BÀI GIẢNG xử lý tín HIỆU số

BÀI GIẢNG XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

1


Chương 1: TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC
1.1. Khái niệm về tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu:
1.1.1 Khái niệm và phân loại tín hiệu:
1.1.1a Khái niệm về tín hiệu : Tín hiệu là một dạng vật chất có một đại lượng vật lý
được biến đổi theo quy luật của tin tức.
Có nhiều loại tín hiệu khác nhau, ví dụ như các tín hiệu âm thanh, ánh sáng, sóng
âm, sóng điện từ, tín hiệu điện ... Mỗi lĩnh vực kỹ thuật thường sử dụng một số loại tín
hiệu nhất định. Trong các lĩnh vực có ứng dụng kỹ thuật điện tử, người ta thường sử
dụng tín hiệu điện và sóng điện từ, với đại lượng mang tin tức có thể là điện áp, dòng
điện, tần số hoặc góc pha.
Mỗi loại tín hiệu khác nhau có những tham số đặc trưng riêng, tuy nhiên tất cả các
loại tín hiệu đều có các tham số cơ bản là độ lớn (giá trị), năng lượng và công suất,
chính các tham số đó nói lên bản chất vật chất của tín hiệu
Tín hiệu được biểu diễn dưới dạng hàm của biến thời gian x(t), hoặc hàm của biến
tần số X(f) hay X(ω).
1.1.1b Phân loại tín hiệu
Theo dạng của biến thời gian t và giá trị hàm số x(t), người ta phân loại tín hiệu
như sau :
1. Tín hiệu liên tục x(t): là tín hiệu có biến thời gian t liên tục.
Tín hiệu liên tục xác định liên tục theo thời gian, với giá trị hàm số có thể biến
thiên liên tục hoặc được lượng tử hóa, và có thể tồn tại các điểm gián đoạn loại một
hoặc loại hai.
x1(t)

x(t)

x (n )

4
2

t

t

0

n

a. Giá trị liên tục b. Giá trị lượng tử. c. Giá trị gián đoạn.
Hình 1.1 : Đồ thị các tín hiệu liên tục.
2. Tín hiệu rời rạc x(nT): là tín hiệu có biến thời gian gián đoạn t = nT.
Tín hiệu rời rạc chỉ xác định ở những thời điểm gián đoạn t = nT, không xác định
trong các khoảng thời gian ở giữa hai điểm gián đoạn.
Có thể biến đổi tín hiệu liên tục x(t) thành tín hiệu rời rạc x(nT), quá trình đó được
gọi là rời rạc hóa tín hiệu liên tục. Định lý lấy mẫu là cơ sở để thực hiện rời rạc hóa tín
hiệu liên tục mà không làm thay đổi thông tin mang trong nó. Quá trình rời rạc hóa tín
hiệu liên tục còn được gọi là quá trình lấy mẫu.
x(nT)

x(nT)

nT

a. Giá trị liên tục.

nT

b. Giá trị được lượng tử hóa.
Hình 1.2 : Đồ thị các tín hiệu rời rạc.

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

2


3. Tín hiệu lượng tử: là tín hiệu chỉ nhận các giá trị xác định bằng số nguyên lần
một giá trị cơ sở gọi là giá trị lượng tử.
Quá trình làm tròn tín hiệu có giá trị liên tục hoặc gián đoạn thành tín hiệu lượng tử
được gọi là quá trình lượng tử hóa.
4. Tín hiệu tương tự: là tín hiệu liên tục có giá trị liên tục hoặc lượng tử.
Nhiều tài liệu gọi tín hiệu tương tự theo tiếng Anh là tín hiệu
Analog. Các tín hiệu liên tục trên hình 1.1a và 1.1b là tín hiệu tương tự.
5. Tín hiệu xung: là tín hiệu có giá trị hàm số đoạn loại một.
Tín hiệu xung có thể là tín hiệu liên tục hoặc rời rạc. Trên hình 1.1c là tín hiệu
xung liên tục một cực tính, còn trên hình 1.2 là các tín hiệu xung rời rạc.
6. Tín hiệu số: là một nhóm xung được mã hóa theo giá trị lượng tử của tín hiệu tại
các thời điểm rời rạc cách đều nhau.
Mỗi xung của tín hiệu số biểu thị một bít của từ mã, nó chỉ có hai mức điện áp,
mức thấp là giá trị logic “0”, mức cao là giá trị logic “1”.
Số xung (số bít) của tín hiệu số là độ dài của từ mã. Tín hiệu số có 8 bít được gọi là
một byte, còn tín hiệu số có 16 bít bằng hai byte được gọi là một từ (hoặc gọi theo
tiếng Anh là word).
Giá trị mã của tín hiệu số được gọi là số liệu (Data), nó chính là thông tin chứa

đựng trong tín hiệu. Vậy số liệu là ánh xạ của tín hiệu số, do đó các tác động lên số
liệu cũng chính là tác động lên tín hiệu.
Trên hình 1.3 là đồ thị của tín hiệu số 4 bít có giá trị mã nhị phân tại thời điểm 0 T
là 0110, tại 1T là 0011, tại 2T là 1011, ....
Bít 3
0

0

NT

1

0

NT

1

1

NT

Bít 2
Bít 1
Bít 0
0
0T

NT

1
1T

2T

3T

4T

5T

6T

Hình 1.3 : Đồ thị tín hiệu số bốn bit và mã nhị phân của nó.
Như vậy, tín hiệu số là tín hiệu rời rạc, có giá trị lượng tử và được mã hóa. Do đó
có thể biến đổi tín hiệu liên tục thành tín hiệu số, quá trình đó được gọi là số hóa tín
hiệu liên tục. Quá trình số hóa tín hiệu liên tục được thực hiện qua 3 bước là :
- Rời rạc hóa tín hiệu liên tục, hay còn gọi là lấy mẫu.
- Lượng tử hóa giá trị các mẫu.
- Mã hóa giá trị lượng tử của các mẫu.

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

3


x(t)

x(t)

4

4

2

t

0

2
0

x(nT)

x(nT)

4

4

2

n

0

2

x(nT)

4

4
nT

0

Bít 3
Bít 2
Bít 1
Bít 0

0

nT

1

nT

0

nT

1

nT

nT

0

x(nT)
2

t

2

nT

0

Bít 3

0

nT

1

nT

0

nT

1

nT

Bít 2
Bít 1
Bít 0

a. Số hóa tín hiệu tương tự.
b. Số hóa tín hiệu xung.
Hình 1.4 : Quá trình số hóa tín hiệu liên tục.
Trên hình 1.4 mô tả quá trình số hóa các tín hiệu tương tự và tín hiệu xung thành
tín hiệu số 4 bít. Khi số hóa tín hiệu tương tự sẽ gây ra sai số lượng tử (xem hình 1.4a),
nhưng khi số hóa tín hiệu xung thì ngoài sai số lượng tử còn có sai số về pha (xem
hình 1.4b).
Cả ba bước của quá trình số hóa tín hiệu liên tục được thực hiện trên bộ biến đổi
tương tự số, viết tắt là ADC (Analog Digital Converter).
Để biến đổi tín hiệu số thành tín hiệu tương tự, sử dụng bộ biến đổi số tương tự,
viết tắt là DAC (Digital Analog Converter). Tín hiệu tương tự ở đầu ra của DAC có
giá trị lượng tử như trên hình 1.1b .
1.1.2 Khái niệm và phân loại hệ xử lý tín hiệu
1.1.2a Khái niệm về xử lý tín hiệu và hệ xử lý tín hiệu
1. Xử lý tín hiệu là thực hiện các tác động lên tín hiệu như khuyếch đại, suy giảm,
chọn lọc, biến đổi, khôi phục .... giá trị và dạng của tín hiệu.
2. Hệ xử lý tín hiệu là các mạch điện, các thiết bị, các hệ thống dùng để xử lý tín hiệu.
Vậy xử lý tín hiệu đồng nghĩa với gia công tín hiệu, và hệ xử lý tín hiệu thực hiện
các tác động lên tín hiệu theo một quy luật nhất định.
Hệ xử lý tín hiệu có thể chỉ là một mạch điện đơn giản, cũng có thể là những thiết
bị hoặc hệ thống phức tạp.
Mỗi hệ xử lý tín hiệu cho dù là đơn giản hay phức tạp đều có những đặc thù riêng
phụ thuộc vào loại tín hiệu mà nó xử lý. Các loại tín hiệu khác nhau cần có các hệ xử

lý tín hiệu khác nhau. Vì thế, việc phân tích và tổng hợp các hệ xử lý tín hiệu luôn gắn
liền với việc nghiên cứu và phân tích loại tín hiệu mà nó xử lý.
1.1.2b Phân loại các hệ xử lý tín hiệu
Các hệ xử lý tín hiệu được phân loại theo nhiều cách khác nhau, ở đây trình bầy
cách phân loại theo tín hiệu mà nó xử lý.
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

4


1. Hệ tương tự : (Analog System) Là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý tín
hiệu tương tự.
2. Hệ xung : (Impulse System) Là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý tín hiệu
xung.
Hệ xung còn có thể được gọi là hệ gián đoạn theo thời gian (Discrete-Time
System).
3. Hệ số : (Digital System) Là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý tín hiệu số.
Các hệ số không có máy tính hoặc hệ thống vi xử lý, chỉ thực hiện xử lý tín hiệu số
bằng mạch phần cứng, thường được gọi là các mạch logic hoặc mạch số.
Các hệ số thực hiện xử lý tín hiệu số bằng phần mềm cần có máy tính hoặc hệ
thống vi xử lý. Về thực chất, việc xử lý tín hiệu số bằng phần mềm là xử lý các dãy số
liệu, tức là xử lý số. Vì thế, có thể coi các chương trình chạy trên máy tính là các hệ xử
lý số liệu.
Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số, người ta thường sử dụng thuật ngữ “ hệ xử lý tín
hiệu số “ (Digital Signal Processing System). hay ngắn gọn là ” hệ xử lý số “ (Digital
Processing System). Để ngắn gọn và bao hàm cả hệ xử lý tín hiệu số lẫn hệ xử lý số
liệu, trong sách này sử dụng thuật ngữ “ hệ xử lý số “.
4. Hệ xử lý số tín hiệu : (Digital Processing System of Signal) Hệ xử lý số tín hiệu
là các mạch, thiết bị và hệ thống để xử lý cả tín hiệu số lẫn tín hiệu tương tự bằng
phương pháp số. Như vậy, hệ xử lý số tín hiệu bao gồm cả hệ tương tự và hệ xử lý số.

