Mạng nơron RBF và phương pháp lập luận xấp xỉ dựa trên đại số gia tử giải một số bài toán mô hình mờ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

HÀ MẠNH DŨNG

MẠNG NƠRON RBF VÀ PHƢƠNG PHÁP
LẬP LUẬN XẤP XỈ DỰA TRÊN ĐẠI SỐ GIA TỬ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN MÔ HÌNH MỜ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

HÀ MẠNH DŨNG

MẠNG NƠRON RBF VÀ PHƢƠNG PHÁP
LẬP LUẬN XẤP XỈ DỰA TRÊN ĐẠI SỐ GIA TỬ
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN MÔ HÌNH MỜ
Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Duy Minh

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, kết quả của luận văn hoàn toàn là kết quả của tự bản
thân tôi tìm hiểu, nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS.Nguyễn
Duy Minh.
Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm về tính pháp lý quá trình nghiên cứu
khoa học của luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2015
Học viên

Hà Mạnh Dũng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

ii

LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy giáo TS.Nguyễn Duy
Minhđã định hướng và nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình làm
luận văn.
Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trường Đại học

Công nghệ thông tin và Truyền thông-Đại học Thái Nguyên; các thầy giáo, cô
giáo ở Viện công nghệ thông tin thuộc Viện hàn lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam đã truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho chúng
em trong thời gian học tập.
Xin chân thành cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp, các bạn học viên lớp
cao học CK12I, những người thân trong gia đình đã động viên, chia sẻ, tạo
điều kiện giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2015
Học viên

Hà Mạnh Dũng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

iii

MỤC LỤC
Lời cam đoan ...................................................................................................... i
Lời cảm ơn ........................................................................................................ ii
Mục lục ............................................................................................................. iii
Danh mục các bảng ........................................................................................... v
Danh mục các hình ........................................................................................... vi
LỜI MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1
Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN ............................................... 3
1.1. Tập mờ và các phép toán trên tập mờ .................................................... 3
1.1.1. Tập mờ (fuzzy set) .......................................................................... 3
1.1.2. Các phép toán đại số trên tập mờ .................................................... 6
1.2. Biến ngôn ngữ ...................................................................................... 11

1.3. Mô hình mờ .......................................................................................... 13
1.4. Bài toán nội suy và mạng nơron RBF .................................................. 15
1.4.1. Bài toán nội suy ............................................................................. 15
1.4.2. Mạng nơron RBF .......................................................................... 18
1.5. Tổng kết chương 1................................................................................ 28
Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP LẬP LUẬN XẤP XỈDỰA TRÊN ĐẠI
SỐ GIA TỬ SỬ DỤNG MẠNG NƠRON RBF ......................................... 29
2.1. Đại số gia tử.......................................................................................... 29
2.1.1. Biến ngôn ngữ của các gia tử ........................................................ 29
2.1.2. Đại số gia tử của biến ngôn ngữ ................................................... 32
2.1.3. Độ đo tính mờ của các giá trị ngôn ngữ ........................................ 34
2.1.4. Quan hệ độ đo tính mờ và định lượng ngữ nghĩa ......................... 38
2.2. Một số phương pháp lập luận xấp xỉ mờ .............................................. 39
2.2.1. Phương pháp lập luận dựa trên các quan hệ mờ ........................... 40
2.2.2. Phương pháp nội suy tuyến tính trên các tập mờ .......................... 40
2.3. Phương pháp lập luận xấp xỉ dựa trên ĐSGT ...................................... 43
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

iv

2.4. Phương pháp lập luận xấp xỉ sử dụng mạng nơron RBF ..................... 47
2.4.1. Giải pháp sử dụng mạng nơron RBF và nội suy ........................... 47
2.4.2. Phương pháp lập luận xấp xỉ dựa trên đại số gia tử sử dụng
mạng nơron RBF ..................................................................................... 49
2.5. Tổng kết chương 2................................................................................ 51
Chƣơng 3: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP LẬP LUẬN XẤP XỈ SỬ
DỤNG MẠNG NƠRON RBF CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN
MÔHÌNH MỜ ............................................................................................... 53

3.1. Mô tả một số bài toán mô hình mờ ...................................................... 53
3.1.1. Bài toán Cao Kandel ..................................................................... 53
3.1.2. Bài toán con lắc ngược của Ross .................................................. 55
3.2. Ứng dụng phương pháp lập luận xấp xỉ mờ dựa trên ĐSGT ............... 56
3.2.1. Phương pháp lập luận xấp xỉ dựa trên đại số gia tử ...................... 56
3.2.2. Phương pháp lập luận xấp xỉ dựa trên đại số gia tử sử dụng
mạng nơron RBF ..................................................................................... 62
3.3. Tổng kết chương 3................................................................................ 66
KẾT LUẬN .................................................................................................... 67
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 68

