Một số quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
_______________________

Hoàng Thị Phương Thảo

MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
CÓ BƯỚC NHẢY

DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
_______________________

Hoàng Thị Phương Thảo

MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
CÓ BƯỚC NHẢY
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 62460106

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TRẦN HÙNG THAO

Hà Nội - 2015

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các
số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai
công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Hoàng Thị Phương Thảo


Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành được luận án
Tiến sĩ này tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ các thầy cô giáo,
bạn bè đồng nghiệp và gia đình tôi. Người đầu tiên tôi muốn gửi lời cảm
ơn chân thành nhất là PGS. TS Trần Hùng Thao, người Thày đã và
đang hướng dẫn, đào tạo tôi nghiên cứu khoa học rất nhiệt tình. Thày
không chỉ giúp tôi ngày càng có thêm niềm say mê nghiên cứu khoa học,
thày còn cho tôi rất nhiều lời khuyên trong cuộc sống.
Tiếp theo tôi muốn bày tỏ những lời cảm ơn tới các thành viên
trong Bộ môn Xác suất Thống kê , Khoa Toán Cơ Tin học đã thường
xuyên giúp tôi, cho tôi những lời khuyên chân thành trong quá trình làm
bản luận án này. Đặc biệt tôi đã được tham gia xê mi na của Bộ môn
Xác suất Thống kê, qua xê mi na tôi đã trau dồi, mở rộng thêm kiến
thức và các thầy trong bộ môn đã luôn cho tôi những lời nhận xét quý
báu trong quá trình học tập và nghiên cứu của mình.
Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám đốc Đại
học Quốc gia Hà Nội, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học tự nhiên,
Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Phòng sau đại học đã tạo những
điều kiện thuận lợi để tôi nghiên cứu tốt hơn và giúp tôi hoàn thành thủ

tục bảo vệ luận án.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cám ơn đến những người thân trong gia
đình, họ hàng, bạn bè thân thiết, những người đã luôn bên cạnh động
viên giúp đỡ tôi, để tôi hoàn thành luận án này.
Hà nội, 01/2015
NCS: Hoàng Thị Phương Thảo.


Mục lục
Lời cam đoan

1

Lời cảm ơn

2

Bảng ký hiệu

4

Mở đầu

5

1

Các kiến thức chuẩn bị
1.1

12

Quá trình điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.1

Quá trình điểm một biến . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.2

Quá trình điểm nhiều biến . . . . . . . . . . . .

13

1.1.3

Quá trình Poisson ngẫu nhiên kép hay quá trình
Poisson có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Đặc trưng Wantanabe . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2

Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3

Quá trình Poisson phức hợp . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4

Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước nhảy . .

21

1.5

Công thức Itô đối với quá trình có bước nhảy . . . . . .

22

1.1.4

1.6

1.5.1

Công thức Itô đối với quá trình Poisson tiêu chuẩn 23

1.5.2

Công thức Itô đối với quá trình Poisson phức hợp

23

1.5.3

Trong trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . .

24

Quá trình ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . . . . . . .

26

1.6.1

26

Chuyển động Brown phân thứ . . . . . . . . . . .
1


1.6.2

Xấp xỉ L2 -semimartingale . . . . . . . . . . . . .

27

1.6.3

Tích phân ngẫu nhiên phân thứ và phương trình
vi phân ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . . . .

28

2 Quá trình có bước nhảy và bài toán rủi ro tín dụng
2.1

Mô hình có bước nhảy điều khiển bởi một martingale
Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Phá sản tại thời điểm t khi công ty có một khoản
nợ L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Phá sản khi có n khoản nợ L1 , L2 , ..., Ln . . . . .

34

Mô hình có bước nhảy điều khiển bởi một chuyển động
Brown và một quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . .

36

2.2.1

Xác suất phá sản khi công ty có một khoản nợ . .

38

2.2.2

Phá sản khi công ty có nhiều khoản nợ . . . . . .

39

Mô hình có bước nhảy điều khiển bởi một chuyển động
Brown và một quá trình Poisson phức hợp . . . . . . . .

42

2.3.1

Công ty có một khoản nợ . . . . . . . . . . . . .

44

2.3.2

Trường hợp công ty có nhiều khoản nợ . . . . . .

