K lý thuyết đối với không gian phân lá của phân lá reeb và một vài MD phân lá

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI
HỌC
sư PHẠM
TP.HIỆU
HỒ CHÍ MINH
DANH
MỤC
CÁC KÝ

K - LÝ THCYỆT ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN PHÂN LẢ
CỦA PHẦN LÁ REEB VÀ MÔT VÀI MD - PHẲN LẢ

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009


MỞ ĐÀU

1. Lí do chọn đề tài

Đa tạp phân lá là một nhánh tương đối mới mẻ thuộc lĩnh vực Hình học vi phân.
Mặc dù ở địa phương, mọi phân lá k chiều trên một đa tạp vi phân n chiều đều hoàn
toàn giống nhau-cụ thể là chúng luôn có “dáng điệu” của phân lá tầm thường nhưng
trên toàn cục thì chúng có thể rất khác nhau. Bởi thế, khi nghiên cứu phân lá, ta chỉ
quan tâm đến các vấn đề toàn cục, tức là nghiên cứu những yếu tố bất biến qua các
phép tương đương tôpô. Chẳng hạn như tìm hiểu số các lá đóng, lá tuần hoàn, lá trù
mật hay lá compact,... của từng kiểu phân lá.

Một yếu tố phản ánh khá tốt thông tin của phân lá (V,F) là không gian lá V/F

của phân lá đó. Tuy nhiên, dù các đa tạp phân lá có tôpô tốt (do có cấu trúc vi phân),
nhưng không gian lá của nó thường lại rất xấu, có thể không Hausdorff, thậm chí là
không nửa tách. Mà ta đã biết, khi tính K- lý thuyết hình học của một không gian tôpô
X, ta hay thay X bởi một

c* - đại số C Q {X)

. Với tôpô xấu của V/F thì cách thay

thế này không còn phù họp vì C0(U/F) không cho ta thông tin cần thiết về phân lá
(V, F) . Đây là một cản trở lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá.


ra vào năm 1974. Nhờ phương pháp này các nhà toán học đã mô tả được khá nhiều các

- đại số. Việc dùng phương pháp K - hàm tử để mô tả
phân lá gọi là K-lỷ thuyết của phân lá đó.

c*

- đại số liên kết của một

Ta đã biết K — lý thuyết của một số phân lá đơn giản đã được giải quyết. Năm
1980, Pimsner và Veiculeseu đã tính Ẫ^-lý thuyết của phân lá Kronecker. Ngay sau

- đại số liên kết của phân lá Reeb trên s 3 cũng được mô tả. Năm 1984, A. M.
Torpe đã giải quyết cho các phân lá Reeb trên T 2. Đen năm 1990, Lê Anh Vũ cũng
thành công trong trường họp phân lá tạo bởi các K - quĩ đạo chiều cực đại của lóp
nhóm Lie MD4.

Sau khi tìm hiểu và nhìn nhận vấn đề, chúng tôi thấy thú vị với việc mô tả


thuyết của một phân lá. Sau đó chúng tôi cố gắng cụ thể hóa quy trình chung đó cho
một số phân lá cụ thể để từ đó vấn đề đuợc sáng tỏ hon.

3. Ý nghĩa khoa học của luận văn

Đen nay số lượng công trình về tính K — lý thuyết của phân lá còn khá khiêm
tốn, K — lý thuyết của rất nhiều phân lá vẫn chưa được nghiên cứu. Do vậy, luận văn ít
nhiều cung cấp được các kiến chuẩn bị hữu ích cho những độc giả mới bắt đầu tìm hiểu

lý thuyết của phân lá. Đồng thời với việc mô tả các

c*

-đại số bằng phương pháp

K - hàm tử, ở gốc độ nào đó luận văn tiếp cận được một số vấn đề của đại số toán tử.

4. Cấu trúc luận văn

tham khảo số 1.


Chương 1

MỘT SỐ VẤN ĐÈ VÈ K-LÝ THUYẾT CỦA c* - ĐẠI SỐ

Trong chưcmg này, phần đầu chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức chuẩn
bị về c* - đại số cần thiết cho các tính toán ở các chương 2 và 3. Bên cạnh đó, cùng
với việc xây dựng các K - nhóm và các dãy khớp K - nhóm, chúng tôi có tính chi tiết
các K -nhóm của một vài c* - đại số như c, C(S l ), C0(R) hay M n {C). Đây chính

là xuất phát điểm để chúng tôi tính toán các K - nhóm được đề cập đến trong phần
chính của luận văn. Một trình bày đầy đủ hơn về nội dung của chương này, độc giả
quan tâm có thể tham khảo trong [4], [5], [10] và [12].

