K - lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 - phân lá

1
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Lê Anh Vũ. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã
được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả của luận án là
mới và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả
Dương Quang Hòa
2
Mục lục
Trang
Lời cam đoan 1
Mục lục 2
Danh mục các ký hiệu 3
MỞ ĐẦU 5
Chương 1 – K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD(5,4)-NHÓM
1.1. Các MD-nhóm và MD-đại số 13
1.2. Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo 19
1.3. Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm 22
Chương 2 – LỚP MD(5,4)-PHÂN LÁ
2.1. Phân lá 26
2.2. Tôpô phân lá 29
2.3. Phân lá đo được
2.4. Phân loại tôpô các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm

Chương 3 – K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC MD(5,4)-PHÂN LÁ
3.1. C*-đại số Connes liên kết với phân lá 40
3.2. Phép đặc trưng các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử 50
3.3. K-lý thuyết đối với phân lá 57
3.4. K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá 59
KIẾN NGHỊ VÀ KẾT LUẬN 78

Danh mục các công trình của tác giả 80
Tài liệu tham khảo 81
3
Phụ lục 85
Danh mục các ký hiệu
⊕
: Tổng trực tiếp
,
⊗
S
: Tích tenxơ và tích tenxơ ngoài
■ : Kết thúc một phép chứng minh
Ad : Biểu diễn phụ hợp
ad : Vi phân của biểu diễn phụ hợp
AutG
: Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G
µ
A A G
ρ
=
ã
: Tích xiên của
A
và G bởi tác động
ρ
, £ ¡
: Trường số phức, trường số thực
( )
C X
: C*-đại số các hàm phức liên tục trên

X
( )
0
C X
: C*-đại số các hàm phức liên tục trên
X
triệt tiêu ở vô cùng
( )
²
2
0
C ¡
: Đơn vị hoá của C*-đại số
( )
2
0
C ¡
( )
c
C H
∞
: Không gian các hàm trơn trên H có giá compact, nhận giá trị phức
( )
1/ 2
,
c
C H
∞
Ω
: Không gian các nửa mật độ trên H

( , )C V F
∗
: C*-đại số Connes liên kết với phân lá
( , )V F
( , )
c
C G A
: Không gian các ánh xạ liên tục có giá compact từ G vào
A
End(G) : Không gian các đồng cấu trên G
exp : Ánh xạ mũ exp
( , )Ext B J
:
KK
−
nhóm của Kasparov
( )
Lie G=G
: Đại số Lie của nhóm Lie G
4
G* : Không gian đối ngẫu của đại số Lie G
( )
( )
1
1
GL C S
: Tập các ma trận cấp 1 khả nghịch với phần tử thuộc
( )
1
C S

( )
( )
0 1
2
GL C S
:
( )
( )
( )
1
2
exp Mat C S=
– thành phần liên thông đường của ma trận
đơn vị cấp 2 với phần tử thuộc
( )
1
C S
Index A
: (Hệ) bất biến chỉ số của C*-đại số
A
( )
i
K A
:
i
K
−
nhóm của C*-đại số
A
K

: C*-đại số các toán tử compact trên không gian Hilbert vô hạn
chiều tách được
( )
2 1 2
,
x
L H
Ω
: Không gian các nửa mật độ trên
x
H
bình phương khả tích
( )
n
Mat A
: Tập hợp các ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc A
( )
( )
2
2
P C S
:
( )
( )
( )
2
2
P M C S
=
– tập các phần tử chiếu (projection) của C*-

đại số các ma trận vuông cấp 2 với phần tử thuộc
( )
2
C S
n
S
: Mặt cầu đơn vị n-chiều
TV : Phân thớ tiếp xúc của V
( )
,V F
: Không gian phân lá.
/V F
: Không gian các lá của phân lá
( )
,V F
F
Ω
: Quỹ đạo Kirillov qua F
( )
1/ 2
x
x V
∈
Ω
: Phân thớ các nửa mật độ trên V
( )
F
Ω
G
:

{ }
|
X
F X= ∈ G
Λ
: Độ đo hoành (đối với phân lá)
( )
0 1
,
δ δ
: Cặp đồng cấu nối trong dãy khớp tuần hoàn 6 thành phần
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xuất phát điểm của vấn đề mà chúng tôi quan tâm là bài toán “Đi tìm lớp
các C*-đại số có khả năng đặc trưng được bằng phương pháp K-hàm tử”.
Năm 1943, I. Gelfand và A. Naimark ([13]) đưa ra khái niệm C*-đại số.
Các C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật lý.
Tuy nhiên chính vấn đề mô tả cấu trúc các C*-đại số trong trường hợp tổng quát
lại rất phức tạp và cho đến nay vẫn còn là một bài toán mở.
Năm 1975, theo một gợi ý của A. A. Kirillov về việc “Đặc trưng (cấu trúc
toàn cục) C*-đại số của một lớp các nhóm Lie giải được bằng các K-hàm tử
đồng điều”, Đ. N. Diệp ([11]) đã thành công trong việc sử dụng các K-hàm tử
đồng điều của Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi là K-hàm tử BDF) để đặc trưng
C*-đại số C*(Aff
¡
) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng thực
¡
. Năm 1976, J. Rosenberg ([18]) đã sử dụng phương pháp tương tự để đặc
trưng C*-đại số C*(Aff

