Ứng dụng của lý thuyết nevanlinna cho phương trình vi phân và điểm bất động của hàm nguyên siêu việt

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TAO
KÍTP.
HIỆU
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SBẢNG
Ư PHẠM
Hồ CHÍ MINH

: Trường số p-adic.

: Bao đóng đại số của
: Trường đầy đủ hóa của .
B[r}

ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYÉT NEVANLMA
: Giá trị tuyệt đối p-adic.

Hàm trị của / đối với 0.


MỞ ĐÀU

Gần đây, lý thuyết Nevanlinna đã trở thành một trong những lĩnh vực toán học
năng động. Chẳng hạn, Khoái [3], Khoái-Quang [ 6] đã chứng minh tương tự padic của hai “định lí chính” và mối quan hệ về số khuyết của lý thuyết
Nevanlinna cổ điển. Khoái [4] đã nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna nhiều biến, và
đã chứng minh mối liên hệ về số khuyết của các siêu phẳng trong vị trí tổng quát.
Cherry-Yang [13] đã mô tả một số tập xác định duy nhất với số phần tử hữu hạn
của các hàm nguyên p-adic. Có hai “định lí chính” và các mối quan hệ về số
khuyết, chúng đóng vai trò trọng tâm trong lý thuyết Nevanlinna. Những kết quả
này đóng góp quan trọng trong việc nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết
Nevanlinna.

Trong giải tích phức, một trong những ứng dụng nổi bật của lý thuyết
Nevanlinna là ứng dụng trong phương trình vi phân đại số. Cụ thể, lý thuyết
Nevanlinna được sử dụng trong việc nghiên cứu tính chất nghiệm là hàm nguyên
với 0. Nevanlinna
hay hàm phân hình của phương trình vi phân. Chẳng hạn, đối
lý thuyết
được sử dụng để chứng minh định lí MalmquisCs và một ví dụ điển hình trong số
các kết quả của định lí kiểu Malmquist là: “Neu p(x) và Q ( x ) là các phần tử

,
(z)

: Hàm bù của / .

nguyên tố cùng nhau
trong
0(1
) vành đa thức một biến với hệ so trong trường các
p(f)
: Hàm đặc trưng của / .


Trong luận văn này, tôi đã trình bày các phưong trình vi phân đại số p-adic
dạng:

n(z,w,w',...,w { n ) ) = R ( Z , W ) ,

Trọng

tâm

của

phần này

là

tập

trung vào việc

nghiên cứu các

tính chất

nghiệm

của phuơng trình vi phân đại số, cụ thể, ta sẽ chỉ ra rằng một số phuơng trình vi
phân đại số không có nghiệm phân hình siêu việt chấp nhận đuợc. Hơn nữa, các
kết quả còn đuợc mở rộng trong các trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn như
định lí Malmquist-type (I), định lí Malmquist-type (II) và nghiên cứu nghiệm
chấp nhận được của một số phương trình vi phân cụ thể. Các kết quả này là nội
dung trọng tâm của chương 2.


Chương 1: LÝ THƯYÊT NEVANLINNA

Trong chưcmg này, tôi sẽ trình bày các kết quả quan trọng và cần thiết của lý thuyết
Nevanlinna của hàm phân hình p-adic, các kiến thức này sẽ bổ trợ cho phần trọng
tâm của luận văn này là chuông 2 và 3.

1.1 Lý thuyết Nevanlinna của hàm phân hình p-adic:

Cho p là một số nguyên tố, gọi là trường các số p-adic, và là đầy đủ hóa p00

n=0

được xác định tôt khi

Định nghĩa “ bán kính hội tụ p ” bởi

, hàm /(z) được gọi là hàm nguyên p-adic trên p .


