Một vài hướng phát triển của các định lý giao hoán

E(M)
D
Dk
F(G)
J(R) hoặc J

DANH

Mưc
••

CÁC

KÝ

HIÊU

Vành các tự đồng cấu trên nhóm cộng giao hoán
củaM
Vành chia.

J(R) = (0ị
M
hoặc
G
N

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TAO
Vành các ma trậnTRƯỜNG
nX n với các
phần

tử thuộc
D. TP. Hồ CHÍ
ĐẬI
HỌC
SƯ PHẠM
MINH
là đại số nhóm G trên trường F
Căn Jacobson.

0 (G)
R
m
T

R
là
vành
Nhóm cộng hoặc nhân

Giang Dậu Bạc
nửa
đơn

Tập các phần tử lũy linh.
a
[x;y]
[Xị;x2;....;x„
]
x~yy

Cấp
Vành.

củaMỘT VÀI HƯỚNG
nhóm
G
PHÁT TRIỂN
CỦA

CÁC ĐỊNH LÝ GIAO HOÁN
Tổng trực tiếp (con) của các vành Rị.
Tự đồng cấu trên nhóm M : Ta (m) = ma
THUẢTNGỮ
•
TRAN
G
8

Ẩ(M) là tập linh hóa của M trong R
C(M) là vành giao hoán tử của R trên M
Giao hoán tử cộng hoặc nhân
M là R- mođun trung thành
M là R- mođun Bất khả quy
Phần tử lũy linh a của R

Chuyên ngành
: Đại số và lý
8
thuyết
số

33-52
Mã số: 60
46 05
8

8
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
11

Phần tử tựa chính quy a của R
Phần tử lũy đẳng
Phần tử potent
R vànhArtin
R vành đơn
R vành nửa nguyên thũy (đơn)
R vành nguyên thũy
R vành nguyên tố, nửa nguyên tố

10
14
NGƯỜI HƯỚNG
DẪN KHOA
68
HỌC:
13 TƯỜNG TRÍ
PGS-TS: BÙI
16
12
Thành phổ Hồ Chí Minh - 2009
16

19-22

R là tích trực tiếp (tích trực tiếp con)

21

R là vành trực tiếp con

22

R vành tuần hoàn yếu
Trường K là mở rộng đại sô trên trường F

68
38


Trường K là mở rộng tách được trên trường F

38


LỜI MỞ ĐÀU
Trong thời gian học tập và nghiên cứu của lóp cao học khóa 17 tại
trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh ngành toán chuyên ngành đại số
và
lý thuyết số, các học viên chúng tôi có học tập và nghiên cứu một số chuyên
ngành trong đó có chuyên ngành về vành giao hoán và vành không giao
hoán.
Trong hai chuông đầu của chuyên đề vành không giao hoán đã nói lên cấu

trúc
của vành , radican của vành, phần tử lũy đẳng, lũy linh trong vành ..w. Trên
cơ
sở của các khái niệm, tính chất với một số định lý của hai chương đầu cùng
với
việc thầy hướng dẫn làm luận văn tốt nghiệp PGS-TS Bùi Tường Trí đã
hướng
dẫn cho tôi tham khảo và tìm hiểu các vấn đề về các định lý giao hoán của
vành.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi thấy tính chất giao hoán của một
rất
quan trọng, nếu như chúng ta khảo sát một vành mà không có tính chất giao
hoán thì trong quá trình làm việc chúng ta sẽ gặp nhiều trở ngại, khi tìm hiểu


Luận văn gôm có 3 chương:

Chương I: Chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản gồm các khái niệm, các
định
nghĩa, các tính chất về mođun, vành, căn Jacobson, cấu trúc vành..w
Chương II: Chúng tôi trình bày các định lý giao hoán bao gồm các định lý,
trong
đó có định lý quan trọng đó là định lý WEDDERBURN về một vành chia
hữu
hạn, các định lý giao hoán của JACOBSON, của HERSTEIN. Mỗi định lý
của
các nhà toán học là sự mở rộng của các lóp vành với điều kiện nào đó vành
trở
nên giao hoán.
Chương III: Chương này chúng tôi cố gắng đưa ra một vài ví dụ cụ thể và

trình
bày thêm một hướng phát triển của các định lý về giao hoán trên vành
subboolean.


