Giáo trình Cơ ứng dụng (ĐCN) Chương 8

Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Chương 8
THANH CHỊU UỐN PHẲNG
I- Khái niệm về thanh chịu uốn
Thanh chịu uốn là thanh có trục bị uốn cong dưới tác
dụng của ngoại lực.
Những thanh chủ yếu chịu uốn gọi là dầm. Nếu tất cả
ngoại lực nằm trong mặt phẳng  chứa trục của thanh,
thì  gọi là mặt phẳng tải trọng. Giao tuyến giữa mặt
phẳng tải trọng và mặt cắt ngang gọi là đường tải trọng.
Nếu trục của thanh sau khi uốn vẫn nằm trong mặt
phẳng chính trung tâm tức Jxy = 0 thì gọi là thanh chịu
uốn phẳng.
A.UỐN THUẦN TÚY PHẲNG
1- Khái niệm
Một thanh được gọi là uốn thuần túy phẳng
khi trên mặt cắt ngang chỉ có thành phần nội
lực là momen uốn khác không, các thành
phần nội lực khác đều bằng 0.

Cơ ứng dụng ĐCN

- 1-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

2. CÁC GIẢ THUYẾT
Quan sát một thanh chịu uốn thuần túy phẳng có mặt cắt
ngang hình chữ nhật. Trước khi chịu lực, ta kẻ những
đường thẳng song song với trục để biểu diễn những thớ
dọc và những đường thẳng vuông góc với trục để biểu
diễn mặt cắt ngang.
Sau khi biến dạng ta thấy những đường thẳng song song
với trục thanh bây giời trở thành những đường cong nhưng vẫn song song với trục
thanh. Những đường thẳng vuông góc với trục thanh bây giờ vẫn còn vuông góc
với trục (Như vậy góc vuông sau khi biến dạng vẫn
còn là góc vuông) (hình 7-3).
Từ nhận xét trên ta đưa ra các giả thiết sau để làm cơ
sở tính toán cho dầm chịu uốn thuần túy phẳng.
a.Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng
Trước khi biến dạng mặt cắt ngang của dầm là phẳng
và vuông góc với trục thì sau khi biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm.
(Giả thiết Bernoulli)
b. Giả thuyết về các thớ dọc

Cơ ứng dụng ĐCN

- 2-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không nén ép lên nhau và cũng không đẩy
nhau ra. Ngoài ra ta vẫn coi vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi.

3. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG
a. Ứng suất
Quan sát biến dạng ta thấy khi thanh bị uốn cong về phía dưới thì phần trên của
thanh bị nén còn phần dưới của thanh bị kéo. Như vậy tất nhiên từ phần bị kéo
sang phần bị nén sẽ có một đường không bị kéo cũng không bị nén, tức là không
bị biến dạng. Ta gọi các thớ này là thớ trung hòa. Các thớ trung hòa hợp thành lớp
trung hòa, giao tuyến của lớp trung hòa với mặt cắt ngang gọi là đường trung hòa.
Xét một đoạn thanh dz được cắt bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2. sau khi biến dạng hai
mặt cắt này tạo với nhau một góc d
Gọi  là bán kính cong của thớ trung hòa. Vì thớ trung hòa không bị biến dạng
nên:
dz = r.dj
Đối với thớ mn cách thớ trung hòa một khoảng là y thì chiều dài sau khi biến dạng
là:
dz = Ddz = (r + y)dj

như vậy những điểm có cùng khoảng cách y đến trục trung hòa thì ứng suất có
cùng giá trị như nhau
Cơ ứng dụng ĐCN

- 3-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Tổng momen gây ra do  z trên mặt cắt F bằng với giá trị Mx
Jx: momen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x

(công thức Bernouilli)
Trong đó:
Mx: momen uốn trên mặt cắt ngang đối với trục trung hòa x
Jx: momen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa x
y : tung độ của điểm cần tính ứng suất đang xét đến trục trung hòa x
Để thuận tiện ta viết công thức Bernouilli dưới dạng:

Trong đó ta lấy dấu (+) cho vùng bị kéo, dấu (-) cho vùng bị nén
2. Xác định vị trí đường trung hòa
Như vậy đường trung hòa x trùng với trục trung tâm
của mặt cắt ngang vì vậy còn gọi là trục trung hòa.
Ðối với một mặt cắt ngang bất kỳ đường trung hòa
không chia đôi mặt cắt ngang.
Phần bị kéo

Cơ ứng dụng ĐCN

- 4-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Ðối với mặt cắt ngang hình chữ nhật thì đường trung hòa chia đội mặt cắt ngang.
Nếu hình chữ nhật có chiều cao h thì:

3. Xác định momen chống uốn của các mặt cắt ngang đơn giản
Mặt cắt ngang chữ nhật:

Mặt

cắt

ngang

tròn:

Mặt cắt ngang hình vành khăn:

Cơ ứng dụng ĐCN

- 5-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Ðối với mặt cắt ngang dạng định hình như chữ I, U ..., momen chống uốn được
cho trong các bảng
4. Hình dạng mặt cắt ngang hợp lý của thanh chịu uốn phẳng thuần túy
Dựa vào biểu đồ phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang ta nhận thấy ở gần đường
trung hòa vật liệu chịu lực rất ít mà ở càng xa đường trung hòa vật liệu càng làm
việc nhiều hơn. Do đó người ta có các dạng mặt cắt ngang hợp lý tiết kiệm nguyên
liệu như sau:

Hình dạng hợp lý của mặt cắt ngang là làm sao cho khả năng chịu lực của thanh
lớn nhất đồng thời ít tốn vật liệu nhất
Dựa vào điều kiện :

Ðường trung hòa chia đôi mặt cắt nên mặt cắt hợp lý có dạng đối xứng

Vậy hình dạng hợp lý của mặt cắt ngang là không đối xứng qua trục trung hòa.