1.1 Một số vấn đề về c* - đại số

Mục tiêu của phần này là cung cấp cho độc giả các ví dụ kinh điển về c* - đại


1.1.2 Các ví dụ

(i) Đại số M n (C) là một

c* - đại số nếu xét các ma trận như là các toán tử trên

không gian Euclide C", và dùng chuẩn toán tử ||/|| = sup |||/(v)||:veC\||v|| = lỊ cho

các ma trận. Còn ánh xạ đối họp chính là phép chuyển vị và liên họp *: A h-» A*.

(ii) Không gian C(Ti) các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert Ti

là một c*-đại số với ánh xạ đối họp * : x i — l à

toán tử phụ họp của toán tử

XTí —ỳ’ Ti.

(iii) Xét không gian Hausdorff compact địa phưong X, không gian C Q (X) các


1.1.3 Tích xiên (xem [4, tr. 175-177])

Cho A là một c* - đại số, H là nhóm Lie compact địa phương và
a: H —» AutA là một tác động liên tục của H lên A. Tức là với mỗi heH,

là một *—tự đẳng cấu của A và với mồi ae A, ánh xạ h a h {a) liên tục

theo chuân. Khi đó, ta xác định một

c*

- đại số A- Ax ư H gọi là tích xiên của A và

H bởi tác động a như sau:

Xét không gian véctơ C c {H,A) (các hàm phức liên tục có giá compact từ H
vào A) với phép nhân và phép đối họp như sau (dh là độ đo Haar trái trên H):
f\-fi(h) =\f\ ị K)' a h ị

[fi(K' h j)dh\> với /„/2 heH,


2

2ơ

2ơ

2

11

+ AxH-

■>BxiH -> 0.

Thì tồn tại duy nhất một *-đồng cấu ỵ: B —» A sao cho ỵ° Pi = qị (i = 1,2).
- đại số ^4 và cặp
(ii) đồng
Bộ ba cấu
(A,ppịiA->
Aị chất
(i =phổ1,2)
dụng,
đuợc
tức là
gọivớilàmọi
tíchbộ thớ
ba (B,q
(hayx ,qcòn
gọi
x ,p 2 ) có tính
2 ) có
là sơ đồ kéo lại) của tính
cặp (ơ

chất
thỏa
và 2làm
điều
cho
kiện
sơ sau:
đồ sau giao hoán:
ì ,ơtương
2) nếu tự

1.2 Một số vấn đề về K-lý thuyết
B—^—>4
(i) Có sơ đồ giao hoán:

42 ị

A 2 - > A'

ịơl

K - lý thuyết đại số là một lý thuyết đồng điều suy rộng và việc tìm hiểu K — lý
thuyết là một vấn đề không hề dễ dàng. Tuy nhiên, vì mục tiêu của luận văn, ở đây
A—>4
chúng tôi chỉ trình bày một cách đơn giản nhất việc xây dựng
K — lý thuyết cho một

c* - đại số. Các ví dụ trong phần này đều là các kết quả cần thiết cho việc tính toán
K — lý thuyết của các phân lá trong chuông 3.
P2 ị

ịơì


1.2.1 Phân thớ véctơ (xem [5, tr.4- 9])

Một phân thớ véctơ n chiều trẽn không gian Hausdorff compact X là cặp
(E, p) gồm không gian tôpô E và ánh xạ liên tục p: E —» X thỏa các điều kiện sau:

(i) Mỗi

X e

X, thớ E x = ĩr~ x {x) trên X có cấu trúc của một không gian véctơ

n chiều.

(ii) Tất cả các thớ được “buộc” với nhau một cách liên tục bởi các tầm thường
địa phương.

Các ví dụ cơ bản của phân thớ véctơ là phân thớ tiếp xúc TM và phân thớ đối
tiếp xúc TM* trên một đa tạp compact M, ví dụ TS n ~ x = {(x,v) e s n ~ l xR" :x.v = 0}.
Trong luận văn này chúng ta chỉ xét các phân thớ véctơ phức.

