Xây dựng các l hàm padic
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (472.29 KB, 40 trang )
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sứ PHẠM TP. Hồ CHÍ MINH
---———oOo ----------—
LỜI NÓI ĐẦU
Mặc dù các số p-adic đã được xây dựng hơn một thế kỷ nhưng giải tích p-adic
chỉ mới phát triển mạnh mẽ và trở thành một chuyên ngành độc lập trong khoảng
40 năm trở lại đây. Sự phát triển vượt bậc này chính là nhờ việc phát hiện những
mối liên quan sâu sắc của giải tích p-adic với những vấn đề lớn của số học và hình
học đại số. Chẳng hạn, A.Wiles đã dùng biểu diễn của các L-hàm p-adic của các
dạng modula như là một công cụ chủ yếu để chứng minh định lý Fermat lớn nổi
tiếng.
Vì vậy việc nghiên cứu các L-hàm, các L-hàm p-adic đóng một vai trò quan
trọng và then chốt trong lý thuyết số và chúng tôi đã chọn đề tài “ Xây dựng các Lhàm p-adic”.
Trong luận văn này trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây
dựng các L-hàm p-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và tính giá trị của các
L-hàm p-adic này tại s = 1 và tại các số nguyên s > 2.
về bố cục, luận văn được chia làm ba chương.
Chương 1. Đại số và giải tích p-adic. Trình bày các bước xây dựng trường số
p-adic Qp, nêu một số tính chất đại số và giải tích của trường p-adic, khái niệm
đại số các hàm chỉnh hình p-adic, đại số các hàm phân hình p-adic trên một tập mở
nào đó để làm nền tảng cho việc xây dựng L-hàm p-adic.
Chương 2. Hệ số Bemoulli và L-hàm phức. Bao gồm hai §.
§1 trình bày về hệ số Bemoulli, đa thức Bemoulli, nêu khái niệm về đặc trưng
Dirichlet từ đó định nghĩa hệ số Bemoulli tổng quát, đa thức Bemoulli tổng quát
liên kết với các đặc trưng Dirichlet.
§2 đưa ra khái niệm hàm zeta và L-hàm phức liên kết với đặc trưng Dirichlet,
Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
nêu một số tính chất cơ bản của L-hàm phức như : phương trình đặc trưng của LMã số : 60 46 05
Bn
hàm phức, thăng dư của F (z)z tai z = 0, công thức L(1 - n,x) =---------------------------------------------------— với
n
n > 1 và giá trị của L-hàm tại s = 1. Từ đó suy ra giá trị các hệ số Bemoulli tổng
quát và tính chất của hàm zeta.
•
Chương 3. Xây• •dựng
L-hàm p-adic. Đây là chương quan trọng nhất của luận
văn, trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L-hàm
p-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và giá trị của nó tại s = 1 dựa
DÃN
KHOA
:
theơlwasawa, đặc biệt chúng tôi đãNGƯỜI
tính giáHƯỚNG
trị L-hàm
p-adic
tại HỌC
các điểm
nguyên
PGS.TS.
MỴCụ
VINH
QUANGIII gồm năm
dương bằng cách sử dụng r- biến đổi của một
hàm số.
thể chương
§.
§ 1. Phép nội suy hàm phân hình p-adic. Tìm điều kiện cần, điều kiện đủ để một
dãy số p-adic trong Qp có thể nội suy thành hàm phân hình p-adic.
Thành phố Hồ Chí Minh - 2009
CAO TRẦN TỨ HẢI
XÂYDựNG
CÁC L-HÀM p-ADIC
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
§2. L-hàm p-adic. Như ta đã biết L(l-n,x) =--------------------— G Q(x) là các số đại số
n
trên Q nên ta xem chúng thuộc Qp. Một vấn đề đặt ra là có tồn tại hàm phân hình
Bn y
,
p-adic f sao cho f(l-n) =-----------------------------------------— L(1 -n,x), n > 0 hay không ? Rât tiêc dãy
không phải là dãy nội suy p-adic. Vì vậy chúng ta phải chỉnh sửa một
chút để có được dãy nội suy p-adic. Trong § này chúng tôi chứng minh dãy
Ị- —j với b„ = (l - x„(p)p ~' ) „, , x„ = X®J" là dãy nội suy p-adic. Do
n
B
X
n
L
đó tồn tại hàm phân hình p-adic thoả Lp (1 - n,ỵ) = được gọi là L- hàm p-adic
liên kết với đăc trưng X§3. Toán tử T- biến đổi. Xây dựng T- biến đổi và một số tính chất của nó.
T- biến đổi được xem như là một “công cụ” hữu hiệu để tính giá trị của L - hàm
p-adic tại các điểm nguyên dương.
§4. Công thức tính Lp(l,x) • Xây dựng chi tiết cách tính giá trị của L-hàm padic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại s = 1.
§5. Công thức tính giá trị L-ham p-adic tại các điểm nguyên dương. Xây dựng
chi tiết cách tính giá trị của L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại tại
các số nguyên s > 2.
Do khả năng và trình độ có hạn, trong luận văn này chắc chắn còn nhiều sai sót.
Rất mong được sự cảm thông, góp ý chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn đồng
nghiệp.
Nhân dịp này chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở Trường Đại học Sư
phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình truyền thụ kiến thức, giúp đỡ trong suốt quá
trình học tập. Đặc biệt xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Mỵ Vinh Quang đã
trực tiếp ra đề tài hướng dẫn và cho những ý kiến quí báu.
Tp.HCM, ngày 01/06/2009
Người thực hiện
Cao Trần Tứ Hải
^P^-Tk11
tron
a,ai,...,aỵ
ể
đó
eZ.
a
,P2,...,Pk
p,pi
được
gọi
là
chỉ
là
số
các
p-dic
số
của
X,
nguyên
tố
kí
a
hiệu
phân
=
ordp(x).
ước ordp(0) = oo. Với mọi X, y e Q dễ dàng chứng minh được
CHƯƠNG 1.
ĐẠI SỐ V GIẢI TÍCH p-ADIC.
Trong chương ny chng tơi trình by những kiến thức cơ bản nhất về đại số V giải
tích p-adic để phục vụ cho phần chính của luận văn (chương 3).
§1. CÁC TRƯỜNG SÓ p-ADIC.
ordp(xy)
=
1.1.1.
Trường số p-adic.
+ ordp(y) và
ordp(x + y) > min|ordp(x),ordp(y)|.
Khi
Cho trước số nguyên tố p, mọi X e Q\{0} đều có thể phân tích được dưới dạng
ánh xạ trên Q được xác định bởi
ordp(x)
khi
x^O
khi x= 0
lập thành chuẩn phi Archimade trên Q, nghĩa là
i) |x|>0, VxeQ, |x| = 0 X = 0.
ii) |xy|=|x||y|, Vx,ysQ.
iii) |x + y| < maxỊ|x|,|y|Ị, Vx,yeQ.
Nguyên lý tam giác cân có vai trò hết sức quan trọng trong trường với chuẩn
phi Archimade : “Nếu |x| * |y| thì |x + y| = max||x|,|y|Ị ”.
Chú ý rằng trên trường Q với chuẩn trên là không gian định chuẩn không đầy
đủ. Ta xây dựng được trường bao đủ Qp của Q , chuẩn trên Qp là sự mở rộng
Mỗi phần tử trong Qp đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
X=
a_mp-rn + ... + a0 + ajp + ...+ anpn +... với 0
được gọi là biểu diễn p-dic của X, khi đó |x| = pm.
Trường Qp có các tính chất đặc trưng sau đây.
đó
biệt
Ta
và
qui
i)
Qp chứa Q.
ii) Q trù mật trong Qp.
iii) Qp đầy đủ.