47

2.1.1

2.1.2
2.2

2.3

3 Quá trình có bước nhảy và quá trình phân thứ
3.1

Các quá trình phân thứ có bước nhảy . . . . . . . . . . .
3.1.1

55
55

Chuyển động Brown phân thứ hình học có bước
nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Quá trình Ornstein-Uhlenbeck phân thứ có bước
nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ có bước
nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Ước lượng độ biến động ngẫu nhiên phân thứ với quan

sát là quá trình có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.2.1

67

3.1.2
3.1.3
3.2

30

3.2.2

Xấp xỉ ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . . . .
Ước lượng Vt ,1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

70


3.2.3

Ước lượng Vt ,2 và Vt . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.2.4
3.2.5

Sự hội tụ của Vt tới nghiệm Vt . . . . . . . . . .
Ước lượng độ biến động Vt . . . . . . . . . . . . .

74
75

Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến
luận án
78
Tài liệu tham khảo

79

3


Bảng ký hiệu
P- h.c.c
Sự hội hầu chắc chắn
L2 (Ω, F, P ) Tập hợp các lớp tương đương các hàm
bình phương khả tích
.
Γ(α)
N (0, 1)
L2 − lim

Chuẩn trong không gian L2 (Ω, F, P )
Hàm Gamma
Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc
Sự hội tụ trong L2

C(S)

Không gian các hàm ngẫu nhiên liên tục
trên không gian S.
Không gian các hàm ngẫu nhiên bị chặn trên S
Phần nguyên của x

C b (S)
[x]

4


Mở đầu
Một quá trình có bước nhảy là một quá trình ngẫu nhiên mà các
quỹ đạo của nó bị gián đoạn bởi các bước nhảy.
Về mặt lịch sử thì đầu tiên, người ta nghiên cứu các hệ động lực ngẫu
nhiên điều khiển bởi chuyển động Brown mà lời giải là các quá trình có
quỹ đạo liên tục. Tuy nhiên trong các ứng dụng thực tế thì nhiều khi các
hệ động lực ấy không phản ánh đúng sự thực những sự kiện quan sát
được. Thay vào đó người ta nhận thấy các quá trình có bước nhảy đáp
ứng được tốt hơn sự mô tả các hiện tượng đó. Chẳng hạn, các quá trình
có bước nhảy đóng vai trò hết sức quan trọng trong tất cả các lĩnh vực
tài chính. Đóng góp cho sự phát triển của các mô hình ngẫu nhiên có
bước nhảy phải kể đến những thành tựu của lý thuyết Semimartingale

và cả năng lực tính toán hiện đại của công nghệ thông tin.
Quá trình có bước nhảy đơn giản nhất là quá trình có một bước nhảy.
Gọi T là một thời điểm ngẫu nhiên, thông thường đó là một thời điểm
dừng ứng với một bộ lọc (Ft , t ≥ 0) nào đó.
Xt = 1{T ≤t} ,

(1)

quá trình này có giá trị bằng 0 trước khi một sự kiện nào đó xảy ra tại
thời điểm T và bằng 1 sau đó. Nó cũng mô tả thời điểm phá sản của
một công ty trong việc mô hình hóa rủi ro tín dụng.
Tiếp theo là các quá trình có giá trị nguyên và có cỡ bước nhảy chỉ bằng
1, gọi là quá trình đếm (Xt , t ≥ 0). Đó là quá trình mô tả số các biến cố
xảy ra trong khoảng thời gian từ 0 đến t. Quá trình đếm điển hình là quá
trình Poisson (Nt , t ≥ 0), trong đó Nt có phân phối Poisson với tham số
5


λt. Người ta cũng có thể mô tả quá trình đó bằng cách cho khoảng thời
gian giữa hai bước nhảy là biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố mũ
với tham số λ.
Sự mở rộng tiếp theo là các quá trình Poisson phức hợp (Xt , t ≥ 0), tức
là các quá trình với gia số độc lập, dừng và có cỡ bước nhảy không phải
là 1 nữa mà là các biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất µ nào đó.
Nt

Yk ,

Xt =

(2)

k=1

trong đó (Y1 , Y2 , ...) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối
µ.
Một ứng dụng điển hình của quá trình Poisson phức hợp là mô tả tổng
số tiền mà công ty bảo hiểm phải trả cho khách hàng tại thời điểm t,
tại thời điểm ấy số khách hàng đòi trả bảo hiểm là biến ngẫu nhiên có
phân bố Poisson.
Bên cạnh đó người ta cũng chú ý đến quá trình đối trọng của Xt , tức là
quá trình Xt − E[Xt ]. Nếu phân phối µ có kỳ vọng hữu hạn thì vì Xt có
gia số độc lập, dừng nên ta có E[Xt ] = tE[X1 ] và do đó ta có biểu diễn
Xt = (Xt − E[Xt ]) + tE[X1 ].

