Định lý hahn banach và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (463.47 KB, 61 trang )
Lussa“ TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
w
—
lộsp-T
Bộ GIÁo Dưc VÀ ĐÀO TẠO
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Phạm Anh Quang
ĐỊNH LÝ HAHN - BANACH
ĐỊNH LỸ HAHN - BANACH
VÀ ỨNG DỤNG
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên
ngành
:
Mã số
Toán
giải
tích
: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DÂN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐẬU THÉ CẤP
TP. Hồ Chí Minh - 2009
LỜI CẢM ƠN
Qua luận văn này, em xin bày tỏ sự biết ơn của mình đến PGS. TS.
Đậu Thế Cấp, người thầy, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn
thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn quỷ thầy, cô đã hướng dẫn, giảng dạy và
truyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình đào tạo.
Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè và đồng nghiệp đã có những
ý kiến đóng góp cho luận văn này.
MỤC LỤC
Trang
phụ
bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU ............................................................................................................1
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC co BẢN
1.1. Tập họp ......................................................................................................2
1.2. Không gian vectơ.......................................................................................3
1.3. Không gian tôpô.........................................................................................4
1.4. Không gian vectơ tôpô - Không gian lồi địa phương ..............................5
1.5...................................................................................................................... C
huẩn - Không gian định chuẩn..........................................................................6
1.6...................................................................................................................... T
oán tử tuyến tính - Không gian liên họp............................................................6
Chương 2. ĐỊNH LÝ HAHN - BANACH
2.1. Sơ chuẩn và nửa chuẩn ...........................................................................10
2.2. Định lý Hahn - Banach dạng mở rộng ....................................................11
2.3. Định lý Hahn - Banach về tách các tập lồi..............................................20
2.4. Định lý Hahn - Banach dạng hình học ....................................................23
Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HAHN - BANACH
3.1. Bất đẳng thức không tương thích.............................................................31
3.2. Hàm liên họp............................................................................................38
3.3. Các định lý đối ngẫu ...............................................................................42
3.4. Bài toán cực trị ........................................................................................47
KẾT LUẬN.......................................................................................................56
MỞ ĐÀU
1. Lý do chọn đề tài
Neu không có định lý Hahn - Banach thì cấu trúc của giáo trình Giải tích hàm
rất khác so với ngày nay như ta đã biết. Định lý Hahn - Banach là một trong ba
định lý quan trọng và co bản nhất của Giải tích hàm, là định lý mạnh về sự tồn
tại mà dạng của nó đặc biệt thích hợp những vấn đề tuyến tính với một lượng lớn
ứng dụng thực tiễn quan trọng. Định lý Hahn - Banach là một định lý rất được
các nhà Giải tích học ưa chuộng. Mục đích của luận văn là trình bày hai lớp định
lý được biết rộng rãi có tên là Định lý Hahn - Banach dưới dạng mở rộng (dạng
giải tích) và Định lý Hahn - Banach dưới dạng tách - dạng hình học, và chúng
đều khẳng định chắc chắn sự tồn tại của một phiếm hàm tuyến tính cùng với
những đặc tính nào đó. Cả hai dạng của định lý Hahn - Banach tương đương
nhau về mặt toán học. Phần cuối của luận văn trình bày một số áp dụng của định
lý Hahn - Banach trong lý thuyết đối ngẫu và bài toán cực trị. Chúng tôi chọn đề
tài này để tìm hiểu sâu về định lý Hahn - Banach.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu các dạng định lý Hahn - Banach, xem xét một số ứng dụng của nó.
3. Đối tượng nghiên cứu
Định lý Hahn - Banach.
4. Phạm vi nghiên cứu
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC cơ BẢN
1.1.
Tập hợp
Cho các tập X và Y, ta gọi tích Descartes của X và Y là tập X X Y = {(x,y):
X E X, y 6 Y}. Tích Descartes X X X, ký hiệu là X2, được gọi là bình phương
Descartes của X.
Ta gọi một tập con s của X X Y là một quan hệ trên X và Y; một tập con của
X2 là một quan hệ trên X. Neu s là một quan hệ thì thay cho cách viết (x,y) E s
ta sẽ viết là xSy. Quan hệ s trên X gọi là:
Có tính chất phản xạ nếu mọi xeX đều có xSx;
Có tính chất đối xứng nếu mọi X, y 6 X, xSy thì ySx;
Có tính chất phản xứng nếu mọi X, y E X, xSy và ySx thì X = y;
Có tính chất bắc cầu nếu mọi x,y,z E X, xSy và ySz thì xSz.
