Định lý tồn tại và duy nhất của bài toán ba điểm biên

BỢ
GIÁO DỤC
DỤC VÀ
VÀ ĐÀO
ĐÀO TẠO
TẠO
Bộ GIÁO
TRƯỜNG
ĐẠI
HỌC
PHẠM
TP.HỒ
CHÍ
MINH
TRƯỜNG
ĐẠI
HỌC
sưSư
PHẠM
TP.HỒ
CHÍ
MINH

~
X
Nguyên~ Ngọc An X
Nguyên Ngọc An

ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHÁT
CỦA BÀI TOÁN BA ĐIỂM BIÊN
ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHÁT

7
A
r
X
CUA BAI TOAN BA ĐIEM BIEN

A

Chuyên ngành : Toán Giải Tích
Mã số
: 60 46 01

LUẬN
LUẬNVĂN
VĂNTHẠC
THẠCSỸ
SỸTOÁN
TOÁNHỌC
HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009
Thành phố Hồ Chí Minh - 2009


LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin vô cùng cảm ơn PGS.TS Lê Hoàn Hoá, TS. Nguyễn

Văn Đông và TS. Lê Thị Phương Ngọc đã cung cấp tài liệu, tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Giảng Viên thuộc hai trường Đại
Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
Thành Phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn trong suốt quá
trình học tập. Xin được chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu và các Chuyên
Viên thuộc Phòng Khoa Học Công Nghệ-Sau Đại Học trường Đại Học Sư
Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi hoàn thành
khoá học.
Cuối cùng, tôi xin được cảm ơn các bạn học viên cùng lớp đã gắn bó,
giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ.

Tp.Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2009
Tác giả,
Nguyễn Ngọc Ân


MỤC LỤC

Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU ..................................................................................................1
Chương 1 : GIỚI THIỆU BÀI TOÁN.......................................................3
Chương 2 : sự TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI
TOÁN BA DIÊM BIÊN..................................................................5
2.1. Giới thiệu bài toán..................................................................................5
2.2. Kiến thức bổ trợ......................................................................................5
2.3.Sự tồn tại nghiệm.......................................................................................8
2.4.Sự duy nhất nghiệm.................................................................................14

2.5.VÍ dụ........................................................................................................20
Chương 3: sự TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM DƯƠNG
CỦA BÀI TOÁN BA ĐIÉM BIÊN..............................................21
3.1. Giới thiệu bài toán................................................................................21
3.2. Kiến thức bổ trợ....................................................................................22
3.3. Sự tồn tại nghiệm dương......................................................................31
3.4. Sự tồn tại vô số nghiệm dương.............................................................39
3.5. Sự tồn tại duy nhất nghiệm dương........................................................41
3.6. Ví dụ.....................................................................................................44
KẾT LUẬN..................................................................................................47
TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................48


1

MỞ ĐẦU

Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có nhiều úng dụng
trong thực tiễn, được áp dụng ở nhiều lĩnh vực như y học, xây dụng, kiến trúc,
điện tử ... Bài toán ba điểm biên đã được rất nhiều nhà toán học quan tâm. Sự
tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ba điểm biên đã được nghiên cứu bởi
A.R.Aftabizadeh - Chaitan P.Gupta - Jian-Ming Xu, D.Krajcinovic, D.J.
0’Regan và các nhà toán học khác.về nghiệm dương của bài toán ba điểm
biên cũng đã có các nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước như
Yongping Sun, Xiaoling Han, Nguyễn Thành Long-Lê Thị phương Ngọc-Lê
Xuân Trường.
Từ việc nghiên cứu các tài liệu trên, luận văn này thiết lập những kết quả
về điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ba điểm biên. Sau đó
xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm dương của dạng bài toán ba điểm biên này.
Mục đích nghiên cứu của luận văn là áp dụng định lỷ liên tục LeraySchauder để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán ba điểm biên rồi chỉ

ra điều kiện duy nhất nghiệm. Sau đó, áp dụng định lý điểm bất động của
Guo- Krasnoselskii và thuật toán lặp đon để chứng minh sự tồn tại nghiệm
dưong và nhiều nghiệm dương. Cuối cùng, luận văn chỉ ra trường hợp tồn tại
duy nhất nghiệm dương của bài toán ba điểm biên.
Nội dung luận văn gồm có phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết
luận. Cụ thể như sau :
Phần mở đầu
Chương 1 : Giới thiệu bài toán
Chương 2 : Trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ba
điểm biên


2

Chương 3 : Trình bày thêm sự tồn tại nghiệm dương và nêu lên trường
hợp có duy nhất nghiệm dương của bài toán ba điểm biên
Phần kết luận


