Một số vấn đề về lớp các môđun tương đương xạ ảnh

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM
TP. HÒ CHÍ MINH
MỞ ĐẦU

“Đại số đồng điều ngày nay đang tràn ngập toàn bộ toán học”

(SZE - TSEN - Hư)

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Vâng, ngay sau khi đuợcMã
đề số
cập: 60
lần46
đầu05tiên bởi S.Eilenberg và s. Maclane năm 1944, lý thuyết phạm trù và hàm tử đã nhanh chóng tìm đuợc sự ứng dụng
ngày càng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học.

Các hàm tử mở rộng - Ext", là một trong bốn trụ cột cơ bản của đại số đồng


Mục này chúng tôi xin nhắc lại các kiến thức cơ bản có liên quan có thể sử
dụng chúng khi trình bày luận văn. Đó là một số khái niệm và kết quả về lí
thuyết nhóm, lí thuyết môđun, hàm tử Ext, hàm tử Tor,...Đối với các khái niệm
môđun tụ’ do, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp các
môđun, dãy khớp, hàm tử Hom, hàm tử Tenxơ, lí thuyết các vành giao hoán, ...
chúng ta xem nhu đã biết. Những khái niệm và kết quả này có thể tìm thấy
chúng trong mục “tài liệu tham khảo” đuợc chỉ ra ở trang cuối của luận văn này.

Trong luận văn này, vành R luôn đuợc xét là vành giao hoán có đơn vị. Và
môđun trên R là R - môđun trái (thật ra khi R là vành giao hoán có đơn vị thì
R - môđun trái cũng có thể xem nhu’ là R - môđun phải).

1.1.

Phức hợp, đồng điều và đối đồng điều:


Môđun đồng điều của phức theo chỉ số trên K = {Kn,õn} được xác định theo
công thức: Hn(K) = Kerốn/

Cho phức K = {Kn,õ} các R - môđun và G là một R - môđun. Tác động hàm tử

phản biến Hom(-,G) lên phức K ta được phức chỉ số trên, kí hiệu là Hom(£,G),
gồm các nhóm aben:

» Hom(ẪTw_j, G) ———>Hom(Ẫ^, G) —£-> Hom(Ẫ: ;+1, G)------»• • •


1.5.

Cấu xạ giữa các mở rộng:

r :E------------------->E của các mở rộng là bộ ba r = (a,j3,ỵ) sao cho biểu đồ sau
E 0-------->A—*—> B—íl—» c---->0
giao hoán:

rị

ịa

u

É 0-------- >À*' > ấ i - >c'--------->0
Trong trường hợp Ẩ = Ẩ ,c = c thì E trở thành mở rộng của A nhờ c.
Hai mở rộng của A nhờ c được gọi là toàn đẳng, kí hiệu E = E , nếu tồn tại cấu
xạ (lA,j3,\c)\E-------->È.
1.6.

Mệnh đề:

Quan hệ toàn đắng giữa các mở rộng là một quan hệ tương đương.

R(C,A) hay đơn giản là Ext(C,A) (nếu không sợ nhầm lẫn về vành hệ tử
R) là tập hợp tất cả các lớp toàn đẳng của các mở rộng của A nhờ c.


nhờ c và cấu xạ r = (a,j3, lc) :E----------------------->E . Cặp (r,2s Jđược xác định

duy nhất chính xác tới một toàn đắng của É.

Mở rộng E được kí hiệu là aE = aM 6 e Ext(C, Ả ).

1.9.

•

Mệnh đề: Ta có các toàn đẳng sau:

E\C=E ; E(ỵỵ ) = (Eỵ)ỵ' vói ỵ:ơ------->c, ỵ :C--------->c .

Phần tử đối của lớp toàn đẳng của mở rộng E là lóp toàn đẳng của mở rộng
(-1^)E. Và đối với các đồng cấu a : Ả--------->À, ỵ:C--------->c, ơị: A----->Ảị,

>c, i = 1, 2 ta có:

•

a[Eỉ+ E2) = aEị+aE2
Eỉỵ + E2ỵ.

