Một số vấn đề về vành chính qui von neumann

1
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sữ PHẠM TP. Hồ CHÍ MINH
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SỨ PHẠM TP. Hồ CHÍ MINH

ĐỖ Lư Công Minh
Đỗ Lư Công Minh

MỘT số VẤN ĐỀ VẺ
MỘT số VẤN ĐỀ VÈ
VÀNH CHÍNH QUI VON NEUMANN
VÀNH CHINH QUI VON NEUMANN

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DÃN KHOA HỌC:
TS. TRÀN HUYÊN

Thànhphố
phốHồ
HồChí
ChíMinh
Minh- -2009
2009
Thành

2

MỤC LỤC
trang
Trang phụ bìa ................................................................................................ 1
Mục lục........................................................................................................... 2
Các qui ước và kí hiệu.................................................................................... 3
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 5
Chương 1 - CÁC KIẾN THỨC co BẢN ................................................... 8
1.1. Phần tử chính qui trong vành ................................................... 8
1.1.1. Khái niệm về phần tử chính qui..................................... 8
1.1.2. Vành Abel......................................................................... 10
1.1.3. Phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một
R - môđun ......................................................................... 12
1.2. Vành chính qui Von Neumann.................................................. 13
1.2.1. Định nghĩa và một số ví dụ............................................ 13
1.2.2. Các điều kiện tương đương của vành chính qui.............

15

Chương 2 - MỘT SỐ VẤN ĐÈ VÈ VÀNH CHÍNH QUI............................ 16
2.1. Các tính chất cơ bản của vành chính qui..................................... 16
2.2. Môđun xạ ảnh trên vành chính qui.............................................. 29
2.3. Vành chính qui Abel.................................................................... 48
Chương 3 - MỘT SỐ VÀNH CHÍNH QUI ĐẶC BIỆT .............................. 62
3.1. Vành các ma trận vuông cấp n trên một vành chính qui.......... 62
3.2. Vành các toán tử bị chặn trong không gian Hilbert ................... 69
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ...................................................................... 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 79

3

CÁC QUI ƯỚC VÀ KÍ HIỆU
■ Hầu hết các vành trong luận văn đuợc giả sử rằng kết hợp và có đơn vị,
các vành con và đồng cấu vành cũng đuợc cho là có đơn vị. Ta hay kí
hiệu R là vành với đơn vị 1.
■ Phép chiếu tự nhiên từ vành R đến vành thương RJl được cho bởi qui
luật
XI—> X = X +1.
■ Đôi khi miền nguyên được hiểu là không cần giao hoán.
■ Cho vành R và số nguyên dương n, M (R) là vành các ma trận vuông cấp
n trên R.
■ Với vành R bất kì, ta dùng kí hiệu L2(R) để chỉ dàn các iđêan hai phía
của R (được sắp thứ tự bộ phận bởi quan hệ bao hàm) và ta sử dụng kí
hiệu Mod - R để chỉ phạm trù tất cả R - môđun phải.
■ Tất cả các môđun trong luận văn đều là môđun trên một vành có đơn vị.
Hầu hết chúng là các môđun phải, và do đó các đồng cấu thường được
viết về phía bên trái chúng. Cụ thể, môđun phải A trên vành R được
xem như là một môđun trái trên End^(y4) - vành các tự đồng cấu của
nó.
■ Neu A là R - môđun, kí hiệu B < A nghĩa là B là môđun con của A, và kí
hiệu B < A nghĩa là B là môđun con thực sự của A.
Trong trường hợp đặc biệt, nếu R là vành thì:
I < RR : I là iđêan phải
của R
I < R R: I là iđêan trái của R
m\ởiA,B\à. các môđun:
A< B: A là môđun con cốt yếu của B, nghĩa là AnC^O với mọi

môđun con c khác 0 của B.


4

A■ Cho A là môđun và một số nguyên không âm n, nA là tổng trực tiếp n
bản sao của^t.
Tuơng tự, nếu a là một bản số vô hạn, aA là tổng trực tiếp của a bản
sao của .4.
■ Với môđun A tùy ý, E(A) là bao nội xạ của A, nghĩa là môđun nội xạ bé
nhất sao cho A cốt yếu trong E(A).
■ Một R - môđun phải không suy biến M đuợc hiểu theo nghĩa M là môđun
sao cho phần tử duy nhất của M bị linh hóa bởi một iđêan phải của R là
phần tử không.


5

MỞ ĐÀU

1. Lí do chọn đề tài.
Khái niệm vành chính qui Von Neumann xuất hiện năm 1936 khi John
Von Neumann định nghĩa một vành chính qui là một vành R với tính chất: với
mỗi phần tử a E R luôn tồn tại b e R sao cho a = aba.
Đe phân biệt với những vành chính qui khác nhu chính qui Noether trong
đại số giao hoán, lí thuyết các vành không giao hoán đã sửa đổi tên gọi và đưa
thêm “Von Neumann” vào tên gọi của loại vành đặc biệt này. Tuy nhiên thực
sự có rất ít cơ hội nhầm lẫn hai khái niệm này bởi vì chúng rất hiếm khi được
nghiên cứu chung.

