Khái niệm số thập phân đối với học sinh trung học phổ thông (THPT)

?s'p-r

TP. HÒ CHÍ MINH I

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
•

•

•

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

HOÀNG ĐỨC HUY

RRẤŨ TJ FíM sớ TJd F FJ ^ T
r

BỚI VỚT. RỌ € SRxTÍ
TRUNG RỌC FRỔ TRÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 601410
LUẬN VĂN THẠC sĩ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - Tháng 12 năm 2009

LỜI CẢM ƠN
Với tình cảm chân thành, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, giảng viên khoa Toán- Tin của truờng Đại
học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, người đã mang lại cho chúng tôi
những tri thức, những kinh nghiệm quí báu về tư duy, kiến thức Didactic
Toán và lịch sử Toán, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ chúng tôi hoàn
thành Luận văn đúng thời hạn.
Xin chân thành cám ơn trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí
Minh, Khoa Toán- Tin, Phòng Khoa học công nghệ- sau đại học trường Đại
học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
chúng tôi trong thời gian học tập, nghiên cúư và làm Luận văn.
Xin trân trọng biết ơn các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy,
hướng dẫn giúp đỡ lớp Cao học khoá 17 chuyên ngành “Lý luận và phương
pháp dạy học môn Toán”.
Xin chân thành cám ơn các cấp lãnh đạo, giáo viên, công nhân viên
trường Trung học phổ thông Buôn Ma Thuột tỉnh Đắk Lắk đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho chúng tôi tham gia khoá học và hoàn thành Luận văn này.
Do điều kiện thời gian và năng lực, chắc chắn Luận văn còn nhiều
khiếm khuyết, chúng tôi kính mong các thầy giáo, cô giáo và các đồng
nghiệp góp ý để Luận văn hoàn chỉnh, ứng dụng được trong thực tiễn.

TÁC GIẢ

HOÀNG ĐỨC HUY


PHẦN MỞ ĐÀU

1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Ở Pháp, kể từ sau cuộc chống cải cách Toán học Hiện đại (1968/1978)

số thập phân đóng vai trò cơ sở trong việc nghiên cứu hệ thống số (theo
Bronner, 1997). Sự chọn lựa didactic này chịu ảnh huởng từ ý kiến SU' phạm
của những nhà toán học lớn của Pháp, chẳng hạn theo Lebesgue :
Neu ta chọn hệ đếm thập phân cho giảng dạy ở phổ thông là vì những lý do
sư phạm : để tiết kiệm thời gian, và bởi vì số được biểu diễn trong hệ thập
phân sẽ cụ thể và phù họp với tư duy của trẻ. (Lebesgue,1931, tr 8)
Trong đời sống và trong các ngành khoa học, nhất là các ngành khoa
học thực nghiệm như vật lý, hóa học..., người ta thường sử dụng số thập phân
khi tính toán và chấp nhận các kết quả thập phân gần đúng.
Trong chương trình và sách giáo khoa chỉnh lí họp nhất, theo Luận án
tiến sĩ của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) khái niệm số thập phân chỉ chính
thức được nghiên cứu ở tiểu học. Đến trung học cở sở, số thập phân được
nhận dạng như những số hữu tỷ đặc biệt. Thể chế dạy học trung học cở sở và
trung học phổ thông không xem số thập phân là đối tượng nghiên cứu.Tuy
nhiên chúng vẫn xuất hiện trong định nghĩa số thực và tính toán gần đúng,
nhất là trong tính toán với máy tính bỏ túi hiện rất được khuyến khích tại Việt
Nam.

Vì vậy, chúng tôi cho rằng vai trò và vị trí của đối tượng số thập phân
trong dạy học toán bậc phổ thông Việt Nam không được xem trọng như trong
thể chế dạy học của Pháp.

Mặt khác, các nghiên cứu về việc giảng dạy số thập phân trong thế chế
Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT


dạy

học

Việt

Nam

cũng

rất

hiếm.

Điều

này

giải

thích

cho

tính

thích

đáng

của

nghiên cứu mà chúng tôi dự định thực hiện.
Chúng tôi khởi đầu nghiên cứu của mình với các câu hỏi sau:

4- Khái niệm số thập phân đã đuợc đưa vào chuông trình hiện hành và
sách giáo khoa phố thông Việt Nam như thế nào? Có sự tiến triển
nào về chương trình và sách giáo khoa đối với việc dạy học khái
niệm số thập phân qua hai chương trình hiện hành và trước năm
2001 ?
4- Những khó khăn nào mà học sinh Việt Nam gặp phải khi học khái
niệm này? Lý do của những khó khăn trên là gì ? Trong những khó
khăn này, cái nào giống và khác với những gì mà các nhà Didactic
Toán của Pháp đã phát hiện khi nghiên cứu thể chế dạy học của
Pháp ?
4- Quan niệm về khái niệm số thập phân của học sinh có được sau khi
học khái niệm này là gì?