Quan hệ s trên X được gọi là quan hệ thứ tự nếu s có các tính chất phản xạ,
phản xứng và bắc cầu. Neu s là quan hệ thứ tự thì thay cho cách viết xSy ta sẽ
viết X < y và viết X < y nếu X < y và X ^ y.
Tập X cùng một quan hệ thứ tự trên X gọi là tập được sắp. Nếu mọi x,y E X
ta đều có X < y hoặc y < X thì X được gọi là sắp tuyến tính (hay sắp toàn phần).
Trong trường hợp khác thì X gọi là sắp bộ phận.
Phần tử a E X gọi là phần tử tối đại (tối tiểu) nếu mọi X E X, a < X (x < a) thì
X = a.
Cho E là một tập con của X. Phần tử a E X gọi là biên trên (dưới) của E nếu
X < a (a < x) với mọi X E E. Neu a là biên trên (dưới) của E và a E E thì a gọi là
phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của E.
Một tập được sắp gọi là được sắp tốt nếu mọi tập con khác rỗng của nó đều
có phần tử nhỏ nhất.
Bổ đề Zorn. Nếu X là một tập được sắp mà mọi tập con được sắp tuyến tính
của X đều có biên trên thì X có một phần tử tối đại.
1.2. Không gian vectơ
Trong luận văn này ta ký hiệu K là trường số thực R hoặc trường số phức c.
Không gian vectơ trên trường K là tập X, trong đó có một phép cộng
XxX->X và một phép nhân vô hướng KxX^X, thỏa các điều kiện sau:
a) (x + y) + z = x + (y + z)
b) x + y = y + x
c) 30 6 X, X + 9 = X
d) 3(-x) e E, X + (-x) = 0
e) X(x + y) = Xx + Xy
f) (x + p)x = Xx + px
g)
(Xn)x = X.(nx)
h) l.x = x
với mọi x,y,zeX,mọi X,peK
Các phần tử của không gian vectơ gọi là các vectơ. Nếu không có sự hiểu
nhầm, không gian vectơ trên trường K, thường viết là không gian vectơ.
Nếu xeX và A cz X, thì x + A = {x + a:aeA}. Nếu AczX và B
Chú ý rằng: A + B = B + A nhưng A + A không bằng 2A.
Độc lập tuyến tính
Giả sử M là tập con của không gian vectơ X. M được gọi là một hệ độc lập
tuyến tính, nếu với mọi hệ con hữu hạn Xp ...,xn và mọi hệ (Xp ...,an E K không
n
n
đồng thời bằng 0, ta đều có ^otịXị * 0. Vectơ y = ^aixi gọi là tổ hợp tuyến
i=l
i=l
tính hữu hạn của các vectơ Xp ...,xn.
Không gian vectơ con
Một tập con Y không rỗng của không gian vectơ X gọi là một không gian
vectơ con (hay không gian con) của X nếu tổ hợp tuyến tính A,x + py e Y với
mọi x,yeY và mọi X,ịieK.
Giao của một họ các không gian vectơ con của X là một không gian vectơ
con của X. Giao của tất cả các không gian vectơ con của X chứa tập con s của X
là không gian vectơ con bé nhất của X chứa s, gọi là bao tuyến tính của s
(không gian con sinh bởi S). Ký hiệu không gian con sinh bởi s là (s), (s) bao
gồm tất cả các tổ họp tuyến tính của s. Ta có (0) = {0}.
1.3. Không gian tôpô
Cho tập hợp X. Một họ X các tập con của X gọi là tôpô trên X nếu thỏa mãn
các điều kiện sau:
i) X và 0 thuộc X;
ii) Hợp tùy ý các tập thuộc T là thuộc X;
iii) Giao của hữu hạn các tập thuộc X là thuộc X.
Một tập X cùng với tôpô T trên X gọi là một không gian tôpô, ký hiệu là
(X,x). Tập GET gọi là tập mở của X và F gọi là tập đóng nếu X\F là tập mở.
Tập con V của X gọi là một lân cận của X thuộc không gian tôpô X nếu tồn
tại tập mở G sao cho xeGc V. Neu V mở thì ta nói V là lân cận mở.
Cho A là tập con của không gian tôpô X. Ta gọi phần trong của A là hợp của
tất cả các tập mở được chứa trong A, ký hiệu hay intA. Và ta gọi bao đóng của A
là giao của tất cả các tập đóng chứa A, ký hiệu là A.
Điểm X được gọi là điểm trong của tập con A trong không gian tôpô X nếu X
có một lân cận V sao cho VcA.
Không gian tôpô gọi là tách (hay không gian Hausdorff) nếu hai điểm bất kỳ
khác nhau, đều có hai lân cận rời nhau.
