Mô đun biểu diễn được

LỜI MỞ ĐẦU
—
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
^O^ĐAI HỌC
•
•
•
ChoTRƯỜNG
R là vànhĐẠI
giao
hoánSưcóPHẠM
đơn vịTP.HÒ
và M CHÍ
là R-mô
đun. Với mỗi phần
aỊaál
HỌC
MINH
tử X thuộc R, ta gọi (p x M là tự đồng cấu của M xác định bởi phép nhân
BAlW

phần tử X với M. Mô đun M được gọi là coprimary nếu M Ỷ 0 và với
mọi X thuộc R thì (px M là đơn cấu hoặc lũy linh. Khi đó, 9ft(M) = p
là iđêan nguyên tố của R và M được gọi là M là p-coprimary. Mô đun

ĐỒ TRẰN MINH vũ

con N của M được gọi là mô đun con p-nguyên sơ nếu mô đun thương
^/]\Ị là /9-coprimary. Một sự phân tích nguyên sơ của N trong M là sự
biểu diễn của N như là giao hữu hạn các mô đun con nguyên sơ của M:
N = Qi n Q2 n ... n Q n . Sự phân tích nguyên sơ được gọi là tối tiểu nếu

các mô đun con nguyên sơ Qi ì Q2,Qn thỏa các điều kiện :

MÔ ĐUN BIẾU DIỄN ĐƯỢC
(1) Các iđêan nguyên tố 9? {^ỈQị) phân biệt.
(2) Không có Qi nào nằm trong giao các mô đun con còn lại.

Từ đó, các nhà toán học đã nêu khái niệm về mô đun thứ cấp và mô
đun biểu diễn được. Một R-mô đun M được gọi là thứ cấp nếu M 7^ 0 và
với mọi X thuộc R thì
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

là iđêan nguyên tố của R và M được gọi là R-mô đun p-thứ cấp. Một
biểu diễn thứ cấp của M là sự biểu diễn M như là tổng hữu hạn các mô
đun con thứ cấp: M = Nị + N2 + ... + N n . Biểu diễn thứ cấp được gọi là
tối tiểu nếu các mô đun con thứ cấp TVi, V2,..., N n thỏa các điều kiện :
(1) Các iđêan nguyên tố (Ni) phân biệt.
(2) Không có Nị nào nằm trong tổng các mô đun con còn lại.
Nếu M có một biểu
diễnPhố
thứ cấp,
ta nói
M là mô đun biểu diễn được.
Thành
Hồ Chí
Minh-2009
Luận văn này viết về mô đun biểu diễn được và các tính chất của nó,
được chia làm hai chương:

hết các chứng minh trong chương này đều được bỏ qua.
Chương 2: Mô đun biểu diễn được
Chương này trình bày các vấn đề về mô đun biểu diễn được: định
nghĩa mô đun thứ cấp và mô đun biểu biễn được, tính chất của mô đun
thứ cấp và mô đun biểu diễn được, mô đun con của mô đun biểu diễn
được, tính biểu diễn được của mô đun Artin, tính biểu diễn được của
Hom(M,E) trong một số tình huống cụ thể của R-mô đun M và E.
Tôi xin gửi đến TS. Trần Tuấn Nam, TS. Nguyễn Đình Lân lòng biết
ơn chân thành nhất. Thầy là người hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập và làm luận văn.
Xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô trong Khoa Toán trường Đại
học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh và các thầy cô đã tham gia giảng dạy,
quản lý khóa học, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học
tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn học cùng khóa đã
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn có thể có những thiếu
sót, kính mong thầy cô và các bạn góp ý và thông cảm.
Đỗ Trần Minh Vũ


Muc luc

1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1

1.1

Mô đun ................................................................................................ 1

1.2

Iđêan nguyên tố liên kết...................................................................... 3

1.3

Iđêan nguyên tố liên kết yếu............................................................... 4

1.4

Iđêan nguyên sơ.................................................................................. 5

1.5

Mô đun con......................................................................................... 6


1

Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1Mô đun
Trong

luận

văn

này,

ta

hiểu

vành

là

một

vành

giao

hoán

có

đơn

vị

khác

không.
Cho M là R-mô đun, A và B là hai tập con của M, 0 Ỷ K c R. Ta

định nghĩa:
A + B = {a + ò|a e A, ò 6 B}
KA = {r.a|a 6 A,r € K}
Tập con A khác rỗng của M được gọi là mô đu con của M nếu A + A

c

Ả

và RA c A.
Với A và B là hai mô đun con của M thì A+B và A n B cũng là mô
đun con của M. Hơn nữa, Giao của một họ bất kì các mô đun con của
M cũng là mô đun con của M.
Cho s là tập con khác rỗng của M. Giao của tất cả các mô đun con
của M chứa s được gọi là mô đun con sinh bởi tập s, ký hiệu là <s>.