3

Chương 1
GIỚI THIỆU BÀI TOÁN

Trong luận văn này, ở phần đầu chúng tôi xét sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của bài toán giá trị biên ba điểm phi tuyến sau :
u'" +j(ur).u" = g(x,u,u',u,r) + e(x)
u'(ơ) = uỤ) = u(rj) = 0, 0và :

u'" = g(x,u,u',u") + e(x)
u\ơ) = u”ự) = u(rj) = 0, 0Trong đó, / e

c ( , ) và g : [0; 1] X

3 -» thỏa điều

kiện
Carathéodory cho truớc.
Chúng tôi áp dụng định lý liên tục Leray-Schauder để chỉ ra sự tồn tại
nghiệm rồi chứng minh sự duy nhất nghiệm của bài toán .
Trong phần tiếp theo, chúng tôi xét thêm về sự tồn tại nghiệm duơng
của bài toán giá trị biên 3-điểm sau:
x"(t)

0
x'(0) = 0, x(l)= ax(t])
Trong đó, 0 < a, rj < 1 và hàm số f cho trước thỏa một số điều kiện
thích hợp.
Sau đó, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm dương của
bài toán giá trị biên 3-điểm sau:
u” + h(t) = 0,

0
1/(0) = u( 1) = au{rị),
với 0 < a, TỊ < 1.
Chúng tôi áp dụng định lý điểm bất động của Guo- Krasnoselskii và

dùng thuật toán lặp đơn để chỉ ra sự tồn tại nghiệm dương và nhiều nghiệm


4

dương của bài toán. Để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm dương, chúng
tôi giải trực tiếp phương trình và sử dụng thêm tính chất của hàm số lõm.
Trong mỗi phần, chúng tôi sẽ trình bày tường minh các giả thiết trong
phần định nghĩa, trình bày các kiến thức chuẩn bị. Sau đó mới đi vào giải
quyết phần nội dung chính của đề tài là sự tồn tại nghiệm và sự duy nhất
nghiệm. Cuối cùng, chúng tôi có trình bày thêm ví dụ minh hoạ.


5

Chương 2

Sự TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM
CỦA BÀI TOÁN BA ĐIỂM BIÊN
toán giá trị biên ba điểm phi tuyến sau :
u'" +J(ur).u" = g(x,u,u',urr) + e(x)

(2.1)

u\ơ) = uỤ) = u(rj) = 0, 0
(2.2)

u'" = g(x,u,u',utr) + e(x)

(2.3)

uịO) = u"ự) = u(rj) = 0, 0) và g : [0;1] X

(2.4)

3 -> thỏa điều kiện Carathéodory,

(i) Với X e [0 ; 1] h.k.n, hàm u e 3 -> g(x, u) e liên tục.
(ii) Với mọi u e 3, hàm xe [0; 1 ] -> g(x, u) e đo được.
(iii) Với mọi r > 0, tồn tại hàm số thực gr(x) e Z/[0; 1 ] sao cho với
xe [0; 1] h.k.n, I g(x ,u) I < gr(x) với II u II < r .
2.2. Kiến thức bổ trợ
2.2.1. Định nghĩa 2.2.1
IIu II00= SUP I u(x) I và \\u II 2 = \u (x)dx
0
1
0

2.2.2. BỔ đề 2.2.2
Neuu(x) e C7[0;1] và u(0) = 0 thì :
II u II2 < ( 4/ n2) II u' II2
(xem chứng minh trong [6])


6

2.2.3. BỔ đề 2.2.3

Neuu(x) e c^0; 1 ] và u(0) = u(l) = 0 thì :
II u II 2 < ( 1/7T2) IMI2
(xem chứng minh trong [6])
2.2.4. BỔ đề 2.2.4
Đặt Mn= max {rj, l-rj }, 0IIu II ỉ < (4/Tí2)Mị ịưịì
Chứng minh
Vì u(ì]) = 0, do Bổ đề 2.2.2, ta có :
n
4n
í u2 (x)dx < —y772 I* [u '(x)]2 dx
"
7T "
0
L 0
1
4
1
ị u2 (x)dx < -y(l - 7)2 {[« V)]2 dx
1
n

và
Do đó :

4
n
4
1
u2 (x)dx < -T-rị2 [ [u'(x)]2 dx + —-(1 -ĩ])2 f [u\x)]2 dx

K
í
K
ị
Suy ra • |«2
0
Hay :

n

0

(x)dx <

+ ~M

n n

IIu II ỉ < (4/ĩt2)MJ II«'II ỉ □

2.2.5. BỔ đề 2.2.5
J1
Nếu u(0) = 1/(1) = 0 thì II tt II00 < -M I u\x) I dx .
20
Chứng minh


7

1 = 1 I u'(t)dt I < J \u'(f)\dt

2 I u(x) I <1 \u\t)\dt

1

1

X

X

0

I u(x) I j I u'(t) I dt, Vx G [0; 1]
^0
1 lr
sup I u(x) I < — f I u'(t) I dt
*e[0;l]
2 J0
\\u II00 < — j I ur(x) I dx. □
20
Xét không gian //3(0;1) được định nghĩa như sau :
U
hoàn toàn liên tuc trên [0;1 ],j = 0,1,2
dx'
và e L2([0;1])} với chuẩn tưoug ứng được định nghĩa bởi:
dx
Với «<=tfs(0;l),||4f! =

+ [u\x)f

Ta định nghĩa toán tử :
L: D(L) c ớ[0-,l} —> Z.*[0;1]
với : D(L) = { ue //3(0; 1): u thỏa (2.2) hoặc (2.4)}
d3u
và với u e Z)(X) thì Lu = "^"T .

