Đề tài: Phương pháp giải bài tập thiên văn

Đề tài: Phương pháp giải bài tập thiên văn

MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Như chúng ta đã biết, Thiên văn học là khoa học nghiên cứu các thiên thể - những
vật thể tồn tại trong bầu trời – như các sao, Mặt Trời, các hành tinh, các sao chổi, các
thiên hà v.v…Bên cạnh đó thiên văn luôn đi kèm với sự tính toán hết sức phức tạp. Mà
điển hình là một số bài tập đòi hỏi mang tính trừu tượng và tư duy không gian cao. Vì
vậy nên em chọn đề tài: “ Phương pháp giải các bài tập thiên văn cơ bản”. Nhằm giúp
các bạn dễ dạng nhận biết và giải bài tập một cách dễ dàng hơn.
II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Trong Thiên Văn học bài tập tương đối nhiều trải dài từ chương I đến chương XIV.
Nhưng ở đây ta chỉ giới hạn một số phương pháp giải bài tập của một số chương cơ
bản.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Ở đây ta đi nghiên cứu về các phương pháp giải bài tập trong thiên văn học kết hợp
với tóm tắt nội dung ứng với từng chương.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Thu thập thông tin, tài liệu từ các nguồn: Internet, tài liệu khác.
- Phân tích và tổng hợp tài liệu.
- Dựa trên cơ sở các lý thuyết sẵn có.
- Đưa ra các hình ảnh và các bài tập vận dụng.


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

B. NỘI DUNG
CHƯƠNG I: QUY LUẬT CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC THIÊN THỂ
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
+ Các định luật Kepler:
 Định luật 1:
r=

Qũy đạo elip:

p
b2
= (1 − e 2 ) a
với p =
1 + e cos ϕ
a

rmax = a (1 + e) ;

rmin = a(1 − e)

 Định luật 2: Tốc độ diện tích không đổi
dϕ
= C (hằng số) cũng là định luật bảo toàn momen động lượng
dt
ur
r r uuuuur
1 r r
π ab
L = m  r ∧ v  = const ⇒ r ∧ v  =
2

T

r2

 Định luật 3: Định luật về chu kỳ
Đối với hệ 1 vệ tinh:

T 2 ( M + m) 4π 2
=
a3
G

T12 ( M + m1 ) a13
M + m1 a13T22
=
=
Đối với hệ 2 vệ tinh : 2
hay
T2 (m1 + m2 ) a23
m1 + m2 a23T12
M a13T22
=
Do M >> m1, m1 >> m2 có thể viết:
m1 a23T12

+ Phương trình năng lượng
 Đối với quỹ đạo elip:

2 1
v 2 = G ( M + m)  − ÷

r a

 Đối với quỹ đạo tròn (r=a): v 2 =

G ( M + m)
r
2G ( M + m)
r

 Đối với quỹ đạo parabol:

v2 =

 Đối với quỹ đạo hypebol:

2 1
v 2 = G ( M + m)  − ÷
r a

+ Vận tốc ở cận nhật và cân viễn:
vc =

2π a 1 + e
T
1− e

vv =

2π a 1 − e
T

1+ e

+ Các vận tốc vũ trụ
SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 2


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

 Vận tốc vũ trụ cấp I:là vận tốc để vật chuyển động theo quỹ đạo tròn sát thiên
thể:

vI = vT =

G ( M + m)
GM
≈
r
r

Vệ tinh có thể chuyển động tròn quanh Trái Đất ( h << R) nếu vận tốc của nó:
vI = vT =

GM D
= 7, 91(km / s)
RD

 Vận tốc vũ trụ cấp II:là vận tốc Parabol, giúp vật thoát khỏi thiên thể:
v 2P =

2G ( M + m)
= 2vT2 ⇒ vP = vT 2
r

Đối với Trái Đất: vII = 11, 2km / s
 Vận tốc vũ trụ cấp III: là vận tốc để thoát ly khỏi hệ Mặt Trời vận tốc nằm
trong khoảng 16,6 km/s ≤ v ≤ 72,8 km/s.
Đối với Trái Đất vIII = 16, 6km / s
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
II.1. Tính vận tốc của vệ tinh ở viễn điểm và cận điểm
+ Đối với bài toán cho chu kì quay
 Áp dụng định luật III Kepler:

T 2 ( M + m) 4π 2
4π 2 a 3
=
GM
=

a3
G
T2

 Áp dụng công thức tính vận tốc ở cận và viễn điểm:
vc2 =

GM  1 + e 

2π a 1 + e

÷⇒ vc =
a  1− e 
T
1− e

vv2 =

GM  1 − e 
2π a 1 − e

÷⇒ vv =
a  1+ e 
T
1+ e

+ Đối với bài toán không có chu kì quay
 Ta tính độ cao h vệ tinh ở cận và viễn điểm
p
p
=
1 + e cos ϕ 1 + e
p
p
rv = a (1 + e) =
=
1 + e cos ϕ 1 − e
rc = a (1 − e) =

 Áp dụng phương trình năng lượng để tinh suy ra vận tốc tùy thuộc vào dạng quỹ
đạo bay của vệ tinh.
II.2. Tính khối lượng của 1 vệ tinh:
Đây là bài toán nếu không cẩn thận sẽ dễ nhầm lẫn trong việc tính toán khối lượng
của các vệ tinh.

