Một số phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tăng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP. HÓ CHÍ MINH I
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP. HỒ CHÍ
MINH

Nguyễn Thị Thu Hà

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN cứu
Sự TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ TĂNG

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành từ
những
năm 1940, tiếp tục được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay. Lý thuyết
này
tìm được những ứng dụng đa dạng trong việc chứng minh sự tồn tại và nghiên
cứu
tính chất của nghiệm của các phương trình vi phân, tích phân phát sinh trong
Toán
học, Vật lí, Sinh học, ... cũng như trong nghiên cứu các mô hình phát triển xuất
phát từ kinh tế học, ...
Trong lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự thì lóp phương
trình

với toán tử tăng đóng vai trò quan trọng. Các kết quả về toán tử dạng này cho
phép
nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và xấp xỉ nghiệm của các phương trình chứa các
toán tử không liên tục vốn xuất hiện tự nhiên từ các bài toán thực tế. Đã có
nhiều
định lí về điểm bất động của ánh xạ tăng, được chứng minh bằng các phương
pháp
khác nhau trong các bài báo của Krasnoselskii, Bakhtin, Carl, Heikkila, Nguyễn
Bích Huy, ... Đẻ có thể tìm ra các định lí dạng mới về điểm bất động của ánh xạ
tăng hoặc để nghiên cứu các lóp ánh xạ gần với ánh xạ tăng thì cần có sự nhìn
lại,
phân tích các phương pháp đã được áp dụng để nghiên cứu ánh xạ tăng.


4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được ứng dụng trong
việc
chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu tính chất của nghiệm của các phương trình
vi
phân, tích phân phát sinh trong Toán học, Vật lí, Sinh học, ... cũng như trong
nghiên cứu các mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học, ...
5. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm có bốn chương.
Chương 1: trình bày nguyên lí đệ qui mở rộng, ứng dụng của nó trong
việc
tìm điểm bất động của ánh xạ tăng.
Chương 2: tìm hiểu ứng dụng của số siêu hạn vào bài toán điểm bất
động

của ánh xạ tăng.
Chương 3: trình bày nguyên lí Entropy và ứng dụng của nó vào bài toán
điểm bất động.


Chương 1.
PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ĐỆ QUI MỞ RỘNG
1.1. Nguyên lí đệ qui mở rộng

Định nghĩa 1.1.1
Cho tập p ^ 0, khi đó (p ,<) được gọi là tập sắp thứ tự một phần nếu trên p có
quan hệ thứ tự < thỏa:
i. Phản xạ: xii. Đối xứng: Nếu X < y và y < X thì x = y VJC, y E p.
iii. Bắc cầu: Nếu X< y và y < z thì x
Ta kí hiệu X < y nếu X < y và X ^ y.
Ví dụ. ( ,<), ( ,<), ( ,<) là các tập được sắp thứ tự.
Định nghĩa 1.1.2
Tập họp p có thứ tự gọi là sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của nó đều có
phần tử đầu tiên.
• Với c Mệnh đề 1.1.1 (Nguyên lí đệ quỉ)
Cho D là tập họp các tập con của tập sắp thứ tự (P,<),0ED và ánh xạ
F : D ^ P.
Khi đó, tồn tại duy nhất tập sắp tốt c của p sao cho:

(*)
2) Nếu c E D thì p(c) không phải là cận trên chặt của c .
Chứng minh.

Đặt JCO=F(0)EP. Gọi M là tập tất cả các xích sắp tốt C' của p có tính chất
JC eC' thì X = F ( C ' x ) .
Ta có M 0 vì C' = {*o} e M. Ta sẽ chứng minh u CeM.
C'eM
dề 1.1.1
Nếu Cj, C2 E M và C2 (2 Cj thì Cj = C2 với X = min(C2 \ Cj).
Chứng minh.

■

Vì

X

=

min

(C2

\

Cj)

nên

C2

c=

Thật vậy, lấy y E C2 thì y E C2 và y < X.
Mà -X = min(C2 \ Cj) nên y Ể C2 \ Cj. Suy ra y E Cj.
■

Giả sử Cj \ C2 ^ 0

Đặt y = min ÍCj \ C2). Khi đó, ta có
CfcC2 cỊQn^) (do c2 cCị)
Ta sẽ chứng minh CỊ = C2 .
Giả sử CịV ^ C2 . Khi đó tồn tại z = min(c2 \ CỊ ) nên (c2 ) CICỊ .
Suy ra c\ c= cf
(vì z < X)
Mặt khác z E C2 c(C,nC2) nên z E Cj.