(3)

Quá trình đối trọng (Xt − E[Xt ]) là một martingale nên tổng của (3) là
tổng của một martingale và một dịch chuyển tuyến tính tE[X1 ].
Biểu diễn (3) ở trên gợi ý đến một định nghĩa tổng quát về quá trình
semimartingale
Xt = X0 + Vt + Mt ,

(4)

trong đó V = (Vt , t ≥ 0) là một quá trình thích nghi, càdlàg và có biến
phân hữu hạn, còn M = (Mt , t ≥ 0) là một martingale địa phương.
Cũng có những quá trình không phải là semimartingale, một ví dụ quan
trọng đó là quá trình chuyển động Brown phân thứ.
Hệ thức (4) nói chung không phải là duy nhất, nó sẽ là duy nhất với

6


một quá trình V là khả đoán, nếu ta xét các semimartingale đặc biệt,
tức là các semimartingale đã bỏ đi các bước nhảy có giá trị tuyệt đối
lớn hơn 1. Điều đó rút ra từ sự kiện là mỗi một semimartingle với bước
nhảy giới nội là thuộc loại "đặc biệt".
Kí hiệu ∆Xt = Xt − Xt− là bước nhảy của Xt tại thời điểm t thì
Xt −

∆Xs 1|∆Xs |>1
s≤t

là một quá trình có bước nhảy giới nội.
Chú ý rằng, mọi martingale địa phương M (với M0 = 0) có một
biểu thức phân tích trực giao duy nhất thành một martingale địa phương
M c với quỹ đạo liên tục và một martingale địa phương với quỹ đạo gián
đoạn M d . Giả sử X0 = 0 thì biểu diễn duy nhất của semimartingale sẽ
là:
X t = Vt + M c + M d +

∆Xs 1(|∆Xs |>1) .
s≤t

Sự phát triển tiếp theo là các quá trình Lévy. Đó là các quá trình có số
gia độc lập và dừng. Đây chính là sự mở rộng sát sao nhất của các quá
trình Wiener và quá trình Poisson với công thức Lévy-Khintchine nổi
tiếng:
ϕ (u) : = E [exp (iuXt )]
1

= exp iub − u2 c +
2

eiux − 1 − iux1(|x|≤1) γ (dx) ,

trong đó γ là độ đo Lévy, b và c là các hằng số.
Công thức đó hình thành dựa trên một kết quả quan trọng là phân tích
Lévy sau đây đối với một quá trình Lévy (Xt , t ≥ 0):
Xt = Wt +

x (Nt (., dx) − tγ (dx)) + αt

|x|<1

+

∆Xs 1(|∆Xs |≥1) ,
0≤s≤t

7


trong đó Wt là một chuyển động Brown, Nt (ω, dx) = { số các s < t :
∆Xs (ω) ∈ dx} còn NtA = Nt (., dx) là một quá trình Poisson độc lập
A

với Bt , với A là một tập bất kỳ ⊂ R \ {0} và γ(dx) là một độ đo trên
R \ {0} với min 1, x2 γ (dx) < ∞.
Luận án nghiên cứu một số quá trình có bước nhảy vốn là lời giải
của các phương trình vi phân ngẫu nhiên có bước nhảy. Gắn với các quá

trình đó là sự mở rộng mô hình Merton nhằm xác định xác suất phá sản
trong lý thuyết rủi ro tín dụng. Ngoài ra một vấn đề về ước lượng trạng
thái tối ưu của một hệ động lực ngẫu nhiên phân thứ với quan sát là các
quá trình có bước nhảy cũng được khảo sát.
Về mặt ứng dụng của các quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy trong
tài chính chúng tôi tập trung vào việc phát triển mô hình Merton đối
với rủi ro tín dụng (Credit Risk).
Năm 1974, Robert Merton là người đầu tiên đưa ra việc mô hình
hóa định lượng rủi ro tín dụng nhằm chỉ ra xác suất phá sản (default
probability) đối với một công ty tín dụng. Vẻ đẹp của mô hình Merton
nằm ở chỗ xem giá trị tài sản của công ty như là một quyền chọn mua
trên các tài sản của công ty đó và do đó có thể áp dụng phương pháp
định giá quyền chọn Black-Scholes.
Các giả thiết của mô hình Merton là:
1. Giá trị tài sản của công ty Vt tuân theo phương trình
dVt
= µdt + σdZt ,
Vt
trong đó µ là lợi suất trung bình tức thời, σ là độ biến động, Zt
là quá trình điều khiển diễn biến ngẫu nhiên của Vt , thông thường
được chọn là chuyển động Brown.

2. Các khoản nợ của công ty bao gồm một khoản nợ đơn với mệnh giá
là L phải thanh toán tại một thời điểm T . Sự phát triển sau này có
8


thể đưa ra nhiều khoản nợ phải trả vào các thời điểm khác nhau.