Neu (E, p) là một phân thớ véctơ trên X, một nhát cắt của E là một hàm liên


[uv] = [u][v] =

Ta ký hiệu P n {A) - P[M n {A)) và U n {Á) = U[M n {Á)] trong đó P(B) (tưong

u 0^
ứng u(B)) ký hiệu tập họp các phép
chiếu {p eB: p = p 2 = p*} (tương ứng các phần
và u ~
01
M x (A) = [f^M n (Ã)và U„(A) = \XjJ n (Ằ).
ta lần luợt ký hiệu các tập P^{ A) = U“=1 P n (A)

p ~

Mọi A -môđun xạ ảnh hữu hạn sinh đều có dạng V = {£ E M ỉ x n (A)

=

Cp}

P n (A) và số nguyên duơng n, ở đây hiển nhiên A tác động lên V p theo quy
tắc (a.^)ị = a£ị. Với p,q
đó ta viết p ~ q.

E

P^iA), thì v=v 0(3 UE M a 0 (A): u*u - p,uu* = q ), khi


= [w@v], u,v e Ư^Á)
Một số tỉnh chất của các K-nhóm:
Vỉ dụ. Nếu Xlà không gian co rút được thì Kị (C(X)) = Kị(C). Thật vậy, ta gọi
{ht:te

[0,1]} là phép đồng luân với \ - idỵ,

/z0 (x) = x ữ E X,

Vx e X.

(i) Kị (i = 0,1) là các hàm tử hiệp biến từ phạm trù các c* - đại số đến phạm
trù

các nhóm aben, tức là nếu 0

G

Hom(A,B ) là một đồng cấu giữa các

c*

- đại số,

thì tồn tại các đồng cấu nhóm Kị{0) = 0*: Kị(A) —» Kị(B) (;i = 0,1) thỏa mãn các điều
= (<í>01)Nc:A->M
=id, nên từ
sơ đồ thứ hai ta thấy ngay ỹ* là đẳng cấu và
(iii)Vì (0O)*Nếu
(A),
n
0{a) =

(x,Ã ).{y,ju) = (xy + Ẫỵ + jux,Ẳju)
K,(A) -> K( )) là đẳng

à ||(x,/l)|| = sup|||XÚ! + Àữịị: a E A,ịaị = lỊ
Với phép cộng và phép đối họp theo từng thành phần và đơn vị là (0,1). Hơn
(iv) Bất biến đồng luân. Nếu {0 t :t e [0,1]} là một họ liên tục các đồng cấu
nữa ánh xạ s : Ả —» c, s(x,Ã) = Ã là một *-đồng cấu giữa các c* -đại số có đơn vị và
từ A
kers - A.


ổ

0^

ịậị

K 0 (C) i —— 0 <—J-— K ữ (C0((0,1»)
Với c*-đại số không có đơn vị Ả, ta định nghĩa Kị(Ẩ) = ker£* trong đó

có ^,.(C0(R)) = ^(C0((0,l))) = /s:f+1(C)
s m : K i (Từ
Ả ) -đây
^ K ta
i ( C ) ( / = 0, 1) .
1.2.3 Dãy khớp 6 thành phần trong K-lý thuyết

Nếu 0 —» J——>Ẩ— — > 0

(1.3).

(1.1) là dãy khớp ngắn các

c* -đại số, thì

tồn tại một dãy khớp 6 thành phần các K - nhóm liên kết với dãy khớp ngắn trên:

í

K ữ (B)^-K ữ (A)^-K ữ Ụ)

ị'-5'

(1.2)


v

'

10, nẽu n * i (mod2).

Tương tự trên, ta áp dụng cho C0(M,y4) (các hàm liên tục /: R —» A triệt tiêu
ở vô cùng) ta có kết quả Kị(C0(R, A)) = K ị + Ỉ (A).

Tiếp theo, xét dãy khóp ngắn chẻ ra 0—»C 0(R")—J —^C{S n )—^-^C—»0
(chẻ ra vì tồn tại đồng cấu nhúng 77:

c -» C(S

n

) thỏa ev w o

77

= id c), thì ta có các dãy

khóp ngắn các K - nhóm chẻ ra sau:

K,(M m (Q)sK t <ỉ C)s|j nếu i = 0,
nếu 7 = 1.