(1)

Mà z Ể c\. Do đó y < z ■ Suy ra cị c= C2 .
Ta có Cjy c= C2 nên CịV Do đó c; c= c2

(2)

Từ (1) và (2) suy ra Cị = c,v
Hay z = F^C2 ) = F{CỊ ) = y, mâu thuẫn vì z E C2 và y Ể C2 .

Cj

Vậy CỊ = Cị hay y = F ( C Ị ) = F ị c ị } = X , mâu thuẫn vì y E Cj và JC Ể Cj.
Vậy C,\C2 =0.
■

Ta đã chứng minh được

C;cC, và Cị \C2 =0. Do đó Cj = C2\
Bỗ đề 1.1.2
Giả sử X = F ( C X X < y e C e M .
Khi đó X e c.
Chứng minh.
■

Vì ỵ e c E M nên y = iríc°’ ì.

Do X < y nên ta có cx Hon nữa dấu “=” không xảy ra vì X = c* ) < ỵ = CV ).
Như vậy 3 z = min ((7 \ cx Ị
■

Ta sẽ chứng minh x = z thì sẽ có X e C .

Trước tiên, ta chứng minh cx = cz
Do z = min(cv \ cx ) nên cz c= cx (Thật vậy, lấy u e C z , ta có u e C , u < z < y .
Mà z = min(cv \ cx ) suy ra u Ể cy \cx = > u e C x )
Giả sử dấu “=” không xảy ra. Khi đó 3 t e C x \ c z
Vì t và z thuộc c nên chúng so sánh được với nhau. Và từ cách chọn G ta có
zTức là z e cx, mâu thuẫn vì z = min(cv \ C X Ỵ Do đó cx = cz
Suy ra X = F { C x ^ = F { C z ^ = Z ' Vậy x e C .

Chứng minh mệnh đề 1.1.1
Theo bổ đề 1.1.1 thì hai xích bất kì thuộc M đều chứa nhau.
Đặt c = u c\
C'eM
■ Chứng minh c sắp tốt
Lấy tập con A c= c, A & 0. Ta sẽ chứng minh 3x = min A
Chọn

Cj

E

M

sao

cho

A

n

Cj

^

0

Do Cj sắp tốt nên 3 x = min( A n Cj).
Ta chứng minh X = min A
Lấy y bất kì thuộc A . Ta chứng minh X < y, Vy e A .
Khi đó, 3C2 E M sao cho y e C 2
Nếu y E Cj thì y E C ị n A do đó X <
y
Nếu y Ể C ị thì C2 (2 C] nên theo bổ đề 1.1.1 ta có Cj = C2 với ^ = min (C2 \ Cj)
Có y
Suy

e C2, y Ể Cj nên y e C2 \ Cj do đó Ấ: <
ra

C2

c

Cị

tức

là

Cj

=

C2

Do reCj c C2 nên X < y. Vậy x < y, \ / y t A .

Suy ra x = min A tồn tại hay c là xích sắp tốt.
■

Chứng minh c thỏa (*)

=> /Lấy x e C thì tồn tại Cj E M sao cho X E Cj
Lấy y E c* thì tồn tại C 2 e M sao cho y E C2
Nếu C2 c= Cị thì C2 cz CjA do đó y E CịA
Nếu C2 ợ: Cj thì theo bổ đề 1.1.1 ta có Cj = C2, k = min(C2 \ Cj)
Do X E Cj, Cj = C2 nên X E C2. Suy ra X < Ả: => CjA = Ịc2 j =
C2

c=

y
C2y


Hiển nhiên ta có C ị cz cx. Do đó C ị = cx
Suy ra X = r ( c , x ) = F(Cx)(do c , e M ) . V ậ y c e M .

<= / Già sử

x = F [ C x).Cần chứng minh X e c.