Phần
tương tự 1

ADC

Phần
xử lý số

DAC

Phần
tương tự 2

Hình 1.5 : Sơ đồ khối của hệ xử lý số tín hiệu.
Sơ đồ khối của hệ xử lý số tín hiệu trên hình 1.5, trong đó phần tương tự 1 để xử lý
tín hiệu tương tự. Tín hiệu tương tự sau khi được số hóa bởi ADC trở thành tín hiệu
số, và sẽ được xử lý bởi phần xử lý số.
DAC thực hiện biến đổi tín hiệu số thành tín hiệu tương tự, và nó được xử lý tiếp
bằng phần tương tự 2. Như vậy, ADC và DAC là các phần tử nối ghép giữa phần
tương tự và phần số của các hệ xử lý số tín hiệu. Trong nhiều trường hợp, tín hiệu
tương tự sau khi đã được xử lý số không cần biến đổi trở về dạng tương tự, hệ xử lý số
tín hiệu như vậy sẽ không có bộ biến đổi DAC và phần tương tự 2.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của lĩnh vực xử lý tín hiệu số là các hệ xử lý số,
cũng như tín hiệu số và các dãy số liệu.
1.2. Dãy số
Dãy số được dùng để biểu diễn số liệu và tín hiệu số, cũng như để mô tả hệ xử
lý số, do đó trước hết cần nghiên cứu về các dãy số và các phép toán trên chúng.
1.2.1 Các dạng biểu diễn của dãy số
Dãy số có thể được biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng số liệu, đồ thị, hoặc
dãy số liệu. Dưới dạng hàm số, dãy số x(n) chỉ xác định với đối số là các số nguyên n,

dãy số không xác định ở ngoài các giá trị nguyên n của đối số.

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

5


Ví dụ 1.1 : Dãy số x(n) được biểu diễn
bằng hàm số :

x (n )
1

Khi n ∈ [ 0 , 3 ]
Khi n ∉ [ 0 , 3 ]

1
x ( n) = 
0

- Biểu diễn dãy số x(n) dưới dạng bảng
số liệu ở bảng 1.1.
Bảng 1.1
n
-∞
x(n) 0

...
0

-3
0

-2
0

-1
0

0
1

1
1

-1 0

1

2

3

n

4

Hình 1.6 : Đồ thị dãy x(n)
2
1

3
1

- Biểu diễn đồ thị của dãy x(n) trên hình 1.6,
- Biểu diễn dãy x(n) dưới dạng dãy số liệu : x(n) =

4
0

5
0

...
0

∞
0

{ ... , 0 , 1 ,1,1,1, 0 , 0 , ... }
↑

Trong đó ký hiệu ↑ để chỉ số liệu ứng với điểm gốc n = 0.
1.2.2 Phân loại các dãy số
1.2.2a Dãy xác định và dãy ngẫu nhiên
∗ Dãy x(n) xác định là dãy có giá trị biến thiên theo quy luật và có thể biểu diễn
được bằng một hàm số toán học.
∗ Dãy x(n) ngẫu nhiên là dãy có giá trị biến thiên ngẫu nhiên và không thể biểu diễn
được bằng hàm số toán học.
1.2.2b Dãy tuần hoàn và dãy không tuần hoàn

∗ Dãy xp(n) tuần hoàn là dãy có giá trị lặp lại và thỏa mãn biểu thức :
x p ( n) = x p ( n + kN )
[1.2-1]
Trong đó, hệ số k có thể nhận giá trị nguyên bất kỳ, hằng số nguyên N được gọi
là chu kỳ. Dãy tuần hoàn xp(n) còn các tham số sau :
f =

- Tần số lặp lại :

1

[1.2-2]

N

ω = 2π . f =

- Tần số góc :

2π
N

[1.2-3]

∗ Dãy x(n) không tuần hoàn là dãy không tồn tại một số N hữu hạn để giá trị của nó
được lặp lại và thỏa mãn biểu thức [1.2-1]. Tuy nhiên, có thể coi dãy không tuần hoàn
là dãy tuần hoàn có chu kỳ N = ∞.
1.2.2c Dãy hữu hạn và dãy vô hạn
∗ Dãy x(n) hữu hạn là dãy có số mẫu N < ∞ . Dãy x(n) hữu hạn có N mẫu được ký
hiệu là x(n)N.

∗ Dãy x(n) vô hạn là dãy có vô hạn mẫu. Khoảng xác định của dãy vô hạn có thể là
n ∈ (- ∞, ∞) ; n ∈ (0, ∞) ; hoặc n ∈ (- ∞, 0).
1.2.2d Dãy một phía và dãy hai phía
∗ Dãy x(n) là dãy một phía nếu n ∈ (0, ∞) hoặc n ∈ (- ∞, 0).
∗ Dãy x(n) là dãy hai phía nếu n ∈ (- ∞, ∞).
N −1

Ví dụ 1.2 : - Dãy x1 (n) = ∑ 2 − k là dãy một phía hữu hạn có độ dài N .
k =0

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

6


- Dãy x 2 (n) =

N

∑2

−k

là dãy hai phía hữu hạn, độ dài L = 2N + 1.

k =− N
∞

−k
- Dãy x3 (n) = ∑ 2 là dãy một phía vô hạn.

k =0

- Dãy x 4 (n) =

∞

∑2

−k

là dãy hai phía vô hạn.

k = −∞

1.2.2e Dãy chẵn và dãy lẻ
∗ Dãy x(n) là dãy chẵn nếu x(n) = x(-n) . Dãy chẵn có đồ thị đối xứng qua trục
tung, nên còn được gọi là dãy đối xứng.
∗ Dãy x(n) là dãy lẻ nếu x(n) = - x(-n) . Dãy lẻ có đồ thị phản đối xứng qua gốc toạ
độ, nên còn được gọi là dãy phản đối xứng.
1.2.2f Dãy thực và dãy phức
∗ Dãy x(n) thực là dãy hàm số thực. Hầu hết các dãy biểu diễn tín hiệu số và hệ xử
lý số đều là dãy thực.
∗ Dãy x(n) phức là dãy hàm số phức x(n) = a(n) + j.b(n)
Mọi dãy x(n) bất kỳ có thể thuộc một hoặc nhiều nhóm trong các phân loại trên.
Ví dụ 1.3 : - Dãy x(n) = e ( −α + jω ) n là dãy phức, hai phía, tuần hoàn, vô hạn.
- Dãy x(n) = cos(ω.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, chẵn, vô hạn.
- Dãy x(n) = sin(ω.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, lẻ, vô hạn.
x (n )
1
0 ,6

.....
-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

0 ,6
-1

0

1

2

.....
3

4

5

6

7

n

8

Hình 1.7 : Đồ thị dãy x(n) của ví dụ 1.4.

Ví dụ 1.4 : - Dãy x(n) trên hình 1.7
là dãy xác định, hai phía, chẵn và
đối xứng, vô hạn, tuần hoàn với
chu kỳ N = 5.
- Dãy y(n) trên hình 1.8 là
dãy xác định, một phía, không tuần
hoàn, có độ dài hữu hạn N = 5.

y (n )
1

-2 -1 0

0 ,8

1

0 ,6

2

0 ,4
3

0 ,2
4

5

6

n

Hình 1.8 : Đồ thị dãy y(n)

1.2.3 Các dãy cơ bản
Dưới đây là các dãy cơ bản được sử dụng trong xử lý tín hiệu số.
1.2.3a Dãy xung đơn vị δ (n)
δ(n)
Dãy xung đơn vị δ(n) đối
với hệ xử lý số có vai trò tương
1
đương như hàm xung Dirăc δ(t)
trong hệ tương tự, nhưng dãy δ(n)
n
-2 -1 0 1 2
đơn giản hơn.
Dãy xung đơn

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

7


vị δ(n) có hàm số như sau :

Hình 1.9 : Đồ thị dãy δ(n)

Khi n = 0
[1.2-4]
Khi n ≠ 0

1
δ (n) = 
 0

Đồ thị dãy δ(n) trên hình 1.9. Dãy δ(n) chỉ có một mẫu tại n = 0 với giá trị bằng
1, nên δ(n) là dãy hữu hạn có độ dài N = 1.
δ(n - 5)

δ(n + 5)

1

1

-1 0

1

2

3

4

5

n

-5 -4 -3 -2 -1 0

n

1

Hình 1.10 : Đồ thị các dãy δ(n - 5) và δ(n + 5)

Mở rộng có dãy xung đơn vị δ(n - k), với k là hằng số dương hoặc âm :
Khi n = k
Khi n ≠ k

1
δ (n − k ) = 
0

[1.2-5]

Trên hình 1.10 là đồ thị của các dãy xung đơn vị δ(n - 5) và δ(n + 5)

1.2.3b Dãy bậc thang đơn vị u(n)
Dãy bậc thang đơn vị u(n) đối với hệ xử lý số có vai trò giống như
hàm bậc thang đơn vị 1(t) trong hệ
u (n )
tương tự. Dãy bậc thang đơn vị u(n)
có hàm số như sau :
1
Khi n < 0
Khi n ≥ 0

 0
u ( n) = 
 1

[1.2-6]

....
-1

0

1

2

3

n

....