2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu
-

Nghiên cứu của chúng tôi sử dụng chủ yếu các công cụ của lý thuyết
nhân chủng học của Chevallard (1991). Đặc biệt hai định đề mà chúng
tôi tích lại dưới đây của Chevallard đóng vai trò giả thuyết công việc
cho nghiên cứu của chúng tôi.

+ Mọi thực tế thể chế đều có thế phân tích được, theo những quan
điểm khác nhau và bằng những cách khác nhau, thành một hệ thống
các nhiệm vụ xác định.

+ Việc thực hiện mỗi kiểu nhiệm vụ là kết quả của việc áp dụng một
kĩ thuật.
Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT

việc từ việc nghiên cứu sai lầm đã được Brousseau nhận định:
“Sai lầm không chỉ đon giản do thiếu hiếu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra
(....), mà còn là hậu quả một kiến thức trước đầy đã từng tỏ ra có ích, đem lại
thành công, nhưng bẫy giờ lại tỏ ra sai hoặc đon giản là không còn thích hợp nũa.
Những sai lầm thuộc loại này không phải thất thường hay không dự đoán được.
Chủng tạo thành chướng ngại. Trong hoạt động của giáo viên cũng như trong hoạt
động của học sinh, sai lầm bao giờ củng góp phần xây dụng nên nghĩa của kiến
thức thu nhận được.” (G.Brousseau, 1976).
“Thêm vào đó, những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thế, thường liên hệ với nhau
trong một nguồn chung : một cách nhận thức, một quan niệm đặc trưng, nhất quán
- nếu không muốn nói là đủng đắn, một “kiến thức ” cũ đã từng đem lại thành công
trong một lĩnh vực hoạt động nào đó. ” (G.Brousseau, 1976).
Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng
tôi giới hạn đề tài của mình vào các câu hỏi nghiên cứu sau:
Ql: Những đặc trưng khoa học luận của khái niệm số thập phân là gì?
Đâu là những chướng ngại khoa học luận gắn với khái niệm này?
Q2: Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng số thập phân trong chương
trình hiện hành? Dưới các ràng buộc của thể chế dạy học, học sinh có thể gặp
những khó khăn gì khi học khái niệm này? Những khó khăn nào có nguồn gốc
khoa học luận? Những khó khăn nào gây ra do sự lựa chọn Didactic của thể
chế dạy học?

3. Phương pháp nghiên cứu
- Tổng họp lại một số kết quả của những nghiên cứu trước đó (Pháp:
Brousseau 1987, Margolinas 1985, Neyret 1995; Việt Nam: Lê Thái Bảo
Thiên Trung (2007) để trả lời cho câu hỏi Ql.

- Phân tích chương trình và sách SGK hiện hành từ tiểu học đến trung
học phổ thông để tìm một số yếu tổ trả lời câu hỏi Q2.
Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT

4. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm có phần mở đầu, 3 chuơng và phần kết luận.

+ Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến
việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phuơng
pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn.

+ Trong chương 1, chúng tôi tóm tắt một số đặc trưng khoa học luận và
toán học của số thập phân từ công trình của Brousseau (1998), cấu trúc đại số
và thứ tự của số thập phân từ quan điểm của toán học cao cấp. Đặc biệt chúng
tôi sẽ nhấn mạnh sự phân biệt giữa số thập phân và dạng viết thập phân.

+ Trong chưong 2, chúng tôi tiến hành phân tích thể chế dạy học ở
trường tiểu học, trung học cơ sở, trung học phổ thông ở Việt Nam liên quan
đến đối tương số thập phân.

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT


1

Có nhiều cách định nghĩa hay xây dựng khái niệm số thập phân. Chúng
chọn các đối tượng được xem như đã biết và phương pháp chứng minh. Tuy nhiên tập hợp số thập phân là

phân

biệt

với

nhau

Chương 1

1.1.