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

v

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Các hàm f(.) thường được sử dụng ................................................. 21
Bảng 1.2. Các hàm kích hoạt a(.) thường được sử dụng................................. 21
Bảng 2.1. Các giá trị ngôn ngữ của các biến Health và Age .......................... 30
Bảng 2.2.Ví dụ về tính âm dương giữa các gia tử .......................................... 34
Bảng 3.1. Mô hình EX1 của Cao - Kandel ..................................................... 53
Bảng 3.2. Các kết quả xấp xỉ EX1 tốt nhất của Cao- Kandel[11] .................. 54
Bảng 3.3.Mô hình tập các luậtcho bài toán con lắc ngược ............................. 56
Bảng 3.4. Mô hình mờ EX1 được định lượng ngữ nghĩa ................................ 58
Bảng 3.5. Chuyển nhãn ngôn ngữ cho các biến X1, X2 .................................. 60
Bảng 3.6. Chuyển nhãn ngôn ngữ cho biến U ................................................ 60
Bảng 3.7.Tọa độ các điểm trong đường cong ngữ nghĩa ................................ 61
Bảng 3.8. Kết quả tính toán bài toán con lắc ngược ....................................... 62

Bảng 3.9. Sai số lớn nhất của các phương pháp trên mô hình EX1 ............... 64
Bảng 3.10. Sai số các phương pháp của hệ con lắc ngược ............................. 65

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

vi

DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1.Tập mờ hình thang ............................................................................. 5
Hình 1.2. Minh họa một nơron thần kinh sinh học ......................................... 18
Hình 1.3.Cấu tạo một nơron nhân tạo ............................................................. 20
Hình 1.4. Kiến trúc của mạng RBF ................................................................. 24
Hình 2.1.Sơ đồ huấn luyện mạng .................................................................... 50
Hình 3.1.Đường cong thực nghiệm của mô hình EX1 ................................... 54
Hình 3.2.Mô tả con lắc ngược ......................................................................... 55
Hình 3.3.Đường cong ngữ nghĩa định lượng .................................................. 59
Hình 3.4.Đường cong ngữ nghĩa ..................................................................... 61
Hình 3.5. Đường cong xấp xỉ mô hình EX1 của Cao-Kandel ........................ 63
Hình 3.6.Đồ thị lỗi của hệ con lắc ngược ....................................................... 66

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

1

LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết tập mờ và logic mờ được L.A. Zadeh đề xuất vào giữa thập

niên 60 của thế kỷ trước. Kể từ khi ra đời, lý thuyết tập mờ và ứng dụng của
tập mờ đã được phát triển liên tục với mục đích xây dựng các phương pháp
lập luận xấp xỉ để mô hình hóa quá trình suy luận của con người. Cho đến nay
phương pháp lập luận xấp xỉ dựa trên lý thuyết tập mờ đã được quan tâm
nghiên cứu trên cả phương diện lý thuyết và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực rất
khác nhau, đã đạt được nhiều thành tựu ứng dụng, đặc biệt là các ứng dụng
trong các hệ chuyên gia mờ, điều khiển mờ [13].
Tuy nhiên, phương pháp lập luận của con người là vấn đề phức tạp và
không có cấu trúc. Vì vậy kể từ khi lý thuyết tập mờ ra đời cho đến nay, vẫn
chưa có một cơ sở lý thuyết hình thức chặt chẽ theo nghĩa tiên đề hoá cho
logic mờ và lập luận mờ.
Để đáp ứng phần nào đối với nhu cầu xây dựng cơ sở toán học cho việc
lập luận ngôn ngữ, N.Cat Ho và Wechler đã đề xuất cách tiếp cận dựa trên
cấu trúc tự nhiên của miền giá trị của các biến ngôn ngữ, những giá trị của
biến ngôn ngữ trong thực tế đều có thứ tự nhất định về mặt ngữ nghĩa, ví dụ ta
hoàn toàn có thể cảm nhận được rằng, ‗trẻ‘ là nhỏ hơn ‗già‘, hoặc ‗nhanh‘
luôn lớn hơn ‗chậm‘. Xuất phát từ quan hệ ngữ nghĩa đó các tác giả đã phát
triển lý thuyết đại số gia tử (ĐSGT).
Với việc định lượng các từ ngôn ngữ như đã đề cập, một số phương pháp
lập luận nội suy ra đời nhằm mục đích giải quyết bài toán lập luận xấp xỉ mờ,
một bài toán được ứng dụng nhiều trong tự nhiên, kỹ thuật, các phương pháp
lập luận này được gọi là các phương pháp lập luận xấp xỉ mờ sử dụng ĐSGT.
Các phương pháp lập luận mờ sử dụng ĐSGT từ trước đến nay đều xem
mô hình mờ (0.1) như một tập hợp các ―điểm mờ‖. Khi đó bài toán lập luận
ban đầu sẽ chuyển về bài toán nội suy trên siêu mặt cho bởi mô hình mờ. Có 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

