TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ TOÁN CAO CẤP

TRƯỜNG ĐH KINH TẾ - LUẬT
BỘ MƠN TỐN - TKKT

ĐỀ THI THỬ MƠN: TỐN CAO CẤP
MẪU :…
Thời gian : 60 phút………Thi lần : ... ...
Họ và tên : ………………………………… Lớp:
…………. MSSV: …………….

Giám thị 1

Giám thị 2

Số
phách ………
………
………
………
………

……
………
………
………
………
…………………………………………
Điểm Điểm
Giám khảo 1
Giám khảo 2
(số)
(chữ)

Số
phách

ULưu ý :U
* Đánh dấu chéo (X) trên mẫu tự được chọn .
Chọn B
0 A B C D
Bỏ B, chọn D
0 A B C D
Bỏ D, chọn lại B 0 A B C D
1 a b c d
6 Ab c d

2 a b c D 3 a b c d
7 Ab c D 8 a b c d

4 a b c d
9 a b c d

1 Ab c d

1 Ab c D 1 a b c d

1 a b c d

5 a b c d
1 a b c d
0
1 a b c d

1
1 Ab c d
6

2
3
1 Ab c D 1 a b c d
7
8

4
1 a b c d
9

5
2 a b c d
0

ĐỀ BÀI

Câu 1A

Xét bài toán: Cho hai ma trận A =

4 7 8 
1 6 9 ÷

÷

4 9 m÷



và B =

1 2 4 
4 3 5 ÷

÷
3 8 m÷



(m là tham số thực). Tìm điều kiện của m để AB khả nghịch.
Một sinh viên giải bài toán này theo các bước dưới đây.
Bước 1: Tính detA = 17m – 192 và detB = -5m + 82.
Bước 2: Suy ra det(AB) = (17m – 192)(-5m + 82).
Bước 3: Kết luận AB khả nghịch khi và chỉ khi 192 / 17 ≠ m ≠ 82 / 5 .
Sinh viên đó giải như thế là đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ
bước nào?
a) Lời giải đúng;
b) Lời giải sai từ bước 1;
c) Lời giải sai từ bước 2;
d) Lời giải sai ở bước 3.
Câu 1B

Số nghiệm thực (nghiệm bội được tính là một nghiệm)
1

của phương trình (ẩn x) :
a) 1;

x

x −1

x+2

0 0
x 1

x2 − 1
0
x
x−2

0 0

x5 + 1

b) 2;

x100

= 0 là
c) 3;

d)

4.
Câu 1C Xét bài toán: Cho hệ phương trình tuyến tính phụ thuộc
tham số thực m


y + 3z + 4t = 6;

 x − 3 y + 4 z + 5t = 2;


 −3x + 5 y − 2 z − 3t = −4;
 −2 x + 3 y + 5 z + 6t = m.

Tìm m để hệ có nghiệm. Với m tìm được, hệ có duy nhất nghiệm
hay vô số nghiệm?
Một sinh viên giải bài toán theo các bước dưới đây.
Bước 1: Lập ma trận hệ A số và ma trận mở rộng [A|B] của hệ.
Biến đổi sơ cấp ta tính được Hạng(A) = 3 với mọi m, còn Hạng
([A|B]) = 3 khi và chỉ khi m = 4.
Bước 2: Từ đó suy ra hệ có nghiệm khi và chỉ khi m = 4.
Bước 3: Khi m = 7, vì hệ có 4 phương trình, mà Hạng(A) = Hạng
([A|B]) = 3 nên hệ có vô số nghiệm.
Lời giải đó hoàn toàn đúng hay có sai lầm? Nếu có sai lầm thì
ở bước nào?
a) Lời giải hoàn toàn đúng;
b) Lời giải phạm sai lầm ở
bước 1;
c) Lời giải phạm sai lầm ở bước 2;
d) Lời giải phạm sai lầm ở
bước 3.

Câu 2 Xét một thị trường gồm ba loại hàng hóa. Hàm cung, hàm
cầu và giá của chúng thỏa mãn các điều kiện sau
Qs1 = −2 + 6 p1 + p2 − p3
; Qs2 = −1 + p1 + 2 p2 − p3 ; Qs3 = −2 + 5 p1 − 2 p2 + p3 ;
Qd1 = 5 + 3 p1 + 2 p2 − 3 p3
; Qd2 = 1 + p1 + p2 − p3 ; Qd3 = 2 + 4 p1 + p2 − 2 p3 .
Điểm cân bằng thị trường ( p , p , p )của từng loại hàng hóa là:
a) (2, 3, 1);
b) (3, 1, 2);
c) (1, 2, 3);
d) Một bộ ba khác.
Câu 3 Xét mô hình IS-LM như sau
I = 60 – 10r; C = 80 + 0,2Y; L = 4Y – 10r; M0 = 500 và G0 =
320.
Ở đây r là lãi suất, C là tiêu dùng dân cư, L lượng cầu tiền mặt, M 0
là lượng cung tiền mặt, Y là tổng thu nhập quốc dân, I là đầu tư
chính phủ, G0 là chi tiêu chính phủ. Tìm thu nhập và lãi suất cân
bằng Y , r .
1

