Giáo trình Cơ ứng dụng (ĐCN) Chương 5

Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

CHƯƠNG 5
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

I. KHÁI NIỆM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI MỘT ÐIỂM
Ta biết rằng ứng suất tại một điểm bất kỳ trong vật thể đàn hồi chịu lực
phụ thuộc vào vị trí điểm đó và mặt cắt ta xét. Qua một điểm, với những mặt cắt
khác nhau ta có những ứng suất σ và τ khác nhau.
Ta gọi trạng thái ứng suất tại một điểm là trạng thái chịu lực của điểm đang
xét được đặc trưng bởi những giá trị ứng suất pháp và tiếp trên những mặt cắt khác
nhau đi qua điểm đó.
Lý thuyết đàn hồi chứng minh rằng qua một điểm bao giờ cũng tìm được ba
mặt cắt vuông góc nhau mà trên các mặt cắt đó chỉ xuất hiện ứng suất pháp còn
ứng suất tiếp đều bằng không. Những mặt ấy gọi là mặt chính.
Phương vuông góc với mặt chính gọi là phương chính.
Öùng suất pháp tác dụng lên mặt chính gọi là ứng suất chính. Các ứng suất
chính còn là ứng suất pháp cực trị của một trạng thái ứng suất.
Những ứng suất chính được ký hiệu là  1 ,  2 ,  3 và theo qui ước:
1   2   3

Ðể nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm, ta tách riêng ra một hình
hộp kích thước vô cùng bé (gọi là phân tố) bao quanh điểm đó. Các cạnh của phân
tố là vô cùng bé nên ta có thể coi phân tố là điểm đang xét và ứng suất trên các
mặt phân tố được xem là ứng suất trên các mặt cắt đi qua điểm đó. Ðiều này hoàn
toàn phù hợp, vì nếu cho kích thước của phân tố giảm đến 0 thì phân tố sẽ thu về
Cơ ứng dụng ĐCN

- 1-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

một điểm. Mặt khác, vì đã thừa nhận vật liệu đồng chất và đẳng hướng nên phân
tố tách ra ở bất kỳ điểm nào vẫn có đầy đủ tính chất của toàn bộ vật thể đàn hồi
(hình 5-1).

Hình 5-1
Ký hiệu hệ trục song song với các cạnh của hình lập phương là x, y, z ta được
chín thành phần ứng suất là:
 Ứng suất pháp: σx , σy , σz
 Ứng suất tiếp:  xy , xz , yx , yz , zx , zy
Ký hiệu:
+ σi: chỉ ứng suất pháp theo phương i
+ τij: chỉ

- i: ứng suất tiếp trong mặt phẳng có pháp tuyến i
- j: ứng suất tiếp theo phương j

do định luật đối ứng của ứng suất tiếp ta có:
 xy   yx ;

 xz   zx ;

 yz   zy ;

Như vậy trên phân tố hình lập phương chỉ có 6 ứng suất độc lập nhau.

Cơ ứng dụng ĐCN

- 2-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Trong thực tế, tùy theo lực tác dụng và dạng vật thể mà trên phân tố chính có đủ
cả 3, 2 hoặc 1 ứng suất chính. Dựa vào sự có mặt của ứng suất chính ta phân ra:
a)

Trạng thái ứng suất khối: khi cả 3 ứng suất chính đều khác không. Ðó là

trạng thái ứng suất chính của những điểm thuộc vùng tiếp xúc giữa hai vật thể đàn
hồi.
b)

Trạng thái ứng suất đơn: khi chỉ có một ứng suất chính khác không. Ðó là

trường hợp thanh chịu kéo nén đúng tâm hay uốn thuần túy thẳng.
c)

Trạng thái ứng suất phẳng: khi có hai ứng suất chính khác không.

Vấn đề chủ yếu của chương này là xác định phương chính và ứng suất chính, ứng
suất tiếp cực đại...
II. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG

1) Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
Xét một phân tố có trạng thái ứng suất phẳng như hình vẽ. (5-2)

Cơ ứng dụng ĐCN

- 3-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Muốn xác định ứng suất trên mặt cắt song song với trục z và nghiêng với trục x
một góc α (chiều dương của góc ( theo qui ước trong lượng giác), ta cắt phân tố và
xét sự cân bằng của phần dưới.
Vì diện tích của các mặt phân tố là vô cùng bé nên ta có thể coi ứng suất trên đó là
phân bố đều. Vậy lực tác dụng lên các mặt phân tố là:
- Mặt nghiêng ds :

σu dz ds

và τuv dz ds

- Mặt dx

:

σy dz ds sinα và τyx dz ds sinα

- Mặt dy

:

σx dz ds cosα và τxy dz ds cosα

Ta viết điều kiện cân bằng dưới dạng các phương trình sau:
Phương trình tổng momen của các lực đối với O