3. Các khoản nợ được xem như là một tài sản phái sinh xây dựng trên

các tài sản của công ty. Sự phá sản xảy ra nếu tại thời điểm đáo
hạn mà VT < L.

4. Khi vỡ nợ xảy ra tài sản của công ty phải được chuyển cho bên chủ
nợ.
Sau khi mô hình Merton ra đời, nhiều nhà nghiên cứu đã tìm cách
mở rộng và cải tiến theo nhiều cách nhằm phù hợp với thực tế và thích
nghi với những dữ liệu thị trường. Những nghiên cứu đó tập trung theo
các hướng sau đây:
1. Theo phạm vi của mô hình Merton nguyên bản thì sự phá sản chỉ
có thể xảy ra tại thời điểm đáo hạn nợ là T . Mô hình có thể được
cải tiến bằng cách cho vỡ nợ tại những thời điểm trước T nếu giá
tài sản Vt tại thời điểm t < T không vượt qua được một ngưỡng Lt
nào đó. Ở đây có thể áp dụng phương pháp quyền chọn có rào cản
(barrier options). Đi tiên phong trong sự mở rộng theo hướng này
là Black và Cox. Các mô hình thuộc loại này được gọi là các mô
hình "Chạm Mốc Đầu tiên" (First Passage Time Models).
2. Một hướng nữa là thay thế lãi suất cố định trong mô hình Merton
cổ điển bởi mô hình với lãi suất ngẫu nhiên. Theo hướng này, nhiều
khi còn phải nghiên cứu tương quan giữa quá trình tài sản và quá
trình lãi suất.
3. Việc xem mọi khoản nợ như là một trái phiếu lãi suất-0 (zero coupon
bond) không phải lúc nào cũng thuận tiện. Robert Geske đã nghiên
cứu mô hình với nhiều khoản nợ có những đặc trưng khác nhau,
9


gọi là mô hình "Quyền chọn phức hợp Geske" (Geske Compound
Option Model).
4. Một số mô hình khác có cấu trúc phức tạp hơn bao gồm độ biến

động ngẫu nhiên, khuếch tán có bước nhảy và cả các phương pháp
chuyển tiếp chế độ (như chuyển tiếp trơn, chuyển tiếp Markov,...)
cũng đã được nghiên cứu. Các mô hình này góp phần giải thích
những quan sát thực tế trên thị trường một cách chính xác hơn
nhưng cũng đòi hỏi những phân tích sâu sắc hơn và một số công cụ
toán học phức tạp hơn.
Về phần ứng dụng trong tài chính chúng tôi kết hợp cả 4 hướng trên,
trên cơ sở phân tích lời giải của các phương trình vi phân ngẫu nhiên có
bước nhảy thể hiện giá trị tài sản của một công ty. Đó là các quá trình
có dạng sau đây.
1. Quá trình ngẫu nhiên điều khiển bởi một martingale Poisson.
2. Quá trình ngẫu nhiên điều khiển bởi một quá trình khuếch tán có
bước nhảy.
3. Quá trình ngẫu nhiên điều khiển bởi chuyển động Brown và một
quá trình Poisson phức hợp.
Gắn với các quá trình đó là sự mở rộng mô hình Merton nhằm xác định
xác suất phá sản trong lý thuyết rủi ro tín dụng.
Trong những trường hợp này các mô hình có cấu trúc như nhau nhưng
kỹ thuật tính toán và ước lượng xác suất phá sản thì khác nhau.
Ngoài các quá trình ngẫu nhiên được xét trong các mô hình rủi ro
tín dụng nói trên trong luận án cũng nêu ra khái niệm quá trình ngẫu
nhiên phân thứ có bước nhảy. Các quá trình này phản ánh hệ động lực
ngẫu nhiên có trí nhớ và có quỹ đạo gián đoạn tại các bước nhảy. Ngoài
ra với một quá trình phân thứ phản ánh nhiều hệ động lực có tác dụng
lâu dài như khủng hoảng kinh tế, chiến tranh, chính sách dài hạn của
10


nhà nước, và nhiều khi ta không quan sát trực tiếp được mà phải thông
qua một quá trình quan sát khác. Do đó luận án cũng nghiên cứu bài