Ví dụ điển hình về vành chính qui (Von Neumann) là vành đầy đủ các
phép biến đối tuyến tính của một không gian vectơ trên một vành chia.
Chuyển động theo hệ tọa độ trong hình học xạ ảnh được nghiên cứu lại
trong thời gian này (1936) theo ngôn ngữ dàn, và Von Neumann giới thiệu
vành chính qui như một công cụ đại số để nghiên cứu những dàn thuộc dạng
này. Dàn được Von Neumann đặc biệt quan tâm được nảy sinh trong khi họp
tác làm việc với F.J.Murray để giải quyết các vấn đề về đại số các toán tử trên
một không gian Hilbert, mà sau này được biết đến với tên gọi đại số Von
Neumann hay w* - đại số.
Mặc dầu w* - đại số A trở thành vành chính qui chỉ khi Ả hũu hạn chiều,
một vành chính qui có thể gán với Ả bằng cách làm việc với tập P(A) các
phép chiếu, mỗi một phép chiếu trên A trở thành một lũy đẳng tự liên họp.
Đối với w* - đại số hữu hạn A, Murray và Von Neumann sử dụng một


6

nhiên với dàn các iđêan phải chính của R. Chú ý rằng hữu hạn ở đây là hữu
hạn trực tiếp, nghĩa là nếu t * t = 1 thì 11* = 1 với mọi t E Ẩ .
Mở rộng ý tuởng này, Von Neumann đã phát minh ra các vành chính qui
sao cho có thể tọa độ hóa những dàn modular có phần bù, và một dàn L đuợc
tọa độ hóa bởi một vành chính qui R nếu nó đắng cấu với dàn các iđêan phải
chính của R. Nhu Von Neumann đã chỉ ra, hầu hết các dàn modular có phần
bù có thế tọa độ hóa bởi một vành chính qui nào đó.
Theo quan điểm lí thuyết các vành thuần túy, các vành chính qui đuợc
xem nhu một chủ đề nghiên cứu bị lãng quên trong một quãng thời gian dài.
Trong quyển sách kinh điển của Nathan Jacobson về lí thuyết vành:
“Structure of rings”, vành chính qui đuợc đề cập đến chỉ trong một phần nhỏ.
Tuy nhiên có thể nói rằng các vành chính qui có nhiều lợi ích xứng đáng để
nghiên cứu, bởi vì chúng xuất hiện trong rất nhiều ngữ cảnh.

Dùng những kiến thức đã học ở bậc Đại học và Sau đại học để tiếp tục
nghiên cứu các vấn đề khác, với cách nhìn tống quát hơn là một trong những
mục tiêu quan trọng của học viên. Ngay từ thuở sinh viên, khi làm luận văn
tốt nghiệp bậc đại học, tác giả đã có dịp tiếp xúc với vành chính qui Von
Neumann với đề tài “Vành Chính Qui Von Neumann”. Thế nhung, với những
hạn chế của một sinh viên lúc bấy giờ về Đại số đồng điều và các kiến thức về
Đại số giao hoán, Đại số không giao hoán, ... tác giả đã gặp nhiều khó khăn
và chua thể có một cái nhìn thật sự tổng quan về vành chính qui Von
Neumann. Do vậy, sau khi đã đuợc trang bị một số kiến thức mới từ khóa học
Sau đại học, tác giả quyết định tiếp tục nghiên cứu vành chính qui Von
Neumann với mong muốn dùng những kiến thức vừa đuợc học để tiếp tục
nghiên cứu vấn đề.


7

2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích của đề tài là tiếp tục xem xét các tính chất của vành chính qui
Von Neumann trên cơ sở luận văn ở bậc đại học: “Vành chính qui Von
Neumann”. Đồng thời chú trọng việc cụ thể hóa những khái niệm liên quan
vào các vành cụ thể và tìm hiểu các tính chất đặc trung của khái niệm đó.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
■ Đối tượng nghiên cứu: Vành chính qui Von Neumann.
■ Phạm vi nghiên cún: Lí thuyết vành và môđun.

4. Ý nghĩa của việc nghiên cứu đề tài.
Luận văn có thể xem như một tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên

8

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC co BẢN
Mục đích của chương này là điểm lại một số khái niệm cơ bản và các kết
quả đơn giản về vành chính qui Von Neumann. Hầu hết các kiến thức được
trình bày trong chương này được trích chủ yếu từ [3] theo quan điểm tóm tắt
lại những kết quả chính đã đạt được khi nghiên cứu về vành chính qui Von
Neumann từ thuở luận văn sinh viên. Do đó, ở đa số mệnh đề, các chứng
minh không được trình bày lại.

1.1.

Phần tử chính qui trong vành.

1.1.1.

Khái niệm về phần tử chính qui.

Định nghĩa 1.1. Phần tử xeR được gọi là phần tử chính qui Von Neumann
nếu tồn tại a e R sao cho xax = X.
Neu X là phần tử chính qui Von Neumann, ta còn nói vắn tắt X là phần tử
chính qui hay X chính qui.
Ví dụ 1.2. a) Neu R là vành chia thì mọi phần tử của R đều chính qui.
b) Phần tử lũy đẳng là phần tử chính qui.
Tiếp theo sau đây là các tính chất cơ bản nhất của phần tử chính qui
trong một vành tùy ý.
Mệnh đề 1.3. Phần tử xeR là chính qui nếu và chỉ nếu iđêan phải (trái)
chính của R sinh bởi X được sinh bởi một lũy đẳng e nào đó, tức là xR = eR.
Ta kí hiệu tập tất cả các phần tử chính qui của vành R là Von(R).
Với mỗi vành R, tập Von(R) có tính chất ổn định đối với việc chọn phần