B r

l ì={ze p\Apr)

n r

’f =u(r’f)V/

Tính chất 1.1.5: Nếu t = ordp (z) không là điếm tói hạn, khi đó
0, —
Cho

/

là

hàm

giải

tích

chỉ số tâm:

p-adic

\f(z)\p=

khácju(r,f)
hằng = trên
(0max\aBn \ịppr )n (0
định

nghĩa

số

j)=j;

Bổ đề
Khi
đó1.1.3
bổ đềchỉ
1.1.2

ra rằng
cho ta công thức Jensen: u(r,f) = maxỊnllaị = ^(r,/)Ị.
9

a

Đinh nghĩa 1.1.6: Hàm biêu diên dưới dang thưong f = — của hai hàm giải tích
h

v(0,f) = \imv(r,f).
n 0,-

BỐ đề 1.1.1: Neu f và h là hai hàm giải tíchp-adic trên B ( p ) , k h i đ ó :
g

,

r,—

p ( r , j h ) == plog//(r,/)-log
(rj)p(r,h).

V /y

cho hàm phân hình / = — băng cách đinh nghĩa
1
Bố đề 1.1.2: C h ỉ s ổ t â»mt, v ( r , f ) tăng khi r —» p, và thỏa mãn công thức:
77
7. r < p).
log ụ { r j ) = log fly(0>/)|

h d t + u ( 0 , f ) \ o g r (o < r < p )

7)-I
ta vẽ đồ thị ỵ n ( t )

Mự,f)= }
=

n

ordp(anz ^j

{•

p(r,h)
= ord(an)

+nt

như là hàm của

/ = ordp (z). Khi đó Yn (0 là một đường thẳng với hệ số góc n. Gọi ỵ ( t , f ) là bờ
là
hàm(ỊVeierstrass
sốcóliên
trên
(o,p).
Bố
Preparation
Tồn

duy
Hon đề
nữa,1.1.4:
g không
bấttục
kì không
điếm nào Theorem):
trong Bịr], và
p cótại
đủng
v [ rnhất
, f ) đa thức p bậc
giao
cảgiải
cáctích
nửap-adỉc
mặt phẳng
Đường thẳng này
z zenằm
u [ r , nhau
f ) và của
một tất
hàm
g=trên
B [ r ]dưới
sao đường
cho f = ỵgnP( ,t )ở. đỏ
không diêm, kê cả bội trong B ị r Ỵ
được gọi là đa giác Newton của hàm f (z). Điểm t tại đỉnh của y ( t , f ) được gọi là
đỉnh tới hạn của f ( z ) . Một đoạn hữu hạn [«,/?] chỉ chứa một số hữu hạn các điểm

tới hạn. Rõ
ự ( r.,điểm
f ) = tới
p M thạn,
’ f ) thì khi đó hàm /(z) có ít nhất hai số
( nràng
X nếu t là một
7

r,—

h à m t r ị của / đối với 0 bởi:


r

»T

T

V h)

[c

Ỷ,f]<Ỷ,T(rJi),
rír,n/.ì<^M).
Bằng cách sử dụng kí hiệu trên, ta có

n ( r , f ) = Infịtr(,r^j \) , =N \( fr(, zf \) = N

công thức Jensen cho g và /, ta thu đuợc công thức Jensen cho hàm phân

-Af(r,/) = log/y(r,/)-C/
là hằng số chỉ phụ thuộc vào / . Định nghĩa

ra (r,/)V /=1= Jlog+//(r,/)i =
=1 max {0, log//(r,/)}.
V Ĩ=1

VCĨ=1
h oy /.z'=i
GM|

Tính chất 1.1.8:
í

k

/ i=i

(/ = 1,2,...,Ả:).
V Ĩ=1 K h/ ỉ đÍó=1 v ớ i r >0, t a c ó

\

/

k

\

V

1=1

)

ì k

*

V

Ĩ=1

J

1=1


r

’

Tính chất 1.1.10: Cho w
= A^(r,w) + aA/r(r,w) <

+1)N [ r , w )

VwJ

từ đó suy ra
j < ra (r, w) + ra r ,—— = ra(r,w) + ơ(l)
= ía N (w(rvụơ), w
^ ) + N r,— \.
V
wy '
V

Định lí 1.1.11: (Định lí chính thứ nhất) Cho f là một hàm phân hình khác
hằng trong B ( p ) . K h i đ ó v ớ i m o i a e t a c ó :

r,

= r,
T ( r , f ) + 0 ( \ ) (r —» /?).