Một số kết quả khoa học luận của Brousseau (1998)

Từ các nghiên cứu khoa học luận và việc trình bày số thập phân
Brousseau (1998) đã kết luận rằng:

Có nhiều cách định nghĩa hay xây dựng số thập phân. Những định nghĩa và
cách xây dựng này khác nhau do sự lựa chọn những kiến thức khởi đầu khác nhau.
Ngoài ra việc xây dựng khái niệm số thập phân bằng tiên đề là kiểu định nghĩa cuối
cùng của khái niệm số thập phân nói riêng và của những khái niệm toán học khác
nói chung. Brousseau cũng nhấn mạnh rằng cách xây dựng bằng phương pháp tiên
đề cần phải được bổ sung thêm các lý thuyết để có thể hiểu được định nghĩa.

II existe bien des mainières de déhnir mathématiquement ou de construire les décimaux. Elles diffèrent par le choix de ce que 1’on considère
connu comme objets mathématiques et comme méthode de démonstration,
mais leur résultat est le même, en ce sens qu’il existe un moyen de montrer
1’équivalence, 1’isomorphisme des structures obtenues. Chacune de ces
constructions axiomatiques est dans le champ des mathématiques ; par
contre, Tétude de ce qui fait leurs différences, les raisons des choix, de ce qui
est admis ou non, de ce qui est important ou non, facile ou non ... ne relève
pas des

mathématiques. Une constructions axiomatique est chargée

implicitement d’option épistémologiques, de présupposés didactiques qu’il
faut se garder de croire nécessaires au même titre que les conclusions
mathématiques, mais par lesquels il faut bien passer pour obtenir un discours

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT

thông

qua

sự

lựa


( Brousseau. 1998, trang 201)

Brousseau tóm tắt một số cách xây dựng số thập phân theo hai cách mở
rộng hay thu hẹp một tập số cho trước.
- Xây dựng số thập phân bằng cách mở rộng z hay N.
Prenons, par exemple, une construction directe des décimaux D :
. Considéron, dans ZxN, la relation d’équivalence ~
(£>,+,.*,<), la classe de (a,n) étant notée —
.D=z

X N/

est muni d’opérations stables par pasage au quotient:

(ữ, n)+{b,p)<^>{a. 10^ +b.\0p,n + p)
(a, n) X (b,p) = (ab,n + p)

Qui

prolongent

les

opérations

dans

N,

identiíĩé

à

(N,0)czD

. Dest ordonné par (a,n)<(b, p)oa. 10" ^Ồ.IO^

. Alors (D,+,*,<) est un anneau commutatií unitaire intègre et
totalement ordonné.
( Brousseau, 1998, trang 203)
- Xây dựng số thập phân từ việc thu hẹp tập số hữu tỉ.

duy nhất theo nghĩa sai phạm khác một đẳng cấu. Mỗi sự tiên đề hóa trong cách xây dựng số thập phân đều
nằm trong phạm vi toán học. Tuy nhiên việc nghiên cứu sự khác nhau giữa các cách xây dựng này, các lý do

lựa chọn những gì đã biết hay chưa biết, cái gì quan trọng hay không quan trọng, cái gì dẽ hiểu hay khó
hiểu... thì không dựa vào toán học. Sự xây dựng bằng tiên đề ngầm ẩn dựa trên quan điểm tri thức luận và
dựa vào việc chọn lựa những kết luận toán học cần thiết mà chúng ta chấp nhận rằng đúng, nhưng thông qua
các kết luận này cần phải lĩnh hội được lý thuyết cho phép vận dụng khái niệm [...] (Được chúng tôi dịch)

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT


2

Theo
Comu
(1983):
Là
những
chướng
ngại
gây
ra
bởi
phương
pháp
giảng
dạy.
Đó
là
những
chướng
hoặc do giáo viên gây ra hoặc do hệ thống dạy học (bao gồm chương trình, chỉ dẫn của chương trình,
quen, lựa chọn các ví dụ , ...) gây ra.

• Chướng ngại khoa học luận liên quan đến số thập phân: Bằng cách

tổng

hợp

các

nghiên

cứu

khoa

học

và

nghiên

cứu

thể

chế

dạy

học

Toán

của

Pháp mà nhất là Brousseau (1998), Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) đã nhấn
mạnh về một chướng ngại khoa học luận liên quan đến việc lĩnh hội số thập
phân :

- Tập hợp các số tự nhiên với cấu trúc cộng và cấu trúc thứ tự rời rạc của
chúng là một chướng ngại khi lĩnh hội cấu trúc đại số và cấu trúc thứ tự của
tập hợp số thập phân. Đặc biệt, thứ tự rời rạc của tập hợp số tự nhiên sẽ ngăn
cản việc lĩnh hội thứ tự không rời rạc của tập hợp số thập phân.

