Phương trình sóng một chiều với hệ số biến thiên liên kết với điều kiện biên chứa tích phân

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
a^[aaJ TRƯỜNG ĐẠI HỌC sú PHẠM TP. Hồ CHÍ MINH
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi trân trọng kính gửi tới Thầy hướng dẫn, TS Trần Minh
Thuyết, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Thầy đã rất ân cần và tận tình
hướng dẫn, giúp cho tôi nắm được từng bước nghiên cứu và giải đáp những thắc
mắc khi tôi gặp phải. Sự tận tình hướng dẫn của Thầy đã giúp tôi hoàn thành
luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô trong và ngoài khoa Toán - Tin học
trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và
TRÌNH
SÓNG
MỘT
CHIỀU
VỚI
HỆ SỐ
kinh nghiệmPHƯƠNG
quý báu cho
tôi trong
suốt thời
gian
học tập
tại trường.
BIẾN cảm
THIÊN
LIÊNchủ
KÉT
VỚIkhoa
ĐIÊUToán
KIỆN
BIEN

Chân thành
ơn Ban
nhiệm
- Tin
học, quý Thầy Cô
CHỨA TÍCH PHÂN
thuộc phòng quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, thư viện trường Đại
học Sư phạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành chương trình
học cũng như trong quá trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp.
Tôi vô cùng biết ơn Thầy Kiều Ngọc Tú, hiệu trưởng Trường THPT Trần
Hưng Đạo đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tôi được hoàn thành khóa học.
Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến gia đình tôi, chỗ dựa tinh thần
vững chắc nhất của tôi.
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
Sau cùng, vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi
những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý Thầy Cô và sự góp
ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2008.
Lê Trường Giang

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008


utt “uxx + f(u,ut) = F(x,t),0
(1)
1

MỞ ĐẦU
Trong luận văn này chúng tôi xét bài toán sau: Tìm một cặp các hàm

ux(0,t) = P(t),

(2)

u(l,t)=0,

(3)

u(x,0) = u0(x),ut(x,0) = u^x)

(4)

f(u,ut) = K(x,t)u + >u(t)ut

(5)

trong đó K(x,t), ^(t), F(x,t), u0, Uj là các hàm cho trước thỏa các điều kiện
mà ta sẽ chỉ ra sau. Hàm chưa biết u(x,t) và các giá trị biên chưa biết P(t) thỏa
phưong trình tích phân phi tuyến sau đây
P(t) = g0(t) + A.0ut(0,t) + Ko |u(0,t)|a_2 u(0,t)
ỉ „ _ N1
-Jk0(t-s)u(0,s)ds,
0

(6)

trong đó a > 2, K0 > 0, X0>0 là các hằng số cho trước và g0(t), k0(t) là các
hàm cho trước.
Trong [2], Đ.Đ.Áng và Alain Phạm đã thiết lập một định lý tồn tại và

duy nhất nghiệm cho bài toán (l) - (5) vói Uo, Ui, p là các hàm cho trước, với
f (u,ut) = |ut|a sign(ut),(0 < a < l)
(7)
Tổng quát hóa kết quả trong [2], N.T.Long và Alain Phạm [3 -5, 8, 10,
11 đã xét bài toán (l), (3), (4) liên kết với điều kiện biên không thuần nhất tại
= 0 sau đây có dạng
X (0, t) = g0 (t) + H(u(0, t)) — Jk0(t — s)u(0,
s)ds,

(8)


2

mà (7) được xét như một trường hợp riêng. Chẳng hạn bài toán (1), (3), (4) và
(8) đã được nghiên cứu ứng với các trường hợp k = 0, H(s) = hs, với h > 0
[10]; k = 0 [11]; H(s) = hs, vớih>0[5].
Trong trường hợp H(s) = h.s, với h > 0, bài toán (1), (2), (3), (4), (8), ẩn
hàm u(x,t) và giá trị biên chưa biết P(t) thỏa bài toán Cauchy cho phương
trình vi phân thường như sau
p "(t) + co2P(t) = hutt, 0 < t < T,

(9)