Định lí 1.1.12: ( Tính chất đạo hàm logarit) Cho f là một hàm phân hình khác
hằng trong B ( p ) - Với mỗi số nguyên dưong n bất kì, ta cỏ
( y(") ^
/

= 0(1)

(r->p).

Định lí 1.1.13: (Định lí chính thứ hai ) Cho f là một hàm phân hình khác hằng
trong B ( p ) v à g ọ i a x , a 2 , . . . , a là các số đôi một khác nhau trong . Khi đó
1>
{ < j - l ) T ( r , f ) < N { r , f ) + ỵ N /•,—Ị---------

j=i y ý dj J


N , ( r , f ) = 2N ( r J ) - N ( r , f ) + N

Tính chất 1.1.14: Nếu f là hàm nguyên khác hằng trên

. Khi đó:

= r(r,/)+o(i).
/;
hon nữa, với mọi a e ta có:

/•,-r
= T(r,f) + 0(ì).

1.2 Cấp tăng của hàm phân hình p-adic:

,) là không gian các hàm phân hình p-adic trên p. Định nghĩa

c/ỉớ ứ G u{ooj, gọ/ /7“(z0) l à b ộ i s ố c ủ a f g i á t r ị a t ạ i

f(z)=‘

Bổ đề 1.2.2: FÓÝ z „ 6

, w(z0) = 00, t a c ó :

a = co


M Ã (■z0 ) ắ k t C (■z0 ) + z B a , (■zo )

BỔ đề 1.2.3: N ế u WGM| p ^ , k h i đ ó

r,—

V aJ JJ)

N(r,A) = kN(r,w) + 0
) + N

Bổ đề 1.2.4: N ế u w e M ^ Ị, k h i đ ó

i_ììì

r,—

) + m
m[r,À) = km(r,w)
Định lí 1.2.5: N ế u WGMỊ p, k h i đ ó

T ( r , A ) = k T ( r , w ) + 0 ^r(r,fl,)1.
V7-0

M(

với bq 0 và định nghĩa

R(z>w)=

AbN

)


0

e p , N ế u P B { Z O ) > 0 thì //“(z0) <

WGMỊ

p

(z0) - ( z 0 ) . Trong

, khi đó:

Định lí 1.2.8:

w tó một hàm nguyên p-adic khác hằng và nếu

/>)“ p ( z ) , k h i đ ó :

1 :^T(r’f

Hệ quả 1.2.9: Một hàm phân hình p-adic f trên là một hàm hữu tỉ bậc d nếu
và chỉ nếu, với mọi hàm nguyên p-adic khác hằng w trên , ta có
lim71';7"1
r-*x> T ( r , w )

Hệ quả 1.2.10: Một hàm phân hình p-adic f trên là một hàm hữu tỉ bậc d
nếu và chỉ nếu
r->co log r

Hàm phân hình p-adic trong M ( p) - p (z) được gọi là hàm siêu việt. Hiển
Ịimặgl — +00.
r-*x> tog r


Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỔ p-ADIC
Trong

chưong

này,

tôi

sẽ

trình

bày

tương

tự

phi

archimedean

định

type trong phương trình vi phân.

2.1 Phương trình vi phân đại số p-adic:
Định nghĩa 2.1.1: Phưong trình vi phân đại số p-adic là phưong trình có dạng

(ỉ)

( 2)

Q (z,w,w',...,w { n ) ) = R(z,w)

nỊz,w,u/,...,w (,, ) ) = X c ỹ° i w 't -( w(, ,) )”

iel

,...,in) là các chỉ số nguyên không âm, I là tập hữu hạn, Cị GM| V

R ( z , w ) là một hàm phân hình p-adỉc trên 2p.