- Những lựa chọn Didactic liên quan đến việc xây dựng số thập phân
trong thể chế dạy học Pháp càng làm gia tăng chướng ngại này. Nghĩa là
chướng ngại khoa học luận kể trên cũng là chướng ngại có nguồn gốc
didactic2 (đối với thể chế dạy học của Pháp).

1.2.

Cấu trúc đại số của số thập phân.

1.2.1. Số thập phân có cấu trúc vành
Trong lý thuyết toán học: Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với hai
phép toán hai ngôi đã cho trong X kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và . và
gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:
1. X cùng với phép cộng là một nhóm aben
2. X cùng với phép nhân là nửa nhóm

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT

ngại
thói


Từ đó, khi gọi D là tập các số thập phân, có thể thấy tập số thập phân D
có cấu trúc vành và có các đặc trưng sau :

1.2.2.

Số thập phân là một vành giao hoán có đơn vi.

Thật vậy :
1. D cùng với phép cộng là một nhóm aben
+ Vứ,b,c E D: (a + b) + c - a + (b + c)
+ \/a,b e D: a + b - b + a
+ BO e D,\/a e D: <2 + 0 = a
+ \ / a e D : B ( - a ) e D : a + (-a ) =
0

2. D cùng với phép nhân là nửa nhóm
\/a,b,c e D: (ab)c = a(bc)
3. Phép nhân trong D phân phối đối với phép cộng:
với các phần tử a,b,c eD ta CÓ:
a(b + c)-ab + ac
(b + c)a -ba + bc
4. Phép nhân trong D có phần tử đơn vị:
Vữ G D : Ta có a. 1 = a

1.2.3.

Số thập phân không có cấu trúc trường

Thật vậy, vì mọi số thập phân không có phần tử nghịch đảo nên số thập

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT


1.3. Sự

phân biệt giữa số thập phân và dạng viết thập phân

1.3.1. Số thập phân có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng viết.

Các dạng viết này có thể xuất hiện như là nghiệm của phương trình hay kết
quả khai căn bậc của một số thực, kết quả của tính xấp xỉ giá trị của hàm số
tại một điểm. Vậy mỗi dạng viết khác nhau của số thập phân liên hệ với
những vấn đề toán học sinh ra số thập phân này.

Chẳng hạn số thập phân 2,5 có các dạng viết như sau:

-

Dạng viết thập phân là 2,5.

-

Dạng viết phân số là - (ví dụ khi giải phương trình 2x = 5).

-

Dạng viết Vã là V6,25 (Ví dụ khi giải phương trình X2 = 6,25).

-

Dạng viết 2 + sin30° (Dạng viết này có thể xuất hiện khi giải phương trình

1.3.2. Tất cả các số thực đều có thể biểu diễn dưới dạng thập phân. Như
vậy, người ta có thể phân biệt các kiểu số dựa vào dạng viết thập phân của
chúng.
- Số thập phân có dạng viết thập phân hữu hạn hoặc vô hạn với chu kỳ 0.
- Số hữu tỉ có thể viết dưới dạng thập phân vô hạn tuần hoàn (kể cả số
thập phân). Khi đó ta xem số thập phân là số có dạng viết thập phân vô hạn
tuần hoàn chu kỳ 0 hoặc chu kỳ 9.
Xét các số hữu tỉ -, — ta có thể viết các số đó dưới dạng thập phân
- = 0,333 ...

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT


-=0,25
Và ta nói rằng số hữu tỉ — được biểu diễn dưới dạng thập phân hữu

Nói rằng — là thâp phân hữu han vì khi biểu diễn — = 0,25 ta có thể kết
4
■
4
thúc ngay ở số 5; trong khi - là một số thập phân vô hạn tuần hoàn vì khi
biểu diễn — = 0,333 ... ta có thể viết thể viết thêm bao nhiêu chữ số 3 nữa

vẫn chưa biểu diễn đúng hẳn được số -, nhưng nếu muốn kéo dài con số
3 đến bao nhiêu cũng viết được. Cũng như thế, có thể viết
4= 0,1428571 ...
7

Ở đây, con số 1 (số sau dấu phẩy thứ 7) ta viết dấu” ...” vì nếu muốn

Và như thế trong biểu diễn dạng thập phân của

được lặp lại theo thứ tự đó bao nhiêu lần tùy ý ... và ta muốn dừng lại ở
số mấy cũng được miễn là đã biểu diễn đầy đủ 6 con số này tức là quy tắc
tuần hoàn của số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,1428571 ... = —
(Toán học cao cấp tập 2, Nguyền Đình Trí, 2007, trang 9).
Như vậy chúng ta cần chú ý rằng, chẳng hạn dạng viết 0,333 ... không
phải

là

số

thập

phân.