2

s ^ R là đồng cấu vành. Khi đó, M có

Giả sử M là R-mô đun vk f :

thể xem như S-mô đun với phép nhân ngoài s.m = f(s).m.
Tập con s của M được gọi là hệ sinh của M nếu M=<s>. Tập con
n

= 0 với

được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ mỗi đẳng thức

i= 1

Tị e R, Si e s, ta có T\ = 7*2 = ... = r n = 0. Mô đun M được gọi là mô
đun tự do nếu M có một hệ sinh độc lập tuyến tính.
Giả sử {Mi} ieI là họ các R-mô đun. Trong tập tích Đề các Yl Mi, ta
iei
định nghĩa các phép toán:
( x i)iei + (yì)iíi =
x

rị i)iei =
trở thành R-mô đun và được gọi là tích trực tiếp của họ
iei

Mô đun con Mị = < (xị) iEl e
iel
l

n

Mị\ hữu hạn Xị Ỷ 0 r của Yl Mị
iel
) iel

được gọi là tổng trực tiếp của của họ các mô đun {Mi} ieI .
Tổng trực tiếp của các mô đun tự do là một mô đun tự do.
R-mô đun M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với tổng trực tiếp
của họ nào đó các bản sao của vành R.
Mỗi mô đun M bất kì đều đẳng cấu với mô đun thương của một mô
đun tự do nào đó.

(i + N )

! N = L /(N n L)
3

2. (N :L)= Ann (i N +
Mệnh đề 1.1.2 . Cho cac R-mo đun

L

)/pA

L,Ad,N thoa N d. Ảd

cz

L . Khi

đó:

Cho L và N là các mô đun con của M. Khi đó:

Mệnh đề 1.1.4 . Cho M là R-mô đun. Khi đó: M là hữu hạn sinh khi
và chỉ khi M đẳng cấu với mô đun thương của một mô đun tự do hữu
hạn sinh nào đó.

1.2Iđêan nguyên tố liên kết
Giả

sử

R

là

vành

Nơ

te

giao

hoán

có

đơn

vị

khác

không.

Iđêan

nguyên

tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của R-mô đun M nếu
tồn tại phần tử X € M để Ann(x)=p.
ASSR (M) là tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của R-mô đun

M. Khi không sợ lầm lẫn vành R, ta kí hiệu Ass(M).
{Ann (x) \x 6 M và X Ỷ o}
€ Ass (M).
.Cho M là R-mô đun.
(ỉ) Ass(M) = 0^M = 0
(2) Tập các ước của 0 của R-mô đun M là hợp các iđêan nguyên
tố liên kết của M.
Ta đặt: SuppM = {p £ Spec(R) IMp Ỷ 0}
.Cho M là R-mô đun. Khi đó, Ass (M)

c Supp(M).


4

Định lý 1.2.4 . Cho M là R-mô đun hữu hạn sinh khấc 0. Khi đó, tồn
tại dãy các mô đun con 0 = M Q c Mị c ... c M n = M sao cho
MÌ

- R ỈPi

IMì.1

với p e

i Spec(R), (1 < i < n)

.Cho 0 —> M' —» M —> M" là một dãy khớp các R-mô đun
thì Ass (M) c Ass (M r ) u Ass (M")
Từ bổ đề trên, ta thấy, nếu M = Mị ® M2 thì ta có dãy khớp 0 —>
M\ —¥ M —»• M2 và do đó, Ass (M) c Ẩss (Mị) u Ass (M2)
Mệnh đề 1.2.6 . Cho M là R-mô đun hữu hạn sinh . Khi đó, Ass (M)
là tập hữu hạn.
Định lý 1.2.7 .Cho R là vành Nơ te, các điều sau tương đương với M
là R-mô đun:
(ỉ) M là coprimary
(2) M chỉ có một iđêan nguyên tố liên kết.

1.3Iđêan nguyên tố liên kết yếu
Cho vành giao hoán có đơn vị R.
Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết
yếu của M nếu tồn tại phần tử X E M để p là tối tiểu trên Ann(x). Tập
tất cả các iđêan nguyên tố liên kết yếu của M kí hiệu là W.Ass(M).
Cho M là một R-mô đun. Khi đó, ta có:
(1) Ass (M) c W.Ass (M)
(2) Ass (M) = W.Ass (M)nếu R là vành Nơ te.
(3) W.Ass Ỷ 0 n ^ u M Ỷ 0
(ị) Nếu 0 — > M — ► A ’ — > L — » 0 / ố dẫy khớp thì
VP.A.S5 (M) c VP.Ass (N) c tP.Ass (M) u VP.Ass (L)


5

Mệnh đề 1.3.2 . Cho M là R-mô đun thỏa điều kiện mô đun không của
M có phân tích nguyên sơ. Gọi 0 = Nị n A^2 n... n N n là phân tích

nguyên
sơ tối tiểu của 0, trong đó Nị là mô đun con Pị-nguyên sơ của M. Khi

{P h P 2 ,...,P n }

đó, W.A ss(M) =

Hệ quả 1.3.3 . Cho R là vành Nơ te, M là R-mô đun hữu hạn sinh thì
mọi mô đun con của M đều có một phân tích nguyên sơ.