<teg(n) = maxj£i 1, r(n) = maxị Ỳ(a + l)«„ f> r(íì) = max|ấ

lí

Malmquist-


isI

[ «=1

Theo định nghĩa của r(Q) = max Ị^(a +1 ) i a I, suy ra:

M ẩ (z0) ^ r (Q) /C ( z 0 ) + s K (z0) •
Khi đó ta có:
(3)
r
(r,w) + 7(Q)A/
< deg(Q)m(r,w)
(r,w) + ^A/r+(r,c.)
^m(r,cỉ.) + ơ(l)

ie/

ie/

(4)

r(r,Q)+ 7(Q)ĨV(r,w) + 2]r(r,cỉ.) + ơ(l)
(5)

A^( r,Q)< r(Q)7V(r,w) + ^A^(r,c.)
ie/

ivỊr,w^j = N ( r , w ) + a N ( r , w )

(W'Ỵ ...írv^y ì< 1iV(r,w) + ^aia JV(r,w) + iV(r,c.)

A^(r,Q)
Theo tính chất 1.1.8 và 1.1.10 ta có:


isI

r

[

a= 1

’b

Nếu
(9) |w(z)| .

iel

j

\7=0

í

n

= ơ(l) nên:

n

(

c /"M
r,CịW° (w')’' ...íSM
.(ZMZ)= ỉ n
m(r,w) + m(r,cie/
i) + ^ji0

Chứng minh:
mi r

"\

m

/ \ V1 ( (n) ( \Yn
K,
(zj
(z)
z W

ío+ỉ|

vw( )y

(a)\

' v«=0 /

a=l

< B(z)íes*n* max|c,(z)|

r,—

(«nra:
Cũng theo tính chất 1.1.8 ta suy
Theo định lí 1 .1 . 1 2 ta có: m

w

w
V

|íi)B(zfs(n)max|C,(z)|p

0
11 v 7

Kết họp hai trường họp ta được:

' 'P

Mz)l,

z I = max <;
m ( r , Q) + maxỊra(r,c
0z

M )l

r

’Ã

v7

Mz)l,

,max|c,.(z)|

max< 1,
!


0

Nếu |w(z)| >B(z),tathấy

z

Mj u)( r , a j )
/,

ậ,(iB(zrKz|;

I

b

M

ie/

r,—

V( b >

w

V^y

|B(Z, w(z))| = |Ồ (Z)| |W(Z)|9 . (í/ơ tính chất của chuẩnphi-archimedean)
Từ kết quả (1) và (2) ta thu được:

(do I+Ị/(n)ĨV(r,>v)

L i ( r , f ) - +|/(z)|
đối +với
r(r,Q)<deg(Q)r(r,>v)
£r(r,c.)
ơ(l)mọi hàm phân hình p-adic /).
Bất đẳng thức này đúng trong trường họp |z| = r với z thỏa mãn điều kiện chọn
k

(7)
0. Suy ra
Q

V \j

g j^um[ r( ,ra, c^i )+ +
\ogỊu
m ( r , Q\ o) <
^m(r,aị) +

+
ị j m [ r, b j)
7=0

iel

7=0

í f Yi

(r — I +...

Vw

V ; yy l"
log//(r,cỉ.) + log//
V


v

0
'

r

’i-

r

’i

r

’7~

Suy ra

(‘ ’ j m)
r a

(r,Q)< max i

m

V(_

L

/
f \
*1
r,— I +...
Vw

{r>c
ò

f (i*n

+m

r,

\ { ’ j)

w

,
ì
+ £m(r,ố.) 0(1)

V ^<7/

k

<Ỵ j m{r ì c l ) + Ỵ À m[r,a J )
+
7=0

iel

b

V9 J

m r b

V

k

ra

í y(a)\
w ’

r,—

E , w(z 0 ) =

00.

- o(l), 1 < a < n).

Theo bổ đề 1.2.2 ta có:

MZ ụa)< kft"

(z„)+z A" ( 0 )>
z

7=0

M Ĩ ( h ) ^ q t C ( z 0) -

( z o)

7=0

Theo bổ đề 1.2.6 ta có:

^r(zo)^/íĩ(zo)--ur(zo)

M A { Z O ) - M Ĩ ( Z < I ) ^ */C(ZO) + ZTC,(ZO) - ?/C(Zo)-ÌX(Zo)
(do q > k ) .


