ống dẫn hơi...
VI. KHÁI NIỆM VỀ SỰ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT
Trong phần trên, chúng ta đã tìm ra luật phân bố ứng suất trên các mặt cắt ngang
của những thanh hình trụ chịu kéo hoặc nén đúng tâm là phân bố đều. Từ đó
chúng ta đã thừa nhận rằng sự phân bố ứng suất trên mọi mặt cắt ngang của thanh
có mặt cắt thay đổi theo bậc cũng là phân bố đều. Ðiều đó chỉ đúng với những mặt
cắt ở xa những vị trí có kích thước thay đổi đột ngột. Khi mặt cắt có hình dáng,
kích thước thay đổi đột ngột thì trên những mặt cắt tại những chổ thay đổi đó sự
phân bố ứng suất không còn đều nữa.
Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng, khi kéo hoặc nén một tấm chữ nhật có
lỗ tròn bé, ứng suất lớn nhất tại mép lỗ sẽ lớn gấp 3 lần ứng suất tại các mặt cắt
xa lỗ.
Người ta gọi hiện tượng phân bố không đều của ứng suất tại các mặt cắt ngang
có hình dạng và kích thước thay đổi hoặc ở gần các điểm đặt lực là hiện tượng
tập trung ứng suất.

Cơ ứng dụng ĐCN

- 11-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân
Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Vì hiện tượng tập trung ứng suất có tính chất cục bộ nên ứng suất tại các nơi
này được gọi là ứng suất cục bộ.

Ứng suất cục bộ lớn hay bé phụ thuộc vào dạng thay đổi của mặt cắt ngang .
Sự thay đổi mặt cắt càng đột ngột thì sự phân bố của ứng suất càng không đều.
Vì vậy, trong kỹ thuật để giảm hiện tượng tập trung ứng suất đối với các chi
tiết có mặt cắt ngang thay đổi ta phải làm cho sự thay đổi mặt cắt là từ từ. Cần
phải hết sức tránh sự thay đổi mặt cắt ngang đột ngột, vì như vậy sẽ gây ra ứng
suất cục bộ lớn.

Cơ ứng dụng ĐCN

- 12-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân
Vũ