Trong

đoạn

trích

trên,

tác

giả

dùng

chữ

“một

số

thập


phân

vô

hạn

tuần hoàn”, điều này có thể gây hiểu lầm rằng
phân. Trong khi đó chỉ là dạng viết thập phân của số hữu tỉ.

đây

là

số

thập

- Số vô tỷ được chúng minh là có dạng viết thập phân vô hạn không
tuần hoàn (cách chúng minh dựa vào tính đếm được và không đếm được trong
tập hợp các số)
Người ta chứng minh rằng bất kì một số hữu tỉ nào cũng có thể
biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn.

Nhưng, với số vô tỉ thì không như thế, người ta cũng chứng
minh được rằng bất kì một số vô tỉ nào cũng biểu diễn dưới dạng thập
phân vô hạn không tuần hoàn. Chẳng hạn khi viết:

Vĩ =1,41 ...

Ta không thể từ biểu diễn thập phân này mà có thể viết thêm
các số sau dấy phẩy một cách tùy tiện vì không có quy tắc tuần hoàn.

Neu viết:
Vĩ = 1,4142 ...
Tương tự như trên, ta chỉ có thể biễu diễn xấp xỉ V2 với 5 con
số sau dấu phẩy và từ năm con số đó không thể suy diễn để viết tiếp
những con số thập phân khác vì V 2 là số vô tỉ, có biểu diễn thập phân
vô hạn không tuần hoàn.

Ngoài ra như định nghĩa trên tập các số hữu tỉ và số vô tỉ, ta có
bao hàm thức:

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT

Tóm lại, ta cần phân biệt giữa dạng viết thập phân của một số thực với
số thực này. Tương tự như vậy, chúng ta cũng có thể biểu diễn số thực dưới
dạng liên phân số thông qua số hữu tỉ (nghĩa là có thể nói liên phân số là dạng
viết hữu tỉ của số thực).

1.4. Thử tự không rời rạc của tập số thập phân và tính trù mật
của nó trong Q và R
- Quan hệ thứ tự:

Định nghĩa: Giả sử X là một tập hợp,
Thế thì

s

s

là một bộ phận của XxX.

được gọi là một quan hệ thứ tự trong X, nếu và chỉ nếu các điều

kiện sau đây thỏa mãn:

1. (Phản xạ); Với mọi aeX :aSa
2. (Phản đối xứng): Với mọi a,beX nếu aSa và bSa thì a = b.

3. (Bắc cầu): Với mọi a,b,ceXnếu aSb và w?cthì aSc
Ta nói một tập X sắp thứ tự nếu trong X có một quan hệ thứ tự.

Tập X cùng một quan hệ thứ tự trên X gọi là một tập được sắp. Neu với
mọi a,beX đều cỏ a < b hoặc b < a thì X gọi là được sắp tuyến tính (hay sắp
toàn phần). Trong trường hợp khác thì X gọi là được sắp bộ phận.
Tập con A của một không gian Mêtric X gọi là trù mật trong X nếu
à = x.
Từ các định nghĩa và các cách xây dựng tập số thập phân (D) hoặc
bằng cách mở rộng tập N hoặc bằng cách thu hẹp Q hay tập R (Brossseau
1987) đã chỉ rõ các tính chất đặc trưng liên quan đến thứ tự của tập D so với


D trù mật trong Q và trù mật trong R vì với một sai sô mong muôn cho

trước, luôn tồn tại một số thập phân mà khoảng cách từ số thập phân này đến

số thực nhỏ hơn sai số đã chọn (Brousseau, 1987, trang 450). Nghĩa là Z)=9?

1.5.
•

Kết luân

Các tính chất đặc trưng của số thập phân :

- Tập hợp số thập phân là một vành giao hoán có đơn vị với hai phép
toán cộng và nhân. Tập họp số thập phân không phải là trường vì tồn
tại những số thập phân không có phần tử khả nghịch là số thập phân.

- Thứ tự trên tập họp số thập phân là thứ tự không rời rạc (nghĩa là
không có khái niệm hai số thập phân kề nhau).