Suy ra
Mẩ ( z o) = MĨ (*O) ^ M A ( z 0)-M B (ZO) ^ zx W + Ẻ4 (*o)
7=0

7=0

Nếu qnl ( z ữ) - Ỳ M I { Z 0 ) £ 0 <=> M Z (z0 ) ^ - Ỷ,Mbj (z0)
7=0

# 7=0

Theo bổ đề 2.1.2, ta có:

^(Zo)^r(fì)Kh)+X<(Zo)^—ẳ^(Zo)+X<(Zo)
ỉ'e/

Ọ. j=0

isl

Kết hợp cả hai trường hợp ta được:

Mâ(zo)^ ix(z0) + maxjlT^|lX (z0) + 2X(zo)
7=0

l

# J 7=0

te/

Trong trường hợp w(z0) ^ 00 ta quay về trường hợp hai do

Mã ^ zx .maxkM^o,^
7-0

[

# J 7-0

te/

Từ đó suy ra

,

r J Y\
r

>
T
_

*

('

JV(r,n) <£>(/-,c,.) + 2>(r,ữj) + ỡ ỵN


x

’

v

Byz,w)

’

B[z,w)

Định nghĩa 2.1.5: Một nghiệm w của (ỉ) với R ( z , w ) được xác định bởi (6) được
gọi là chấp nhận được nếu W G M Ị thỏa mãn (ỉ) với
ỵT(r,c,) + ±T(r,a,) + ±T(r,b,) = o{T{r,M,ÌỊ.
7=0

iel
Định lí 2.1.6:

7=0

Nếu R ( z , w ) CÓ dạng (6) và nếu (1) có nghiệm chấp nhận được

Ỵ khi đó
q = 0, £_,

Aịz,w)

,

. A(z,w)

Chứng minh: Biểu diễn -77— — - = Ẩ , ị z , w ) - \ ---------------------------- 7— /

Theo bổ đề 2.1.4 ta có:

’

(")) A( \

4(z>w)

Q( z , w , w , . . . , w K > ) - A ị ( z , w ) =

(.

T(r,n-A l )<ỵT(r,c l ) + ỵT(r,a i ) + o{r{r,b J j) = o(T(r,w

Theo định lí 1.2.7 ta có:

r(r,n-4) = rír,4-ì = max{Ẩ: 2 ,ợ}r(r,w) + ơ ỵ j T { r ’ a j ) + ỉ T { r ’ b j )
VB J
y 7=0
7=0
= qT(r,w) + o(r[r,w)Ỵ


gr

Q Ị Z , W , W ',..., W ^

j = Ẩ(Z, W).

= kT(r,w) + o(r(r,w)Ỵ
Theo định lí 1.2.5 ta có:

r(r,Q)ie/


Ấ:
Hệ quả 2.1.7:

p

Cho Q(Z,W,W',...,W^ j là một đa thức vỉ phân với hệ số trong

(z) và ^( Z , W ) E

P

( Z , W ). Neu (ỉ) có một nghiệm phân hình p-adic


(z) nên theo hệ quả 1.2.10 ta có:

T(r,Cị) = 0(\ogr)

T(r9ci) = o(T(r,w)).

(dwX
dz )
i?(z, w) là một đa thức theo w có bậc < 2n.

Clịz,w,W,...,w^ j j

R(Z,W)

và

w(z)

thỏa

mãn

các

tính

R [ z , rv) là một đa thức theo w có bậc < r(Q)

Định lí được chứng minh.

chất

trong

hệ

quả

2.1.7

nên


T

{ r ^j)

= T r b

( ’ j) = o(T(r,w ))