9

Mệnh đề 1.4 cho ta thấy mỗi phần tử chính qui đều có phần tử nguợc với
nó, và phần tử ngược này cũng chính qui.
Hiển nhiên một câu hỏi sẽ được đặt ra ngay tại đây là: Phần tử ngược của
một phần tử chính qui có duy nhất không? Xét trong một vành chia R chẳng
hạn, ta thấy mỗi phần tử chính qui có ngược là duy nhất. Trong lúc đó, đối với
phần tử lũy đẳng eeR, với R là một vành tùy ý, ngoài phần tử ngược với nó
là chính nó chúng ta không thể kết luận nó còn có bao nhiêu phần tử ngược
với nó. Như sẽ thấy trong những phần tiếp sau của luận văn, khi xem xét vấn
đề này trong một số vành cụ thể, vấn đề duy nhất của phần tử ngược của một
phần tử chính qui trong vành phụ thuộc khá nhiều vào các tính chất của vành
đó. Trong trường hợp chung nhất, ta có một kết quả cho phép mô tả mối liên
hệ cấu trúc các phần tử ngược của một phần tử chính qui như sau:
Mệnh đề 1.5. Cho vành R và X E Von(i?). Chọn y là phần tử ngược của X.
Nếu y' = y + 5(1 -xy) + (1 -yx)t với s,teR thì xy'x = X. Ngược lại, nếu y'
thỏa xy'x = x thì y' có dạng: y' = y+s(\-xy) + (\-yx)t.
Ngoài ra, nếu y' có dạng y' = y + s(l - xy) + (1 - yx)t thì điều kiện cần và đủ
để y'xy' = y' là (1 - yx)(s + t- /xs)(l - xy) = 0, với mọi s e yRy, t eRy.
Mệnh đề 1.5 mô tả cho ta một lớp đủ nhiều các phần tử ngược của một
phần tử chính qui. Mối liên hệ giữa phần tử ngược y của phần tử chính qui X
với phần tử chính qui X còn được thể hiện trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.6. Cho vành R và I £ Von(i?). Chọn y là phần tử ngược với X .
Khi đó các điều kiện sau đây tương đương:
(a) X + (1 - xy)^(l - yx) cz Von(R).
(b) (1 - Jty)i?(l - yx) c= Von(^).
(c) X + R( 1 - yx) c= Von(R).
(d) X + (1 - xy)R d Von(R).

10

Mệnh đề sau đây cho ta một điều kiện khá hữu ích để nhận biết một phần
tử chính qui. Nó sẽ được sử dụng như một bổ đề hữu dụng trong các phép
chứng minh ở phần sau, cho nên ta tạm gọi nó là bổ đề 1.7.
Bổ đề 1.7. Cho vành R và X , y eR. Nếu X - xyx e Von (R) thì X e Von(tR).
về cấu trúc của Von(7?), nói chung nếu không có thêm các điều kiện bổ
sung cho vành R thì không có gì đáng nói. Tuy nhiên, ta cũng có thông tin khá
lí thú sau:
Bằng cách áp dụng bổ đề 1.7 và bổ đề Zom (về tập sắp thứ tự), ta có thể
chứng minh được rằng trong Von(i?) có chứa một iđêan Iieg(R) và iđêan này
“lớn nhất” theo nghĩa: vành thương R / /re>(jR) không chứa iđêan khác 0 nằm
trong Von(R/I^ẬR)).
Mênh đề 1.8. Mỗi vành R đều có môt iđêan “lớn nhất” I,„,(R) sao cho:
/reg(i?) c= Von(R), Ireg(R) + Von(R) c= Von(R) và vành thương R / ỉĩeg(R)
không chứa iđêan khác 0 nằm trong Von(R / Ỉ K J ( R )).

1.1.2.

Vành Abel.

Như đã nhận xét trong mục trước, nếu không có các điều kiện bổ sung
cho vành R thì nói chung trên Von(i?) không có một cấu trúc nào cả. Mục này
dành cho việc xét tới cấu trúc của Von(R), khi R được bổ sung thêm các điều
kiện mới để trở thành một vành Abel. Khái niệm về vành Abel được xác định
như sau:
Định nghĩa 1.9. Vành R được gọi là Abel nếu mọi phần tử lũy đẳng của R
đều thuộc tâm của R.

Ví dụ 1.10. a) Vành chia là vành Abel.
b) Vành giao hoán là vành Abel.
c) Tâm của vành R là vành Abel.


11

d) Neu R là vành không có phần tử lũy linh khác 0 thì mỗi lũy
đẳng của R giao hoán với mọi phần tử của R, nói cách khác, R là
vành Abel.
Ngoài ra còn có một số ví dụ khác về vành Abel khi ta thêm vào điều
kiện chính qui để chúng trở thành vành chính qui Abel - một đối tuợng đáng
quan tâm ở chuơng 2. Ta tạm dừng việc lấy các ví dụ về vành Abel để đua ra
một điều kiện tuông đương của nó:
Mệnh đề 1.11. Vành R là Abel nếu và chỉ nếu hai phần tử lũy đẳng bất kì của
R giao hoán được với nhau.
Theo mệnh đề 1.11, khi làm việc với vành Abel, ta tập trung chủ yếu vào
các phần tử lũy đắng. Ket nối nhận xét này với mệnh đề 1.3 và các lưu ý ở
mệnh đề 1.4 ta trả lời được câu hỏi đặt ra trong phần nhận xét ngay sau mệnh
đề 1.4.
Neu R là vành bất kì, VonỢ?) chưa chắc là một nửa nhóm. Chẳng hạn
như trong vành các số nguyên môđulô n, ta khó mà mô tả nhiều về Von(Z„).
Nhưng trong trường hợp R là vành Abel thì ta có kết quả sau:
Mệnh đề 1.12. Nếu R là vành Abel thì Von(7?) là một vị nhóm. Hơn nữa mỗi
phần tử chính qui có một và chỉ một phần tử ngược với nó. Khi đó VonỢ?)
được gọi là vị nhóm ngược. Ngược lại, nếu Von(7?) là vị nhóm ngược thì R
là
vành Abel.
Nhận xét 1.13. Neu trong vành R mỗi phần tử chính qui đều có một phần tử
ngược duy nhất tương ứng thì ta cũng không thể kết luận được phần tử ngược