- Tập hợp số thập phân là trù mật trong Q và trù mật trong R : với mọi số
thực cho trước, luôn tồn tại 1 dãy các số thập phân hội tụ về số thực
này. Cần phân biệt giữa dạng viết thập phân với số thực.
•

Số thập phân có thể viết dưới nhiều dạng viết. Chẳng hạn số thập phân 2,5

-

Dạng viết thập phân là 2,5.

-

Dạng viết phân số là - (ví dụ khi giải phương trình 2x = 5).

có các dạng viết như sau:

— = 0,333 ... Đây là dạng viết thập phân của số hữu tỉ.
Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT


Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT


• Chướng ngại liên quan đến việc lĩnh hội số thập phân :
Cấu trúc đại số và cấu trúc thứ tự rời rạc của tập hợp các số tự nhiên tạo nên
một chướng ngại khoa học luận và chướng ngại Didactic đối với việc lĩnh hội
tập hợp số thập phân.
Từ các nghiên cứu trên, làm cơ sở cho chúng tôi nghiên cứu câu hỏi:
Q2: Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng số thập phân trong chương

trình hiện hành? Dưới các ràng buộc của thể chế dạy học, học sinh có thể gặp
nhũng khó khăn gì khi học khái niệm này? Những khó khăn nào có nguồn gốc
tri thức luận? Những khó khăn nào gây ra do sự lựa chọn Didactic của thế chế
dạy học?

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT


Chương 2

Để làm rõ trong thế chế dạy học Toán trung học phổ thông, chúng tôi
buộc

phải

phân

tích mối quan hệ thể chế đối với đối tuợng này trong thể chế
dạy học Toán tiểu học và trung học cơ sở. Bởi vì theo nghiên cứu sơ luợc của
Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) về chương trình hiện hành thì đối tượng số
thập phân cũng chỉ được tập trung nghiên cứu trong hai thể chế tiểu học và
trung học cơ sở. Như trong chương trình và sách giáo khoa chỉnh lí họp nhất
chúng tôi giới hạn nghiên cứu của mình trên các vấn đề về cấu trúc đại số, thứ
tự trong tập họp số thập phân và sự phân biệt giữa số thập phân với dạng viết
thập phân.
Phân tích chương này chúng tôi dựa vào các sách giáo khoa và chương
trình sau đây:
1. Chương trình toán tiểu học hiện hành (2000), Bộ Giáo dục và Đào
tạo.
2. Đỗ Đình Hoan chủ biên (2007), sách giáo khoa Toán 5, NXBGD.

3. Đỗ Đình Hoan chủ biên (2006), sách bài tập Toán 5, NXBGD.
4. Đỗ Đình Hoan chủ biên (2006), sách giáo khoa Toán 4, NXBGD.
5. Đỗ Đình Hoan chủ biên (2006), sách bài tập Toán 4, NXBGD.
6. Đỗ Đình Hoan chủ biên (2007), sách giáo viên Toán 5, NXBGD.
7. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2004), sách giáo khoa Toán 7,
NXBGD.
8. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2004), sách giáo viên Toán 7,
NXBGD.


b) Từ bảng:

10. Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (2006), sách giáo viên đại số 10 nâng

2.1.2. Phân
tích sách
cao, NXBGD.

giáo

khoa
A. Phần bài học:
2.1.
-

Ở

sách

giáo

khoa

lớp

Thể chế ở trường tiểu học
bảng: ta không định nghĩa chính thức
5a) Từ
người
• 5 dm hay — m còn đươc viết thành 0,5 m.

số

thập

phân

10

2.1.1.

Ở cấp độ chương7trình
• 7 cm hay —— m còn được viêt thành 0,07m.
100

phân được chính thức giảng dạy ở lóp 5.
•

9

1

dm

hay

—

m

còn

được

viết

thành

0,lm.

hay ——
m tôi
còntìm
được
viêt
thànhyêu
0,009m.
Liên quan đến •số 9mm
thập phân,
chúng

thấy
những
cầu sau:
•

1

cm

hay

100

—

m còn được viết
5
7
9
Đối với số thập phân chương trình tiểu học yêu cầu nắm:

thành

0,01

m.