1.4

Iđêan

nguyên

sơ

Mệnh đề 1.4.1 .
(1) Cho Q1,..., Qn là các iđêan nguyến tố của vành R và p là một
n

Qị . Khi đó, tồn tại một chỉ số 20 để p c Qi 0 .
i=l
(2) Cho P ị , P n là các iđêan của vành R và Q là một iđêan
nguyên
rí
Pl Pị . Khi đó, tồn tại một chỉ số i để Pị c Q. Đặc biệt,
i= 1
f) Pị thì có i để Q = Pị.

i=l

iđêan của R nằm trong

ỊJ

Cho
của

R.

p

và

Q

là hai iđêan của vành

R

thì Q

Ta còn định nghĩa iđêan (Q : P) = {x

6

u

p cũng là một iđêan

Rịx.p

c

Q} gọi là iđêan

thương của Q cho p.
Cho

p

là iđêan của vành

R.

Căn của

định như sau:
r (P) = {x 6 R I 3n > 0 : x n £ p}
Cho p là một iđêan của vành R. Khi đó:

p,

kí hiệu r

(P),

là iđêan xác

6

đương

nhiên

là

iđêan

nguyên

sơ

nhưng

điều

ngược

lại

không

đúng,

iđêan

p được gọi là Q-nguyên sơ nếu p là iđêan nguyên sơ và r(P)=Q.

Mệnh đề 1.4.3 .

Nếu

Q

là

iđêan

nguyên

sơ

thì

r(Q)

là

iđêan

nguyên

tố tối tiểu của R chứa Q.
Mệnh đề 1.4.4 . Nếu

r(P)

là

iđêan

tối

đại

thì

p

là

iđêan

nguyên

sơ.

Đặc biệt, nếu p là iđêan tối đại của R thì với mọi n>0, p n là iđêan
P-nguyên sơ.
Một sự phân tích nguyên sơ của iđêan p trong vành R là sự biểu diễn
p như là giao của một số hữu hạn các iđêan nguyên sơ của R. Sự phân
'n

= fì Qi của iđêan p trong vành R được gọi là tối tiểu
i=l
n

nếu với mọi i, fì Qj Ợ L Qi. Từ một sự phân tích nguyên sơ bất kì, ta

3 =1

Ni
luôn

có

được

một

phân

tích

nguyên

sơ

tối

tiểu,

iđêan

p

của

R

được

gọi

là phân tích được nếu p có một sự phân tích nguyên sơ trong R.
Cho p là iđêan phân tích được của vành R và p =
n

Qi là phân tích nguyên sơ tối tiểu của p. Khi đó, với mỗi i, đặt

Một mô đun con thực sự N của M được gọi là mô đun con nguyên tố của

1.5Mô
đunr E R và m £ M thỏa rm € N thì hoặc là m E AMioặc
M nếu,
với mọi
con

là r G (N : M). Ta thấy, nếu N là mô đun con nguyên tố của M thì
p = (N : M) là iđêan nguyên tố của R. Do đó, ta còn gọi N là P-mô
đun con nguyên tố.
Cho R là vành và M là R-mô đun. Với mỗi phần tử X thuộc R, ta
gọi Px

M là

tự đồng cấu của M xác định bởi phép nhân phần tử X với

7

M. Khi đó, nilradical của M, kí hiệu
thuộc R sao cho

(p X M

là tập tất cả các phần tử X

lũy linh. Nó là một iđêan của R, được gọi là căn

lũy linh của M.
N là mô đun con nguyên tố của M khi và chỉ khi với
mỗi r thuôc R, đồng cấu ip ]\yf : /du -► ^/jv hoăc là đơn cấu, hoăc
r,/N

Ta nói mô đun M là nguyên tố nếu mô đun con 0 của M là mô đun
con nguyên tố. Do đó, Mô đun con N là mô đun con nguyên tố khi và
chỉ khi là mô đun nguyên tố.
Một R-mô đun M được gọi là coprimary nếu M khác không và với
mọi

X

thuộc R thì (f X 'M là đơn cấu hoặc lũy linh. Khi đó, 3ft(M) = p là

iđêan nguyên tố của R. Do đó, ta nói M là P-coprimary.
Cho M là R-mô đun và p là iđêan nguyên tố của R. Mô đun con N
của M được gọi là mô đun con P-nguyên sơ nếu mô đun thương ^Yjy
là P-đối nguyên sơ. Một sự phân tích nguyên sơ của N trong M là sự

biểu diễn của N như là giao hữu hạn các mô đun con nguyên sơ của M:
N = Qi n Q2 n ... n Q n . Sự phân tích nguyên sơ được gọi là tối tiểu nếu
các mô đun con nguyên sơ Qi, Q2,Qn thỏa các điều kiện :
(1) Các iđêan nguyên tố Pị = Í^ỈQ-) phân biệt.
(2) Không có Qi nào nằm trong giao các mô đun con còn lại.
Cho M là R-mô đun có mô đun 0 có sự phân tích nguyên tối tiểu
• Khi đó:
Mệnh

đề

1.5.2

.

