Giáo trình Cơ ứng dụng (ĐCN) Chương 7

Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Chương 7
THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY
I. KHÁI NIỆM
Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ xuất hiện
thành phần nội lực là momen xoắn Mz

Dấu Mz: nhìn vào mặt cắt ta thấy Mz quay cùng chiều kim đồng hồ: dương ngược
lại: Mz < 0
II- ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG
CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN
1. Các giả thuyết khi xoắn
Trước khi thí nghiệm xoắn, ta kẻ lên bề mặt
của thanh những đường thẳng song song với trục
của thanh biểu diễn các thớ dọc và những đường
tròn vuông góc với trục thanh biểu diễn các mặt
cắt ngang
Sau khi biến dạng, ta nhận thấy các đường thẳng song song với trục trở thành
những đường xoắn ốc còn các đường tròn vẫn tròn và vuông góc với trục của
thanh. Mạng lưới ô chữ nhật trở thành mạng lưới hình bình hành
Cơ ứng dụng ĐCN

- 1-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Từ những điều quan sát trên, ta đưa ra các giả thuyết sau để làm cơ sở tính toán
cho một thanh tròn chịu xoắn thuần túy.
a./ Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng
Trước và sau khi bị biến dạng mặt cắt ngang vẫn giữ phẳng và vuông góc với
trục thanh (tức là  z = 0)
b./ Giả thuyết về bán kính của thanh
Trước và sau khi thanh bị biến dạng bán kính của của
mặt cắt ngang vẫn thẳng và có độ dài không đổi
c./ Giả thuyết về chiều dài của thanh
Trước và sau khi thanh bị biến dạng, chiều dài của
thanh cũng như khoảng cách giữa hai mặt cắt ngang
bất kỳ là không đổi
d./ Giả thuyết về các thớ dọc
Trong quá trình thanh bị biến dạng, các thớ dọc không
ép lên nhau và cũng không tách xa nhau 2. Ứng suất
trên mặt cắt ngang
Tưởng tượng tách ra khỏi thanh một phân tố mnpq
mnpq giới hạn bởi hai mặt cắt ngang cách nhau dz, hai mặt trụ đồng trục có bán
kính  và   d , hai mặt phẳng chứa trục thanh và hợp với nhau một góc d .
Sau khi biến dạng, mặt cắt ngang 2-2 sẽ xoay tương đối một góc d so với mặt cắt
1-1, d được gọi là góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2
Cơ ứng dụng ĐCN

- 2-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Theo giả thuyết a và c: các mặt cắt 1-1 và 2-2 chỉ xoay tương đối với nhau
nhưng vẫn phẳng và khoảng cách không đổi, do đó trên mặt cắt ngang không
có ứng suất pháp.
Nhận xét:
a)

Ứng suất tiếp  trên mặt cắt ngang phân bố bậc nhất theo bán kính R của

thanh
b)

Phương của ứng suất tiếp tại một điểm nào đó trên mặt cắt ngang vuông góc

với bán kính đi qua điểm đó.

Đối với tất cả các điểm trên mặt cắt ngang đại lượngĠ không đổi nên:

mà
chính là momen quán tính cực Jrcủa mặt cắt ngang nên:

(7-1)
Thay vào biểu thức của  :

Cơ ứng dụng ĐCN

- 3-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

(7.2)
Trong đó:
 : ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang tại điểm đang xét

Mz: momen xoắn nội lực
J : momen quán tính cực của mặt cắt ngang đang xét

 : khoảng cách từ điểm đang xét đến tâm 0 của mặt cắt ngang

Ta thấy các giá trị J và  luôn luôn dương, do đó chiều của ứng tiếp  cùng
chiều với momen xoắn Mz
Ðối với mặt cắt ngang tròn:

Ðối với mặt cắt ngang hình tròn đặc:

Đối với mặt cắt ngang hình tròn khăn:

Cơ ứng dụng ĐCN

- 4-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp ( theo bán kính mặt cắt ngang)
III. BIẾN DẠNG CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN
Khi thanh tròn chịu xoắn, biến dạng của thanh được thể hiện bởi sự xoay của mặc
cắt ngang quanh trục của nó. Góc xoay giữa hai mặt cắt được gọi là góc xoắn của
đoạn thanh giới hạn bởi các mặt cắt đó. Ta hãy thiết lập công thức tính góc xoắn
của một đoạn thanh nào đó có chiều dài l.
IV. TÍNH THANH CHỊU XOẮN- MẶT CẮT NGANG HỢP LÝ CỦA
THANH CHỊU XOẮN
Một thanh chịu xoắn phải đảm bảo hai điều kiện: bền và cứng
1. Ðiều kiện bền