∞
Dãy u(n) là dãy một phía, vô
hạn, và tuần hoàn với chu kỳ N = 1.
Đồ thị của dãy bậc thang đơn vị Hình 1.11: Đồ thị dãy u(n)
u(n) trên hình 1.11.
Mở rộng có dãy bậc thang đơn vị u(n - k), với k là hằng số dương hoặc âm:
Khi n < k
Khi n ≥ k

 0
u (n − k ) = 
 1

[1.2-7]

Trên hình 1.12 là đồ thị của các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2) và u(n + 2).
u(n - 2)

u(n + 2)

1

1
....

-1 0

1

2

3

4

5

....

∞

n

....
-3 -2 -1 0

1

....

∞

n

Hình 1.12 : Đồ thị các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2) và u(n + 2)
Vì dãy δ(n - k) chỉ có một mẫu với giá trị bằng 1 tại n = k, nên nếu lấy tổng của δ(n k) với k chạy từ 0 đến ∞, sẽ nhận được dãy u(n).
Hơn nữa, trong khoảng (0 ≤ n < ∞) tại mọi k luôn có :
u ( k ) = u (k ).δ (n − k ) = 1

Nên có thể biểu diễn dãy u(n)qua dãy δ(n) theo biểu thức :
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

8


u ( n) =

∞

∞

k =0

k =0

∑ δ (n − k ) = ∑ u(k ).δ (n − k )

[1.2-8]

Dãy δ(n) được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức :
δ (n) = u (n) − u (n − 1)

[1.2-9]

1.2.3c Dãy chữ nhật rectN(n)
Dãy chữ nhật rectN(n) có hàm số như sau :
Khi n ∈ [ 0 , ( N − 1) ]
Khi n ∉ [ 0 , ( N − 1) ]

1
rect N ( n) = 
 0

Dãy chữ nhật rectN(n) là
dãy một phía, có độ dài hữu hạn N
và xác định trong miền n ∈ [0,
(N-1)], tuần hoàn với chu kỳ bằng
1. Đồ thị của dãy chữ nhật
rectN(n) trên hình 1.13.
Mở rộng có dãy chữ nhật
rectN(n - k), với k là hằng số
dương hoặc âm :

[1.2-10]

rectN(n)
1
....
-1 0

1

2

....

n

Hình 1.13 : Đồ thị dãy rectN(n)

Khi n ∈ [ k , ( N + k − 1) ]
Khi n ∉ [ k , ( N + k − 1) ]

1
rect N ( n − k ) = 
 0

(N -1 )

[1.2-11]

Đồ thị của các dãy chữ nhật rect4(n - 2) và rect4(n + 2) trên hình 1.14
rect4(n - 2)
rect4(n + 2)
1

-1 0

1

1

2

3

4

5

6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
n
n
Hình 1.14 : Đồ thị các dãy rect4(n - 2) và rect4(n + 2)

Có thể biểu diễn dãy rectN(n) qua dãy δ(n) theo biểu thức :
rect N ( n) =

N −1

N −1

k =0

k =0

∑ δ (n − k ) = ∑ rect N (k ).δ (n − k )

[1.2-12]

Dãy rect(n)N được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức :
rect N ( n) = u ( n) − u (n − N )

[1.2-13]

1.2.3d Dãy hàm sin và hàm cosin
Dãy hàm sin có dạng như sau :

2π
 2π 
x(n) = sin 
n  = sin (ω 0 n ) với ω 0 =
N
 N 

[1.2-14]

Dãy sin(ω0.n) là dãy vô hạn, hai phía, lẻ và phản đối xứng, liên tục, và tuần
hoàn với chu kỳ N. Đồ thị của dãy sin(ω0.n) ở hình 1.15.
Dãy hàm cosin có dạng như sau :
2π
 2π 
x(n) = cos 
n  = cos (ω 0 n ) với ω 0 =
N
 N 

[1.2-15]

Dãy cos(ω0.n) là dãy vô hạn, hai phía, chẵn và đối xứng, liên tục, và tuần hoàn
với chu kỳ N.
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân
9


sin(ω0.n)
0 ,9 5
0 ,5 9

-1 0

-5

1

2

3

4

5

10

n

- 0 ,5 9
- 0 ,9 5

Hình 1.15 : Đồ thị dãy sin(ω0.n) với N = 10
1.2.4 Các phép toán đối với các dãy số
1.2.4a Phép dịch tuyến tính
Định nghĩa : Dãy y(n) là dịch tuyến tính k mẫu của dãy x(n) nếu :
y ( n) = x ( n − k )
[1.2-16]
- Khi k > 0 là y(n) dich trễ (chậm) k mẫu so với x(n).
- Khi k < 0 là y(n) dịch sớm (nhanh) k mẫu so với x(n).
Phép dịch tuyến tính dãy x(n) đi k mẫu không làm thay đổi dạng của x(n), mà

chỉ đơn giản là giữ chậm hoặc đẩy nhanh nó k mẫu. Phép dịch tuyến tính còn thường
được gọi vắn tắt là phép dịch.
Trong xử lý tín hiệu số thường chỉ sử dụng phép dịch trễ, và gọi là phép trễ.
Phép dịch sớm rất ít khi được sử dụng.
Ví dụ 1.5 : Cho dãy x(n) = u (n) , hãy xác định các dãy :
a. y1 (n) = x(n − 2)
b. y 2 (n) = x(n + 2)
Giải :
a. Vì k = 2 > 0 nên dãy y1 (n) = x(n − 2) = u (n − 2) là dãy u (n) bị giữ chậm 2 mẫu, đồ thị
dãy y1 (n) = u (n − 2) nhận được bằng cách dịch phải đồ thị dãy x(n) = u (n) đi 2 mẫu theo
trục tung.
b. Vì k = - 2 < 0 nên dãy y 2 (n) = x(n + 2) = u (n + 2) là dãy u (n) được đẩy sớm 2 mẫu, đồ
thị dãy y 2 (n) = u (n + 2) nhận được bằng cách dịch trái đồ
thị dãy x(n) = u (n) đi 2 mẫu theo trục tung.
Đồ thị các dãy u(n), u(n - 2) và u(n + 2) trên các hình 1.11 và 1.12.
1.2.4b Tổng đại số của các dãy
Định nghĩa : Tổng đại số của M dãy x i(n) là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tổng
đại số tất cả các mẫu tương ứng của các dãy thành phần.
Kí hiệu :

y ( n) =

M

∑
i =1

x i ( n)

[1.2-17]

Ví dụ 1.6 : Cho dãy x1 (n) = rect 4 (n) và dãy x 2 (n) = rect 3 (n − 1) , hãy xác định dãy
y ( n) = x1 ( n) − x 2 ( n)

Giải : Có y (n) = rect4 (n) − rect3 (n − 1) = δ (n)
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

rect4(n)

10


Để thấy rõ hơn kết quả trên, xác
định y(n) bằng đồ thị như trên hình 1.16.
1.2.4c Phép nhân các dãy
Định nghĩa : Tích của M dãy xi(n) là dãy
y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tích tất cả
các mẫu tương ứng của các dãy thành
phần.

1
-1 0

3

n

4

1

-1 0

[1.2-

1

2

3

n

4

y(n) = δ(n)

i =1

18]
Ví dụ 1.7 : Cho dãy x1 (n) = u (n)
và dãy x 2 (n) = rect 5 (n + 2) ,
hãy xác định dãy y (n) = x1 (n).x 2 (n) .
Giải : Theo định nghĩa có :

2

rect3(n - 1)

M

Kí hiệu : y (n) = ∏ xi (n)

1

1

n
Hình- 11.16
0 :1 Đồ2 thị3 xác4 định
rect4(n) - rect3(n-1) = δ(n)

y ( n) = u ( n).rect 5 (n + 2) = rect 3 ( n)

Để thấy rõ hơn kết quả trên, có thể
giải ví dụ bằng bảng 1.2 dưới đây :
Bảng 1.2
n
x1(n) = u(n)
x2(n) = rect5(n + 2)
y(n) = x1(n).x2(n) = rect3(n)

-3
0
0
0

-2
0
1
0

-1
0
1
0

0
1
1
1

1
1
1
1

2
1
1
1

3
1
0
0

4
1
0
0

Từ ví dụ trên có thể thấy rằng, tích của một dãy bất kỳ với dãy u(n) là một dãy
bằng chính nó trong miền n ≥ 0.
1.2.4d Phép nhân một dãy với hằng số
Định nghĩa : Tích của dãy x(n) với hằng số a là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tích
của a với các mẫu tương ứng của x(n).
y ( n) = a. x( n)
Kí hiệu :
[1.2-19]
Phép nhân dãy x(n) với hằng số a còn thường được gọi là phép lấy tỷ lệ.
Ví dụ 1.8 : Cho dãy x(n) = rect4(n), hãy biểu diễn dãy y(n) = 2.rect4(n) dưới dạng dãy
số liệu.