• lmm
haysô——
còn —;

được
viết —
thành
0,00
Các
phân
thâpmphân
——;
đươc
viêtlm.
thành 0,5; 0,07;
1000

a) Khái niệm ban đầu về số thập phân. Đọc, viết, so sánh các số thập phân.
10 100
1000
Viết và Các
chuyển
đo đại
phân.
phânđổi
sốcác
thâpsốphân
—;lượng
— dưới
đ ưdạng
ơ số cthậpviết
thành 0,1; 0,01;
10 100 1000
b) Phép cộng và phép trừ các số thập phân có đến ba chữ số ở phần thập

c) Từ bảng
001không
.
phân, có0,nhớ
quá ba lần.

c) Phép nhân các số thập phân có tới ba tích riêng và phần thập phân của tích
0,1 đọc là: không phẩy một; 0,1 = —
có không quá ba chữ số.

d) Phép
chia
thậpphẩy
phân,không
trongmột;
đó số
chia
có không quá ba chữ số (cả
0,01
đọccác
là: số
không
0,01
=—!—
7
phần nguyên và phần thập phân), thương có không quá bốn chữ số, với phần
• 2m7dm
hayJ 2—
đươc viêt thành 2,7m;
thập phân

của thương
\0có không quá ba chữ số.
Luận văn:
văn: Khái
Khái niệm
niệm số
số thập
thập phân
phân đối
đối với
với học
học sinh
sinh THPT
THPT
Luận


• 8m56cm hay được viết thành 8,56m.
• 0ml95mm được viết thành 0,195m.

Mỗi số thập phân gồm hai phần: phần nguyên và phần thập phân,
chúng được phân cách bởi dấu phẩy.

Những chữ số ở bên trái dấu phẩy thuộc về phần nguyên, những chữ

Phần nguyên

Phần thập phân

8,56 đọc là : tám phẩy năm mươi sáu.

(Toán 5, Đỗ Đình Hoan chủ biên, NXBGD, 2007)

Nhận xét: Như Brousseau (1998) đã đề cập việc dạy học số thập phân
cùng với việc đọc số thập phân như sách giáo khoa đã lựa chọn nhấn mạnh
trên sự tương đồng giữa số thập phân và số tự nhiên, gây ra hậu quả là học
sinh có khuynh hướng hiểu số thập phân chỉ là số tự nhiên có thêm dấu phẩy.
Thứ tự trên số thập phân là một mục tiêu chính của chuông trình toán 5
liên quan đến dạy học toán 5.
Muc tiêu: Theo sách giáo vien lóp 5 thì mục tiêu của phần này là giúp
học sinh biết cách so sánh hai số thập phân và biết sắp xếp các số thập
phân theo thứ tự từ bé đến lớn (hoặc ngược lại)

(Toán 5, Sách giáo viên, trang 88)

B. Phần bài tập


• Liên quan đến cấu trúc đại số : có các phép toán : cộng, trừ, nhân, chia.
Kĩ thuật để giải các kiểu nhiệm vụ liên quan đến cộng, trừ, nhân, chia
số thập phân đuợc quy về cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên rồi sau đó thực
hiện việc đổi đơn vị hay thực hiện quy tắc đặt dấu phẩy. Điều này càng nhấn
mạnh trên sự tương đồng giữa số thập phân và số tự nhiên.

Ví dụ (ví dụ 1 trang 49 sách giáo khoa Toán 5): Đường gâp khúc
ABC có đoạn thẳng AB dài l,84m và đoạn thẳng BC dài 2,45m. Hỏi
đường gấp khúc đó dài bao nhiêu mét?
Ta phải thực hiện phép cộng
Ta có: l,84m = 184 cm

245

Thông thường ta đặt tính rồi làm như sau:
2,45

. Viết dấu phẩy ở tổng thẳng cột với các dấu phẩy của các
số hạng.

Kĩ thuật cộng hai số thập phân cuối cùng được mô tả như sau :

Muốn cộng hai số thập phân ta làm như sau:

- Viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số ở cùng một

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT


Kiểu nhiệm vụ T2: Phép trừ
Tương tự như phép cộng 2 số thập phân.
Kĩ thuật phép trừ 2 số thập phân được mô tả :
Muốn trừ một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau:

-

Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt
thẳng cột với nhau.

-

Trừ như trừ các số tự nhiên.

-

Viết dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với các dấu phẩy của số bị trừ và số
trừ

Chủ ỷ\ Neu số chữ số ở phần thập phân của số bị trừ ít hơn số chữ số
ở phần thập phân của số trừ, thì ta có thể viết thêm một số thích họp
chữ số 0 vào bên phải phần thập phân của số bị trừ, rồi trừ như trừ các
số tự nhiên.

(Sách giáo khoa Toán 5, Đồ Đình Hoan chủ biên , 2007 , NXBGD)

Kiểu nhiệm vụ T3: Nhân các số thập phân: Như đã nói các kĩ thuật
này dựa trên các kĩ thuật nhân các số tự nhiên.
a) Nhân một số thập phân với một số tự nhiên:

Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT


c) Nhân một số thập phân với một số thập phân
Muốn nhân một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau:

- Nhân như nhân các số tự nhiên.