•

;

(1.11.1)

(aĩ+a2)E = axE + a2E

; E[ỵì + ỵ2) = Eỵỉ+Eỵ2.

Các qui tắc ở (1.11.1) chỉ ra rằng các ánh xạ sau là các đồng cấu nhóm:

[El+E2)ỵ

=


s=E»°En-\° - ° E\ trong đó E, : — 5,_, -»
{E,ữEn-X°-aEx)r = E,oEn-i°-a (E,rl

Ta viết dãy khớp n - dài bất kì s như là tích của n dãy khớp ngắn:
Im(i?
—>B.t_j)
= Ker(5M —ỉ
= 1,tất cả các lớp toàn đẳngn—
1 và Kn
Bây
giờ ta
kí hiệu ExtnR(C,A)
là tập
ơ =cỉsS
các=A,
dãyK0 = c.
khớp n - dài bắt đầu từ A và kết thúc tại c.

Eị là duy nhất chính xác tới một toàn đẳng.

Dãy khớp n - dài thứ hai s cùng có chung hai đầu với s gọi là toàn đẳng với s
nếu s có thể nhận được từ s bởi hữu hạn các phép biến đối thuộc ba dạng sau:

) thay bất kì nhân tử Eị bởi dãy khớp ngắn toàn đắng với nó.
a(En°En-,°"°Eí)=(aE„)°E„-l°-°Er

Ta xem Ext0 (C,Ấ) như là Hom(C,Ă).


1.15.

Mệnh đề:

Đối với mỗi n, Ext" (C,Ẩ) là nhóm aben đối với phép cộng được xây dựng nhờ
1.16.
Mệnh
đề:

là môđun xạ ảnh thì Ext" (p, G) = 0, với bất kì môđun ơ, v« > 0.

1.18.

Mệnh đề:

Neu c và Ả là các R - môđun và £: X---------------------> c là phép giải xạ ảnh của c, thì tồn

aben sau đối với bất kì môđun G:

Lần lượt các dãy này được bắt đầu bởi các thành viên bên trái tương ứng là:


Các đồng cấu
trong dãy
xác=định
sau:
\/g E Ext"(C, ơ), \/Cử E Ext" (B, G),
&$=$; x*co
coỵ như
; E*T
= (-\ỴTE.
VreExt"(J,ơ),VệEExt"(ơ,^4),Vru
Vr EExt"(ơ,C), thì:

X£=X
G \ ƠJD=ƠÚ)EExt"(ơ,5),
; E*T' = ET\
1.20. Nhóm aben
1.20.1. Mệnh đề:

là nhóm aben tự do

H © K trong đó K là nhóm aben tự do nào đó.

1.20.2.

Cấu trúc nhóm aben hữu hạn:

Một nhóm aben là hữu hạn nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp của hữu hạn các
nhóm cyclic có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố.

vành chính R như sau:


1.21.1.

Môđun con xoắn của một môđun:

Cho R là miền nguyên và X là R - môđun. Phần tử X e X gọi là phần tử xoắn
nếu 3r E R \ {0} : rx = 0. Đặt T(X) là tập tất cả các phần tử xoắn của X. Khi đó,
Ta có
1.21.2.

r(X) là môđun con của X.

là môđun không xoắn.
Mệnh đề:

Môđun con của môđun tự do trên vành chính là môđun tự do.
qI của R sao cho q < n và ịaxyva2y2,...,aqyq} là một cơ sở của N.
1.21.4.

Mệnh đề:

Trên vành chính, môđun con của môđun hữu hạn sinh là môđun hữu hạn sinh.
1.21.6.
Mệnh đề:


rẢa\ +

a2) = r(at + «2) = ra\ + rai = r) +

2.1.