{ 1 ,1,1,1 }
Dãy y(n) = 2.rect (n) có dạng dãy số liệu là y (n) = { 2, 2 , 2 , 2 }
Giải : Dãy rect4(n) có dạng dãy số liệu là x(n) =
4

↑

↑

1.2.5 Khái niệm về tích chập tuyến tính
1.2.5a Định nghĩa tích chập tuyến tính : Tích chập tuyến tính giữa hai dãy x 1(n) và
x2(n) là dãy y(n) được xác định và ký hiệu theo biểu thức :
y ( n) =

∞

∑

x1 ( k ).x 2 ( n − k ) = x1 ( n) * x 2 ( n)

[1.2-20]

k = −∞

Tích chập tuyến tính thường được gọi vắn tắt là tích chập.
1.2.5b Các tính chất của tích chập
1. Tính giao hoán :
x1 ( n) * x 2 ( n) = x 2 ( n) * x1 ( n)

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

[1.2-21]
11


Chứng minh : Theo công thức định nghĩa tích chập [1.2-20] có :
x1 ( n) * x 2 ( n) =

∞

∑ x (k ).x
1

2 (n

− k)

k = −∞

Đổi biến cho biểu thức ở vế phải, đặt m = (n - k) ⇒ k = (n - m).
Khi k → - ∞ thì m → ∞ và khi k → ∞ thì m → - ∞, nhận được :
∞

∑

x1 ( k ).x 2 ( n − k ) =

k = −∞

−∞

∑ x (n − m).x
1

2 ( m)

m =∞

Đảo cận và đổi biến m trở về k đối với biểu thức ở vế phải, nhận được :
∞

∑

∞

∑x

x1 ( k ).x 2 ( n − k ) =

k = −∞

2 ( k ).x1 ( n

− k)

k = −∞

Đây chính là biểu thức [1.2-21] : x1 (n) * x 2 (n) = x 2 (n) * x1 (n)
2. Tính kết hợp :
x1 ( n) * [ x 2 ( n) * x3 ( n)] = [ x1 ( n) * x 2 ( n)] * x3 ( n)

[1.2-22]

Chứng minh : áp dụng tính giao hoán cho vế trái của [1.2-22] :
x1 ( n) * [ x 2 ( n) * x3 (n)] = [ x 2 ( n) * x3 ( n)] * x1 ( n) =

 ∞

x 2 (k ) . x3 ( n − k )  .x1 ( n − k ) =

k = −∞  k = −∞

[ x1 ( n) * x 2 ( n)] * x3 (n)
=

∞

∑ ∑

=

 ∞

x 2 (k ) . x1 (n − k )  .x3 ( n − k ) =

k = −∞  k = −∞

∞

∑ ∑

Đây chính là biểu thức ở vế phải của [1.2-22]
3. Tính phân phối :

x1 ( n) * [ x 2 ( n) + x3 ( n)] = x1 (n) * x 2 ( n) + x1 (n) * x3 ( n)

[1.2-23]
Chứng minh : Viết vế trái của [1.2-23] theo công thức tích chập [1.2-20] :
x1 ( n) * [ x 2 ( n) + x3 ( n)] =

∞

∑ x (k ).[ x
1

2 (n

− k ) + x3 ( n − k )]

k = −∞

x1 ( n) * [ x 2 ( n) + x3 ( n)] =

∞

∑

x1 ( k ).x 2 (n − k ) +

k = −∞

∞

∑ x (k ).x
1

2 (n

− k)

k = −∞

Vậy : x1 (n) * [ x 2 (n) + x3 (n)] = x1 (n) * x 2 (n) + x1 (n) * x3 (n)
Đây chính là biểu thức ở vế phải của [1.2-23].
1.2.5c Hệ quả : Mọi dãy x(n) đều bằng tích chập của chính nó với hàm xung đơn vị

δ(n) :

x ( n) =

Hoặc:

x ( n) =

∞

∑ x(k ).δ (n − k ) = x(n) *δ (n)

k = −∞

[1.2-24]

∞

∑ δ (k ).x(n − k ) = δ (n) * x(n)

[1.2-25]

k = −∞

Chứng minh: Luôn có x(k ) = x(k ).δ (n − k ) với mọi k ∈ (- ∞, ∞). Vì thế, khi lấy tổng các
mẫu x(k) với k∈ (- ∞, ∞), nhận được [1.2-24] . Theo tính chất giao hoán của tích chập,
từ [1.2-24] nhận được [1.2-25].
1.3. Tín hiệu số
1.3.1 Biểu diễn và phân loại tín hiệu số
1.3.1a Biểu diễn tín hiệu số
Tín hiệu số là hàm của biến thời gian rời rạc x(nT), trong đó n là số nguyên, còn

T là chu kỳ rời rạc. Để thuận tiện cho việc xây dựng các thuật toán xử lý tín hiệu số,
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

12


người ta chuẩn hóa biến thời gian rời rạc nT theo chu kỳ T, nghĩa là sử dụng biến n =
(nT/T). Khi đó, tín hiệu số x(nT) được biểu diễn thành dạng dãy số x(n), do đó có thể
sử dụng các biểu diễn của dãy số để biểu diễn tín hiệu số, cũng như sử dụng các phép
toán của dãy số để thực hiện tính toán và xây dựng các thuật toán xử lý tín hiệu số.
Giống như dãy số x(n), tín hiệu số có thể được biểu diễn dưới các dạng hàm số,
bảng số liệu, đồ thị và dãy số liệu. Người ta thường sử dụng biểu diễn tín hiệu số dưới
dạng dãy số liệu có độ dài hữu hạn để xử lý tín hiệu số bằng các chương trình phần
mềm.
Các phép toán cơ bản được sử dụng trong xử lý tín hiệu số là cộng, nhân, nhân
với hằng số, và phép trễ. Phép dịch sớm có thể được sử dụng ở các hệ xử lý số bằng
phần mềm trong thời gian không thực.
1.3.1b Phân loại tín hiệu số
Có thể phân loại tín hiệu số theo dạng của dãy x(n), như đã được
trình bày ở 1.2. Một số loại tín hiệu số thường gặp là:
- Tín hiệu số xác định và ngẫu nhiên.
- Tín hiệu số tuần hoàn và không tuần hoàn.
- Tín hiệu số hữu hạn và vô hạn.
- Tín hiệu số là dãy một phía.
- Tín hiệu số là dãy số thực.
- Tín hiệu số là dãy chẵn, và dãy lẻ.
- Tín hiệu số là dãy đối xứng, và dãy phản đối xứng.
Ngoài ra, theo giá trị năng lượng và công suất của tín hiệu số, người ta còn phân
biệt hai loại tín hiệu số sau:
- Tín hiệu số năng lượng là tín hiệu số có năng lượng hữu hạn.

- Tín hiệu số công suất là tín hiệu số có công suất hữu hạn.
1.3.2 Các tham số cơ bản của tín hiệu số
1.3.2a Độ dài của tín hiệu số là khoảng thời gian tồn tại của tín hiệu tính bằng số
mẫu.
Độ dài của tín hiệu số đặc trưng cho khoảng thời gian mà hệ xử lý số phải xử lý
tín hiệu. Tín hiệu số có độ dài hữu hạn hoặc vô hạn được biểu diễn bằng dãy hữu hạn
hoặc dãy vô hạn tương ứng. Độ dài hữu hạn của tín hiệu số thường được ký hiệu là N
(hoặc một chữ cái khác).
Tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N được xác định với đối số n ∈ [0,
(N - 1)], và thường được ký hiệu là x(n)N .
Tín hiệu số x(n) hai phía có độ dài hữu hạn (2N + 1) được xác định với đối số n
∈ [-N, N].
Có thể tăng độ dài của tín hiệu số hữu hạn x(n)N mà không làm thay đổi nó,
bằng cách thêm vào x(n) các mẫu có giá trị bằng 0 khi n ≥ N.
1.3.2b Giá trị trung bình của tín hiệu số bằng tổng giá trị tất cả các mẫu chia cho
độ dài của tín hiệu.
Giá trị trung bình x(n) của tín hiệu số x(n) được tính như sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
x ( n) =

1
N

N −1

∑ x (n)

[1.3-1]

n =0

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

13


- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):
x ( n) =

N

1

∑ x ( n)

[1.3-2]

(2 N + 1) n = − N

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
x( n) = Lim

N →∞

1
N

N −1

∑ x( n)

[1.3-3]

n =0

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
x( n) = Lim

N →∞

N

1

∑ x( n)

[1.3-4]

( 2 N + 1) n = − N

Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có giá trị trung bình hữu
hạn, còn giá trị trung bình của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.
1.3.2c Năng lượng của tín hiệu số bằng tổng bình phương giá trị tất cả các mẫu của
tín hiệu.
Năng lượng Ex của tín hiệu số x(n) được tính như sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
Ex =

N −1

∑

2

x( n)

[1.3-5]

n=0

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):
N

∑

Ex =

x( n)

2

[1.3-6]

n =− N

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
Ex =

∞

∑

x( n)

2

[1.3-7]

n=0

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
∞

Ex =

∑

x( n)

2

[1.3-8]

n = −∞

Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có năng lượng hữu hạn và
chúng là các tín hiệu năng lượng. Năng lượng của các tín hiệu số vô hạn có thể là hữu
hạn hoặc vô hạn.
1.3.2d Công suất trung bình của tín hiệu số bằng giá trị trung bình của năng lượng
tín hiệu trên một mẫu (bằng trung bình bình phương của tín hiệu).