£
) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng
phức
£
và C*-đại số của một vài nhóm Lie giải được khác. Trong công trình
này, J. Rosenberg đã gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn cục của C*-đại số
bằng các K-hàm tử BDF là phương pháp của Diệp (Diep’s method). Năm 1977,
Đ. N. Diệp ([12]) đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng các C*-đại số
kiểu I bằng các mở rộng lặp nhiều tầng.
Đến lúc này, các K-hàm tử BDF dường như không còn thích hợp với việc
đặc trưng cấu trúc cho lớp các C*-đại số phức tạp hơn. Từ đó, một cách tự nhiên,
nảy sinh hai vấn đề lớn như sau:
6
• Vấn đề 1: Tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo cách nào đó để có
thể đặc trưng được một lớp rộng hơn các C*-đại số.
• Vấn đề 2: Đi tìm và khảo sát lớp rộng hơn các C*-đại số hoặc lớp
các nhóm Lie mà C*-đại số của chúng có khả năng đặc trưng được bằng các
K-hàm tử mở rộng.
Năm 1980, G. G. Kasparov ([14]) đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành
công trong việc tổng quát hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán
tử (còn gọi là các KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều. Như một áp
dụng đầu tiên, Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-
đại số C*(H
3
) của nhóm Heisenberg H
3
.
Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý rằng phương pháp K-hàm tử
thường thích hợp với các C*-đại số có cấu trúc phổ (tức là không gian các lớp
tương đương unita của các biểu diễn bất khả quy với tôpô được cảm sinh từ tôpô

Jacobson) không quá phức tạp. Đối với C*-đại số nhóm, phổ của nó có thể đồng
nhất với đối ngẫu unita của nhóm (tức là không gian các lớp tương đương unita
của các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm).
Đặc biệt đối với các nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy
rằng tập đối ngẫu unita của nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian các K-quỹ
đạo (hay quỹ đạo đối phụ hợp) của nó. Do đó, việc chọn lớp các nhóm Lie có
không gian các K-quỹ đạo không quá phức tạp cho phép ta đặc trưng các C*-đại
số nhóm của chúng bằng phương pháp K-hàm tử.
Dựa trên ý tưởng đó, năm 1980, Đ. N. Diệp đã đề nghị xét lớp các C*-đại
số của các MD-nhóm. Lớp này rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ
đạo nên nói chung C*-đại số của chúng có thể đặc trưng được nhờ các KK-hàm
tử.
7
Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được n chiều (n là một số nguyên
dương). G được gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không
chiều hoặc có chiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vượt quá n. Khi
k n
=
thì G còn được gọi là một
MDn
-nhóm. Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm (tương
ứng
MDn
-nhóm) được gọi là một MDn-đại số (tương ứng
MDn
-đại số). Rõ ràng
lớp
MD
là con của lớp MD. Đến đây, một bài toán lớn được đặt ra là: “Phân loại
các MD-đại số đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-nhóm tương ứng

bằng phương pháp K-hàm tử”.
Năm 1984, H. H. Việt ([35]) đã phân loại triệt để các
MDn
-đại số. Lớp
này chỉ gồm các đại số Lie giao hoán
n
¡
, đại số Lie affine thực Lie(Aff
¡
) và
đại số Lie affine phức Lie(Aff
£
). Ngay sau đó, H. H. Việt đã dùng phương pháp
K-hàm tử để đặc trưng C*
²
( )
Aff£
của phủ phổ dụng
²
Aff£
đối với nhóm affine
phức Aff
£
. Như vậy, cùng với các kết quả có trước của Đ. N. Diệp và J.
Rosenberg, việc nghiên cứu lớp con các
MD
-đại số và
MD
-nhóm xem như đã
được giải quyết triệt để. Bài toán tương tự đối với các MD-đại số và MD-nhóm

vẫn còn là bài toán mở.
Ngoài ra, cũng do sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo đối với lớp
các MD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quỹ
đạo chiều cực đại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A.
Connes ([8]). Các phân lá này được gọi là các MD-phân lá liên kết với các MD-
nhóm đã xét.
Đối với một phân lá
( )
,V F

tùy ý, một trong những bài toán quan trọng
của “tôpô phân lá” là nghiên cứu không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá)
8
của phân lá đó. Tuy nhiên, đáng tiếc là không gian các lá
V
F
thường có tôpô
không Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết đối với không
gian các lá (theo nghĩa thông thường). Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu
tôpô phân lá. Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A. Connes ([8]) đã đề ra ý
tưởng là thay
( )
0
V
C
F
bởi
( )
*
,C V F

, mà từ đó Connes định nghĩa:
( )
( )
( )
( )
*
, , 0,1 .
i
i
V
K K C V F i
F
= =
Như vậy, để nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá
(hay vắn tắt là K-lý thuyết đối với phân lá), ta cần phải tìm hiểu cấu trúc của C*-
đại số Connes
( )
*
,C V F
liên kết với phân lá (hay vắn tắt là C*-đại số của phân
lá). Kể từ công trình [8] của A. Connes, việc nghiên cứu C*-đại số của phân lá
và K-lý thuyết đối với phân lá trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan
trọng thuộc lĩnh vực Hình học không giao hoán do chính A. Connes khởi xướng
vào cuối thập niên 70 của thế kỷ trước.
Vấn đề đặt ra là: “Liệu C*-đại số của các phân lá có thích hợp với phương
pháp K-hàm tử hay không?”. Đáng chú ý, năm 1985, A. M. Torpe ([22]) đã dùng
các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số của phân lá Reeb trên xuyến 2
chiều và một số phân lá trên mặt cầu đơn vị S
3
.