1.4. Không gian vectơ tôpô - Không gian lồi địa phương
Tập X được gọi là một không gian vectơ tôpô trên trường K nếu:
i) X là không gian vectơ trên trường K;
ii) X là không gian vectơ tôpô (với tôpô T);
iii) Với tôpô T, phép cộng và phép nhân vô hướng là những ánh xạ liên tục.
Ta có nếu Ư là lân cận của điểm gốc 0 (gọi tắt là lân cận) thì ư + x0 là lân
cận của Xo và nếu u là một lân cận của điểm gốc 0 (gọi tắt là lân cận), thì aư là
một lân cận (với mọi a ^ 0).
Một tập con 5^ của tập họp các lân cận của X được gọi là một cơ sở lân cận
của X, nếu với mỗi Ue^x đều tồn tại V E ^ sao cho VcU.
00
Tập hợp con A của không gian vectơ X được gọi là hút nếu UnA = X; gọi là
n=l
cân
nếu
xeA,
thì
với
mọi
ẰeK,
|x|
đều
có
XxeA,
gọi
là
lồi
nếu
mọi
x,yeA, Xe[0,1] ta điều có (l-X)x + XyeA và gọi là tuyệt đối lồi nếu nó
đồng thời là lồi và cân, điều này tương đương, với mọi x,yeA ta đều có
Neu D, E là các tập lồi, a là một điểm, X là một số thực thì các tập (D + a),
(D + E) và XD cũng lồi. Phần trong của tập lồi là lồi.
Không gian vectơ tôpô X gọi là không gian vectơ tôpô lồi địa phưong hay
không gian lồi địa phương nếu X có một cơ sở lân cận gồm các tập lồi.
Vì khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi nên trong không gian lồi
địa phương mỗi điểm đều có một cơ sở lân cận lồi.
1.5. Chuẩn - Không gian định chuẩn
Cho X là không gian vectơ trên trường K, một hàm thực q: X —» R được gọi
là chuẩn nếu:
i) q(x) >0 với mọi XEX, q(x) = 0X = 0;
ii) q(x + y) < q(x) + q(y) với mọi x,yeX;
iii) q(A,x)=| A,|q(x) với mọi xeX và mọi ẰeR.
Chuẩn thường được viết là II . II.
Cho X là một không gian vectơ trên trường K cùng với một chuẩn xác định
trên đó gọi là không gian định chuẩn trên trường K.
Cho A tập con của không gian định chuẩn X. Neu A mở, x0 E X thì Xo + A
cũng mở; A đóng, x0 E X thì x0 + A đóng; A mở, B là tập tùy ỷ thì A + B là mở;
A mở, số X * 0 thì XA mở; A đóng, số X ^ 0 thì XA đóng.
1.6. Toán tử tuyến tính - Không gian liên hợp
Cho X và Y là hai không gian vectơ trên trường K, ánh xạ f: X —> Y gọi là
ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu với mọi X, y E Y và mọi X, p E K
Neu X và Y là những không gian vectơ tôpô và f là một ánh xạ tuyến tính từ
X vào Y, thì f là liên tục trên X khi và chỉ khi f liên tục tại điểm gốc.
Neu X và Y là những không gian vectơ tôpô và f là một ánh xạ tuyến tính từ
X vào Y, thì f liên tục trên X khi và chỉ khi f bị chặn, tức là tồn tại số k > 0 sao
cho ||f(x)||
Không gian liên hợp
Giả sử X là một không gian vectơ trên trường K, toán tử tuyến tính f: X —» K
gọi là phiếm hàm tuyến tính. Tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên X là một
không gian vectơ trên trường K, được ký hiệu bởi x#, gọi là không gian liên hợp
đại số hay không gian đối ngẫu đại số của X. x# là không gian vectơ với các
phép toán xác định bởi (ộ + v|/)(x) = <|>(x) + \|/(x) và (ot(|))(x) = aộ(x) với mọi
ộ,\|/ E X#,x 6 x,a e K.
Giả sử X là không gian định chuẩn trên trường K, không gian if(X, K) tất cả
phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên X được gọi là không gian liên họp
(không gian đối ngẫu) của X. Ký hiệu X*, ta có X* là không gian con của x#.
Bất kỳ không gian định chuẩn X nào thì trên X cũng có một tôpô tự nhiên từ
không gian đối ngẫu X* của nó, gọi là tô pô yếu, ký hiệu ơ(x,x*), đó là tôpô
yếu nhất trên X làm cho tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên X là liên tục. Hiển
nhiên tôpô yếu ơ(x,x*) yếu hơn tôpô metric xác định bởi chuẩn trên X.