P(0) = P0, P'(0) = Pp

(10)

trong đó co > 0, h > 0, P0, Pj là các hằng số cho trước ([1], [11]).
Trong [1], N.T. An và N.D. Triều đã nghiên cún một trường hợp đặc

biệt của bài toán (l)-(4), (7), (9), (10) với uo=u1=Po=0 và K(x,t)-K,
^(t) = X trong đó K, X, là các hằng số dương cho trước. Trong trường hợp
này bài toán (1) - (4), (9), (10) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một
vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng.
Trong trường họp (7), bài toán (1) - (4), (9), (10) mô tả sự va chạm
giữa một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi
phi tuyến ở bề mặt, các ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt.
Từ (9), (10) ta biểu diễn P(t) theo p0, Pi, co, h, utt(0,t) và sau khi tích
phân từng phần, ta được
t
P(t) = g0(t) + hu(0,t) -1 k0(t - s)u(0,s)ds,
0

g0 (t) = (P0 - hu0 (0)) cos cot + — (Pj - hu1 (0)) sin (Ot,
co
k0(t) = hcosincot.
Bằng việc khử ẩn hàm P(t), ta thay điều kiện biên (2) bởi

(11)

(12)
(13)


3

ux (0, t) = g0 (t) + hu(0, t) - j k0 (t - s)u(0, s)ds.

(14)

Khi đó ta đưa bài toán (1) - (4), (9), (10) về bài toán (1) - (4), (11) (13) hay (IX (3), (4), (12) - (14).
Các tác giả Bergounioux, Long, Alain [3], và Long, Alain, Diễm [8] đã
nghiên cúư bài toán (1), (2), (4), (8) và
ux(l,t)+KjU(l,t) + AqUt (1, t) =
0,
f(u,ut)
Ku +hằng
)ait, số không âm cho trước. Bài toán (1), (2),
X, Kp X1
là =các
(4), (8), (3’), (15) mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi
nhớt tuyến tính tựa trên một nền đàn hồi nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến
tính ở bề mặt, các ràng buộc liên kết vói lực cản ma sát nhớt.
Luận văn được trình bày theo các chuông mục sau:
Phần mở đầu tống quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua
các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn.
Chương 1, chúng tôi trình bày một số công cụ chuẩn bị, bao gồm việc
nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact
giữa các không gian hàm.
Chương 2, chúng tôi trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của
bài toán (1) - (6) trong hai trường hợp (U0,U1)EH1(0,1)XL2(0,1),U0(1) = 0 và
(U0,U,)EH2(0,1)XH1(0,1), U0(1) = 0, UJ(1) = 0. Chứng minh được dựa vào
phương pháp Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm và phưong pháp
compact yếu. Trong phần này, định lý Schauder được sử dụng trong việc
chứng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin.
Chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự ổn định và tính trơn của nghiệm bài
toán (1) - (6) trong trường hợp a = 2.


4

Chương 4, chúng tôi xét một trường hợp cụ thể để minh họa phương
pháp tìm nghiệm của bài toán.
Ke đến là phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo.


5

Chương 1
CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

1.1.

Các không gian hàm thông dụng

Chúng ta bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng và kí hiệu
gọn lại như sau:
Ư = Lp (Q), Hm = Hm (Q), H0m =H0m (Q),
Q = (0,1) QT=nx(0,T) = (0,l)x(0,T), T>0
Ta dùng các ký hiệu (v) và ||.|| để chỉ tích vô hưóng và chuẩn sinh bởi
tích vô hướng tưong ứng trên L2. Kí hiệu (v) cũng dùng để chỉ cặp tích đối
ngẫu giữa một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của một không
gian hàm. Ký hiệu III để chỉ chuẩn trong không gian Banach X. Ta gọi X’ là
không gian đối ngẫu của X.
Các ký hiệu ư(0,T;X), 1 < p < co, là không gian Banach của các hàm
đo được U:(0,T)H>X, sao cho

néu 1
nểu p = 00

Ta kí hiệu u(t), u'(t) = ut(t) = u(t), u"(t) = utt(t) = u(t), ux(t), để lần
1 , / V ổu, X Ổ2U , x
lưort chỉ u(x,t), — (x,t), —ị-(x,t), — (x,t) theo thứ tư.
ôt
õt
1.2.

Các bổ đề quan trọng.