Chương 1
CÁC KIẾN THỨC Cơ BẢN
Các vành được xét trong luận văn này là không giao hoán và có thể
không
có đơn vị. Chương này chúng tôi trình bày các định nghĩa, tính chất của
vành

và

mođun, Radican cùng với các tính chất của radican và đặc biệt là sự phân
tích
của vành thành tích trực tiếp các vành con, bởi các ứng dụng của nó trong
các
định lý về giao hoán trong chương 2, chương 3

1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành và mođun.
Định nghĩa 1.1.1:
R là vành nếu R cùng với phép cộng là một nhóm Aben, với phép
nhân
có tính chất kết họp, phân phối hai phía đối với phép cộng.
Các idean được xét trong luận văn là idean phải, còn idean hai phía
được
viết gọn idean.
Các khái niệm vành con, vành thương, vành các thương, đồng cấu,
đẳng

cấu, các định lý đẳng cấu được xem như thông thường.


Định nghĩa 1.1.3:
M làR - mođun thì tập A(M) = [r E R / Mr = 0] được gọi là tập
linh
hóa của M trong R .
Định nghĩa 1.1.4:
M được gọi 1 àR- mođun trung thành nếu Mr = (0) kéo theo r = 0
Như
vậyM1 ầR- mođun trung thành khi và chỉ khiẢ(M) = {0}.
Mệnh đề 1.1.5:

Ả(M)là idean hai phía củaR, hơn nửa M làR/ẠM) - mođun trung
thành.
Mệnh đề 1.1.6:
R / A(M) đẳng cấu với một vành con của vànhis(M).
Đặc biệt nếu Mlàiỉ-mođun trung thành thì/4(M)={0} khi đó R được
xem là vành con của vành is(M). Bây giờ ta xét xem những phần tử nào
trong
E(M) mà giao hoán được với tất cả Ta .
Định nghĩa 1.1.7:
Vành giao hoán tử củai^ trên M là C(Af) = ịụ/ eE(M)/ y/Ta =Tay/,\/a eRị


Mệnh đề 1.1.9: (Bổ đề Schur)

Neu M là R - modun bất khả quy thì C(M) là vành chia.
Ngoài ra nếu M là R -mođun bất khả quy thì M cũng có tính chất đặc biệt sau
Mệnh đề 1.1.10:

Neu M là R- mođun bất khả quy thì M vàR/ p đẳng cấu với nhau
nhu
là R - mođun, trong đó p là idean phải tối đại nào đó củaiỉ. Hơn nửa có phần

1.2. Radỉcan của vành
Một trong những điều tuyệt đẹp trong lý thuyết cấu trúc vành là
những
vành mà có radican của nó bằng 0, bởi những vành như thế thì nó có cấu
trúc

là

tích trực tiếp con của các vành nguyên thũy mà có những ảnh hưởng lớn
trong
quá trình chứng minh tính giao hoán trong luận văn này, hơn nửa nếu nó
giao
hoán thì vành đó là tích trực tiếp con của các trường.
Định nghĩa 1.2.1:
Radican củaiỉ , ký hiệu J(R), là tập tất cả các phần tử củaiỉ mà linh
hóa
mọi R -modun bất khả quy. Neu^ không có modun bất khả quy thì ta đặt


Định nghĩa 1.2.2:

Chop là idean phải củaiỉ ta cổ:(p:R)=ịxeR/Rxczp }.
Khi p là idean phải tối đại chính quy củaiỉ thì (p:R)=Ẩ(M)
Mệnh đề 1.2.3:
J(R) = n(p : R) với p chạy khắp các idean phải tối đại chính quy của R .
Ngoài kết quả này chúng ta còn có kết quả đẹp hơn đó là

Mệnh đề 1.2.4:
J(R) = np với p chạy khắp các idean phải tối đại chính quy của R .
Chúng ta thấy với định nghĩa và các mệnh đề trên thì radican có
những
đặc tính đẹp, vậy thì các phần tử nằm trong rađican thì thế nào.
Chúng ta sẽ quan sát các phần tử nằm trong rađican qua các định
nghĩa

và

các mệnh đề sau:
Định nghĩa 1.2.5:
* a e R đuợc gọi là tựa chính quy phải nếu tồn tại phần tử a' e R sao

cho a+a'+a.a'=0 thì ứ’ được gọi là tựa khả nghịch phải của a. (tương tự
chúng ta cũng định nghĩa đối với tựa khả nghịch trái).
* Hơn nửa nếu R có đơn vị thì a là tựa chính quy phải khi và chỉ khi