2

yếu tố cơ bản cần được giải quyết khi thực hiện phương pháp lập luận mờ sử
dụng ĐSGT, đó là định lượng các giá trị ngôn ngữ trong mô hình mờ và nội
suy trên siêu mặt cho bởi mô hình mờ.
Để khắc phục vấn đề nội suy trên siêu mặt cho bởi mô hình mờ tác giả
tập trung nghiên cứu việc sử dụng mạng nơron RBF để nội suy trực tiếp từ
siêu mặt cho bởi mô hình mờ.Các điểm trong siêu mặt thực cho bởi mô hình
mờ sẽ được dùng làm tập mẫu dùng để huấn luyện mạng, khi đó mạng sẽ xấp
xỉ siêu mặt và được dùng để nội suy đầu ra ứng với các đầu vào.
Phương pháp lập luận mờ sử dụng ĐSGT được ứng dụng giải quyết
nhiều bài toán có yếu tố mờ (mô hình mờ), không chắc chắn trong tự nhiên và
kỹ thuật, các kết quả cho thấy phương pháp lập luận xấp xỉ sử dụng ĐSGT
luôn cho kết quả tốt hơn phương pháp lập luận xấp xỉ mờ truyền thống. Các
kết quả được công bố trong các công trình [2], [3], [5], [6].
Nội dung nghiên cứu được trình bày trong đề tài: Mạng nơron RBF và
phương pháp lập luận xấp xỉ dựa trên đại số gia tử giải một số bài toán mô
hình mờ.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

3

Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1.1. Tập mờ và các phép toán trên tập mờ
1.1.1.Tập mờ (fuzzy set)
Cho tập vũ trụ U (còn gọi là không gian tham chiếu), một tập con thông
thường A (tập rõ) của U có thể được đặc trưng bởi hàm A như sau:

1, x  A
0, x  A

 A ( x)  

Ví dụ 1.1. Cho tập U = {x1, x2, x3, x4, x5}, A = {x2, x3, x5}. Khi đó A(x1) = 0,

A(x2)= 1, A(x3) = 1, A(x4) = 0, A(x5) = 1.
Gọi A là phần bù của tập A, ta có A A = , A A = U. Nếu x A
thì x  A , ta viết A(x) = 1,  A (x) = 0.
Dễ dàng ta có, nếu A, B là hai tập con của U, thì hàm đặc trưng của các
tập AB, AB được xác định:

1, x  A  B
 A B ( x)  
0, x  A  B
và

1, x  A  B
 A B ( x)  
0, x  A  B
Tập hợp thông thường AU có một ranh giới rất rõ ràng. Chẳng hạn, A
là tập những người có tuổi dưới 19 là một tập thông thường. Mỗi người (phần
tử) chỉ có hai khả năng: hoặc là phần tử của A hoặc không. Tuy nhiên nếu ta
xét tập à gồm những người trẻ thì trường hợp này sẽ không có ranh giới rõ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

4

ràng. Khó có thể khẳng định một người là phần tử của à hay không, khi đó
ranh giới của nó là mờ. Ta chỉ có thể nói một người sẽ thuộc tập à ở một mức
độ nào đó. Chẳng hạn chúng ta có thể thống nhất với nhau rằng một người 35
tuổi thuộc về tập à với độ thuộc 60% hay 0.6. Zadeh gọi một tập à như vậy là
tập mờ và đồng nhất tập hợp à với một hàm trẻ: Y  [0,1], gọi là hàm thuộc
của tập mờ Ã, trong đó Ylà tập số tự nhiên để đo độ tuổi tính theo năm, còn
gọi là không gian tham chiếu. Từ trẻ được gọi là khái niệm mờ.
Nếu không nhầm lẫn thì từ đây về sau ta ký hiệu tập mờ A thay cho à và
chúng ta có định nghĩa tập mờ dưới đây.
Định nghĩa 1.1.([13])Cho U là vũ trụ các đối tượng. Tập mờ A trên U là tập
các cặp có thứ tự (x, A(x)), với A(x) là hàm từ U vào [0,1] gán cho mỗi phần
tử x thuộc U giá trịA(x) phản ánh mức độ của x thuộc vào tập mờ A.
Nếu A(x) = 0 thì ta nói x hoàn toàn không thuộc vào tập A, ngoài ra nếu

A(x)= 1 thì ta nói x thuộc hoàn toàn vào A. Trong định nghĩa 1.1, hàm còn
được gọi là hàm thuộc (membership function).
Hàm thuộc có thể được biểu diễn dưới dạng liên tục hoặc rời rạc. Đối với
vũ trụUlà vô hạn thì tập mờ A trên U thường được biểu diễn dạng
A    A ( x) / x , còn đối với vũ trụ hữu hạn hoặc rời rạc U = {x1, x2, …, xn}, thì

tập mờ A có thể được biểu diễn A = {µ1/x1 + µ2/x2 + … + µn/xn}, trong đó các
giá trị µi (i = 1, …, n) biểu thị mức độ thuộc của xi vào tập A.
Có nhiều dạng hàm thuộc để biểu diễn cho tập mờ A, mà trong đó dạng
hình thang, hình tam giác và hình chuông là thông dụng nhất.Sau đây là một
ví dụ về hàm thuộc được cho ở dạng hình thang.
Ví dụ 1.2. Cho A là một tập mờ, A có thể được biểu diễn dưới dạng hình
thang với hàm thuộc liên tục A(x) như sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

5

0, x  a

x  a


, a  x  b
b  a



 A ( x; a, b, c, d )  1, b  x  c
,
d  x


, c  x  d
d

c


0, x  d


xR

trong đó a, b, c, d là các số thực và a ≤ b ≤ c ≤ d. Hình vẽ tương ứng của hàm
thuộc A được mô tả như hình 1.1.