(7.3)
Muốn thanh chịu xoắn đủ bền thì ứng suất tiếp lớn nhất trên các mặt cắt ngang
không vượt quá ứng suất cho phép.
Từ điều kiện bền ta có thể suy ra ba dạng bài toán cơ bản:
a./ Kiểm tra bền
Cơ ứng dụng ĐCN

- 5-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

(7.4a)

b./ Xác định tải trọng cho phép
(7.4b)
c./ Chọn kích thước mặt cắt ngang

(7.4c)
2. Ðiều kiện cứng
Khi biến dạng, góc xoắn tỷ đối lớn nhất không được vươt quá góc xoắn tỷ đối
cho phép.
(7.5)
[  ] được cho trong các sổ tay kỹ thuật, giá trị của nó phụ thuộc công dụng và kích
thước của thanh
Thường [  ] = 0,15(2 [độ/mét]
Từ điều kiện cứng ta cũng suy được ba dạng bài toán cơ bản
Ðối với thanh có mặt cắt ngang hình vành khăn :

(7.6)
Cơ ứng dụng ĐCN

- 6-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

3. Mặt cắt ngang hợp lý
Dựa vào biểu đồ ứng suất tiếpĠ ta nhận thấy càng gần tâm mặt cắt, ứng suất tiếp
có giá trị càng bé. Ðiều đó chứng tỏ phần vật liệu nằm gần tâm mặt cắt làm việc ít
hơn phần vật liệu nằm gần chu vi mặt cắt. Vậy muốn tiết kiệm vật liệu ta có thể
khoét bỏ phần vật liệu ở tâm. Nhưng để momen chống xoắn W vẫn giữ như cũ,
ta phải tăng đường kính ngoài và đường kính trong một cách thích hợp.
Vậy mặt cắt ngang hợp lý của thanh chịu xoắn là hình vành khăn.
Ðể đánh giá mức độ hợp lý của mặt cắt
ngang người ta dùng đại lượng  gọi
là momen chống xoắn riêng là đại
lượng không thứ nguyên

(7.7)
Ý nghĩa của  là: Trị số của momen
chống xoắn riêng của mặt cắt ngang càng
lớn thì mặt cắt đó càng được hợp lý, đồng thời trọng lượng của thanh sẽ càng nhẹ.
Nhưng ta chú ý rằng khi tăng momen chống xoắn riêng  quá lớn tức bề dày

sẽ càng bé, điều này đưa đến tai hại là:
a.

Sự giảm bề dày  đòi hỏi phải tăng đường kính ngoài của mặt cắt để
momen chống xoắn ( không đổi) như vậy sẽ làm cho kích thước mặt cắt
ngang của thanh sẽ quá lớn.

Cơ ứng dụng ĐCN

- 7-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

b.

Khoa cơ điện

Bề dày  quá bé sẽ làm cho thanh dễ bị mất ổn định khi chịu xoắn: lúc
đó trên toàn thanh sẽ hình thành những nếp nhăn.

c.

Mặc khác, việc chế tạo những thanh rỗng khó khăn và giá đắt hơn thanh
đặc. Vì vậy người ta chỉ dùng thanh rỗng trong những trường hợp cần giảm
trọng lượng.

VII. DẠNG PHÁ HŨY CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN

Ta hãy xét một phân tố nằm trên bề mặt của thanh, các ứng suất tiếp tác dụng lên
phân tố có giá trị cực đại  max . Phương của các ứng suất chính  1 và  3 tạo với
trục z một góc 450 và 1350
Qua vòng tròn Mohr ta có:
s1 = t

; s2 = 0 ;

s3 = - t

Từ đó ta có thể suy luận dạng phá hũy của thanh tròn chịu xoắn như sau:

Cơ ứng dụng ĐCN

- 8-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Ðối với vật liệu dẻo: giới hạn bền cắt thấp hơn nhiều so với giới hạn bền kéo và
nén
Ví dụ: thép CT3 có  b = 24500 N/cm2 ;  bk = 42000 N/cm2
Do đó sự phá hũy khi xoắn của thanh tròn làm bằng vật liệu dẻo là do ứng suất
tiếp gây ra. Dạng phá hũy của chúng là theo mặt cắt ngang hoặc mặt cắt dọc của
thanh.
Ðối với vật liệu giòn thì giới hạn bền kéo thấp hơn bền nén và cắt. Ví dụ: gang
xám có  bk = 20500N/cm2 ;  b = 23350N/cm2

;  bn = 79000N/cm2. Do đó sự

phá hủy của thanh tròn làm bằng vật liệu giòn là do ứng suất pháp  1 gây ra. Dạng
phá hủy của chúng theo đường xoắn ốc vuông góc với  1

Ðối với gỗ thì khả năng chịu cắt theo thớ dọc là yếu nhất vì vậy sự phá hủy của

thanh gỗ khi xoắn là do  max dọc theo trục gây nên. Ðường nứt là những đường
dọc theo thớ.

Cơ ứng dụng ĐCN

- 9-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