Mệnh đề 1.2.6:

J(R) là idean phải tựa chính quy phải củaiỉ và chứa tất cả các idean
phải tựa chính quy phải của R hem nửa nó là idean phải tựa chính quy phải lớn
nhất của R.
Định nghĩa 1.2.7:
. Phần tử a e R gọi là lũy linh nếu am = 0, với m là số tự nhiên nào đó
. a là idean nil phải (trái, hai phía) nếu mỗi phần trong a là lũy linh.
. a là idean lũy linh phải (trái, hai phía) nếu có một số m sao cho
01 «2. nm =0, với mọi ax,a2,. .,am Ga
. Cho 7, J là idean phải (trái, hai phía) của R thì IJ là nhóm con đối

với
phép cộng củaiỉ sinh bởi tất cả các tích ab, a el,b eJ khi đó IJ là idean
phải (trái, hai phía) cixdiR. Định nghĩa theo quy nạp chúng ta cũng có In. Từ
đó
a là idean lũy linh phải (trái, hai phía) nếu a "= 0, với n nào đó.
. Giả sử ta có an= 0, ta có b = -a + a2 -a3 + ... + (-1 )n~lan~x,
khi

đó

ta

có a + b + ab = 0, vậy mọi phần tử lũy linh trong R đều có tính chất là tựa
chính quy phải. Vì lẻ đó ta có mọi idean nil phải trong R đều tựa chính quy


Chứng minh:

Đặt p là idean phải tối đại chính quy của Ả, A được xem như là một
vành. Khi đó p cũng tự nhiên là không gian vectơ con của A trên F, vì nếu
không thì Fp <2 p, tuy nhiên từ các tính chất của định nghĩa đại số thì Fp
là
idean phải củaA, p là tối đại nên ta cóA = Fp + p, ta có
A2 = (Fp+p)A c= {Fp)A + pA c= p(FA) + p phần
tử a e A để mà X — CLX E p với mọi phần tử X e A nhưng mà ax e A2 vì
vậy ta có X G p hay p = A.
Như vậy idean phải tối đại chính quy của A như là vành cũng là idean
phải tối đại chính quy của A như là một đại số và radican của chúng là trùng

nhau.
Bây giờ chúng ta có thể xây dựng được một vành mà radican của nó
bằng
không từ một vành có radican khác không.
Mệnh đề 1.2.9: J ( R / J ( R ) ) = (0).

Định nghĩa 1.2.10: R là vành nửa nguyên thũy (nửa đơn) nếu J(R) = (0).


1.3: Vành Artin nửa nguyên thũy:

Chúng ta xem xét lóp vành Artin nửa nguyên thũy là lóp vành có
những
tính chất rất đặc biệt, bởi mỗi vành như thế được biểu diển dưới dạng tổng
hữu
hạn các vành Artin đơn, hơn nửa R ~ A(1) © A(2) ©©(Ấ:)A(/) làvành các
ma
«J

«2 . . nk ’ ni

trận n, X n, trên A(/), là vành chia, như vậy với vành Artin nửa nguyên
thũy chúng ta có thể nhìn thấy cấu trúc phân tíchcủa vành theo vành cácma
trận, mà vành các ma trận thì chúng ta đã quen vàbiết khá nhiều các tính chất
về nó.
Định nghĩa 1.3.1:
Vành R được gọi là Artin phải nếu mọi tập không rổng các idean của
R
phải có phần tử tối tiểu.
Chúng ta có thể nói một cách ngắn gọn vành Artin phải là vành Artin.