Tập

các

iđêan

nguyên

tố

Pị

=

Í^/Q

Ì

không

phụ

thuộc vào sự phân tích của mô đun 0. Hơn nữa, nếu p là một iđêan


Tập các iđêan Pị = {^ỈQi) được kí hiệu Ass(M).
Một tập con B của Ass(M) được gọi là cô lập nếu với mỗi p thuộc B
và mọi Q thuộc Ass(M), nếu Q c p thì Q e B
Mệnh

đề

1.5.3

.

Nếu

{Pị1?Pị}

là

tập

con

cô

lập

của

Ass(M)

thì

mô

đun con Qi. n ... n Qi không phụ thuộc sự phân tích đã chọn.

Mệnh đề 1.5.4 . Tập các phần tử

X

R để

e

không đơn cấu là hợp

(fx,M

của tấp cả các Pị thuộc Ass(M).
Mệnh đề 1.5.5 . Tập các phần tử

X

£ R để

ifxM

lũy linh là giao của

tất cả các Pị thuộc Ass(M).

1.6Vành Nơ te
Một

vành

R

được

gọi

là

vành

Nơ

te

nếu

mọi

tập

khác

rỗng

các

iđêan

của R đều có phần tử tối đại.
Cấc điều sau là tương đương đối với một vành R:
(1) R là vành Nơ te.
(2) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh.
Cho R là vành Nơ te. Khi đó,
(1) Nếu ộ : R —► s là một toàn cấu thì

s là vành Nơ te.
_1
Nếu s là tập con đóng nhân của R thì S R là vành Nơ te.

(2)

(3) Nếu p là một iđêan nguyên tố của R thì Rp là vành Nơ te.
Mệnh đề 1.6.3 . Cho

s

là một vành con của vành R. Nếu

s

là vành

Nơ te và R là hữu hạn sinh, xét như S-mô đun. Khi đó, R là vành Nơ
te.
Định lý 1.6.4 . Trong vành Nơ te, mọi iđêan đều có một sự phân tích
nguyên sơ.


9

Cho R là vành Nơ te. Khi đó,
(1) Mọi iđêan đều chứa một lũy thừa nào đó căn radical của
nó.
(2) Nếu Q là iđêan tối đại của R và p là một iđêan bất bì khác
của
R thì các điều sau tương đương:
(c) tồn tại số n để Q n c p c Q

1.7Vành Artin
Một

vành

R

được

gọi

là

vành

Artin

nếu

mọi

tập

không

rỗng

các

iđêan

của R đều có phần tử tối tiểu.
Trong một vành Artỉn, ta có:
(1) Mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan tối đại.
(2) Tập các iđêan tối đại là tập hữu hạn.
Định lý 1.7.2 . Cho

vành

R

có

iđêan

không

là

tích

của

các

iđêan

tối

đại Pị,..., P n ( không nhất thiết các iđêan tối đại khác nhau). Khi đó, R
là vành Nơ te khi và chỉ khi R là vành Artin.
Ta xét dãy hữu hạn các iđêan nguyên tố của R như sau:
Po £ Pl £ P2 £ .... £ Pn
Một dãy như trên được gọi là có độ dài n. Ta định nghĩa chiều của vành
R là sup của tập các độ dài các dãy iđêan nguyên tố của R. Kí hiệu là
dimR. Hiển nhiên vành Artin có số chiều là 0.
Định lý 1.7.3 . Cho vành R. R là vành Artin khi và chỉ khi R là vành

Nơ te và dimR=0.
Một vành được gọi là vành địa phương nếu nó có duy nhất một iđêan


10

1.8Dãy khớp
Cho M và E là hai R-mô đun, ánh xạ / : M

—» E được gọi là R-đồng

cấu nếu với mọi mi, 7712 € M và r 6 R thì
/ (rai + m 2 ) = / (rai) + / (m2)
/ ( r . r a i ) = r.f (rriị)
Ta đặt Hom(M,E) là tập tất cả các R-đồng cấu từ M vào E.
Cho / : M —> N là R-đồng cấu các R-mô đun và E là một R-mô đun,
ta kí hiệu
/* : Hom (N, E) -> Hom (M, E)
là

R-đồng

cấu

biến

mỗi

đồng

cấu

g

trong

Hom(N,E)

thành

đồng

cấu

gf

thành

đồng

cấu

fg

trong Hom(M,E). Tương tự,
/* : Hom (E, M) Hom (£, N)
là

R-đồng

cấu

biến

mỗi

đồng

cấu

g

trong

Hom(E,M)

trong Hom(E,N).
Một dãy các R-mô đun và R-đồng cấu

... - M„_1 Mn-EL, -> ...
được gọi là khớp tại Mn nếu Im/n = Ker/n+i.
Một dãy được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi M n . Đặc biệt:
(1)

Dãy 0 —> M —> khớp khi và chỉ khi f đơn cấu.