đó là phần tử nghịch đảo của phần tử chính qui. Đe lấy ví dụ chứng tỏ nhận
xét trên, ta chỉ cần R là vành giao hoán (hay chỉ cần R Abel là đủ, vì theo
mệnh đề 1.12, phần tử ngược của phần tử chính qui trong vành Abel là duy
nhất) nhưng không là miền nguyên (nghĩa là không thỏa luật giản ước).
Chẳng hạn, trong Z10 = (õ, ĩ, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ta có:


12

0.0.0 = 0, ĨI.Ĩ = Ĩ, 4.4.4 = 4,
18.2 = 2,

8.2.8 = 8,

3.73 = 3,

5.5.5 = 5, 6.6.6 = 6, 9.9.9 = 9,
73.7 = 7.

Trong Z10, mỗi phần tử đều chính qui và có duy nhất một phần tử nguợc với
nó. Tuy nhiên: 2.8 = 8.2 = 6^1 nên 2 và 8 không phải là nghịch đảo của
nhau, mặc dù 2 và 8 nguợc nhau, duy nhất.
Do đó ta thấy khái niệm phần tử ngược tuy là mở rộng của khái niệm
phần tử nghịch đảo nhưng không dễ thu hẹp khái niệm ngược về nghịch đảo.
Trong [3], phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một nhóm
Abel được xem xét khá cẩn thận. Ta đã biết mỗi nhóm Abel có thể xem như
một z - môđun, vậy liệu các kết quả về phần tử chính qui trong vành các tự
đồng cấu của một nhóm Abel có thể nào được chuyển sang vô điều kiện cho
vành các tự đồng cấu của một R - môđun, trong đó R là vành có đon vị tùy ý?
Khi ra soát lại các phép chứng minh ở [3], tuyệt nhiên không cần sử dụng đến

bất kì một tính chất đặc biệt nào của các z - môđun mà R - môđun tổng quát
không có. Điều này cho phép ta đưa ra câu trả lời khẳng định, nghĩa là:

1.1.3.

Phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một R -

môđun.
Cho MìàR- môđun phải. Xét vành các tự đồng cấu của M:
End^M) = {/ :M -» M I / là R - đồng cấu}
Mục này dành cho việc xét các phần tử chính qui trong End^(M). Trước
hết, về đặc trưng của các phần tử lũy đẳng, là các phần tử chính qui đặc biệt
trong End^M), ta có:


13

Từ đặc trưng cơ bản của phần tử lũy đẳng được xét tới trong mệnh đề
1.14, ta có thể chứng minh được đặc trưng của một phần tử chính qui trong
End^(M), thể hiện trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.15. Phần tử / eEnd^M) là chính qui nếu và chỉ nếu tồn tại sự
phân tích M thành các tổng trực tiếp: M = Mị®M2= Mị®M2 sao cho
/ \M : Mj —» M\ là một đẳng cấu và fịM: M2 —» M'2 là đồng cấu không.
Mệnh đề 1.15 về đặc trưng của các phần tử chính qui trong End^(M)
cho ta các hệ quả đáng chú ý sau:
Hệ quả 1.16. Nếu / G EndR(M) là phần tử chính qui thì M = Im/ © K.erf.
Hệ quả 1.17. Phần tử / G End/?(M) là chính qui nếu và chỉ nếu Im f và
Ker/ là các hạng tử trực tiếp của M.
Đáng lẽ, để kết thúc mục này, ta đưa thêm một ví dụ nữa về các phần tử
chính qui, chẳng hạn khảo sát tính chính qui đối với các toán tử bị chặn trong

không gian Hilbert nhưng vì những lí do nhất định, ta sẽ bàn luận về chúng
trong chương 3.
Ờ mục tiếp theo, ta nhắc lại một vài khái niệm cơ bản cùng các đặc trưng
đơn giản nhất về vành chính qui Von Neumann.

1.2.

Vành chính qui Von Neumann.

1.2.1.

Định nghĩa và một số ví dụ.

Định nghĩa 1.18. Vành R được gọi là vành chính qui (Von Neumann) nếu
mọi phần tử của nó là phần tử chính qui.
Nghĩa là: R chính qui nếu và chỉ nếu R = Von(^).


14

Hệ quả 1.20. Neu vành chính qui đồng thời là miền nguyên thì nó là truờng.
Mệnh đề 1.21. Vành chính qui R là vành chia nếu và chỉ nếu R chỉ có hai
phần tử lũy đẳng tầm thường.
Mệnh đề 1.22. Tích trực tiếp của một họ khác rỗng các vành chính qui là
vành chính qui.
Mệnh đề 1.23. Ánh đồng cấu của vành chính qui là vành chính qui. Suy ra
tính chính qui được bảo toàn qua phép đẳng cấu và vành thương của vành
chính qui cũng là vành chính qui.
Ta đưa ra ba ví dụ về vành chính qui, trong đó hai ví dụ đầu tiên được
trích dẫn trong [3], ví dụ cuối thuộc về kinh điển.