Chúng ta có thể chứng minh được R là vành Artin khi và chỉ khi bất kỳ dãy
các
idean phải giảm củaiỉ là px 3 p2 => ....p 13.... sẽ dừng tại n nào đó, nói
cách


* Hơn nửa nếu R là vành chứa idean phải lũy linh thìR chứa idean
hai
phía lũy linh.
Bây giờ chúng ta xem xét các vành có mối quan hệ với các phần tử lũy
đẳng.
Định nghĩa 1.3.4: Phần tử e G R gọi là lũy đẳng nếu e ^ 0, e2 = e.
Mệnh đề 1.3.5:
Cho R là vành không có idean lũy linh khác không, giả sử p^o là
idean
phải tối tiểu của R thì p = eR, với e là phần tử lũy đẳng của R.
Mệnh đề 1.3.6:
Cho R là vành, a là phần tử củaiỉ sao cho a2 -a là lũy linh thì a là
phần tử lũy linh hoặc có đa thức g(x) với các hệ số nguyên thì e = a g(a)
là
phần tử lũy đẳng khác không.
Mệnh đề 1.3.7:
Neuiỉ là vành Artin và là idean phải không lũy linh củaiỉ thì p
chứa phần tử lũy đẳng khác không.

Trong trường họp đặc biệt chúng ta có mối quan hệ radical và vành eRe


Mệnh đề 1.3.9:
R là vành không có idean lũy linh khác (0), e là phần tử lũy đẳng của

R. Khi đó eRe là idean phải tối tiểu khi và chỉ khi eRe là vành chia.
Hệ quả 1.3.10:
R là vành không có idean lũy linh khác không, khi đó eR là idean
phải
tối tiểu củajR khi và chỉ khi Re là idean trái tối tiểu củaiỉ, với e là phần tử
lũy
đẳng nào đó của R.
Sau đây chúng ta quan sát một vành mà radical của nó là bằng (0).
Định nghĩa 1.3.11:
Cho truờng F và nhóm G hữu hạn có cấp o(ơ). Ta gọijp(ơ) là đại
số nhómơ trên trường F là {ỵ^ciịgị / dị G F, gị e G Ị các phần tử của
nhóm được xem là độc lập tuyến tính trên F, phép cộng theo cách tự nhiên,
phép nhân được dùng theo luật phân phối và gịgj được tính theo phép nhân
trong G.
Mệnh đề 1.3.12: (Định lý Maschke’s)
Cho G là nhóm hữu hạn có cấp o( G), F là trường có đặc số 0 hoặc
đặc


Mệnh đề 1.3.13:

Cho R là vành Artin nửa nguyên thũy yơ^o là idean phải của R thì
p = eR với e là phần tử lũy đẳng của R.
Hệ quả 1.3.14: Cho R là vành Artin nửa nguyên thũy và A khác không là
idean củai^ thì A = eR = Re, e là lũy đẳng nằm trong tâm củaiỉ.
Hệ quả 1.3.15: R là vành Artin nửa nguyên thũy thì R có phần tử đơn vị hai
phía.
Mệnh đề 1.3.16:
Mọi idean của vành Artin nửa nguyên thũy là vành Artin nửa nguyên
thũy.

Định nghĩa 1.3.17:
Vành R được gọi là vành đơn nếu R2 ^ 0 và R không có idean nào
khác ngoài (0) và R .
Từ Mệnh đề 1.3.16 chúng ta khai thác sâu hơn ta được định lý
Wedderbum như sau
Mệnh đề 1.3.18: (Định lý Wedderburn )
R là vành Artin nửa nguyên thũy thì R là tổng trực tiếp của một số hữu
hạn của vành Artin đơn và R =Aị © A2 0.... © An, trong đó A ị là các vành
đơn và A ị quét hết các idean tối tiểu của R.


Mệnh đề 1.3.20: R là vành nguyên thũy khi và chỉ khi trong R tồn tại p là
idean phải chính quy tối đại của R sao cho (yơ: R) = (0). R vì vậy là nửa
nguyên thũy, hơn nửa nếui^ giao hoán thì nó chắc chắn là truờng.
Chúng ta xét vành R là vành nguyên thũy, M là R - mođun bất khả
quy
trung thành, ta đặt C(M) = A là vành giao hoán củaiỉ trên M thì theo bổ đề
Schur thì A là một vành chia. Khi đó chúng ta xem xét M như là không gian
vectơ phải trên A và ma được xác định như là một tác động của a , như là
một
phần của E(M) trên M , với m e M, a E A .
Định nghĩa 1.3.21:
R được cho là tác động dày đặc trên M (hoặc R được cho là dày đặc
trẽn M ) nếu với n và Vị, v2,vn eMvà chúng độc lập tuyến tính trên A và
bất kỳ n phần tử Wị, W2,..,wn e M thì tồn tại phần tử reR sao cho
Wịĩ = Vị, với mọi ỉ = 1,2,..., n.
Chú ý rằng trong trường hợp M có số chiều hữu hạn trên Avà nếu R
tác động cả trung thành và dày đặc trên M thì R đẳng cấu với
HomA(M,M) = An là vành các ma trận n X n trên A, với n = dimA M. vì
vậy