Kết hợp hai hướng nghiên cứu trên làm nảy sinh bài toán “Nghiên cứu K-lý
thuyết đối với không gian lá của các MD-phân lá, đồng thời đặc trưng C*-đại số
của các MD-phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử”. Năm 1990, L. A. Vũ ([2])
đã thành công trong việc nghiên cứu bài toán trên lớp con các MD4-phân lá.
9
Những kết quả ban đầu đạt được trên lớp MD-phân lá đã tạo nên những
động lực cần thiết cho việc tiếp tục nghiên cứu sâu hơn. Trường hợp khả dĩ đầu
tiên mà chúng tôi nghĩ đến là tiếp tục bài toán với số chiều cao hơn, để từ đó làm
cơ sở cho việc phát triển các công cụ cần thiết nhằm giải quyết bài toán trong
trường hợp tổng quát.
Ý tưởng đó đã dẫn đến đề tài “K-lý thuyết đối với không gian lá của một
lớp các MD5-phân lá” của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Anh Vũ.
2. Mục đích của đề tài
Mục đích chính của đề tài là
“
“Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian
lá của một lớp các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực
đại của một lớp con các MD5-nhóm, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các
phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử”. Cụ thể như sau:
1. Trên cơ sở định lí phân loại các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán
của L. A. Vũ và K. P. Shum, chúng tôi mô tả K-quỹ đạo của lớp con các
MD(5,4)-nhóm, tức là các MD5-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân
mà MD5-đại số tương ứng của chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) 4
chiều.
2. Phân loại tôpô trên các MD(5,4)-phân lá tương ứng, tức là các MD-phân
lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD(5,4)-
nhóm được xét.
3. Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá và
đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một lớp con của các MD5-phân lá
được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tương
10
ứng. Cụ thể, chúng tôi xét bài toán mô tả các K-quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhóm
liên thông, đơn liên, bất khả phân.
Tiếp theo, chúng tôi xem xét các MD(5,4)-phân lá liên kết với các
MD(5,4)-nhóm được xét.
Cuối cùng, chúng tôi xét C*-đại số Connes liên kết với phân lá và khảo sát
bài toán đặc trưng C*-đại số của các MD(5,4)-phân lá bằng phương pháp K-hàm
tử.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã áp dụng một số kỹ thuật và phương
pháp như sau:
 Trước hết, chúng tôi đã dùng một số kỹ thuật cơ bản trong phương
pháp quỹ đạo của Kirillov ([15]), đặc biệt là phương pháp mô tả các K-
quỹ đạo đã được L. A. Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm.
 Tiếp theo, chúng tôi dùng một số kỹ thuật của lý thuyết tôpô phân lá.
 Cuối cùng, chúng tôi đã sử dụng các kỹ thuật cơ bản của K-lý thuyết
đối với C*-đại số, đặc biệt là phương pháp đặc trưng C*-đại số của phân
lá bằng các KK-hàm tử đã được nêu ra trong tài liệu [22] của A. M. Torpe
và tài liệu [2] của L. A. Vũ với một vài cải tiến cho thích hợp.
5. Ý nghĩa khoa học của đề tài
Đề tài góp phần chỉ ra lớp các C*-đại số thích hợp với phương pháp K-
hàm tử (Vấn đề 2), đó chính là lớp các C*-đại số Connes liên kết với các MD-
phân lá. Ngoài ra, các kết quả của đề tài còn là những đóng góp cho những thể
hiện, minh họa của Hình học không giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứu
11
K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá nói riêng trên một lớp các phân lá
cụ thể. Vì thế, các kết quả của đề tài là có ý nghĩa khoa học.
6. Bố cục và nội dung của luận án

Bố cục của luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và
phần kết luận.
Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục đích, đối tượng và
phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực
tiễn của đề tài, bố cục và nội dung của luận án.
Ba chương nội dung: Trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu (mà đã
được nêu vắn tắt trong phần mục đích của đề tài) với đầy đủ những chứng
minh chặt chẽ.
Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần được tiếp
tục nghiên cứu.
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại một số Hội nghị Toán học
trong nước và quốc tế:
- Hội nghị Toán học quốc tế về Các phương pháp Hình học trong Động
lực học và Tôpô vào tháng 4/2011 (GEDYTO 2011) tại Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 1.
- Hội nghị quốc gia về Đại số – Hình học – Tôpô tháng 11/2011 tại Đại
học Thái Nguyên.
- Hội nghị quốc tế về Toán học và Ứng dụng vào tháng 12/2011 (ICMA-
UEL 2011) tại Trường Đại học Kinh tế - Luật, ĐHQG-HCM.
- Hội nghị Toán học phối hợp Việt – Pháp (VFJC 2012) tháng 8/2012 tại
Đại học Huế.
12
- Hội nghị Toán học và Ứng dụng tháng 1/2013 (ICMA-MU 2013) tại
Đại học Mahidol, Bangkok-Thailand 1/2013.
Chương 1
K – quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm
Kết quả chính của chương này là Định lí 1.3.1 ở Mục 1.3 về bức tranh
hình học các K-quỹ đạo của tất cả các MD(5,4)-nhóm. Kết quả này được
công bố trong bài báo [3]. Để tiện cho độc giả theo dõi, trước hết chúng tôi
giới thiệu lớp các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)-nhóm, sau đó là khái niệm về