1

Suy ra
2.2 Định lí Malmquist-type
B(z) (I):
M
là nghiệm chấp nhận được.
Trong

phần

này,

ta

tiếp tục nghiên cứu phương trình vi phân (1)
2.3 Định lí Malmquist-type (II):
QỊZ,W,W',...,W^ j = /?(w)
Q(z)
< của bổmax
nên theo chứng minh
đề 2.1.4 ta có:
4>(z)
0< jcó một nghiệm khác hằng WEM( P ) thỏa mãn

cho

trường

họp

0
Bất
thứcta sẽ
này
trong trình
trường
họp
|z|
r oự(r,w))
với z thỏa mãn điều kiện chọn
Trongđẳng

phần này,
xemđúng
xét phương
vi phân
sau
đây: =l ) =
ỵ j T(r,c
ban
(10)
Nếu |w(z)|
QỊZ,
z

°( )

w, 1
z

°( )

Chứng minh:

Q(z) ==

l R[z,

1

ty+/|

r(r,i?ow) r(r,n)

Zcy«(w')\.

ịcarcư <00,í/. G M Ị pM.

w 'M
z
w()

r VY
...
2.3.1:
Ta có kết Bố
quảđề
quan
trọng sau đây: Cho i?(z,w) được xác định như (6) và w là một nghiệm
r —của+(10).
log//(r,ứ y )+log/7 V \deg(n)
\
4>(z)
< max
0 1 TỊ de g( Q )
q>k, khi đó
r(í-,Q)c,)+ỡ(i).
rír,£W(r,®)+Xr(^+£r(r,a,)+oÍ£:r(M>,)
+ max j log 1, logt // (r , bj) V+ log j//q-j
+ log

iel \ j = 0
V ®y
ie/
j=0
r
’b
r-> 00 TV ( r wl r->co TÍ r wl
N ế u q > k + deg (®), k h i đ ó
f1
ir’aj)
+ m
m
r
Kết hợp hai truờng họp ta đuợc:
Suy ra(
T(r,w)
r —>00
m V $>)
0< jT( r,w)
Chứng minh:
max <
r

max|c,.(z)|
ie/ 1 v /]p

m r c

+p m r ứ

+
^ì + X
( ’ /)hàm
+Xm(r’c/)+Z!m(r’úíý) Theo định lí 1.2.8
suy( ’raí)R X
là một
hữu tỉ.
7=0
® //ỉ'e/ie/
7 =0
r

+ơ

’i
Ị\

Lấy ZGC với

ỵT(r.c l )+±T(r,ak J )+±T{r,b J )= 0 ự(r,v,)).
(do Ỵ j T(r,c i ) = o(T(r,w)))


(«n

\
, w(z0) = 00. Theo bổ đề 1.2.2 ta có:

Ú°A (■z0) ^ k ÚZ (.z0) + £ /í" (.z0)

Theo bổ đề 1.2.6 ta có:
/f?(zo)-/«ĩ(zo)ắ ÍTC(ZO) + ZÂỈ(ZO) V

1t‘Z( 2 o)-ị ê t‘ỉ,( z o)

7-0

/V

=(* - ?)/C (z0) + (
+ix bo)
7-0

Suy ra

7-0

z

0)+lx

7-0

7-0

7-0

/íộ (Z0 ) = <“« (Z0 ) 2 /<" (z0 )-ft”( Z o) ắ Ift"( Z o) + Ẻ^( Z o)

0

7=0
V

Nếu (z0) - 2//° (z„) < 0 o f t " (z0) < - Ỳ u ị (z0) •
7=0
Theo bổ đề 2.1.2, ta có:

7=0
+ Ém(rA) ƠM

# 7=0
b

Theo tính chất 1.1.7, ta có:

(z0) ^ Ẻ<°«" bo)

í iA

. I 'J

7=0

J


r

’7“

AỘ( z o) s /£( z o) + /«ĩ( z o)00

w{n)^ = ỴÀdiwiữ (wý ...(w{n)Ỵ
m(r,am)+ m(r,en)+ m

ỈQ+ỈỊ +...+/W

w
( z0 ) + z <“
V J” ( z0 ) •
deg(Q)
+ 777
q-j

MỔẼW(ZO)^/‘7(ZO) + ấ
=Z -

,wv
w
mír,b,)


ÌQ+ÍỊ +...+ZM

jsJ

+777 r , -

0
V
Vr V^

}

’