2

3


2400
3100
13 , r = 130 );

a) ( Y = 200, r = 60);

b) ( Y =
c) ( Y = 200, r =
30); d) Một cặp giá trị khác.
Câu 4 Giả sử một quốc gia có ba ngành sản xuất với ma trận hệ số
 0,3 0,1 0,1 
A =  0,1 0, 2 0,3


 0, 2 0,3 0, 2 

đầu vào
và nhu cầu cuối cùng của các ngành lần
lượt là 35, 45, 15. Tìm đầu ra cho mỗi ngành.
a) x1 = 73,4; x2 = 92,3; x3 = 71,7; b) x1 = 92,3; x2 = 73,4; x3
= 71,7;
c) x1 = 71,7; x2 = 92,3; x3 = 73,4; d) Một đáp án khác.
Câu 5 (Khó) Lấy A là một ma trận thực cấp m, thõa mãn
A = A + I . Tính chất nào sau đây đúng? (hd: sử dụng giá trị riêng
và áp dụng định lý Hamilton về phương trình đặc trưng)
a) det A = 0
b) det A < 0 c) det A > 0 d) cả a,b,c đều có thể xảy ra.
Câu 6A Xác định giá trị thực của m để hệ ba vector dòng dưới đây
độc lập tuyến tính trong R4.
3

{ u = ( 2, 3, 2, m) , v = ( 2, 2, − 1, m ) , w = ( 10, 3, − 1, 5m ) }

a) m ≠ 0 ;
b) 0 ≠ m ≠ 1
c) m tùy ý

d) Không
có giá trị m nào.
Câu 6B Xác định điều kiện của tham số thực của m để hệ ba vector
dòng dưới đây là cơ sở của R3.
( u = ( 2, 3, 1) , v = ( 4, 8, 9 ) , w = ( 1, 3, m) )

a) Không có giá trị m nào;
b) m = 23/4;
c) m tùy ý;
d) m ≠ 23/4.
Câu 6C Xét không gian các vectơ dòng R3với cơ sở (u1 = (1, 1, 0),
u2 = (1, 1, 1), u3 = (0, – 1, 1)). Tọa độ (x, y, z) của vectơ dòng v =
(m, 0, 1) trong R3đối với cơ sở này là
a) (x, y, z) = (2m – 1, 1 – m, m);
b) (x, y,
z) = (m, 0, m);
c) (x, y, z) = (1-m, 2m-1, m);
d) (x, y, z) =
(0, m, m).


Câu 7 Cho dạng toàn phương 3 biến x, y, z phụ thuộc tham số thực
m
q = q(x, y, z) = (m + 1)x 2 + 2(m + 1)xy + 2(m + 1)xz + (2m
+ 3)y2 + 2(2m + 3)yz + 3(m + 2)z2.
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.
a) (q không âm) ⇔ (cả m+1, m + 2, m + 3 đều không âm) ⇔
m ≥ - 1.
b) (q xác định dương) ⇔ (cả m + 1, m + 2, m + 3 đều dương)
⇔ m > - 1.

c) (q không dương) ⇔ (cả m + 1, m + 2, m + 3 đều âm) ⇔ m
< – 3.
d) (q đổi dấu) ⇔ (trong m + 1, m + 2, m + 3 có ít nhất một
cặp trái dấu) ⇔ – 3 < m < - 1.
Câu 8 (khó) Xét A là ma trận vuông cấp 2014, có dạng dưới đây:
Khẳng định nào sau đây đúng?
a) Ma trận A có hạng là 1 nên nghiệm của hệ phương trình AX = O
có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2013 tham số (hay nói cách
khác, không gian vectơ nghiệm có số chiều là 2013)
b) Ma trận A có hạng là 2013 nên nghiệm của hệ phương trình
AX = O có vô số nghiệm phụ thuộc vào 1 tham số (hay nói cách
khác, không gian vectơ nghiệm có số chiều là 1)
c) Ma trận A có hạng là 2014 (hay tương đương với định thức của
A khác 0) nên hệ phương trình AX = O chỉ có nghiệm tầm thường.
d) Ma trận A có hạng là 0 nên nghiệm của phương trình AX = O có
vô số nghiệm.
Câu 9 Cho bài toán QHTT sau:
f = 2x1 - 6x2 - 4x3 + 2x4 - 3x5 ® min

với các điều kiện ràng buộc


ìï x + 2x + 4x = 52
2
3
ïï 1
ïï 4x + 2x + x = 60
2
3
4

ïí
ïï 3x2 + x5=36.
ïï
ïïî xj ³ 0, j = 1,2,3, 4,5.