K-quỹ đạo của nhóm Lie, cũng như phương pháp mô tả chúng trước khi đi
vào kết quả chính của chương.
1.1 Các MD-nhóm và MD-đại số
Trong mục này, ta nhắc lại khái niệm MD-nhóm và MD-đại số được
Đ. N. Diệp đưa ra trong [10], để từ đó giới thiệu lớp các MD(5,4)-đại số và
MD(5,4)-nhóm.
1.1.1 Các MD-nhóm và MD-đại số
Giả sử G là một nhóm Lie thực, giải được với G là đại số Lie của G và
*
G

là không gian đối ngẫu của G.
Định nghĩa 1.1.1. Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm nếu
các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại
(không vượt quá số chiều của nhóm). Trường hợp số chiều cực đại đúng
13
bằng số chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính chất
MD
hay là
MD
-nhóm.
Đại số Lie thực, giải được G ứng với MD-nhóm G (tương ứng,
MD
-
nhóm) được gọi là MD-đại số (tương ứng,
MD
-đại số).
Các MD-nhóm và MD-đại số có số chiều n được ký hiệu tương ứng là
các MDn-nhóm và MDn-đại số (hay MD
n

-nhóm và MD
n
-đại số) với n là số
nguyên dương.
Thuật ngữ MD-nhóm, MD-đại số,
MD
-nhóm,
MD
-đại số được dùng
đầu tiên bởi Đ. N. Diệp năm 1980. Ngay sau đó, lớp các MD-đại số và
MD
-
đại số đã được V. M. Sơn và H. H. Việt khảo sát năm 1984 ([35]). H. H. Việt
đã phân loại triệt để lớp
MD
-đại số: các
MD
-đại số không giao hoán là và
chỉ là các đại số Lie của các nhóm biến đổi affine trên đường thẳng thực
hoặc phức. V. M. Sơn đã đưa ra một điều kiện cần để một đại số Lie thực,
giải được là MD-đại số như trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử G là một MD-đại số. Khi đó
[ ] [ ]
2
, , ,
 
=
 
G G G G G
là

một đại số con giao hoán trong G.
Toàn bộ lớp MD4-đại số đã được liệt kê đầy đủ vào năm 1984 bởi Đ.
V. Trà ([1]). Năm 1990, dựa trên liệt kê của Đ. V. Trà, L. A. Vũ đã phân loại
triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4-đại số ([2]). Nói một
cách vắn tắt, bài toán liệt kê và phân loại các MD4-đại số đã được giải quyết
trọn vẹn.
14
Khi
5n
=
, các tính toán trở nên phức tạp hơn. Trong quá trình giải
quyết bài toán liệt kê và phân loại, để đơn giản, L. A. Vũ đề nghị xét từng lớp
con các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán k chiều (
1 4k
≤ ≤
). Năm
2008, L. A. Vũ và K. P. Shum đã hoàn thành việc liệt kê và phân loại lớp con
các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán ([24]). Trên cơ sở đó, chúng tôi
nghiên cứu bài toán của mình đối với lớp các MD5-đại số bất khả phân có
ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều (như đã đề cập ở phần Mở đầu).
Thật ra, nhờ mệnh đề và hệ quả ngay dưới đây, ta sẽ thấy rằng có thể
xét lớp con các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất 4 chiều mà không
cần chú ý đến tính giao hoán của ideal này.
Mệnh đề 1.1.3 ([30, Theorem 2.1.5]). Cho G là một đại số Lie thực, giải được
n chiều
( )
5n
≥
sao cho
1

dim 1n= −G
và
2
G
giao hoán. Khi đó, G là một MD-
đại số khi và chỉ khi
1
G
giao hoán.
Kết hợp Mệnh đề 1.1.2 và Mệnh đề 1.1.3, ta có ngay hệ quả sau.
Hệ quả 1.1.4. Không tồn tại các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất 4
chiều không giao hoán.
Do Hệ quả 1.1.4, nên ta chỉ cần xét bài toán trên lớp các MD5-đại số
bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều mà thôi. Trong tiểu mục kế
tiếp dưới đây, ta sẽ giới thiệu lại các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn
xuất giao hoán 4 chiều.
1.1.2 Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều
15
Suốt mục này, G luôn là ký hiệu để chỉ một MD5-đại số. Ta chọn
trước một cơ sở
{ }
1 2 3 4 5
, , , ,X X X X X
cố định trong G. Lúc đó với tư cách là
một không gian vectơ 5 chiều,
5
≅
¡G
. Về phân loại lớp con các MD5-đại số
có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều, ta có mệnh đề dưới đây của L. A. Vũ và

K. P. Shum [24].
Mnh   1.1.5. Cho G là mt MD5-  i s bt kh phân và
[ ]
1 4
= ≅
¡G G, G
( i s Lie giao hoán 4 chiu). Khi ó, ta luôn chn    c c s thích hp
{ }
1 2 3 4 5
, , , ,X X X X X
trong G sao cho
1 4
2 3 4 5
, , ,X X X X
= ≅
¡G
,
1
X
ad
∈
( )
( )
1
4
End Mat
≅
¡G
và G  ng cu vi mt và ch mt trong các   i s Lie d  i
ây.