Rút ra τxy = τyx
Ðó là định luật đối ứng của ứng suất tiếp mà ta đã biết ở chương II (kéo nén
đúng tâm)

Khi kiểm tra độ bền một điểm của một bộ phận công trình hay chi tiết máy bị
kéo nén (trạng thái ứng suất đơn), bị cắt hoặc xoắn (trượt thuần túy), ta có điều
kiện sau:

Cơ ứng dụng ĐCN

- 4-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Trong đó những ứng suất cho phép viết ở vế phải được suy ra từ những kết quả thí
nghiệm về kéo, nén, cắt (hay xoắn), những ứng suất cho phép được tính bằng cách
lấy ứng suất nguy hiểm chia cho hệ số an toàn.
Đối với vật liệu dẻo: ứng suất nguy hiểm là  ch
Đối với vật liệu giòn: ứng suất nguy hiểm là  b
Những thí nghiệm để xác định ứng suất nguy hiểm kéo, nén, cắt (hay xoắn),
thường đơn giản và có thể thực hiện được.
Nếu muốn kiểm tra độ bền một điểm của một bộ phận công trình hay chi tiết máy
ở trạng thái ứng suất phức tạp (phẳng hoặc khối) thì ta cần có những kết quả thí
nghiệm phá hoại những mẫu thử ở trạng thái ứng suất tương tự, tức là tỉ lệ giữa
những ứng suất chính  1 ,  2 và  3 của mẫu thử khi bị phá hoại phải bằng tỉ lệ
giữa những ứng suất chính của điểm cần kiểm tra. Việc thực hiện những thí
nghiệm như thế rất khó khăn và thực tế có khi không thực hiện được vì:
-

Số lượng thí nghiệm phải rất nhiều mới đáp ứng được các tỉ lệ giữa những ứng

suất có thể gặp trong thực tế.
- Trình độ kỹ thuật hiện nay chưa cho phép thực hiện được tất cả những thí
nghiệm về trạng thái ứng suất phức tạp, ví dụ trường hợp kéo theo 3 phương
vuông góc nhau.
Để đơn giản, người ta đưa trạng thái ứng suất phức tạp đang xét về trạng thái
ứng suất đơn tương đương và việc kiểm tra bền sẽ tiến hành đối với trạng thái
ứng suất đơn tương đương này.

Cơ ứng dụng ĐCN

- 5-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Bây giờ ta phải tìm sự liên hệ giữa các ứng suất chính với ứng suất tương đương
 td là như thế nào. Những giả thuyết cho phép thiết lập sự liên hệ đó gọi là các lý

thuyết bền.
Thuyết bền là những giả thuyết về nguyên nhân cơ bản gây ra trạng thái ứng suất
giới hạn của vật liệu, cho phép ta đánh giá độ bền của vật liệu ở bất kỳ một trạng
thái ứng suất phức tạp nào, nếu biết độ bền của vật liệu đó từ thí nghiệm kéo nén
đúng tâm.
Thực ra độ bền của vật liệu không những chỉ phụ thuộc vào trạng thái ứng suất mà
còn phụ thuộc nhiều nhân tố cơ, lý khác như nhiệt độ , thời gian, cách đặt
lực...Ảnh hưởng của những nhân tố này rất phức tạp. Hiện nay cũng chưa có lý
thuyết tổng quát nào xét được đầy đủ những ảnh hưởng đó. Ở đây, những lý thuyết
bền chỉ xét đến một nhân tố là trạng thái ứng suất và nghiên cứu sự làm việc của
vật liệu trong giới hạn đàn hồi. Các thuyết bền được xây dựng trên mỗi giả thuyết
riêng và vì tính chưa hoàn chỉnh của các thuyết bền nên kết quả tính ra sẽ có giá trị
khác nhau.
III. CÁC THUYẾT BỀN
1. Thuyết bền thứ nhất: Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất.
Thuyết bền thứ nhất do Galileâ đưa ra năm 1638. Thuyết này cho rằng:
Vật liệu bị phá hoại là do ứng suất pháp cực đại của phân tố ở trạng thái ứng

suất phức tạp đạt tới ứng suất nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.
Ta có thể phát biểu thuyết này như sau:
Hai trạng thái ứng suất phức tạp và đơn sẽ có độ bền tương đương nếu ứng suất
pháp lớn nhất của chúng bằng nhau
Như vậy điều kiện bền được viết là:
Cơ ứng dụng ĐCN