Công suất trung bình Px của tín hiệu số x(n) được tính như sau:
- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:
Px =

Ex
N

=

1

N −1

∑
N

x ( n)

2

= x 2 (n)

[1.3-9]

n =0

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):
Px =

Ex

( 2 N + 1)

=

1

N

∑

( 2 N + 1) n = − N

x( n)

2

= x 2 (n)

[1.3-10]

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:
Px = Lim

N →∞

Ex
N

= Lim

N →∞

1

N −1

∑
N

x ( n)

2

= x 2 (n)

[1.3-11]

n =0

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

14


Px = Lim

N →∞

Ex

(2 N + 1)

= Lim

N →∞

N

1

∑

x( n)

( 2 N + 1) n = − N

2

= x 2 (n)

[1.3-12]

Theo các biểu thức trên, các tín hiệu số hữu hạn luôn có công suất trung bình
hữu hạn và chúng là các tín hiệu công suất. Công suất trung bình của các tín hiệu số vô
hạn có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.
Như vậy, tín hiệu số hữu hạn có giá trị trung bình, năng lượng và công suất hữu
hạn, chúng là tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất.
Ví dụ 1.9: Hãy xác định các tham số cơ bản của các tín hiệu số sau:

π



a. δ(n) ; b. u(n) ; c. rectN(n) ; d. x(n) = cos 2 n  với n ∈ [-4, 4]




Giải: a. Các tham số cơ bản của tín hiệu xung đơn vị δ(n):
- Tín hiệu số δ(n) có độ dài hữu hạn N = 1 .
- Giá trị trung bình theo [1.3-1]: δ (n) = 1
0

∑1=1

Eδ =

- Năng lượng theo [1.3-5]:

n =0

- Công suất trung bình theo [1.3-9]: Pδ =

Eδ

1

=

N

1

=1

b. Các tham số cơ bản của tín hiệu bậc thang đơn vị u(n):
- Tín hiệu số u(n) có độ dài vô hạn
- Giá trị trung bình theo [1.3-3]: u (n) = Lim

N →∞

Eu =

- Năng lượng theo [1.3-7]:

∞

N −1

1

∑ u (n) = Lim
N

∑ u (n)

N →∞

n =0

2

∞

∑

=

n =0

2

1

N

=1

N

=∞

n =0

- Công suất trung bình theo [1.3-11]:
Pu

= Lim

N →∞

1

N −1

∑
N

2

u (n) = Lim

N →∞

n =0

1

N −1

∑
N

1

2

N

= Lim

N →∞

n =0

N

=1

Vậy u(n) là tín hiệu công suất, không phải tín hiệu năng lượng.
c. Các tham số cơ bản của tín hiệu xung chữ nhật rectN(n):
- Tín hiệu số rectN(n) có độ dài hữu hạn N
- Giá trị trung bình theo [1.3-1]:

rect N (n) =

1

N −1

∑ rect
N

( n) =

n =0

N −1

- Năng lượng theo [1.3-5]:

N

Ex

- Công suất trung bình theo [1.3-9]:

= ∑ rect N (n)

2

n =0

Px =

Ex
N

=

N
N

=

N

N −1

∑

=1

N
1

2

=N

n=0

=1
π



d. Các tham số cơ bản của tín hiệu số x(n) = cos 2 n  với n ∈ [-4, 4]:




- Tín hiệu số x(n) hai phía có độ dài hữu hạn N = 2.4 + 1 = 9
- Giá trị trung bình theo [1.3-2]:
x ( n) =

1
9

4

π 

∑ cos 2 n  =

n = −4

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

π
π
 π 
cos(− 4) + cos − 3  + cos(− 2) +

2
2
9 
 2 
1 

15


 π
π 
π 
π 
 π 
cos − + cos(0) + cos  + cos 2  + cos 3  + cos 4 

 2
2
2 
2 
 2 
1

x ( n) =

9

[1 + 0 − 1 + 0 + 1 + 0 − 1 + 0 + 1] =

1
9

- Năng lượng theo [1.3-6]:
Ex =

4

∑ cos

n = −4

2π


 n = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 = 5
2 

- Công suất trung bình theo [1.3-10]:

Px =

Ex
2N + 1

=

5
9

1.4. Hệ xử lý số
1.4.1 Mô tả hệ xử lý số
Giống như đối với hệ tương tự, để nghiên cứu, phân tích hoặc tổng hợp các hệ
xử lý số, người ta coi hệ xử lý số là một hộp đen và mô tả nó bằng quan hệ giữa tác
động trên đầu vào và phản ứng trên đầu ra của hệ, quan hệ đó được gọi là quan hệ vào
ra. Quan hệ vào ra của hệ xử lý số có thể được mô tả bằng biểu thức toán học, và
thông qua nó có thể xây dựng được sơ đồ khối hoặc sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số.
1.4.1a Mô tả hệ xử lý số bằng quan hệ vào ra
Xét một hệ xử lý số có tác động x(n) và phản ứng y(n), khi đó quan hệ giữa
chúng có thể được mô tả bằng hàm số toán học F[ ] :
y ( n) = F [... x(n) ... ]
[1.4-1]
F
x( n) →
y (n)
Hoặc :
[1.4-2]

Theo [1.4-1], phản ứng y(n) phụ thuộc vào dạng của hàm số F[ ]. Dạng của
hàm số F[ ] phản ảnh cấu trúc phần cứng hoặc thuật toán phần mềm của hệ xử lý số, vì
thế ta có thể dùng hàm số F[ ] để mô tả hệ xử lý số. Quan hệ vào ra [1.4-1] có dạng
tổng quát cụ thể như sau :
y (n) = F [... , bk x(n − k ) , ..., a r y (n − r ), ... ]
[1.4-3]
Trong đó :
- Các thành phần của tác động bk x(n − k ) với k ∈ (- ∞, ∞).
- Các thành phần của phản ứng bị giữ chậm a r y (n − r ) với r ∈ [1, ∞).
- Các hệ số a r và bk có thể bằng 0, có thể là hằng số, có thể phụ thuộc vào tác động
x(n), phản ứng y(n), hoặc biến thời gian rời rạc n.
Ví dụ 1.10 : Hệ xử lý số có tác động x(n), phản ứng y(n) được mô tả bằng quan hệ vào
ra y (n) = F [ ] = 2 x(n) + 3 x(n − 1) . Hệ trên có các hệ số b0 = 2, b1 = 3, bk = 0 với mọi k
< 0 và k > 1, và ar = 0 với mọi r ≥ 1
1.4.1b Mô tả hệ xử lý số bằng sơ đồ khối
Hệ xử lý số có thể được mô tả bằng sơ đồ khối như trên hình 1.17.
x(n)

F[ ]

y(n)

Hình 1.17 : Sơ đồ khối của hệ xử lý số
Hệ xử lý số phức tạp có thể được mô tả bằng sơ đồ khối với sự liên kết của
nhiều khối Fi[ ] như trên hình 1.18.
x(n)

F1[ ]

F2[ ]

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

F3[ ]

y(n)

16


Hình 1.18 : Sơ đồ khối của hệ xử lý số phức tạp
Nếu thay các biểu thức Fi[ ] của sơ đồ khối trên bằng chức năng của các khối
thì đó là sơ đồ khối chức năng.
Ví dụ 1.11 : Trên hình 1.19 là sơ đồ khối của hệ xử lý số có quan hệ vào ra cho ở ví
dụ 1.10 : y (n) = F [ ] = 2 x( n) + 3 x(n − 1) .
x(n)

y(n)

2x(n) + 3x(n - 1)

Hình 1.19 : Sơ đồ khối của hệ xử lý số y (n) = 2 x(n) + 3 x(n − 1)
1.4.1c Mô tả hệ xử lý số bằng sơ đồ cấu trúc
Dựa trên quan hệ vào ra [1.4-1], cũng có thể mô tả hệ xử lý số bằng sơ đồ cấu
trúc. ở đây, cần phân biệt sự khác nhau giữa sơ đồ khối và sơ đồ cấu trúc.
Sơ đồ cấu trúc gồm các phần tử cơ sở biểu diễn các phép toán trên các tín hiệu
số hoặc dãy số liệu.
Sơ đồ khối có mỗi khối đặc trưng cho một cấu trúc lớn, mà chính nó có thể
được mô tả bằng sơ đồ khối chi tiết hơn hoặc sơ đồ cấu trúc.
Về phương diện phần cứng thì sơ đồ khối cho biết cấu trúc tổng thể của hệ xử

lý số, còn sơ đồ cấu trúc cho phép thiết kế và thực hiện một hệ xử lý số cụ thể. Về
phương diện phần mềm thì sơ đồ khối chính là thuật toán tổng quát của một chương
trình xử lý số liệu mà mỗi khối có thể xem như một chương trình con, còn sơ đồ cấu
trúc là thuật toán chi tiết mà từ đó có thể viết được các dòng lệnh của một chương trình
hoặc chương trình con. Các phần tử cấu trúc được xây dựng trên cơ sở các phép toán
đối với các dãy số là cộng, nhân, nhân với hằng số, dịch trễ và dịch sớm.
1. Phần tử cộng : Phần tử cộng dùng để cộng hai hay nhiều tín hiệu số, nó là phần
tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.22.
x1(n)
x1(n)

y(n)

+

x2(n)

y(n)

+

xi(n)

x2(n)

xM(n)
M

b. y (n) = ∑ xi (n)

a. y(n) = x1(n) + x2(n)

i =1

Hình 1.20 : Ký hiệu phần tử cộng.
Mạch phần cứng có bộ cộng hai tín hiệu số như ở hình 1.20a, chúng là vi mạch
cộng hai dãy số mã nhị phân 4 bit hoặc 8 bit.
2. Phần tử nhân : Phần tử nhân dùng để nhân hai hay nhiều tín hiệu số, nó là phần
tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.21.
x1(n)
x1(n)
x2(n)

X

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

y(n)

x2(n)

X

y(n)

xi(n)
xM(n)

17

b. y (n) =

a. y(n) = x1(n) . x2(n)

M

∏ x (n)
i

i =1

Hình 1.21 : Ký hiệu phần tử nhân.
Mạch phần cứng có bộ nhân hai tín hiệu số như ở hình 1.21a, chúng là vi mạch
nhân hai số mã nhị phân 4 bit hoặc 8 bit.
3. Phần tử nhân với hằng số : Phần tử nhân với hằng số dùng để nhân một tín hiệu
số với một hằng số, nó là phần tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.22.
x(n)

y(n) = a.x(n)
a
Hình 1.22 : Ký hiệu phần tử nhân với hằng số.