ôu., x ,
ôx


6

Cho

ba

không

gian

Banach

B0,BJBI

với

B0cBcBj

với

phép

nhúng

liên

tục

sao cho
Bo, BỊ phản xạ,

(1.1)

B0QB với phép nhúng compact.
Ta định nghĩa:

(1.2)

W = {veư«(0,T;Bo):^ = v'eư'(0,T;Bl)},
dt
trong đó 0 < T < QO, 1 < p; < GO, i = 0,1.
Trang bị trên w một chuẩn như sau:
V=V
+ vi
II llw II IILP0 (0,T;B0) II IILPI(0,T;B,)
Khi đó w là không gian Banach. Hiển nhiên w c= LPo (0,T;B).
Ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.1 ([6], p.57). Dưới giả thiết (1.1), (1.2) và nếu li = 0,l thì phép nhúng WQLPo(0,T;B) là compact.
Bổ đề 1.2 ([6], p.12). Cho Q là mở bị chặn của RN, g, gm
e Lq(Q),l < q < 00 thỏa
(i) ||gmL(Q)-C’ vớim9im>
(ii) gm -» g hầu hết trong Q.
Khi đó: gm ->g trong Lq(Q) yếu.
Sau cùng, chúng tôi trình bày một kết quả về lý thuyết phổ được áp
dụng trong nhiều bài toán biên.
Trước hết ta làm một số giả thiết sau:
Cho V và H là hai không gian Hilbert thực thỏa các điều kiện (1.3)
(i)

Phép nhúng VQH là compact

(ii)

V trù mật trong H


J

j-»oo J

7
a(wj, v) = Ả^Wj,vj, Vv E V, Vj = 1,2...
Cho a:VxV^R là một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên
VxV và cưỡng bức trên V.
Wi
Hơn nữa, dãy {——} cũngChính

là mộtxác
cơ sở
trự’c
chuân
củasong
V đôi
hon,
ta gọi
a làHilbert
một dạng
tuyến tính:
(j) Nếu u^a(u,v) tuyến tính từ V vào R với mọi veV và
V —» a(u, v) tuyến tính từ V vào R với mọi ueV.
(jj) Đối xứng nếu a(u,v) = a(v,u), Vu, V e V
(jjj) Liên tục nếu 3M >0:|a(u,v)| (4j) Cưỡng bức nếu 3a > 0: a(v, v) > a||v||ị, Vv e V
Khi đó ta có kết quả sau:
Bổ đề 1.3 ([12], Định lý 6.2.1, p.137). Dưới giả thiết (1.3), (1.4). Khi
đó, tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert {Wj} của H gồm các hàm riêng Wj
tương ứng với giá trị riêng X- sao cho
0< X 1 < Ả 2 < . . . < Ả <..., limX = +GO

với tích vô hướng a(.,.).
Chứng minh bổ đề 1.3 có thể tìm thấy trong [12, Định lý 6.2.1, p. 127].


utt -uxx +K(x,t)u + A,(t)ut = F(x,t),0
(1)

8

Chương 2
Sự TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

ux(0,t) = P(t),
Trong chưong II chúng tôi xét bài toán sau:

(2)

Tìmu(l,t)=0,
một cặp các hàm (u, P) thỏa:

(3)

u(x,0) = u0(x),ut(x,0) = ut(x)

(4)

trong đó K(x,t), ^(t), F(x,t), u0, Uj là các hàm cho trước thỏa các điều kiện
mà ta sẽ chỉ ra sau. Hàm chưa biết u(x,t) và các giá trị biên chưa biết P(t) thỏa
phương trình tích phân phi tuyến sau đây
P(t) = g0(t) + Kut(0,ì) + Ko |u(0,t)|a_2 u(0,t)
ì'
- Jk0(t-s)u(0,s)ds,
0

(5)

trong đó a > 2,K0>Oa 0>0 là các hằng số cho trước và g0(t), k0(t) là các

hàm cho trước.
Trong chương này, ta sẽ thiết lập một định lý tồn tại và duy nhất
nghiệm yếu của bài toán (1) - (5). Chứng minh được dựa vào phương pháp
Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó rút ra các dãy con hội tụ
yếu trong các không gian thích hợp nhờ một số các phép nhúng compact.
Trong phần này định lý Schauder về điểm bất động được sử dụng trong việc
chúng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin.

0}

Trước hết chúng ta đặt:
V = {v e H1 (0,1): v(l) =
(2.1.1)


9

và một dạng song tuyến tính trên V X V
a(u,v) = ju'(x)v'(x)dx

(2.1.2)

0
V là một không gian con đóng của H1, do đó cũng là một không gian
Hilbert đối với tích vô hướng của H1.
Khi đó ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.1. Phép nhúng VQC°([0,1]) là compact và
M<?ao,iD-llv1l-Mv>
hML'-IMI-IMIV-IMIH1’ VveV-

(2.1.3)

Bổ đề 2.1.2. Dạng song tuyến tính đối xứng a(.,.) được xác định bởi
(7), liên tục trên VxV và cưỡng bức trên V.
Các bổ đề 2.1.1 và 2.1.2 là kết quả quen thuộc mà chứng minh của nó
có thể tìm thấy trong nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gian
Sobolev, chẳng hạn [6].
Chú thích 2.1.1. Ta suy ra từ (2.1.3) rằng, trên V cả ba chuẩn IIvịị J, IIv’|| và
||v|| = yỊa.(v, v) là tương đương.