2.2.6.BỔ đề 2.2.6

ker L = {0}

Chứng minh
Lấy t/ e Z)(L), ta có :
d3u
2
Lu = 0 <=> —-r =0 0- w(x) = ax + bx + c,
dx

+[u\x)Ỵ


8

Do đó có : u'(x) = 2ax + b và u"(x) = 2a
• Nếu u thỏa (2.2) tức u'(0) = u\ 1) = u(rj) = 0 thì:
Do u'(0) = 0 nên có b = 0
Do u'( 1) = 0 nên có a = 0
Do u(rị) = 0 nên có c = 0
• Nếu u thỏa (2.4) tức ur(0) = u"( 1) = u(rj) = 0 thì:
Do w'(0) = 0 nên có b = 0

Do w"( 1) = 0 nên có a = 0
Do u(rị) = 0 nên có c = 0
Do đó í/ =0
Vậy :

Ả:er JL = {0} □

2.3.Sự tồn tại nghiệm
Trong phần này, chúng ta vận dụng định lý liên tục Leray-Schauder
(xem trong [6]) để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán (2.1), (2.2) và
(2.3), (2.4).
2.3.1. Định lý 2.3.1
Cho g : [0;l]x 3 —►

thỏa điều kiện Carathéodory vàfeC( ; ).

(i) Tồn tại các hàm số a(x) e C^OỊI], b(x)f c(x)eC[0;l], Í/^GL^OỊI]
và các hằng so dưoĩig a0, b0, Co sao cho : a’(x) < aơ, b(x) >— bo, c(x) > -Co,
Xe

[0;1] h.k.n. và vói mọi u, V, we , xe
g(x,u,v,w) V
V

> a{x) V

I + d(x) I V

(ii) Tồn tại a e

[0;1] h.k.n:
w + b(x) v2+ c(x) I u

I
C[[0;l]x

2 ; ] và p e

g(x,u,v,w) \ <\a (x,u,v) I . I w \2 + p (ỳ) với mọi u, v,w e và X e

^0; 1 ] sao cho :
[0; 1] h.k.n.

Khi đó, với mọi e(x) e /y1 [0; 1], bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một


9

Ký hiệu X là không gian Banach C2[0;1] và Y là không gian Banach
L^OỊI] với chuẩn đã biết. Vói mỗi u e X, VE Y, ký hiệu tích vô huớng :
I
(u, v) = j u(x) v(x) dx
0
Định nghĩa ánh xạ tuyến tính : L\ D(L) c= X—> Y
Trong đó :
D(L) = { u e X/ u" hoàn toàn liên tục trên [0;1], u\0) = u'( 1) = u(rị) = 0 }
và với mỗi u e D(L), L(u) = ứ".
Đồng thời ta định nghĩa ánh xạ phi tuyến : N: X—* Yxác định bởi:
(Nu)(x) = f(u'(x)). u"(x) - g(x, u(x), u’(x), u"(x)).
Chú ý rằng N là ánh xạ liên tục, bị chặn. Dễ thấy ánh xạ tuyến tính L,

theo định nghĩa trên, là đơn ánh. Tuơng tự nhu thế đối với ánh xạ tuyến tính:
K: Y—> X đuợc định bởi: Với mỗi y e Y:
(Ấy)(jc) = I J I y ( ĩ ) d r d s d t + —
n00

2

—J I y ( ĩ ) d ĩ d t
00

sao cho với mỗi ye Y, KyeD(L), LKy= y và với mỗi U&D(L), KLu = u, hơn
nữa theo định lý Arzela-Ascoli K biến mỗi tập con bị chặn của Y thành tập
con compact tuơng đối trong X. Vậy : KN: X—>Xlầ một ánh xạ compact.
Chúng ta chú ý rằng u e C^Oỉl] là một nghiệm của bài toán giá trị
biên (2.1), (2.2) nếu và chỉ nếu u là một nghiệm của phương trình toán tử:
Lu + Nu = e
Phương trình toán tử Lu + Nu = e tương đương với phương trình :
u + KNu = Ke
Áp dụng định lý liên tục Leray-Schauder ta thu được sự tồn tại nghiệm
của phương trình u + KNu = Ke hay của bài toán (2.1), (2.2).
Đe làm điều này, ta sẽ kiểm tra lại rằng tập tất cả các nghiệm của hệ
phương trình :


10

j u’"+ Ảfiụ'). u" = Ầ g(x,u,u',u") + Ả e(x)y X e (0;1)
I u(rj) = u\0) = u'( 1) = 0, 0 < 7/ < 1
là bị chặn trong C2[0;1] bởi một hằng số độc lập với Ảe [0;1].
Cho u là nghiệm của (2.5) với Ả e [0; 1 ] .