Trường thoả ba tính chất trên được xác đinh duy nhất. Trường Qp được gọi là
trường số p-adic. Trường Qp không đóng đại số.
Vành Zp=|xeQp:|x|
compact
nên
Qp
compact
địa
phương.
Các
tập
Z,N,|meN
I
m:p-lỊ
trù
mật trong Zp với tôpô cảm sinh từ Qp.
/pZp
=
Z/pZ
=X
Trường k = Zp/pZD=Z/pZ = FD được gọi là trường thặng dư của QD. Tập
= Fp được gọi là trường thặng dư của Qp. Tập
Xe
Qp* = Ịpr I r e
zỊ cùng với phép nhân lập thành một nhóm gọi
là nhóm
giá trị của Qp.
Gọi Qp là bao đóng đại số của Qp, với mỗi aeQp, ta gọi
IÌ_1
Xn +an_1x
+ ... + a0 EQ [X] là đa thức tối tiểu của a. Khi đó Qp cùng với
P
1
chuẩn được xác định bởi |a| = |a0|n là không gian định chuẩn phi Archimade chứa
Qp. Lúc này Qp lại không đầy đủ theo chuẩn trên. Bao đủ của Qp là không gian
p-adic phức Cp. Đồng thời ta cũng có Qp không compact địa phương. Qp có
trường thặng dư k là bao đóng đại số của k = Fp, nhóm giá trị
:j|x| xeQp
Ị
= |pr| reQỊ. Dãy -ỊxnỊcQp là dãy Cauchy khi và chỉ
khi lim |xn+1 -xn| = 0. Neulimxn=x^O thì tồn tại N > 0 sao cho
n—»00
n—»00
|x| = |xn|, Vn > N .
Cho K là trường với chuẩn phi Archimade, M ^ 0 là số p-dic cho trước.
Va,beK, ta nói a quan hệ đồng dư với b theo modulo M nếu |a -b| < |M|. Kí hiệu
a = b ( mod M ). Trên trường với chuẩn phi Archimade, quan hệ đồng dư theo
modulo M là một quan hệ tương đương.
Tiêu chuẩn Eisenstein : “Cho đa thức f(x)=a nxIÌ+...+a1x+ a0, với
aịeZp,i = 0,n thoả mãn aị=0(mod p) với 0
= sup
n
c
z
1.1.2.
của
đon vị
và
đại
Teichmuller
1.2.2.
Đại
số
Banach
hàmdiện
chỉnh
hình
trong Q c= Qp (nếu p = 2). Vì
vậy ta có Căn
thể xem
tu(a)
e các
, tu(a)
đại
số
trên
Q.PK- .
n
bậc
củaarộng
đơnhữu
vị hạn
trên
trường
Fđược
là nghiệm
nàotrưng
đóKcủa
Gọi
là ánh
trường
mở
Qp sao
cho
KcQp.
Khi
đó
là đa thức X -1. Tập
KhiKCăn
đó
xạnm
h->
ĩn(a)
từ của
—»
gọi
là đăc
Teichmuller.
căn bậc n với
của đơn vị lập
thành
nhóm cyclic
cấp n.phi
Căn của đơn vị là trên
một căn
trường compact địacác Trên
phương
sinh
chuẩn
K.
trường Qp , tôpô
nếu p >cảm
2 thì căn
bậc nbởi
của đơn
vị tồn tại khiArchimade
và chỉ khi
bậc
n
của
đơn
vị
với
n
là
một
số
nguyên
dương
nào
đó.
£,
được
gọi
là
căn
nguyên
Gọi
K[[x]]
là
đại
số
của
tất
cả
các
chuỗi
hàm
luỹ
thừa
hình
thức
của
X.
Với
mỗi
n = p -1, nghĩa là căn đơn vị trong Qp chỉ có thể là các đại diện Teichmuller khác
00
thuỷ bậc n của
đơn vị nếu nó là phần tử căn bậc n của đơn vị và không tồn tại số
không, nếu p = 2A thì
căn= 2đơn
chỉ ta có
hoặcn|. Đặt
- 1 . Trên trường Qp đóng
= A(x)
anxn Evị
K[[x]]
địnhthể
nghĩalà|A|1= sup|a
nguyên dương m < n sao cho Ẹ, là căn bậc m của
đơn vị, nói cách khác Ẹ, có cấp là
n=0
n
đại
số nên
tập cyclic
căn bậccác
n của
đơn
vị
gồmđơn
n số
khác
nhau.
n trong
nhóm
căn
bậc
n
của
vị
hay
Ẹ,
là
phần tử sinh.
P = |A E K[[x]] I |A| < 00 Ị.
:
c
K
đề Hensel
: cPK c= K[[x]],
“Cho
F(x)
c0 +
c1x + ... + cnxn eZp[x]. Gọi
là đại số con củaBổ
K[[x]]
và K[x]
K[x]
trù =mật
trong
+
2c2
+
...+
ncnxn_1 §2. eZp[x]là
đa THỪA
thức HÌNH
đạoTHỨC
hàmp-ADIC.
của
F(x).Cho
CHUỒI LUỸ
a e Zp sao cho F(a) = 0 (mod p) và F'(a) ^ 0 (mod p). Khi đó tồn tại duy nhất
b e Zp là nghiệm của đa thức F(x) và b = a (mod p) ”
Với A = ^ anxn E PK và E Qp thoả mãn |ẽj <1 ta có
dụnghình
bổ đềp-dic.
Hensel, ta suy ra được trên trường Qp , phương trình
HàmÁp
chỉnh
n=0
Kpcủa
trường
đại số Qp, xét chuỗi vô hạn ^a n , ta
-x = 0 luôn có p nghiệm Trên
phân trường
biệt a0,acon
_1 thoả
aị =ip-dic
(modđóng
p). Các
1,...,a
<||A|||dđại —»diện
0 khi nTeichmuller
^ GO.
nghiệm
này
tương
ứng
được
gọi
là
các
của
0,l,...,p-l.
nhận thấy ^ an hội tụ khi và chỉ khi lim an = 0.
X —^CO
Nhận xét rằng các đại diện Teichmuller
của 1,2, . . , p -1 là các căn bậc p -1 của
Do đó A chỉnh hình trong quả cầu mở B(0,1) = 00 Ịx E Qp I |x| < 1 Ị. Nhưng hàm
đơnTavị.gọiHơn
nữa
nếu
p
>
2
thì
các
đại
n diện Teichmuller của 2,3,. . ., p -1 không là
bán kính hội tụ của f(x) = ^ anx (an e Q ) là số thực được xác định
chỉnh
số
hữuhình
tỉ. trong quả cầu mở B(0,1) chưa hẳn thuộc PR ■
n=0
n
mỗi=aeZ
tai dàng
duy nhất
môt
đai diên Teichmuller a; sao cho
A(x)=^anxVới
, B(x)
^ bnnx, ntồn
ta 00dễ
khẳng
định
A
n
Jr. Chuỗi an=0
n=0
phân kỳ nếu |x| > r. Nếu 0
nx hội tụ nếu |x| < r,
= a (mod p). Kí hiệu ĩu(a) = ai() được gọi làn=0
đại diện Teichmuller của a. Khi đó
i) ||A|| > 0, IIA|| = 0 ^ A = 0.
có thể kiểm tra được co(ab) = rữ(a)ĩn(b) và co(a + p) = Uĩ(a). Đặt
ii) ||A + B|| < maxỊ||A||,||B||Ị.
U = Zp =
I |x|= =|C|||
lj,AD
l +|| qZp
iii)ỊxeZp
||CA||
||, =
||AB
= ||A||||B||.