Nếu một trong hai *-đồng cấu ơị, ơ 2 là toàn cấu,
Aj thì
—-—>
A—
tích thớ
A' trên sẽ sinh ra
P2
ơỉ
i i
(1.4)
1

dãy khóp Mayer-Vietoris như sau:

ơ2


ổ

K X {A
)

ữ^

■>^(4)0^)

> K X (A')

K 0 (A')^^_ K 0 (4)®K 0 (A 2 )< --------------------- K ữ (A)

Việc tính các *-đồng cấu (TỊ* -
1.3 JĨJĨ-nhóm của Kasparov (xem [1, tr.64-67])

c* - đại số cho trước, J có đơn vị xấp xỉ, còn B hạch và
tách được. Xét các mở rộng c* - đại số dạng 0 — » 5 — » 0 (1.6).
Giả sử J, B là các

Lưu ý rằng có một song ánh giữa các mở rộng (1.1) và các mở rộng (1.6). Mà
các mở rộng dạng (1.6) lại tương ứng 1-1 với các đồng cấu (p:B —» oụ ®k) từ B
vào đại số đa nhân tử ngoài trên J®k, ọ được gọi là bất biến Busby của mở rộng
(1.6). Ta sẽ đồng nhất mở rộng (1.6) với A cũng như với bất biến Busby (Ọ của nó.


Mặc dù mỗi mở rộng (Ọ xác định một phần tử duy nhất của Ext(B,J ). Nhưng
mỗi phần tử Ext(B,J) không đủ xác định một mở rộng (p mà chỉ xác định duy nhất
một lóp tương đương unita các mở rộng hấp thụ, tức là một phần tử của nhóm
Ext a (B,J). Nói rõ hơn Ext(B,J ) = Ext a (B,J).

Tuy nhiên, với mỗi mở rộng (Ọ dạng (1.6) hoặc (1.1) có duy nhất một mở rộng
hấp thụ (Ọ x sao cho (p®(p x lại hấp thụ. Bởi vậy, một phần tử của Ext(B,J ) chỉ xác
định cái gọi là “kiểu ổn định ” của mở rộng (Ọ.

Bất biến chỉ số của

c* - đại so. Theo trên, mỗi mở rộng dạng (1.1) xác định

duy nhất một phần tử ỵ của nhóm Ext(B,J ). Ký hiệu Y = ỉndexA và gọi là chỉ số của

c* - đại số A .


Chương 2

MỘT SÓ VẤN ĐÈ VÈ PHÂN LÁ VÀ K-LÝ THUYẾT CỦA PHÂN LÁ

Tôpô phân lá xuất hiện một cách tự nhiên từ việc tìm nghiệm của các phương
trình vi phân và các hệ khả tích, và trở thành một lĩnh vực được nghiên cứu độc lập sau
công trình nổi tiếng của Ehresmann và Reeb. Kể từ đó lý thuyết phân lá không ngừng
được phát triển và trở thành một ngành toán học khá phong phú bởi Reeb (1952),
Haeíliger (1956), Novikov (1964), Thurston (1974), Molino (1988) và đặc biệt là Alain
Connes với công trình xây dựng c* - đại số liên kết với phân lá.

2.1 Một số vấn đề về tôpô phân lá

Mục tiêu của phần này là cung cấp cho độc giả một số kiến thức mở đầu về đa
tạp phân lá, và ví dụ mà chúng tôi dùng thường xuyên để minh họa cho các khái niệm
ở đây là phân lá Kronecker. Phần lớn nội dung ở đây được tham khảo từ [1], [11].

2.1.1 Định nghĩa phân lá (xem [1, tr.41 -42])


(đối chiều n-k) trên V, ký hiệu là (V,F); V được gọi là đa tạp phân lá. Mỗi
đa tạp con liên thông đường tối đại của F trong V được gọi là một lá của phân lá
(V,F). Mỗi lá là một đa tạp con dìm k chiều của V, ta cũng ký hiệu tập các lá này
bởi chính ký hiệu F.

Một tập con A của đa tạp phân lá V được gọi là bảo hòa đối với phân lá (V,F)

Ổ

2x X 2 I\-X 2 ỡ . X

d
F(,x ữ ,y ữ ) = <

i:Oo>To)+ -

,2-g '

1^

-i-(xo,y0), nếux0 G(-l,l),

Q

^-(l,y0), nếu XQ = l.