2.2.

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm.

Ta thiết lập các giả thiết sau
(F): F € L‘(Qt)
(go); goEH^^T])
K E L°°(QT)
«:

(!’): a>2,K0><U0>0

^EƯ°([0,T])


10

u0 e V,Uj e L2
Khi đó, ta có định lý sau:
Định lý 2.2.1. Với các giả thiết (F), (go), (K), (X), (k o), (1 ’), (2) được

thỏa. Khi đó tồn tại một nghiệm yếu (u,p) của bài toán (1) - (5) thỏa
u G jO° (0, T; V), ut e Ư (0, T; L2), u{0,
.)eHl
(0,
T)

(2.2.1)
(2.2.2)

Hon nữa, nếu a = 2 hoặc a> 3 thì nghiệm (u,p) là duy nhất.
Chứng minh. Việc chứng minh được chia làm nhiều bước
Bước 1. Xấp xỉ Galerkin
Xét một cơ sở trực chuẩn {Wj} trong V gồm các vectơ riêng Wj của
toán tử Laplace - 02/ỔX2,
Wj(x) = ^2/(1 + Ằ,2) cos(Ằ,jX), A.j=(2j-1)^, j = l,2,...

Um(t) = SCmj(t)Wj’

;=1

(2.2.3)

(2.2.4)

trong đó cmj(t) thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến
+ (u^, wjx) + Pm(t)Wj(0)
+ {K(x, t)um (t) + A,(t)um (t), w ị} = (F(x, t), w j},

(2.2.5)

pm (t) = g0(t) + ^oum (0 + K0 |um (0, t)|a"2 um (0, t)
t
-Jk0(t-s)um(0,s)ds,

(2.2.6)


Ní(t)=JV :

+ Ko|Um(°.1:)| Um(°>T)Wj(°)

WJ|11

Um(0) = Uom=ẳamjwj->uo manh trong H1
(K(x, t)um (t) + X(t)um (t), Wj)
j=l
-(F(x,t),wj)"
um(0) = ulm = j^PmjWj ->Uo manh
trong L2
H
Pm
(t) = g0(t)
Vhnđược
(t) +viết
K0 lại
|um
(0, dạng
t)|“'2 um(0, t)
Hệ phương
trình+ này

dưới

(2.2.7)

c'mj(t) +-Jk0(t-s)um(0,s)ds,
^cmj(t) = ——jj2‘[pm(t)wj(0)
0
cmi(0) = aml, cmi(0) = pmi, 1 < j< m.
(2.2.8)

(2.2.9)
(2.2.10)
Hệ phương trình này tương đương với hệ phương trình vi tích phân
cmj(t) = Gmj(t)----12 lNj(t - t)[V.(t)w/0)
Wj 0
+

(K(x,
w.(0) Ị.

+~

sin(A. t)

x)um(x)

+

k(x)um(T),

w(2.2.11)
j)"

}

íNj^ “ TWko(T“S)Um(0>S)ds, 1 ^ j ^ m,

(2.2.12)


vằ 0
||2
WJ||

12

Gmj(t) = amjNj(t) + PmjNj(t) -y^jT j Nj(t - x)g0(x)dx
KI »
2F|Nj(t-T)(F(x,t),wj}dx.

(2.2.13)

Khi đó ta có bổ đề sau
Bổ đề 2.2.1. Giả sử các giả thiết (F), (g0), (K), (A,), (k0), (T), (2’)
thỏa. Khi đó với mỗi T> 0 cố định, hệ phưoĩig trình (2.2.11) - (2.2.13) có
nghiệm

cm=(cmi,...,cmm) trên[0, Tm] c [0, T~\.