- 6-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

(5-1)
Thiếu sót chính của thuyết ứng suất pháp lớn nhất là không kể đến ảnh hưởng của
hai ứng suất chính còn lại. Thực tế cho thấy các ứng suất chính đó có ảnh hưởng
nhiều đến độ bền của vật liệu. Ví dụ: nếu ta nén một khối xi-măng hình lập
phương theo tất cả các mặt của nó bởi một áp suất phân bố đều thì thí nghiệm cho
thấy khối xi-măng đó vẫn chịu được lực mà không bị phá hủy mặc dù ứng suất
trong khối xi-mămg đó vựơt quá giới hạn bền nhiều lần đi nữa.
Ngoài ra thuyết bền thứ nhất còn không thích hợp đối với vật liệu dẻo, còn đối với
vật liệu giòn, thuyết này chỉ cho những kết quả phù hợp khi có một ứng suất chính
rất lớn so với các ứng suất chính còn lại.
Hiện nay thuyết này không còn được áp dụng mà chỉ có ý nghĩa lịch sử.
2. Thuyết bền thứ hai: Thuyết bền biến dạng dài tương đối lớn nhất
Thuyết bền thứ hai do Mariốt đưa ra năm 1682. Thuyết này cho rằng: vật liệu bị
phá hủy là do biến dạng dài tương đối cực đại của phân tố ở trạng thái ứng suất

phức tạp đạt đến biến dạng dài tương đối ở trạng thái nguy hiểm của phân tố ở
trạng thái ứng suất đơn.
Biểu thức: nếu ký hiệu giới hạn của biến dạng dài lớn nhất là L thì ở TTƯS khối,
điều kiện bền sẽ viết là  l 

1
 1    2   3   L . Còn ở TTƯS đơn, biến dạng
E

dài lớn nhất    / E sẽ có giới hạn là   / E .
Giới hạn không phụ thuộc dạng của TTƯS nên L    / E .
Điều kiện bền ở TTƯS khối được viết là
Cơ ứng dụng ĐCN

- 7-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

 1    2   3    

Ưu điểm của thuyết bền thứ hai là có kể đến ảnh hưởng của ba ứng suất chính
 1 ,  2 ,  3 . Song cũng như thuyết bền thứ nhất, thuyết này cũng không thích hợp

đối với vật liệu dẻo. Còn đối với vật liệu giòn thì nó chỉ cho kết quả phù hợp khi
 1  0 và  3  0

Trước kia thuyết này được dùng rất rộng rãi nhưng ngày nay hầu như không còn
được dùng nữa.
3. thuyết bền thứ ba: thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất
Thuyết bền thứ ba do Coulomb đưa ra năm 1773. Thuyết này cho rằng: vật liệu bị
phá hoại là do ứng suất tiếp cực đại của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt
đến ứng suất tiếp nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.
Ta có thể phát biểu thuyết này như sau: nguyên nhân gây ra sự sự phá hỏng của
vật liệu ở trạng thái ứng suất khối là do trị số lớn nhất của ứng suất tiếp đạt tới một
giới hạn xác định. Giới hạn này không phụ thuộc vào dạng của trạng thái ứng suất.
Biểu thức: nếu ký hiệu giới hạn của ứng suất lớn nhất là L thì TTƯS khối, điều
kiện bền sẽ viết là  max 
suất tiếp lớn nhất sẽ là

1   3
2

 L. Ở TTƯS đơn  max 


2

nên giới hạn của ứng

1
 
2

Điều kiện giới hạn không phụ thuộc dạng của TTƯS cho phép ta viết L 

1
 
2

Vậy điều kiện bền ở TTƯS khối được viết là  1   3   

Cơ ứng dụng ĐCN

- 8-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Thuyết bền ứng suất tiếp chưa kể đến ảnh hưởng của ứng suất chính thứ hai
 2 nhưng khá thích hợp với vật liệu dẻo.

4. Thuyết bền thứ tư: Thuyết bền thế năng biến dạng đàn hồi hình dáng (
thuyết bền thứ tư )
Phát biểu: nguyên nhân gây ra sự phá hỏng của vật liệu ở TTƯS khối là do trị số
lớn nhất của TNBDĐH hình dáng đạt tới một giới hạn xác định, giới hạn này
không phụ thuộc vào dạng của TTƯS.
Biểu thức: nếu ký hiệu giới hạn của TNBDĐH hình dáng là L thì, ở TTƯS khối
điều kiện bền sẽ viết là:
u hd 

1  2

 1  22 32   1 2   2 3   3 1  L
3E



Ơû TTƯS đơn, TNBDĐH hình dáng u hd 



1  2
1 
 , sẽ có giới hạn là
 2
3E
3E

Giới hạn không phụ thuộc dạng của TTƯS nên L 

1 
 2
3E

Vậy điều kiện bền ở TTƯS khối được viết là
 12   22   32   1 2   2 3   3 1    .

Thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng do Huybe đưa ra năm 1904. Thuyết này
cho rằng: vật liệu bị phá hoại là do thế năng biến đổi hình dạng của phân tố ở trạng
thái ứng suất phức tạp đạt đến thế năng biến đổi hình dạng ở trạng thái ứng suất
nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.