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 3


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

+ Đối với bài toán chỉ có 1 vệ tinh ( tức vệ tinh này quay xung quanh vệ tinh kia) ta áp
dụng công thức:
T 2 ( M + m) 4π 2
=
a3
G

+ Đối với bài toán có 2 vệ tinh ( tức vệ tinh này quay xung quanh vệ tinh kia, còn vệ
tinh kia lại quay quanh vệ tinh khác) ta sẽ áp dụng công thức III Kepler:
T12 ( M + m1 ) a13
=
T22 (m1 + m2 ) a23

II.3. Tính độ giảm vận tốc của vệ tinh:
+ Ta tính vận tốc của vệ tinh ở viễn điểm khi vận tốc chưa giảm bằng công thức:

vv = R(1 − e)

g0
p

+ Ta tính vận tốc của vệ tinh ở viễn điểm khi vận tốc đã giảm bằng công thức:
2
 2(1 − e) 1 
vv' = g 0 R 2 
− '
a
 p

trong đó a’ là bán trục lớn của elip lúc giảm vận tốc
'
+ Áp dụng công thức tính độ giảm: ∆v = vv − vv

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 4


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

CHƯƠNG II: THỜI GIAN – LỊCH
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
I.1. Những vị trí chính của Mặt Trời trên Hoàng đạo
Vị trí

Mặt Trời

Ngày

δ

α

So sánh độ dài ngày
đêm

γ (xuân phân)

21 – 3

00

0h

Ngày = đêm

H (hạ chí)

22 – 6

23027’

6h

Ngày dài nhất

Ω (thu phân)

23 – 9

00

12h

Ngày = đêm

H’ (đông chí)

22 - 12

-23027’

18h

Đêm ngắn nhất

I.2. Các đới khí hậu
+ Nhiệt đới: Vùng giới hạn bởi hai vĩ tuyến có độ
vĩ - ε và +ε
+ Ôn đới: Vùng giới hạn bởi hai vĩ tuyến có độ vĩ ε
và 900 - ε
+ Hàn đới: Vùng bao quanh địa cực từ vĩ độ 900 - ε
 900
I.3. Thời gian
+ Thang thời gian Mặt Trời thực:

T0 = t0 + 12h
 Khi Mặt Trời qua kinh tuyến trên (giữa trưa) thì giờ Mặt Trời thực là :
T0 = 0 + 12h = 12h
 Khi Mặt Trời qua kinh tuyến dưới (nửa đêm) thì
T0 = 12h + 12h = 24h
+ Hiệu giờ địa phương của hai nơi bằng hiệu độ kinh của hai nơi đó T1 – T2 = λ1 - λ2
+ Mỗi năm dương lịch có 365,2422 ngày Mặt trời và có 366,2422 ngày sao. 365,2422
ngày Mặt Trời = 366,2422 ngày sao.
1 ngày Mặt Trời =

366, 2442
ngày sao  ngày Mặt Trời dài hơn ngày sao 3’56”≈ 4’
365, 2422

+ Phương trình thời gian : η = Tm – T0 hay Tm = η + T0
+ Giờ múi – giờ quốc tế: TM = T0 + M
SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 5


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
II.1. Tính độ cao và độ phương của Mặt Trời tại một điểm vào các ngày xuân
phân, hạ chí, thu phân và đông chí.
 Xác định điểm XP, HC, TP và ĐC
+ Ta xác định góc ϕ nơi quan sát

+ Vẽ góc ϕ là góc hợp bởi trục PP’ và BN
+ Kẻ XX’ ⊥ PP’ điểm X chính là điểm XP và Thu Phân
+ Từ điểm X tiến lên 1 góc 23027’ là điểm Hạ chí, còn
ngược xuống 1 góc 23027’ là điểm Đông chí.
 Tính độ cao h và độ phương A
+ XP = TP: h = 900 - ϕ ; A = 00
+ HC:

h = 900 – ( 23027’-ϕ) ; A phụ thuộc vào góc ϕ

( Nếu góc ϕ < 23027’ thì A = 1800, ϕ > 23027’ thì A = 00)
+ ĐC:

h = 900 – 23027’– ϕ; A = 00

II.2. Xác định đồng hồ đeo tay chạy nhanh hay chậm
Để xác định đồng hồ đeo tay chạy nhanh hay chậm ta phải xác định giờ múi.
+ Ta xác định nơi quan sát ở múi giờ số mấy để xác định kinh độ λM.
+ Áp dụng công thức: λ0 - λM = T0 – TM rút ra TM = T0 – (λ0 - λM)
+ Áp dụng phương trình thời gian: η = T0m – TM rút ra T0m = TM + η
+ So sánh T0m và giờ đồng hồ đeo tay để rút ra kết luận đồng hồ chạy nhanh hay chậm.
II.3. Tính giờ sao tại một nơi nào đó.
Cách 1: Giải dựa trên lý thuyết
+ Ta phải hiệu chỉnh giờ sao lúc quan sát tại nơi đó về lúc 0h.
+ Tính thời gian từ 0h đến lúc quan sát và đổi ra thời gian sao ∆S = K ∆T
+ Tính giờ sao S tại nơi đó lúc quan sát.
Cách 2: Giải dựa trên hình vẽ
+ Ta chọn thiên đỉnh Z = 0h đây là giờ Grinuych
+ Ta xác định nơi quan sát (điểm A) tùy vào đề bài
cho nơi quan sát ở kinh độ bao nhiêu, bằng cách lấy

kinh độ đề cho chia cho 150 sẽ ra được giờ ở nơi
quan sát. Lấy điểm đó làm 12h điểm đối diện là 0h

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 6


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

+ Điểm B là đề bài cho lúc quan sát tính từ điểm D qua
+ Cung BC chính là thời gian giờ sao bị lệch
+ Tinh giờ sao S = cung AB + cung BC