Chứng minh. Ta bỏ qua chỉ số m, hệ (2.2.11) - (2.2.13) đuợc viết lại

duới dạng
c = Uc,

(2.2.14)

c = (c1,...,cB), Uc = ((Uc)1,...,(Uc)J,
(Uc)j(t) = Gj(t) + jNj(t - x)(Vc)j (x)dx,
0
(Vc)j(t) = f,j(c(t),c'(t)) + J f2j(t - s,c(s))ds,
0
Gj(t) = amjN;(t) + PmjNj(t)-

W:(0) ị
-J^rjNj(t-x)g0(x)dx
wj 0

-^-jjlJ(F(x,x),wj)dx.
Wj 0

Các hàm fjj: R2m —> R, f2j: [0,T] X Rm —» R cho bởi


13

f2 j c>=— 2- k0 (t>s ci wi

fij(c,d) =------l— K0 ỲjCiwi(°) Zciwi(°) wj(°)
Wj |_ i=l
{m
+

\

/

x0
Xd,w,(0,
V i=l
)
w ÍOÌ
Wj

V i=l
/m

Wj(0)+(
\ V i=l

)

\

/m

\

\

K
)

Xciwi
V i=l

Zdiwi
) /

(2.2.18)
>wj)

m
i=l

Với mỗi Tm > 0, M > 0, ta đặt
S = ỊceC1([0,Tm];Rm):|c||1trong đó
m
INI, = ||c||0 + |c|0 với ||c||# = sup |c(t)|j, |c(t)|( = £|Cj(t)|
0^t
(2.2.20)

i=l

Dễ nhận thấy s là một tập con lồi đóng và bị chặn của
Y = c1 ([0,Tm];Rm). Áp dụng định lý điểm bất động Schauder, chúng ta sẽ
chứng minh toán tử u: s —» Y được xác định bởi (2.2.15) - (2.2.19) có điểm
bất động. Điểm bất động này là nghiệm của hệ (2.2.11).
a) Trước hết, ta chứng minh Ư là ánh xạ từ s vào chính nó
Trước hết, ta chứng minh Ư: Y —» Y. Lấy c e Y, để chứng minh

Uc G Y chúng ta cần bổ đề sau
Bổ đề 2.2.3: Với hàm F: [0,T] —» M, F e L1 (0,T) thì hàm
H(t) = ÍNj(t — T)F(x)dx e C'([0,T]).
0
Chứng minh bổ đề 2.2.3:


)

14

H(t +h)-H(t) _ 1 f sin A,j (t + h — x) - sin Xị (t - x)
=-Lf
L.J J0
t+
h
+x
J
(t + h - x) - sin Xị (t - x)

(t + h - x) - sin Xj (t - x)

F(x) —> Xj C0SẰj(t - x)F(x) khi h —> 0

Theo định lý Lebesgue
1 tpsinÀ,:(t + h-x)-sinA,:(t-TÌ
ị
_
------------ -—------------------F(x)dx—> fcos^j(t-x)F(x)dx
Vo h

0
khi h —» 0
Tương tự, ta cũng có:
sinẦ(t + h - x)
------V"----------FW

f--------—---------F(x)dx —>0 khi h —» 0
,h

H ’(t) = j cos Xj(t - x)F(x)dx.
0
Lại sử dụng định lý về sự hội tụ Lesbegue, ta cũng chứng minh được
H'(tn) —» H'(t) với mọi dãy tn —» t trong [0,T].

Bổ đề được chứng minh xong.


15

Sử dụng bổ đề 2.2.3 và các giả thiết (F), (g0), (K), (Ấ), (k0), (T), (2’),
chúng ta suy ra Gj e ỡdT^T^R) và (Vc)j e C°([0,Tm];R) với mọi
([0,Tm];RmỊ, hơn nữa từ (2.2.15) suy ra

(Uc) 'j (t) = G 'j (t) +1N 'j (t - T)( V c)j (x)dx
0

(2.2.21)

và U: Y —» Y. Lấy ceS, ta suy ra từ (2.2.15) - (2.2.21) rằng
|(Uc)(t)|l < 10(1)1, + 1 mTm I Vc||0

(2.2.22)

|(Uc)’(t)|, < |G*(t>|, + mTra||Vc||0

(2.2.23)

Mặt khác, ta suy ra từ (F), (g0), (K), (k), (k0), (T), (2’) và (2.2.16),
(2.2.18), (2.2.19) rằng
|Vc||0
(2224)

= Ị3(M,T) VceS

N1(f1j,M) = sup||flj(y,z)|:||y||R„ N2(f2j,M,T) = sup j|f2j(t,y)|: 0 < t < T,||y||Rm < M
Do

vậy

từ

(2.2.22)

-

(2.2.25)

ta

thu

|Uc||1<|G|1T+(l + L)Tmp(M,T),
trong đó
IIGII.T=IIGIIOT+IIG1IOT=^PTIGWII + ™pJGwli
Chọn