00
| =rsốsao
2 anx[Ị
hộitrường
tụ p( hoặc
í cho
p chuẩn
khi
>2K. phân kỳ ) thì chuỗi
là đại
định
trên
n=0 khả nghịch
, khi đó u là nhóm nhân các số nguyên p-dic
00 1.2.3.
Mệnh
đề.
[p
khi
p
=2
^ anxn hội tụ là
( hoặc
phân
kỳ ) Vx
e K, |x| =K.
r.
đại số
trên
và D là nhóm con của u chứa (P^,||.||)
tất cả các phần
tửBanach
dạng 1 +
qa trường
, a e Zp. Đặt
n=0} là dãy Cauchy bất kỳ trong (P ,||.||),
Giả sử {A
k
V = {±l} nếu p = 2, đặt V làK00 nhóm cyclic gồm tất cả các căn bậc p -1 của đơn vị
Xét chuỗi luỹ thừa f(x) = anxn (an e K), với X cố định thoả |x| < r, nếu
nếu p > 2. Với mỗi a e u,n=0
ta dễ dàng chứng minh được xn(a) = a (mod q) do đó
00 1
00
(ĩn(a))
asl
(mod
q). Đặt <a > = (tn(a))
a e 1 + qZp = D , khi đó ađược biểu
n_1
a
k)xI1
a
k)
f(x) hội tụ thì f(x) có đạoAhàm
f'(x)
, hơn
f và
cóỊ cùng
Z n= ^’naíinx <=K.
Tanữa
có II
Akf-A
II = «bán
k(x) =
n «n . w ^
diễn thành tích của nj(a) eV và < a >e D. Rõ ràng
cách biểu diễn này là duy nhất
n=i
n=0
n
nên
u
=
V
X
D
.
kính hội tụ. Từ đó suy ra hàm f(x) khả vi vô hạn lần. Vì lý do đó ta gọi hàm
k,l —> 0.00Suy ra I a^ Ị là dãy Cauchy trong K với n > 0 nên lim a[^ = an E K
Gọi Q
c=tronglà
trường
gồm tất cả các số phức đại số trên Q.
Do Q (Z Qp nên
e K) là hàm chỉnh
hình
^quả
'cầu
k mở
n^oo
c
n=0
Q cz Qp và mọi căn đơn vị trong Qp đại số trên Q nên đều nằm trong Q . Nhóm
(0,r) = {xeK I I x| < r Ị. Thương hai hàm chỉnh hình trên một tập mở nào đó
V
Q cz Qp ( nếu p > 2) hoặc là đồng nhất với nhóm nhân căn bậc hai của đơn vị
a
n an
(k)_
a a (l)
a
n n
(k)_ a
ta được sup
< 8, Vk > N. Đặc biệt với k = N ta có
n
í'M'\
ỉupaỊjN^-an < 8,
sup
n
|an| < max| -an , aJjNM,Vn
mà
^
nên
’
an| < maxỊs,||AN|||,Vn. Do đó ||An|| < max|e,||AN||Ị hay An e PK. Hơn nữa từ
, Vk > N suy ra II Ak - A|| < 8, Vk > N nên lim Ak = A trong
k-»00
n
là đại số Banach.[]
1.2.4.
Hàm logarithm p-adic.
00 _____________________________________________________
Chuỗi hàm luỹ thừa log(l + x) = V—-----------------------------------------Xn có bán kính hội tụ là 1 trong Q_.
n“ì
n
Đặt D = Ịa e Qp I |a-l| < lỊ khi hàm số log : D —> Qp xác định bởi
00 /_i\n
loga = log[l + (a -1)] = ỵ~^-(a 1)"
n=l
được
gọi
là
hàm logarithm p-adic.
logarithm p-adic.
Sau
đây
là
các
n
tính
chất
cơ
bản
của
hàm
log(xy) = logx + logy , V x,y e D
và logex = X, e ogx = X trong đó ex = V —— .
_ n!
n=n
Bây giờ ta thác triên hàm logarithm p-adic từ log: D —»Qp thành
—*
— —*
log : Qp —» QD mà vẫn đảm bảo tính chỉnh hình. Vx e Q v , giả sử |x| = pr với
với ĨU(XJ ) là đại diện Teichmuller tổng quát của Xị, <Xị> nằm trong quả cầu mở
B(l,l) = D. Do đó x=Xpĩn(x1) < Xị >. Đặt
00 /1x11
logA
ta chứng minh {Akj logx
hội tụ=về
n
00
EK[[X]]
n=0
n=l
không
. Thật vậy, {Ak}khi
là đó
dãylogx
Cauchy
suyphụ
ra thuộc vào cách chọn nghiệm Xp và là hàm chỉnh hình trên
—*
■> ,
. Đồng thời hàm này có các tính chất sau :
co /_i\n
logx = y ——(x-l)n với |x-l| < 1 .
n=l n
ii) log(xy) = logx + logy , V x,y e Qp.
, „
_
°° Yn
iii) logex = X, e ogx = X trong đó ex = ^ — .
i)
iv) logp = 0.
v) log : Qp —> Qp là toàn ánh.
n=n n '
CHƯƠNG 2.
HỆ SÓ BERNOULLI VÀ L-HÀM PHỨC
Chương này không liên quan gì với p-adic . Chúng tôi trình bày những kiến thức
về hệ số Bemoulli, đa thức Bemoulli, nêu khái niệm đặc trưng Dirichlet từ đó định
nghĩa hệ số Bemoulli tổng quát, đa thức Bemoulli tổng quát liên kết với các đặc
trưng Dirichlet và L-hàm phức liên kết với các đặc trưng Dirichlet. Một vài kết
quả mang tính hệ thống về tính chất của L-hàm phức chỉ được nêu ra không chứng
minh. Bạn đọc nào quan tâm xin xem [1].
§1. HỆ SỐ BERNOULLI. ĐA THỨC BERNOULLI.
2.1.1. Hệ số Bernoulli.
Hệ số Bemoulli thứ k (kí hiệu Bk) 1 tích của k! với hệ số thứ k trong khai triển
t e^
Taylor của hm F(t) = ——— tại t =0.Tức là F(t) được khai triên theo chuôi hm luỹ
e -1
00
,
.n
(2.1)
„=0 n!
là đạo hm cấp n của F(t) tại t = 0, Bn = F(n (0). R mg cc Bn , n> 0 1 số
hữu tỉ B() = 1, B] = —, B3 = —, B3 = 0 ,. . Ta cĩ
26
te
Khai triển Taylor tại t = 0 hai vế ta được
= -t+
= -t +F(t).
e -1
00
f
n
co
f
_n
n
_n
n
n=0
n
n=0
* 0 với n chẵn khc khơng, Bi = —, Bn = 0 với n lẻ lớn hơn 1.
Đa thức Bernoulli.
Xt hm hai biến F(t,x) = F(t).etx =^—
, khai triển Taylor hàm
F(t,x) theo biến
t e(1+x^
e -1
00
f
F(t,x) = £ Bn(x) V
n=0
n
(2.2)
n!
(x) được gọi là đa thức Bemoulli thứ n > 0. Vì F(t,x) =
00 t n ( 00
,n 00
nn
,n
ẼB n (x)^ =
=0
n
iyíl
n!
n!
u=0
(x) = t
JU=0
n!
.
(2.3)
với n> 0.
n=iW
(x) là đa thức với hệ số hữu tỉ. Do Bo = 1 nn Bn(x) là đa thức đơn hệ bậc
121
= 1,
B^x) = X + —,
B2(x) = X + X + —, . . V
" (n
BịO = Bn với n>0.
B„(0) = x
n=i V 1
2.1.3. Đặc trưng Dirichlet.
2.1.3.1.