1

A

a

b

c

d

Hình 1.1. Tập mờ hình thang
Tiếp theo là những định nghĩa về tập mờ lồi và tập mờ chuẩn
Định nghĩa 1.2.([13])Cho A là tập mờ trên vũ trụ U.
i)A là tập mờ lồi khi và chỉ khi A(x1 + (1 – )x2) min{A(x1), A(x2)}
x1, x2 U,  [0,1].
ii) A là tập mờ chuẩn khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một phần tử x  U sao
choA(x) = 1.
Định nghĩa 1.3. Cho A là một họ các tập con của tập vũ trụ U và A. Một
ánh xạ : A[0,) được gọi là độ đo mờ nếu thoả các điều kiện sau:
i)() = 0.
ii)Nếu A, B Avà A  Bthì(A) (B).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

6

1.1.2.Các phép toán đại số trên tập mờ
1.1.2.1. Các phép toán quan hệ
Định nghĩa 1.4.Cho A, B là hai tập mờ trên vũ trụ U và A, B là hai hàm
thuộc của chúng. Khi đó ta có thể định nghĩa:
Phép hợp: AB = {(x, AB(x)) x U, AB(x) = max{A(x), B(x)}}
Phép giao: AB = {(x, AB(x)) x U, AB(x) = min{A(x), B(x)}}
Phép phủ định: A = {( x,  A (x)) xU,  A (x) = 1 – A(x)}
Rõ ràng ta có A A và A AU.
Định nghĩa 1.5.Cho A, B là hai tập mờ trên vũ trụ U và A, B là hai hàm
thuộc của chúng. Khi đó ta có các phép toán sau:
1. Tổng đại số
A + B = {( x, A+B(x)) x U, A+B(x) = A(x) + B(x) – A(x).B(x)}
2.Tích đại số
A.B = {( x, A.B(x)) x U, A.B(x) = A(x).B(x)}
3. Tổ hợp lồi
A B = {( x, AcB(x)) x U, AcB(x) = w1.A(x) + w2.B(x), w1 + w2 = 1}
4. Phép bao hàm
ABA(x) B(x), x U.
Chúng ta có nguyên lý suy rộng cho nhiều biến sau đây.
Định nghĩa 1.6.ChoA1, A2,...,Anlà các tập mờ trên các vũ trụU1, U2, ...,
Untương ứng, quan hệ mờf(A1, A2,..., An) được định nghĩa là tập mờf(A1, A2,...,
An) = {((x1, ..., xn), f(x1, ..., xn)) (x1, ..., xn) U1U2...Un, f(x1,..., xn) =
f(A1(x), ..., An(x))}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

7

Ngoài các phép toán trên, sau đây cũng xin nhắc lại một số định nghĩa về
họ toán tử t-norms, t-conorms và N-Negative.
Định nghĩa 1.7.HàmT: [0,1][0,1]  [0,1] được gọi là t-norm khi và chỉ khi
T thoả mãn các điều kiện: với mọi x, y, z [0,1]
i)T(x, y) = T(y, x).
ii)T(x, y) T(x, z), yz.
iii)T(x, T(y, z)) = T(T(x, y), z).
iv)T(x, 1) = x, T(0, 0) = 0.
Định nghĩa 1.8.HàmS: [0,1][0,1]  [0,1] được gọi là t-conorm khi và chỉ
khi S thoả mãn các điều kiện: với mọix, y, z  [0,1]
i)S(x, y) = S(y, x).
ii)S(x, y) S(x, z), yz.
iii)S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z).
iv)S(x, 0) = x, S(1, 1) = 1.
Định nghĩa 1.9.HàmN: [0,1]  [0,1] được gọi là hàm N-Negative khi và chỉ
khi N thoả mãn các điều kiện: với mọix, y [0,1]
i)N(0) = 1, N(1) = 0.
ii)N(x) N(y), yx.
Cho hệ phép toán (T, S, N), chúng ta nói rằng T và S đối ngẫu đối với N
nếu thỏa: S(x, y) = N(T(N(x), N(y))), hoặc T(x, y) = N(S(N(x), N(y))), và khi
đó hệ (T, S, N) được gọi là một hệ De Morgan.
1.1.2.2.Các phép toán kết nhập
Trong lập luận xấp xỉ mờ phép kết nhập thường được dùng để tích hợp
các điều kiện thành một đầu vào duy nhất để dễ dàng tính các quan hệ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