Vì u'(0) = u\\) = 0, từ Bổ đề 2.2.3, thay u, u' bởi u\ u" ta có :
||u’||* < (\hỉ) IIK"IIỉ
Từ Bổ đề 2.2.5, áp dụng bất đẳng thức Holder ta suy ra :
II u’ II00 < — \\u"\\ 2
Do u(rj) = 0 và Bổ đề 2.2.4, chúng ta có :
IIMII ỉ < (4/ ĨI2) Mị II K' II2 < (4/ n2) Mị \u"ịl
Nhân (2.5) với u' và lấy tích phân từ 0 đến 1, ta có :
III
I
j u'.u"'dx+ Ảị j[u').u'.u" dx =ẢỊ g(x,u,u',u").u'dx + Ả j e(x) .u'dx
0000
1
«'(1)
Vì u'(0) = u'(\) = 0, [ ý{ur) u' u"dx= í f(u')u'd(u')= 0
0
w'(0)
Hon nữa, từ tích phân tùng phần ta có :
j u' u'" dx = - J [u"(x)]2dx
00
Do đó, từ điều kiện (i) ta có :
-j [u"{x)Ỹdx > Ả j a(x)u' u"dx +Ả j b(x)[u'(x)fdx +Ả j c(x) I u u'\dx +
0000
I
I
+Ầị d(x) I u'\dx + Ả j e(x) u'dx
0
0
Do tích phân tùng phần :
I
I

I
j a(x)u' u"dx = a(x) [u'Ỹ I í,- j ar(x)[ur(x)fdx - j a(x)u' u"dx
0
0
0

(2.5)


11
1

ị1

Mà : a(x) [u'f 10=0, suy ra : I a(x)u' u"dx = — — J a'(x)[u']2dx
0
20
Do đó :
-J [u"(x)fdx > - — J a'(x)[u'(x)]2dx +xị b(x)[u\x)]2dx +
0200
1
1
1
+x j c(x) I u u'\dx +ẢỊ d(x) I u'\dx +Ả j e(x) u'dx
0
0
0
Tiếp tục áp dụng điều kiện (i), suy ra :
í" IIDo
2^

—1+vàZ?o)||
uf\\
2 + ta
c0cóII: »11 2 . II t/' II 2 +
0 <2[(
Ả<
các đánh
giá trên,
ị <^±^L± ||«iị+Co4iwr,lkllỉ + hM.+M.>ll“
An
n

1

Vì II u" II2 >0, suy ra :
( 2 7T3 - 71 ( a0 + 2 bQ) - 4 CQ Mn ) II u" II2 < 7T3 ( II d II J + II
e II ,)
Do giả thiết 2 7T3 - n ( a0 + 2 bữ) - 4 Co Mv >0, nên :
2JT -Jĩ{ao + 2b0)-4c0M
Từ đó ta có :
II u' II < p và II u II < p
Bây giờ, ta đặt: Mp = max I f{y) I, ve [ - p ,p ], do (2.1) ta có :
\u"'\ <

\Ẩu')\ .| W'\ + I g(x,u,u',u") I + I e(x) I

Và do điều kiện (ii) nên ta có :
II u'" II , < Mp II u" II 2 + J I g(x,u,u\u”) I dx+ II e II ,
0

<

Mp. p + J I a (x,u,u')\ I u" 12 dx + II p II , + II e II ,
0

< Mp.p+ p2 Kp+ II p IIJ+ IIeII , := P\


12

a(x,u,v) I trên [0;l]x [-p ; p ] X

[-p ; yơ] .

Hơn nữa, do «'(0) = u'( 1) = 0, theo định lý Lagrange, tồn tại số ệ e
[0; 1] sao cho í/"(£) = 0 và u"(x) = I u"\t)dt, X e [0; 1 ].
£
Ta có:

II II00 <

||I/"||J< P \

Vây, có môt hằng số c đôc lâp với ÃE [0; 1] sao cho : II u II 2
< c.
I II c [0;1J
Định lý 2.3.1 đã được chứng minh .

□

Lập luận tương tự ta có Định lý 2.3.2 sau :
2.3.2.