Cho f 1 số nguyn dương, (Z/fZ)*l nhĩm nhn gồm tất cả lớp cc số nguyn
c*
tố cng nhau với f theo modulo f. Mỗi đồng cấu nhóm X : (Z/fZ)* —>
từ
đến nhóm nhân các số phức khác không c* được gọi là một đặc trưng
Dirichlet theo modulo f. X biến đơn vị thnh đơn vị nn x( 1 +
) = 1.
R mg ảnh của X chỉ chứa những căn của đơn vị trong c, do đó ảnh của X chỉ
gồm các số phức đại số trên Q.
Cho X là một đặc trưng Dirichlet theo modulo f. Khi đó ta có thể định nghĩa
': —> xác định bởi
X z
c
jx(a + fZ) khi (a,f)=l
[o khi (a,f)>l
Khi đó x' cĩ cc tính chất
i)
x'(a) = x'(a + f), VaeZ;
z
ii) X '(ab) = X '(a)x '(b), Va, b E ;
iii) x '(a) ^ 0 khi V chỉ khi (a,f) = 1.
Ngược lại với mỗi ánh xạ x' • z —> c thỏa ba tính chất trên ta cũng xác định được
đó
ta
có
thể
X theo modulo f : x(a + fZ) = x'(a), V a + fZe(Z/fZ) . Do
xem đặc trưng Dirichlet X theo modulo f 1 nh xạ X‘.z^>c thỏa
ba tính chất như tm.
Cho x’ là một đặc trưng Dirichlet theo modulo n, với n là ước số của f. Khi đó
ánh xạ X".z^c được xác định
mn
x'(a)
khi
(a,f)=l
0 khi (a,f)> 1
là
đặc
trưng
Dirichlet theo modulo f. Ta nói đặc trưng X được cảm sinh từ đặc
trưng x’. Ta gọi đặc trưng Dirichlet theo modulo f là nguyên thủy nếu không tồn
tại đặc trưng x’ theo modulo n với n < f sao cho X được cảm sinh từ x’. Khi đó f
được gọi là conductor của XCho p 1 số nguyn tố, VaeZ, ĩu(a) eQp czc là đại diện Teichmuller của a.
z
Dễ dàng chứng minh được ánh xạ ĨU : —»
khi
p
=
2
và được gọi là đặc trưng Teichmuller.
p khi p > 2
4
c là đặc trưng Dirichlet nguyn thủy
Cho Xi, X2 là hai đặc trưng nguyn thủy với conductor tương ứng là fj, f 2 . Khi
đó tồn tại duy nhất một đặc trưng nguyn thủy X với conductor f chia hết fjf2 sao
cho x(a) = Xi(a)X2(a), Vae
thoả (a, fif2)=l. X được gọi là đặc trưng tích của Xỉ
và X 2, kí hiệu X = X1-X2. Tập tất cả các đặc trưng Dirichlet nguyên thủy cùng với
phép toán nhân ở trên lập thành nhóm Abel với
+ Đặc trưng đơn vị x° thoả x°(0) = 1, Va e
được gọi là đặc trưng tầm
thường. x° có conductor f 0 = 1.
z
z\{0}
AJ
+ Đặc trưng nghịch đảo của đặc trưng X là đặc trưng liên họp X • x(a) = x(a) >
Vae
Nhận xét rằng nếu (N,f) = 1 thì x(a) = x(N).x(aN). Thật vậy , ta cĩ x(N) = x(N)
x(N)*0
(vì
(N,f)
=
1)
nn
x(N).x(N)
=
x(N).x(N)
=
1
V
do
đĩ
z.
x(a) = X(N)ã(N)ã(a) = x(N)Õc(aN).
Cho đặc trưng nguyên thủy bất kỳ X với conductor f = fx > 1>
f
), do X là đặc trưng không tầm thường nên tồn tại a0 sao cho
a=l
^
1, khi đó Z/fZ = Ịa+fZ| a=l,2,...,f| = Ịa0a + fZ| a=l,2,...,f| nn
x(a0).s = 2 X(ao)x(a) = 2 x(a0a) = s kéo theo (x(ao) - 1 )S = 0 do đó
a=l
a=l
a=l
Từ x(-l)x(-l)
ta được x(_l) = (-1)8’ •
= x(l) =
1 suy ra x(-l)
1, đặt
F
x«=z
2.1.3.2.
Bổ đề.
Cho X là đặc trưng Dỉrỉchlet với conductor f > 1, p > 1 là một ước sổ của f.
Khi đó tồn tại X e
1 + x.í
PJ
z sao cho X
Chứng minh. Neu p = f bổ đề hiển nhiên đúng nên ta chỉ xét p < f. Giả sử phản
rằng
1 +nếu
x. (a,f) = 1 thì (a, —) =1, chiều
nguợc lại không đúng. Xét ánh xạ
p
X': z —> c xác định bởi
p
0 khi (a,—) > 1
x'(a) =
1 khi (a,f) > (a,—) = 1
p
z —> c là đặc trung theo modulo — , tức là chứng minh x'
thoả ba tính chất sau.Chứng minh i), với mỗi X e z. Xét ba truờng họp sau.
Nếu (a,
1 thì x'(a) = 0 = x'(a + ^).
p
p
p
Nếu (a,f) > (a,i) = 1 thì X '(a) = 1 = X'(a + 7).
p
p
z
Neu (a,f) = 1 thì tồn tại x,y e sao cho ax + fy = 1. Ta có
f
f
f
f
X '(a) = x(a) = x(a)x(l + X.-) = x(a + ax.-) = x(a + - - fy.-)
p
p
p
p
= X(a + 7) = x'(a + 3).
p
p
f
Tóm lại x '(a) = x'(a + —), X e
z hay x' thỏa 1). x' thỏa 11), 111) là hiên nhiên. Vì
p
f
vậy X đuợc cảm sinh từ đặc trung x' theo modulo — < f. Điêu này mâu thuân với
p
tính nguyên thủy của X -D
2.1.4. Hệ số Bernoulli tổng quát. Đa thức Bernoulli tổng quát.
Cho đặc trưng X với conductor f = fx. Khai triển Taylor của hàm số
at
—1L1
a=l
V VJ
o,x = fZx(a) = 0
và B
n!
được gọi là hệ số Bemoulli tổng quát thứ n > 0. Khai triển Taylor của
n=0
f y ( a ) te (a +x)t
(t)ext = ^——y----------------------------------------------- tại t = 0, ta được
a=l
00
,n
n=0
111
Fx(t,x)=2Xx(x)ỉ-
(2.6)
Bn x(x) được gọi là đa thức Bemoulli tổng quát thứ n > 0. Ta có
xt
xv y
00
tn
oVBn(x)-=,xYBnY —
^
n!
11:
n=0
n1
(22.
^
tn
°°
tn
Yx11n! ^
n!
,x
11
Vn=0
/ vn=0
.
n fn\_
với n> 0
(2.7)
i=ow
Gọi Q(x) là trường mở rộng của Q bởi các số đại số x(a), a = 1,2, . . ,f (nghĩa
là Q(x) = Q(x(l),x(2)>->xơ)) )• Rõ ràng B nx e Q(x) là số đại số trên Q nên
2.I.4.2.