8

mờ.Không có toán tử kết nhập phù hợp cho tất cả các bài toán nên khi chọn
toán tử kết nhập chúng ta cần thử nghiệm trong các trường hợp cụ thể. Dựa
vào các tính chất của các toán tử người ta chia thành các dạng như: t-chuẩn (tnorm), t-đối chuẩn (t-conorm) và toán tử trung bình (averaging operator).
Một toán tử kết nhập n chiều Agg: [0,1]n → [0,1] thông thường thỏa các
tính chất sau đây:
i)Agg(x) = x.
ii)Agg(0, …, 0) = 0; Agg(1, …, 1) = 1.
iii)Agg(x1, x2, …, xn) Agg(y1, y2, …, yn) nếu (x1, …, xn) (y1, …, yn).
Lớp toán tử trung bình trọng số có thứ tự OWA (Ordered Weighted
Averaging) được R.Yager đưa ra vào năm 1988, các tính chất và công dụng
đã được giới thiệu chi tiết, đầy đủ trong những năm tiếp sau. Lớp toán tử này
có tính chất trọng số thứ tự nên giá trị được tích hợp luôn nằm giữa hai phép
toán logic là phép tuyển ―OR‖ và phép hội ―AND‖.
Trong luận án này, khi cần thiết kết nhập các mệnh đề, sử dụng toán tử
trung bình có trọng số.
Định nghĩa 1.10.Toán tử trung bình có trọng số n chiều là ánh xạf:Rn →
Rcùng với vectơ kết hợp n chiềuW = [w1, w2, …, wn]T (wi [0,1], w1 + w2 +
n

…+ wn = 1, i = 1,…, n) được xác định bởi công thứcf(a1, a2, …, an) =  ai wi .
i 1

Dễ dàng nhận thấy phép kết nhập trung bình có trọng số nằm giữa hai
phép toán lấy max và min nên quá trình tính toán trung gian trong lập luận xấp
xỉ, khi sử dụng toán tử kết nhập trung bình có trọng số để kết nhập các tri thức

và dữ liệu thì không sợ mắc phải sai lầm logic hoặc sai số quá lớn. Trước khi
kết nhập các tri thức, dữ liệu phải được chuyển đổi về dạng số.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

9

1.1.2.3.Phép kéo theo mờ
Toán tử kéo theo mờ là sự mở rộng của phép kéo theo trong logic hai trị
để biểu diễn mệnh đề điều kiện ―IFX is ATHENYis B‖.
Trước tiên, xét mệnh đề điều kiện ―IFXATHENYB‖ trong logic hai
trị, ở đây A, B là các tập con tương ứng của U, V mà X, Y nhận giá trị trong
đó. Điều kiện này là sai nếu như ―XA‖ mà ―YB‖, ngoài ra được xem là
đúng. Vì vậy mệnh đề điều kiện ―IF...THEN‖ có thể biểu diễn bởi quan hệ

( A  B)  ( A V ) , ở đây A là phần bù của A trong V.
Mở rộng cho A, B là các tập mờ trong không gian U, V. Khi đó mệnh đề
điều kiện sẽ là ―IFX is ATHENY is B‖. Tương tự như trên nó sẽ được biểu
diễn bằng một quan hệ mờ trong U×V, tức là một tập con mờ của U×V.
Như đã biết trước đây, phép ―OR‖ được mô hình bởi t-conormS, còn tích
Decac mô hình bởi t-normT. Vì vậy, tập con mờ ( A  B)  ( A V ) có hàm
thuộc là:

 ( x, y)  ( A ( x)  B ( y))  ((1   A ( x))  1) ,
trong đó  là ký hiệu của phép min còn  là ký hiệu của phép max và giá trị 1
có thể giản ước.
Một cách tổng quát khi  và  tương ứng là các phép t-norm và tconorm bất kỳ, ( A  B)  ( A V ) có hàm thuộc là:

 ( x, y)  S (T ( A ( x), B ( y)), N ( A ( x)))
Nếu Jlà hàm chỉ giá trị chân lý của mệnh đề điều kiện, tức là J là ánh xạ
đi từ tích [0,1] × [0,1] vào [0,1], thì ta có:

(x, y) = J(A(x), B(y)), với J(a, b) = S[T(a, b),N(a)].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

10

Chúng ta dễ dàng kiểm tra các điều kiện biên sau:
J(0, 0) = J(0, 1) = J(1, 1) = 1 và J(1, 0) = 0.
Định nghĩa 1.11. Mộthàm J: [0,1]×[0,1]  [0,1] bất kỳ thỏa mãn điều kiện
biên trên được gọi là toán tử kéo theo mờ.
Phép kéo theo có ý nghĩa rất quan trọng trong việc xây dựng các phương
pháp lập luận xấp xỉ.
1.1.2.4.Phép hợp thành các quan hệ mờ
Quan hệ mờ là sự mở rộng của khái niệm quan hệ thông thường trong
toán học. Quan hệ mờ cho phép chúng ta biểu thị mối quan hệ giữa các đối
tượng một cách mềm dẻo hơn, chẳng hạn nó có thể biểu diễn cho một các
phát biểu ―A trẻ hơn B khá nhiều‖, ―x rất lớn so với y‖,...Một quan hệ thông
thường của các tập U và V là một tập con của U×V và do đó ta có thể mở rộng
thành quan hệ mờ của U và V. Một quan hệ mờ R là một tập con mờ của U×V,
tức là:
R: U×V [0,1]
với R(x, y) chỉ cho mức độ cặp (x, y) thỏa hay thuộc vào quan hệ R.
Ví dụ với quan hệ R = ―x nhỏ hơn y khá nhiều‖ thì R(10, 15) = 0.4 được
hiểu là mệnh đề khẳng định ―10 nhỏ hơn 15 khá nhiều‖ có độ tin cậy là 0.4.