CHƯƠNG III: MỘT SỐ PHÉP TÍNH VÀ ĐO ĐẠC THIÊN VĂN CƠ BẢN
I.TÓM TẮT KIẾN THỨC
I.1. Công thức lượng giác cầu cần sử dụng
+ Loại I:

sina sinb sinc
=
=
sinA sinB sinC

+ Loại II:

cosa = cosb.cosc + sinb.sinc. cosA
cosb = cosc.cosa + sinc.sina. cosB

cosc = cosa.cosb + sina.sinb. cosC
+ Loại III: sina.cosB = cosb.sinc - sinb.cosc.cosA
sinc.cosA = cosa.sinb - sina.cosb.cosC
sinc.cosA = cosb.sinc - sinb.cosc.cosA.
 Đối với tam giác cầu vuông tại góc A:
tgb = tgB. sinc
I.2. Công thức chuyển tọa độ
+ α , δ sang A, Z
cosZ = sinδ sinϕ + cosδ.cosϕ.cost
tgA =

cosδ sint
− sin δ cos ϕ + cos δ sinϕ cost

Trong đó: góc giờ t = s − α ; s là giờ sao lúc quan sát.
Với t > 12h thì A > 1800
Với t < 12h thì A < 1800

+ A, Z sang α và δ.
sin δ = sin ϕ cos Z - cos ϕ sinZ cos A
tgt =

sinz.sinA
cos ϕ cos z +sinϕ .sinz. cosA

I.3. Công thức tính thời điểm mọc, lặn và vị trí mọc lặn
+ Tính thời điểm mọc (lặn)
cost = -tgδ.tgϕ
Biết t, tính được giờ sao theo biểu thức s = α ± t
+ Tính vị tí mọc (lặn)

cosA = −

sinδ
cosϕ

Thiên thể mọc khi A<0; t<0
SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 7


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

Thiên thể lặn khi A>0 ; t>0

I.4. Độ dài hoàng hôn (bình minh)
cos(t +∆t) =

sin h 0 − sin ϕ sin δ 0
cos ϕ cos δ 0

h0 là độ cao của thiên thể, thực chất là độ thấp của thiên thể dưới chân trời0
+ Hoàng hôn thường: h0 = -60
+ Hoàng hôn thiên văn: h0 = -180
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
II.1. Tìm khoảng cách giữa 2 điểm bất kì
 Đối với xác định 2 điểm nằm trên Trái Đất:
+ Ta phải xác định kinh độ λ và vĩ độ ϕ của 2 điểm.

+ Xác định cạnh và góc hợp bởi 2 điểm: Cạnh: 900 − ϕ ; Góc: λ1 − λ2 .
+ Vẽ hình
+ Áp dụng công lượng giác cầu.
 Đối với 2 điểm nằm trên Thiên cầu:
+ Ta phải xác định xích kinh α và xích vĩ δ của 2 điểm.
+ Xác định cạnh và góc hợp bởi 2 điểm: Cạnh: 900 − δ ; Góc: α1 − α 2 .
+ Vẽ hình
+ Áp dụng công thức lượng giác cầu.
II.2. Xác định tọa độ của thiên thể
 Đối với đề bài đã cho α , δ , ϕ và giờ sao S. Xác định A, Z ?
+ Tính t = S - α và đổi ra độ bằng cách lấy thời gian t × 150
+ Áp dụng công thức chuyển tọa độ từ δ , α sang A, Z
+ Dự vào thời gian t >0 hay t <0 để xác định A.
 Đối với đề bài cho ϕ , λ , α , δ , giờ sao S lúc 0h và thời gian lúc quan sát. Xác
định A, Z ?
+ Tính giờ sao S tại nơi đó lúc quan sát.
+ Tính t = S - α và đổi ra độ bằng cách lấy thời gian t × 150
+ Áp dụng công thức chuyển tọa độ từ δ , α sang A, Z
 Đối với đề bài cho ϕ , Z, A, và thời gian S lúc quan sát. Xác định δ , α ?
+ Áp dụng công thức chuyển tọa độ từ A, Z sang δ , α để tính δ
+ Tính t

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 8


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

+ Tính α bằng công thức: S = α + t.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
CHƯƠNG I
Bài 1: Một vệ tinh nhân tạo chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo elip với tâm
sai e , bán trục lớn a và chu kì T. Tính vận tốc của vệ tinh ở cận điểm và ở viễn điểm?
Giải
Theo định luật III Kepler ta có:
T 2 ( M + m) 4π 2
=
a3
G

mà vệ tinh có m << so với M Trái Đất nên:
T 2 M 4π 2
4π 2 a 3
=
⇒ GM =
a3
G
T2
2
Lại có: vc =

GM  1 + e  2 GM  1 − e 

÷; vv =

÷

a 1− e 
a 1+ e 

Suy ra vận tốc của vệ tinh ở cận và viễn điểm là:
vc =

2π a 1 + e
T
1− e

vv =

2π a 1 − e
T
1+ e

Bài 2: Sao chổi Halley có chu kì 76 năm, quỹ đạo rất dẹt với e = 0,967
a) Xác định bán trục lớn quỹ đạo.
b) Xác định khối lượng của Mặt Trời.
c) Tính khoảng cách cận nhật và viễn nhật.
Giải
a) Áp dụng định luật III Kepler ta tính được bán trục lớn của quỹ đạo là:
2

2

T 2 = a 3 ⇒ a = T 3 = 76 3 = 17,94 (đvtv)

b) Đối với bài toán này chỉ có 1 vệ tinh ( tức sao chổi bay quay xung quanh Mặt Trời)
nên ta áp dụng công thức:

T 2 ( M + m) 4π 2
=
a3
G

Nhưng do m sao chổi << M Mặt Trời nên ta có thể bỏ qua m sao chổi.
Vậy khối lượng của Mặt Trời là:
M MT =