Tôpô yếu ơ(x,x*j là tách. Và nếu X là không gian định chuẩn hữu hạn
chiều thì tôpô yếu ơ(x,x*) và tôpô mêtric xác định bởi chuẩn của X là trùng
Với tôpô yếu ơ(x,x*) ta có các khái niệm ơ(x,x*)-đóng, a(x,x*)-mở,
... sau đây ta sẽ gọi đơn giản là đóng yếu, mở yếu ...
Tuơng tự ta cũng có tôpô yếu trên X* là ơ(x*,x**). Trên X* còn một tôpô
quan trọng hơn tôpô yếu, ta có một kết quả là X c= X**, cho nên trên X* có thể
xét tôpô ơ(x*,x), gọi là tôpô * yếu. Nhu vậy tôpô * yếu ơ(x*,x) yếu hơn tôpô
Nhắc lại, một không gian vectơ con được gọi là không gian con thực sự của
không gian vectơ X nếu nó khác biệt không gian. Ta gọi một siêu không gian là
không gian con thực sự cực đại, tức là không gian con không chứa thực sự trong
bất kỳ không gian con thực sự nào khác. Dễ dàng chứng minh nhân N(ộ) =
jxeX:<|>(x) = 0Ị = Kerộ của một phiếm hàm tuyến tính ộ khác 0 trên X là một
siêu không gian. Cũng có: mọi siêu không gian là nhân của một hàm tuyến tính
khác 0 nào đó. Siêu phang là một sự tịnh tiến của một siêu không gian. Nói cách
khác, giả sử M là một siêu không gian của không gian vectơ X, thì tập a + M
được gọi là siêu phang trong X. Bản thân M là một siêu phang đi qua 0.
Neu H là một siêu phẳng thì tồn tại một hàm tuyến tính ộ và một vectơ a e X
sao cho H = a + N((|)). Bây giờ giả sử rằng (|)(a) = a. Với mọi heH thì h =
a + y với yeN((|)). Do đó ộ(h) = ộ(a) + ộ(y) = a. Mặt khác, giả sử rằng xeX
sao cho (|)(x) = a. Cho y = x-a thì ộ(y) = 0, nghĩa là yeN((|)) và x = a + ye
a + N(ộ) = H. Như vậy chúng ta đã chứng minh rằng với mỗi siêu phang H, có
phiếm hàm tuyến tính khác không ộ và một số thực a sao cho H={xeX:
ộ(x) = aj. Mỗi siêu phẳng H chia toàn bộ không gian thành hai tập lồi
Hr={xeX: 4>(x) > aỊ và Hj = Ịx E X: ộ(x) < aỊ, được biết như là nửa không
gian và gọi là nửa không gian con đóng của X liên kết với H (mặc dù không gian
vectơ X không có khái niệm “tập con mở” hoặc “tập con đóng”). Tương tự
nhũng tập jxeX:ộ(x)>oc} và {xeX:ộ(x)
Nếu X là không gian vectơ tôpô thì siêu phẳng H = ỊxeX:<|>(x) = aỊ là đóng
khi và chỉ khi ộ liên tục. Điều đó suy ra từ kết quả sau: Neu f là một phiếm hàm
tuyến tính trên một không gian vectơ tôpô, thì f liên tục khi và chỉ khi f-1 (o) là
đóng.
Chương 2. ĐỊNH LÝ HAHN - BANACH
2.1.
Sơ chuẩn và nửa chuẩn
Sơ chuẩn và nửa chuẩn
Cho X là không gian vectơ trên trường K và một hàm thực p: X —» R, khi đó:
p được gọi là một sơ chuẩn nếu
i) p(A-x) = ^p(x) với mọi X E X, và mọi Ằ,eR với X > 0;
ii) p(x + y) < p(x)+ p(y) với mọi x,yeX.
p được gọi là nửa chuẩn nếu
i) p(x) >0, với mọi xeX;
ii) p(Xx) =1XI p(x) với mọi xeX, với mọi X E K;
iii) p(x + y) < p(x) + p(y) với mọi x,yeX.
Ta có mọi chuẩn là nửa chuẩn và mọi nửa chuẩn đều là sơ chuẩn.
Phiếm hàm Minkowski
Trong không gian vectơ X, cho tập c khi đó pc (x) = inf {t > 0:x E tc}, xác
định hàm từ X vào R, gọi là phiếm hàm Minkowski của c, ở đây inf t = +00.
te0
2.1.1. Định lý.
a) Với mọi tập lồi và hút u, phiếm hàm Minkowski Pu là một sơ chuẩn.
b) Vói mọi tập tuyệt đổi lồi và hút u, phiếm hàm Minkowskỉ Pu là một nửa
chuẩn.
hay pư : X —» R.