F là một trường vécto tron một chiều trên V, do đó tính khả tích của nó là tầm

thường. Hơn nữa, các đường cong tích phân thông thường của trường véctơ này chính
là họ F được xác định như trên, cần chú ý rằng đa tạp V có biên là họp của các


1Ịk

101
Hình 2.3

Vỉ dụ 2 (Phân lả Kronecker). Xét M = {(x,y): X E [0,1], y E [0,1]} , phân hoạch
M thành P{M) họ các đoạn thẳng song song có hệ số góc k (ta chỉ cần xét k> 0).

Đồng nhất các biên đối diện của M ta thu được xuyến T2. Khi đó mỗi họ các đoạn
thẳng của P(M) “nối được” với nhau (tức điểm cuối của đoạn này đồng nhất với điểm

đầu của đoạn kế tiếp) sẽ tạo thành một lá trên T 2. Tức ta thu được một phân lá trên
T2, phân bố khả tích 1 chiều xác định phân lá này là ảnh của trường véctơ song song


2.1.3 Kiểu tôpô phân lá

Cho (Yị^ị) là các phân lá kị chiều trên các đa tạp ĩiị chiều Vị (i = 1,2). Hai
phân lá (F1,F1),(C2,F2) đuợc gọi là cùng kiểu tôpô phân lá nếu tồn tại phép đồng phôi
/: Vị —» F2 biến mỗi lá L

G Fj

thành lá /(Z) E F2.

Nhận xét. Vì phép đồng phôi bảo toàn số chiều của đa tạp, nên hai phân lá cùng

kiểu tôpô thì chúng cùng chiều và đối chiều. Ta có, quan hệ cùng kiểu tôpô là quan hệ
tuơng đuơng và trong nghiên cứu tôpô phân lá, hai phân lá cùng kiểu tôpô đuợc xem là
một (tức là xét không gian các lóp tôpô phân lá với quan hệ tuơng đuong trên).

Vỉ dụ. Tất cả các phân lá Kronecker ứng với k e Q đều cùng kiểu tôpô với

nhau, và cùng kiểu với phân lá j s l

2.1.4 Không gian lá

X {a} Ị

của T

2

.


<=> {p X {A) K J L_ là lân cận mở của L_ trong V)

(p~ l (A) chứa trọn vẹn một đường thẳng nào đó song song với L_ trong V)

oJ = loơ = lu{-}.

Trường hợp 3. G - A u {+} hoặc G - A u {-} u {+}, A c= R, lập luận tương tự
trường họp 2 ta cũng có A = R.

Ket luận. V/F = R u {-} u {+} với tôpô gồm các tập G mở như sau: G mở
thông thường trong R, ơ = 1Ru{-}, G = lu{+}, G = v/F.

Phân lả cho bởi tác động của nhóm Lie. Cho (V,F) là một phân lá, và H
là
một nhóm Lie. Nếu H tác động liên tục lên đa tạp phân lá V sao cho mỗi lá là và chỉ
là một H - quĩ đạo, thì phân lá (V,F) được gọi là cho bởi tác động của nhóm Lie H.
Khi đó, không gian lá VỊF chính là không gian VjH các H - quĩ đạo.

2.1.6 Phân lá đo được (xem [1, tr.44-45])

Xét phân lá (V,F) và T là một đa tạp con hoành của phân lá (V,F). Khi đó ta
có thể chọn một bản đồ phân lá (U,tương ứng 1-1 với các điểm của Tnư, tức là mỗi tấm trong u cắt T tại một và chỉ
một điểm. Một tập con Borel B của đa tạp phân lá V được gọi là tập hoành Borel nếu
với mỗi lá L của phân lá thì tập

đếm được. Chú ý rằng mỗi tập hoành Borel đều

là họp đếm được của các tập hoành Borel B kiểu sau: Tồn tại đơn ánh y/ :B -+ T7 từ B
vào một đa tạp con hoành T nào đó sao cho y/(x) thuộc lá chứa X với mỗi xeB.


Trước tiên ta xét trường họp phân lá đơn cho bởi phép ngập p :V -» B (tức
F x = kerp^ x ,\/x eV), vì p(*0) = p(x 0 ') = y 0 eB. Nên p sẽ cảm sinh các etale-ánh
xạ (tức là ánh xạ có ánh xạ tiếp xúc đơn ánh tại mọi điểm) từ các đa tạp hoành đến B.
Do đó, tồn tại các lân cận mở v,v' theo thứ tự của x 0,x0' trong T,T’ sao cho
p:v—»p(v),p:v'

p(v') là các vi phôi. Khi đó, bằng cách thu hẹp v,v' sao cho

p{v) = p(v '), ta thu được một vi phôi 0 :

V

-» v' bảo toàn tính thuộc lá của mỗi điểm,

và 0 được gọi là trượt dọc các lá. Bây giờ với một phân lá tổng quát ta sẽ xây dựng
một xích các tập mở đơn từ x ữ đến x ữ'.