toán ước lượng trạng thái của độ biến động ngẫu nhiên phân thứ của
một hệ động lực ngẫu nhiên dựa trên các quá trình quan sát có bước
nhảy là các quá trình điểm. Đó thực chất là bài toán lọc ngẫu nhiên mà
quá trình hệ thống là một quá trình ngẫu nhiên phân thứ và quá trình
quan sát là một quá trình điểm.
Luận án gồm 3 chương.
Chương 1 nêu những vấn đề chung về các quá trình ngẫu nhiên
có bước nhảy như quá trình điểm, quá trình Poisson, quá trình Poisson
phức hợp, cùng các công cụ của giải tích ngẫu nhiên đối với quá trình có
bước nhảy như tích phân ngẫu nhiên, công thức Itô. Trong chương này
cũng nêu lên khái niệm quá trình ngẫu nhiên phân thứ và một số tính
chất của nó.
Chương 2 dành để trình bày các quá trình có bước nhảy áp
dụng vào các bài toán rủi ro tín dụng. Chúng tôi đã phát triển bài
toán Merton cổ điển cho các trường hợp mô hình điều khiển bởi một
martingale Poisson, mô hình điều khiển bởi các quá trình khuếch tán có
bước nhảy, mô hình điều khiển bởi một chuyển động Brown và một quá
trình Poisson phức hợp.
Trong Chương 3 chúng tôi xây dựng các quá trình phân thứ có
bước nhảy và bài toán ước lượng tối ưu độ biến động của một quá trình
phân thứ dựa trên các quan sát quá trình có bước nhảy là các quá trình
điểm.

11


Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
Chương này chủ yếu trình bày những vấn đề về quá trình ngẫu
nhiên có bước nhảy thuần túy, tức là các quá trình chỉ thay đổi tại các

bước nhảy. Hai lớp quá trình được nêu lên ở đây là các quá trình điểm
chủ yếu là quá trình Poisson và quá trình Poisson phức hợp. Ngoài ra
chương này cũng nêu lên định nghĩa và một số tính chất của chuyển
động Brown phân thứ. Nội dung ở chương này chủ yếu được trích dẫn
từ các tài liệu [1], [3], [6], [8], [13], [15], [21], [47], [49].

1.1

Quá trình điểm

Một quá trình điểm có thể xem xét dưới ba góc nhìn khác nhau:
hoặc xem nó như là một dãy các biến ngẫu nhiên không âm, hoặc là
một độ đo rời rạc hoặc như là một quá trình đếm. Ở đây ta theo quan
điểm thứ 3 tức là xem nó như quá trình đếm. Điều này phù hợp với các
nghiên cứu ứng dụng về hệ động lực ngẫu nhiên rời rạc trong cơ học,
trong kinh tế tài chính,...
12


1.1.1

Quá trình điểm một biến
Quá trình điểm một biến có thể được mô tả bởi dãy các biến ngẫu

nhiên Tn không âm xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P ) sao cho
∀ω ∈ Ω, T0 (ω) = 0,
Tn (ω) < ∞ ⇒ Tn+1 (ω) > Tn (ω).

(1.1.1)

Thể hiện đó sẽ được gọi là không bùng nổ (nonexplosive) nếu
lim Tn = ∞.

(1.1.2)

n→∞

Với mỗi thể hiện Tn như thế ta cho tương ứng một hàm đếm Nt xác định
như sau

n nếu t ∈ [T , T )
n
n+1
(1.1.3)
Nt =
+∞ nếu t ≥ T .
∞

Như thế Nt là một quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục phải và cỡ
của bước nhảy là 1. Ta gọi nó là quá trình điểm và từ nay ta chỉ xét quá
trình điểm không bùng nổ nghĩa là Nt < ∞, ∀t ≥ 0 hoặc tương đương
T∞ = ∞.
Ngoài ra nếu E[Nt ] < ∞, ∀t ≥ 0 thì ta nói quá trình điểm Nt là khả
tích.
1.1.2

Quá trình điểm nhiều biến

Gọi Tn là dãy các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác
suất (Ω, F, P ) và gọi (Zn , n ≥ 0) là các biến ngẫu nhiên cũng xác định

trên không gian xác suất (Ω, F, P ) nhận các giá trị trong tập {1, 2, ...k}.
Với mỗi i, (0 ≤ i ≤ k) và với mỗi t ≥ 0 ta định nghĩa
Nt (i) =

1(Tn ≤t) 1(Zn =i) ,

(1.1.4)

n≥1

trong đó 1 là hàm chỉ tiêu.
Ta sẽ gọi véc tơ k-chiều Nt = (Nt (1), ...Nt (k)) là quá trình điểm k- chiều.
13


Chú ý 1.1.
(i) Đôi khi ta cũng gọi dãy các cặp biến ngẫu nhiên (Tn , Zn , n ≥ 1)
là quá trình điểm k−chiều.
(ii) Giới hạn T∞ = limn→∞ Tn được gọi là thời điểm bùng nổ của
quá trình điểm Nt . Cụ thể với một i nào đó (1 ≤ i ≤ k) mà Nt (i)
có thời điểm bùng nổ T∞ (i).
(iii) Các quá trình Nt (1) và Nt (2) cùng xác định trên không gian
xác suất (Ω, F, P ) được gọi là không có bước nhảy chung nếu
∆Nt (1).∆Nt (2) = 0 P- h.c.c., với mọi t ≥ 0.
1.1.3