Lấy x,yeX và a>0 thì pư(ax) = apư(x) và Pu(x
+
y)^Pu(x)+Pu(y)>
thật vậy, ta có pư (ax) = inf {A, > 0:ax E Àư} = inf ị X > 0:x e — u Ị = inf {at >
À,
X 6 tư} = ainf {t > 0:x 6 tu} = apư (x) (với t = —). Và với X 6 xu, y 6 pư (A,,
(^ + M)
X
,
\1
——X +
X +pX +
(A, + |i)U. Từ đó theo định nghĩa thì pư(x + y)<
+ p với mọi X,\Ấ > 0 thỏa mãn X E xu, y E pư và do đó pư (x + y) < pư (x) +
pư(y). Vậy Pu là so chuẩn.
b) Đe chứng minh pưlà nửa chuẩn, ta chỉ cần kiểm tra pư(ax) = |ot|pư(x)
với mọi a E K và điều này có được là vì u cân nên ax E
Chứng minh.
Với XEƯ ta CÓ lE{t>0:xEtư} hay pư (x) < 1 nên X E |y E X: pư (y) < l}.
Với X E X: pư (x) < 1 khi đó tồn tại t E (0,1) để X E tu. Đặt y = t_1x E Ư, do
u lồi nên x = ty + (l-t)ƠEƯ, vậy ta có điều phải chứng minh.
2.2. Định lý Hahn - Banach dạng mở rộng
Trong phần này, chúng ta giải quyết vấn đề sự mở rộng của một hàm tuyến
tính trên không gian con Y đến một hàm tuyến tính trên toàn không gian X.
Ket quả sau đây có thể được xem như là phát biểu tổng quát nhất của định lỷ
2.2.1. Định lý. (Định lý Hahn - Banach cho không gian vectơ thực)
Cho X là một không gian vectơ thực, p là một sơ chuấn trên X và Y là một
không gian con của X. Khi đỏ mọi phiếm hàm tuyến tính f trên Y thỏa mãn
/(x)< p(x) với mọi xeY, tồn tại phiếm hàm tuyến tính ỷ' trên X sao cho
< /?(*) vói mọi X e X.
Chứng minh.
Ta gọi một mở rộng của f là một phiếm hàm tuyến tính g trên một không gian
con Dg của X chứa Y sao cho g| = f và g(x)
nếu Dg
định hàm h: DA —» R bằng cách sau:
thì tồn tại geA để X6D . Đặt h(x) = g(x), nếu cũng có xeD ,
thì do A được sắp tuyến tính nên g
Lấy tùy ý X, y E DA và a, p e R, khi đó tồn tại g và g' thuộc A để xeDg,
y 6 D ,. Ta giả thiết g' < g, khi đó x,ye Dg và ax + py e Dg c: DA . Vậy DA là
không gian con của X. Ngoài ra h(ax + py) = g(ocx + Ị3y) = ag(x) + pg(y) =
ah(x) + ph(y), do đó h là hàm tuyến tính trên DA. Hiển nhiên h(x) < p(x) với
mọi X 6 DA nên he^f và g < h với mọi geA. Vậy h là biên trên của tập A. Từ
đó theo bổ đề Zom trong <5^ tồn tại phần tử tối đại Y°. G —> R. Để hoàn tất
minh ta sẽ chỉ ra G = X.
Giả sử trái lại, tồn tại y E X \ G, xét không gian con D sinh bởi y và G, tức là
D = {A-y + z:?ieR,zeG}. Với U,VEG ta có ỉi(u) + ỉi(v) = ĩì(u + v)
hạn. Đặt ặ = sup|-p(u-y) + ^u)|, xác định hàm k:D^>R bởi k(?ty + z) =
với mọi ÀeR, zEG . Hiển nhiên k là tuyến tính và k(z) = Yịz) với
mọi zeG. Ta chứng minh k(^y + z)
X^ + Yịz) = X ^ + Ỳ(—V|
1 = A,pf—+ yl =p(À,y +
1 u )) I U ) U J u )) u ) v
z) với mọi z e G . Cuối cùng nếu X = -p < 0, để ý là -% = inf Ịp(u - y) - ^u)Ị,
KV-))
tacó k(Ằ,y + z)=-pệ + ?/(z) = p -ị + Y* — < u nf—- vl-ĩí—1 + x)
ỉ^—1
=
pp
-p(z - py)= p(^y + z) •
Như vậy k(x) < p(x) với mọi X E D. Điều đó chứng tỏ k E (X*. Bởi vì Y°< k
k. Ta gặp mâu thuẫn vì Y tối đại.