11

Định nghĩa: Cho E là R-mô đun. E được gọi là R-mô đun nội xạ

nếu với mỗi đơn cấu X : A —> B, mỗi đồng cấu / : A —»• E, tồn tại đồng
cấu / : B —> E sao cho / = fỵ.
Định lý 1.8.3 . Mọi mô đun đều có thể nhúng vào một mô đun nội xạ
nào đó, xem nhu là mô đun con của mô đun nội xạ đó.
Nếu R-mô đun E là nội xạ thì với mọi dãy khớp ngắn
ta có dãy khớp sau:
0 -> Hom (N, E) h Hom (M, E) ĩ* Hom (L, E) -> 0.
Định nghĩa: Cho E là R-mô đun. E được gọi là R-mô đun xạ ảnh
nếu với mỗi toàn cấu ơ : B —> c, mỗi đồng cấu / : E —y c, tồn tại đồng
cấu / : E —*■ B sao cho / = ơf.
Nếu R-mô đun E là xạ ảnh thì với mọi dãy khớp ngắn
ta có dãy khớp sau:
0 -> Hom (E,

L)

í


12

Chương 2
MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC
2.1Mô đun biểu biễn được
2.1.1
Cho

R

là

vành

Các định nghĩa

giao

hoán

có

đơn

vị.

Một

cấp nếu M khác không và với mọi

R-mô
X

đun

M

được

gọi

là

thứ

thuộc R thì

lũy linh.
Mệnh đề 2.1.1 Cho

M

là

R-mô đun

thứ

cấp.

Ta có (M) = p là

iđêan

nguyên tố của R.
Giả sử xy E p và y ị p. Khi đó, với mọi n, y n M Ỷ 0 và tồn tại số m
để (xy) m M = 0. Do đó, Lpy M không lũy linh nên nó là toàn cấu. Do đó,
yM = M. Vì thế nên 0 = (xy) m M = x m y m M = x m M. Suy ra, X £ p.
Vậy, p là iđêan nguyên tố của R.
Do mệnh đề trên, khi M là R-mô đun thứ cấp có (M) = /9, ta gọi
M là p-thứ cấp.

Cho M là R-mô đun. Một biểu diễn thứ cấp của M là sự biểu diễn M
như là tổng hữu hạn các mô đun con thứ cấp: M — N\ + N2 + ... + N n .
Biểu diễn thứ cấp được gọi là tối tiểu nếu các mô đun con thứ cấp
Ni, v2,..., N n thỏa các điều kiện :


13
V

^/ N = ^/ N nên ^/]y

^ỈN t°nn cấu.
(1) Các iđêan nguyên tố ^ (Nị) phân biệt.

Vậy, M/ Ị \ Ị là R-mô

đun /9-thứ

(2) Không có Nị nào nằm trong tổng các mô đun con còn lại.
cấp.
7

m

Nếu M có một biểu diễn thứ cấp, ta nói M là mô đun biểu diễn được.

Mệnh đề 2.1.2 . Tổng trực tiếp hữu hạn cấc mô đun p-thứ cấp là một
mô đun p-thứ cấp.
m

,

Giả sử M = ® Mị là tống trực tiếp các R-mô đun p-thứ cấp.
i= 1
Nếu r 6 p thì với mọi i, Mị Mị là lũy linh. Do đó, có số Uị để
Ui

r Mi = 0. Đặt n = nin2...n m . Khi đó, r n Mị = 0 với mọi i . Do đó,
r n M = 0, tức là M M lũy linh.
Nếu rịp thì với mọi i, Mi Mi là toàn cấu. Do đó, M M cũng
là toàn cấu.
Vậy, M là R-mô đun p-thứ cấp.
Mệnh đề 2.1.3 . Mô

đun

thương

khác

không

của

mô

đun

p-thứ

cấp

là

mô đun p-thứ cấp.

Giả sử M là R-mô đun p-thứ cấp và ^/]y là một mô đun thương khác
0 bất kì của M.
Nếu r E p thì đồng cấu M M là lũy linh. Khi đó, tồn tại số n để

thế coi
Giảnhư
sử Mi,
là mô
AÍ2,...,
đun thương
M r là các
củaR-R-mô
mô đun
đuncon
M =của
® M.
Mị.Ta
Dothấy
đó, Mị
nếucó
i= 1


14

R-mô đun biểu diễn được. Do đó, ta có: Mị, M2,M r là các R- mô đun
,

m

-thứ cấp khi và chỉ khi M = ® Mi là R-mô đun p-thứ cấp.
i= 1
Mệnh

đề

2.1.4

.

Cho

M

là

R-mô

đun,

p

là

iđêan

nguyên

tố

của

R,

và Mị, M2,..., M r là các mô đun con p-thứ cấp của M. Khi đó, N =
Mị + M2 + ... + M r là mô đun con p-thứ cấp của M.