Mệnh đề:
2: CẤU
TRÚC
MÔĐUN
CHO EXT
rÁ{sấ)CHƯƠNG
= r(sa) = (rs)a
= (sr)a
= s(ra)
=

s(rA(o))-

= sr do
R làcho
vành
giaothì
hoán)
Ta biết rằng với hai(rsmôđun
AvàC
trước
Ext/?(C, Á) là nhỏm aben đổi
với phép cộng được xây dựng nhờ tổng Berơ. Hon nữa, khi R là vành giao hoán
có đon vị thì Ext/?(C,y4) có thế xem là R- mỏđun với phép nhân ngoài được
định nghĩa như sau:
Hơn nữa, nếuis = E thì rAE = rA E (do tính duy nhất của mở rộng aE)
\/r
e
R,\lclsE
e
ExtR(C,Â),
r.(cỉs
E)
=
cỉs(rAE)
hay r.(cỉsE)= r.{clsE ).
(*)
trong đó : rA : A —>Ả là đồng cấu R - môđun xác định bởi:
a I—> ra
Chứng minh:

Trước tiên ta kiểm tra định nghĩa trên là hợp lí:

Ta có nhận xét một số tính chất của đồng cấu rA:


2.1.1. Nhận xét: V r, s e R , (rs)^, = rA.sA và (r + s)A =rA+sA.

Thật vậy, a E Ả ta có

2.1.2.

Nhận xét:

Với mọi đồng cẩu R — môđun f—>:A B, V r E R , ta có: arA = rBa.

mệnh đề 2.1, ta kiểm tra 4 tiên đề của Môđun:

R,\/cỉs E,clsE e Ext(C,^4) ta có:
•

Ml: Ì.CISE =CỈS(ÌAE) = CISE.

• M4: (r + s).cỉsE = cls((r + s)AE) = cls((rA

(theo nhận xét 2.1.1)


= cls(rA E + SAE) = cỉs(rAE) + cls(sA E) = r.clsE +
s.cỉsE.
Như vậy Ext^ (C, A) là R - môđun.

Ở đây xin nhắc lại rằng, khi R là vành giao hoán có đon vị thì ta có thể biến
Hom( X, Y) thành R - môđun, trong đó X, Y là hai R - môđun, với phép nhân
ngoài được xác định như sau: V r E R, v/e Hom( X,Y),( rf) : X Y (**)

2.1.4. Nhận xét: Cho dẫy khóp ngắn E = (ỵ,ơ) : A ^

c.

Khi đó, V re R, ta có toàn đẳng: rAE = Erc. Hay cls (rAE) = cls (Erc).
Thật vậy, theo nhận xét 2.1.2 ta có: ỵrA = rBỵ và ơrB = rcơ.
E 0-------->A—> B—> c------------->0
Do đó, ta có sơ đồ giao hoán:

ịrA V, irc
E 0-------->Ả—B—------------------->0


Do đó, theo mệnh đề 1.9 ta có toàn đẳng: rAE = Erc.

2.2. Mệnh đề:

Ta biết rằng với đồng cấu R - môđun !—> : A B, X là R- môđun tùy ý, thì ta có
các đồng cấu nhóm cảm sinh sau đây:
Hom(X,Ả) »Hom(X,B) xác định bởi a*(f) = af, V/ E Hom(X,Ả).

: Hom(5,X)------------------>Hom(^4,X) xác định bởi a\g) = ga, Vg e Hom(5,X).

Ả) »Ext(X,i?) với a*(clsE) = clsaE, VclsE eExt(X, Ả).
*: Ext(5,X) >Ext(^4,X) vói a*(cỉsE) = cls(Ea), McỉsE eExt(B,X).

Hon nữa, khỉ xem Hom(-Ext(-,-) là các R - môđun vói phép nhân ngoài
định nghĩa như ở (*) và (**) thì các đồng cấu a* và a* trên còn là các đồng cẩu


[«’('■/)] (*) = ụrf)a](x) = (rf)[a(x)] = r(f[a{x)]) = r[(fa)(x)]
= r [ ( â f)(xĩ\ = \j(â f ) Ỵ x ) .
Hay à(rf) = rà ự)

.

> Kiểm tra a*: Ext(X,^4)----»Ext(X,i?) là đồng cấu R - môđun.