Ví dụ 1.25. Vành các ma trận vuông thực cấp n là vành chính qui.
Ví dụ 1.26. Cho K là trường và Sị,..., Sn là các tập con hữu hạn khác rỗng
của K. Cho Xị,..., Xn là n biến và đặt Pi(Xi) = Y[(Xị - k) với mỗi
keSị
ỉ = 1,..., n. Khi đó vành thương K[XV ..., Xn] / . . . ,

Pn(Xn)) là vành

chính qui giao hoán.
Ví dụ 1.27. Vành các phép biến đổi tuyến tính của một không gian vectơ trên
một vành chia là vành chính qui.
Thật vậy, gọi Endỡ(C) là vành các phép biến đổi tuyến tính của không
gian vectơ Vtrên vành chia D. Lấy / G EndD(V). Khi đó Im/ là một không
gian con của V nên ta có thể chọn một cơ sở (eị)ieJ của nó và bố sung vào đó
để được cơ sở của V.
Với i e J chọn bị sao cho /(bị) = ẽị và đặt /'(Với ieJ' đặt f\e.) = 0. Do mỗi phép biến đổi tuyến tính hoàn toàn xác định
nếu biết ảnh của một cơ sở nên /' G Endỡ(C).
Bây giờ, với mọi xeV: f (x) E Im f nên / (x) =
. Khi đó:
iej


15

(ff'f)(x) = ffWery,
/
Do đó =

ỵiff\el).yl = ỴJf{bl).yl =Ỵjery, = /(*)

ìej
ieJ
ieJ

□

1.2.2.

Các điều kiện tương đương của vành chính qui.

Mệnh đề 1.28. Cho vành R. Khi đó các điều kiện sau đây tương đương:
(a) R là vành chính qui.
(b) Mỗi iđêan phải (trái) chính của R đều sinh bởi một lũy đẳng.
(c) Mỗi iđêan phải (trái) hữu hạn sinh của R đều sinh bởi một lũy đẳng.
Mệnh đề 1.28 cho ta một chú ý sáng giá khi nghiên cún các vành chính
qui: tập trung vào các phần tử lũy đẳng của chúng.
Để phát biểu điều kiện tương đương tiếp theo, ta cần các phần tử lũy
đẳng với tính chất đặc biệt hơn - tính trực giao.
Mệnh đề 1.29. Cho ịe.}. — là họ các lũy đẳng trực giao trong vành R (nghĩa
n
ei.ej = 0, Vi * j) thỏa ^e. = 1. Khi đó R là vành chính qui nếu và chỉ nếu
Sử dụng mệnh đề trên, ta có thể chứng minh được vành các ma trận
vuông cấp n trên một vành chính qui là vành chính qui. Sau đó, bằng suy luận
khá đơn giản, từ các điều kiện tương đương của vành chính qui, ta thu được
các tính chất của vành con, iđêan, vành các thương của vành chính qui như đã
trình bày trong [3]. Thế nhưng, các tính chất này chưa thực sự đầy đủ. Cho
nên, ta kết thúc mục này ở đây để chuyển sang khảo sát một cách tổng quát và
tỉ mỉ hơn các tính chất của vành chính qui trong chương 2.

16

Chương 2. MỘT SỐ VẤN ĐÈ VÈ VÀNH CHÍNH QUI
Chương này dành cho việc mô tả các tính chất của vành chính qui và một
lóp các vành chính qui đặc biệt là vành chính qui Abel. Thêm vào đó, các
môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui và chính qui Abel cũng được
xem xét khá kĩ để làm nổi bậc lên vai trò của các phần tử lũy đẳng trong vành
chính qui.

2.1.

Các tính chất cơ bản của vành chính qui.

Mục đích của mục này là giới thiệu vài tính chất cơ bản của vành chính
qui. Điểm nhấn quan trọng là đưa ra những điều kiện cần thiết để vành là
vành chính qui. Trong mệnh đề 1.28 ta đã chỉ ra tính chất cơ bản nhất và có
nhiều ứng dụng rộng rãi của vành chính qui, bằng cách chỉ ra các lũy đẳng
trong vành chính qui.
ở mục này, ta thường xuyên và hầu như liên tục phải sử dụng các phần
tử lũy đẳng trong vành chính qui, chẳng hạn:
Mệnh đề 2.1. Cho R là vành chính qui. Khi đó:
(a) Tất cả iđêan một phía đều lũy đẳng.
(b) Tất cả iđêan hai phía đều nửa nguyên tố.
(c) J(R) = 0 với J(R) là căn Jacobson của R.
(d) R là (phải và trái) nửa di truyền.
(e) R là (phải và trái) không suy biến.
Chứng minh.
(a) Lấy J là iđêan phải của R.
Với xeJ,3yeR: xyx = x và do đó x = (xy)x E J2. Suy ra J = J2.
(b) Dễ dàng suy ra từ (a) theo tính chất của iđêan nửa nguyên tố.

17

(d) Theo mệnh đề 1.28 mọi iđêan một phía hữu hạn sinh của R đều là hạng
tử
trực tiếp của R nên xạ ảnh.
(e) Giả sử x/ = 0 với xeR và / Re = Rx và do đó: ReJ = RxJ = 0. Suy ra / < (1 - e)R.
Khi đó: / n eR = 0. Do vậy eR = 0 và x = xe = 0. Vậy RR không suy biến. □
Trước khi nghiên cứu tính chất của iđêan trong vành chính qui ta cần
định nghĩa iđêan chính qui.
Định nghĩa 2.2. Một iđêan hai phía / của vành R được gọi là chính qui nếu
với mỗi x e / , tồn tại y E / sao cho xyx = X.
Mệnh đề 2.3. Cho J qui nếu và chỉ nếu / và K / / đều chính qui.
Chứng minh.
■ Neu K chính qui thì K / / chính qui.
Lấy xeJ,3yeK: xyx = X. Khi đó: z = yxy eJ và xzx = X.
Vì vậy, / chính qui.
■ Ngược lại, giả sử / và K / / chính qui.
Lấy xeK, X + J là phần tử chính qui của K// nên tồn tại y + JeK/J:
X + J = (x + J)(y + /)(x + /). Suy ra X - xyx e / là phần tử chính qui. Do đó
3z E /: X - xyx = (x - xyx)z(x - xyx).
Vì vậy x = x[(ì-yx)z(ì-xy) +y]x = xwx, với w = (ì-yx)z(ì-xy) +y e K .
Vậy K chính qui. □
Trong trường hợp đặc biệt, mệnh đề 2.3 chứng tỏ rằng mọi iđêan hai phía
trong một vành chính qui là chính qui. Nhìn nhận theo lối khác, nếu / là một
iđêan hai phía trong vành R sao cho / và Rì J chính qui thì R chính qui.