=
Nếu X
x° (f
=
1) thì Fy(t) = F(t) và Fz(t,x) = F(t,x) nên Bn 0 = Bn và
Bn 0 (x) = Bn(x) với n > 0. Bây giờ ta xét X * x° khi đó
Z[ • t a=l
"n,
i=ow
1X
trong đa thức Bn
x
(x). Suy ra Bn
x
(x) là đa thức có bậc bé hơn n
(lưu ý Bn(x) là đa thức có bậc bằng n). Xét
= Ếx("1)x(f;a)f"a+X>t = X(-l)Fx(t,x)
a=l e -1
00
e
a=l
.n
00
n
„=0
n!
o X(-1) B„,,(-X)^ = X(-1)ZB„(X).B
n=0
n!
o (-1)" Bn>x(-X) = x(-l)Bn>x(x) với n > 0
=> (-l)nBn x = X(-l)Bn,x với n > 0 (cho X = 0)
-1
t
e
a=l
t
“1
n! f
-■
f
>
n!
b—1
f)
a=l
u=0
f)
o(-l)"Bnx=(-l)sBnx với n > 0
/
= 0 nếu n * ôy (mod 2) đồng thời ta cũng có Bn * 0 nếu n = ôy
(mod
2)
(Ta
sê
chứng minh
phần sau).
điều
này
dựa
vào
phuơng
trình
đặc
f
)=ịm
or tại t x=0,
ta^được
a=l e 1
t" lị ,/ fa-f+ x Vft) n ì
.. a-f+x
^ = ịZx(a)
2>n (1+—^—)ft
f
= ịt
x(
n,
khai triên Taylor tại t =0, ta được
ỄB„,xW^4Ếx(a)[ỄB n
11:
n=0
A
a=l Vn=0 V
«ỄB„, x (x)^=ẳ(ỉẾx(a)f"B n
n=0
' n=0V a=l
_
. . lfũ .a
f
4Ềx(a)F
trưng
của
L-hàm
ở
B
n+I , x ( x )- B n+I, x ( x - f ) = (n + l)J x(a)(a + X -f) n , n > 0
<=> Z[Bn,x(x)-Bn,x(x-f)]-^= z Z(n + 1)x(a)(a + x-f)n-í
n!
n=0
n=oU=l
° Z[ B n,x( x ) _ B n, X ( x _ f )]^7 = Z n Zx( a )( a
n=l
(n
- ) ^7
+ x f n_1
n=l Va=l
n
(X
Bn X(x) -Bn X(x -f) = n 2 x(a)(a + X - f)n_1
Va=l
Cho n tăng lên 1 đơn vị suy ra
a=l
f
f
Với n = f, Bn+1 X(f)-Bn+1 x(0) = (n + l)£x(a)an
a=l
ĩ
Với n = 2f, Bn+1-X(2f)-Bn+1 x(f) = (n +1)£z(a)(a + f)n
a=l
<Í5>
= 0 vào ta được
(2.8)
2>(a)f"Bn
Bn X (x) =
ka=l
Với n = kf, Bn+1>x (kf) - Bn+1>x((k - l)f) = (n +1) £ x(a) (a + (k - l)f )n
a=l
Cộng vế theo
vế ta được( X
Bn,x=7
B
n+i,x( kf )- B n+l, x ( 0 )
1
Sx(a)f n B„ V 2
f
k
f
f
2.1.4.4. Với mỗi k > 1, đặt Sn x(k)
= ^x(a)an , n > 0 ( chú ý rằng nếu X = x° thì
= (n + !)Z x(a)an + (n + 1)X x(a)(a + f)n +.. ..+(n +1)£ x(a) (a + (k - l)f )n
a=l
a=l
k
a=l
a=l
■f
f
sn,x(k) = sn(k)=2>”),
ta có f
n
n
= (n +1) zx(a)aa=l+ 2 x(a + f)(a + f ) +.... + 2 X (a + (k - l)f )(a + (k - l)f ) n
f
_a=l
a=l(a+x f)t
F x (t,x)-F x (t,x-f) = ^
-
f
= (n + l)
kf
n
V- Zx(a)a = (n +
A
a=l
-Ẹ
a=l
e -1
(a+x-f)t
= Zx(a)te'
a=
l
f
l)Sn x(kf).
U=1
)
=>Fx(t,x)-Fx(t,x-f) = £x(a)te(a+x-f)t.
Suy ra Sn>x(kf) =------------------ [Ba=l
n+1?x(kf)-Bn+1 x(0)]
-------------------------------------------------------------0.
Khai
Taylor
tạicó
t = 0 hai vế ta được
Đặc
biệttriển
với X
= x° ta
00
t
nf
với n,k >
( 00 /„ , v _nn f i
ẳ[Bn, x (x)-B„, x (x-f)]^
=
Xx(a)t
ẳ-—V
-------------------------------------------------------------------
(2.10)
f
§2. L-HÀM DIRICHLET PHỨC.
Trong § này chúng tôi trình bày L-hàm Dirichlet phức, hàm zeta và một số
tính chất của chúng. Một vài chứng minh liên quan đến giải tích phức như phưoug
trình đặc trưng của L-hàm phức, thặng dư của hàm phưc F x(z)z_n_1, . . .không
được chứng minh ở đây. Bạn đọc nào quan tâm xin xem [1].
Khái niệm hàm zeta và L-hàm.
00 Ị
Với mỗi số phức s có Re(s) >1, chuỗi số <^(s) = ^— hội tụ đồng thời ợs)
n=l
n
chỉnh hình trên nữa mặt phang phức Re(s) >1. Hàm <^(s) có thể thác triển thành
hàm phân hình trên mặt phẳng phức
«*)=n
qeP
với
p
là
tập
tất
1-
cả các số nguyên tố. Hàm £(s) được gọi là hàm zeta phức. Hàm
này có một cực điểm đơn duy nhất s =1 với thặng dư bằng 1 (nghĩa là
lim(s-l)«s) = i).
s—>1
00
Tổng quát hơn, cho X là đặc trưng Dirichlet, chuỗi L(s,x)= ^x(n)n_s hội tụ
n=i
tuyệt đối với Re(s) > 1. Khi đó L(s,x) là hàm chỉnh hình trên nữa mặt phang phức
Re(s) >1 và được gọi là L-hàm phức đối với đặc trưng X• Đặc biệt nếu X
=
x° thì
L(s,x°) = «s). Hàm L(s,x) có thể được biểu diễn bằng tích vô hạn
L(s,x) = n(1-x(q)q”s) •
qeP
0 với Re(s) > 1. Nếu X * x°> L-hàm được biểu diễn bằng tích vô
hạn này chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức.
00
Với s là số phức cho trước, tích phân suy rộng T(s) = I x s-1e-xdx luôn hội tụ
71
r(s)=----------^-7—, Vs e
r(l-s)sin7CS
Tiếp theo là một số tính chất cơ bản của L(s,x).
2.2.2. Tính chất CO’ bản của L(s,x) •
2.2.2.1. Phương trình đặc trưng của L-hàm
c.
T( X)( 2nỴ L(l-S,x)
L(s,x) = ^f f u ve
(2.12)
f
2jĩia
trong đó ô=ô^ và u(x) = 2 x(a)e f (được gọi là tổng Gauss của đặc trưng X
a=l
f ỵ(a)e az
—, Fx(z) là hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Khi
a=l e -1
1 — J1 Y)
1
_n_1
đó-------_ là thặng dư
tại z = 0 với n > 0. Từ khai triên
2 của hàm F v(z)z
=(-l)
L(n,x) =
L(l-n,x)
't(x)
V y r(n)(-l) 2
(n- 5) •
1
Thế (2.13) vào ta được
L(n,x) = (-l)1+^5ÍfT^f
Vì L(n,x)^0, n>l nên B -*0, kết hợp với 2.1.4.2 và nếu X^XO’ ta c°
(2.14)
2iỗ V f ) n!
^0 nếu n = ôy (mod 2) và Bn = 0 nếu n * ôy (mod 2).