æ 34 22
ö
÷
÷
x1 = ç
0,
,
,0,2
ç
÷
÷
ç
è 3 3
ø
.

0

Xét các vectơ sau: x = (52,0,0,60,36) và
Tìm khẳng
định sai.
a) x0, x1 đều là phương án;
b) ít nhất một trong hai x0,
x1 là phương án cực biên;
c) chỉ có x1 là phương án cực biên ; d) x1 là phương án tối ưu.

Câu 10 Xét một bài toán QHTT dạng chính tắc chuẩn (N) có 6 biến
xj, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 với hàm mục tiêu đạt min. Giả sử với P.A.C.B
x0 = (x1, x2, x3, 0, 0, 0) mà ba biến đầu là các biến cơ sở ta lập được
bảng đơn hình tương ứng như sau:
x1
Hệ Biế
số n PAC
cơ cơ
B
c1
sở sở
c1 x1
8
1
c2 x2
6
0

x2

x3

x4

x5

x6

c2

c3

c4

c5

c6

0
1

0
0

4
1

1
3

c3

–1
1
–
3
-2

x3

8

0

0

1

2

4

Bảng 1

…

0

0

0

0

-1

λi

2
6

4

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
a) PACB đang xét chưa tối ưu nhưng có thể cải tiến để được
PATU ;
b) PACB đang xét là phương án tối ưu;


c) Bài toán có nghiệm và để cải tiến PACB đang xét để được
PA tốt hơn, ta cần chọn biến x4 đưa vào làm biến cơ sở mới,
loại biến x1 đưa ra làm biến phi cơ sở mới.
d) Bài toán vô nghiệm.
UCâu 11U Xét các khẳng định dưới đây.
11.1. Xét hàm chi phí TC= TC(Q) theo biến sản lượng Q. Tổng
chi phí cận biên tại mức sản lượng Q = Q0 là MTC(Q0) = TC ’(Q0).
11.2. Tổng chi phí cận biên tại mức sản lượng Q 0 chính là xấp
xỉ lượng chi phí gia tăng tại mức sản lượng Q 0 khi sản xuất thêm
một đơn vị sản phẩm.
11.3. Giả sử Qd = D(P) là hàm cầu trong kinh tế biểu thị sự phụ
thuộc của lượng cầu Qd theo sự biến đổi của giá P(trong giả thiết
các yếu tố khác không đổi). Hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức
D '( P0 )

P0
D( P0 )

giá P = P0 là ε (P0) =
.
11.4. Nếu hệ số co dãn ε (P0) < 1 thì ta nói điểm (P0 , Q0 ) là điểm
không co giãn.

Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là
a)1;
b) 2;
c) 3;
d) 4.
UCâu 12U Một công ty độc quyền sản xuất và tiêu thụ một loại
sản phẩm đó trên thị trường. Giả sử hàm cầu (theo giá P) của sản
phẩm đó là Q = 200 – 4P. Tổng doanh thu TR và doanh thu cận
biên MR (theo sản lượng Q) tại mức sản lượng Q = 50 (đơn vị sản
phẩm) là:
a) TR = 50Q – 0,25Q2; MR(50) = 25;
b) TR =
50 – 0,2Q; MR(50) = 40;
c) TR = 200P – 4P2; MR(50) = -200;
d) Một phương
án khác.
UCâu 13U Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas Q( K , L) = AK L ở đó A,
α, β là các hằng số dương đã cho, K là lượng vốn đầu tư vào sản
2α

β


xuất, L là lượng lao động dùng trong quá trình sản xuất. Xét các
khẳng định dưới đây.
13.1. Hàm z = f ( x, y ) xác định trên miền xác định D, được gọi là
hàm thuần nhất bậc s, nếu f (tx, ty ) = t f ( x, y ), ∀ x, y ∈ D mà (tx, ty ) ∈ D, ∀t > 0 .
13.2. Q là hàm thuần nhất bậc 2α + β.
13.3. Hiệu quả sản xuất tăng theo quy mô khi và chỉ khi α + β
> 1.