Vr E R,\/cỉsE e Ext(X,A) ta có:

Mệnh đề:
Ta biết rằng nếu E = (ỵ ,ơ) : A>—>
cấu nổiE* và E* là các đồng cẩu nhỏm xác định bởi:

c là dãy khóp ngắn thì ta có các đồng


Hon nữa, khi xem Hom(-,-), Ext(-,-) là các R - môđun vói phép nhân ngoài
định nghĩa như ở (*) và (**) thì các đồng cẩu nhómE* và Et trên còn là các
đồng cẩu R - môđun.

Chứng minh:

>------------------------------------ Kiểm tra E*: Hom(^4, ơ)
cấu R - môđun.

> Ext(C, ơ) là đồng

VI—* E Hom(^4,ơ), V r E R, ta có:
E*(ra) = cls {ra)E = cỉs(rGa)E
= cỉsrG(aE) = r.cls(aE) = r.E*(a).

2.4. Mệnh đề:

(theo nhận xét 2.1.3)


= (Plì?)* = (1^)* = ^Ext(C,A2) •

Theo mệnh đề 1.12, nếu E = ( ỵ , ơ ) : Ả >—> c là dãy khớp ngắn thì ta có hai

dãy khớp các nhóm aben sau đối với bất kì môđun G:

2.5. Mệnh đề: Ta có các đắng cẩu các môđun sau:
•

Ext(c,^j ® A2) = Ext(C,Aì)®Ext(C,A2).

Tương tự: p2jr = (p2j\)* = 0* = 0 ; Prìr = (pj2)* = 0, = 0.

•

Ext(Cj © C2,A) = Ext(CƯA) 0 Ext(C2,J).

Do tính cộng tính của hàm tử Ext(C,-) ta có:
Jì*Pl* Jl*Pl* ~ (j\P\)* "*■ U2P2)* ~ (J\P\ JlPl)* ~ 0-Ạ&A2 )* — ^Ext(C,A|(ĐA2) •

Chứng minh:

Ta có biểu đồ tổng trực tiếp các môđun: Aị —> Al © Ả2 —a—> A2


Do đó, (2.5.1) là biểu đồ tổng trực tiếp của các môđun. Hay ta có đẳng cấu
G) =
2.8.
Hệ quả:
Cho R là miền nguyên và r eR\{ 0}. Khi đó, ta có đẳng cẩu môđun:
^xịẢR/rR’R)-R/rRChứng minh:

(n \
Với r E R \ {0}èc„A
ta
cóAđồng
R -Ả.).
môđun rR : R R xác định bởi rR (x) = rx là
c, ©
] = ©cấu
Ext(C,
V-1
đơn cấu.
2.7. Mệnh đề:

Cho hai môđun c, G và dãy khớp ngắn E = (X ,ơ) : K >—► P-» c với p ỉà
môđun xạ ảnh. Khi đó ta có đẳng cấu môđun sau:

Ext(C,G) £

7/[Hom (P.G)]-


> 0 là đơn cấu:
°(/) =/(l) với mọi / eHom(i?,i?).

/E Ker° o(/) = 0

> 0 là

/(1) = 0 Vr e/ỉ,/(r) = r/(l) = 0

/= 0.

> ° là đồng cấu R - môđun:
Vs E R, ta có đồng cấu môđun SR : R------>R xác định bởi sR(x) = sx.

V/j,/2,/ eHom(R,R),Vs e R ta có:

Và í>(í*) = ss(l) = í.l = s.
+°ơi +/2)=(/1 +/2 XI)=/1(1) +/2(1)=°ơì) +°(/2).

+°0/) = (í/Xl) = /(!) = s°(/)-

Như vậy,0 là đẳng cấu môđun.

❖ Tiếp theo ta xây dựng đẳng cấu : rR [Hom(i?,i?)]----------->rR.