Cho
X
là
đặc
trưng khác
thức
đơn
L(l,x) = “~
vị
ỉ
với
conductor
f,
người
ta
x(a)log(l-ra) vớif=fz, í = e“f\ (2.15)
a=l
(a,f)=l
chứng
minh
được
công
p
p-1
p-1
p
TT"ìrTã-
y
nên N < l0gn
logp
Nếu a 0
biểuhình
diễn
p-dic
là (a 0 +l)
+ a 1 p hội
+ ...tụ+trong
a N p Nlân
nêncận của
Cho hai chuỗi
thức
A(x),B(x)
e K[[x]]
CHƯƠNG 3.
x +
ord Dp (x +1)
s x+1trường
= s xmở
+1rộng
suyhữu
ray hạn
ordcủa
((xQp+.1)!)
^ —.
0 e =Qp 0vớivàK là
Giả =sử ———
A{Ẹ n ) == B(Ẹ
với
n)
p-1
p-1
thoả lim ệ n =0. Khi đó A(x) = B(x).
p1
công thức (3.1)).
Mặtvới
khác
Nếu a 0(,atheo
< p-1
0 do
< jaN<>l,N, X có khai triển p-dic nhu sau
2 ,..,aj =p-l,aj +1
72—^00
XYDựNGL-HÀM p-ADIC
s
p-
00
N
XVới
= (p-l)
+ (p-l)p
...xét
+Gọi
(p-l)pj+aj
p J+1^ +...
n + đại
a Nsử
psố
nên
x+1trường
có
khai
triển
p là số
nguyên
trên
trường+1 bao
Qp chứng
của
số p-dic
Chứng+tố,
minh.
A(x)-B(x)=
cđóng
phản
A(x)^B(x),
khi
nx , giả
N
Vấn là
đề quan
đặt+1ra+là l)p
xâyJ+1dựng
mộtahàm
được
xem là+tương
x +1trọng
= (aj
+...+
vì vậy
ordp(x
l) = tựj + l và
N p p-adic
í logn +Qp.
iìp-dic
n=0
p-dic của hàm
L(s,x).
giải quyết
đềN I này
tôi phản
đưachứng
ra nên
mộtn luôn
hàmtồnphân
= a đó
avấn G
< P^ l0gp
J S=x+1
npĐể
cn ^ oỊchúng
(do giả sử
tại) .
( j+i +ta!)gọi
+ n•••+
N
0 = minỊn
0
P p->
trị gần
giống
với giá atrị của L(s,x)
tại s = 0, -1, -2, . . . gọi là Ln-s nhình
s n p-dic lấy giá
a
+a +00 00
+ a
a
—
- 0 i " Từj +A(4
j+i)-B(4i)=
+ ... + ỵNc +1“
l)(j
+ l) =-ị ỵ c ^-n»-'. Vì ịị ->0
=(p
0 kéo
theo
P 1 hàm p-dic Lp(s,x) • Một việc
i tại ns = 1,2,
hết isức
tự nhiên nlàịf tính
giá trị
củacnjL-hàm
=s
np|p
|
"
n!
= s x +l-(p-l)(j
+ l)
n=n
n=n
+l
0
0
3,... đặc biệt tại s = 1 có một vai trò quan trọng trong lý thuyết số . Trong chương
suy ra này trình bày chi tiết00 cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L-hàm pn_n _1
khi
^ cX
°1-S
bịtrưng
chặn suy
cn =0.
kết
n£,+ đặc
adici —^00
liên kếtnên
với
các
và Mâu
tính+ thuẫn
giá
củađãx các
L-hàm p-adic này
X-Sra
l) _trịnày
X-S
x+1 _ Dirichlet
x +(p-l)(j
f
n=n
+l
0
tại s = 1 và tại các điểmp-1
nguyên dương khác
p-1.
p-1 J
thúc chứng minh bổ đề trên. []
= ordp(x!) + ordp (x +1) = ordp ((x +1)!). n
Xđề.
3.1.2.
Bổ
Đa thửc
n
§1. PHÉP NỘI SUY HÀMnPHÂN HÌNH p-DIC.
77 1
p 1
Trong Q , với mỗi n > 1 ta có \p\ < |w!| < n/?!/?! .
(3.2)
Với mỗi số tự nhiên n, ta ta gọi đa thức e K[x] C PK (xem định nghĩa đại số
s
Nội suy hàm phân hình p-dic nghĩa là tìm hàm phân hình f trên một đĩa mở nào
y
saoxác
chođịnh
f(n)bới= b n với {bn J,n >N0 là dãy số p-dic trong Qp cho trước. Neu
N tìm
ở mục 1.2.2)đó
đuợc
1
Chửnghàm
minh.
Ta hình
biểu p-adic
diễn n =thỏa
^ aịpđiều
vớikiện
0 < aị
< p,trên
a N ^thì0.dãy
Gọi {b
s =n},n
y^a>i , 0 gọi là dãy
được
phân
như
i=0
i=0
n
vOy n-s
N
nội suy
p-adic.
Trong
§ này
chúng
ta tìm
điều
kiệnnhất
của dãy {bn} ,n > 0 để tồn tại
= 1. Ta thấy
là đa
thức bậc
n với
hệ số
của luỹ
thừa
X cao
và từ 0
còn
các hê
số
khác
là
sốbổ
hữu
có mẫu sối=0tối giản chia hết n!. Do đó
hàm nội suy p-adic. Trước
hết
chúng
tôi
xin
nêu
các
đề tỉsau.
n!
3.1.1.
Bổ đề.
Cho xeZ+ ,
X
được biểu diễn
X
= ŨQ + dịp +... + a N p N với 0
0 < i
\ (3.1)
logn
diễn p-dic của x). Khỉ dó ord (x!) = ———.
n
s < (p-lKN + l) < (p-1)
p-ì
vloỖP + 1
hon nữa theo công thức (3.2) ta có |n!| > |p|p 1 suy ra
Chứng minh. Ta chứng minh bằng qui nạp theo n, với X = 1 hiển nhiên đúng,
n
giả sử ord (x!) =———, ta cần chứng minh
ord P_1
((x + 1)!) = x + ^—Jã cô
x <|p|
fì
)!) = ordp(x!) + ordp(x +1) =
v
Xét haiDịnh
trường
3.1.5.
lý( họp
Diềusau.
kiện cần để một dãy là dãy nội suy p-adic).
Bổ đề.
s
X~ x
p-1
(3.3)
b
n=
ẳ
cnhay
= V(-l)
, Cho
n > 0dãy
suysorap-adỉc
supị an{b
n n>},oịđăt
< 00
A(x)n_ eb P
k ,Kr- là sổ thưc sao cho
k=0 w
1
__
„__Ị I
Chứngp minh i), e Q sao cho < |p|P .rn = q do đó — < 1 suy ra
0
A(x) (lY
e PK tho ả mãn các tỉnh chất141Ỵ
sau :
a n ạ n < c . - J ạ | n = c H . — —> 0 khi n —» GO.
U;
UJ
VrlJ
hội tụ.
1
00
ỉ)
n=0
hội tụ vón mọi ẽ, e Qp sao cho \ệ\ < với ĩị = \p\ P 1 .r-1 > 1.
ii) Với mọi n > 0, A(n) = bn.
Chứng minh ii), do lim Ak = A suy ra lim Ak (£) = A(£) với
Chửng
minh.
Ta có
' 00
t
f
_22_
t
k-»00 ?(_1)"nĩ ?bnnĩ =?c"nĩk-»00
S = Ề(-D
bk, n > 0 p<^>
n!
n
1
1u=0
k=0
An=0
v n=0 n:
. Với
mọimỗi n E N cho truớc, từ |n| < 1 < |p| .r ta nsuy
00 n 00
00
J.n
í co
J.n A 00
t .n í r00 ,Ĩ1
t V 00
t.n n A
bn =e
<=> bn =
Cn
n! ^ n! ^ n! 11^ n!