Định lý 2.3.2

Giả sử tất cả các điều kiện của Định lý 2.3.1 được thỏa mãn, ngoại trừ
trong điều kiện (i) chủng ta giả thiết rằng a{x) e C[0;1], a(x) > -a0 và :
v.g(x,u,v,w) > a(x) .| V w I + ồ(x) V2 + c(x) I u V I + í/(x) I V I
Khi đó, bài toán (2.1), (2.2) có ít nhất một nghiệm nếu :
a0 n + bữ 71 + 2 c0 Mn < TZ
Chứng minh
Lý luận như Định lý 2.3.1 với chú ý rằng :
II
I
Từ: j u'.u'"dx+ Ả ị j[u').u' .u"dx =ẢỊ g{x,u,u' ,u").u'dx + Ả j e(x) .u'dx
0000
Dùng điều kiện (i), suy ra :
II
II
[u"{x)Ỷdx>Xị
a(x) Iu' u" Idx+kịb(x)[u'{x)Ỷdx +Ảj c(x) I u u'\dx +
0
0
0
0
I
I
+Ả j d(x) I u'\dx + Ả ị e(x) u'dx
0
0

I
I
I
>- Ả a0 J I u’ u" I dx - Ả b0 j [ur(x)fdx -Ầ Co ị
0
0
0


11 11 n

-b0K-2coMrl

13

Suy ra :
1

1

II

J [u”(x)]2dx < Ả [ a0 j I u' u" I dx + bo j [ur(x)]2dx + Co j I u u'\dx 0
0
00
I
I
-J d(x)\ u'\dx-ị
e(x)u'dx]
0

0
I
I
I
< a0 j I u' u" Idx +bo j [ur(x)fdx + Co ị I u u’\dx 0
0
0
I
I
- J d(x) I u'\dx - J e(x) u'dx

Do đó :
,

+ c0 Ậ Mrj II u" II 2 + 7Ĩ 3 ( II d
II , +
n

1

7Ĩ

71

+IMI.) Il«"ll
vàđươc:

\\u \\2 -3

^

, + e ,)
2L_on

Phần chứng minh còn lại hoàn toàn giống như của Định lý 2.3.1. □
2.3.3. Chú ý 2.3.3
Định lý 2.3.1 và 2.3.2 nêu tính giải được của bài toán (2.1) và (2.2) vói
mọi e(x) trong z/[0,l]. Điều đó hiển nhiên rằng Định lý 2.3.1 cho phép giải
quyết được phương trình (2.1) với điều kiện biên không thuần nhất:
u'(0) =Ảị, u'(\) = Ả2, u{rf) =Ẩ3
2.3.4. HỆ quả 2.3.4
Cho g: [

0,

1]

kiện Carathẻodory, f:
g(x,u,v,w)

khả

thỏa

—►
e

tục và giả thiết rằng vói X

X 3 —►

vỉ

[
0;I (2.6) 1]
J^O,0,0,w)
liên
tục

điều

liên
h.k.n, hàm
theo

u,v

và w . Giả sử tồn tại các số thực a0, bữ, Co > 0 với aữ 7T2 + bo 7T + 2 Co Mn


14

e [0;1] h.k.n và mọi u,v,w e . Thêm vào đó, giả sử tồn tại một hàm
liên tục :
« : [0,1] X

và p(x) eL^O,!] sao cho :
\g(x,u,v,w)\ < Ia (x,u,v)\.\w\2
vói mọi +pự)
u,v,w e và X

e [0;1]A.*».

Khỉ đó, vói mỗi e(x) GÌ.^0,1], bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm .
Sử dụng phương pháp như trong Định lý 2.3.1, chúng ta chứng minh
được định lý sau đối với bài toán biên (2.3), (2.4):
2.3.5. Định lý 2.3.5
Cho g: [0,1] X

3 —>thỏa điều kiện Carathéodory. Giả thiết

rằng :
(i) Tồn tại các hàm a(x), b(x), c(i)eC[0;l], Ể/ộcỊeL^Oỉl] và các hằng
số dưong a0, bữ, c0 sao cho : a{x) >- aữ, b(x) > -b0, c(x) > -Co , Vi e [0;1].
và vói mọi u,v,w e , xe [0;1] h.k.rv.
g(x,u,v,w) V > a(x) ịv w\ + b(x) v2+ c(x) I u V
(ii) Tồn tại a e C[ [0;l]x

I + d(x) I V I

2; ] và p e 1 [0; 1 ] sao cho :

g(x,u,v,w) I < I a (.x,u,v) I . I w \2 + p (x) với mọi u, V, we và X

e [0; 1] h.k.n.