1)
1 2 3
5,4,1( , , )
λ λ λ
G
:
1
1
2
3
0 0 0
0 0 0
;
0 0 0
0 0 0 1
X
ad
λ
λ
λ
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
{ }
1 2 3 1 2 3 1
, , \ 0,1 , .

λ λ λ λ λ λ λ
∈ ≠ ≠ ≠¡
2)
1 2
5,4,2( , )
λ λ
G
:
{ }
1
1
2
1 2 1 2
0 0 0
0 0 0
; , \ 0,1 , .
0 0 1 0
0 0 0 1
X
ad
λ
λ
λ λ λ λ
 
 ÷
 ÷
= ∈ ≠
 ÷
 ÷
 

¡
3)
5,4,3( )
λ
G
:

{ }
1
0 0 0
0 0 0
; \ 0,1 .
0 0 1 0
0 0 0 1
X
ad
λ
λ
λ
 
 ÷
 ÷
= ∈
 ÷
 ÷
 
¡
16
4)
( )

5,4,4
λ
G
:
{ }
1
0 0 0
0 1 0 0
; \ 0,1 .
0 0 1 0
0 0 0 1
X
ad
λ
λ
 
 ÷
 ÷
= ∈
 ÷
 ÷
 
¡
5)
5,4,5
G
:
1
1 0 0 0
0 1 0 0

.
0 0 1 0
0 0 0 1
X
ad
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
6)
1 2
5,4,6( , )
λ λ
G
:
{ }
1
1
2
1 2 1 2
0 0 0
0 0 0
; , \ 0,1 , .
0 0 1 1
0 0 0 1
X
ad

λ
λ
λ λ λ λ
 
 ÷
 ÷
= ∈ ≠
 ÷
 ÷
 
¡
7)
( )
5,4,7
λ
G
:
{ }
1
0 0 0
0 0 0
; \ 0,1 .
0 0 1 1
0 0 0 1
X
ad
λ
λ
λ
 

 ÷
 ÷
= ∈
 ÷
 ÷
 
¡
8)
5,4,8( )
λ
G
:
{ }
1
1 0 0
0 0 0
; \ 0,1 .
0 0 1 1
0 0 0 1
X
ad
λ
λ
λ
 
 ÷
 ÷
= ∈
 ÷
 ÷

 
¡
9)
5,4,9( )
:
λ
G

{ }
1
0 0 0
0 1 1 0
; \ 0,1 .
0 0 1 1
0 0 0 1
X
ad
λ
λ
 
 ÷
 ÷
= ∈
 ÷
 ÷
 
¡
10)
5,4,10
G

:
1
1 1 0 0
0 1 1 0
.
0 0 1 1
0 0 0 1
X
ad
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
17
11)
( )
1 2
5,4,11 , ,
λ λ ϕ
G
:
{ } ( )
1
1 2 1 2
1
2
cos sin 0 0

sin cos 0 0
; , \ 0 , , 0; .
0 0 0
0 0 0
X
ad
ϕ ϕ
ϕ ϕ
λ λ λ λ ϕ π
λ
λ
−
 
 ÷
 ÷
= ∈ ≠ ∈
 ÷
 ÷
 
¡
12)
( )
5,4,12 ,
λ ϕ
G
:
{ } ( )
1
cos sin 0 0
sin cos 0 0

; \ 0 , 0; .
0 0 0
0 0 0
X
ad
ϕ ϕ
ϕ ϕ
λ ϕ π
λ
λ
−
 
 ÷
 ÷
= ∈ ∈
 ÷
 ÷
 
¡
13)
( )
5,4,13 ,
λ ϕ
G
:

{ } ( )
1
cos sin 0 0
sin cos 0 0

; \ 0 , 0; .
0 0 1
0 0 0
X
ad
ϕ ϕ
ϕ ϕ
λ ϕ π
λ
λ
−
 
 ÷
 ÷
= ∈ ∈
 ÷
 ÷
 
¡
14)
( )
5,4,14 , ,
λ µ ϕ
G
:
( )
1
cos sin 0 0
sin cos 0 0
; , , 0, 0; .

0 0
0 0
X
ad
ϕ ϕ
ϕ ϕ
λ µ µ ϕ π
λ µ
µ λ
−
 
 ÷
 ÷
= ∈ > ∈
 ÷
−
 ÷
 
¡
Nhận xét 1.1.6
(i) Nhắc lại rằng, một đại số Lie thực G xác định duy nhất một nhóm Lie
liên thông, đơn liên G sao cho Lie(G) = G. Do đó, ta cũng có 14 họ các MD5-
nhóm liên thông, đơn liên tương ứng với các MD5-đại số được liệt kê trong
Mệnh đề 1.1.5. Để thuận tiện về mặt ký hiệu, ta vẫn giữ nguyên các chỉ số đã
dùng cho các MD5-đại số bất khả phân được nêu trong Mệnh đề 1.1.5. Ví dụ:
1 2 3
5,4,1( , , )
G
λ λ λ
là MD5-nhóm liên thông, đơn liên tương ứng với MD5-đại số