M

>

0

và

Tm

M>2||G||1T và m(l + l)Tmp(M,T)
>

0

sao

cho

được

16

Do đó, ||Uc|| < M Vc 6 s, có nghĩa là u là ánh xạ từ s vào chính nó.
b) Bây giờ ta chứng minh toán tử u liên tục trên s. Lấy c,d e s, ta có
(Uc)j(t)- (Udựt) = jNj(t-x)[(Vc)j(x)- (Vd)j(x)]dx (2.2.29)
0
Vì vậy
|Uc-Ud||0 <-ỉ-Xm||Vc-Vd||0

(2.2.30)

Tưong tự, cũng từ đẳng thức
(Uc)'j(t)- (Ud)' (t) = }N’ (t -x)[(Vc)j(X)- (Vd)j(x)]dx (2.2.31)
0
Ta thu được
|(Uc)’-(Ud)Ị
(2.2.32)

Nhờ các đánh giá (2.2.30), (2.2.32), ta chỉ cần chúng minh rằng toán tử
V: Y —» c° ([0,Tm];Rm) là liên tục trên s. Ta có
(Vc)j(t) - (Vdụt)=- fẶd(t)4W
+ |(f2j(t - s,c(s)) - f2j(t - s,d(s)))ds
0

<2'2'33)

Từ các giả thiết (F), (g0), (K), (X), (k0), (L), (2’) ta suy ra rằng tồn tại
một hằng số KM > 0 sao cho

supỉ|flj(c(t);c'(t))-flj(d(t),d'(t))
át- KM (||c ~ d||0 +||c'-d|0j Vc,deS
Ta có bổ đề sau
Bổ đề 2.2.4, Giả sử f2j :[0,Tm]x

—> M. là hàm liên tục và đặt


17

(WjC){t) = ịfv(t-s,c(s))ds, ceC°([0,r„];R")
0

(2.2.35)

Khỉ đó toán tử Wj : C^O^lỉR'" ) —> C°([0,7^];R) ỉà liên tục trên s.
Chứng minh. Bổ đề được suy ra một cách dễ dàng nhờ vào tính liên
tục đều của hàm f2j trên [0,Tm] X
.
Từ (1.2.34), (1.2.35), (1.2.36) ta suy ra

|Vc—Vd|0 = sup skvc)j (x) - (Vd)j (x)
0+ sup X|(Wjc)(t)-(Wjd)(t))
Sử dụng bổ đề 2.2.2 và bất đẳng thức (2.2.36) chứng tỏ rằng
V: Y —» c° Ị[0,Tm];Rm) là liên tục trên s.
c) Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng tập us là một tập con compact của

Y.

Lấy ceS, t,t'e[0,Tm]. Từ (2.2.15) ta viết lại
(Uc)j (t) - (Uc)j (t ’) = Gj (t) - Gj (t')
+1 Nj (t - x)( Vc)j (x)dx - J Nj (tx)(V c)j (x)dx
00
= Gj (t) - Gj(t *)+j[Nj (t - X) - Nj(t •- X)] (Vc)j (x)dx
0
t

-|Nj(t'-x)(Vc)j(x)dx

Do bất đắng thức
Nj(t)-Nj(s) <|t-s|, Vt,ss[0,Tm]

và từ (2.2.24), (2.2.37), ta thu được

{2231)

(2.2.38)


18

|(Uc)(t)-(Uc)(t')|1 =X|(Uc)j(t)-(Uc)j(t1)

j=l

<|G(t) -G(t’)|, +(Tm +f )|t-t'|||Vc||0

(2.2.39)

<|G(t)-G(t’)|1+P(M,T)(Tm+f)|t-t'|
Tương tự, từ (2.2.21) - (2.2.24), ta cũng thu được
|(Uc)'(t) - (Uc)'(t % < |G '(t)- G '(t % + P(M,T)(ẰmTm +1)11 -1 'I
(2.2.40)
Do USc s và từ đánh giá (2.2.39), (2.2.40), ta suy ra được rằng họ các
hàm us = {Uc,c e s} là bị chặn và đẳng liên tục đối với chuẩn III của không
gian Y. Áp dụng định lý Arzela-Ascoli đối với không gian Y, ta suy ra được
là compact trong Y. Do định lý điểm bất động Schauder nên Ư có điểm
bất động ceS, cũng chính là nghiệm của hệ (2.2.11). Bổ đề 2.2.1 được chứng
minh hoàn tất.
Dùng bổ đề 2.2.1, hệ phương trình (2.2.5) - (2.2.7) có nghiệm
(um(t),pm(t)) trong một khoảng [0,Tm]. Các đánh giá tiên nghiệm tiếp theo
cho phép chúng ta lấy Tm = T với mọi m.
Bước 2: Đảnh giá tiên nghiệm.
Thế (2.2.6) vào (2.2.5), sau đó nhân phương trình thứ j của hệ (2.2.5)
cho cmj ’(t) và cộng các phương trình theo chỉ số j, ta có
(u"m(t),u'm(t)) + (u

mx ’^mx ) + go(t)um(0,t)
+ x, u'm (0, t)2 + K0 |um (0, t)|“"2 um (0, t)um (0, t)