2.2.2. Định lý. (Định lý Hahn - Banach cho không gian vetơ trên trường K)
Cho X là một không gian vectơ trên trưòng K, p là nửa chuẩn trên Xvà Y là
không gian con của X. Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính f trên Y thỏa mãn
|/(x)|< p(x) với mọi xeY, tồn tại phiếm hàm tuyến tính ỳ' trên X sao cho
= f và |j^(x)|
Chứng minh.
Trường họp K = R.
Để ý rằng f(y) <|f(y)|
Mọi không gian vectơ phức X có thể coi là một không gian vectơ thực (phép
nhân vô hướng RxX^X là thu hẹp của phép nhân vô hướng CxX—»X). Ta
gọi một phiếm hàm tuyến tính thực trên không gian phức X là một phiếm hàm
tuyến tính trên X nếu coi X là không gian vectơ thực nói trên. Trước hết ta chứng
minh bổ đề sau.
2.2.1. Bổ đề. Hàm f : X —» c là phiếm hàm tuyến tính trên X nếu và chỉ nếu
tồn tại một phiếm hàm tuyến tính thực fj trên Xsao cho f ( x ) = /(x) -ifx(ix)
với mọi X e X.
Chứng minh.
Giả sử f: X —> c là phiếm hàm tuyến tính, đặt f (x) = fj (x) + if2 (x) trong đó
fỉ(x) = Ref (x) và f2 (x) = Imf (x). Ta được các phiếm hàm tuyến tính thực fi,
f2 trên X. Bởi vì f(ix) = f1(ix) + if2(ix) và f(ix) = if(x) = i(f1(x) + if2(x)) =
ifj(x)-f2(x) nên ta có f2(x) = -f1(ix). Suy ra f(x) = f1(x)-if1(ix), tức fi
chính là phiếm hàm tuyến tính muốn tìm.
Ngược lại, vì fi là tuyến tính thực nên hàm f (x) = f1(x)-if1(ix) thỏa mãn
f(x + y) = f(x) + f(y) với mọi x,yeX. Với mọi xeX và ^ = 0t + ipeC ta có
f (^x) = fj (À.X) - ifj (i^x) = ((a + ip) x) - ifj (i(a + ip) x) = afj (A,x) + pf, (ix) iafj (ix) + ipfj (x) = (a + ip) fj (x) - i(a + ip) fj (ix) = A,(f, (x) - iíị (ix)) =
vậy f là hàm tuyến tính phức.
Trở lại chứng minh cho trường họp K = c.
(x),
Từ bổ đề 2.2.1, gọi fj là phiếm hàm tuyến tính thực trên X để f (x) = fj (x) ÌÍỊ(ix). Bởi vì fj(y) <|f (y)|
E X. Ta sẽ chứng minh Ỳ', ĩ^x) = ỈJ°(x) - iĩ^ix) với mọi X E X, là phiếm
hàm cần tìm.
Thật vậy, do mọi X E Y, f (x) = fj (x) -ifj (ix), kết hợp với YỊ = fj dẫn đến
ĩỷ = f. Mặt khác nếu ỉì(x) ^ 0 thì ỉ^x) = |?^x)|ei0 (0 E R phụ thuộc vào x) nên
|ỉi(x)| = e_i0ỉi(x) = ỉ^e_iex). Mà 5K^e~iex) là một số thực nên ?^e"iex) = ^°(e_iex).
Vì vậy Yịx)\ = ỉ^e-iex) = ỉ^e_iex)
mở rộng dễ dàng như những phiếm hàm tuyến tính hay không? Banach và Mazur
đã chứng minh điều này là không thể vào năm 1933 nhưng chứng minh đó
không đúng. Mãi đến năm 1950, Nachbin mới có câu trả lời chính xác cho câu
hỏi này.
2.2.1. Hệ quả. Giả sử X là không gian vectơ trên trưòĩig K, a e X , p là một
nửa chuẩn trên X. Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên X thỏa
f ( a ) = p [ a ) và |/(x)| < /?(x) với mọi x e X .
Chứng minh.
Gọi Y là không gian con của X sinh bởi a, Y = |A,a: À, E Kj, lấy X E Y khi đó
X = X a (Ằ,eK). Ta định nghĩa fj(x) = >ip(a)(À,EK). Khi đó, fj là phiếm hàm
tuyến tính trên Y, đồng thời, |fj (x)| = |fị (A,a)| = |A,|p(a) = p(A,a) = p(x).
Theo định lý 2.2.2 tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên X sao cho f(x) = fj(x)
với mọi XE Y và |f(x)|
Cho X là một không gian định chuẩn và Y là một không gian vectơ con của X.
Khi đó mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên Y, tồn tại một phiếm hàm tuyến
tính liên tục Y trên Xsao cho ỷ* = f và ỷ =||/||.
Chửng minh.