4π 2 a 3
4π 2 (17,94.1, 496.1011 )3
=
= 1, 99.1030 (kg )
GT 2
6, 67.10−11.(76.365.24.3600) 2

c) Khoảng cách cận và viễn nhật là:
rc = a (1 − e) = 17,94.(1 − 0, 967) = 0,592 (đvtv)

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 9


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

rv = a (1 + e) = 17,94.(1 + 0, 967) = 35, 29 (đvtv)

Bài 3: Tính gần đúng khối lượng của Mộc tinh biết nó chuyển động quanh Mặt
Trời theo quỹ đạo với bán trục lớn aM = 5,2 đvtv và với chu kì TM = 11,9 năm. Biết vệ
tinh Ganymed của Mộc tinh chuyển động quanh Mộc tinh với bán trục lớn a G =
7,14.10-3 đvtv và với chu kì TG = 1,9.10-2 năm. Khối lượng của Mặt Trời MO =
1,99.1030 kg.
Giải
Đối với bài toán có 2 vệ tinh ( tức vệ tinh Ganymed quay xung quanh Mộc tinh,
còn Mộc tinh lại quay quanh Mặt Trời) ta sẽ áp dụng công thức III Kepler:
T12 ( M + m1 ) a13
=
T22 (m1 + m2 ) a23

Nhưng do Ganymed << Mộc tinh, Mộc tinh << Mặt Trời nên ta có công thức:
M a13T22
a 3 .T 2 .M (7,14.10 −3 )3 .(11,9) 2 .(1,99.1030 )
= 3 2 ⇒ m1 = 2 31 2 =
= 2, 02.1027 (kg)
m1 a2T1
a1 T2
(5, 2)3 .(1,9.10−2 )2

Bài 4: Người ta muốn phóng một vệ tinh nhân tạo theo phương án sau:
- Từ mặt đất truyền cho vệ tinh vận tốc v0 theo phương thẳng đứng.
- Tại độ cao h khi vệ tinh có vận tốc bằng không, người ta truyền cho nó vận tốc v 1
theo phương nằm ngang để nó chuyển động theo quỹ đạo elip có tâm sai e và thông số
p được xác định trước.
Khi vệ tinh bay ở viễn điểm ( vận tốc v v) thì người ta làm giảm vận tốc của nó
(vận tốc v’v) để quỹ đạo lúc này có khoảng cách cận điểm bằng bán kính r 0 ( có nghĩa
là đưa vệ tinh về Trái Đất). Hãy tính độ giảm vận tốc đó.

Giải

Ta có vận tốc của vệ tinh ở viễn điểm lúc chưa và sau khi giảm vận tốc là:
vv = R (1 − e)

 2 1  GMR 2  2(1 − e) 1 
 2(1 − e) 1 
g0
'2
− ' ÷= g0 R 2 
− '÷
; vv = GM  ' − ' ÷ =

2
R  p
a 
a 
p
 p
 rv a 

Ta có h là độ cao vệ tinh từ mặt đất phóng lên: h = rc – R
Đường kính elip sau bằng: d = rv + rc – (rc – R) = rv + R

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 10


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

Lại có khoảng cách cực viễn là: rv = a (1 + e) =

p
p
=
1 + e cos ϕ 1 − e

p
+R
r
+
R
d
p
R
Vậy bán trục lớn của elip sau là: a ' = = v
= 1− e
=
+
2
2
2
2(1 − e) 2

Vậy vận tốc của vệ tinh ở viễn điểm sau khi giảm vận tốc là:
 2(1 − e)
g0

2(1 − e) 
'
vv'2 = g 0 R 2 
−
÷⇒ vv = R (1 − e)
p + R (1 − e) 
p
 p

(

2R
p + R (1 − e) )

Vậy độ giảm vận tốc của vệ tinh là:

g  
g
∆v = vv − vv' =  R (1 − e) 0 ÷−  R (1 − e) 0

÷

p  
p

= R (1 − e)

g0 
1 −
p 


2R
÷
p + R (1 − e) ÷


2R

p + R (1 − e) 

CHƯƠNG II
Bài 1: Tính độ cao và độ phương của Mặt Trời lúc giữa trưa tại Hà Nội (ϕ = 210)
vào các ngày xuân phân, hạ chí, thu phân và đông chí.
Giải
+ Xuân phân và Thu phân:
Ta thấy ngày xuân phân và thu phân nằm trên xích
đạo trời nên:
hTP = hXP = 900 - ϕ = 900 – 210
= 690 (tính từ điểm N lên)
Độ phương A: ATP = AXP = 00
+ Hạ chí:
Ta thấy vào ngày hạ chí có xích vĩ δ = 23027’ tính từ xích đạo trời về cực Bắc.
HHC = 900 – (23027’ – 210) = 87033’ (tính từ điểm B lên).
Độ phương A: AHC = 1800 vì ϕ < 23027’
+ Đông chí:
Ta thấy vào ngày đông chí có xích vĩ δ = - 23027’ tính từ xích đạo trời trở về Nam.
HĐC = 900 – 23027’ – 210 = 45033’ (tính từ điểm N lên).
Độ phương A: AĐC = 00
Bài 2: Vào ngày 1-1-1980, xích vĩ của Mặt Trời là -23005’ phương trình thời gian

là 3 phút. Lúc Mặt Trời qua kinh tuyến trên tại Vinh (ϕ = 18032’, λ = 150040’) một
đồng hồ đeo tay chỉ 12h05ph. Hỏi
a) Giờ trung bình điah phương?
SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 11