Định nghĩa 1.3.23:

R là vành các phép biến đổi tuyến tính trên không gian vectơ V trên
vành chia D có:
a) Tính bắt cầu đơn nếu V GV , V ^ 0, w GV thì Cỏ r G R: w = vr.
b) Tính bắt cầu đôi nếu Vj,v2 GV độc lập tuyến tính trên£) và WỊ,W2 eK

thì
c ỏ r G R:wỉ = vxr, w2 = v2r.
* Hơn nửa điều nguợc lại của định lý dày đặc cũng đúng vì thật chất
nếu
V là không gian vectơ trên vành chia, R là vành các phép biến đổi tuyến tính
có
tính bắt cầu đơn thì vành nguyên thũy.
Thật vậy, vì R là vành các phép biến đổi tuyến tình trên V, thì R có V
như là mođun trung thành. Ta cần chứng minh là V là R - mođun bất khả
quy,
xét 0 * Na V => 3n G V,Vv G V do tính bắt cầu cór trongR sao cho
v=nrGN => N = V
Và nếu R là vành các phép biến đổi tuyến tính có tính bắt cầu đôi thì
ta
có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3.24:


Định nghĩa 1.3.26:

p là idean của R gọi là idean nguyên tố nếu B, c d R là các idean và

B.c d p thì c c? hoặc B dP.
R gọi là vành nguyên tố nếu 0 là idean nguyên tố.
Hoặc R gọi là vành nguyên tố nếu \/a,b E R sao cho aRb = (0) thì
ta
có a = 0 hoặc b = 0. Hoặc R có mọi linh hóa phải các idean phải đều bằng 0

Mệnh đề 1.3.27: Mọi vành nguyên thũy đều nguyên tố.

Từ mệnh đề 1.3.27 ta có thể suy ra tâm của vành nguyên tố là miền nguyên
Mệnh đề 1.3.28: ( định lý Wedderburn-Artin)

ma

Cho R là vành Artin đơn. khi đó R đẳng cấu với Dn , Dn là vành các

trận nxn với các hệ số trong D, hơn nửa n là duy nhất và D cũng duy nhất
sai khác một đẳng cấu và ngược lại mọi vành chia D thì D n là vành Artin đơn.
Định lý Wedderbum-Artin có nhiều ứng dụng rất quan trọng trong
nhiều
trường hợp đặc biệt của vành Artin, với mệnh đề 1.3.18 thì bất kỳ vành Artin
nửa nguyên thũy nào cũng là tổng trực tiếp hữu hạn của các vành Artin đơn
kết


Định nghĩa 1.3.30:
Cho đại số A trẽn trường F, a 6 A được gọi là đại số trên trường F
nếu có đa thức khác không p(x) G F(x) sao cho p(a) = 0. Đại số A được gọi
là đại số trên trường F nếu mọi phần tử a của A đều đại số trên trường F.
Chú ý: Neu A hữu hạn trên trường F thì A đại số trên trường F
Mệnh đề 1.3.31:

Choi7 là trường đóng đại số. Neu D đại số chia có tính chất đại số trên
F thì D trùng với F.