1 2 3
5,4,1( , , )
λ λ λ
G
. Họ các MD5-nhóm này đều bất khả phân.
18
(ii) Các nghiên cứu trong luận án chỉ tập trung vào lớp các MD5-đại số bất
khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều và các MD5-nhóm liên thông, đơn
liên tương ứng của chúng. Do vậy, để thuận tiện về sau, chúng sẽ được ký hiệu
lần lượt là các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)-nhóm.
Sau đây ta sẽ nhắc lại khái niệm về K-quỹ đạo được A. A. Kirillov trình
bày trong [15], cũng như nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của các
MD-nhóm được L. A. Vũ đưa ra trong [2] trước khi mô tả tường minh các K-quỹ
đạo của các MD(5,4)-nhóm.
1.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo
1.2.1 K-quỹ đạo của một nhóm Lie
Cho G là một nhóm Lie tuỳ ý và G là đại số Lie của nó. Giả sử G tác
động lên G bởi
: AutAd G
→
G

được định nghĩa như sau:
( )
( )
1
*
. : ,
g
g

Ad g L R g G
−
= → ∀ ∈
G G
.
Trong đó
g
L
(tương ứng,
1
g
R
−
) là phép tịnh tiến trái (tương ứng, phải)
của G theo phần tử
g G
∈
(tương ứng,
1
g G
−
∈
). Tác động Ad gọi là biểu diễn
phụ hợp của G trong G.
Ký hiệu
*
G
là không gian đối ngẫu của đại số Lie G. Khi đó biểu diễn
Ad cảm sinh ra tác động
*

: AutK G
→
G
của G lên
*
G
như sau:
( )
( )
1 *
, , , , , .
−
= ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
K g F Y F Ad g Y g G Y FG G
19
Ở đây, với mỗi dạng tuyến tính
*
F∀ ∈ G
, mỗi trường vectơ (bất biến
trái)
Y
∈
G
, ký hiệu
,F Y
chỉ giá trị của F tại Y. Tác động K được gọi là K-
biểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp của G trong
*
G
.

Mỗi quỹ đạo ứng với K-biểu diễn được gọi là K-quỹ đạo hay quỹ đạo
Kirillov của G (trong
*
G
). Cụ thể, ứng với mỗi F trong
*
G
, K-quỹ đạo
F
Ω
của G qua F được xác định bởi:
( )
{ }
/
Ω = ∈
F
K g F g G
(1.1)
1.2.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm
Đối với mỗi nhóm Lie G, ta quan tâm đến bài toán mô tả các K-quỹ
đạo
F
Ω
của G, với mỗi
*
F
∈
G
. Hơn nữa, ta muốn có một phương pháp mô
tả

F
Ω

trong trường hợp mà luật nhóm của G chưa được cho tường minh mà
chỉ biết rõ cấu trúc đại số Lie G của G. Khi đó ánh xạ mũ
exp :
G
G
→
G
và tính chất tự nhiên của nó rất có ích đối với ta.
Ký hiệu
exp :
G
G
→
G
là ánh xạ mũ của G và
exp: End Aut
→
¡ ¡
G G
là ánh xạ mũ của nhóm Lie
Aut
¡
G

các tự đẳng
cấu
¡

-tuyến tính của G.
Nhắc lại rằng, vi phân
: Endad
→
¡
G G
của biểu diễn phụ hợp Ad
được xác định bởi công thức:
[ ]
( ) , , ,
= ∀ ∈
X
ad Y X Y X Y G.
20
Tính tự nhiên của ánh xạ mũ được thể hiện bởi hình chữ nhật giao hoán
sau:


Aut
Ad
G
→
¡
G

End
ad
→
¡
G G
Tức là ta có đẳng thức:
exp exp
G
ad ad=o o
.
Với mỗi
X
∈
G
, mỗi
*
F
∈
G
, ta xác định phần tử
X
F
trong
*
G

như
sau:
( )
, ,exp ,

= ∀ ∈
X X
F Y F ad Y Y G
.
Bổ đề 1.2.1. Nếu gọi
F
Ω
là K-quỹ đạo của G qua F thì ta luôn có bao hàm
thức
{ }
|
X F
F X
∈ ⊂ Ω
G
(1.2)
Hơn nữa nếu exp
G
là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra.
Để tiện cho việc sử dụng trong phần sau, ta sẽ ký hiệu tập
{ }
|
X
F X
∈
G
là
( )
F
Ω

G
. Như thế, bao hàm thức (1.2) được viết lại là:

*
( ) ,
F F
F
Ω ⊂ Ω ∀ ∈
G G
.
Một điều kiện đủ để đẳng thức trên xảy ra là ánh xạ exp
G
toàn ánh.
Mệnh đề ngay dưới đây cung cấp cho ta một điều kiện đủ để ánh xạ
exp
G
là toàn ánh.
exp
G
exp
21
Mệnh đề 1.2.2. Giả sử G là nhóm Lie thực, giải được, liên thông, hữu hạn
chiều với đại số Lie G của nó thoả:
X
∀ ∈
G
,
X
ad
không có giá trị riêng (trong