Giả sử trái lại X Ể c .
Ta đã chứng minh c e M nên từ bổ đề 1.1.2, ta phải có X X y, \ / y e C (1)
Hiển nhiên c x & 0 vì nếu không, ta có x = F(0) = x ữ e C .
Đặt Cj =cx u {%}. Chứng minh Cj sắp tốt
Với D d C ị , D ^ 0 , D & {%} thì ta có minD = min(c* n D ) nên theo định nghĩa

1.1.2

ta có Cj sắp tốt (min^C* n D ) tồn tại vì c x C \ D
tốt

và

theo định nghĩa 1.1.2)
Do (1) nên C Ị = c v, Vy e Cj
Thật vậy, lấy y E Cj = c x u {.*}
Nếu y = X thì CỴ = C' = ( c x V {JC})JC = C ‘
Nếu y e c’ thi

y < X nên ta có Cj’ = ị c x'.J {xịV = C’

Do đó Cj e M
Thật vậy, lấy y E Cj, chứng minh y = FỊCi> j
Nếu y =x thì y = X = F ( C x ^ = F ( c y) =
F^C13')
Nếu y e C x thì y E c mà c e M nên y = F ( c y) = F { c y )
Suy ra X e C , mâu thuẫn. Ta có điều phải chứng minh.
■ Chứng minh c thỏa(**)
Thật vậy, nếu c e D và tì! = Jp(c) là một cận trên chặt của c, thì c a = c .


Suy ra

F[ca) = F (c) = a

Do (*) nẽn ta có c i e C (mâu thuẫn vì a là cận trên chặt của C)
Vậy c thỏa (**).
Ket luận: Mệnh đề đuợc chứng minh hoàn toàn.
1.2. Tập xấp xỉ liên tiếp từ một điểm đối với một

ánh xạ
B Ỗ đ ề 1.2.1

Cho tập có thứ tự (/*,<), ánh xạ G\P —» p và a e P.
Khi đó tồn tại duy nhất xích sắp tốt c của p sao cho
ú! = minC và < % e c % = supơ(c1))
Chứng minh.

(/)

Xét D = {0} U|A C= p ị supG(A) tồn tạiỊ
và ánh xạ /: D —» p xác định bởi
/(0) = ữ và /(A) = supG(A) với 0 ^ A e D
Rõ ràng / được định nghĩa tốt.
■ Theo mệnh đề 1.1.1 (nguyên lí đệ qui) thì tồn tại duy nhất xích sắp tốt c của

p
sao cho
1)

x e C o x = f(cx)

2) Nếu c ELD thì /(c) không phải là cận trên chặt của c.
■

Ta kiểm tra c thỏa (/).

Đặt x0 = min c (vì c sắp tốt nên tồn tại min)
Ta có x0 E c nên theo 1) ta có %0 = f y C x ° Ị = /(0) = a tức là a = minC.
Với a < X thì c x ^ 0 . Do đó x e C o X = f { c x ) = supG^C*) (định nghĩa /).


Định nghĩa 1.2.1
Xích c được xây dựng như trên gọi là xích sắp tốt (w.o) của phép lặp G từ a.
Định lí 1.2.1
Cho tập có thứ tự (/*,<), ánh xạ G : P —» p, a e P .
Giả sử c là xích sắp tốt của phép lặp G từ a .
Nếu a < Ga và X* = sup G(c) tồn tại thì X* = maxC và Gx* < X*.
Chứng minh.
Giả sử a < Ga và X* = supG(C) tồn tại.
Ta chứng minh X* = maxC
■

Lấy X E c

Nếu X = a thì do a < G a < supG(C) = X* nên X < X*
Nếu a < x e C ta có x = supGỊc*)Suy ra X < X*, Vx E c.
■ Giả sử X* Ể c
Khi đó ta có X < X*, Vx e c hay cx* = c
Ta có X* = supG(C) = supGỊcv*)
Suy ra X* e c (mâu thuẫn). Do đó X* E c.
Vậy ta đã chứng minh được X* = max c.
Và Gx* < supG(c) = X*.
B Ồ đ ề 1.2.2

Neu A và B là tập con của p và nếu sup A, sup B tồn tại thì
sup(Au£) = sup{supA, supi?}.
Chứng minh.