-»m(0, t) Jk0 (t - s)um (0, s)ds
0
+(K(x,t)um(t) + X(t)um(t),wj} = (F(x,t),wj}


19

Tích phân từng phần (2.2.41) theo biến thời gian từ 0 đến t, chúng ta có
được phương trình sau bằng vài sự sắp xếp lại
sm(t) = sm(0) + 2go(0)uom(0) - 2g0(t)um(0,t)
+ 2 J( F(s), um (s)} ds - 2j ( K(x, s)um (s), um (s)) ds
00
- lị (Vs)um (s),um (s))ds + 2_[ g0(s)um (0,s)ds
00
t

ír

^

+ 2jum(0,r) Jk0(r-s)um(0,s)ds dr
0

Vo

)

= sm (0) + 2g0 (0)u0m (0) - 2g0 (t)um (0, t)
+Ij + I2 + I3 + I4 + I5
sm(t)= um(t)2 +||umx(t)||2 +—K0|um(0,t)|“
t
+ 2A.0j|um(0,s)
0
Sử dụng bất đẳng thức
2ab8

Va,beM,Vg>0

và các bất đẳng thức sau
K (0, t)| < ||um(t)||c„(S) < ||umx (t)|| <
ựsm(t)

00
Chúng ta đánh giá vế phải của (2.2.42) như sau
(t)um (0, t) < - gổ (t) + s|um (0, t)|2 < - g2 (t) + sSm (t)


£0

0

VO

0

20

I, = 2 j (F(x,s),um(s)}ds < J||F(s)|f ds++2|k0(0)|}sm(s)ds
J||um(s)
0
00
0
^J|F(s)fds + |Sm(s)ds
0
0
12 =-2j(K(x,s)um(s),um(s)}ds<2||K||L„(Q Jsm(s)ds

00
13 = -2 j ( A.(s)um (s),um (s)) ds = -2 J k(s) ||um (s)||2
ds
0
0
^2INUo,T>k(s)dS
0
14 =2fgo(s)uJO,s)ds<|g0||
0’0

+Ju* (0,s)ds
t

-

|so|L,co,T)+
{Sm(s>
ds
0

ír

t

15 = 2jum(0,r) Jk0(r-s)um(0,s)ds
0
VO
= 2um(0, t)J k0(t - s)um (0, s)ds
0
t

-2jum(0,r)

fr

V

Jko(r-s)um(0,s)ds

t

dr-2k0(0)Ju*

(0,r)dr

< eSm(t) + ỉ}kị(0)de|Sm(s)ds + 2 tj|ko(0)|2de}Sm(s)ds
^£Sm(t)


+(ìllk
7
1 £ ll°ullL (0,T)

ú

+(2+IIKIIL" +2IWIL'+glk
21
+ 2/f ||k0||L2(0 T) + 2|ko(0)| j I Sm(s)ds

(2.2.52)

°IIL2(0,T)
Mặt khác, từ (2.2.7), (2.2.43), (go), (ko), (T), (2’) và bổ đề 2.1.1, ta có
Sm(0) + 2go(0)um(0)
2
um(0) 2+||uim(0)||2+^K0||u0m(0)||a + 2g0(0)u0m(0)
a

(2.2.53)

trong đó: Ci là hằng số chỉ phụ thuộc vào u^u^g^k^a.
Kết hợp (2.2.42), (2.2.43), (2.2.47) - (2.2.53) ta được
Sm(t)^C1+-||g0||

+ g0 + 2sS (t)
L2(0,T)11 ljL (QT)
+ 2|k0(0)|)jsm(s)ds
0
+ 2^T k0

m
L2(0,T)

Chọn 8 = —. Từ (2.2.54) ta có:

Sm(t)<Mị1»+N«1>JSm(s)ds
0

MịJ) = 2(Cj +-||g0||

(2.2.55)

+ F L2(QT)
Ư° (0,T) go L2(0,T)

Nị‘)=2(2 + ||K||L„+2|MLl+i||k0||L2(0>T)+2VT

L2(0,T)