Khi đó, với mọi c(x)e x1[0; 1], bài toán (2.3), (2.4) có ít nhất một
nghiệm nếu : 27T2 a0 + 4 n bữ + 8 Mĩ] c0 < TỈ, với Mn= max { rj, 1- rj }.
2.3.6. HỆ quả 2.3.6
Giả sử các điều kiện của hệ quả 2.3.4 được thỏa mãn, trừ điều kiện

a07T2 + b07T + 2 Co Mn < TỈ được thay bởi:
2 TỈ aữ+ 4 TI bQ+ 8 c0Mn <
TỈ u'"+ Au"= g(x, u, u', u") + e(x)
u(rj) = u'(0) = u'{\) = 0

(2.8
)


0

0

15

và u'" = g(x, u, u', u") + e(x)

(2.10)

u(rj ) = í/(0) = w"(l) = 0

(2.11)

với ^4 là hằng số và g(x, u, V, w) thỏa điều kiện Carathéodory, e(x) e [0; 1 ].
2.4.1. Định lý 2.4.1
Cho g: [0,1] x 3 —>

thỏa điều kiện Carathẻodory và A là một hằng

số. Giả sử tồn tại các hàm a(x) e C^OỊI], b(x), c(x)eC[0;l] và các hằng số

dưong a0, b0, Co sao cho : a'(x) < a0, b(x) > -b0, c(x) > -Co vói xe [0; 1] h.k.n.
và vói mọi Ui, Vị, Wị e , i= 1,2 và xe [0;1] h.k.n:
(g(x,uI,vi,wi) -g(x,u2,v2,w2) ).( V1-V2) > a{x) (Wỉ- w2).( V1-V2) +
+ồ(x) (VI-V2)2+ C(X) I U\- u2 I . I Viv2 I
Khi đó, với mọi e(x) eL'[0;l], bài toán (2.8), (2.9) có nghiệm duy nhất
nếu :

(aQ + 2b0) 71 + 4 Co Mn <2 TỬ’
Chứng minh
Giả sử U\ và u2 là hai nghiệm của (2.8), (2.9), ta có :
(Uị-^y+A. (ux-u2)" = g{x,uvu[,u1)~ g(x,u2,u'2,un2)

(2.12)

(ui-u2)(r])=0; (ui~u2y(0) = 0; (ui~ u2y(l) = 0

(2.13)

Nhân (2.12) với (Uị-U2y và lấy tích phân từ 0 đến 1, với chú ý rằng :
Ị.
Ỵ\UX -u2)'dx = (Mj-u2y.(ux-u2Ỵ\\-ị [(Uị-U2)"]2dx
0
0
1

1

và : A j (Uỉ-U2)"(ui~u2y] dx = A ị (Uị-U2y d(ui~u2y] =

n

=0

Đặt: y = Wi-W2, từ điều kiện (i), ta có :
f
2r
: -J [(ui~u2yf] dx = 1 [g{x,ux,u[,u'^)~ g(x,u2,u2,u2)]
(uỉ~u2y dx

2


16

-J \y"Ỷ dx > j a{x)y"y'dx +1 b(x) \y'Ỷdx + j c(x) \yị . I y’\ dx
0000
Mà : j a(x) y"y'dx = tf(x). [y']2| ò — J [a'(x)y+ a(x).y'] y00
= -J ar(x).\yr]2dx -J a(x).y”y'dx
00
Nên : j a(x)yydx = —— J a'(x).\y']2dx
020
Ta thu được :
-Ị \y"f dx > ~ Ị a'(x).Ịy'fdx + j b(x) ịy']2dx + j c(x) [yl . I /I dx
0^000
Hay: I \ỵ"Ỷ dx< y, +b„) ịưfdx + co[ị y2dxy .[ị[y’f dx]1
0^000

<

}[y"]2^+^y^|b"]2^
oo
0*0
an
;r+ b„ 1

Suy ra : [2 7T3 -(ứ0 +2 &o) 7T - 4 Co Mn ] J ly']2 dx<0
Hay : ||.y ||2 ^ 0 ( do 2 7T3 - (ứ0 +2 bo) 71 - 4 Co Mv > 0)
Do Bổ đề 2.2.3 ta được : ||y||2 - 0
Từ đây, vì: II^IL < IML £ 0
nên :
Do đó :

y(x) = 0

Uị(x) = u2(x), X e [0; 1 ] h.k.n

Nhưng : /^(0;1) c cf[0;l] nên ul(x) = u2(x), Vxe[0;l]
Định lý được chứng minh . □


17

2.4.2. Định lý 2.4.2
Cho g: [0,1] X 3 — t h ỏ a điều kiện Carathéodory và A ỉà một hằng
số . Giả sử tồn tại các hàm a(x), b(x), c
C[0;1]

và

các

hằng

(

so

x

)

e

dưoiig

aữ,

bữ, c0 sao cho : a(pc) >— a0, b(x) > -bữ, c(x) > -c0 với xe [0; 1 ] h.k.n. và vói
mọi
Ui, Vị, Wị e , i= 1,2 và xe[0;l] h.k.n:
(g(x,wi,vi,wi)-g(x,w2,v2,w2)).( V1-V2) > a(x) I Wi- w2\.\ V1-V2 I +
+b(x) (VI-V2)2+ C(X) I Uị- u2 I .| Vi- v2 I
Khi đó, vói mọi e(x)eLl[0;1], bài toán (2.8), (2.9) có nghiệm duy nhắt nếu:
aữ 7T2+ bữ 7T + 2 c0 Mn < 1Z
Chứng minh
Giả sử U\ và u2 là hai nghiệm của (2.8), (2.9), ta có :
(ụi-u2)m+Ẩ. (U1-U2)" = g{x,uvu[,u1)~g(x,u2,u'2,un2)