Đặt p(x) =||f||||x|| với mọi XEX, khi đó p là một nửa chuẩn trên X và
|f (x)| < p(x) với mọi X E Y. Từ đó theo định lý 2.2.2 tồn tại phiếm hàm tuyến
tính Ỳ' xác định trên X sao cho = f và |ỉ^x)| < p(x) = ||f||||x|| với mọi X E X.
Do đó Ỳ* liên tục và ||f| < ||fII.
íf= sụp |rfx)|> sụp |f(x)| = ||f||nên||t
xeX,||x||<1 1 xeY,||x||
vectơ con của X và vectơ x0 E X là điếm không thuộc Y sao cho É/(X0,7) =
yấr
m/||x0 - y\\ = ổ > 0. Khỉ đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f \X —> K sao
cho ||/|| = 1, f\y = 0 và f ( x 0 ) = s.
Chứng minh.
Gọi G là không gian con của X sinh bởi Y và Xo, G = {^x0 + y:XeK,yeY},
công thức g(^x0 + y) = Xô với mọi X x ữ + y E G cho ta phiếm hàm tuyến tính g
trên không gian con G. Nếu X = 0 thì g(Xx0 + y) = 0. Nếu X * 0 thì ||A,X0 + y|| =
>|x|s vì ~eY. Từ đó |g(^x0 + y)| = |Ằ|5<||XX0 + y|| với mọi
^x0 + y E G . Vậy g liên tục và ||g|| < 1.
Với r tùy ý, 0 < r < 1, do d(x0,Y) = ô nên tồn tại y E Y để ||x0 - y|| < r_15 hay
r||x0 - y|| < 5. Từ đó |g(x0 - y)| = ô > r||x0 - y||. Vì ||x0 - y|| > ô > 0 cho nên ||g|| =
|g(x)|
r và do r < 1 tùy ý nên ||g|| > 1. Vậy ||g|| = 1.
xeG\{0} X
Áp dụng hệ quả 2.2.2, tồn tại mở rộng tuyến tính liên tục f của g lên X sao
cho ||f|| = l. Vì f|G =g nên f|Y =g|Y,f(x0) = g(x0) = S.
Lấy Y = {0} trong hệ quả 2.2.3, khi đó d(x0,Y) =||x0||. Ta đuợc hệ quả 2.2.4
như sau
2.2.4. Hệ quả. Cho X là một không gian định chuẩn, x0 E X và x0 ^ 0. Khi
đỏ tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên Xsao cho ||/|| = 1 và /(x0) = ||x0||.
Và như thế thì bất kỳ không gian định chuẩn khác không nào cũng có một
hàm tuyến tính liên tục khác không.
2.2.5. Hệ quả. Cho X là không gian vectơ tôpô thực, và c là tập con tuyệt đổi
lồi, mở và hút. Nếu x0 E X là điếm không thuộc c, thì tồn tại một phiếm hàm
tuyến tính liên tục /: X —» R, sao cho f ( x 0 ) = 1 và f (ỳ) < 1, vói mọi V £ c.
Chứng minh.
Gọi Y = {tx0: t E R| là không gian vectơ sinh bởi x0 và định nghĩa phiếm hàm fi
xác định bởi fj(tx0) = t, với mọi x = tx0,teR. Khi đó fj là tuyến tính, và
fj (x0) = 1. Trước tiên ta chỉ ra fj (y) < pc (y), với mọi y E Y.
Xét y E Y, y = tx0, t E R. Với t < 0, thì rõ ràng fj (y) < Pc (y), bởi vì fj (y)
= t < 0 và vế phải pc (y) thì luôn không âm. Giả sử t>0, từ pc là một sơ chuẩn,
ta có Pc(y) = Pc(txo) = tpc(x0), mà X0ỂC theo hệ quả 2.1.1 thì pc(x0)>l.
Suy ra pc(y)>t = f,(y).
Bây giờ áp dụng định lý 2.2.2 có một phiếm hàm tuyến tính f trên X sao cho
f|Y=fj và f(x)
. Vấn đề còn lại là chứng minh f liên tục, để làm điều đó, do f là tuyến
tính, chỉ cần chứng minh f liên tục tại 0.
Với mọi £ > 0, ta sẽ tìm lân cận mở U8 sao cho |f (u)| < £, với mọi u E Ưe.
Lấy
ƯE
=(2fiC)l
(-2fiC),
chú
ý
rằng,
với
mọi
UEƯg
chúng
ta
có
íue2sC,
hay (2e) 1(±U)EC, thì từ hệ quả 2.1.1, nên PCỊ(2E) 1(±u)j
2.2.6. Hệ quả. Giả sử X là không gian lồi địa phương, Y là một không gian
vectơ con của X. Khỉ đó mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên Y, tồn tại một
phiếm hàm tuyến tính liên tục ỳ' trên Xsao cho = /.