11
14
(n). Hơn nữa, với ^n=0
k >n!n, 11
Vn=0
’)
n=0
Vn=011 ’ ) vn=0
ỳ
k—>co
n
n
k rn\ n
n
n
/n\
A k (n) = ỵ C i . =Y J C Ì . ~hn (vì . =0 nếui>n).
>i0
. \U
ic=0
=0
w
k, nw
k=ov k y
Vì vậy A(n) = bn , n > 0.
Aksuy
(x)=ra^ từ
Cịbổ
. =đề
'J'3.1.3.
j agv, a^
Tính duy nhất của A(x)Xét
đuợc
[] eK( nhận xét rằng deg[Ak(x)] < k
i=0 VV n=0§2. L-HÀM p-DIC.
nên aỊ^ = 0 nếu k < n). Khi đó
-n -n
Cho X là đặc trung Dirichlet với conductor f, là đặc trung Teichmuller. Dễ
p-1
|p-l ^ r - 11 p-1
<|cJ
<c.r>rminh
=c đuợc là đặc trung Dirichlet
= ccó conductor là q ( với m, q đã
dàngPrchứng
\ L 1J n, Xn = X T O_ n là một đặc
được xác định trong mục 1.1.2). Với mỗi số nguyên
(áp dụng (3.3))
trưng Dirichlet. Conductor fn của Xn là ước của fq, vì X = Xn^11 ưên f là ước của
ị-]
+1
m
q.mDo
fn và•f sai khác một
thừa số làc.luỹ thừa của pí tức
x ^ là f n = p f với
nênfn|A
-Akđó
|< max
< max
k < i< m
k< i < m
meZ. Với mọi a e z, (a, p) = 1, ta có (a,fn) = (a,f), Xn( a ) - 5C(a)tn(a)-n •
-Ak||—»0
khi
m,k—»0
haylà trường
{Akmở
j rộng
là của trường
dãy Qp
Cauchy
trong
Gọi K = Qp(x)
bởi tất cả các
số
(PK,||.||). Giả sử lim Ak = A trong
(P ,||.||), ta chứng minh A(x) là hàm số
x(a),
a e z. Vì x(a) e GK
k—>co
phân tử nên K là mở rộng hữu hạn của Qp trong Qp. 00 fx\ 00
,
Bn y
,
,
n L(l-n,x) =----------— e Q(x) là các sô đại sô trên Q nên ta xem
Như
ta
đã
biêt
Cần tìm. Kí hiệu A(x) = ^ Cj = ^ anx khi đó an = lim a^. Do
n
k
i=0 V 4 / n=0
^°°
chúng
f sao cho
(k)_thuộc
(n-1) Qp. Một vấn đề đặt ra là có tồn tại hàm phân hình p-adic
a
a
n n
, k > n (vì a^-1^ = 0)
s 1
n =0
— = L(l-n,%), n > 0 hay không ? Rất tiếc dãy ]------------------------------------—Ikhông
phải
là
n
dãy nội suy p-adic. Vì vậy chúng ta phải
dãy nội suy p-adic. Cụ thể ta có định lý sau.
(Định lý xây dựng L - hàm p-adic).
1nJ
chỉnh
sửa
một
chút
để
có
được
Tồn tại duy nhất hàm phân hình p-dỉc L p {s,ỵ) thoả mãn các tính chất sau :
ỉ) L p (s,ỵ ) có thế được khai trỉến thành chuỗi hàm luỹ thừa
1-- khi z=z°
với a_ị = < p
L p (s,z)=^j-+f t a n (s-ì) n , a n G0 khi X * X
Chuỗi hàm luỹ thừa trên hội tụ trong miền
B=
(3.4)
M
(với chủ ý \p\ P 1 \q\ '*>u
H|J-1
ỉỉ) Với n E N, n > 0 ta có
Lp(l-n,z) = -(-Z„(P)Pn~l)-ĩh^ = (-Z„(P)Pn~l)aí-
(3.5)
Hàm Lp(s,x) được gọi là L-hàm p-adic đối với đặc trưng X- Để chứng minh
định lý này chúng ta cần các bổ đề sau.
3. 2. 2. Bổ đề
Cho ỵ là đặc trưng Dỉrichlet với conductor f. Khi đó
Đặc biệt khỉ % = %° ,f = 1 thì
B n =\im\s n (p h ).
' (theo công thức
(2.7))
h — >00
p
J định nghĩa ở mục 2.1.4.4.)
(trong đó Sn y và Sn i=oV
đã được
(3.7)
xx + x
Su ra s
y ^ ».x(p 0=B".x+ín[|-Ị i JMP f)
b
n=
(l-x„(p)pn“‘) lim T^ Xii (a)a’
v
,h
-*“pfa=l
J
1 a=l
p 1 a=l
p 1 a=l
'tỴn + l N
n-l-i
i
_i=0 V 1 J
n-1-i
Cho
—»
co n+
ta1>3được
Bn x+=l)B
lim
=> Bhn+loc
(x)-B
x+x' n x (p h f) -D^Ỵn + r BijJtx
C(0) =(n
n>x—^-S
i
h—>co pftf
i=ov 1 7
h
Bổ
Hơn nữa Sn x (p h f) = —Bn+13.2.3.
- Bđề.
x (p f)
n+1 x (0) (theo công thức
(2.10)).
Cho X là đặc trưng với conductor f = fỵ,Xn = X G Ĩ
b„ =(l
1
phf v-ífn + 0 í h \n_1_i
h
-Zn(p)p n ~ l )s„, z ,,
c n = Ỳ(~ir
i =0
f n^
n>0.Khiđó
K^
-2
/■
f -1
lổ
,1
C
Chứng minh . Theo côngn thức (3.6),
ta có
n
= lim -i-£xn(a)a -x„(p)p lim -T3j- 2 Xn(a)an
h^ph ‘f a*«)>
tl
®n,xn = lim h7 "Vx„(p
h^-co
p
f
h
n
1 p!í
/ \ n-l p ~'f
= Um -4~Xxn(a)an-Xn J ỹ ----------------Um 2 Xn(a)an
h
vì fn = pmh^p
f nên
Bn x = Um -Ị-Sn?x (phf) p=h hUm
fat;
^atí -Ị-X^n(a)an,
h^co p f
"
h—>00 p f a=Ị
ph^
1
h—
>00
pT
(a,p)=l
, X n p^f
.
a:p
ỳ f I Xn(a)a"+^Ix„(a)a"-^^Êx„(a)a"
pT
=
n
n
Klim
= Ih7
lin E Xn (a)a = lim 1-J— ỵ Xn(a)a .
x(a)
a
h™»qhfits tiUJ
vớic
n , h = X x(a)(< a > -1)" .