(2.14)

và ( UI-U2)(TỊ ) =0; (ui- u2)'(0) = 0; («1-M2)'(l) = 0

(2.15)

Nhân (2.14) với (Uị-1/2)' và lấy tích phân từ 0 đến 1, với chú ý rằng :
1

1

\(u ___u VI2 = 0

Và : A Ị (Uỉ-U2)" (Uỉ-U2)'] dx = A ị (ui~u2y d(ui-u2y] = —1———
1
1
Ta có : -J [(ui-u2)"]2 dx = ị [g{x,ux,u[,u^)~g{x,u2,u'1,u2)'\{u\-u2)'dx
0

0

Đặt: y = U\-U2, từ giả thiết, ta có :
-J lỵ"]2 dx> Ị a(x) ịy”\.\y\dx + j b(x) lỵr]2dx + j c(x) \yị . I y'\ dx
0
0
0
0


18

Hay: j [y"]2dx0000
^ a„(j]yf dxỹ.(Ị\yf dxỹ +b0 \\yf2 + c0(ị\y\2 dxỹ ịị\y'Ỹ dxỹ
0000
2c M M ,
< —2_|| v"ir + 2^-HV"IL
o7 +
_ 2 IK 112
;r
Hay: \\y't ^\\yt^\\y"\\>^\\y"
Ị

Suy ra :

[ 7T3 - Tt2 a0 -7T b0 - 2Co Mv ]. \\y"f2 - 0

2
2

Do đó : II y"\\2 <0 (do aữ 7^+ bữ7T + 2 cữMn< 7T3)
Do Bổ đề 2.2.3 ta được : ||y||2 ^ 0
Từ đây, vì: IML ^ ML ^ 0
nên :

y(x) = 0

Do đó :

U\(x) = u2(x), xe [0; 1] h.k.n

Nhưng : /^(0;1) c= (^[O; 1 ] nên Uị(x) = u2(x), Vx e[0;l].
Định lý được chứng minh . □
2.4.3. Định lý 2.4.3
Cho g: [0,1] X 3 —>

thỏa điều kiện Carathéodory. Giả sử tồn tại

các hàm a(x), b(x), c(x) e C[0;1] và các hằng sổ dưong a0, b0, Co sao cho :
a(x) >-aQ, b(x) > -bo , |c(x)| < Co vói X e [0; 1] h.k.n.
Đồng thòi vói mọi Ui, Vị,Wị e , i= 1, 2 và xe [0;1 ] h.k.n:
(g(x,wi,Vi,Wi)-g(x,w2,v2,w2) ).( V1-V2) > a(x) I Wi-W2|.| V1-V2 I +
+ồ(x) (VI-V2)2+ C(X) I í/1-1/2 I . I Vi- v2 I
Khi đó, vói mọi e(x) e x1[0; 1], bài toán (2.10), (2.11) có nghiệm duy
nhất nếu

2a0 7T2+ 4 bữ 7T + 8 c0 Mn < 7r3


19

Chứng minh
Giả sử U\ và u2 là hai nghiệm của (2.10), (2.11), ta có :
Và

(Ui-U2)'" = g(x,ux ,u[ ,uỊ) - g(x,u2 ,u'2y2)

(2.16)

( Uị-U2)(tj ) =0; (ul-u2)'(0) = 0; (Uị-u2)"(\) = 0

(2.17)

Nhân (2.16) với (íU\- u2y và lấy tích phân từ 0 đến 1, với chú ý rằng :
Ị.
-U2Ỵ{UX-u2)'dx = (ttj-u2y.(ux-u2y\\-ị [(Uỉ-U2yfdx
00
= -} [{ux-u2)"Ỷdx
0
1
1
[(UỊ-U2y']2 dx= ị [g(x,ux,u[,uf) - g(x,u2,u2,u"2) ](Uị-u2ydx
0
0
Đặt: y = U\-U2, từ giả thiết, ta suy ra :
-j \y"Ỹ dx > -a0ị \y"\ .| y'\dx - z>0 j Ịỵ'fdx -C0Ị [y| . I /I dx
0000
hay : J \y”Ỹ dx0000
^ a o ( Ị \ y "\2 d x ỹ - ( Ị \ y ’\2 d x ỹ + b 0 \ \ y t + c 0 ( Ị ự d x ỹ ị ị ị y ' ^ d x ỹ
0000
Do các Bổ đề 2.2.2 và 2.2.4, ta có :
í \y"fdx
ị