'

k

m ( r , c i ) + Ỵ j m ( r , a jV)w J+ Ỵ j m ( r , d i ) +
([)

r

’T
r
r

’i

cp

7=0

ie/

( f(n) ^
VV9y
.) + 0(l) ieJ
= 0(1)).
r
/77
J
I
Kết hợp cả hai trường
họp tak được:
V
m(r,ci) + Ỵjm(r,aJ) + Ỵjm(r,di) + 0
Ạ (zo) s ^ (zo) + 2X (zo) + maxịl, A5)Ịl>° (z„) + 2X (z„) (do 777 (r,e.) = 777( 7%^.)+
iel

o

j=0

7=0

cD

[

) 7=0

y

iel

ỡ(l))

B(z,w)
Trong
trường
họp
w(z
)
^
00
ta
quay
về
trường
hợp
hai
do
0
Định lí 2.3.2: Neu tồn tại một nghiệm
w của (10) với R [ z , w ) được xác định bởi
(6) sao cho:

Do đó

? T C Ắr+deg(cl>)
( z 0) - ẳx ( z 0) = -ịx, ( z o) ^

0

7=0

7=0

Y J T { r l ) + Y J T(r,d l ) + Ỵ j T(r,a J )+Ỷ
^ 00 ,
00 , ^
[, r(Q)] V1 0J ,T{r,b
V 00 J ) = o(T(r,w)),
gAn ^ AĨ + 2X +
max 1,—^ 2X- + 2>"
ir’a’j)
Ả:+ m + ^(n)(l-© w (oo))|.

Theo bổ đề 2.1.4, ta có:
Từ đómsuy ra
AT
Chứng minh:

r

+

c

V ^7 yy

r ữ +

■’ỉi-4 ’ii s^’ 'TẺ^(
í (») >
Ý’,) °Í2>
V ^ / ie/

£l(z,w,w',...,w
v

V w J7=0

{n)

’

^ 7=0

)= A ị ( z , w ) + ẨAZ,W) ® ( z , w , w ' , . . . , w { n ) )
\

B(z,w)) V

’

Kết họp các kết quả trên ta được:
^ì^^ì +j En^)
+ oÍấr(r,è,)

z,w)oỊz,w,w',...,w^
= 2 ị +- tr(r,a,)
y<ĩ)Ịz,w,ịv',-,^Ị
V (Í>J

* Nếu q > Ẩ7 + deg(0)

‘Py Í6/

Q-40
o

i"

7=0

V7-0


v

’ Ẩ(z,w) v

'

(do Ỵ j T ( r , c i ) + Ỵ j T ( r , d i ) + Ỵ j T ( r , a j ) + Ỳ , T { r , b j ) = o ( T ( r , w ) ) )
iel

ieJ

7=0

( Q-40^1
= T ị r , ^ \ = m 2ữ . { k 2 , q } T { r , w )
Mặt khác, theor,—^r~
định lí 1.2.7 ta có:
- gr(r,w) + ớ(r(r,w))

7=0

+

o(T(r,w))

Do đó, minh
Chứng
ta thu tương
được: tự như trên ta cũng thu được:

qT[r,w ) < r(r, 0) + ớ( 7, (r,w)).
k < min {r(íì),deg(íì)+/(n)(i-0„(oo))Ị.

Theo chứng minh của định lí 2.1.6, ta có:
Định lí được chứng minh.

r(r,Suy ra
Định lí 2.3.3: Cho ReM^ ). Nếu phưong trình vỉ phân sau đây
Clịz,w,W,...,w^ j = R ( w ) ^ { z , w , w 'j
có một nghiệm khác hằng w e M ( PJ thỏa mãn:

Y i T(r,c l ) + Y J T(r,d l ) = o{T(r,w))
iel

ieJ


r

WL_W^ ^

w

Theo tính chất 1.1.8
có: < m i n I r (o) , de g (o) + (o) (1 de gta(5)
2.4. Nghiệm chấp nhận được của một số phương trình vi phân
0 1 V ( 00)) Ị

u

V vy\
deg(^) < mĩn|r(Q),deg(Q)
+ /l(Q)(l-0 w (oo))|.