Để nhân tín hiệu số x(n) với hằng số a, sử dụng bộ nhân hai số với một
đầu vào là tín hiệu số x(n), còn đầu vào kia là giá trị mã của a.
4. Phần tử trễ đơn vị : Phần tử trễ đơn vị dùng để giữ trễ tín hiệu số x(n) một mẫu,
nó là phần tử có nhớ và được ký hiệu như ở hình 1.23.
x(n)

y(n) = x(n - 1)

D

Hình 1.23 : Ký hiệu phần tử trễ đơn vị.
Đối với mạch phần cứng, để thực hiện giữ trễ tín hiệu số x(n), người ta sử dụng
bộ ghi dịch, thanh ghi chốt hoặc bộ nhớ, chúng thường được sản xuất dưới dạng vi
mạch số 4 bit hoặc 8 bit.
5. Phần tử vượt trước đơn vị : Phần tử vượt trước đơn vị dùng để đẩy sớm tín hiệu
số một mẫu (đẩy nhanh một nhịp), nó là phần tử có nhớ và được ký hiệu như trên hình
1.24.
x(n)

y(n) = x(n + 1)

AD

Hình 1.24 : Ký hiệu phần tử vượt trước đơn vị.
Phần tử vượt trước đơn vị là phần tử không thể thực hiện được trên thực tế, nên
không có mạch phần cứng, nó chỉ được dùng để mô tả các hệ xử lý số là thuật toán
phần mềm.
Để xây dựng sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số, cần liên kết các phần tử cấu trúc cơ
sở theo dạng hàm số mô tả quan hệ vào ra của hệ.
Ví dụ 1.12 : Trên hình 1.25 là sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số có quan hệ vào ra đã
được nêu ở ví dụ 1.10 : y (n) = 2 x(n) + 3 x(n − 1)
2.x(n)

x(n)
2

D

x(n - 1)

y(n)

+
3.x(n - 1)

3

Hình 1.25 : Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số y (n) = 2 x(n) + 3 x(n − 1) .
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

18


1.4.2 Phân loại hệ xử lý số theo quan hệ vào ra
Theo giá trị và tính chất của các hệ số a r và bk trong quan hệ vào ra tổng quát
[1.4-3], người ta phân loại hệ xử lý số như dưới đây.
1.4.2a Hệ xử lý số không nhớ và có nhớ
∗ Hệ xử lý số không nhớ là hệ có phản ứng chỉ phụ thuộc vào tác động ở cùng thời
điểm và có quan hệ vào ra :
y ( n) = F [ b0 x( n) ]
[1.4-4]
Trong đó, hệ số b0 có thể là hằng số, phụ thuộc vào x(n) hoặc n.
∗ Hệ xử lý số có nhớ là hệ có phản ứng phụ thuộc vào tác động ở các thời điểm
hiện tại và quá khứ theo quan hệ vào ra [1.4-3].
Ví dụ 1.13 : - Hệ xử lý số có quan hệ vào ra y (n) = n.x(n) là hệ không nhớ.
- Hệ xử lý số có quan hệ vào ra y (n) = 2 x(n) + 3 x(n − 1) là hệ có nhớ.
1.4.2b Hệ xử lý số tuyến tính và phi tuyến

∗ Hệ xử lý số tuyến tính là hệ có quan hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động,
đồng thời thỏa mãn nguyên lý xếp chồng.
∗ Hệ xử lý số phi tuyến là hệ không thỏa mãn một trong các điều kiện trên.
Quan hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động được phát biểu như sau : Hệ xử lý
số có quan hệ hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động, nếu và chỉ nếu tác động x(n)
gây ra phản ứng y(n), thì tác động a.x(n) gây ra phản ứng a.y(n), với a là hằng số.
Theo quan hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động, hệ xử lý số tuyến tính có
quan hệ vào ra thỏa mãn điều kiện :
F [ x( n)] = y ( n)
Nếu :
F [ a.x( n)] = a.F [ x( n)] = a. y ( n)
Thì :
[1.4-5]
Hệ xử lý số có quan hệ vào ra không thỏa mãn [1.4-5] là hệ phi tuyến.
Nguyên lý xếp chồng được phát biểu như sau : Hệ xử lý số tuyến tính dưới tác
động là xếp chồng của nhiều tác động x k(n) sẽ có phản ứng y(n) bằng xếp chồng của
các phản ứng yk(n) do mỗi tác động thành phần xk(n) gây ra.
Theo nguyên lý xếp chồng, hệ xử lý số tuyến tính có quan hệ vào ra thỏa mãn
điều kiện :
F [ x k ( n)] = y k ( n)
Nếu :
Thì :




a k .x k ( n)  =
 k =1


F

m

∑

m

∑

a k .F [ x k (n)] =

k =1

m

∑a

k .yk

( n ) = y ( n)

[1.4-6]

k =1

Hệ xử lý số có quan hệ vào ra không thỏa mãn [1.4-6] là hệ phi tuyến.
Rõ ràng, điều kiện [1.4-5] chỉ là một trường hợp riêng của điều kiện [1.4-6] khi
m = 1, tức là nguyên lý xếp chồng đã bao hàm cả quan hệ bậc nhất, do đó có thể phát
biểu :

Hệ xử lý số là hệ tuyến tính nếu và chỉ nếu quan hệ vào ra của nó thỏa mãn
nguyên lý xếp chồng theo điều kiện [1.4-6].
Để thoả mãn điều kiện [1.4-6], thì hệ xử lý số tuyến tính phải có quan hệ vào ra
tổng quát [1.4-3] với tất cả các hệ số a r và bk không phụ thuộc vào tác động x(n)
hoặc phản ứng y(n), nhưng có thể phụ thuộc vào biến thời gian rời rạc n.
Ví dụ 1.14 : Hãy xét tính tuyến tính của các hệ xử lý số sau :
a. y (n) = n.x(n)
b. y (n) = x 2 (n)
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

19


Giải : a. Phản ứng của hệ đối với hai tác động riêng rẽ x1(n) và x2(n) :
y1 ( n) = n.x1 (n) = F [ x1 ( n)]
y 2 ( n) = n.x 2 ( n) = F [ x 2 ( n)]

Phản ứng của hệ đối với tác động xếp chồng x(n) = [a1 x1 (n) + a 2 x 2 (n)] :
y ( n) = F [ a1 x1 (n) + a 2 x 2 ( n)] = n.[a1 x1 ( n) + a 2 x 2 (n)]
y ( n) = n.a1 .x1 (n) + n. a 2 .x 2 ( n) = a1 .[ n.x1 ( n)] + a 2 .[ n.x 2 ( n)]
y ( n) = a1 y1 ( n) + a 2 y 2 ( n) = a1 .F [ x1 ( n)] + a 2 .F [ x 2 ( n)]
Vậy :
Hệ a có quan hệ vào ra thỏa mãn điều kiện [1.4-6] nên là hệ tuyến tính.
b. Phản ứng của hệ đối với hai tác động riêng rẽ x1(n) và x2(n) :
y1 ( n) = x12 (n) = F [ x1 ( n)]
y 2 ( n) = x 22 ( n) = F [ x 2 ( n)]

Phản ứng của hệ đối với tác động xếp chồng x(n) = [a1 x1 (n) + a 2 x 2 (n)] :
y ( n) = F [a1 x1 ( n) + a 2 x 2 ( n)] = [ a1 x1 ( n) + a 2 x 2 ( n)] 2
y ( n) = a12 .x12 ( n) + 2.a1 .a 2 .x1 ( n).x 2 (n) + a 22 x 22 ( n)

y ( n) = a12 . y1 ( n) + 2.a1 .a 2 .x1 ( n).x 2 ( n) + a 22 . y 2 (n)

Vậy :

y ( n) ≠ a1 .F [ x1 ( n)] + a 2 .F [ x 2 (n)]

Hệ b có quan hệ vào ra không thỏa mãn điều kiện [1.4-6] nên là hệ phi tuyến.
Cũng có thể nhận được ngay kết quả trên khi nhận xét rằng, hệ a có quan hệ vào
y
(
n
)
= n.x( n) , với hệ số b0 = n không phụ thuộc vào tác động và phản ứng nên là hệ
ra
tuyến tính. Hệ b có quan hệ vào ra y (n) = x 2 (n) = x(n).x(n) , với hệ số b0 = x(n) nên là hệ
phi tuyến.
1.4.2c Hệ xử lý số bất biến và không bất biến
∗ Hệ xử lý số bất biến là hệ có tác động x(n) dịch k mẫu thì phản ứng y(n) cũng chỉ
dịch cùng chiều k mẫu mà không bị biến đổi dạng.
Hệ xử lý số bất biến có quan hệ vào ra thỏa mãn điều kiện :
F [ x k ( n)] = y k ( n)
Nếu :
F [ x( n − k )] = y ( n − k )
Thì :
[1.4-7]
Và hệ xử lý số có quan hệ vào ra thoả mãn [1.4-7] là hệ bất biến.
Để thoả mãn điều kiện [1.4-7], thì hệ xử lý số bất biến phải có quan hệ vào ra
tổng quát [1.4-3] với tất cả các hệ số a r và bk không phụ thuộc vào vào biến thời gian
rời rạc n, nhưng có thể phụ thuộc tác động x(n) hoặc phản ứng y(n).
∗ Hệ xử lý số không bất biến là hệ có quan hệ vào ra không thỏa mãn điều kiện

[1.4-7].
Ví dụ 1.15 : Hãy xét tính bất biến của các hệ xử lý số sau :
a. y (n) = n.x(n)
b. y (n) = x 2 (n)
Giải : a. Với tác động x(n) thì tại thời điểm (n − k ) hệ a có phản ứng :
y ( n − k ) = ( n − k ).x(n − k )