Quá trình Poisson ngẫu nhiên kép hay quá trình Poisson
có điều kiện

Theo ngôn ngữ thông thường (không phải ngôn ngữ toán học)

người ta mô tả quá trình Poisson kép theo hai bước ngẫu nhiên hóa như
sau:
Đầu tiên vạch ra quỹ đạo của một quá trình "điều khiển" kí hiệu là Yt và
một khi quỹ đạo được chọn xong người ta tạo ra một quá trình Poisson
với cường độ λ(t, Yt ). Vậy quá trình này chỉ là quá trình Poisson có điều
kiện đối với Yt . Các quá trình này có rất nhiều ứng dụng trong thực tế.
Định nghĩa 1.1. (xem [26]) Gọi Nt là một quá trình điểm thích nghi với
lọc Ft và cho λt là một quá trình đo được không âm.
Giả sử
λt là F0 − đo được với mọi t ≥ 0
và

(1.1.5)

t

λs ds < ∞. P − h.c.c

(1.1.6)

0

Nếu với 0 ≤ s ≤ t và với mọi u ∈ R mà
t
iu

E[exp(iu(Nt − Ns ))|Fs ] = exp{(e − 1)

λv dv},
s

14

(1.1.7)


thì Nt được gọi là quá trình ngẫu nhiên Poisson kép hay còn gọi là quá
trình ngẫu nhiên Poisson với điều kiện cường độ ngẫu nhiên λt .
Chú ý 1.2.
(i) Nếu λt là tất định λ = λt thì Nt được gọi là quá trình Poisson
đối với (Ft , P ). Hơn nữa nếu Ft = FtN thì ta chỉ cần nói rằng Nt
là quá trình Poisson với cường độ tất định λ. Thêm nữa nếu λ = 1
thì Nt sẽ được gọi là quá trình Poisson tiêu chuẩn. Việc khảo sát
kỹ hơn về quá trình Poisson sẽ được nêu ở phần sau. Các điều kiện
(1.1.5) và (1.1.7) kéo theo sự kiện là:
Với mọi s, t mà 0 ≤ s ≤ t thì gia số Nt − Ns độc lập với Fs với điều
kiện F0 . Thật vậy, vì λt là F0 −đo được nên
t
iu

t
iu

E[exp{(e − 1)

λv dv|F0 ] = exp{(e − 1)
s

λv dv}.

(1.1.8)

s

Do đó nếu lấy kì vọng có điều kiện vế trái của (1.1.7) đối với F0 ta
được
E[E[exp(iu(Nt − Ns ))|Fs ]|F0 ] = E[exp(iu(Nt − Ns ))|F0 ]. (1.1.9)
(ii) Cũng từ (1.1.7) ta có thể suy ra.
Với mọi 0 ≤ s ≤ t và với mọi k ≥ 0 thì
−

P (Nt − Ns = k|F0 ) = e
1.1.4

t
s

t
k
λu du ( s λu du)

k!

.

(1.1.10)

Đặc trưng Wantanabe

Cho Nt là một quá trình Poisson ngẫu nhiên kép nếu nhân hai vế

của (1.1.10) với k rồi lấy tổng theo mọi k ≥ 0 và chú ý tới sự độc lập có
điều kiện của Nt − Ns đối với Fs với điều kiện F0 và sự đo được của λt
đối với F0 ta có
t

E[Nt − Ns |Fs ] = E[

λu du|Fs ].
s

15

(1.1.11)


Bây giờ ta giả thiết rằng với mọi t, E[

t
0 λu du]

< ∞ và do (1.1.11) ta có

E[Nt ] < ∞, tức là Nt khả tích, từ đó ta có quá trình
t

Mt = Nt −

λs ds

(1.1.12)

0

là khả tích và là một martingale đối với Ft . Đó là một tính chất đặc
biệt của quá trình Nt . Tính chất này có thể được mở rộng cho quá trình
điểm và được gọi là đặc trưng Wantanabe.
Định lý 1.1. Cho Nt là một quá trình điểm thích nghi với một bộ lọc
Ft và cho λt là hàm đo được không âm khả tích địa phương. Giả sử
t

Nt − 0 λs ds là một Ft −martingale. Khi đó Nt là một quá trình Poisson
với cường độ λt thích nghi với Ft .
Sau đây ta sẽ xem xét kỹ hơn về quá trình Poisson.