Để làm điều đó trước tiên ta chọn một đường liên tục Ỵ: [0,1] —» L, y(0) = x0,
/(1) = x 0 L ấ y t 0 - 0 < tị < t 2 <... < t k - 1 là một phân hoạch của [0,1] sao cho: Với

= 1 ,k) thì ỵ([tị_i,ti]) chứa trong một tập con mở đơn Uị của V (điều này có


Đặc biệt khi x 0 ' = x 0 , T r = T thì h ỵ là một mầm tại x0 của một vi phôi địa
phương của T bảo toàn x0. Neu Y\ là một loop khác tại x0 trong L và nếu Y*ĩ\ là
tích của hai loop thì h ỵ m y =h ỵ oh ỵ .

Vì h Ỵ chỉ phụ thuộc vào [ỵ] nên tương ứng [/] -> h xác định một đồng cấu
nhóm h :ỉĩị(L,x o) ->Diff (T) từ nhóm cơ bản của L tại x0 đến nhóm các mầm
của các vi phôi địa phương của T bảo toàn x0. Khi đó h x được gọi là biểu diễn
holonomy của L tại x0, và nhóm h x (ỉĩị(L,x o)) được gọi là nhóm holonomy của lá L
tại x0. Ta để ý rằng nếu T' là một tập hoành khác qua x 0 thì trượt dọc các lá trong một
lân cận mở đơn tùy ý của x0, ta có sự đồng nhất chính tắc giữa mầm của T tại x0 với
mầm của T' tại x0, do đó đồng nhất Diff x (T) với Diff x (T } ). Qua phép đồng nhất
này thì nhóm holonomy của L tại x0 được định nghĩa không phụ thuộc vào T. Do đó
nếu cần, thay vì tính toán trên các mầm của các đa tạp con hoành ta có thể xem
h Ỵ =h X ữ ([y]) như là một mầm của một vi phôi địa phương của một đa tạp thương địa

phương tại x0.


2.2

c* - đại số liên kết vói phân lá

Đây là một đóng góp đặc sắc của Alain Connes đối với sự phát triển của lý
thuyết phân lá. Trong phần này chúng tôi nêu lại các bước xây dựng

c* - đại số liên

kết với phân lá cùng các tính chất của nó, và đặc biệt quan tâm đến trường họp phân lá
cho bởi phân thớ cũng như phân lá cho bởi tác động của nhóm Lie. Độc giả muốn tìm
hiểu đầy đủ hơn nội dung này có thể tham khảo trong [3].

2.2.1 Đồ thị của phân lá (xem [1, tr.58])

Cho (V,F ) là một đa tạp phân lá, ta sẽ xây dựng một đa tạp G, có số chiều
dim G = dim V + dim F gọi là đồ thị của phân lá (V, F).

Một phần tử ỵ của G được cho bởi hai điểm X = s(ỵ),y = r(ỵ) trong V và một
lóp tương đương của các đường trơn ỵ(t),t

E

[0,1],/(0) = x,ỵ(ì) = y tiếp xúc với phân

lá F (tức là y\t) e F ỵ ụy Ví E [0,1], điều này suy ra x,y thuộc cùng một lá) bởi quan

với cùng các tập hoành là trùng nhau nếu nó đồng nhất trên một tập con mở của miền
xác định có bao đóng chứa X.

2.2.2 Không gian các nửa mật độ

Cho (V,F) là phân lá k chiều định huớng được, mỗi X E V ta định nghĩa:

n'J :=
e K}
2

ịp: ÁkFx ->c: p(Ầv) = |/t|V2

Vv e V/l

Trong đó A k F x là không gian véctơ thực một chiều các k - dạng tuyến tính đan
trên F x (tức là với một bản đồ địa phương của L tại
{dx l

Aắx2 A . . . A dxk}).

X

thì A k F x có cơ sở là

Ta thấy ngay Qxị2 cũng là một không gian véctơ phức một