Còn với tác động x(n − k ) thì phản ứng là n.x(n − k ) ≠ y (n − k ) . Hệ a có quan hệ
vào ra không thỏa mãn [1.4-7] nên là hệ không bất biến.
b. Với tác động x(n) thì tại thời điểm (n − k ) hệ b có phản ứng :
y (n − k ) = x 2 (n − k )

Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

20


Còn với tác động là x(n − k ) thì phản ứng là x 2 (n − k ) = y (n − k ) . Hệ b có quan hệ
vào ra thỏa mãn điều kiện [1.4-7] nên là hệ bất biến.
Có thể nhận được ngay kết quả trên khi nhận xét rằng, hệ a có quan hệ vào ra
y ( n) = n.x( n) , với hệ số b0 = n nên là hệ không bất biến. Hệ b có quan hệ vào ra
y ( n) = x 2 (n) = x(n).x( n) , với hệ số b0 = x(n) không phụ thuộc vào biến rời rạc n nên là
hệ bất biến.
Các hệ xử lý số tuyến tính và bất biến theo thời gian (được viết tắt là hệ xử lý
số TTBB) có quan hệ vào ra tổng quát dạng [1.4-3] :
y (n) = F [... , bk x(n − k ) , ..., a r y (n − r ), ... ]

với tất cả các hệ số a r và bk đều là hằng số.
Các hệ xử lý số TTBB là một lớp hệ xử lý số thường gặp trong thực tế, đồng
thời các công cụ toán học để phân tích, tổng hợp chúng đã được nghiên cứu khá đầy

đủ.
1.4.2d Hệ xử lý số nhân quả và không nhân quả
∗ Hệ xử lý số nhân quả là hệ có phản ứng chỉ phụ thuộc vào tác động ở các thời
điểm quá khứ và hiện tại, không phụ thuộc vào tác động ở các thời điểm tương lai.
Hệ xử lý số nhân quả luôn thỏa mãn điều kiện :
Nếu :
Tác động x(n) = 0 với mọi n < k
Thì :
Phản ứng y(n) = 0 với mọi n < k
[1.4-8]
Và hệ xử lý số có quan hệ vào ra thoả mãn [1.4-8] là hệ nhân quả.
Hiểu một cách nôm na thì hệ xử lý số nhân quả phải có tác động là nguyên nhân
thì mới có phản ứng là kết quả, tức là phản ứng không thể xuất hiện trước tác động.
Để thoả mãn điều kiện [1.4-8], hệ xử lý số nhân quả phải có quan hệ vào ra
[1.4-3] với các thành phần của tác động bk x(n − k ) chỉ có k ≥ 0, do đó hệ xử lý số nhân
quả có quan hệ vào ra [1.4-3] với k ≥ 0 và r ≥ 1 :
y (n) = F [ b0 x(n) , ... , bk x(n − k ) , ..., a r y (n − r ), ... ]

[1.4-9]
.∗ Hệ xử lý số không nhân quả : Hệ xử lý số có phản ứng phụ thuộc vào tác động ở
các thời điểm tương lai là hệ không nhân quả. Hệ không nhân quả có quan hệ vào ra
không thỏa mãn điều kiện [1.4-8].
Vì trong thời gian thực không thể biết được giá trị của tín hiệu ở tương lai, nên
không thể thực hiện được các hệ xử lý số không nhân quả. Tuy nhiên, trong trường
hợp giá trị của tín hiệu số đã được lưu giữ trong bộ nhớ của máy tính và quá trình xử
lý số liệu không cần tiến hành trong thời gian thực, thì có thể thực hiện được hệ xử lý
số liệu không nhân quả. Như vậy, trên thực tế không có hệ xử lý tín hiệu số không
nhân quả, nhưng có thể xây dựng được hệ xử lý số liệu không nhân quả.
Ví dụ 1.16 : Xét tính nhân quả của các hệ xử lý số sau :
a. y (n) = n.x(n)

b. y (n) = 3 x(n + 2)
Giải : a. Hệ xử lý số a có phản ứng chỉ phụ thuộc vào tác động ở thời điểm hiện tại
nên là hệ nhân quả, quan hệ vào ra của nó thỏa mãn điều
kiện [1.4-8] : Khi tác động x(n) = 0 thì phản ứng y(n) = 0 .
b. Xét tại n = 0 thì phản ứng y(0) = 3x(2), hệ xử lý số b có phản ứng phụ thuộc
vào tác động ở thời điểm tương lai nên là hệ không nhân quả, quan hệ vào ra của nó
không thỏa mãn điều kiện [1.4-8].
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

21


Các hệ xử lý số tuyến tính, bất biến và nhân quả (được viết tắt là hệ xử lý số
TTBBNQ) có quan hệ vào ra tổng quát [1.4-3] là :
y (n) = F [ b0 x(n) , ... , bk x(n − k ) , ..., a r y (n − r ), ... ]

với k ≥ 0, r ≥ 1 và tất cả các hệ số a r và bk đều là hằng số.
Quyển sách này sẽ chỉ trình bầy về các hệ xử lý số TTBB, trong đó chủ yếu là
về các hệ xử lý số TTBBNQ
1.4.2e Hệ xử lý số đệ quy và không đệ quy
∗ Hệ xử lý số không đệ quy là hệ có phản ứng y(n) chỉ phụ thuộc vào tác động
x(n).
Hệ xử lý số nhân quả không đệ quy có quan hệ vào ra [1.4-9] không có các
thành phần của phản ứng ở quá khứ a r y (n − r ) :
y (n) = F [ b0 x(n), b1 x( n − 1), ..., bk x(n − k ) , ... ]
[1.4-10]
Quan hệ vào ra [1.4-10] được gọi là quan hệ vào ra không đệ quy.
∗ Hệ xử lý số đệ quy là hệ có phản ứng y(n) phụ thuộc vào cả tác động bk x(n − k )
lẫn phản ứng ở quá khứ a r y (n − r ) .
Hệ xử lý số nhân quả đệ quy có quan hệ vào ra [1.4-9] với r ≥ 1 :

y (n) = F [ b0 x(n) , ... , bk x(n − k ) , ..., a r y ( n − r ), ... ]
[1.4-11]
Quan hệ vào ra [1.4-11] được gọi là quan hệ vào ra đệ quy.
Ví dụ 1.17 : - Hệ xử lý số y (n) = x(n) − 3 x(n − 1) là hệ không đệ quy.
- Hệ xử lý số y (n) = 2 x(n) + 3 x(n − 1) − 3 y (n − 1) là hệ đệ quy.
- Cả hai hệ xử lý số trên đều là hệ TTBBNQ vì chúng có k ≥ 0 và tất cả các hệ
số a r , bk đều là hằng số.
1.5. Đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số tuyến tính bất biến nhân quả
1.5.1 Đặc tính xung của hệ xử lý số TTBB
1.5.1a Định nghĩa : Đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số là phản ứng của hệ khi tác
động là dãy xung đơn vị δ(n) :
h(n) = F [δ (n)]
[1.5-1]
Một số tài liệu về xử lý tín hiệu số gọi h(n) là “đáp ứng xung ” do dịch sát nghĩa
thuật ngữ tiếng Anh “ impulse response “. Trong quyển sách này chúng tôi dùng thuật
ngữ “ đặc tính xung “, vì đây là thuật ngữ tiếng Việt có khái niệm tương ứng đã được
sử dụng trong môn học lý thuyết mạch, là môn học có quan hệ rất gần gũi và có nhiều
điểm tương đồng với xử lý tín hiệu số.
Do tính chất đặc biệt của dãy xung đơn vị δ(n) nên dựa vào đặc tính xung h(n),
có thể nghiên cứu và giải quyết được nhiều vấn đề của các hệ xử lý số TTBBNQ.
1.5.1b Đặc tính xung của hệ xử lý số tuyến tính
Theo [1.2-24], mọi dãy x(n) đều có thể biểu diễn dưới dạng :
x ( n) =

∞

∑ x(k ).δ (n − k ) = x(n) *δ (n)

k = −∞

Từ đó, có quan hệ vào ra :
 ∞

y ( n) = F [ x( n)] = F 
x(k )δ ( n − k )
 k = −∞


∑

[1.5-2]

Vì hệ xử lý số tuyến tính thỏa mãn điều kiện [1.4-6], nên từ [1.5-2] có :
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

22


∞

∞

k = −∞

k = −∞

y ( n) =

∑ x(k ) . F [δ (n − k )] = ∑ x(k ).h(n , k )

[1.5-3]

h( n , k ) = F [δ ( n − k )]
Trong đó:
[1.5-4]
So sánh [1.5-4] với biểu thức định nghĩa đặc tính xung [1.5-1], thì h(n, k) chính
là đặc tính xung của hệ xử lý số ứng với tác động là dãy xung đơn vị bị dịch trễ k mẫu
δ(n - k). Như vậy, đặc tính xung h(n, k) của hệ xử lý số tuyến tính không chỉ phụ thuộc
vào biến n mà còn phụ thuộc vào chỉ số k là thời điểm tác động của xung đơn vị δ(n k).
1.5.1c Đặc tính xung của hệ xử lý số TTBB
Vì hệ xử lý số TTBB thỏa mãn điều kiện [1.4-7], nên từ [1.5-4] có :
h(n , k ) = F [δ (n − k )] = h(n − k )
[1.5-5]
Theo [1.5-5], đặc tính xung h(n, k) của hệ xử lý số TTBB chính là đặc tính
xung h(n) bị dịch trễ k mẫu. Thay [1.5-5] vào [1.5-3] nhận được :
y ( n) =

∞

∑ x(k ).h(n − k )

[1.5-6]

k = −∞

Đối chiếu quan hệ vào ra [1.5-6] với công thức định nghĩa tích chập [1.2-20],
thì quan hệ vào ra [1.5-6] chính là tích chập của tác động x(n) với đặc tính xung h(n),
nên có :
y ( n) =

∞

∑ x(k ).h(n − k ) = x(n) * h(n)

[1.5-7]

k = −∞

Theo tính chất giao hoán của tích chập có :
y ( n) =

∞

∑ h(k ).x(n − k ) = h(n)* x(n)

[1.5-8]

k = −∞

Các biểu thức [1.5-6], [1.5-7] và [1.5-8] cho phép tìm phản ứng y(n) của hệ xử
lý số TTBB khi biết tác động x(n) và đặc tính xung h(n) của hệ. Đồng thời theo các
quan hệ vào ra đó có thể mô tả hệ xử lý số TTBB dưới dạng sơ đồ khối như trên hình
1.26.
x(n)

h(n)

y(n)

Hình 1.26 : Sơ đồ khối mô tả hệ xử lý số TTBB theo đặc tính xung h(n).