1.2

Quá trình Poisson
Quá trình có bước nhảy sơ cấp nhất và có ích nhất chính là quá

trình Poisson tiêu chuẩn Nt , t ∈ R+ . Quá trình này có bước nhảy là 1
và quỹ đạo không thay đổi giữa hai bước nhảy.
∞

Nt =

1[Tk ,∞] (t).

(1.2.1)

k=1

Trong đó (Tk )k≥1 là họ tăng, các thời điểm nhảy của Nt sao cho limk→∞ Tk =
∞, Tk có phân bố Gamma với tham số λ > 0.
Ta có thể nói, quá trình Poisson tiêu chuẩn Nt xác định bởi (1.2.1) là
một quá trình có gia số độc lập và dừng, các gia số đó có phân phối
Poisson
P (Nt − Ns = k) = e

k
−λ(t−s) λ (t

− s)k
,
k!

k = 0, 1, 2, ..., 0 ≤ s ≤ t.
16

(1.2.2)


(i) Với 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn thì (Nt1 − Nt0 , Nt2 − Nt1 , ..., Ntn − Ntn−1 ) là
một véc tơ gồm các biến ngẫu nhiên Poisson độc lập với các tham
số lần lượt là λ(t1 − t0 ), λ(t2 − t1 ), ..., λ(tn − tn−1 ).

(ii) Tham số λ được gọi là cường độ của quá trình Poisson và được cho
bởi
1
(1.2.3)
λ = lim P (Nh = 1).

h→0 h
Nói riêng Nt có phân phối Poisson với tham số λt
P (Nt = k) = e

−λt λ

k k

t
.
k!

Ta thấy rằng
P (Nh = 1) = hλe−λh
P (Nh = 0) = e−λh
trong đó ta kí hiệu f (h)

hλ, h → 0

1 − hλ, h → 0

hk có nghĩa là limh→0 fh(h)
k = 1.

(iii) Tổng quát hơn với mọi t ta có
P (Nt+h − Nt = 1)

hλe−λh
e−λh

P (Nt+h − Nt = 0)

hλ, h → 0

1 − hλ, h → 0.

Điều này có nghĩa là trong một khoảng thời gian ngắn [t, t + h] với
độ dài h thì số gia Nt+h − Nt có dáng điệu của một biến ngẫu nhiên
Bernouli với tham số λh. Điều này có ích cho việc mô tả các quỹ
đạo của quá trình Poisson.
(iv) Ta cũng thấy rằng
P (Nt+h − Nt = 2)

h2

λ2
, h → 0, t → 0.
2

Tổng quát hơn
P (Nt+h − Nt = k)
17

k
kλ

h

k!

, h → 0, t → 0.


Mệnh đề 1.1. (xem [8]) Quá trình điểm Poisson Tn có hàm mật độ là
n −λt

f (t) = λ e

tn−1
, t ∈ R+ , n ≥ 1.
(n − 1)!

Tương tự, xét dãy các biến ngẫu nhiên (τk , k = 0, 1, 2, ...) với
τk = Tk+1 − Tk , τ0 = 0
thì ta có thể chứng minh rằng đó là các dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
cùng phân bố và có phân bố mũ với tham số λ > 0.
Do kì vọng của τk là

1
λ
nên ta có thể thấy rằng cường độ λ càng cao (tức có càng nhiều khả
năng xuất hiện bước nhảy trong một thời gian ngắn) thì về mặt trung
bình mà nói, càng ít thời gian quá trình ở lại trạng thái k.
E[τk ] =

Định nghĩa 1.2. (xem [8]) Quá trình Poisson đối trọng là quá trình được
xác định từ quá trình Poisson theo công thức sau
Mt = Nt − λt.
Vì E[Nt ] = λt nên ta có thể thấy rằng Mt là một quá trình quy
tâm, gia số của nó cũng quy tâm và từ đó có thể chứng minh được mệnh

đề sau.
Mệnh đề 1.2. (xem [8]) Quá trình đối trọng Mt là một martingale đối
với bộ lọc tự nhiên FtN của quá trình Poisson.