Trước khi chứng minh ta xét bổ đề sau
2.2.2. Bổ đề. Giả sử p và q là các nửa chuẩn trên không gian vectơ X. Nếu
q(x) < 1 kéo theo p(x) < 1 thì p(x) < q(x) với mọi X EX.
Chứng minh.
Neu không, sẽ tồn tại X E X, ot>0 với 0
<
vay
Trở lại với chứng minh hệ quả 2.2.6.
Do f liên tục trên Y, tồn tại lân cận tuyệt đối lồi và hút Ư (của 0) sao cho
|f (x)| < 1 với mọi X E ư I Y. Áp dụng bổ đề 2.2.2 nhu sau: Lấy X E Y sao cho
pư(x)
pư (x) với mọi X E X.
Vấn đề còn lại là chúng minh liên tục. Thật vậy với £ > 0 , XE8Ư thì
|f (x)| < Pu (x) < £ nên Ỳ' liên tục tại 0. Do đó Ỳ' liên tục.
2.2.7. Hệ quả. Cho X là không gian lồi địa phưong, Hausdorff, ve X và
V & 0 . Khỉ đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên Xsao cho /(v ) = 1.
Chứng minh.
Gọi Y = (v) là không gian vectơ con sinh bởi V và định nghĩa phiếm hàm fi
xác định bởi fj(À.v) = À.. Khi đó fj là phiếm hàm tuyến tính trên Y. Do tính
Hausdorff của X nên có thể chọn ư là lân cận tuyệt đối lồi sao cho V Ể u. Với
mọi 8 > 0, A,v e £Ư thì |fj (A,v)| < 8 nên fj liên tục trên Y. Khi đó sự tồn tại hàm f
thỏa f (v) = 1 do hệ quả 2.2.6.
2.3. Định lý Hahn - Banach về tách các tập lồi
Bây giờ xét bài toán tồn tại phiếm hàm tuyến tính tách hai tập con lồi không
giao nhau. Nói cách khác, với hai tập lồi không giao nhau trong không gian
vectơ, khi nào có thể tìm thấy một siêu phang sao cho hai tập lồi này nằm trên
hai miền đối diện của siêu phẳng đó?
Phiếm hàm tuyến tính f trên không gian vectơ thực X được gọi là tách các tập
với mọi xeD và a
nói siêu phang H tách D và E. Và nếu f (x) < a với mọi X e D và oc
Một điểm a của tập D trong không gian X gọi là điểm bọc nếu với mỗi vectơ
b 6 X đều có số 8 > 0 sao cho toàn đoạn thẳng nối a - sb với a + sb chứa trong
D. Ta nhận xét rằng nếu D có a là điểm bọc thì D - a là tập hút.
Tập con V của không gian vectơ X gọi là đa tạp tuyến tính nếu tồn tại a G V
sao cho V - a là không gian con. Và không gian con này gọi là không gian song
song với đa tạp tuyến tính V.
Mỗi tập lồi D c= X có một đa tạp tuyến tính nhỏ nhất chứa nó, ký hiệu affD,
đó là giao tất cả các đa tạp tuyến tính chứa D.
Neu X là không gian định chuẩn thì mỗi tập con của X là một không gian
metric, với metric xác định bởi chuẩn. Một điểm a G D gọi là một điểm trong
tuơng đối của D nếu a là điểm trong của D xét trong không gian metric affD. Tập
họp các điểm trong tuơng đối của D đuợc ký hiệu riD.
Truóc tiên, chúng ta đề cập đến vấn đề tách hai tập lồi không giao nhau bởi
một hàm tuyến tính (siêu phang), tức là không đòi hỏi một tính chất nào khác
cho không gian vectơ X.
Ta thừa nhận các bổ đề sau trong chứng minh định lý 2.3.1
2.3.1. Bổ đề. Nếu một tập lồi D có điểm trong a và nếu b
đó mọi đỉêm bọc của D cũng là điêm trong.
2.3.2. Bố đề. Một tập lồi D trong không gian Rk bao giờ cũng có ít nhất một
điếm trong tưong đoi (nói cách khác riD ^0 ).
2.3.1. Định lý. Cho X là không gian vectơ thực hữu hạn chiều, D và E là các
tập con lồi không giao nhau của X. Khỉ đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên X
tách D và E.
Chửng minh.
Do D và E là lồi và không có điểm chung nên c = D - E là tập lồi không
chứa 0. Vì X là không gian hữu hạn chiều, nên có thể giả thiết X = Rk. Theo bổ
đề 2.3.2 c có điểm trong tuong đối c.