18

Phương pháp này tỏ ra hữu ích khi xây dựng các ví dụ về vành chính qui,
chẳng hạn:
Mệnh đề 2.4. Tích trực tiếp con hữu hạn của các vành chính qui là chính qui.
Chúng minh.
Ta chỉ cần xem xét trường hợp vành R là tích trực tiếp con của hai vành chính
qui. Khi đó R có các iđêan hai phía JvầK sao cho J nK = 0 và R/ J, R/ K
đều chính qui.
Do J = ụ + K)I K trong vành chính qui R/ K, mệnh đề 2.3 chứng tỏ rằng J
chính qui. Lại theo 2.3, R / J chính qui nên R chính qui. □
Chú ý. Tích trực tiếp con của vô hạn vành chính qui, chẳng hạn z, không
chính qui.
Trong mệnh đề 1.8, ta đã áp dụng bổ đề Zom để chỉ ra trong vành R có
iđêan ỉreg(R) “lớn nhất” theo nghĩa: ỉreg(R) chính qui và vành thương
/ IKg(R) không chứa iđêan chính qui khác 0. Bây giờ, bằng một ít nhận xét
về ỉreg(R) kết hợp với tiêu chuẩn chính qui của iđêan được phát biểu trong
mệnh đề 2.3 ta có thể chỉ ra được hình ảnh cụ thể của ỉreg(R) mà trong mệnh
đề tiếp theo gọi là M.
Mệnh đề 2.5. Cho vành R và M = {xe RI RxR là iđêan chính qui}. Ta có:
(a) M là iđêan hai phía chính qui của R.
(b) M chứa tất cả iđêan hai phía chính qui của R.
(c) Vành thương RIM không chứa iđêan hai phía chính qui khác 0.
Chúng minh.
(a) Lấy X , yeM . Ta có RyR và (RxR + RyR) / RyR = RxR / (RxR n
RyR)
đều chính qui. Do đó, theo mệnh đề 2.3, RxR + RyR chính qui.

19

Vì vậy RxR + RyR c= M với mọi X , yeM. Do vậy Mlà iđêan hai phía.
Dĩ nhiên M chính qui.
(b) Lấy Ả là iđêan hai phía chính qui của R và xét xe A.
Khi đó RxR là iđêan hai phía của A nên chính qui. Suy ra X E M và A c= M.
(c) Neu AIM là iđêan hai phía chính qui trong RIM thì theo mệnh đề 2.3,
A chính qui do Mchính qui. Suy ra AczM va A/M = 0. □
Theo mệnh đề 2.3, iđêan của vành chính qui là chính qui. Một câu hỏi
đuợc đặt ra là vành con của vành chính qui có là vành chính qui không?
Ta xét trường các số hữu tỉ Q. Vì trường là vành chính qui nên Q là
vành chính qui nhưng một vành con của Q là vành các số nguyên z không là
vành chính qui (phần tử 2 e z không phải là phần tử chính qui vì iđêan 2Z
không được sinh bởi lũy đẳng nào: z chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1).
Ví dụ trên cho ta thấy một vành con của vành chính qui chưa chắc là
vành chính qui. Tuy nhiên, đối với các vành con đặc biệt, ta có:
Mệnh đề 2.6. Góc của vành chính qui là vành chính qui.
Chứng minh.
Với mỗi phần tử lũy đẳng e e R, góc của vành R được định nghĩa là vành con
eRe. Ta cần chứng minh nếu R là vành chính qui thì eRe cũng là vành chính
qui với mọi lũy đắng e.
Thật vậy, lấy X E eRe, chọn yeR: x = xyx . Vì e là lũy đẳng nên ta có:
xe = ex = X . Suy ra: X = (xe)y(ex) = x(eye)x . Đặt a = eye e eRe ta có
xax

=

Vậy eRe là vành chính qui. □
Mệnh đề 2.7. Tâm của vành chính qui là chính qui.
Chúng minh.

Lấy R là một vành chính qui với tâm s và chọn xeS.

X.