Dễ thấy hai tập hợp Au5 và {supA, sup#} có cận trên giống nhau, từ đó suy ra
điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.2.2
Cho c là xích sắp tốt. Với mỗi x e C , x ^ maxC, sẽ có một phần tử tiếp sau S x
trong c, ta có S x := min ị ỵ e c / X < ỵ ].
Mệnh đề 1.2.1
Cho G : P — > p là ánh xạ tăng và a < G a .
Gọi c là xích sắp tốt của phép lặp G từ a .
Khi đó:
a. Nếu x e C thì x < G x và G x e C .
b. S a tồn tại khi và chỉ khi a < G a và do đó S a = G a .
c. Nếu a < x ec thì S x tồn tại khi và chỉ khi G x £ x và sup{x,Gx} tồn tại,

và do đó S x = sup{ x , G x }.
d. Neu a < X EC thì X = sup cx khi và chỉ khi X không là phần tử tiếp

sau.
e. G(c) là xích sắp tốt của p .
Chứng minh.

a. Lấy

X

e

c,

chứng

minh

x
Nếu x = a thì x < G x (do giả thiết a < G a )
Nếu a < x e C ta có Vy e cx thì y < X mà G tăng nên G y < G x
Suy ra supG^C1) < G x hay x < G x . Vậy X e c thì x < G x .
■

Chứng

minh

Ta chỉ cần xét truờng hợp x < G x .
Ta sẽ chứng minh C G x = cx u |JCỊ . Thật vậy

Gx

e
(1)

c


Lấy

y

E

CGx

thì

ỵ

E

c

và

y

<

Gx

Nếu X < ỵ thì X E cy .
Nên Gx < sup G ( c y ) = y (mâu thuẫn vì y < G x )
Suy ra y < X hay ỵ eCx u{x}, Vy E CGx hay CGA Từ (1) và (2) suy ra CGx = cx u {x}
Do đó supG(cGx ) = supG(cA u {x}) = G x do G tăng. Vậy G x e C .
b. Neu Sữ tồn tại thì do S a > a , S a e C khi và chỉ khi

&7 = supG(C5ữ) (theo (/))
Mà CSa = ca u{ữ} = ỊữỊ (vì ứ = minC nên ca = 0)
nên Sữ = supG({<2}) = G<2 và a < S a = G a .
■ Đảo lại, giả sử ứ < Gữ. Chứng minh S a tồn tại.
Ta có CGa =

. Thật vậy

Hiển nhiên ỊữỊ Ta chứng minh CGa a ỊữỊ. Lấy X E C G a ta có X E c và x < G a
Nếu <3 < X thì fle CA nên Gứ < supGỊcA Ị = X (do (/))
mâu thuẫn vì X < G a . Vậy x < a , mà a = minC nên x = a hay X E
ịa}
tức là CGa ^ { a }
Vậy CGứ = { a } .
Khi đó: supGỊcGíỉ ) = supG(ỊữỊ) = G a do (/) nên G a e C .
Ta có a < G a e C nên a ^ max c
Theo định nghĩa ta có S a tồn
tại.


c. Giả sử a < X E c và S x tồn tại

Áp dụng (/), định nghĩa 1,2,2 và bổ đề 1.2.2 ta có
S x = supG [ c Sx] = sup G[cA u{x}J
= sup ( G ị c x J u {Gx}) = sup { x ,
Gx}
Vì x < S x = sup{%,G x } nên G x i x .
■ Đảo lại, giả sử a < x e C và G x £ x và z = sup{x,Gx} tồn tại.
Ta chứng minh S x tồn tại.

Ta có cz = cx u {xỊ (tưong tự a)
Theo bổ đề 1.2.2 và (/), ta có
z = sup { x , G x } = sup ^G(c^ j u{Gx} j
= sup G(CA u{x})] = supG(cz)
Suy ra z e c do (/).
Như vậy ta có X < z e c nên X ^ max c .
Theo định nghĩa 1.2.2 ta có S x tồn tại.
d. Giả sử a < X E c và X không là phần tử tiếp sau

Rõ ràng X là một cận trên của cx. Lấy vc là một cận trên khác của cx.
Với y e C x thì a < y < X
Do ỵ e c và y ^ max c nên tồn tại S y .
y = a thì do b) ta có a < S a = G a .
y > a thì do c) S y = sup{y,Gy}
Vậy với y e C x ta luôn có S y = sup{y,Gy}.