- Đem xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ
số rồi dùng dấu phẩy tách ở tích ra bấy nhiẽu chữ số kể từ phải sang
trái.

Chủ ỷ: Khi nhân một số thập phân với 0,1; 0,01; 0,001, ... ta chỉ việc

chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba, ... chữ
số.

Kiểu nhiệm vụ T4: Chia số thập phân
Tương tự như kiểu nhiệm vụ T3, kĩ thuật chia các số thập phân được
mô tả kĩ và cũng dựa vào kĩ thuật chia 2 số tự nhiên.

Kết luận: Việc nghiên cứu cấu trúc đại số của tập hợp số thập phân
càng làm tăng thêm sự tương đồng của số thập phân và số tự nhiên. Sự khác
biệt trong các kĩ thuật nhân, chia, cộng, trù’ số thập phân so với nhân, chia,
cộng, trừ số tự nhiên chỉ được phân biệt qua đặt dấu phẩy vào kết quả tìm
được.

• Liên quan đến thứ tự :
Theo sách giáo viên Toán lóp 5, trang 87, 88 thì mục tiêu của phần này là :
Giúp học sinh nhận biết: Viết thẽm chữ số 0 vào bên phải phần thập
phân hoặc bỏ chữ số 0 (nếu có) ở tận cùng bên phải của số thập phân
thì giá trị của số thập phân không đổi.

Giúp học sinh biết cách so sánh hai số thập phân và biết sắp xếp các


Mà

: 9dm = 0,9m.

nên

: 0,9m = 0,90m

Vậy : 0,9 = 0,90 hoặc 0,90 = 0,9.

b) Neu viết thêm chữ số 0 vào bên phải phần thập phân của một số
thập phân thì được một số thập phân bằng nó.

Ví du: 0,9 = 0,90 = 0,900 = 0,9000
12 = 12,0= 12,00= 12,000
Neu một chữ số thập phân có chữ số 0 ở tận cùng bên phải phần thập
phân thì khi bỏ chữ số 0 đó đi, ta được một số thập phân bằng nó.

Ví dư: 0,9000 = 0,900 = 0,90 = 0,9
12,000 = 12,00 = 12,0 = 12

(Toán 5, trang 40)

Trong bài tập của phần này, chúng tôi thấy có 15 nhiệm vụ liên quan
(chỉ có 3/15 nhiệm vụ thể hiện mối liên hệ giữa số thập phân và phân số thập
phân).Chẳng hạn :
Bài 3/40. Khi viết số thập phân 0,100 dưới dạng phân số thập phân,
bạn Lan viết: 0,100 =JÍ2_ • Bạn Mỹ viết: 0,100=-^-; bạn Hùng viết:
1000 100

0,100=— . Ai viết đúng, ai viết sai? Tại sao?
100

Kiểu nhiệm vụ T5: So sánh hai số thập phân


Vậy : 8,1 > 7,9 (phần nguyên có 8 > 7)

(Toán 5, trang 41)

Như vậy, việc so sánh các số thập phân có thể thực hiện được thông qua
việc so sánh các số tự nhiên sau khi đã đổi đơn vị độ dài.

Một

kỹ

thuật

khác
qua

để
ví

so
dụ

sánh
2

hai

số

trang

thập

41

phân

sách

tiếp

giáo

tục

khoa

được
toán

giới
lớp

thiệu
5

thông

như

sau

So sánh 35,7m và 35,698m

Ta thấy 35,7m và 35,698m có phần nguyên bằng nhau (đều bằng
35m), ta so sánh các phần thập phân.:
,

7

Phân thập phân của 35,7m là —m = lclm = 700mm
Phần thập phân của 35,698m là -^-m = 698mm
1000

Mà : 700mm > 698mm ( 700 > 698 vì ở hàng phần trăm có 7 > 6).
ATNên

7

698

10

1000

:

—

m

>——m

Do đó: 35,7m > 35,698m

Vậy: 35,7 > 35,698 (phần nguyên bằng nhau, hàng phần mười có 7 >
6)
Trong hai so thập phân có phần nguyên bằng nhau, so thập phân nào
có hàng phần mười ỉón hơn thì sổ đó lớn hon.
(Toán 5, trang 41)
Luận văn: Khái niệm số thập phân đối với học sinh THPT