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

b) Đồng hồ đeo tay chạy nhanh hay chậm?
c) Giờ quốc tế lúc ấy?
Giải
a) Vì lúc Mặt Trời qua kinh tuyến trên nên T0 = 12h
Ta có phương trình thời gian:
η = Tm – T0  Tm = η + T0 = 3’ + 12h = 12h3’
b) Để biết đồng hồ đeo tay chạy nhanh hay chậm ta phải xác định giờ múi. Nơi
quan sát ở múi số 7  λM = 1050
Áp dụng công thức: λ0 - λM = T0 – TM


TM = T0 – (λ0 - λM)
= 12h – (105040’ – 1050) = 11h57’20”

Mà ta có phương trình thời gian: η = T0m – TM


T0m = TM + η

= 11h57’20” + 3’ = 12h20’
Mà đồng hồ đeo tay chỉ 12h05’ chứng tỏ đồng hồ chay nhanh hơn và nhanh hơn
4’40”.
c) Giờ quốc tế lúc ấy là: η = T0m – T0
 T0 = T0m - η = 12h20’ – 7h = 5h20’
Bài 3 : Tính giờ sao tại A có kinh độ là 106040’ vào lúc 17h30’. Ngày hôm đó giờ
sao lúc 0h ở Grinuych là S0 = 12h14’32”
Giải
Cách 1:
Hiệu chỉnh đối với A từ 17h30’ về 0h
Ta có : → λh (- 9s856) = -1’09”50
Vậy giờ sao tại A lúc 0h là:
SOA = S0 – 1’09,50”
= 12h14’32” – 1’09,50” = 12h13’22,5”
Thời gian từ 0h đến lúc quan sát
∆T = T = 17h30’ khoảng thời gian này đổi ra giờ sao bằng
∆S = K ∆T = 17h32’52,55”
+ Tính giờ sao S tại A lúc 17h30’ là
S = SOA + ∆S
= 12h13’22,5” + 17h32’52,55” = 29h46’15,05”
hay S = 5h46’15,05” ngày hôm sau.

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 12


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

Cách 2:
+ Ta chọn thiên đỉnh Z = 0h đây là giờ Grinuych
+ Ta xác định điểm A = 1060:150 = 7h4’ ( tính từ điểm
Z vòng qua 18h). Lấy điểm đó làm 12h điểm đối diện
là 0h
+ Điểm B là 17h30’
Ta tính được cung AB = cung DB – cung DA
= 17h30’ – 12h = 5h30’
+ Cung BC chính là thời gian giờ sao bị lệch
BC = (17h30’ – 12h14’32”) 3’56,555” = 20’43,75”
+ Tinh giờ sao S = cung AB + cung BC
= 5h30’ + 20’43,75” = 5h50’43,75”
CHƯƠNG III
Bài 1: Tìm quảng đường ngắn nhất đối với một chiếc máy bay bay từ Maxcơva
đến Hà Nội. Biết rằng Maxcơva có kinh độ là 37034’, vĩ độ là 55045’, Hà Nội có kinh
độ là 105050’, vĩ độ là 21003’.
Giải:
+ Ta có a = 900 - ϕ1 ; b = 900 - ϕ2 ; c = λ1 - λ2
+ Áp dụng công thức lượng giác cầu đối với Trái Đất
Cosc = cosa.cosb + sina.sinb. cosC
= cos(900 - 55045’) cos(900 - 21003’)
+ sin(900 - 55045’)sin(900 - 21003’) cos(-68018’)
 c = 60035’12,32” là khoảng cách giữa hai nơi
Do Trái Đất coi như là một hình tròn có chu vi 2π R
Nên quảng đường máy bay từ Hà Nội đến Maxcơva là:
S = (60035’12,32” × 2π R ) :3600
= 6735,88 km
Bài 2: Tính khoảng cách góc giữa sao α và β của chòm Bắc Đẩu cho biết tọa độ

của chúng là:
α1 = 10h50ph

δ1 = +62010’

α 2 = 10h57ph

δ 2 = +56047’

Giải:

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 13


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

+ Ta có a = 900 - δ 2 ; b = 900 - δ1 ; c = α1 - α 2
+ Áp dụng công thức lượng giác cầu đối với thiên cầu
Cosc = cosa.cosb + sina.sinb. cosC
= cos(900 - 56047’) cos(900 - 62010’)
+ sin(900 - 56047’)sin(900 - 62010’) cos1’45”
 c = 5027’20,53” là khoảng cách giữa hai sao α và β
Bài 3: Tìm khoảng cách đỉnh và độ phương của sao α chòm Sư Tử ( α = 10h04ph, δ
= 12018’) tại Vinh ( ϕ = 18040’) lúc đồng hồ chạy theo giờ sao chỉ 5h23ph.
Giải:
Ở đây ta thấy, bài yêu cầu tìm khoảng cách đỉnh và độ phương của sao α , tức là

tìm Z, A. Bên đó đề bài đã cho α , δ , ϕ và giờ sao S.
+ Ta tính t: t = S - α = 5h23’ – 10h04ph = - 4h41’ → t = -70015’
+ Áp dụng công thức chuyển tọa độ từ δ , α sang A, Z
 cosZ = sinδ sinϕ + cosδ.cosϕ.cost
= sin(12018’)sin(18040’)+cos(12018’)cos(18040’)cos(-70015’)
→ Z = 67036’21,19”
 tgA =
=

cosδ sint
− sin δ cos ϕ + cos δ sinϕ cost

cos(12 018' ) sin(-70 015' )
− sin(12 018' ) cos(18 0 40' ) + sin(18 0 40' ) cos(12 018' ) cos(-70 015' )

→ A = -8401’50,55”