Cơ ứng dụng ĐCN

- 6-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

5. Ðiều kiện bền của dầm chịu uốn thuần túy phẳng
Vật liệu dẽo

Vì ứng suất cho phép khi kéo và nén bằng nhau
[s]k = [s]n = [s]
Nên trong hai giá trị  max và  min ta sẽ chọn giá trị lớn hơn về trị tuyệt đối để so
sánh

Vật liệu giòn:

 max =  k

Ðôi khi những loại dầm có mặt cắt ngang là tròn
hoặc tam giác đều... nếu ta gọt dầm đi một ít (theo
chỗ gạch chéo) thì lại làm cho khả năng chống uốn
của dầm tăng lên. Quả vậy vì. Nếu gọt như vậy sẽ
làm cho ymax giảm đồng thời làm Jx cũng giảm.
Nhưng vì Jx = f(y2) nên nếu giảm y đến một giá trị
nào đó thì trị số Wx lại tăng lên.
Ví dụ: đối với mặt cắt ngang tròn nếu độ dày gọt
 =0,011d thì Wx tăng lên 0,7%

B. THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG
I. KHÁI NIỆM

Cơ ứng dụng ĐCN

- 7-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Thanh chịu uốn ngang phẳng là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang có
cả hai thành phần nội lực là lực cắt và momen uốn nằm trong mặt phẳng đối xứng
của mặt cắt ngang

Qua thực nghiệm ta thấy khi kẻ những đường thẳng song song và vuông góc với
trục của thanh thì sau khi biến dạng, những đường này vẫn còn song song nhưng
không còn vuông góc với trục của thanh, giả thiết mặt cắt ngang phẳng không còn
đúng nữa.
Trong trường hợp này, trên mặt cắt ngang, ngoài ứng
suất pháp do momen uốn Mx gây ra còn có ứng suất
tiếp do lực cắt Qy gây ra, công thức Bernoulli không
còn đúng nữa. Tuy nhiên trong lý thuyết đàn hồi,
người ta chứng minh được rằng công thức
Bernoulliy được áp dụng với sai số không lớn lắm
nên ta vẫn dùng công thức này để tính ứng suất pháp.
Bây giờ ta chỉ còn tính trị số ứng suất tiếp  . Thực tế
ở đây còn có  y quá bé so với những ứng suất khác
nên ta bỏ qua.

Cơ ứng dụng ĐCN

- 8-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

II. ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN
NGANG PHẲNG
Nói chung, ứng suất tiếp  z ở một điểm bất kỳ không cùng phương với lực cắt Qy.
Cách xác định ứng suất tiếp  z ở một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang là một vấn
đề khó khăn. Trong thực tế người ta thường không xác định ứng suất tiếp toàn
phần  z mà chỉ xác định thành phần ứng suất tiếp song song với lực cắt Qy là  zy
Ký hiệu  zy chỉ ứng suất tiếp  thuộc mặt phẳng vuông góc với trục z và  theo
phương y (song song trục y).
Tưởng tượng tách ra khỏi thanh một phân tố có chiều dài dz có momen uốn tăng
từ Mx đến Mx+dMx.
Ta xét sự cân bằng của phần dưới ABCDEFGH

Chú ý: momen tĩnh của phần diện tích bị cắt ABCD đối với trục trung hòa x

Trong đó:

Cơ ứng dụng ĐCN

- 9-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

 zy : là thành phần ứng suất tiếp song song với lực cắt

Qy : lực cắt.
Sxc : momen tĩnh của phần diện tích bị cắt đối với trục x.
Jx : momen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x.
bc : bề rộng của dầm tại vị trí bị cắt.
Durápski: tên một kỹ sư cầu đường Nga đã tìm ra công thức trên
III. ỨNG SUẤT TIẾP ÐỐI VỚI MỘT SỐ MẶT CẮT NGANG ÐƠN GIẢN
1. Mặt cắt ngang hình chữ nhật
Ở đây bc = b

Hay

Nhận xét: sự phân bố của  zy dọc theo chiều cao là một Parabol bậc II

Cơ ứng dụng ĐCN

- 10-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân
Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Hình 7-8
Tại vị trí đường trung hòa y = 0

2. Mặt cắt ngang chữ I

Vì trị số ứng suất tiếp trên đế là rất bé nên ta xét ứng suất trong phần lòng của chữ
I
Cơ ứng dụng ĐCN

- 11-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân
Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

Ở đây bc = d
momen tĩnh của phần có gạch

Trong đó Sx momen tĩnh của nữa mặt cắt chữ I đối với trục x
Nhận xét: quy luật phân bố ứng suất tiếp dọc theo lòng chữ I cũng là Parapol bậc
II
Ðối với điểm B:

Tại trục trung hòa : y = 0
3. Mặt cắt ngang tròn

 zy phân bố theo quy luật Parabol bậc II theo y

Cơ ứng dụng ĐCN

- 12-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân
Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

IV. KIỂM TRA BỀN DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG

1. Tại mép

2. Tại vị trí đường trung hòa
sz = 0
Cơ ứng dụng ĐCN

- 13-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân
Vũ


Đại học Lạc Hồng

Khoa cơ điện

3. Ðiểm giữa mép và đường trung hòa

a. Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất

b. Thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng

c. Ðối với vật liệu giòn ta dùng thuyết Mohr

Cơ ứng dụng ĐCN

- 14-

Biên sọan: Th.s Phạm Xuân
Vũ