(r, w) + m
Trong phần này, ta sẽChứng
bàn đếnminh:
phưong trình ívi phân
Ị saut\đây
r,—

w[ w
r,———
Mặt khác, cũng theo tính chất 1.1.8 và định líV 1.1.12
ta
có
rv
\

= 0(1)

r,—

Theo tính chất 1.1.9 ta có:
Ũ.{z,w,w',...,w{n)\ = Ỵjaj(z)wj

()

V ’ W 1 w0 )

T( -ì r r "\
w
V ’W1 vv
0j0, Wj GẢ/| Ì là độc lập tuyến tỉnh, khiVđó
Bổ đề 2.4.1: Nếu

0 1

w

oj

+ 0(1).

T(r,wữ)+ v(r,w,) + v r,— +0(1).
r(r,Q) + r( r,0)
V<
J^
V 1 0 J0 J

T(r,Row)
+ N _,>V

w

Theo tính chất 1.1.7 và tính chất 1.1.10 ta suy ra

r,—

Chứng minh:

r,—

r(r,w)

T[r,w)

< iV(r,Wj)w=
+N

w{

T(r,w)
wữ

r,—
V woy

r1ì

r,—
V woy

+
0(1)
+
0(1).

w;wữ\
+ N(r,w,) + N +0(1),
V w
w, w0

2r(r,c1.)+2r(r,rf,.)+^r(/-,ứ
l' ;)+^r(í-,ft.) = o(r(í-,w)).

) + N r,— +N(r,wx) + N
+ w1) + Af(r,w0)
V woy

Định lí đuợc chứng minh.

Giả sử

w0=w

Wx w
w. vu

V "ì

v

*í V'

vui vu

0/

0(1).


Theo định
ta có vỉ phân của w và Q là đa thức vi phân của w với
trong
đó p lílà1.2.5
đơn thức
deg(p) > deg(ô), ỵ(p) > ỵ{Q)'
= kT (r ,w) + o{T (r ,w)
Neu k <1, và nếu (12) có một nghiệm phân hình khác hằng chấp nhận được, khi đó

(12) có dạng sau đây
điều này dẫn tới mâu thuẩn,
vì vậy 1{n),w,w
hệ độc lập ktuyến
tính
Cl(z,w,W,...,w
^ = 2alàk(z)(w+b(z))
, Mz) =
~rztrên
4~v
truờng M ( ì. Do đó, từ hệ thức (*) suy ra a - (3.

kak\z)

Khi đó a = (5 = 0, hay w0 và Wị độc lập tuyến tính.

1 là hiển nhiên.
Từ đó suy ra

Giả sử ngược lại với k nào đó, 1 < k < ỉ

k

jn

n

ỵaỵ-ak(w+b) =ỵ]AjwJjắO, b = ^~,

j=0

7=0

T(r,aj) = o(T(r,w)).

kak


ík

\

(kị

m(r,Q) = m r,^ajwj - km(r,w) + 0 ^ m(r,cij) + m
K j=°

V=0V

)

= Ẩ77?(r,w) + ớ(r(r ,w)).

T(r,wữ)) + N r>— + N(r,wỉ) + N

T(r,w0) = kT(r,w) + o(T(r,w),

( ).

0 1

(//zeơ định lí 1.2.5 )

T(r,wì) = lT(r,P + Q) = kT(rìw) + o(T(rìw),
= kN(r,w) + oịr(r,w)y
r,—

V woy

= Nịr,—^—ị^ + o(T(r,w))
Suy ra
V

V ’ w .y

m [ r , w ữ + Wị) = m . m { r , w ^ +

oịr< m T (r, w) + ơ(r(r, w ) ) .

m(r,Q) = l.mịr^P + 0]

kT{r,w ) < mr(r,w) + ĩ(r,w) + -ĩ(r,w) + ớỊĩ(r,w)Ị
và theo bổ đề 1.2.4 ta có

ra + — + lìr(r,w) + ơ(r( r,w))
V1 J