71

^\\y"\\>Ệr\\y"\\>^y
71
71

Hay: II/1IỈ

Suy ra :

[ TỈ - 2ĩi2 aữ -4 7T b0 - 8c0 Mv ]. ||T”||2 ^0

Hay : \\y ”||2 < 0 ( do 2aữ 7T2+ 4 b07T+ 8 c0Mn < 7Z )


20

Do Bổ đề 2.2.2 ta được : ||y||2 ^ 0
Từ đây, vì: II^IL — II^IL - 0
nên :

y(x) = 0
Ui(x) = u2(x), X e [0; 1] h.k.n

Do đó :

Nhưng : /^(0;1) c= C2[0;1] nên Wi(x) = u2(x), Vx G [0; 1].
Định lý được chứng minh . □
2.4.4.

Chú ý 1.4.4

Chúng ta chú ý rằng các định lý 2.4.1-2.4.3 cho nghiệm duy nhất của
các bài toán (2.8), (2.9) và (2.10), (2.11). Từ sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của (2.8), (2.9) và (2.10), (2.11) chúng ta có định lý chung của các mục 2.3
và 2.4.

2.5.Ví dụ
Xét phưong trình vi phân
ìị/"’= k2 (x, yỳ) \ự' - a(x ,y/), xe [0; 1 ]
vói điều kiện biên : y/f(0) =y/r(l) =y/(l/2) = 0
Nếu chúng ta giả sử rằng k2(x,y/) = 1 và a(x, iỊ/) = a(x) ịự + b{x) với
ứ(jc)eC'[0,l], ố(jc)eC[0,l] thì theo Định lý 2.3.1, bài toán biên này có
nghiệm.
Bây giờ, nếu chúng ta giả sử rằng k, aeC[[0;1] X
tồn tại các
hàm c(x) e C[0,1], d(x)eLl[0,1] sao cho c(x) >-n và :
ìự\ a(x, ìịf) < c(x) ịụ/.ì/ị + d(x) 1^1

,

] và


21

Chương 3

Sự TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM DƯƠNG
3.1.

Giới thiệu bài toán

Trong chương này, phần đầu chúng ta xét bài toán giá trị biên 3-điểm
sau:
x"(t)=AtAt)\ 0<Í<1
x'(0) = 0, x(l)= ax(rj)

(3.1)
(3.2)

vói 0< a, rj < 1 và hàm số f cho trước thỏa một số điều kiện thích hợp.
Lấy p e (0,7t/2), rõ ràng bài toán (3.1), (3.2) tương đương với bài toán :

với

x"ự)+ lfx(i) = gftx( 0)

(3.3)

x'(0) = 0, x(l)= ơx{rj)

(3.4)

g(cỳ) =Ẩt>x)+

(3.5)

Chúng ta thiết lập các giả thiết sau :
(Hl): a cospĩỊ - cosp > 0
(H2): /: [0,1] X

[0, +oo) —► là hàm liên tục thỏa điều

kiện :
(H2): Hàm f(t,x) là không giảm theo X và thỏa (H2).
Đặt:

K =--------------ỉ------------cc cos Ị3TJ COS Ị3
M=™iạ+K)
p
M0 = KC<iỵi n-a)sm/M->ì)


22

Chúng ta sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm dương và nhiều nghiệm dương của
bài toán (3.1), (3.2) bằng cách áp dụng định lý điểm bất động của GuoKrasnoselskii và dùng thuật toán lặp đơn .
Cuối cùng, chúng ta sẽ chỉ ra trường họp tồn tại và duy nhất nghiệm
dương của bài toán ba điểm biên.
3.2. Kiến thức bỗ trợ
Xét các không gian Banach C[0,1] và (^[0,1] được trang bị các chuẩn
tương ứng :
||x|| = max [\x(t)\: 0 < t < l|
||JC||2 = max j||x||,||x|,||x"||Ị
Chúng ta định nghĩa toán tử tuyến tính L: D(L) c= C2[0,1] —> C[0,1]
định bởi:
Lx:=x"+p2x

(3.7)

D(L) = Ịx e C2[0,1]: x'(0) = 0,x(l) = ax(77)j . Chúng ta sẽ xét
đến các tính chất của toán tử nghịch đảo của L.
3.2.1. BỔ đề 3.2.1
71
~
'
Cho p e (0; j). Khi đó với môi h e C[0,1], tồn tại duy nhất hàm

e D(L) sao cho Lx = h trong C(0,1). Ở đây, hàm A(h) được xác định
bởi:

1

Ah(t)= \ũ(t,s)h{s)ds (3 8)

0

í — sìnj3(t-s\ 0^0,