Vì t < 0 nên A < 0 hay A = 2760
Bài 4: Tìm các tọa độ chân trời của sao Chức Nữ ( α = 18h34ph) ( δ = 380) vào lúc
20h tại Hà Nội ( ϕ =210, λ =105052’) vào ngày 20-XI-1979. Cho biết lúc 0h quốc tế tại
Grinuych vào ngày này thì giờ sao 3h53ph40s.
Giải:
Ở đây ta thấy, bài yêu cầu tìm tọa độ chân trời của sao Chức Nữ, tức là tìm Z, A.
Bên đó đề bài đã cho α , δ , ϕ , λ , giờ sao S lúc 0h và thời gian lúc quan sát.
+ Ta phải hiệu chỉnh giờ sao lúc quan sát tại nơi đó về lúc 0h, tức từ 20h về 0h.
Ta có : → λh (- 9s856) = -1’09”50
Vậy giờ sao tại Hà Nội lúc 0h ngày 20- XI -1979 là:
SOH = S0 – 1’09,50”
= 3h53’40” – 1’09,50” = 3h52’30,5”

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 14


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

+ Thời gian từ 0h đến lúc quan sát là:
∆T = T = 20h khoảng thời gian này đổi ra giờ sao ∆S = K ∆T = 20h3’17,12”
+ Tính giờ sao S tại Hà Nội lúc 20h là
S = SOH + ∆S
= 3h52’30,5” + 20h3’17,12” = 23h55’47,62”
+ Tính t:
t = S - α = 23h55’47,62”- 18h34’ = 5h21’47,62” → t = 80026’54,3”
+ Áp dụng công thức chuyển tọa độ từ δ , α sang A, Z
 cosZ = sinδ sinϕ + cosδ.cosϕ.cost
= sin(380)sin(210)+cos(380)cos(210)cos(80026’54,3”)
→ Z = 69057’29,14” ≈ 700
 tgA =

cosδ sint
− sin δ cos ϕ + cos δ sinϕ cost

cos(38 0 ) sin(80 0 26'55,5")
=
− sin(38 0 ) cos(210 ) + sin( 210 ) cos(38 0 ) cos(80 0 26'54,3")
→ A = -55048’35,88”
Vì t > 0 → A = 55048’35,88”

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 15


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

D. BÀI TẬP MỞ RỘNG
Bài 1: Một con tàu vũ trụ bay quanh Mặt Trăng theo quỹ đạo tròn bán kính gấp đôi
bán kính Mặt Trăng. Hỏi phải bắn một vật ra khỏi con tàu tại A theo phương tiếp tuyến
với quỹ đạo với vận tốc bao nhiêu đối với con tàu để vật rơi xuống mặt trăng tại B đối
diện với A. Biết bán kính Mặt Trăng R=1,7.10 6m, gia tốc rơi tợ do trên Mặt Trăng
g=1,67m/s2 .
Giải
Vật m được bắn ra khỏi con tàu phải chuyển động trên quỹ đạo elíp tiếp xúc với
Mặt Trăng tại B. Vật m tại A có vận tốc v 1 đối với tâm Mặt Trăng sau khi đến B có
vận tốc v2 cũng đối với tâm Mặt Trăng. Gọi khối lượng của Mặt Trăng là M, thì gia tốc
rơi tự do trên Mặt Trăng sẽ là: g =

GM
R

A

Sử dụng định luật bảo toàn cơ năng: WA = WB
⇔

VA

1 2
mM 1 2
mM
mv1 − G
= mv2 − G
⇔ v22 − v12 = gR (1)
2
2R 2
R

Sử dụng định luật III Keple :
1
1
v1.∆t.2 R = v2 ∆t.R ⇔ 2v1 = v2
2
2

Từ (1) và (2) cho v1 =

O
(2)

VB

B

A

gR
(3)
3

Con tàu vũ trụ có khối lượng mt chuyển động tròn đều trên quỹ đạo (O, 2R)
mt M mt v02
G
=
⇔ v0 =
(2 R) 2
2R

gR
> v1
2

Vậy phải nén vật về phía sau với vận tốc :
1 
 1
v = v0 − v1 = gR 
−
÷ ≈ 219m / s
3
 2

Bài 2: Một vệ tinh nhân tạo khối lượng M chuyển động theo quỹ đạo elíp quanh
Trái Đất. Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vị trí gần nhất và xa nhất của vệ tinh là
h,H.
a) Xác định cơ năng toàn phần của vệ tinh.
b) Xác định vận tốc của vệ tinh tại vị trí cách tâm Trái Đất một khoảng l.

c) Xác định chu kì quay của vệ tinh.
d) Xác định khối lượng của Trái Đất nếu sử dụng các số liệu thu được từ vệ tinh nhân
tạo Côxmot 380: T=102,2phút; h=6588km; H=7926km.

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 16


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

Giải
a) Cơ năng toàn phần tại A và B bằng nhau:
mM
2
W+G
 vA 
mM 1 2
mM 1 2
h
W = −G
+ mv A = −G
+ mvB ⇒
=
Mm  vB ÷
h
2
H

2

W +G
H

Theo định luật II Keple : vA .h.∆t = vB .H .∆t ⇔
W = −G

vA

vA H
=
.Từ đó giải ra:
vB h

mM
H +h

b) Cơ năng tại vị trí cách tâm Trái Đất một khoảng l sẽ là:
W = −G

Mm 1 2
1 
1
+ mv ⇒ v = 2GM  −
÷
l
2
l H +h

vB

c) Theo định luật III Keple chính xác:

( H + h)