+ 2|

k0(0)|)
Sử dụng bổ đề Gronwall, chúng ta rút ra từ (2.2.55), (2.2.56) là
Sm(t)
=

CT,

Mặt khác từ (2.2.6), (2.2.43), (2.2.57) ta rút ra:

Vte[0,T]

(2.2.57)


um(0’-C(0,T,=ílu"-(0’t)
2dt

(2.2.6 la)

ra

22
(2.2.61b)

0, t) trong L2 (0, T)
Pm(t)|<||go||
ra

(2.2.61c)
a-1
(2.2.61d) nC„ V r
!£r I k0 (s)ds + x0|um (0, t)
0 + í^
í^2K0
lư°(0,T)
Jị
(2.2.61e)

2X.„
Từ (2.2.58), (2.2.59) suy ra:
lpm(t)|L2(„,x>=ÍJ|pm(t)
vo

1
^2

<Ị}(cị1)+x0|um(0,t)|Ị2dt2

< í 2j (cV° )2 dt + 2 J x?0 |um(0, t>
1
2TỊCT)Ị +X0CT — CT, Vm
là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào T.

Bước 3: Qua giới hạn
Từ (2.2.43), (2.2.58) - (2.2.60) ta suy ra rằng, tồn tại một dãy con của
dãy {um, pm}, vẫn kí hiệu là {um, pm}, sao cho:


23

Áp dụng bổ đề về tính compact của Lions (xem [6], p.57), kết hợp với
H1(0,T)QC°([0,T]), ta có thể suy từ (2.2.6la) - (2.2.6ld) rằng tồn tại một
dãy con vẫn kỷ hiệu là {um}, sao cho:
Um —> u

trong L2 (QT) mạnh và a.e trong Qx (2.2.62a)

um(0,t) -> u(0,t) trong C°([0,T])
Từ (2.2.62b), ta có:

(2.2.62b)

pm(t) = go(t) + K0|um(0,t)|“-2 um(0, t)
ị
’
~

- j k0(l - s)um(0,s)ds -> P(t)

(2.2.63)

0
trong c°([0,r]) mạnh
với
P(t) = g0(t) + K0 |u(0,t)|“~2 u(0,t) -}k0(t - s)u(0,s)ds
0

(2.2.64)

Kết hợp với (2.2.6ld), ta đuợc
pm(t) = ĩm (t) + v*m(0,t) -> P(t) + A,0uf(0,t) = P(t)

(2.2.65)

trong L2(0,r) yếu
Qua giới hạn trong (2.2.5) - (2.2.7) nhờ vào (2.2.6la), (2.2.6lb),
(2.2.61e), (2.2.65) ta có
r
-|(u'(t),v) + {ux,vx) + P(t) v(0)
+ (K(x,t)u(t) + Ằ.(t)u'(t),v)=(F(x,t),v), VveV
< u(0) = Up u'(0) = u,,
P(t) = g0 (t) + ^out (°»t) + Ko I ■u(0, t)|a“2 u(0, t)
t
- Jk0(t-s)u(0,s)ds,
0
Sự tồn tại nghiệm được chứng minh xong.

(2.2.65)


vtt -

+ K(x, t)v+X(t)v, = 0

24

Bước 4: Sự duy nhất nghiệm.
Giả sử (u, P),(u,P) là hai nghiệm yếu của bài toán (1) - (5) thỏa
u,u € L"(0,T; V); u„í € L"(0,T;L2)
. u(0,.),ũ(0,.) € H‘(0,T)

(2.2.67)

P,PeL2(0,T)
= u - u, Q = p - p là nghiệm yếu của bài toán sau:

vx(0,t) = Q(t),v(l,t) = 0
< v(x,0) = 0, vt(x,0) = 0

(2.2.68)

Q(t) = Vt(0,t) + K0(H(u(0,t)) - H(u(0,t)))
- j*k0(t-s)v(0,s)ds
0
với H(z) = |z|a 2Z
Chúng ta xét bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.3. Cho u là nghiệm yếu của bài toán

<

utt +(!>!= 0, 0 < X < 1,0 < t < T
ux(0,t) = /Ị(í),w(l,í) = 0
u(x,0) = u0,ut(xì0) = uỉ

\
2

'(0||2+Ỉ
ịu

j(0||2 + |/Ị(i)íí'(0, s)ds + J(<Ị>ị (s),u'(s)}ds
00
u

II2 1
II
II2
> + — \\u\\
— \\u,II 211 0x11

h.k.n trên [0;T]

Hon nữa: nếu uữ = ux = 0 thì xảy ra dấu bằng ở bất đẳng thức trên.