Với mệnh đề 1.3.31 cùng với các mệnh đề 1.3.28, 1.3.29 ta
có
Mệnh đề 1.3.32:
Cho F là trường đóng đại số, A là đại số nửa nguyên thũy hữu hạn trên
F thì A = Fị ©

© ••• © Fn

Ta có tâm của tổng trực tiếp là tổng trực tiếp các tâm, ngoài ra ta cũng có
tâm của Fn. là một chiều trên F ( vì tâm là FIn . với In . là ma trận đon vị

ỉĩị X Yiị) vì thế k = dim p ZA nói cách khác ta có
Hệ quả 1.3.33:


1.4: Sự phân tích của vành:

Chúng ta thấy vành nguyên thũy đã được mô tả khá rỏ, thế còn vành
nửa
nguyên thũy thì sao?. Sau đây chúng ta sẽ mô tả vành nửa nguyên thũy qua
tích
trực tiếp các vành nguyên thũy và đó cũng là cấu trúc của các vành nửa
nguyên
thũy. Ngoài ra ta còn có một lóp vành khác cũng khá quan trọng đó là lóp
các
vành, mà mỗi vành đều không có các idean lũy linh ( hoặc idean nil) khác
không, khi đó nó phân tích thành tích trực tiếp con các vành nguyên tố, mà

mỗi
vành nguyên tố thì chúng ta khá là quen thuộc cùng với các thuộc tính của
chúng
Định nghĩa 1.4.1:
. Tích trực tiếp của các vành Ry,{ỵ là nằm trong tập chi số I nào đó)
là
tập YlRỵ={f:ỉ^[jRỵ/ /00 = Ry,Vỵ GỈ} chúng ta cho cấu trúc vành đối
ỵ&I
ỵel
VỚ n Ry bởi các phép toán như sau: ự+gXr)=/(r)+ỗO/)và ự.g%r)=f(ỵ)g(ỵ)
ỴGỈ
Ta đặt nỴ là phép chiếu chính tắc của n
ỵel

Rrlên

Rr ■


sao cho nơ =(0)thì R

là một tích trực tiếp con của các vành

Rỵ = R / u y
Định nghĩa 1.4.3:
R được gọi là vành trực tiếp con bất khả quy, nếu giao của tất cả các
idean khác không của nó khác không.
Với định nghĩa này ta luôn có R không có sự biểu diển không tầm
thường như là tích trực tiếp con của các vành R .
R là vành nửa nguyên tố nếu R không chứa idean lũy linh.

Như vậy R là vành nguyên tố thì R là vành nửa nguyên tố
Mệnh đề 1.4.4:
Mọi vành đều có thể biểu diển như là tích trực tiếp con của các vành
trực
tiếp con bất khả quy.
Chửng minh:
Cho 0 ^ a E R, ta đặt ơ là idean tối đại củaiỉ sao cho không chứa a
điều này tồn tại bởi bổ đề zom. Rỏ ràng là n u = (0), 0 ^ a e R vì vậy R là
tích trực tiếp con của các vành Ra = R/Ua. Bây giờ ta có a+u khác không
là nằm trong mọi idean khác không của R = R / ưa, (bởi mọi idean


Mệnh đề 1.4.5:

R là vành nửa nguyên tố khi và chỉ khi R là tích trực tiếp con các
vành
nguyên tố.
Nhu vậy nếu R là vành không có idean nil khác không thì R không
chứa idean lũy linh vì vậy R là tích trực tiếp con của các vành nguyên tố
Ra .(tâm của vành nguyên tố là miền nguyên).
Đặc biệt khi R là vành có không có phần tử lũy linh thì R phân tích
đuợc
thành tích trực tiếp con các vành nguyên tố.
Chúng ta có nhận xét rằng Ra có tính chất mạnh hon nửa, đó là nếu a là
ảnh của a trong Ra và nếu u là idean khác không của Ra thì

e ỡ" (đó

là các lũy thừa của a đều nằm trong idean khác không của Ra).
Neu R là vành nửa nguyên thũy thì J(R) = (0), mặt khác ta có:

J(R) = C\{p : R) = (0), với p là idean tối đại chính quy phải của R. Ta có R
là tích trực tiếp con các vành R = R/ (p:R) nguyên thũy.
Mệnh đề 1.4.6:
R là vành nửa nguyên thũy khi và chỉ khiR là đẳng cấu với vành tích
trực tiếp con các vành nguyên thũy.


