Đề thi khảo sát chất lượng giáo viên THCS môn toán tỉnh vĩnh phúc năm học 2015 2016(có đáp án)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC

KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN TOÁN; CẤP THCS

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

 x +1

x −1
x
−
+ 4 x ÷:
Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức P = 
.
x +1
 x −1
 x −1
a) Rút gọn biểu thức P .
3
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
.
3 + 15
c) Tìm tất cả các giá trị của x để P = x 2 .
x2
Câu 2 (1,0 điểm). Cho hàm số y =
có đồ thị ( P ) và đường thẳng ( d ) có phương trình
2
y = x − m ( m là tham số).

a) Tìm m biết ( d ) đi qua điểm A nằm trên ( P ) và A có hoành độ bằng 2 .
1
b) Khi m = , hãy tìm tọa độ điểm M ( x1 ; y1 ) thuộc ( P ) và điểm N ( x2 ; y2 ) thuộc
2
( d ) sao cho x1 + x2 = −1 và y1 = 4 y2 .
Câu 3 (1,0 điểm).
Một ca-nô chạy xuôi một dòng sông trong 4 giờ và ngược dòng trong 3 giờ thì đi
được 250km. Nếu ca-nô đó xuôi dòng trong 3 giờ và ngược dòng trong 40 phút thì đi được
140km. Tính vận tốc riêng của ca-nô và vận tốc dòng nước, biết rằng vận tốc của dòng nước
và vận tốc riêng của ca-nô khi xuôi hay ngược dòng đều không đổi.
Câu 4 (1,0 điểm). Cho phương trình x 2 − 2(m + 1) x + m − 4 = 0 ( x là ẩn, m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m .
b) Tìm một biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào
tham số m .
Câu 5 (3,0 điểm). Cho đường tròn ( O; R ) , AB là một dây của ( O ) có độ dài bằng R 3 và
K là điểm chính giữa của cung lớn AB . Gọi M là điểm tùy ý trên cung nhỏ BK (
M ≠ B, K ). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM . Kẻ đường thẳng qua B song
song với KM cắt đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai là P .
a) Chứng minh 4 điểm A, N , K , P là các đỉnh của một hình bình hành.
b) Chứng minh tam giác KMN là tam giác đều.
c) Xác định vị trí của M để tổng MA + MK + MB có giá trị lớn nhất.
2
Câu 6 (1,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho ( n + 9n − 2 ) M( n + 11) .
Câu 7 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương và abc = 1 .
ab
bc
ca
+ 5 5
+ 5
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 5

.
5
a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ca
----------Hết--------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………………………………………….Số báo danh:…………………


SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN



NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN – CẤP THCS



Câu 1 (2,0 điểm).

Nội dung trình bày

Điểm
1,00

a)
x > 0
, khi đó ta có:
x ≠ 1

Điều kiện xác định của P: 

0,50

(
P=

0,25

P=

) (
2

x +1 −

)

2

x − 1 + 4 x ( x − 1) x − 1
.
x −1
x

4 x + 4 x ( x − 1)
x

= 4x

0,25

b)

0,50

1
5 −1
=
4
3 + 15 1 + 5

 5 −1 
3 
5 −1
= P 
= 4.
= 5 −1
Suy ra: P 
÷
÷
÷
÷
4
 3 + 15 
 4 
3

Có:

=

0,25
0,25

c)

0,50

4 x = x
 x = 0


P = x ⇔  x > 0 ⇔   x = 4
x ≠ 1
 x > 0, x ≠ 1


⇔ x = 4.
2

2

0,25
0,25

Câu 2 (1,0 điểm)
a)
Tìm được A(2; 2)
Tìm được m = 0

b)

Nội dung trình bày

Điểm
0,50
0,25
0,25
0,50

1
1
1
x2
có: (d ) : y = x − , y1 = 1 (1), y 2 = x2 − (2).
2
2
2
2
Theo giả thiết: x1 + x1 = −1 (3) và y1 = 4 y2 (4)

0,25

Khi m =

1



2

Thay (5) vào (1) có: x1 + 8 x1 + 12 = 0 (6)

Từ (2) (3) (4) có: y1 = 4  − x1 − 1 − ÷ (5)
2

1
2

9
2

Giải (6) (2) (3) (4) (5) ta có: M (−2; 2) , N (1; ) hoặc M (−6;18) , N (5; )

0,25

Câu 3 (1,0 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm
Gọi vận tốc riêng ca-nô là x km/h, vận tốc dòng nước là y km/h (đk: x>y>0) thì khi
0,25
xuôi dòng vận tốc ca-nô là (x+y) km/h, khi ngược dòng là (x-y) km/h.
Ca-nô xuôi dòng trong 4 giờ và ngược dòng trong 3 giờ thì được 250km, ta có
phương trình: 4(x+y)+3(x-y)=250 (1)
0,25
Ca-nô xuôi dòng trong 3 giờ và ngược dòng trong 40 phút (2/3 giờ) thì được 140km,
ta có phương trình: 3(x+y)+(2/3)(x-y)=140 (2)