L“bX X (- )”
< >
1 pT
1 p^f
, X n p^f
h7 z Xn(a)a"+-t-£x n (pa)(pa) n -^0_ £x„(a)a n
p
1 a=l p f a=l
= lim > f a=l
(a,p)=l
h—
h
(a,p)=l
f
h-+®p! fpa=1
(a,p)=l
q hf
h^»qhf! a=1
(a,p)=l
Từ Xn(a)a11 = x( a ) TO ( a ) -n ^( a ) n < a >n= x(a) < a >n suy ra
b
l qhf
n=
h X x(a) < a >"
h-i»qhf Ê;
(a,p)=
l
JL
(n\
b
= !(-!)
i
lim
i=0
w
n
Y nA
1 qT
= S(- 1 ) n 1 ” . l i m h 7 X x(a)< a >
i=0
wh-»ooq f a=l
(a,p)=l
1 n qT
Yn\
= im_
a=l n 1 . <a>
' b X X(a)X,(-!)
h->coq f
a=1
^(a,p)=l
(
(a,p)=l
i =0 w J
n >
= lim 3- X! x(a)(< a > -l) n = lim
h^ooq h f “
h-ioo q h f
(a?p)=l
qhf
Ta chứng minh = 0 bằng qui nạp theo h > 1. Với h =
qhf
q2f
1, do
_n ^
(mod q) nên -^h! = 0
q2f
thoả
(u,p)
c
n,h+l = z z x(u)(<u>-l)" (mod qn+h'1)
(u,p)
-
q-cn,h
v=0 U=1
n>
l
n,h _
= l suy mod
ra —<a> = uj(a) _1a = uj(u)_1(u + qhfv) = < u > +q hftu(u)-1v suy
l q
ra
qhf
(
_n ^
(< a > -l)n = |~(< u > -1) + qhfnj(u)_1 V
u
=
>
_1 n_i
)
(q h fOT(u) _1 vV
v
i=oW
'
= (<u>-l) n +^í n (<u>-l) n_i Ịq h ftn(u) _1 vj 1 .
i=l V 1 /
n-i !q n-i
1 < i < n, do<u>el + qZp, ta có ( < U > - 1 )
Ịqhfxu(u)_1 vj : qhi. Màn-i + hi = n + (h-l)i>n + h- l nên
ÌÍ“\<n>-l^(qW 1 v) Ì : q n+h_1
v
i=iw
n
n
do đó(< a > -l) = (< u > -l) Ịmod q
c
n+h_1
’
j. Hon nữa, tù
q^f
n,h+l= z X(a)(<a>-1)"
a=l
(a,p)=l
suy ra
, Vh > 1 kết hợp với
Theo nguyên lý qui nạp
h -»00 q f
h
3.2.4. Chửng minh định lý 3.2.1.
hay |cn|<
mod
qf
q-2f-> •|qp- □
và
7
(-l)
n_ >00
i=o w n=0 v n y
7
00 Ẻ(-I)”'
V
=
p m=0
X
nk
k
k=0
3
kx
'f n ì
Uy
=(l-Xn(P)P n đặt cn = ^(-l)n 1
J_
,|q|n. Đặt r = |q|<|p|p 1, c=
|< q I
n
q“2f_1
|cn|<C.rn, n>0 nên theo định lý 3.1.5, tồn tại duy nhất chuỗi hàm luỹ thừa
n f x \ 22, í x '
J_
Ax(x)eK[[x]], Ax(x)= lim 2ci 7 = 2 cn sao cho Ax(4) hội tụ trong
Qp với mọi |ị|<|p|p_1|q|_1 và Ax(n) = bn = Ịl-Xn(p)pn_1 ) B n X
n > 0.
Đặc
biệt,
vớ i
m<
nếu
?i
X
=
x°
“
Al 2
thì
nếu x*x°
1
1
AX.(0) = ( I - X °( P ) P ' ) B 0>x . =(l-p- )B0 = l--#0,
(0)
=
Ịl-x(p)p
1
)B0>X=0.
Đặt
Lp(s,x)=-^jAx(l-s),
khi
đó
Lp(s,x)
hàm duy nhất thoả mãn các điều kiện i),ii). Q
§3. TOÁN TỦ r- BIẾN ĐỖI.
Trong § này chúng tôi xây dựng toán tử T- biến đổi, một công cụ quan trọng để
tính giá trị của L - hàm p-adic tại các điểm nguyên dương.
3.3.1.
Các khái niệm.
33.1.1.
Kí hiệu .
thì
là
00
00
(rn
fs^
rn í Ị-p X
Với mỗi XED = ỊaEQp I |a-l|
1 m (x-1)" = ỵ
_A n )
_A n
n=O V ĩ V n = O V
11=0 \ J
trên hội tụ đều trên D X Zp. Với s = m e N
)" , ta có
m
J
(x-1)" =
khi
(x-n1)"
—» 00, nên chuỗi
X
00 ( „\
Ẽ
(x-1)" = xs.
=0 V An
/
Với mỗi X E u , ta xét hai truờng hợp của số nguyên tố p nhu sau.
Nếu p > 2, ta biểu diễn X duới dạng X = Uĩ(x) < X > với U J ( X ) là đại diện
Teichmuller của X , <x> E l + qZp. Ta có < X > E D nên hàm s ố
00 /g\
(<x>-l)n xác định và hội tụ đều trên UxZp.
n=0 \ /
00 /g\
n=oV /
s
= 2,ư khi
đó X E l + pZp nên xeD suy ra x =
định và hội tụNếu
đềuptrên
X Zp.
Xây dựng ánh xạO : ZpxZp —» Zp được xác định bởi
là tập mở trong Z p
X Zp
(x-l)n xá
nên o liên tục.
3.3.I.3. Anh xạyn : Z p
—» Zp.
Với mỗi s E Zp, ta đặt yn(s) = ^ (-l)n_i
n k
i=0
( e x - l ) n = Ễ 4 n ) ^ với dS> = Ề (-l)
^n^
rõ ràng yn : Zp —»m=0
Zp liên tục với mọi n > 0.k=0
Do (3.11) nên ta(3.8)
có
00
n
Y
00
.n
^
00
.n
t
n
Dễ dàng thấy d^ =z Vl)
l,d£p1 Ẽ®(n,s)íỊ
= 0 với= 0Ì>n<(sV
m < n và dỊ^ = nd^i + ndỊ^_Ị7 Nên
n!
n!
n!
»=0
Ẵn=0
J n=0
bằng quy nạp theo m suy ra được dị^ : n! với mọi m, n. Do đó
00
. n ^ 00
. n
dLn)
(3.9)
y 0(n,s)-n!
n!
»=0
J n=ố
33.1.2.
Anh xạ o : Z p x Z p — >
Zp.
00
.n
í co
-n
o ^0>(n,s)-- = e £yn(s)1
n!
„=0
u=0
t
00
t
n
'v
n í 00 n A/" 00
oỆ4>(n,s)^=
11:
n=0
n
ịr.(»)£
Vn=0
11
11:
/Vn=0
<^>0(n,s) = 2
i=0
00
i=oW
<^>0(n,s) = 2
i=0
Mà o liên tục trên Zp X Zp và N X Zp trù mật trong Zp X Zp nên
0(x,s) = ^ x Yi(s), V(x,s) G ZpxZp .
i=oVv
3.3.I.3. Chuẩn của ánh xạ Ỵn : Zp —» Zp.
Xét hai trường hợp của số nguyên tố p.
Nếu p > 2, với mỗi số nguyên dương m sao cho |p|m < |n!| và m : p -1, ta
có nếu (i,p) = 1 thì im = 1 (mod p) (định lý Fermat nhỏ ) hay 0(i,m) =
< i >m = im. Từ công thức (3.11) suy ra
Yn(m)= ỉ(-l) n -{"Wm)=
i=0 vi)
do đó yn(m) = ^(-l)n 1
i=0
t
(-1
(i.p)=l
^ n^
i=0
V1;
mà dỉ^i(-r
i (vì theo công thức (3.8))) nên
yn (m) = d[^ (mod pm). Hơn nữa theo công thức (3.9), ta có
i(n)
nên |yn(m)| < |n!|. Như ta đã biết tập | m e Z I m : p-lỊ trù mật trong Z p ,
vì vậy
|r„(s)| < |n!|, Vs€Zp hay
Ihnll =max|yn(s)| < |n!|, VseZ
seZp
(3.13)
Nếu p = 2, với mỗi số nguyên dương m sao cho |p|m < |n!|, lâp luận tương
tự ta cũng suy ra được công thức (3.13).
Toán tử r-biến đổi.