Cho R1 và R2 là các quan hệ mờ tương ứng trên U×V và V×W. Phép hợp
thành (R1oR2) của R1 và R2 là quan hệ mờ trên U×W với hàm thuộc được xác
định như sau:

( R1  R2 )(x, z )  Sup yV Min( R1 ( x, y), R2 ( y, z )) .
Tổng quát hơn là:

( R1  R2 )(x, z )  Sup yV T ( R1 ( x, y), R2 ( y, z))
với T là một t-norm bất kỳ.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

11

Trong trường hợp U, V và W là các tập hữu hạn, R1, R2 có thể biểu diễn
bởi các ma trận và hợp thành R1oR2 là phép nhân ma trận trong đó phép cộng
được thay bằng max và phép nhân thay bằng một t-normT. Nếu ta lấy phép
nhân T(x, y) = xy thì phép hợp thành được gọi là max-product, nếu lấy phép
nhân T(x, y) = min(x, y) thì phép hợp thành thu được được gọi là max-min.
Mở rộng quan hệ tương đương sang quan hệ mờ chúng ta có quan hệ
tương tự. Tập con mờ R của U×U là quan hệ tương tự nếu nó thoả các tính
chất phản xạ (x U, R(x, x) = 1), đối xứng (x, y U, R(x, y) = R(y, x)) và
tính bắc cầu mờ được định nghĩa như sau: R(x,y) là bắc cầu mờ nếu nó thỏa
bất đẳng thức ( R  R)  R , hay

R( x, y)  SupzU T ( R( x, z), R( z, y)),x, y U .
Quan hệ mờ là cơ sở quan trọng để biểu diễn toán tử kéo theo mờ cũng
như ứng dụng trong việc hợp thành các luật suy diễn mờ.

1.2.Biến ngôn ngữ
Theo nhưZadeh đã phát biểu, một biến ngôn ngữ là biến mà ―các giá trị
của nó là các từ hoặc câu trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngôn ngữ nhân tạo‖.
Ví dụ như khi nói về nhiệt độ ta có thể xem đây là biến ngôn ngữ có tên gọi
NHIỆT_ĐỘ và nó nhận các giá trị ngôn ngữ như ―cao‖, ―rất cao‖, ―trung
bình‖…. Đối với mỗi giá trị này, chúng ta sẽ gán cho chúng một hàm thuộc.
Giả sử lấy giới hạn của nhiệt độ trong đoạn [0, 230 oC] và giả sử rằng các giá
trị ngôn ngữ được sinh bởi một tập các quy tắc. Khi đó, một cách hình thức,
chúng ta có định nghĩa của biến ngôn ngữ sau đây:
Định nghĩa 1.12.Biến ngôn ngữ là một bộ gồm năm thành phần (X,T(X), U,
R, M), trong đó X là tên biến, T(X) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến X, U
là không gian tham chiếu của biến cơ sở u, mỗi giá trị ngôn ngữ xem như là
một biến mờ trên U kết hợp với biến cơ sở u, R là một qui tắc cú pháp sinh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

12

các giá trị ngôn ngữ cho tập T(X), Mlà qui tắc ngữ nghĩa gán mỗi giá trị ngôn
ngữ trongT(X) với một tập mờ trênU.
Ví dụ 1.3.Theo định nghĩa 1.12, biến ngôn ngữ X chính là NHIỆT_ĐỘ, biến
cơ sở u có miền xác định là U = [0, 230] tính theo oC. Tập các giá trị ngôn
ngữ tương ứng của biến ngôn ngữ là T(NHIỆT_ĐỘ) = {cao, rất cao,
tương_đối cao, thấp, rất thấp, trung bình, …}. R là một qui tắc để sinh ra các
giá trị này. M là quy tắc gán ngữ nghĩa sao cho mỗi một giá trị ngôn ngữ sẽ
được gán với một tập mờ. Chẳng hạn, đối với giá trị nguyên thủy cao, M(cao)
= {(u, cao(u) | u  [0, 230]}, được gán như sau:
u  170

0,
 u  170

, 170  u  185
cao(u) = 
15

185  u
1,

Ngữ nghĩa của các giá trị khác trong T(NHIỆT_ĐỘ) cũng có thể tính
thông qua tập mờ của các giá trị nguyên thủy bởi các phép toán tương ứng với
các gia tử tác động. Chẳng hạn như các gia tử rất, tương_đối,…tương ứng với
các phép bình phương CON, căn bậc hai DIL,.... Ngoài ra, các giá trị ngôn
ngữ có chứa liên từ AND, OR, NOT thì chúng được tính toán bởi các toán tử tnorm, t-conorm, negation.
Từ những nghiên cứu về biến ngôn ngữ, các tác giả đã đưa ra những
đặc trưng cơ bản của chúng.
- Các giá trị ngôn ngữ có ngữ nghĩa tự nhiên của biến ngôn ngữ khi được
con người sử dụng trong cuộc sống hàng ngày.Con người sử dụng ngữ nghĩa
này để xác định quan hệ thứ tự ngữ nghĩa giữa các giá trị ngôn ngữ của cùng
một biến.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