20

Tồn tại y e R sao cho xyx = X. Đặt z = yxy. Chú ý rằng xzx = X.
Cho r e R, ta có: zr = yxyr = yyrx = yyrxyx = yxyxry = yx^y.
Do đối xúng, rz = yrxy = yx^7 = zr, do đó z E s. Vì vậy s là chính qui. □
Hệ quả 2.8. Một vành chính qui R ^ 0 là không phân tích đuợc (như một
vành) nếu và chỉ nếu tâm của nó là trường.
Chứng minh.
Giả sử R không phân tích được. Gọi s là tâm của R và X là phần tử khác 0 bất
kì của s. Theo mệnh đề 2.7, 3y e s: xyx = X, do đó xy là một lũy đẳng tâm
khác 0 trong R. Do R không phân tích được nên xy = 1. Vì vậy s là trường. □
Trong trường hợp đặc biệt, hệ quả 2.8 chứng tỏ rằng tâm của vành chính
qui nguyên tố là một trường.
Các vành chính qui được đặc trung hóa đồng điều bởi các vành mà mọi
môđun (trái hoặc phải) trên nó đều dẹt. Vì lí do này, trường phái Bourbaki
thích gọi các vành chính qui là các vành dẹt tuyệt đoi.
Định lí 2.9. Một vành R là vành chính qui nếu và chỉ nếu mọi R - môđun phải
(trái) là dẹt.
Chứng minh.
■ Trước tiên giả sử rằng R là chính qui.
Xét R - môđun phải M. Ta chứng minh với mọi iđêan hữu hạn sinh / của R,
phép

nhúng

chính

tắc

Ỉ:I

—>

R

cảm

sinh

đơn

cấu

\M

®Ì:M®RỊ^>M<8)RR.
Thật vậy, theo mệnh đề 1.28, tồn tại phần tử lũy đẳng y G R sao cho / = Ry.
Khi đó: R = Ry © ,R(1 - ỳ).
Gọi p:R->Ry là phép chiếu chính tắc, ta có: pỉ = 1J.
Vì thế (ÌM® p)(ìM® 0 = 1M ® O') = 1„ ® 1, = 1„*,. Suy ra ® là đơn cấu.
■ Ngược lại, giả sử mọi R - môđun phải là dẹt.


21

Chọn

xe

R,

môđun

R/xR

là

dẹt

nên

ánh

xạ

tự

nhiên

(R / xR) ®RRX^> R/ xR là đơn ánh. Do đó, ánh xạ Rx / RxR R/ xR cũng
là đơn ánh. Vì vậy, RxnxR = xRx và do đó xexRx. Suy raR chính qui. □
Một đặc trưng khác của vành chính qui là:
Định lí 2.10. Vành R là chính qui nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đồng thời
xảy ra:
(a) R là nửa nguyên tố.

(b)Hợp của một dây chuyền bất kì các iđêan nửa nguyên tố của R là
iđêan nửa nguyên tố.
(c) R / p là chính qui với mọi iđêan nguyên tố p của R.
Chứng minh.
■ Neu R chính qui, dễ có (c). Theo mệnh đề 2.1, tất cả các iđêan hai phía
của
R là nửa nguyên tố, do đó (a) và (b) đúng.
■ Ngược lại, giả sử (a), (b) và (c) đúng.
Neu R không chính qui, tồn tại xeR sao cho XỂxRx. Chú ý rằng 0 là iđêan
nửa nguyên tố của R (do (a)) sao cho X Ể xRx + 0.
Theo (b), áp dụng bổ đề Zom cho họ tất cả iđêan nửa nguyên tố ỉ của R thỏa
mãn X Ể xRx +1, tồn tại iđêan nửa nguyên tố J của R là tối đại (trong các
iđêan nửa nguyên tố vừa đề cập) sao cho X Ể xRx + J.
Do đó, R / J không chính qui và theo (c) thì J không nguyên tố. Vì vậy, tồn
tại các iđêan hai phía ẢvầB chứa thực sự J sao cho AB < J.
Đặt K = {r e R I rB Bởi vì J nửa nguyên tố, ta suy ra rằng KvầL cũng nửa nguyên tố.
Do (K nLý

22

Rõ ràng A < K và B < L, do đó K và L chứa thực sự J. Bởi tính tối đại của J,
tồn tại các phần t ử y, z eR sao cho X - xyx E K và X - xzx e L.
Chú ý rằng: X - x(y + z — yxz)x = X - xyx - (x - xyx)zx e K và
X - x(y + z- yxz)x = X - xzx - xv(x - xzx)
e

L,

nên X e xRx + K nLcz xRx + J : mâu thuẫn.
Vì vậy R phải chính qui. □
Hệ quả 2.11. Vành R là chính qui nếu và chỉ nếu mọi iđêan hai phía của R là
lũy đắng và R / p là chính qui với mọi iđêan nguyên tố p của R.
Rõ ràng định lí 2.10 sẽ trở nên gọn hơn nếu bỏ đi giả thiết (b), nhung một
định lí như vậy không đúng trong trường họp tống quát, như ví dụ ở phần tiếp
theo sau sẽ chỉ ra.
Ví dụ 2.12. Tồn tại một vành nửa nguyên tố R sao cho R / p chính qui với
mọi iđêan nguyên tố p của R, nhưng R không chính qui.
Chứng minh.
Chọn
trường
FK
=F= với
n = 1, 2,... và gọi s là F - đại số con của
Y\Fn
sinh F,
bởiđặt
1 và
®Fn.
's K^
là vành con của M2(S). Do SKS * s, theo mệnh đề 1.29, R
Đăt R =
{S s
Với n = 1, 2,... gọi en là phần tử đơn vị của Fn và đặt fn =

0 e, nj

Khi đó / là một lũy đẳng thuộc tâm của R và fnR = M2(F) là một vành
nguyên tố. Hệ quả là, R đẳng cấu với một tích trực tiếp con của các vành

nguyên tố fnR, do đó R là nửa nguyên tố.
Xét iđêan nguyên tố p bất kì của R.