T2
4π 2
4π 2
h+H
=
≈
;a =
⇒T =π
3
a
G ( M + m) GM
2

2

2GM

d) Khối lượng Trái Đất tính theo công thức: M = π

(h + H )2
≈ 6.1024 kg
2GT

Bài 3: Một trạm Vũ trụ bay quanh Trái Đất trên quỹ đạo tròn có bán kính R=2R 0

(R0=6400km-bán kính Trái Đất ).
Xác định chu kì quay và vận tốc của trạm vũ trụ khi động cơ không hoạt động. Bỏ
qua ma sát cho biết vận tốc vũ trụ cấp 1 ở sát mặt đất là v0=7,9km/s.
Giải
vv11
Ta có, vận tốc tính từ:
R
R

mv 2
Mm
1
GM 1
=G
⇒v=
2.
=
2.v0 ≈ 5,58km / s
2
2 R0
2
R0
2
( 2 R0 )

Chu kì của trạm: T =

11

2π 2π

=
.2 R0 ≈ 240 phút
ω
v

v2

Vì động cơ chỉ hoạt động trong một thời gian ngắn nên có
thể xem cơ năng bảo toàn khi chuyển từ quỹ đạo cũ sang quỹ
mv12 GMm mv22 GMm
−
=
−
đạo mới, nghĩa là:
2
R1
2
R2

(1)

Theo định luật II Keple: v1.R1.∆t = v2 .R2 .∆t ⇔

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

R
2

v2

v1 R2
=
(2). Kết hợp(1)
v2 R1

Trang 17


Thiên Văn Học
v2 =

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

v
2GMR1
= 0 ≈ 3, 22km / s .
R2 ( R1 + R2 )
6

Bài 4: Quan sát một hệ sao đôi thấy rằng ngôi sao trông thấy quay tròn đều quanh tâm
riêng của hệ theo quỹ đạo (O, r1) với vận tốc v1 = 270km/s và chu kì T1 = 17,3 ngày
đêm. Biết ngôi sao thứ hai cũng chuyển động tròn đều đồng tâm theo quỹ đạo (O, r 2),
khối lượng của sao trông thấy m1 = 6MT = 6.1,99.1030kg. Xác định khối lượng của ngôi
sao thứ hai? Có thể xem sao này là một lỗ đen không?
Giải
Do tính chất của trường hấp dẫn xuyên tâm thì m1 và m2 chuyển động cùng vận tốc
góc ω.
Lực hấp dẫn giữa chúng: F = G

m1m2

.
r2

m1
r2

Tính chất của khối tâm:
r = r1 + r2 ; m1r1 = m2 r2 ⇒ r =

m1 + m2
m1m23
r1 ⇒ F = G
.
2
m2
( m1 + m2 ) r12

Phương trình chuyển động của m1:

o
r1

m2

2

 2π 
m1m23
m23
4π 2 r1

m1ω r1 = F ⇔ m1 
⇒
=
≈ 3, 47 M T .
÷ r1 = G
2
2
( m1 + m2 ) r12 ( m1 + m2 ) T12G
 T1 
2

Đặt m2 = kMT, ta có:

k3

( 6+ k)

2

= 3, 47 ⇒ k = 9 . Có thể xem m2 là một lỗ đen vì khối

lượng rất lớn và không phát sáng.
Bài 5: Tính gần đúng giờ sao vào hồi 18h ngày 30 – IX. Cần nhớ : điểm Xuân phân
qua kinh tuyến trên tại mỗi nơi (nghĩa là 0 h sao) vào lúc 0h ngày thu phân (22 – IX) và
cứ mỗi ngày giờ sao vượt giờ thường 4 phút).
Giải
Ta có từ ngày thu phân 22 – IX đến 30 – IX là 8 ngày. (Tính từ 0h)
Mà mỗi ngày giờ sao vượt giờ thường 4 phút, vậy sau 8 ngày vượt 32 phút. Mà ta
có giờ sao vào hối 18h tức là 3/4 ngày. Vậy giờ sao vượt được là :
(8 + 3/4 ).4 = 35 phút

Vậy giờ sao vào hồi 18h ngày 30 – IX là :
t = t0 + ∆t = 18h + 35' = 18h 35'

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 18


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

Bài 6: Biết điểm Xuân phân qua kinh tuyến trên lúc 0 h ngày thu phân. Hỏi vào
khoảng ngày nào thì sao Thiên Lang có xích kinh 6 h42ph cũng qua kinh tuyến trên lúc
0h.
Giải
Ta có điểm Xuân phân ( α = 00) qua kinh tuyến trên lúc 0h ngày 22 – 9. Sao Thiên
Lang ( α = 6h42’) qua kinh tuyến trên lúc 0h.
Ta biết ngày sao vượt ngày mặt trời thực 3 phút 56s555. Để sao Thiên Lang cũng
qua kinh tuyến trên lúc 0h thì sau B ngày là :
6h 42'
= 102 ngày
B= ' "
356 555

Vậy sau 102 ngày thì sao Thiên Lang cũng qua kinh tuyến trên lúc 0h kể từ ngày
Thu phân tức ngày 2 – 1 năm sau.
Bài 7: Tính đồ dài hoàng hôn thường tại Hà Nội (ϕ = 210) vào các ngày Hạ chí và
Đông chí.
Giải

 Hạ chí : δ = 23027’ ; ϕ = 210
cos(t + ∆t ) =

sinh 0 − sin ϕ sin δ 0 sin(−60 ) − (sin 210 sin 23027 ' )
=
⇒ t + ∆t = 7 h 7'5,16"
0
0
'
cosϕ cosδ 0
cos21 cos 23 27

cos(900 + ρ − p) − sin ϕ sin δ
cos t =
cosϕ cosδ

Vì khi hoàng hôn, thiên thể ở sát chân trời ⇒ ρ = 35' , thị sai chân trời của Mặt trời
P0 = p = 8"794 . Vì p << ρ nên có thể bỏ qua.
cos(900 + 35' ) − sin 210 sin 230 27 '
cos210 cos230 27 '
'
"
⇒ t = 6h 416,35
cos t =