Suy ra G y < S y e C x (do ỵ < X và X ^ S y nên S y < x )
Do đó G y < w , Vy e cx. Suy ra supGỊcA) < w hay X < w (do (/))


Như vậy theo định nghĩa sup ta có X = supCA.
■ Giả sử X là phần tử tiếp sau, tức là x = S y với y nào đó thuộc c.
Khi đó y < S y = X => y E cx
Ta chứng minh z < y, Vz E CA. Thật vậy
Nếu tồn tại z e CA và y < z thì x = S y < z mâu thuẫn vì z e CA.
Khi đó S y = x = sup cx < y, mâu thuẫn.
Suy ra điều phải chứng minh.
Các kết quả trên kéo theo các hệ quả sau.
H ệ q u ả 1.2.1
Neu c là xích sắp tốt của phép lặp G từ a E p thì

a. a = max c khi và chỉ khi a ^ G a .
b. Nếu a < x thì x = maxC khi và chỉ khi G x < x hoặc sup{x,Gx} không

tồn tại.
Chứng minh.
a. Suy ra từ mệnh đề 1.2.1 .b)
b. Suy ra từ mệnh đề 1,2.2.c)

H ệ q u ả 1.2.2
Cho c là xích sắp tốt của phép lặp G từ a e P. Ta có
Nếu x e C thì G x = S x khi và chỉ khi x < G x .
Chứng minh.
=> / Hiển nhiên G x = S x > X
<= / Ta có X E c và X < Gx
Theo mệnh đề 1.2.1.a) X e c nên Gx E c .
Khi đó tồn tại sup{x,Gx| = Gx do X < Gx
Theo mệnh đề 1.2.1 .c) ta có tồn tại S x = sup {X, GxỊ = Gx (đpcm).


1.3. Điểm bất động của ánh xạ

tăng
Định lí 1.3.1

Cho tập sắp thứ tự p , ánh xạ tăng G : P — > p .
a là một cận dưới của G ( p ) .
Giả sử tồn tại X* = sup G(c) với c là xích sắp tốt của phép lặp G từ
Khi đó X* = Gx* = maxC = minịứ < x\Gx < xj
Đặc biệt X* là điểm bất động bé nhất của G.
Chứng minh.

■

Mà

theo

Vì a là cận dưới của G(p) nên a < Ga.
giả

thiết

ta

có

X*

=

sup

G(c)

tồn

tại

Nên theo định lí 1.2.1 thì X* = maxC và Gx* < X*
Mặt khác theo mệnh đề 1.2.1 thì X* E c nên X* < Gx*

Suy ra X* = Gx* = max c
■

Chứng minh X* = minịa < X ỉ Gx < x}

Đặt D = ịa < X / Gx < x}
Lấy y G D , ta cần chứng minh X* < y. Thật vậy
Giả sử x*>y.Tacó A = {xeC/x>y}^0 vì x*eA.
Đặt z = min A ta có z > y
Mà a < y nên z^a hay cz * 0
Với t eCz thì t < y theo định nghĩa z •
Suy ra z = supG(cz) < Gy < y do y eD. Mâu thuẫn.
Vậy X* < ỵ, Vy E D = [a < X / Gx < x} hay X* = min{ữ < X / Gx <


■ Đặc biệt D chứa tất cả các điểm bất động của G.
Mà X* = min D nên X* là điểm bất động bé nhất của G.
Do sự tưcmg tự, nếu ta xét tập với quan hệ thứ tự > thì các kết quả ở 1.1, 1.2, 1.3
vẫn còn đúng. Đặc biệt ta có kết quả sau
Định lí 1.3.2
Cho ánh xạ F : P —» p và b e P . Khi đó tồn tại duy nhất xích sắp tốt nghịch đảo
C'

của

phép

lặp

F

từ

b

thỏa

(/') b = max c'
b>xeC'ox = mfF(C'x)
Nếu b > F b , F tăng và X * = inf F(C') tồn tại thì
X * = F x * =minC' = max|Z? > x\Fx
>XỊ
và X * là điểm bất động lớn nhất của F.
Từ các định lí 1.3.1, 1.3.2 ta có hệ quả sau
Hệ quả 1.3.1
Cho p là tập sắp thứ tự một phần và ánh xạ tăng G : P —> p
a. Nếu G(jp) có một cận dưới và mọi xích sắp tốt của G(jp) đều có sup thì

G

có điểm bất động bé nhất X* và X* = min Ịx / Gx < xỊ.
b. Nếu G(JP) CÓ một cận trên và mọi xích sắp tốt của G ( p ) đều có inf thì

G
có điểm bất động lớn nhất X* và X* = max {x / Gx < x}.
Chứng minh.