13.4. Hiệu quả sản xuất không giảm theo quy mô khi và chỉ
khi α + β ≥ 1.
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?
a) 0;
b) 1;
c) 2;
d) 3.
U
Câu 14A Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q( K , L) = 2 K L ở đó K
là lượng vốn đầu tư vào sản xuất, L là lượng lao động dùng trong
quá trình sản xuất. Giả sử rằng lượng vốn cố định dùng cho quá
trình sản xuất không quá 1000. Hỏi doanh nghiệp đó cần sử dụng
bao nhiêu đơn vị vốn tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động để có sản
lượng tối đa biết rằng giá thuê một đơn vị tư bản là 2$, còn giá thuê
một đơn vị lao động là 6$?
a) K= 125, L = 125; b) K= 100, L = 200; c) K= 150, L = 50; d)
Một cặp giá trị khác.
s

0,1

0,3

Câu 14B Một công ty sản xuất hai loại hàng hoá có hàm cầu lần
lượt là
Q1 = 180 − P1
; Q2 = 40 + P1 − P2 (P1, P2 lần lượt là giá của hai loại hàng hóa
đó).
Giả sử tổng chi phí được xác định bởi công thức
TC( Q) = −6Q1 − 2Q2 + Q12 + Q1Q2 + Q22 .

Tìm mức sản lượng Q1, Q2 để công ty thu được lợi nhuận tối đa.
a)Q1 = 43, Q2 = 25; b) Q1 = 25, Q2 = 43; c) không tồn tại; d)
Một giá trị khác.


Câu 15 (Khó) Số nguyên không âm a nhỏ nhất để tích phân
x

+∞

1
 1
∫1 1 + x ÷ x 2014.a e x dx

a) a = 0

hội tụ là:
b) a = 1

c) a = 2 d) a = 4.

Câu 16 Cho biết lượng vốn đầu tư tại thời điểm t cho bởi
I = I (t ) = 190t 0.9

Hãy xác định quỹ vốn tại thời điểm t = 1 , biết rằng vốn ban đầu là
200:
a)I = 200;
b)I = 300;
c)I = 390;
d) Một kết quả khác.

I=

+∞

∫

3x 2 − 2
dx
( − x3 + 2 x + 1)2

0
UCâu 17U Xét bài toán: Tính tích phân
.
Một sinh viên giải bài toán này theo mấy bước dưới đây.
Bước 1: Đặt t = − x + 2 x + 1 . Khi đó dt = (- 3x2 + 2)dx. Vậy ta có:
3

Bước 2:

I=

+∞

∫
1

dt
dt
t2

.

c

1
 1
lim  − ÷ = −
c →+∞
2
 t 2

Bước 3: I =
.
Lời giải đó đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ đâu?
a) Lời giải đúng;
b) Lời giải sai từ bước 1
;
c) Lời giải sai từ bước 2;
d) Lời giải sai từ bước 3.
Câu 18 (Khó) Cho hàm số y = ln( x + 4 x − 5) chọn khẳng định đúng
sau đây?
2

a)
b)
c)
d)

y (n) = ( −1) n ( n − 1)![
y (n) = ( −1) n −1 n ![

1
1
+
]
n
( x − 1) ( x + 5) n

1
1
+
]
n
( x + 1) ( x − 5)n

y (n) = ( −1) n −1 (n − 1)![

1
1
+
]
n
( x − 1) ( x + 5) n

y (n) = ( −1) n −1 (n − 1)![

1
1
+
]

n
( x + 1) ( x − 5) n

Câu 19 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y ' = y + xy là
x
a y = 1 − x + c.e b y = − x.e + e + c c y = 1
d y=
2

−x

x

x

1 − x + c.e − x

− x.e x + e x + c


)

)

)

)
x

2

Câu 20 Phương trình vi phân y ''- 2 y '+10 y = e (9 x +2) có nghiệm tổng quát
dạng nào?
a) y = e ( C cos 3x + C sin 3x ) + a.e ;
b) y = e ( C cos x + C sin x ) +
e . f ( x) ;
c) y = e ( C cos 3x + C sin 3x ) + e .g( x) ;
d) y = e ( C cos x + C sin x ) +
e . h(x) .
Trong đó a là một hằng số, f ( x) là một đa thức bậc nhất, g ( x) là một
đa thức bậc 2 và h( x) là một đa thức bậc 3 theo x .
x

1

3x

x

2

1

2

x

x

x

1

x

2

3x

1

2