Cơ ứng dụng ĐCN

- 9-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Lý thuyết thế năng biến đổi hình dạng phù hợp đối với vật liệu dẻo, nhưng đối với
vật liệu giòn thì cũng không thích hợp. Mặt khác thuyết này vẫn chưa giải thích
được sự phá hoại của vật liệu khi bị kéo đều theo 3 phương.
Hiện nay thuyết thế năng biến đổi hình dạng được sử dụng rất rộng rãi trong kỹ
thuật xây dựng và cơ khí.
5. Thuyết bền Mohr: Lý thuyết trạng thái ứng suất giới hạn
Khác với những thuyết bền đã trình bày ở trên, xây dựng trên cơ sở giả thuyết,
thuyết bền Mohr đựơc xây dựng trên cơ sở kết quả các thực nghiệm. Mỗi trạng
thái ứng suất khối với các ứng suất chính  1 ,  2 ,  3 sẽ có ba vòng tròn Mohr với
các đường kính tương ứng  1   2 ,  2   3 ,  1   3 như trên hình 4-1. Nếu TTƯS
là trạng thái giới hạn về độ bền thì vòng tròn Mohr lớn nhất với đường kính
 1   3 được gọi là vòng tròn Mohr giới hạn.

Giả thiết ta đã tiến hành một số lượng lớn thí nghiệm cho các TTƯS khác nhau và
đã tìm được trạng thái giới hạn tương ứng của chúng. Trong mặt phẳng toạ độ  ,
ta nhận được một họ các vòng tròn Mohr giới hạn như trên hình 4-2. đường bao
của họ các vòng tròn Mohr này sẽ xác định những tổ hợp ứng suất pháp và ứng
suất tiếp của các TTƯS có độ bền giới hạn, điểm cắt trục hoành của đường bao
tương ứng với trạng thái ba ứng suất chính kéo có giá trị như nhau.

Ta giả thiết rằng đường bao là duy nhất đối với mỗi loại vật liệu.
Nếu một TTƯS cụ thể nào đó có vòng tròn Mohr lớn nhất nằm trong đường bao
thì TTƯS đó đảm bảo bền; vòng tròn Mohr cắt qua đường bao thì TTƯS đó bị phá
hỏng.
Việc vẽ chính xác đường bao đòi hỏi một số lượng rất lớn các thí nghiệm, hầu như
không thể thực hiện nổi. Ta có thể xây dưng gần đúng đường bao trên cơ sở một
Cơ ứng dụng ĐCN

- 10-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

số lượng tối thiểu các thí nghiệm. Thí nghiệm kéo với vòng Mohr giới hạn có
đường kính  k . Thí nghiệm nén với vòng Mohr giới hạn nén có đường kính  n .
Ơû đây ta dùng ký hiệu ứng suất cho phép  k ,  n thay thế cho các ứng suất giới
hạn  ok ,  on là đã kể đến hệ số an toàn. Đường bao được thay thế gần đường tiếp
tuyến chung của hai đường tròn giới hạn.
Ta hãy xét một trạng thái ứng suất có vòng tròn Mohr lớn nhất  1 ,  3 tiếp xúc với
đường bao. TTƯS này nằm ở giới hạn về độ bền (trên hình 4-4 đường tròn của
TTƯS được thể hiện bằng đường nét đứt). Từ hình vẽ ta có tỷ lệ thức:
MM 1 NN 1

PM 1 PN1

Với

MM 1 

NN 1 

1
 n   k 
2

1
 1   3   k 
2

PM 1 

1
 n   k 
2

PN 1 

1
 k   1   3 
2

Sau khi thay thế các trị số này vào tỷ lệ thức trên, ta nhận được điều kiện giới hạn

 1   3    k
 k   1   3 

 n   k
 n   k



Hoặc  1 

 k    
k
 n 3

Điều kiện bền được viết là  1 

 k    
k
 n 3

Hoặc  1   3   k với hệ số  

Cơ ứng dụng ĐCN

 k
 n

.

- 11-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

III. Việc áp dụng các thuyết bền
Cho đến nay người ta đã xây dựng nhiều thuyết bền khác nhau, mỗi thuyết bền
đề ra một quan điểm về nguyên nhân phá hoại của vật liệu. Trên đây, ta tìm
hiểu những thuyết quan trọng nhất đã được dùng tương đối phổ biến.
Trong thực tế tính toán, việc chọn lý thuyết này hay lý thuyết khác phụ thuộc vào
loại vật liệu sử dụng và trạng thái ứng suất của điểm kiểm tra.
Nếu là vật liệu dẻo ta dùng thuyết thứ ba hoặc thứ tư.
Nếu là vật liệu giòn ta dùng thuyết thứ hai hoặc thứ năm (Mohr)

Cơ ứng dụng ĐCN

- 12-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