Vậy độ dài hoàng hôn là :
∆t = (t + ∆t ) − t = 25'58,81" ≈ 26'

 Đông chí: δ = - 23027’ ; ϕ = 210
cos(t + ∆t ) =

cos t =

sinh 0 − sin ϕ sin δ 0 sin(−60 ) − (sin 210 sin( −230 27 ' ))
=
⇒ t + ∆t = 5h 49' 48,35"
cosϕ cosδ 0
cos210 cos( −230 27 ' )

cos(900 + 35' ) − (sin 210 sin( −230 27 ' ))
cos210 cos(-230 27 ' )

⇒ t = 5h 24' 25, 21"

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 19


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

Vậy độ dài hoàng hôn là : ∆t = (t + ∆t ) − t = 25' 23,14" ≈ 25'
Bài 8: Sao Thiên Lang có độ xích vĩ δ = −16030' . Tính độ cao và độ phương của nó
khi qua kinh tuyến trên đối với một người quan sát ở Hà Nội ( ϕ = 210 03' ).
Giải
Ta xác định trục thiên cầu chính là nơi ta quan
sát ( ϕ = 210 03' ) suy ra xích đạo trời cũng hợp với
thiên đỉnh một góc ϕ = 210 03' .

Ta thấy xích vĩ δ = −16030' âm. Nên từ xích
đạo trời tính xuống điểm Nam ta vẽ sao Thiên
Lang hợp với xích đạo trời một góc δ = −16030' .
Độ cao và độ phương của sao Thiên Lang là:
h = 900 - ϕ - δ = 900 – 21003’ –16030’ = 52027’.
A = 00
Lưu ý: Để xác định độ phương, nếu điểm ta xét nằm trong khoảng từ thiên đỉnh Z
về hướng Nam thì A = 00, còn về hướng Bắc thì A = 1800.
Bài 9: Tính độ cao và độ phương của Mặt Trời lúc giữa trưa tại Hà Nội ϕ = 18040’
vào các ngày xuân phân, hạ chí, thu phân và đông chí.
Giải
+ Xuân phân và Thu phân:
Ta thấy ngày xuân phân và thu phân nằm trên xích đạo
trời nên:
hTP = hXP = 900 - ϕ = 900 – 18040’
= 71020’ (tính từ điểm N lên)
Độ phương A: ATP = AXP = 00
+ Hạ chí:
Ta thấy vào ngày hạ chí có xích vĩ δ = 23027’ tính từ xích đạo trời về cực Bắc.
HHC = 900 – (23027’ – 18040’) = 85013’ (tính từ điểm B lên).
Độ phương A: AHC = 1800 vì nằm về hướng Bắc.
+ Đông chí:
Ta thấy vào ngày đông chí có xích vĩ δ = - 23027’ tính từ xích đạo trời trở về Nam.
HĐC = 900 – 23027’ – 18040’ = 47053’ (tính từ điểm N lên).
Độ phương A: AĐC = 00 vì nằm về hướng Nam.

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 20

Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

Bài 10: Tính khoảng cách giữa Hà Nội và Đài quan sát thiên văn Tokyo ( Nhật
Bản) dọc theo một vòng tròn lớn. Xem Trái Đất là một hình cầu có bán kính 6400 km.
Tọa độ địa lí của Hà Nội và Tokyo là ϕH = 21003’; λH = 105052’ và ϕT = 35040’; λT =
139030’.
Giải
+ Ta có a = 900 - ϕ H ; b = 900 - ϕT ; c = λH - λT
+ Áp dụng công thức lượng giác cầu đối với Trái Đất
Cosc = cosa.cosb + sina.sinb. cosC
= cos(900 - 21003’) cos(900 - 35040’)
+ sin(900 - 21003’)sin(900 - 35040’) cos(-33038’)
 c = 32047’4,94” là khoảng cách giữa hai nơi
Do Trái Đất coi như là một hình tròn có chu vi 2π R
Nên quảng đường máy bay từ Hà Nội đến Maxcơva là:
S = (32047’4,94” × 2π R ) :3600
= 3663km.

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 21


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

E. KẾT LUẬN
Qua quá trình tìm hiểu đề tài, em thấy thiên văn là một môn khoa học về cấu tạo,
chuyển động và tiến hóa của vũ trụ, với một lượng kiến thức đồ sộ. Để xác định được
những tính chất của thiên thể người ta thực hiện các phép tính tính toán hình học,
không gian phức tạp.
Qua quá trình tìm hiểu đề tài, ta thấy các dạng bài tập thiên văn tương đối nhiều
dạng nhưng cách giải không khó, đòi hỏi người giải phải có sự tư duy không gian cao
nếu không dễ dẫn đến nhầm lẫn trong tính toán.
Trong quá trình làm tiểu luận, do kiến thức còn hạn chế nên không tránh khỏi thiếu
sót và chưa đầy đủ, mong thầy sẽ có những góp ý để đề tài được hoàn thiện hơn.

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 22


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

F. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Phạm Viết Trinh, Bài tập Thiên Văn, NXB giáo dục,1999
- Giáo án điện tử Thiên Văn Học
- Phạm Viết Trinh – Nguyễn Đình Noãn, giáo trình Thiên văn, 1994.
- Thiên văn vật lí – Astrophysics, NXB giáo dục, 2002.

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 23

Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

G. NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 24


Thiên Văn Học

GV:ThS. Nguyễn Duy Linh

...............................................................................................................................................

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 25