/(1)=(/)(1)=(/*)(1)

❖ Thật
vậy, ta xây dựng đẳng cấu° : Hom(R,R)
= (g^Xl) = (rg)(\) =

(theo nhận xét 2.1.3)
>R xác định bởi:

toàn cấu:


ự VƯrR +grR) = V[(/ + g)rs] = r[ự + g)(l)] = r[f(ì) + g(l)]
ự

V'[s(frR)] = v[(frR)sR\

(theo nhận xét 2.1.3)

= r[/(Vs)] = r[/((^)í)]

Do đó, được định nghĩa tốt.
= (ra)/(1) = (sr)/(1)

(theo nhận xét 2.1.1)

= rf(1) + í-g(l) = ự(frR) + y/(grR).
(do R là vành giao hoán)

v/rs,grs € r„ [Hom(/?,/ỉ)],y,í e Rta có:
= s|>/(1)] = ití'(/r*)-

>

là đon cấu:

frR 6 Ker^ <=> iỵ(frR) = 0 <=> r/(l) = 0 <=> (r/)(l) = 0
<=> Ví e R,(rf)(s) =

= s[feO(l)] = 0 <=> rf = 0 <z> frR =
0.


CHƯƠNG 3:

MỘT SỐ VẤN ĐÈ VỀ LỚP CÁC MÔĐUN

TƯƠNG ĐƯƠNG XẠ ẢNH

3.1.

Môt số khái niêm mở đầu và các tính chất

••
3.1.1.

Định nghĩa:

Ta gọi 2 môđun c và c là tương đương xạ ảnh nếu tồn tại các môđun xạ ảnh Q
và Q và đẳng cấu môđun c © Q =c' ®Q. Kỉ hiệu: c ~c.

3.1.2.

Mệnh đề:

Quan hệ tương đương xạ ảnh là một quan hệ tương đưoĩig.
Chứng minh:


Vì tổng trực tiếp của hai môđun xạ ảnh là môđun xạ ảnh nên ta có các môđun xạ
ảnh Q © p và g' 0 P', và đẳng cấu:

Ả ®(Q' ®P') = (Ả@Q)®P =(B@Q)®P' = B ®Q@P = B@P ©g
= (B®P')®Q = (C®P)®Q = C®(P®Q).

Do đó, môđun A tương đương xạ ảnh với môđun c.

3.1.4.

Mệnh đề:

Cho p và p là hai môđun xạ ảnh. Khi đó ta luôn có: p ~ p.


Chứng minh:

Ta chọn môđun xạ ảnh Q = p và Q ' = p'.

Khi đó ta có đẳng cấu:p®p = p ®p.
p ® Q = p ® p = p ® p = p ® Q. Do đỏ p ~ p.

3.1.5.

«±.

Nhận xét:

Từ mệnh đề 3.1.4 ta thấy rằng mọi môđun xạ ảnh đều tương đưong xạ ảnh với
môđun 0 vì môđun 0 là môđun xạ ảnh. Và ngược lại, nếu môđun p tương đương
xạ ảnh với môđun 0 thì p là môđun xạ ảnh.

Thật vậy, nếu p ~ 0 thì tồn tại các môđun xạ ảnh Q và ợ và đắng cấu môđun
p © ộ = 0© Q = Q .Do đó, p là hạng tử trực tiếp của môđun xạ ảnh nên p cũng
là môđun xạ ảnh.

3.1.6.

Mệnh đề: (bổ đề S.Schanuel)

«±.


vọ
py/
=
p
V
pPY = p
p:P c sẽ tồn tại hai đồng cấu---tương ứng : p p và y/ : p p sao cho ta
có sơ đồ giao hoán:
Bây giờ, ta xây dựng đẳng cấu ° : p © p---------------------> p ® p được định nghĩa như sau:

Ta cần kiểm tra° là đẳng cấu và (p{K ® p') = p® K'.

Thật vậy, do tính đồng cấu của và ụ/ ta dễ dàng kiểm tra được ° là đồng cấu.

• x-y/\y)= a-\ự\ự{ò) + \ự\b)-ự(b-ụ/(a))
= a - y/'y/(a) + y/\b) - [Ị/\b) + ụ/ ụ/(a) = a.


y-vv(y) + v(x) = y + 'l'{x-Do đó,
Như vậy, là toàn cấu.

Và do đó, ° là đẳng cấu.

> Tiếp tục ta kiểm tra (p{K © p) = p © K'.

Thật vậy, V (x,y) K © p thì ta có: