Phân hoạch đơn vị trên không paracompact

2

r, OAI HỌC
, DỤC VÀvĐÀO
v TẠO
Bộ GIÁO
?SP_-|
Bộ_GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO
TP. HO CHI
MINH
I
•
TRƯỜNG
ĐẠI HỌC sữ PHẠM TP. Hồ• CHÍ,MINH•
^
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP. HỖ CHÍ MINH

Phan Thị Ngọc Hưng
Phan Thị Ngọc Hưng

PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ
PHÂN HOẠCH
ĐƠN VỊ
TRÊN KHÔNG
GIAN PARACỚMPACT
TRÊN KHÔNG GIAN PARACỚMPACT
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10

LUẬN

LUẬNVĂN
VĂNTHẠC
THẠCsĩsĩTOÁN
TOÁNHỌC
HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DÃN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2008


3

LỜI CÁM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưói sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ
Nguyễn Hà Thanh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - ngưòi đã
từng bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cún đề tài cùng những kinh
nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức
quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Hình học, khoa Toán - Tin
trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tác giả nâng cao
trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình
học cao học.
Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại
học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này.
Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả đã vài lần liên lạc vói các
nhà toán học nước ngoài, đặc biệt là giáo sư Jerzy Dydak đã tận tình giải đáp
các vấn đề liên quan. Xin chân thành cám ơn giáo sư.
Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường

THPT Dân lập An Đông đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá
trình học cao học.
Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lóp với những trao đổi góp ý
và động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

TP. HCM tháng 8 năm 2008
Tác giả
Phan Thị Ngọc Hưng


4

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa..................................................................................................2
Lời cám ơn .....................................................................................................3
Mục lục...........................................................................................................4
MỞ ĐẦU........................................................................................................9
Chương 1: KIÉN THỨC CHUẨN BỊ.......................................................12
1.1. Không gian tôpô..............................................................................12
1.1.1. Định nghĩa không gian tôpô..................................................12
1.1.2. Lân cận..................................................................................12
1.1.3. Cơ sở.....................................................................................13
1.1.4. Cơ sở lân cận.........................................................................13
1.1.5. Điểm tụ (hay điểm giói hạn).................................................13
1.1.6. Phần trong, bao đóng, tập trù mật.........................................13
1.1.7. Định nghĩa không gian khả li................................................14
1.1.8. Các tiên đề đếm được............................................................14
1.2. Ánh xạ liên tục................................................................................14
1.3. Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phôi......................................15

1.4. Không gian con...............................................................................16
1.4.1. Định nghĩa tôpô cảm sinh, không gian con...........................16
1.4.2. Định lý (Điều kiện để một tập mở, đóng trong không gian

con).........................................................................................16
1.4.3. Hệ quả...................................................................................17
1.4.4. Định lý (Điều kiện để một tập mở, đóng trong không gian

con).........................................................................................17
1.5. Không gian thương.........................................................................17
1.6. Các tiên đề tách...............................................................................18


5

1.6.1. Định nghĩa các Tị - không gian............................................18
1.6.2. Định lý..................................................................................19
1.7. Không gian chuẩn tắc......................................................................19
1.7.1. Bổ đề Urysohn......................................................................19
1.7.2. Định lý Tietze - Urysohn......................................................19
1.7.3. Hệ quả...................................................................................19
1.7.4. Định lý (Điều kiện để một không gian là chuẩn tắc)...........20
1.7.5. Hệ quả...................................................................................20
1.8. Không gian mêtric hóa....................................................................20
1.8.1. Định nghĩa tôpô sinh bởi mêtric..........................................20
1.8.2. Định nghĩa không gian mêtric hóa.......................................20
1.8.3. Định lý .................................................................................20
1.8.4. Các kết quả...........................................................................21
1.9. Hữu hạn địa phương........................................................................21
1.9.1. Định nghĩa hữu hạn địa phương...........................................21

1.9.2. Bổ đề.....................................................................................21
1.9.3. Định nghĩa rời rạc (ròi rạc địa phương)...............................21
1.9.4. Định nghĩa hữu hạn ơ-địa phương (hữu hạn địa phương

đếm được)............................................................................22
1.9.5. Định nghĩa rời rạc ơ-địa phương (ơ-rời rạc, ròi rạc địa

phương đếm được)..............................................................22
1.9.6. Định nghĩa làm mịn, làm mịn mở, làm mịn đóng................22
1.9.7. BỔ đề....................................................................................23
1.10. Định lý mêtric hóa Nagata - Smirnov...........................................23
1.10.1. Tập họp dạng Gs.................................................................23
1.10.2. Tập họp dạng Fơ................................................................24
1.10.3. Định lý mêtric hóa Nagata - Smimov.................................24


6

1.11. Không gian compact.....................................................................24
1.11.1. Định nghĩa phủ, phủ mở, phủ hữu hạn...............................24
1.11.2. Định nghĩa phủ con, phủ con hữu hạn................................24
1.11.3. Định nghĩa không gian compact.........................................25
1.11.4. Định lý................................................................................25
1.11.5. compact hóa........................................................................26
1.12. Không gian paracompact..............................................................26
1.12.1. Định nghĩa không gian paracompact..................................27
1.12.2. Định lý................................................................................27
1.12.3. Hệ quả.................................................................................27
1.12.4. Định lý................................................................................27
1.12.5. Định nghĩa giá của ánh xạ (supportỷ).................................27

1.13. Không gian phụ họp......................................................................27

Chương 2: PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ........................................................29
2.1. Phân hoạch đơn vị..........................................................................29
2.1.1.

Định nghĩa tổng....................................................................29

2.1.2.
2.1.3.

Định nghĩa các loại phân hoạch...........................................29
Định nghĩa phân hoạch Z7-small.........................................30

2.1.4.......................................................................................................... Đ

ịnh nghĩa không gian chuẩn tắc........................................................30
2.1.5.......................................................................................................... Đ

ịnh lý thác triển Tietze trên không gian chuẩn tắc............................31
2.1.6.

Định nghĩa không gian paracompact....................................31

2.1.7.

Hệ quả..................................................................................31

2.1.8.

Mệnh đề................................................................................32

2.1.9.

Hệ quả..................................................................................34

2.2. Đồng hên tục - Đồng liên tụcnghiêm ngặt......................................35
2.2.1.

Định nghĩa đồngliên tụcnghiêm ngặt...................................35


7

2.2.2.

Định nghĩa đồng liên tục......................................................35

2.2.3.

Mệnh đề.................................................................................36

2.2.4.

Mệnh đề.................................................................................38

2.2.5.

Mệnh đề.................................................................................40

2.2.6.

Định nghĩa phân hoạch xấp xĩ..............................................42

2.2.7.

Hệ quả...................................................................................43

2.2.8.

Mệnh đề.................................................................................44

2.2.9. BỔ đề....................................................................................46
2.2.10. Định lý về sự tồn tại phân hoạch đơn vị Z7-small.............47
2.2.11.

Định nghĩa closure-preserving............................................47

2.3. Thác triển phân hoạch đơn vị..........................................................47
2.3.1.

Mệnh đề.................................................................................48

2.3.2.

Mệnh đề.................................................................................49

2.3.3.

Định lý ..................................................................................51

2.3.4.

BỔ đề ...................................................................................52

2.3.5.

BỔ đề ...................................................................................53

2.3.6.

BỔ đề ...................................................................................55

2.3.7.

Bổ đề ....................................................................................56

2.3.8.

BỔ đề ...................................................................................58

2.3.9.

Định lý (Thác triển phân hoạch đơn vị trên paracompact)...59

2.4. Tích phân và đạo hàm của phân hoạch đon vị................................60
2.5. Bậc và chiều....................................................................................61
2.5.1.

Định nghĩa bậc của phủ.........................................................61

2.5.2.

Định nghĩa bậc của phân hoạch đon vị.................................61

2.5.3.

Định nghĩa chiều của không gian.........................................62

2.5.4.

BỔ đề....................................................................................62

2.5.5.

Định nghĩa chiều của không gian paracompact....................64


8

2.5.6.

Hệ quả...................................................................................64

Chương 3: ỨNG DỤNG PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ VÀO TÔPÔ..........66
3.1.................................................................................................................... ứn

g dụng phân hoạch đơn vị trên không gian paracompact........................66
3.1.1. Định lý thác triển Tietze........................................................66
3.1.2. BỒ đề....................................................................................68

3.1.3. Định lý A. H. Stone...............................................................69
3.1.4. Bồ đề.....................................................................................70
3.1.5.

Định lý Tamano.....................................................................70

3.1.6.

Chú ý (Điều kiện để paracompact đếm được là chuẩn tắc)..72

3.1.7.

Định lý (Điều kiện đủ trên không gian paracompact
đếm được)...............................................................................73

3.1.8.

Định lý thay thế phân hoạch đơn vị......................................75

3.1.9.

Hệ quả (Định lý Michael).....................................................80

3.1.10.

Định lý mêtric hóa...............................................................81

3.1.11.

Định lý mêtric hóa Nagata - Smimov (Điều kiện cần).......84

3.2. Chiều và phân hoạch đơn vị............................................................86
3.2.1. Định lý (Tổng quát hóa của định lý thác triển Tietze)..........86
3.2.2. Mệnh đề (Chiều của không gian phụ họp)............................88
3.2.3. Định lý (Chiều của không gian paracompact).......................89
3.2.4. Mệnh đề (Sự thác triển xấp xĩ)..............................................91
3.2.5. Hệ quả...................................................................................93
3.2.6. Định lý...................................................................................93

KÉT LUẬN..................................................................................................95
TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................98


9

MỞ ĐÀU

1. Lý do chọn đề tài

Sự bùng no của nghiên cứu tôpô trong thòi gian gần đây buộc chúng ta
phải xem xét lại các vấn đề CO' bản và xác định chủ đề nào nên có trong
nghiên cứu tôpô. Các nhà toán học tin rằng cơ sở để nghiên cứu một không
gian tôpô là tính chuẩn tắc, compact, paracompact và định lý thác triển Tietze.
Nhu chúng ta đã biết, các nhà tôpô thuần túy nghiên cứu các không
gian thông qua các phủ mở. Trong khi đó, các nhà tôpô hình học lại dùng các
hàm liên tục để nghiên cứu các không gian. Chính vì điều này, các nhà toán
học: J. Dydak, N. Feldman, J.Segal, R. Engelking, I. M. James, A. T. Lundell,
s. Weingram, . . . , nối bật là Dydak đã nảy ra ý tuởng họp nhất hai cách
nghiên cứu này. Họ dùng phân hoạch đon vị để giải quyết vấn đề và đã thành
công.

Chúng ta cũng đã biết, phân hoạch đon vị là một trong các công cụ cơ
bản của giải tích, nó cũng thuờng đuợc sử dụng trong lý thuyết đồng luân.
Nhung theo sự trình bày của tôpô chính thống thì phân hoạch đon vị chỉ tồn
tại phụ thuộc vào phủ cho truớc. A. T. Lundell và s. Weingram cũng đã có
nhũng cố gắng áp dụng phân hoạch đon vị vào tôpô của các cw phức nhung
chỉ dùng lại ở phân hoạch đon vị hữu hạn địa phuong. I. M. James cũng chỉ
thảo luận đuợc phân hoạch đon vị hữu hạn điểm ở tôpô tống quát và lý thuyết
đồng luân. Vì vậy, các úng dụng gặp khó khăn khi dùng phuong pháp đại số
đế xây dựng phân hoạch đon vị hữu hạn địa phuong. Ngay cả phân hoạch đon
ngại.


10

Sự ra đòi của khái niệm “Phân hoạch của các hàm đồng liên tục” là
một hướng mói để tận dụng tất cả các ưu điểm của các phép tính vi tích phân
và phương pháp đại số để nghiên cún phân hoạch đon vị.
Khái niệm “Paracompact” ra đòi trong những năm gần đây. Nó là một
tống quát hóa hữu ích nhất của không gian compact. Nó đặc biệt giúp ích cho
các ứng dụng trong tôpô và hình học vi phân, điển hình là định lý mêtric hóa.
Một trong nhũng tính chất hữu ích nhất mà không gian paracompact sở hữu
đó là sự tồn tại của phân hoạch đon vị.
Vì những lí do đó, chúng tôi tiếp tục tìm hiểu về phân hoạch đon vị đặc
biệt là phân hoạch đon vị phụ thuộc vào phủ, phân hoạch đồng liên tục, tính
đồng liên tục, thác triển phân hoạch đon vị, bậc của phân hoạch đon vị.
Trên cơ sở đó, chúng tôi tìm hiểu và áp dụng chúng để nghiên cún tôpô
và hình học, đặc biệt là nghiên cứu về: “Phân hoạch đơn vị trên không gian
paracompact ”.

2. Mục đích

Dùng phân hoạch đon vị phụ thuộc phủ đế chứng minh các kết quả trên
không gian paracomapact một cách ngắn gọn và đon giản hon.
3. Đối tượng và nội dung nghiên cún

Không gian paracompact.

4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn

Dùng phân hoạch đon vị phụ thuộc phủ làm giảm đi một số điều kiện đối
với các kết quả trên không gian paracompact giúp cho các phát biếu trên
không gian paracompact trở nên đon giản và ngắn gọn hon.


11

5. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm ba chương.
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị. Trình bày các kiến thức về tôpô đại
cương có liên quan đến đề tài nghiên cứu.
Chương 2: Phân hoạch đon vị. Ở chương này trình bày:
-

Phân hoạch đon vị, đồng liên tục, đồng liên tục nghiêm
ngặt cùng các tính chất kèm các chúng minh chi tiết.

-

Thác triển phân hoạch đon vị.

-

Tích phân và đạo hàm của phân hoạch đon vị.

-

Bậc phân hoạch đon vị và chiều.

Các kết quả khác liên quan đến không gian chuẩn tắc luận
văn chỉ trình bày chứ không chứng minh.
Chưong 3: ứng dụng phân hoạch đon vị vào tôpô. Cụ thể:
-

Dùng phân hoạch đon vị chứng minh một số kết quả trên
không gian paracompact: Định lý thác triển Tietze, định
lý A. H. Stone, định lý Tamano, định lý mêtric hóa
Nagata - smimov (điều kiện cần).


12

Chương 1:

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chưong này luận văn trình bày lại các kiến thức tôpô chính thống
có liên quan đến các chuông sau. Ở đây, hầu hết các định lý, các hệ quả, các
bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chúng minh. Chúng được dùng
làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài.

1.1. Không gian tôpô

1.1.1. Định nghĩa không gian tôpô:

Cho tập X. Họ V các tập con của X được gọi là tôpô trên X nếu thỏa các
điều kiện sau:
Vị) X, 0 thuộc T,
vì) Họp của tùy ý các tập thuộc V là thuộc V,
TÌ) Giao của hữu hạn các tập thuộc V là thuộc V.
Tập X cùng vói một tôpô trên X được gọi là không gian tôpô. Viết là (X, v)
hay X nếu không cần chỉ rõ V là tôpô trên X. Các phần tử của không gian
thưòng gọi là các điếm.
Cho (X, t) là không gian tôpô. Tập Ge rđược gọi là tập mở của X. Tập
con F của X gọi là tập đóng nếu X \ F mở.
Từ định nghĩa suy ra:
a)

0, X là tập đóng,

b)

Giao của tùy ý các tập đóng là tập đóng,

d) Lân

cận:


13

Cho (.X, t) là không gian tôpô và xeX. Tập V c X được gọi là một lân
cận của X nếu tồn tại tập mở G sao cho xe GcV.
Neu lân cận V của X  là tập mở thì V gọi là lân cận mở của X .
Nhận xét:
- Mọi lân cận của X đều chứa một lân cận mở.
- Tập G là mở nếu và chỉ nếu G là lân cận của mọi điểm thuộc nó.

1.1.2. Cơ sở:

Cho (.X, T) là không gian tôpô. Một họ con p của T gọi là một cơ sở của
T
nếu: vơe T, Vxe ơ, 3 Ve p: xe V c G.

1.1.3. Cơ sở lân cận:

Một họ Ux các lân cận của X gọi là một cơ sở lân cận của X nếu: Mọi lân
cận V của X đều tồn tại lân cận t/e Ux sao cho u cV.

1.1.4.

Điểm tụ (hay điểm giói hạn):

Cho A là một tập con của không gian tôpô X và xe X. Neu mọi lân cận V
của X ta đều có V n ( A \ (xỊ) ^ 0 thì X được gọi là điểm tụ (hay điếm giới
hạn) của tập A.
Phần trong, bao đóng, trù mật:
Cho X là không gian tôpô, tập A d X.
1.1.5.

- Ta gọi phần trong của A là họp của tất cả các tập mỏ’ được chứa trong

A, ký hiệu A°.
Ẵ = x.


14

Từ định nghĩa suy ra:
ỉ) A° là tập mở lớn nhất chứa trong A.
AczB => A° A mở <=> A = A°.
iĩ) A czX thì luôn luôn có ít nhất một tập đóng chứa A.
à là tập đóng nhỏ nhất chứa A.
A = A.
Au B = Au B.
AczB => A(zB.
A đóng <^> A = Ẩ.

1.1.6.

Định nghĩa không gian khả li:

Không gian tôpô X được gọi là khả li nếu trong X tồn tập một tập con
hữu hạn hoặc đếm được trù mật.

1.1.7.

Các tiên đề đếm được

1.1.8.1.

Tiên đề đếm được thứ 2:

Không gian tôpô được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai
nếu nó có một cơ sở đếm được.

1.1.8.2.

Tiên đề đếm được thứ 1:

Không gian tôpô được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất
nếu mọi điếm xeX đều có một cơ sở lân cận đếm được.

1.1.8.3.

Định lý:

Không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai thì thỏa mãn tiên


15

Cho X và Y là các không gian tôpô. Ánh xạ /: X —> Y được gọi là liên
tục
tại X E X  nếu mọi lân cận V của f(x) trong Y đều tồn tại lân cận u của X trong
X
sao cho f{ỊJ) c: V.
Nói cách khác: Ánh xạ /: X —> F được gọi là liên tục  tại XEX  nếu mọi V là
lân cận của f(x) trong Y thì/" (V) là lân cận của X trong X.
Ánh xạ gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi XE: X.

1.2.2. Định lý:

Vói mọi ánh xạ/: X —> Y, các điều kiện sau là tương đương
a) / liên tục.
b) j ( G ) mở trong X với mọi tập G mở trong Y.
c) /_1(ơ) mở trong X với mọi G thuộc một cơ sở của Y.
d) /"'(G) mở trong X với mọi G thuộc một tiền cơ sở của Y.
e) f A { F ) đóng trong X vói mọi tập F đóng trong Y.
f)
g)

f ỊA ) /_1 (^)

/-1 (B ) vói mọi tập con B của Y.

( \
n/ ^ a ^ ~ f n^a » Va là tập mở trong Y.
a
\aJ

1.3. Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phôi


16

Cho X , Y là các không gian tôpô. Ánh xạ /: X —> Y được gọi là một
phép
đồng phôi hay ánh xạ tôpô nếu/là song ánh, liên tục và/"1 liên tục.

Hai không gian được gọi là đồng phôi nhau nếu tồn tại một phép đồng
phôi từ không gian này vào không gian kia. Hai không gian đồng phôi còn
được gọi là hai không gian tương đương tôpô.

1.3.2. Định nghĩa ánh xạ mở, ánh xạ đóng:

Cho X, Y là các không gian tôpô.
Ánh xạ /: X —> F được gọi là mở (hay ánh xạ mở) nếu mọi tập G mở
trong X thì/(G) mở trong Y.
Ánh xạ /: X —> Y được gọi là đóng (hay ánh xạ đóng) nếu mọi tập F
đóng trong X thì f ( F ) đóng trong Y.

1.3.3. Định lý:

Cho X , Y là các không gian tôpô và song ánh /: X —> Y. / là phép đồng
phôi khi và chỉ khi /là ánh xạ liên tục và mở (hoặc đóng).

1.4. Không gian con

1.4.1. Định nghĩa tôpô cảm sinh, không gian con:

Cho không gian tôpô (X , t) và tập Fcl Khi đó:
- Họ Tỵ = {V c F I V = Y n G với Ge t) là một tôpô trên A.
- Ty gọi là tôpô cảm sinh bỏi tôpô rtrên X.


71

T } là một tôpô.
17

a) Tập A czY mở trong Y khi và chỉ khi A = Y n G với G là tập con mở

trong X.
b) Tập B d Y đóng trong Y khi và chỉ khi B = Y n F với F là tập con

đóng trong X.

1.4.3. Hệ quả:

Cho Y là không gian con của không gian tôpô X và ye Y. Neu V là lân cận
của ỵ trong Y thì tồn tại lân cận u của y trong X sao cho v= u n y.

1.4.4. Định lý:

Cho Y là không gian con của không gian tôpô X. Một tập họp mở (đóng)
tùy ý trong Y là mở (đóng) tùy ý trong X khi và chỉ khi Y là tập mở (đóng)

1.5. Không gian thương

1.5.1. Định nghĩa:

Cho không gian tôpô (X, t) và một quan hệ tương đương R trên X. Ký
hiệu X/ là tập thương của X theo quan hệ tương đương R. Ký hiệu /?[x] là
lớp tương đương chứa xe X.
Ta có K là toàn ánh. Trên
[X/R , gọi là không gian thương của không gian X theo quan hệ tương R.
Khi đó 71 hên tục.
Như vậy: phép chiếu chính tắc là toàn ánh và hên tục.

1.5.2.

Định lý:


32

18

Cho phép
tắc K:
X —ỳ
/ : và mọi tập
—>con
Y. Ánh
xạ/F
gian Tikhonov
nếuchiếu
X là chính
Ty không
gian
và và
vóiánh
mọixạxeX
đóng
liêncủa
tụcXkhi
và chỉchứa
khi f°7T
liêntạitục.

không
X, tồn
hàm liên tục / : X —> [0,1] sao cho /(x) = 0 và
f(y) = 1 vói mọi ye F.
1.6.
đề không
tách gian hay không gian chuẩn tắc nếu X là T\- không
- Các
X gọitiên
là Ty

gian và hai tập con đóng bất kỳ không giao nhau A, B trong X, tồn tại các tập
con mở u, V sao cho A a u, B d V v ầ U n V = 0 .
1.6.1. Định nghĩa các Tị- không gian:
Ta gọiT0,TVT2,T3,T ị,T4 là các tiên đề tách.
Cho X là không gian tôpô.
Ví dụ: Đường thắng thực là To- không gian, T\- không gian, không gian
- X gọi là To- không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ X, ye X có một
Hausdorff, không gian chính qui, không gian chuẩn tắc.
lân cận của X không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa X.
- X gọi là T\- không gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ X, yeX có một

lân cận của X không chứa y và một lân cận của y không chứa X.
- X gọi là T2- không gian hay không gian Hausdorff nếu hai điểm khác

nhau bất kỳ X, yeX tồn tại lân cận u của X và lân cận V của y sao cho:
UnV=0.
- X gọi là Ty không gian hay không gian chính qui nếu X là T\- không

gian và vói mọi XE X và mọi tập con đóng F của X không chứa X, tồn tại các

tập con mở u, V sao cho xe u, F c V và u n V = 0.
- X gọi là T J- không gian hay không gian hoàn toàn chính qui hay
không


19

Nhận xét:
Tj- không gian => Tị- không gian vói j > i.

1.6.2. Định lý:

Cho X là không gian tôpô.
à) X\à.T\- không gian nếu và chỉ nếu mọi tập con chỉ gồm một điểm của
X là tập đóng.
b) X là không gian chính qui nếu và chỉ nếu X là T\- không gian và mọi
xe X, mọi lân cận V của X đều chứa một lân cận đóng của X.
Tức là:
X là không gian chính qui nếu và chỉ nếu X là T\- không gian và mọi
xeX, mọi lân cận VcủaX tồn tại lân cận ucủaX sao cho Xe u dư cV.
1.7. Không gian chuẩn tắc:

1.7.1. Bổ đề Urysohn:

Cho X là không gian chuẩn tắc, A và B là hai tập con đóng ròi nhau trong
X. Khi đó tồn tại hàm liên tục/: ^ —> [0, 1] sao cho
/(x) = 0, VxeA và/(x) = 1, \/xeB.
1.7.2. Định lý Tietze-Urysohn:

Cho X là không gian chuẩn tắc, A là tập con đóng của X. Khi đó mọi hàm

liên tục /: A —> [0, 1] đều tồn tại một hàm liên tục g : X —ỳ [a, b] sao cho
gL=/.
1.7.3. Hệ quả:


20

1.7.4. Định lý:

Không gian tôpô X là không gian chuẩn tắc khi và chỉ khi Tị- không gian
và vói mỗi tập con đóng F trong X, mỗi lân cận tùy ý của F có chứa một lân
cận đóng của F.

1.7.5. Hệ quả:

Mọi không gian chính qui thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai là không
gian chuẩn tắc.
1.8. Không gian mêtric hóa

1.8.1. Định nghĩa tôpô sinh bởi mêtric:

Cho không gian mêtric (X, d). Ta xác định trong (X, d) một tập
họp T các tập con của X như sau:
T = {ư c XI Vxe u, 3r > 0 sao cho B(x, r ) ( Z Ư ) .
Thì T là một tôpô trên X. Tôpô T xác định như trên gọi là tôpô sinh ra bởi
mêtrỉc d trên X, các phần tử thuộc T được gọi là các tập mở trong (X, d).

1.8.2. Định nghĩa không gian mêtric hóa:

Không gian tôpô (X, f) được gọi là không gian mêtric hóa (hay không

gian mêtric hoá được) nếu trên X có một mêtric d sao cho tôpô sinh bỏi
mêtric d trùng vói tôpô T trên X.
khi nó khả li.


21

c) Tích của một họ đếm được các không gian mêtric hóa là không gian

mêtric hóa.
d) Không gian chính qui có một cơ sở đếm được là không gian mêtric

hóa.

1.8.4. Các kết quả:

ỉ ) Một không gian có cơ sở đếm được là không gian mêtric hóa khi và
chỉ khi nó chuẩn tắc.
ii) Tổng trực tiếp của một họ các không gian mêtric hóa là không gian
mêtric hóa.
1.9. Hữu hạn địa phương

1.9.1. Định nghĩa hữu hạn địa phương:

Cho X là không gian tôpô. Một họ A các tập con của X được gọi là hữu
hạn địa phương trong X khi và chỉ khi mỗi điểm của X có một lân cận chỉ
giao vói một số hữu hạn các phần tử của họ A.
Ví dụ: Họ = {(0,1/n) I z+} là hữu hạn địa phương trong (0, 1)
nhưng không hữu hạn địa phương trong R.

1.9.2.

Bổ đề:

Cho A là họ hữu hạn địa phương các tập con của X. Thì:

<c> IL,A = IL^-

1.9.3. Định nghĩa rời rạc (hay ròi rạc địa phương):


22

Cho X là không gian tôpô. Một họ A các tập con của X được gọi là rời
rạc (hay rời rạc địa phương) khi và chỉ khi mỗi điểm của X có một lân cận
giao vói nhiều nhất một phần tử của họ A.

Nhận xét:
- Một họ rời rạc là hữu hạn địa phưong.
- Neu A ròi rạc thì họ các bao đóng của các phần tử của họ A cũng ròi
rạc.

1.9.4. Định nghĩa hữu hạn cr-địa phương (hay hữu hạn địa phương

đếm được):
Cho X là không gian tôpô. Một họ A các tập con của X được gọi là hữu
hạn ơ -địa phương (hay hữu hạn địa phương đếm được) khi và chỉ khi nó là
họp đếm được của các họ An vói mỗi An là hữu hạn địa phương.

1.9.5. Định nghĩa ròi rạc cr-địa phương (hay <7-ròi rạc hay ròi rạc

địa phương đếm được):
Cho X là không gian tôpô. Một họ A các tập con của X được gọi là rời
rạc ơ- địa phương (hay ơ-rời rạc hay rời rạc địa phương đếm được) khi và
chỉ khi nó là họp đếm được của các họ An với mỗi An là ròi rạc.
Ghi chú: Khái niệm “cr” xuất phát từ lý thuyết độ đo và nó được dùng
đế thay thế cho cụm từ “hợp đếm được của,\ Khi ta nói một họ là hữu hạn địa
phương đếm được có nghĩa là họ đó đếm được và hữu hạn địa phương.

1.9.6.

Định nghĩa ỉàm mịn, làm mịn mở, làm mịn dóng:


23

- B được gọi là một cái mịn của A (hay B làm mịn A) nếu mỗi phần tử

Be B tồn tại phần tử Ae A sao cho AD B.
- B được gọi là một cái mịn mở của A (hay B làm mịn mở A) nếu B là

một cái mịn của A và các phần tử của B là các tập mở.
- Tương tự, cái mịn B của A mà các phần tử của B là các tập đóng thì B

gọi là cái mịn đóng.

Bổ đề:

1.9.7.

Cho X là không gian mêtric hóa được. Neu U là một phủ mở của X thì
tồn
tại phủ mở V của X làm mịn U và hữu hạn địa phương đếm được.

Định lý mêtric hóa Nagata-Smirnov

1.10.

1.10.1.

Tập họp dạng Gổ:

1.10.1.1.

Định nghĩa:

Tập con của không gian tôpô được gọi là tập hợp dạng Gs khi và
chỉ khi nó là giao của một họ đếm được các tập con mở của không gian đó.

1.10.1.2.

Hệ quả:

- Trong không gian mêtric X, mỗi tập đóng là tập dạng Gs- Cho / là hàm thực liên tục trên không gian tôpô X. Khi đó,


24

Cho X là không gian chính qui có cơ sở ơi là hữu hạn ơ-địa
phương. Thì X chuẩn tắc và mỗi tập đóng trong X là tập dạng Gs trong X .

1.10.2.

Tập họp dạng Fơ:
1.10.2.1. Định nghĩa: Tập con của không gian tôpô được gọi là

tập hợp dạng Fơ khi và chỉ khi nó là họp của một họ đếm được các tập con
đóng của không gian đó.

1.10.2.2.

Hệ quả:

Trong không gian mêtric X, mồi tập mở là tập dạng Fơ.

1.10.2.3.

BỔ đề:

Cho X là chuẩn tắc và A là tập đóng dạng Gs trong X. thì tồn tại
hàm liên tục/: X —> [0, 1] sao cho/(x) = 0 vói jteA và/ộc) > 0 vói X & A .

1.11.

1.11.1.

Không gian compact

Định nghĩa phủ, phủ mở, phủ hũn hạn:

Cho X là không gian tôpô, tập Acl Một họ {va}aei các tập con của X
được gọi là một phủ của A nếu A c lJva.
ael
Khi đó:
- Neu Va là tập mở, \/OE I thì {va}aei được gọi là một phủ mở của A.
-

Định nghĩa phủ con, phủ con hữu
hạn:


25

Cho X là không gian tôpô, tập A / c I mà {Va)a&j cũng là một phủ của A thì {va)a&j được gọi là một phủ con
của {Va}oEi • Neu tập J hữu hạn thì {Va}aeJ được gọi là phủ con hữu hạn của
{ Va}ael •

1.11.2.

Định nghĩa không gian compact:

Một không gian tôpô được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở
của nó đều có chứa phủ con hữu hạn.
Tập con A của không gian tôpô (X, t) được gọi là tập compact nếu (A,
TA)
là một không gian compact, vói TA là tôpô cảm sinh bởi tôpô T trong X.
Một cách tương đương:
Tập con A trong không gian tôpô X được gọi là tập compact nếu mọi phủ
mở của A đều có chứa phủ con hữu hạn.

Nhận xét:
- Họp của hữu hạn các tập compact của một không gian tôpô là tập

compact.
- Cho X là không gian compact, Y là không gian tôpô thì phép chiếu

KỴ : X X Y —> Y là ánh xạ đóng.

1.11.3.

Định lý:

a) Tập con đóng của không gian compact là tập compact.

h) Tập con compact của không gian compact là tập đóng.
c) Không gian compact, Hausdorff là không gian chuẩn tắc.
d) Cho ánh x ạ f : X ^ Y liên tục và A là tập con compact trong X . Thì


26

1.11.4.

Compact hóa

Các không gian compact là những không gian tôpô quan trọng nhất. Vì
vậy một vấn đề lý thuyết được đặt ra là: cho một không gian không compact
X, có hay không một không gian compact Y sao cho X là một không gian

con
trù mật khắp noi trong Y ?

1.11.5.1.

Định nghĩa:

Cho không gian X không compact. Không gian compact Y
cùng
vói ánh xạ h : X —> Y sao cho h là phép đồng phôi từ X lên h ( X ) và h ( X )
trù
mật khắp noi trong Y được gọi là một compact hóa của không gian X.

Chú thích:
Ánh xạ /ỉ : X —> Y (vói X, Y là các không gian) được gọi là
phép
nhúng X vào Y nếu h : X —> h ( X ) là phép đồng phôi.

1.11.5.2.

Compact hóa Alexanderov:

Compact hóa Alexanderov là compact hóa đon giản nhất một
không gian không compact X bằng một điểm. Ta xây dựng như sau:
CO

i) Thêm vào X một điểm tùy ý không thuộc X mà ta ký hiệu là
ỉ ĩ ) Xác định trên Y := X u {°o} một họ T - { u c Y I u là tập