£
) thuần ảo nào. Khi đó ánh xạ mũ
exp :
G
G
→
G
là toàn ánh.
Thực ra, trong nhiều trường hợp, thì một điều kiện yếu hơn tính toàn
ánh của exp
G
cũng đủ để có đẳng thức
( )
F F
Ω = Ω
G
. Cụ thể ta có bổ đề sau
đây.
Bổ đề 1.2.3. Giả sử G liên thông. Nếu họ các
*
( ),
F
FΩ ∈G G

lập thành một
phân hoạch của
*
G

và mọi

*
( ),
F
FΩ ∈G G
đều cùng mở hoặc cùng đóng
(tương đối) tron
*
,
F
FΩ ∈ G
. Khi đó:
*
( ),
F F
FΩ = Ω ∀ ∈G G
.
Nhận xét 1.2.4. Các mệnh đề trên, về cơ bản, đã phác thảo cho ta cách mô tả các
K-quỹ đạo của các MD-nhóm. Cụ thể, trong trường hợp lớp con các MD(5,4)-
nhóm, trước hết ta xác định

( )
Ω
F
G
, với mỗi
*
∈
F G
. Sau đó, tuỳ vào từng
trường hợp cụ thể của mỗi nhóm Lie, ta sẽ chỉ ra rằng: ánh xạ mũ của nó hoặc là

toàn ánh hoặc tất cả các
( )
'
, '
Ω ∈Ω
F F
FG
đều cùng đóng hoặc cùng mở (tương
đối) trong
Ω
F
. Do đó, dùng Bổ đề 1.2.1 và Bổ đề 1.2.3, ta có đẳng thức
( )
*
,
Ω = Ω ∀ ∈
F F
FG G
.
Sau đây là một kết quả khá tổng quát về số chiều của K-quỹ đạo
Ω
F

được
áp dụng cho trường hợp các MD(5,4)-nhóm được xét.
Mệnh đề 1.2.5 ([30, Lemma 2.1.6]). Nếu G là một MD-đại số có số chiều
5n
≥
và
1

dim 1n= −G
thì
{ }
*
dim 0,2 ,
F
F
Ω ∈ ∀ ∈
G
.
22
Theo Mệnh đề 1.2.5, đối với mỗi MD(5,4)-nhóm được xét, các K-quỹ đạo
chỉ hoặc 0-chiều hoặc là 2-chiều (chiều cực đại).
Sau đây là một mô tả tường minh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm.
1.3 Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm
Với G là một trong các MD(5,4)-nhóm, gọi G là đại số Lie tương ứng
của G và
*
G
là không gian đối ngẫu của đại số Lie G. Giả sử
X
∈
G
có toạ
độ
( )
, , , ,a b c d f
trong cơ sở
{ }
1 2 3 4 5

, , , ,X X X X X
,
*
F
∈
G
có toạ độ
( )
, , , ,
α β γ δ σ
trong cơ sở đối ngẫu
{ }
* * * * *
1 2 3 4 5
, , , ,X X X X X
,
F
Ω
là K-quỹ đạo của G trong
*
G
chứa F.
Định lí 1.3.1. (Mô tả bức tranh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm)
1. Giả sử G là một trong các nhóm lie
1 2 3
5,4,1( , , )
G
λ λ λ
,
1 2

5,4,2( , )
G
λ λ
,
5,4,3( )
G
λ
,
( )
5,4,4
G
λ
,
5,4,5
G
,
1 2
5,4,6( , )
G
λ λ
,
( )
5,4,7
G
λ
,
5,4,8( )
G
λ
,

5,4,9( )
G
λ
,
5,4,10
G
với
{ }
1 2 3
, , , \ 0,1
λ λ λ λ
∈
¡
.
(i) Nếu
0
β γ δ σ
= = = =
thì
{ }
F
F
Ω =
(quỹ đạo 0-chiều).
(ii) Nếu
2 2 2 2
0
β γ δ σ
+ + + ≠
thì

F
Ω

là quỹ đạo 2-chiều được cho trong
từng trường hợp cụ thể như dưới đây:
23
( )
{ }
( )
( )
{ }
( )
( )
{ }
( )
( )
{ }
3
1 2
1 2 3
1 2
1 2
5,4,1 , ,
5,4,2 ,
5,4,3
, . , . , . , . , , khi = ,
, . , . , . , . , , khi = ,
, . , . , . , . , , khi = ,
, . , . , . , . , , khi
a

a a
a
a a a a
a a a a
a a a a
x e e e e x a G G
x e e e e x a G G
x e e e e x a G G
x e e e e x a
λ
λ λ
λ λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
λ
β γ δ σ
β γ δ σ
β γ δ σ
β γ δ σ
• ∈
• ∈
• ∈
• ∈
¡
¡
¡
¡
( )

( )
{ }
( )
{ }
( )
( )
{ }
( )
1 2
1 2
5,4,4
5,4,5
5,4,6 ,
5,4,7
= ,
, . , . , . , . , , khi = ,
, . , . , . , . . , , khi = ,
, . , . , . , . . , , khi = ,
a a a a
a a
a a a
a a a a a
G G
x e e e e x a G G
x e e e ae e x a G G
x e e e ae e x a G G
λ
λ λ
λ λ
λ λ