Chứng minh:

Giả sử ea ^ 0, ea ^ 1, eay là lũy đẳng tâm khi đó Ả = eaRa là
idean

và

A ^ (0) vì ea 9É 1 nên có r:r — ear ^ 0, đặt B = {r - ear / r E Ra} khi
đó

ta

có B & {0} và B là idean, ta lại có Ac\B = (0) vì X e A n B thì


Chương 2
CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIAO HOÁN

Sau khi đã có các cơ sở về căn Jacobson, các định nghĩa và tính chất
về
vành nửa nguyên thũy, nguyên thũy, nửa nguyên tố, nguyên tố .. .w cùng với
sự
phân tích cấu trúc của một vành. Chúng ta chuyển sang chương 2 với các

định

lý

về giao hoán, các bước chứng minh của các định lý này trên cơ sở cấu trúc
của
vành đi từ vành chia đến vành nguyên thũy (hoặc nguyên tố), vành nửa
nguyên
thũy (vành nửa nguyên tố) rồi chuyển sang vành bất kỳ. Với phương pháp
này

2.1: Định lý Wedderburn trên vành chia hữu hạn và các định
lý về giao hoán
Định lý Wedderburn đã mô tả được tính giao hoán của lóp vành
chia
hữu hạn, định lý ngoài vẽ đẹp của nó mà nó còn đóng vai trò quan trọng
trong
nhiều phần khởi đầu của đại số trong lý thuyết vành cũng như lý thuyết cấu
trúc


Bổ đề 2.1.1:

Cho D là vành chia có đặc số p ^ 0 và z là tâm. Giả sử có một phần
tử a e D, a <£ z, sao cho ap" = a với n > 1 thì tồn tại phần tử X e D
sao

cho

xax~l = a** a với i là số nguyên nào đó.

Chửng minh:
Ta định nghĩa ánh xạ Ỗ\D^D bởi xỏ = [a,x] = xa-ax, với mọi
X E D ,vìD có đặc số p ^ 0 nên ta có xốp = xap — apx, tiếp tục như thế
ta
có xỗp = xap - ap X , k>0. Đặt p là trường nguyên tố của z do giả
thuyết ta có a là đại số trênP, vì vậy P(ữ) là trường có pm phần tử vì vậy
ap = a và xốp = xap -ap X = xa - ax = xổ khi đó ta nói ỏp = ổ.
Nếu ẲeP(a) thì (Ẳx) ỗ= (Ảx)a - a(Ảx) = Ẳ(xa - ax) =
Ă(xS)vì

Ă

giao hoán với a , nếu ta định nghĩa ẢI :D ^ D chuyển X thành Ả X

Khi đó ẢI giao hoán với ổ (Ỗ.ẪỈ = ẲI.Ô) vì Ả e P(ữ), ta xét đa
thức
tp —t phân tích trong P(a) là Y[Ẳ } (t - Ã), vì Ã giao hoán với ỏ nên
chúng ta có: 0 = sp - ^ = n P( )

“ hi) vì a<£Z, ổ ^ 0 ta đặt


Bởi vì P(ữ) là trường hữu hạn vì thế các phần tử trong P(ữ) có cấp hữu
hạn là các lũy thừa của a, nhưng waw 1 G P(a) vì vậy waw 1 = al ^ a với ỉ
nào đó. ĐPCM.
Định lý 2.1.2: (Wedderburn) NeuD là vành chia hữu hạn thì D là trường.
Chứng minh:
D là vành chia và z là tâm cixdiD, do D hữu hạn nênD có đặc trưng p
(số
nguyên tố) nên trường con nguyên tố trong z có p phần tử, vì thế ta có thể xem

D
là không gian tuyến tính trên z vì xịyD có q = pn phần tử. Bây giờ chúng ta
chứng minh theo n và giả định là mọi vành chia có cấp pk (k < n ) là giao hoán
do đó nó là trường.

Nếu a,b E D sao cho ab^ ba nhung ab' =bla thì b' e z vì xét tập
N(b‘) = {x E D / xữ = khi đó N(b‘ ) là vành chia trongD chứa a,b vì
vậy nó không giao hoán, vì vậy N(b') trùng với D do đó bl G z .
Nếu u G D ta đặt m(u) số nguyên dương bé nhất để mà um^ e z, ta chọn
phần tử a G D, a £ z mà m(a) là số nguyên dương bé nhất trong các số m(u),
đặt r = m(a) như vậy r là số nguyên tố (thật vậy, nếu r = pq thì p,q thuộc