 4( x + y ) + 3( x − y ) = 250
7 x + y = 250


⇔
Từ (1) (2) ta có: 
(3)
2
11x + 7 y = 420
3( x + y ) + 3 ( x − y ) = 140

0,25

Giải (3) có: x=35, y=5.
Vậy vận tốc riêng ca-nô là 35km/h và vận tốc dòng nước là 5km/h.
Câu 4 (1,0 điểm):
Nội dung trình bày
a)
2
Có: ∆ ' = ( m + 1) − ( m − 4 ) = m 2 + m + 5

0,25
Điểm
0,50
0,25

2

1  19

=  m + ÷ + > 0 với mọi m, suy ra đpcm.
2
4


b)

0,25
 x1 + x2 = 2 ( m + 1)
 x1 x2 = m − 4

0,50

Gọi x1 , x2 là các nghiệm của PT, khi đó theo định lý Viet ta có: 

0,25

 x + x = 2 ( m + 1)
⇔ 1 2
⇒ x1 + x2 − 2 x1 x2 = 10 . Vậy hệ thức cần tìm là x1 + x2 − 2 x1 x2 = 10 .
2 x1 x2 = 2m − 8

0,25

Câu 5 (3,0 điểm):

K
P

M

O

A

N
H

B

Nội dung trình bày
a)
» = PK
» ⇒ MB = PK (1)
Do MK P BP ⇒ MB
MB = AN (2). Từ (1) (2) suy ra PK = AN (3)
» = KB
» và MB
» = PK
» suy ra »AP = KM
¼ hay PK P AN (4)
KA
Từ (3) (4) suy ra PK, AN là 2 cạnh đối của một hình bình hành hay suy ra đpcm.

b)
Gọi H là trung điểm của AB , khi đó OH ⊥ AB
sin ·AOH =

AH
3
suy ra ·AOH = 600 .
=
OA
2

Điểm
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
0,25


·AKB = 1 ·AOB = ·AOH = 600 , tam giác AKB là tam giác đều.
2
Do KM = AP và KN = AP , suy ra: KM = KN
·
KMN
= ·ABK = 600

Từ đó ta có tam giác KMN là tam giác đều.
c)

Có: MA + MK + MB = MA + NM + AN = 2MA ≤ 4 R .
» .
Dấu “=” xảy ra ⇔ MA là đường kính hay M là điểm chính giữa của cung bé BK
» .
Vậy: Max ( MA + MK + MB ) = 4 R ⇔ M là điểm chính giữa của cung bé BK

0,25
0,25
0,25

1,0
0,5
0,5

Câu 6 (1,0 điểm):
Nội dung trình bày
( n + 9n − 2 ) M( n + 11) ⇔ n ( n + 11) − 2 ( n + 1) M( n + 11)
2

⇔ ( 2n + 2 ) M( n + 11)

Điểm
0,25
0,25

⇔  2 ( n + 11) − 20  M( n + 11)

0,25

⇔ 20M( n + 11) ⇔ n = 9 . Vậy n = 9 là giá trị cần tìm.

0,25

Câu 7 (1,0 điểm):
Nội dung trình bày
Chứng minh: a + b ≥ a b + b a
5
5
3 2
3 2

3
2
2
3
2
2
Thật vậy, a + b ≥ a b + b a ⇔ a ( a − b ) − b ( a − b ) ≥ 0
5

5

3 2

Điểm

3 2

⇔ ( a3 − b3 ) ( a 2 − b 2 ) ≥ 0 ⇔ ( a − b )

2

( a 2 + ab + b 2 ) ( a + b ) ≥ 0 .

0,25

Dấu bằng xảy ra a = b .

ab
ab
1

abc
c
≤ 3 2
= 2
= 2
=
5
3 2
2
2
a + b + ab a b + b a + ab a b + b a + 1 a b + b a + abc a + b + c
bc
a
ca
b
≤
; 5
≤
Tương tự có: 5 5
5
b + c + bc a + b + c c + a + ca a + b + c
a
b
c
+
+
= 1 , dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c = 1 .
Suy ra: P ≤
a+b+c a+b+c a+b+c
Vậy Pmax = 1 khi a = b = c = 1 .

Khi đó:

5

0,25
0,25
0,25

Yêu cầu:
+ Điểm toàn bài tính đến 0,25;
+ Với các ý từ 0,5 điểm trở lên, tổ chấm thống nhất để chia nhỏ đến 0,25;
+ Với mỗi ý, Hướng dẫn chấm chỉ trình bày 1 cách giải với các bước cùng kết quả bắt buộc
phải có. Nếu thí sinh giải theo cách khác và trình bày đủ các kết quả thì vẫn cho điểm tối đa
của ý đó.
+ Trong mỗi ý, thí sinh sai từ đâu thì không cho điểm từ đó.
+ Bài hình học bắt buộc phải vẽ đủ hình, không vẽ đủ hình của ý nào thì không cho điểm
liên quan của ý đó.