λ
β γ δ σ
β γ δ δ σ
β γ δ δ σ
• ∈
• + ∈
• + ∈
¡
¡
¡
( )
{ }
( )
( )
5,4,8
2
5,4,9
, . , . . , . , . . , , khi = ,
, . , . , . . , . . . , , khi = ,
2
a a a a a a
a
a a a a a a
x e ae e e ae e x a G G
a e
x e e ae e ae e x a G G
λ λ λ
λ
λ
λ

β β γ δ δ σ
β γ γ δ γ δ σ
• + + ∈
 
 
 
• + + + ∈
 
 ÷
 
 
 
¡
¡
2 3 2
, . , . . , . . . , . . . . , ,
2 6 2

a a a
a a a a a a a
a e a e a e
x e ae e ae e ae e x a
β β γ β γ δ β γ δ σ
 
 
 
• + + + + + + ∈
 
 ÷
 

 
 
¡
5,4,10
khi = .G G
2. Giả sử G là một trong các nhóm Lie
( ) ( ) ( )
1 2
5,4,11 , , 5,4,12 , 5,4,13 ,
, , G G G
λ λ ϕ λ ϕ λ ϕ
với
( )
1 2
, , , 0;
λ λ λ ϕ π
∗
∈ ∈
¡
. Bằng cách đồng nhất
( ) ( )
1 2
5,4,11 , , 5,4,12 ,
, ,
λ λ ϕ λ ϕ
∗ ∗
G G

( )
5,4,13 ,

λ ϕ
∗
G
với
2
× ×
¡ £ ¡
và F với
( )
, , ,i
α β γ δ σ
+
. Ta được:
(i) Nếu
0i
β γ δ σ
+ = = =
thì
{ }
F
F
Ω =
(quỹ đạo 0-chiều).
(ii) Nếu
2
2 2
0i
β γ δ σ
+ + + ≠
thì

F
Ω

là quỹ đạo 2-chiều được cho trong
từng trường hợp cụ thể như dưới đây:
24
( )
( )
( )
{ }
( )
( )
( )
( )
{ }
( )
( )
( )
( )
{ }
( )
1 2
1 2
.
5,4,11 , ,
.
5,4,12 ,
.
5,4,13 ,
, . , . , . , , khi = ,

, . , . , . , , khi = ,
, . , . , . . , , khi = .
i
i
i
a e
a a
a e
a a
a e
a a a
x i e e e x a G G
x i e e e x a G G
x i e e ae e x a G G
ϕ
ϕ
ϕ
λ λ
λ λ ϕ
λ λ
λ ϕ
λ λ λ
λ ϕ
β γ δ σ
β γ δ σ
β γ δ δ σ
−
−
−
• + ∈

• + ∈
• + + ∈
¡
¡
¡
3. Giả sử G là một trong các nhóm Lie
( )
5,4,14 , ,
G
λ µ ϕ

với
, , 0,
λ µ µ
∈ >
¡
( )
0;
ϕ π
∈
. Bằng cách đồng nhất
( )
5,4,14 , ,
λ µ ϕ
∗
G
với
× ×
¡ £ £
và F với

( )
, ,i i
α β γ δ σ
+ +
. Ta được:
(i) Nếu
0i i
β γ δ σ
+ = + =
thì
{ }
F
F
Ω =
(quỹ đạo 0-chiều).
(ii) Nếu
2 2
0i i
β γ δ σ
+ + + ≠
thì
( )
( )
( )
( )
( )
{ }
.
.
, . , . , ,

i
a e
a i
F
x i e i e x a
−
−
• Ω = + + ∈¡
ϕ
λ µ
β γ δ σ
(quỹ đạo 2-chiều).
Phác thảo chứng minh.
Ý tưởng chính cho phép chứng minh Định lí 1.3.1, về cơ bản, đã được nêu
rõ ràng trong Nhận xét 1.2.4 ở trên. Tức là, ta sẽ mô tả các K-quỹ đạo của mỗi
MD(5,4)-nhóm thông qua việc tính
( )
Ω
F
G
, với mỗi
*
∈
F G
. Tuy nhiên, do
các tính toán c th là khá dài dòng nên chúng tôi không tin trình bày chi tit 
ây. Quý   c gi nào có quan tâm, xin vui lòng xem chng minh chi tit  phn
Ph lc ca lun án.
Nhận xét 1.3.2.
(i) Từ bức tranh các K-quỹ đạo, ta có thể kiểm chứng lại một cách

trực tiếp về tính MD của các nhóm Lie
1 2 3
5,4,1( , , )
G
λ λ λ
,
1 2
5,4,2( , )
G
λ λ
,
5,4,3( )
G
λ
,
( )
5,4,4
G
λ
,
25
5,4,5
G
,
1 2
5,3,6( , )
G
λ λ
,
( )

5,3,7
G
λ
,
5,4,8( )
G
λ
,
5,4,9( )
G
λ
,
5,4,10
G
,
1 2
5,4,11( , , )
G
λ λ ϕ
,
5,4,12( , )
G
λ ϕ
,
5,4,13( , )
G
λ ϕ
,
5,4,14( , , )
G

λ µ ϕ

cng nh các đại số Lie tương ứng của chúng.
(ii) Theo Bổ đề 1.2.1, Bổ đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.2, rõ ràng phương pháp
mô tả các K-quỹ đạo như vậy cũng đặc biệt thích hợp với các nhóm Lie thực,
giải được, liên thông, hữu hạn chiều và thoả mãn điều kiện của Mệnh đề 1.2.2.