13

- Các gia tử ngôn ngữ được con người sử dụng để nhấn mạnh về mặt ngữ
nghĩa của giá trị ngôn ngữ.Tức là mỗi gia tử có thể làm mạnh lên hoặc yếu đi

ngữ nghĩa tự nhiên của giá trị ngôn ngữ được tác động.
- Với mỗi giá trị ngôn ngữ x trong T(X) và tập H các gia tử ngôn ngữ,
khi đó H sẽ được phân hoạch thành hai tập rời nhau sao cho một tập chứa các
gia tử làm tăng ngữ nghĩa của x và tập còn lại chứa các gia tử làm giảm ngữ
nghĩa của x. Hơn nữa, trong mỗi tập con đó của H, bản thân các gia tử cũng
được sắp thứ tự theo mức độ nhấn ngữ nghĩa của chúng.
Các tính chất trên cho phép chúng ta xây dựng một cấu trúc thứ tự ngữ
nghĩa ứng với một biến ngôn ngữ bất kỳ, cấu trúc thứ tự này có thể làm tăng
hoặc giảm ngữ nghĩa của giá trị biến ngôn ngữ.
Dựa vào đặc trưng của biến ngôn ngữ, ta xây dựng miền giá trị của biến
ngôn ngữ thành một tập hợp sắp thứ tự bộ phận.
Xét biến ngôn ngữ X, khi đó T(X) là tập hợp các giá trị của biến ngôn
ngữ X và được gọi là miền giá trị của biến ngôn ngữ X.
1.3.Mô hình mờ
Mô hình mờ rất được quan tâm trong việc suy diễn, nó thường được cho
ở dạng gần với ngôn ngữ tự nhiên. Cấu trúc của một mô hình mờ chính là một
tập bao gồm các luật mà mỗi luật là một mệnh đề dạng ―IF…THEN‖, trong
đó phần ―IF‖ được gọi là mệnh đề điều kiện hay tiền đề còn phần ―THEN‖
được gọi là phần kết luận.
Mô hình mờ gồm hai mô hình là: Mô hình đơn điều kiện và mô hình đa
điều kiện.
Mô hình đơn điều kiện: Là tập các luật mà trong đó mỗi luật chỉ chứa
một điều kiện và một kết luận được cho như sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

14

IFX = A1

THENY = B1

IFX = A2

THENY = B2

........
IFX = An

(1.1)
THENY = Bn

trong đó X, Y là các biến ngôn ngữ thuộc không gian U, V tương ứng và các
giá trị ngôn ngữ A1, A2,…, An, B1, B2, …, Bn là các tập mờ.
Mô hình đa điều kiện: Là mô hình mà tập luật (mệnh đề IF-THEN) có
phần tiên đề bao gồm nhiều diều kiện ràng buộc ở mỗi luật và được phát biểu
như sau:
IFX1 = A11 AND ... ANDXm = A1mTHENY = B1
IFX1 = A21AND ... ANDXm = A2mTHENY = B2
........

(1.2)

IFX1 = An1AND ... ANDXm = AnmTHENY = Bn
ở đây X1, X2, …, Xm và Y là các biến ngôn ngữ, Aij, Bi (i = 1,…, n; j = 1,…, m)
là các giá trị ngôn ngữ tương ứng.
Hầu hết các ứng dụng trong hệ chuyên gia mờ, phân cụm mờ, điều khiển
mờ,… liên quan đến việc suy diễn thì mô hình mờ là một phần không thể

thiếu và do vậy các ứng dụng này luôn gắn liền với các phương pháp giải
quyết bài toán lập luận xấp xỉ mờ. Bài toán lập luận xấp xỉ mờ đa điều kiện,
được phát biểu như dưới đây:
Cho mô hình mờ (1.2) và các giá trị ngôn ngữ A01, A02, …, A0m tương
ứng với các biến ngôn ngữ X1, X2, …, Xm. Hãy tính giá trị của Y.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

15

1.4. Bài toán nội suy và mạng nơron RBF [1]
1.4.1. Bài toán nội suy
Nội suy hàm số là một bài toán quan trọng trong giải tích số và nhận
dạng mẫu đang được ứng dụng rộng rãi. Bài toán nội suy hàm một biến
đãđược nghiên cứu từ rất sớm gắn liền với các tên tuổi lớn như Lagrange và
Newton. Nhưng trong các ứng dụng thực tế ta thường phải giải quyết bài toán
nội suy nhiều biến và nó chỉ mới được quan tâm nghiên cứu trong 50 năm
gần đây cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học máy tính. Đầu tiên,
người ta phát triển nội suy nhiều biến theo hướng sử dụng đa thức nhưng
không hiệu quả do phức tạp trong tính toán và kết quả ứng dụng không tốt.
Các phương pháp k-lân cận gần nhất Cover và Hart (1967) và hồi quy
trọng số địa phương cho một giải pháp đơn giản, dễ sử dụng với bài toán này
và đang là một công cụ tốt. Tuy nhiên các phương pháp này không thể huấn
luyện trước được, mà chỉ xác định khi biết điểm cần nội suy. Như vậy, việc
xác định giá trị hàm nội suy tại mẫu mới thực hiện khi đã biết mẫu để xác
định láng giềng (lân cận). Cách tiếp cận này sẽ gặp khó khăn khi áp dụng cho
các bài toán cần xác định trước hàm nội suy.
1.4.1.1. Nội suy hàm một biến số