Nếu r E p thì với mọi i, Mị Mi là lũy linh. Do đó, có số rti để
Ui

r .Mị = 0. Đặt n = ni.n 2 ...n m . Khi đó, r n Mị = 0 với mọi i . Do đó,
r n .N = 0, tức là N N lũy linh.
Nếu rịp thì với mọi i, Mị Mị là toàn cấu. Do đó, N N cũng
n

Cho M là R-mô đun biểu diễn được và M = Ni là một biểu diễn
i= 1

thứ cấp của M. Do mệnh đề 2.1.4, ta có thể giả sử các iđêan nguyên tố
^R-(Nị) = Pi là khác nhau. Bằng cách bỏ các phần dư trong tổng trên, ta
coi biểu diễn trên là tối tiểu. Vậy, từ một biểu diễn thứ cấp bất kì, ta
luôn có thể tìm được một biểu diễn thứ cấp tối tiểu.
n

Cho M là R-mô đun biểu diễn được và M = Nị là một biểu diễn
i= 1

thứ

cấp

tối

tiểu

của

M.

Các

iđêan

nguyên

tố

pi :

p2,

Pn

được

gọi

là

các iđêan nguyên tố gắn kết của R-mô đun biểu diễn được M, kí hiệu là
Att(M).
Tập con ^ của Att(M) được gọi là cô lập nếu với bất kì Q E Att(M)
thỏa điều kiện có p 6 để Q c p thì Q £

.


15

+ Nếu

X

£ p thì tồn tại số n để x n M = 0. Do đó, x n £ Ann (M) và

£ r (Ann (M)). Ngược lại, vì Ann (M) c
nên r (Ann (M)) c p. Do đó, r (Ann (M)) = p.
xn

p và p là iđêan nguyên tố

+ Giả sử Xí/ £ Ann (M). Khi đó, xyM = 0.
Nếu X £ p thì tồn tại số n để x n M = 0. Do đó, x n £ Tnn (M).
Nếu X ị p thì xM = M. Do đó, yM = yxM = 0 và Ị/ £ Ann (M).

Vậy, Ann (M) là iđêan p-nguyên sơ.
Mệnh đề 2.1.6 . Nếu

M

là

một

R-mô

đun

p-thứ

cấp

và

s

là

tập

con

nhân của R thì :
a) Nếu s n p Ỷ 0 thì S~ l M =0.
b) Đồng cấu nhúng M vào S~ l M là toàn cấu.

c) S~ l M hoặc là bằng 0, hoặc là một S~ l R-mô đun s~ l p-thứ cấp.

a) Giả sửSDp^tt. Lấy p £ s n p. Khi đó, tồn tại số n để p n M = 0 và
p n £ s. Ta có, p n (s.o — 1 .ra) = p n m = 0. Vì thế nên với mọi — £ 5' _1M,
? = 05-iM. Vậy, S^M = 0
b) Ta có ìp : M —► S~ l M biến m £ M thành Ỹ £ S~ l M. Nếu
s n p Ỷ 0 thì 5f-1M =0. Khi đó, đồng cấu nhúng M vào S~ l M đương
nhiên là toàn cấu. Nếu s n p = 0 thì với bất kì y £ S~ l M, vì sM = M
nên có Tíiị £ M để smỵ = m. Khi đó, ta có s (s.rrii — l.m) = 0 nên
'Ip (mi) = ĨJ Y = Ĩ J. Do đó, đồng cấu nhúng M vào S~ l M là toàn cấu.
c) Giả sử S~ l M + 0.
Nếu £

s~ l p

thì do p £ p nên tồn tại số n để p n M = 0. Khi đó, với

bất kì s £ S~ 1 M Ì ( 4 ) n - = ^ = 0. Do đó, S~ l M Ằ S~ l M là lũy
linh.


16

2.1.2Tính chất của mô đun biểu diễn được
Trong phần này, ta xem R là vành Nơ te giao hoán có đơn vị khác không.
Mệnh

đề

2.1.7

.

Cho

M

là

R-mô

đun

biểu

diễn

được.

Khi

c

Ann(M) là iđêan phân tích được của R. Và Ass

đó,

a

=

Att (M)

Giả sử M có biểu diễn thứ cấp tối tiểu M = J2 Nị với Ni là pị-thứ
4=1

Ann(Ni). Từ 2.1.5, ta có Qi là p?;-nguyên sơ.
Nếu r

G nQi

thì rNị

= 0 với mọi chỉ số i. Do đó, rM = ^2

rNi

= 0.

4=1

(M).

Nếu r ị nQi thì tồn tại chỉ số zo để r ị pi 0 . Vì biểu diễn M = ỵ2 Ni
n

n

4=1

n

là biểu diễn tối tiểu nên Nị ữ qL ^2 Ni. Chọn XQ G N ia \ ỵ2 Nị. Khi đó,
4=1
4=1
i^ÍQ
i^io

rxio

ị

i=1
l ^ ỈQ

rx io +

^2 N i 7^ 0
i=1

rM

Ỷ

0-

Suy

ra,

r

ị

Ann(M).