Gọi c là xích sắp tốt của phép lặp G từ a .
Theo mệnh đề 1.2.1 thì G(c) cC và G(c) là xích sắp tốt của G!(jp).

Do đó theo giả thiết thì X * = sup G(c) tồn tại.
Áp dụng định lí 1.3.1 ta có đpcm.
Định nghĩa 1.3.1
Tập họp sắp thứ tự một phần p được gọi là đầy đủ tưong đối theo thứ tự nếu
0 ^Ẩcp là tập sắp tốt (hoặc sắp tốt nghịch đảo) thì tồn tại supAeP (tương
ứng inf Ae P).
Neu A = p thì p gọi là tập sắp tốt đầy đủ.
Định nghĩa 1.3.2
Cho tập họp sắp thứ tự một phần p . Khi đó:
a. c được gọi là sup - center của p nếu tồn tại sup{c,y} E p , Vy E p .
b. c được gọi là inf- center của p nếu tồn tại inf {c,yj, Vy E p .
c. c được gọi là order - center của p nếu nó vừa là sup - center vừa là inf -

center của p .
Với a , b E p , a < b . Kí hiệu
[a) = {x e p,a< x}
(&] = {JC E p , x < b }
[ a , b ] = { x e P, a < x < b }
Định lí 1.3.3
Cholà tập sắp thứ tự một phần, G \P —» p là ánh xạ tăng và G(jp) là tập
đầy đủ tương đối theo thứ tự trong p.
Khi đó


a. Neu p có một sup - center c thì G có điểm bất động X* thỏa mãn

X* = maxỊx E (£>] / X < GxỊ.
với & = min|xE[c)/sup{c,Gx} b. Neu p có một inf - center c thì G có điểm bất động X * thỏa mãn

X* = min Ị* E [a ) / Gx < xỊ .
với ữ = max|xE(c]/xChứng minh.
Ta chỉ chứng ming trường họp a), còn trường họp b) chứng minh tương tự.
■

Xét ánh xạ f : P — > P xác định bởi f ( x ) = sup{c,Gx}.

Hiển nhiên / được định nghĩa tốt.
Khi đó, rõ ràng / tăng và f ( p ) là tập đầy đủ tương đối theo thứ tự (vì G tăng,
G(jp) đầy đủ tương đối theo thứ tự)
■ Ta có c < sup{c,GCỊ = /(c) hay c là cận dưới của /(c).
Gọi c là xích sắp tốt của / từ c .

Vì f ( p ) đầy đủ tương đối và /(c) 1.3.1

sẽ tồn tại £ = sup/(c).

Theo định lí 1.3.1 thì là điểm bất động b của / và b = minịx E [c) / f ( x ) < xỊ
■ Ta có b = f ( b ) = sup{c,GZ?} nên G b < b .
Gọi c' là xích sắp tốt nghịch đảo của G từ b .

Khi đó vì G(C') sắp tốt nghịch đảo và G ( p ) đầy đủ tương đối nên tồn tại
jc*=infơ(C').
Theo định lí 1.3.2 thì X* là điểm bất động của G và X* = max Ịx E (&] / X < GxỊ
với £ = min|xE[c)/sup{c,Gx}

H ệ q u ả 1.3.2

Cho (/>,<) là tập sắp thứ tự một phần có order - center c và ánh xạ tăng
G : P — > P, G ( p ) là tập đầy đủ tương đối theo thứ tự trong p . Khi đó
a. Phương trình X = inf |c,GxỊ có nghiệm lớn nhất trong (c].
b. Phương trình X = sup {c,Gx} có nghiệm bé nhất trong [c).
c. G có điểm bất động bé nhất X* và điểm bất động lớn nhất X* trong