Các biểu thức [1.5-6], [1.5-7], [1.5-8] và sơ đồ khối hình 1.26 chứng tỏ rằng,
tuy về hiện tượng thì đặc tính xung h(n) là phản ứng của hệ xử lý số TTBB khi tác
động là dãy xung đơn vị δ(n), nhưng về bản chất thì đặc tính xung h(n) đặc trưng cho
cấu trúc phần cứng hoặc thuật toán phần mềm của hệ xử lý số TTBB.
1.5.2 Đặc tính xung của hệ xử lý số TTBBNQ
1.5.2a Định lý về đặc tính xung của hệ xử lý số TTBBNQ
Định lý : Hệ xử lý số TTBB là nhân quả nếu và chỉ nếu đặc tính xung h(n) của nó thoả
mãn điều kiện :
h ( n) = 0
víi mäi n < 0
[1.5-9]
- Chứng minh điều kiện cần : Cần chứng minh, nếu hệ xử lý số là TTBBNQ thì đặc
tính xung h(n) của nó thoả mãn điều kiện [1.5-9].
Xét hệ xử lý số TTBBNQ với tác động x(n) = x1 (n) − x 2 (n) .
Trong đó : x1 (n) = x 2 (n) víi mäi n < n0 (n0 là hằng số )
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

23


x1 (n) ≠ x 2 (n) víi mäi n ≥ n 0
và :
Hai phản ứng thành phần y1(n) và y2(n) của hệ xử lý số TTBBNQ sẽ là :
y1 ( n ) =

n0 −1

∞

1

1

k = −∞

y 2 ( n) =

∞

∑ x (k ) h(n − k ) = ∑ x ( k ) h( n − k ) + ∑ x ( k )h( n − k )
∞

∑

1

k = −∞

x 2 ( k ) h( n − k ) =

k = −∞

n0 −1

∑

k = n0
∞

x 2 ( k )h( n − k ) +

k = −∞

∑x

2 ( k )h( n

− k)

k = n0

Phản ứng y(n) của hệ xử lý số tuyến tính theo điều kiện [1.4-6] là :
y (n) = y1 (n) − y 2 (n) =

n0 −1

∞

k = −∞

k = n0

∑ [ x1 (k ) − x 2 (k )].h(n − k ) + ∑ [ x1 (k ) − x 2 (k )].h(n − k )

Vì x1 (n) = x 2 (n) víi mäi n < n0 , nên [ x1 (k ) − x 2 (k )] = 0 với ∀ k < n0, do đó có :
y ( n) = y1 (n) − y 2 ( n) =

∞

∑ [ x (k ) − x

1

2 (k )

].h(n − k )

k = n0

[1.5-10]

Do hệ xử lý số là nhân quả, nên theo điều kiện [1.4-8] nó phải có :
x1 (n) − x 2 (n) = 0
víi ∀ n < n0
Nếu :
y ( n) = y1 (n) − y 2 ( n) = 0
víi ∀ n < n0
Thì :
[1.5-11]
Vì x1 (k ) ≠ x 2 (k ) víi ∀ k ≥ n0 nên [1.5-10] chỉ đúng với [1.5-11] nếu :
h( n − k ) = 0
víi ∀ k ≥ n0 vµ ∀ n < n0
[1.5-12]
Đặt (n − k ) = m , khi đó với ∀ k ≥ n0 vµ ∀ n < n0 , thì (n − k ) = m < 0 , nên có thể viết lại
h( m) = 0
víi ∀ m < 0
[1.5-12] dưới dạng :
Vì m cũng là số tự nhiên nên có thể đổi lại biến m thành n :
h( n) = 0

víi ∀ n < 0

Đây chính là [1.5-9], điều kiện cần của định lý đã được chứng minh.
- Chứng minh điều kiện đủ : Cần chứng minh, nếu hệ xử lý số TTBB có đặc tính
xung h(n) = 0 với mọi n < 0 , thì hệ xử lý số đó là nhân quả.
Vì đặc tính xung h( n) = 0 víi ∀ n < 0 nên phản ứng của hệ xử lý số là
y (n) = h( n) * x(n) = 0 víi ∀ n < 0 . Nếu chứng minh được x( n) = 0 với mọi n < 0 , thì theo
điều kiện [1.4-8] hệ xử lý số TTBB là hệ nhân quả.
Vì h(k ) = 0 víi ∀ k < 0 nên có :
y ( n) =

∞

∞

k = −∞

k =0

∑ h ( k ) x ( n − k ) = ∑ h( k ) x ( n − k )

[1.5-13]

Vì đã có y (n) = 0 víi ∀ n < 0 , trong khi h(k ) ≠ 0 víi ∀ k ≥ 0 , nên [1.5-13] chỉ đúng nếu :
x(n − k ) = 0
víi ∀ n < 0 vµ ∀ k ≥ 0
[1.5-14]
Đặt (n − k ) = m , khi đó với ∀ n < 0 vµ ∀ k ≥ 0 , thì (n − k ) = m < 0 , nên có thể viết lại
x ( m) = 0
víi ∀ m < 0
[1.5-14] dưới dạng :

Vì m cũng là số tự nhiên nên có thể đổi lại biến m thành n :
x ( n) = 0

víi ∀ n < 0

Điều kiện đủ của định lý đã được chứng minh.
1.5.2b Dãy nhân quả, phản nhân quả, không nhân quả
Mở rộng khái niệm hệ xử lý số nhân quả, không nhân quả cho các dãy rời rạc
x(n), người ta đưa ra các định nghĩa dưới đây.
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

24


1. Định nghĩa dãy nhân quả : Dãy x(n) là dãy nhân quả nếu và chỉ nếu x(n) xác
định khác không khi n ∈ [0, ∞) và x(n) = 0 với ∀ n < 0.
Vậy dãy nhân quả là dãy một phía tồn tại trong khoảng [0, ∞), và dãy một phía
tồn tại trong khoảng [0, ∞) là dãy nhân quả.
Theo định nghĩa trên, biểu thức tích chập [1.2-24] của dãy nhân quả là :
x ( n) =

∞

∑ x(k ).δ (n − k )

[1.5-15]

k =0

2. Định nghĩa dãy phản nhân quả : Dãy x(n) là dãy phản nhân quả nếu và chỉ nếu

x(n) xác định khác 0 khi n ∈ (- ∞, 0] và x(n) = 0 với ∀ n > 0 .
Như vậy, dãy phản nhân quả là dãy một phía tồn tại trong khoảng (- ∞, 0], và
dãy một phía tồn tại trong khoảng (- ∞, 0] là dãy phản nhân quả.
Theo định nghĩa trên, biểu thức tích chập [1.2-24] của dãy phản nhân quả là :
x ( n) =

0

∞

k = −∞

k =0

∑ x(k ).δ (n − k ) = ∑ x(−k ).δ (n + k )

[1.5-16]

3. Định nghĩa dãy không nhân quả : Dãy x(n) là dãy không nhân quả nếu và chỉ
nếu x(n) xác định khác không khi n ∈ (- ∞, ∞ ).
Như vậy, dãy không nhân quả là dãy hai phía, và dãy hai phía là dãy không
nhân quả.
Dãy không nhân quả x(n) luôn có thể phân tích thành tổng của dãy nhân quả và
dãy phản nhân quả :
x( n) = x1 ( − n) + x 2 ( n)
[1.5-17]
Theo các định nghĩa trên và định lý về đặc tính xung của hệ xử lý số TTBBNQ,
có thể rút ra các kết luận sau :
- Đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số TTBBNQ là dãy nhân quả.
- Hệ xử lý số TTBB có đặc tính xung h(n) nhân quả, là hệ xử lý số TTBBNQ.

- Hệ xử lý số TTBB có đặc tính xung h(n) không nhân quả, là hệ xử lý số TTBB
không nhân quả.
Do đó phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ theo các biểu thức tích chập
[1.5-7] và [1.5-8] sẽ là :
y ( n) =

∞

∑ x ( k ) h ( n − k ) = x ( n ) * h( n )

[1.5-18]

k =0

Và :

y ( n) =

∞

∑ h( k ) x ( n − k ) = h( n) * x( n)

[1.5-19]

k =0

Như vậy, phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ cũng là dãy nhân quả.
Theo độ dài của đặc tính xung h(n), người ta phân biệt hai loại hệ xử lý số :
- Hệ xử lý số có đặc tính xung h(n) hữu hạn, được viết tắt theo tiếng Anh là hệ
FIR (Finite-Duration Impulse Response).

- Hệ xử lý số có đặc tính xung h(n) vô hạn, được viết tắt theo tiếng Anh là hệ
IIR (Infinite-Duration Impulse Response).
1.6. Phân tích hệ xử lý số TTBB nhân quả theo đặc tính xung h(n)
Từ đặc tính xung h(n) có thể tìm được phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ,
phân tích các hệ xử lý số phức tạp, xây dựng sơ đồ khối và sơ đồ cấu trúc, cũng như
xét tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ.
Giáo viên biên soạn: Hồ Kim Dân

25