Vậy,

đó, Ann(M) là iđêan phân tích được của A.

ta

có

Ann(M)

=

nQị. Do


17

n

Giả sử M có biểu diễn thứ cấp tối tiểu M = Ni với Ni là Pi~thứ
4=1

M/p. Khi đó, Q = (Ni + P)/p. Ta có (Ni + P)/p —
4=1

nên

theo

mệnh

đề

2.1.3,

(Ni

+

P)/p

là

một

pị-thứ

cấp

hoặc

bằng 0. Do đó, bằng cách loại bỏ các mô đun 0, Q là mô đun biểu diễn
được. Hơn nữa, Att(Q) c Att(M).
Định lý 2.1.9 . Cho

M

là

R-mô

đun

biểu

diễn

được

có

tập

các

iđêan

nguyên tố gắn kết Att(M)={pi, P2, ...,pn}. Khi đó, tập các iđêan nguyên
tố gắn kết Att(M) chỉ phụ thuộc vào M và không phụ thuộc vào sự
biểu
diễn thứ cấp tối tiểu. Hơn nữa, các điều kiện sau là tương đương đối
với
một iđêan nguyên tố p :
(1) p là một trong các pị.
(2) M có một mô đun thương P-thứ cấp.

(3) M có một mô đun thương Q sao cho ÌR (Q) = p .
(4) M có một mô đun thương Q sao cho p là phần tử tối tiểu trong
tập các iđêan nguyên tố chứa Ann(Q).

(1) =>(2): Giả sử p = pị. Đặt Qi =
M là tối tiểu nên M Ỷ Qiì ^/ Q

Ỷ

^

Nj. Khi đó, do biểu diễn của

0- Ta có :

%i = {Ni + Qi hi - N N n Qi
thứ cấp nên theo tính chất 2.1.3, ta có Q là Pi~thứ cấp.
(2) =>(3): Hiển nhiên.


Ass

{ R /Ann(Q)) c Att (Q) c Att (M)
18

p/Ann(Q)) nên p - Att(M), tức là p là một trong các pị.
ta có Q là biểu diễn được. Do 2.1.7, Ann(Q) là iđêan phân tích được của
R và
Mệnh đề 2.1.10 . Giả

sử

vành

R

là

Nơ

te

và

p

là

một

iđêan

nguyên

tố của R. Khi đó, cấc điều kiện trong định lý 2.1.9 đối với iđêan
nguyên
tố p tương đương với điều kiện sau:
(5) Tồn tại một mô đun thương Q của M mà Ann(Q) = p.

(2) ==>“(5): Cho Q là mô đun thương p-thứ cấp của M. Khi đó, do

2.1.5 nên Ann(Q) là iđêan p-nguyên sơ. Vì R là vành Nơ te nên theo
1.6.5, Ann(Q) chứa một lũy thừa nào đó của p. Tức là có số nguyên k để
p k Q = 0. Vì Q khác 0 nên Q Ỷ pQ ( nếu Q = pQ thì Q = pQ = p 2 Q =
... = p k Q = 0 ). Do đó, Q/pQ khác 0 nên là mô đun p-thứ cấp bởi 2.1.3
và Ann ị^/pò) = P(5) =>(3): Giả sử tồn tại một mô đun thương Q của M mà Ann(Q)
=p. Vì Ann(Q) là iđêan nguyên tố p nên ta có
Cho

X

= r (Ann(Q)) = p.

là phần tử bất kì của R. Khi đó, ta có :
n

(1) (fx M là toàn cấu<5 X ị ỊJ Pi.
i=1
n

(2) p>x M là lũy l i n h X E n pii= 1
(1) Nếu X ị ỊJ pị thì xNị = Ni, i = 1, n. Do đó, xM=M. Tức là (f x M
i= 1
n

là toàn cấu. Ngược lại, nếu X E 1J Pi, tức là tồn tại chỉ số i và số nguyên
i= 1
= 0. Do đó,
x r M = x r Nj =
3 =1

c

ÚỶi


19
n

Vì M = Ỵ2 Nj là biểu diễn tối tiểu nên
j=1
n

x r Mcỵ í N j $ỵ / N j = M.
j =1

n

u

không toàn cấu. Do đó, nếu ( f x , M toàn cấu thì X i
pi(2) Ta thấy, ( f x , M lũy linh khi và chỉ khi mọi ( f x N - lũy linh, và (p x Nlũy linh khi và chỉ khi X 6 p ị . Do đó,
n
(fx,M

là lũy linh <£> X e

n

Pi ■

Cho M là R-mổ đun biểu diễn được và a = Ann(M)
Ẩss (^/a)

y

à Att(M) có chung các iđêan nguyên tố cô lập, và

do đó, các iđêan nguyên tố cô lập gắn kết của M là phần tử nhỏ nhất
trong tập các iđêan nguyên tố chứa a .