[a,b]
với a , b xác định ở định lí 1.3.3.
H ệ q u ả 1.3.3
Cho p là tập sắp thứ tự tốt đầy đủ và có một order - center.
Khi đó, mỗi ánh xạ tăng G:P —> p đều có điểm bất động lớn nhất X* và điểm bất
động bé nhất X* thỏa định lí 1.3.3.
Ví dụ
Kí hiệu p = Ị(X1,X2,...,X/m) E m/ ịxỴ + \x2\p + ... + \xm\P < r p } với /?e(0,oo)
và r > 0. Giả sử p được sắp thứ tự theo “thứ tự từng tọa độ” (nghĩa là nếu
x , y e P,

x=(x„x2,...,xm) và

thì

, Vi = l,m).
Khi đó, mọi ánh xạ tăng G:P —>p đều có điểm bất động X* và X* thỏa định lí
1.3.3.
Chứng minh.
Đặt c = (0,0,...,0) thì c là order- center của p.
Thật

vậy,

lấy

X

=

(xj,x2,...xm)

sup{c,x} =Ịmax(0,x1),max(0,x2),...,max(0,xWJ)j

e

p,

ta

có


và |max(0,x;)|<|xf| , Vỉ = l,m
Suy ra sup{c,x} E p hay c là sup - center của p.
Tương tự c là inf - center của p. Vậy c là order - center.
Mặt khác p là tập đóng, bị chặn, con của m nên p là đầy đủ tương đối theo thứ
tự. Áp dụng hệ quả 1.3.2 ta có đpcm.
Định lí 1.3.4
Cho p là tập sắp thứ tự một phần và aeP. Giả sử ánh xạ tăng G:P —>p thỏa
a < Ga và c là xích sắp tốt của phép lặp G từ a .
Xét dãy lặp ỊxnỊ thỏa x0 = a, xn+ỉ = Gxn.
Khi đó, nếu X* eP thỏa X* =sup{xrtỊ thì X* là điểm bất động bé nhất của G
trong [ữ).

Chứng minh.
Có thể viết lại {xn j thành ịa, Ga, G2a, ...,Gna, ...Ị.
Suy ra {xn} là dãy tăng và xn e c Vn.
■

Nếu xm+1 = xm với m nào đó thì

Gm+Ìa = Grna hay Gm+k+xa = Gm+ka

Vk e

Suy ra xm+lc+ỉ = x m+k, V* e .
Khi đó X* = sup{x } = supc chính là điểm bất động bé nhất của G theo định lí
1.3.1.
■

Nếu { xn} n tăng ngặt

Ta sẽ chứng minh Gx* = sup GỊCx* j.
Thật vậy, vì xn e C x * Vn nên Gx* = sup G x n < sup GỊCx* j.


Mặt khác nếu X e cx* thì X E c và X < X*.
Do X* = sup{xwỊ nên tồn tại n sao cho X < x n.
Khi đó G x < G x n < Gx* nên supG ^ c x * ì < supGxrt.
VậyG x t =supG(c"-Ị.
Mà X* = sup x n = sup XM+I = sup G x n = Gx*
Suy ra X* = supG(cv*) hay X* e c
Vì X* = Gx* nên không tồn tại Sx* và ta có X* = max c.
Theo định lí 1.3.1 thì X* là điểm bất động bé nhất của G trong [ữ) .

Chương 2.
PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG DÃY QUI NẠP SIÊU HẠN

2.1 Số siêu hạn

Trong mục này ta trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về số siêu việt để
ứng dụng trong mục sau.
Định nghĩa 2.1.1
1. Các tập có thứ tự (x,
ánh f :X —» F sao cho \/x,y eX, X<x y => f ( x ) < y f ( y )
2. Quan hệ đồng dạng giữa các tập được sắp toàn phần là quan hệ tương

đương.
Do đó tập tất cả các tập được sắp toàn phần được chia thành các lóp
tương
đương. Các tập trong cùng một lóp được gọi là có cùng kiểu thứ tự.
3. Ta kí hiệu kiểu thứ tự của tập 0 bởi số 0, kiểu thứ tự của tập { l v ớ i

thứ tự thông thường bởi số l ĩ , kiểu thứ tự của , , , với thứ tự thông
thường kí hiệu tương ứng bởi co, 71,11, Ả .
4. Giả sử tập (x,<) có kiểu thứ tự là a. Ta định nghĩa thứ tự "-<* " trong X

như sau X -<* y o y < X.
Khi đó kiểu thứ tự của ( X ,<*) kí hiệu là a .
Ví dụ: kiểu thứ tự của tập {0, -1, - 2,...} với thứ tự thông thường là Cú*.
5. Kiểu thứ tự gọi là vô hạn nếu tập tương ứng là vô hạn.