1.3

Quá trình Poisson phức hợp

Như ta đã thấy quá trình Poisson là quá trình có bước nhảy là
một hằng số, trong mục này ta sẽ quan tâm đến một quá trình mà cỡ
bước nhảy của nó không phải là hằng số.
Cho (Yk , k ≥ 1) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố, bình
18


phương khả tích với độ đo xác suất ν(dy) và độc lập với quá trình Poisson
Nt . Ta có
b

P (Yk ∈ [a, b]) = ν([a, b]) =

ν(du), 0 < a ≤ b < ∞.
a

Ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.3. (xem [26]) Quá trình (Qt , t ≥ 0) được xác định như sau
Nt

Yk , t ∈ R+ ,

Qt =

(1.3.1)

k=1

được gọi là quá trình Poisson phức hợp.
Các bước nhảy trong quá trình (Qt , t ≥ 0) xuất hiện cùng thời
điểm với các bước nhảy trong quá trình Poisson (Nt , t ≥ 0), cỡ của các
bước nhảy trong quá trình Poisson là 1 còn trong quá trình Poisson phức
hợp là (Yk )k . Hơn nữa Qt − Qs có cùng phân bố với Qt−s điều này do
Nt − Ns có cùng phân bố với Nt−s .
Cho NT = n thì n cỡ bước nhảy của quá trình Poisson phức hợp (Qt , t ≥
0) trên khoảng [0, T ] là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố trên
R theo luật phân bố ν. Điều này cho phép ta tính được đặc trưng của
gia số QT − Qt như trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3. (xem [26]) Với mọi t ∈ [0, T ], α ∈ R ta có
+∞

(eiuα − 1)ν(du) .

E[exp(iα(QT − Qt ))] = exp λ(T − t)

(1.3.2)

−∞

Hệ quả 1.1. Từ hàm đặc trưng trên, ta có thể tính được kỳ vọng và
phương sai của Qt
E[Qt ] = λE[Y1 ] và V ar[Qt ] = λtE[|Y1 |2 ].

Với kỳ vọng ta có
d
E[Qt ] = −i E[eiαQt ]|α=0 = λt
dα
19

+∞

dν(du) = λtE[Y1 ]
−∞

(1.3.3)


Kết quả trên cũng có thể được tính trực tiếp như sau:
Nt

Yk |Nt

E[Qt ] = E E
=e

−λt

k=1
∞
n n
n=0
∞

=e

−λt
n=0

λ t
E
n!

λn tn
E
n!
∞

= λte

−λt

E[Y1 ]
n=1

n

Yk |Nt = n
k=1
n

Yk
k=1

(λt)n−1
(n − 1)!

= λtE[Y1 ].
Tổng quát hơn ta có thể chứng minh rằng với mọi 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn
và α1 , α2 , ...αn ∈ R thì
n

n
iαk (Qtk −Qtk−1 )

E

e

(eiαk u − 1)ν(du)

(tk − tk−1 )

= exp λ

k=1

+∞

k=1
n

−∞
+∞

(eiαk u − 1)ν(du)

exp λ(tk − tk−1 )

=

−∞

k=1
n

E eiα(Qtk −Qtk−1 ) .

=

(1.3.4)

k=1

Điều đó chứng tỏ rằng quá trình Poisson phức hợp (Qt , t ≥ 0) cũng có
gia số độc lập giống như quá trình Poisson. Thêm vào đó (Qt , t ≥ 0) là
quá trình qui tâm nên ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.4. (xem [8]) Quá trình Poisson phức hợp đối trọng
Mt = Qt − λtE[Y1 ], t ∈ R+
là một martingale.
20


1.4

Tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình có bước
nhảy

Cho (Φt , t ∈ R+ ) là một quá trình ngẫu nhiên, ta gọi tích phân
của Φt đối với quá trình Poisson phức hợp (Qt , t ≥ 0) là được xác định
như sau
Nt

t

ΦTk Yk ,

Φt dQt :=
0

(1.4.1)

k=1

ở đây ta giả thiết các thời điểm nhảy là Tk , tại đó cỡ bước nhảy tương
ứng là Yk .
Nói riêng, quá trình Poisson phức hợp (Qt , t ≥ 0) có một biểu diễn tích
phân dưới dạng
t

Qt = Q0 +

YNs dNs .
0

Hơn nữa, nếu cho (Wt , t ≥ 0) là một chuyển động Brown tiêu chuẩn độc
lập với (Qt , t ≥ 0) và cho (Xt , t ≥ 0) là một quá trình khuếch tán-bước
nhảy có dạng:
t

Xt =

t

vs ds + Qt , t ∈ R+

us dWs +
0

0

Φt là quá trình thích nghi với bộ lọc sinh bởi Wt và YNt sao cho
+∞

E
−∞

và

Φ2s |us |2 ds < ∞

+∞

|Φs vs |ds < ∞,

E
−∞

thì khi đó ta có định nghĩa tích phân của Φs theo Xs như sau
t

t

Φs dXs =
0

Φs us dWs +
0

Nt

t

Φs vs ds +
0

ΦTk Yk , t > 0.
k=1

21

(1.4.2)