Đặt ộ là tập các phần tử tối tiểu của Ass(^/a) và ìp là tập các phần
tử tối tiểu của Att(M). Khi đó, do mệnh đề 2.1.11, ta có:
n p = r(a) = »(M) = n p.
Peộ
Pe\p
Từ đó, ta thấy: mỗi p € ộ chứa một p' E 'ộ và ngược lại. Do đó, ộ = ĩp.
Mệnh đề 2.1.13 . Cho a là iđêan

hữu hạn sinh của R và M là R-mô

đun biểu diễn được. Khi đó, cấc điều sau tương đương :
1. M = aM
2. 3x € a : M = xM

(1)=^(2): Giả sử a c pi Q với một chỉ số ÌQ nào đó. Vì a là hữu hạn
sinh, ta tìm được số nguyên r để a r Nị 0 = 0 . Do đó:


20

iỹ^iữ
n

Điều mâu thuẫn này chỉ ra rằng với mọi i, ta có a (£_ pi . Do đó, a <Ị_
n

u

Khi đó,
pi-tồn tại X € OL \ 1J Pi đe ip x M là toàn cấu theo mềnh đề 2.1.11.
: hiển nhiên.

(2)=K1)

Cho M là R-mô đun có biểu diễn thứ cấp tối tiểu
n

là tập con nhân của R và {pi, p2, P n } là tập các
i= 1
iđêan gắn kết của R-mô đun M. Giả sử rằng s

có phần tử chung với

Pr+iìPr+2ì •••■> Pn và không có phần tử chung với Pi, P 2,..., pr■ Khi
đó,

cấc

mô đun con của M sau dây bằng nhau :
a) Pl xM

xès

Đặt Lị, L2, T3 lần lượt là ba mô đun con trên. Ta sẽ chỉ ra :
Lị c L 2 c L 3 c Lị.
Vì

s có phần tử chung với Pr+Tì

Pr+2'ì —ì Pn nên ta gọi Xi

6 s n pi

với i = r + 1,71. Khi đó, với số nguyên k đủ lớn thì XịNị = 0 với mọi
X=

n

G s. Khi đó, Lị c xM = ỵ2 x Ki =

ẾxNiCLi.

i = r +1

i= 1

ỉ=\

Dễ thấy L2 c L3.
Giả sử N là một mô đun con p-thứ cấp của M mà p n s = 0. Với

21

Mô đun con của M trong mệnh đề 2.1.14 được ký hiệu là S(M). Ta
có S(M) =
xeS

Định

lý

2.1.15

.

Cho

M

n

xM = 22 Nỉ.

có

biểu

4=1

là

R-mô

đun

diễn

thứ

cấp

tối

tiểu

M = 22 Kị với 5R (Ni) = Pi và 22 là một tập con cô lập của Att(M).
4=1

Bằng cách đánh số lại, ta giả sử 22

=

{pi, P2: p r } -

Khi đó, mô đun

Đặt s = R\ u pi. Khi đó,
4=1

s n Pj = ịp\ u pij n Pj = 0 với j = 1, r

s n Pj = (R\UPÌ)C pj = pj\ u
\

4=1

/

Pi Ỷ 0 với j = r + 1, n
4=1

thỏa mãn giả thiết của mệnh đề 2.1.14. Từ đó, Nị + ÌV2 + ... +
N r = S(M) . Nhưng S(M) chỉ phụ thuộc vào M và ^2 nên ta có kết quả
Cho M là R-mô đun có biểu diễn thứ cấp tối tiểu
n

M = Ỵ2 Ni với $1 (Ni) = Pi, ot. là iđêan hữu hạn sinh của R. Khi đó,
dẫy
4=1

M) r>0 dừng và với r đủ lớn và ta có a r M = Ỵ2Ni với I
iel

Vì a hữu hạn sinh nên với r đủ lớn và mọi chỉ số i ị I thì a r Nị = 0.
Do đó, ta có OỈM = ê a T Ni = £ a T Ni cp,
4=1

4€/

iel

Mặt khác, tập {pi : i E 1} là tập con cô lập của Att(M) nên theo


22

Mệnh đề 2.1.17 . Cho M là R-mô đun biểu diễn được và

s

là tập con

đóng nhân của R. Khi đó, S(M)=a.M với một phần tử a nào đó thuộc

s.
Giả sử Att (M) = {p 1,p n }, s có phần tử chung với p r+ 1, p r+ 2,Pn
và không có phần tử chung với pi, p2,..., pr • Theo mệnh đề 2.1.14, ta có
+ ... + N r . Vì s có phần tử chung với p r+ 1, p r+ 2,..., Pn
nên ta có thể chọn các Oị E s

n

Pi

với i = r + 1, n. Khi đó, a k ịNị = 0.
n

J ta có:
i=r+l
n

r

i= 1

i=l

aM=ỵ,aN i = ỵ, aNi

Vì a E

s

nên a ị pi với i
với các ii= 1

i=l

Mệnh đề 2.1.18 . Cho I là một iđêan của R. Nếu M là R-mô đun biểu
diễn được thì IM là R-mô đun biểu diễn được.
Đặt M = ^2 Ni là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M với Att (M) =
i= 1

Khi đó, ta có IM = X] IN ii= 1