định nghĩa atự là OLị thì ta kí hiệu kiểu thứ tự của X là ^ OLị .
ie/

Ví dụ
1 ) co* +CO-7T
2) Giả sử X ỵ = ị a } , X 2 = *,/ = ■[ 1,2}. Khi đó kiểu thứ tự của

X,uX2 = {ữ, 1,2,...}

(1)

là 1 + 0 0
Giả sử X x - * , X 2 = { a } khi đó kiểu thứ tự của tập
X,uX2={l,2,...,fl}

(2)

là C O + 1. Các tập (l),(2) có kiểu thứ tự khác nhau ((2) có phần tử lớn
nhất
còn (l) không có). Vậy 1 + C ú * c o + 1.
3) Tập [ a , b ] - {ứ} u(ứ,ò)u{/?} có kiểu thứ tự là 1 + /1 + 1.
Định nghĩa 2.1.3
1) Tập đuợc sắp toàn phần X gọi là đuợc sắp hoàn toàn (sắp tốt) nếu mọi tập

con không trống của X có phần tử nhỏ nhất.
2) Kiểu thứ tự của tập được sắp hoàn toàn gọi là số thứ tự.
3) Số thứ tự vô hạn gọi là số siêu hạn.

Ví dụ
1) Các kiểu thứ tự lĩ E *, ù), co +1 là số thứ tự; ù),ù) +1 là số siêu hạn.


Định nghĩa 2.1.4
1) Neu X là tập được sắp toàn phần và a e X thì tập X a := ị x G X : x < a }

gọi
là một đoạn của X .
2) Nếu X , Y là các tập được sắp toàn phần và X đồng dạng với một đoạn

của
Y thì ta nói X ngắn hơn Y .
3) Giả sử a,Ị3 là hai số thứ tự và X,Y là 2 tập sắp toàn phần có kiểu thứ tự

a,p tương ứng. Neu X ngắn hơn Y thì ta nói a nhỏ hơn p hay p lớn hơn
a và viết a < p hay p> a.
Vỉ dụ 0 < 1 < 2 <..., và các số trong dãy này đều nhỏ hơn các số siêu hạn.
Định lí 2.1.1
1) Neu a,p là hai số thứ tự thì có một và chỉ một khả năng sau:

a < p, a = p,a > p.
2) Neu s là một tập các số thứ tự với thứ tự được định nghĩa trong định

nghĩa
2.1.4 thì s có số nhỏ nhất.
3) Neu s là một tập các số thứ tự thì tồn tại số thứ tự lớn hơn mọi số thuộc s

.
4) Số a +1 là số thứ tự nhỏ nhất lớn hơn a.

Định nghĩa 2.1.5


Nguyên lí quỉ nạp siêu hạn
Giả sử T ( a ) là mệnh đề phát biểu cho các số thứ tự a , thoả mãn các điều kiện
i) T ( a ữ ) đúng.
ii) Nếu T ( a ) đã đúng cho mọi số thứ tự a 0 < a < Ị 3 thì T (yổ) đúng.

Khi đó T ( a ) đúng cho mọi số thứ tự a > a 0 .
2.2 ứng dụng vào bài toán điểm bất động của ánh xạ tăng

Xét toán tử A trong tập sắp thứ tự một phần X .
C á c định nghĩa
■ Toán tử A được gọi là V - đóng trên trên tập M (Z X nếu với bất ki tập hợp có

thứ tự tuyến tính ịxa Ị và I Ax Ị, phần tử y = sup {Ax Ị tồn tại và thuộc M .
■ Tưong tự, ta có định nghĩa V - đóng dưới của một toán tử.
■ Một toán tử vừa là V - đóng trên, vừa là V - đóng dưới được gọi là V đóng.
Định lí 2.1.1
Cho một họ giao hoán r = {ẤỊ của các toán tử A và tập M sau
1.


M là bất biến với mọi A E r . (A.M

2. Ax > X, VA E r và r e M .
3. Có ít nhất một toán tử AQ E r là V - đóng trên trên M .

Khi đó các toán tử A E r có một điểm bất động chung trong M .
Chứng minh.
Trước tiên chúng ta chứng minh rằng với bất kì xeM , tồn tại trong M ít nhất một
điểm bất động X* > X của AQ .
Xét một thứ tự mới trong M : x<ỵ nếu X < y và AQX < AQ^ .