23

S Nếu f n £ P với n nào đó thì ì - f n e P. Trong trường họp này, ta có
p = (1 - f n ) R và R / p = f n R = M 2 ( F ) là chính qui.
s Nếu mọi / e p thì M2(K) = ®fR < p. Do R/ M2(K) =

'F
yp F/

0"
ta có

trong trường hợp này R / P = F là chính qui. □
Tuy nhiên, có một lóp quan trọng các vành mà dạng gọn hơn của định lí
2.10 vẫn đúng, gọi là vành không có phần tử lũy linh khác 0. Ta chứng minh
điều này trong đinh lí 2.15. Trước tiên, ta cần một định nghĩa.
Định nghĩa 2.13. Một iđêan nguyên tố đầy đủ trong một vành R là một iđêan
hai phía thực sự p sao cho R / p là một miền nguyên (không cần giao hoán).
Bố đề 2.14. Nếu R là vành không có phần tử lũy linh khác 0 thì mọi iđêan
nguyên tố tối tiểu của R là nguyên tố đầy đủ.
Chứng minh.
■ Trước tiên ta chứng minh rằng nếu av ..., an e R và ava2...an = 0 thì
tích
của các ai với thứ tự bất kì luôn bằng 0.
Đe chứng minh điều này, thật ra ta chỉ cần chứng tỏ rằng nếu xaby = 0 trong
R thì xbay = 0 .

'C Neu x = y = ì thì từ ab = 0 ta có (ba)2 = b(ab)a = 0 và do đó ba = 0.
s Nếu X = 1: (ab)y = 0 => yab = 0 => y(aba) = 0 => (aba)y = 0
=> (ba)(bay) = 0 => bayba = 0 => (bay)2 = 0 => bay = 0.
S Trong trường hợp tổng quát:
x(aby) = 0 => (ab)(yx) = 0 => (bay)x = 0 => x(bay) = 0.
■ Bây giờ, gọi p là iđêan nguyên tố tối tiểu bất kì của R.
Một m - hệ thong trong R là một tập con X ^ 0 sao cho 0 < Ê X và nếu
X , yeX thì tồn tại r e R sao cho xry E X.


24

Khi đó R\p là một m - hệ thống, và ta có thể chọn một m - hệ thống tối đại X
chứa R\p.
Neu Q là một iđêan hai phía của RvầQ tối đại giữa tất cả các iđêan hai phía
rời nhau với X thì Q là nguyên tố. Do ộ rời R\p ta có Q

Q = p bởi tính tối tiểu của p.
Ket quả là, p rời nhau với X, do đó X = R \ p . Vì vậy R\p là một m - hệ
thống tối đại.
■ Đặt Y = {xx.x2...xn I X x , x 2 , . . . , x n E R \ P).
Nếu O E Y thì xvx2...xn = 0 với X ị E R X P. Tồn tại r x , . . . , rn_x E R sao cho:
Xx.rx.x2.r2...xn_x.rn_x.xn & P. Do ( x x . x 2...xn)(rx.r2...rn_x) = 0, nhu đã
chứng

minh

ở

trên, ta suy ra xx.rx.x2.r2...xn_x.rn_vxn = 0: không xảy ra.
Vì vậy 0 Ể Y, do đó Y là một m - hệ thống.

Rõ ràng R \pcz Y, do đó, theo tính tối đại của R\p ta đuợc R\P = Y.
Do vậy R\p là đóng đối với phép nhân, cho nên RỊP là miền nguyên. □
Định lí 2.15. Gọi R là vành không có phần tử lũy linh khác 0. Khi đó R là
chính qui nếu và chỉ nếu R / p là chính qui với mọi iđêan nguyên tố đầy đủ p
của R.
Chứng minh.
■ Nếu R chính qui thì hiển nhiên R / p là chính qui với mọi iđêan nguyên
tố
đầy đủ p của R.
Giả sử rằng RỊP là chính qui với mọi iđêan nguyên tố đầy đủ p của R.
Neu p là iđêan nguyên tố tối tiểu bất kì của R thì p nguyên tố đầy đủ (theo bổ
đề 2.14), do đó R / p là chính qui. Do RỊP còn là miền nguyên nên R / p là
một vành chia. Hệ quả là, ta có R/ Q là vành chia với mọi iđêan nguyên tố Q


25

Do mỗi iđêan nửa nguyên tố của R là giao của các iđêan nguyên tố, ta suy ra
tập các iđêan nguyên tố của R trùng với tập các iđêan hai phía J sao cho R / J
không có phần tử lũy linh khác 0.
Kết quả là, hợp của một dây chuyền các iđêan nửa nguyên tố của R phải là
nửa nguyên tố. Theo định lí 2.10, R là chính qui. □
Trên đây là một vài đặc trưng của vành chính qui tổng quát. Đối với các
vành chính qui giao hoán, chúng có thể được đặc trưng hóa bởi nhiều cách.
Định lí 2.16. Đối với vành giao hoán R, các điều kiện sau đây tương đương:
(a) R là chính qui.
(b) Mọi R - môđun đơn là nội xạ.
(c) R không có phần tử lũy linh khác 0 và mọi iđêan nguyên tố của R là
tối đại.
(d) RM là trường với mọi iđêan tối đại của R.

Chứng minh.
00 => (b):
Lấy M là một iđêan tối đại của R, J là một iđêan của R và / \J —> R/ M là
một R - đồng cấu khác 0. Khi đó M nJ = (M n J)2 < JM < Kerf < J.
Do đó J ị M . Suy ra x + y = 1 với X E M , y eJ và ta có w = f ( y ) e R / M .
Chọn a e J , ta có a — y a = x a E M J < Ker/.
Do đó f(a) = f(ya) = (fy)a = wa .
Do vậy/có thể mở rộng đến đồng cấu R^> R/ M.
00 => (c):
■ Trước tiên ta chứng minh rằng nếu M là iđêan tối đại của R thì
X E xM, Vx E M .