Bài toán nội suy hàm một biến tổng quát được đặt ra như sau:
Một hàm số y = f(x) chưa biết chỉ xác định được tại các điểm xo =
ađể xác định gần đúng giá trị y   (x) tại các điểm x  [a, b] của hàm f(x) sao
cho tại các điểm xi thì hàm số trùng với giá trị yiđã biết (với x [a,b] ta gọi là
ngoại suy). Về phương diện hình học, ta cần tìm hàm  (x) có dạng đã biết sao
cho đồ thị của nó đi qua các điểm (xi, yi) với mọi i = 0,1,...N.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

16

Hàm f thường là hàm thực nghiệm hoặc các hàm khó tính giá trị hàm số
nên chỉ đo được ở các điểm nhất định. Các điểm {x i }iN 0 sẽ được gọi là các
mốc nội suy.
1.4.1.2. Nội suy hàm nhiều biến
Bài toán nội suy tổng quát được phát biểu như sau:
Xét hàm nhiều biến chưa biết f: (D  Rn) → Rm nhưng xác định được một
tập mẫu gồm N phần tử {xk,yk }kN1 trong đóxk  Rn, yk Rm (  k=1,…,N) thỏa
mãn ƒ(xk) = yk. Ta cần tìm hàm g có dạng đủ tốt đã biết thỏa mãn:
g(xi) = yi,

I

= 1,…,N

Các điểm xkđược gọi là các mốc nội suy còn hàm g gọi là hàm nội suy
của ƒ.

Hàm nội suy thường được dùng để xấp xỉ hàm ƒ trên miền D, giá trị hàm
nội suy tính được tại điểm x bất kỳ trên miền D gọi là giá trị nội suy của hàm
ƒ tại x (hay gọn hơn là giá trị nội suy tại x nếu không có sự nhầm lẫn).
1.4.1.3. Bài toán xấp xỉ
Giả sử hàm y = f(x) đo được tại N điểm 𝑥 𝑘

𝑁
𝑘=1

thuộc miền D giới nội

trong Rn là yk = f(xk); k = 1.....N với xk = (x1k,....., xnk)  D và yk Rm. Ta cần
tìm một hàm  (x) có dạng cho trước sao cho sai số tại điểm đã biết là tốt nhất
có thể được và dùng nó để xấp xỉ hàm f(x).
Người ta thường dùng tiêu chuẩn cực tiểu tổng bình phương sai số để
tìm hàm  (x), trong đó hàm này được chọn dưới dạng  (x) =  ( x, c1, c2, ...,
ck).
Trong đó  là hàm cho trước, cj là các tham số cần tìm sao cho sai số
trung bình  

1 N
( (x i )  yi ) 2 nhỏ nhất khi các tham số cj thay đổi. Khi đó

N i 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>

17

tanói  (x) là hàm xấp xỉ tốt nhất của y trong lớp hàm theo nghĩa bình phương
tối thiểu. Thường thì bài toán tìm cực tiểu toàn cục của sai số trung bình bình
phương là bài toán khó. Trong trường hợp  là hàm tuyến tính của các cj thì
cực trị toàn cục có thể xác định nhờ giải hệ phương trình tuyến tính của điều
kiện các đạo hàm một triệt tiêu.
 (x,c1, c2, ..., ck) =

N

 c  ( x)
k 1

k

k

Trong đó  k(x) là các hàm đơn giản và độc lập tuyến tính.
1.4.1.4. Phương pháp giải quyết bài toán nội suy và xấp xỉ hàm số
Bài toán nội suy hàm một biến là một lĩnh vực nghiên cứu khá quan
trọng trong ngành giải tích thế kỷ 18.Đầu tiên bài toán nội suy được giải
quyết bằng phương pháp sử dụng đa thức nội suy: Đa thức Lagrange, đa thức
Chebysev... tuy nhiên khi sốmốc nội suy lớn thì nội suy bằng đa thức thường
xảy ra hiện tượng phù hợp trội(over-fitting) do bậc của đa thức thường tăng
theo số mốc nội suy. Để giải quyết hiện tượng phù hợp trội thay vì tìm đa
thức nội suy người ta chỉ tìm đa thức xấp xỉ (thường giải quyết bằng phương
pháp xấp xỉ bình phương tối thiểu của Gauss...). Một phương pháp khác được
đề xuất vào đầu thế kỷ 20 đó là phương pháp nội suy Spline. Trong đó hàm
nội suy được xác định nhờ ghép trơn các hàm nội suy dạng đơn giản (thường
dùng đa thức bậc thấp) trên từng đoạn con.

Cùng với phát triển của các ứng dụng công nghệ thông tin, bài toán nội
suy nhiều biến được quan tâm giải quyết và đạt nhiều tiến bộ trong khoảng 30
năm gần đây, với các cách tiếp cận như:
- Học dựa trên mẫu, bao gồm các phương pháp: k-láng giềng gần nhất
với trọng số nghịch đảo khoảng cách và hồi quy trọng số địa phương.
- Mạng nơron truyền thẳng MLP.
- Mạng nơron RBF.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN

/>