Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng trong kinh tế, tài chính

Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Các phân phối hữu ích trong tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Phân phối hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Phân phối chuẩn và phân phối loga chuẩn . . . . . . . . . . 9
1.1.5 Phân phối χ
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.6 Phân phối mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.7 Phân phối đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Tài khoản tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Thị trường trái phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Trái phiếu chiết khấu và trái phiếu có phiếu lãi . . . . . . 14
1.3.2 Hoa lợi lúc đáo hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 Lãi suất giao ngay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4 Hoa lợi định trước và lãi suất định trước . . . . . . . . . . 16
1.4 Hợp đồng ký kết trước và hợp đồng tương lai . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Mô hình thị trường chứng khoán với thời gian rời rạc 20
2.1 Các kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2
2.1.1 Quá trình giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Giá trị phương án đầu tư và tích phân ngẫu nhiên rời rạc 23
2.1.3 Cơ hội có độ chênh thị giá và phương án đầu tư đáp ứng . 25
2.1.4 Martingale và định lý định giá tài sản . . . . . . . . . . . . 27
2.1.5 Thời điểm dừng và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.6 Biến đổi độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Mô hình nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.1 Du động ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Mô hình nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Mô hình thị trường chứng khoán với thời gian liên tục 56
3.1 Các kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.1 Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.2 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.3 Quá trình khuếch tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.4 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1.5 Tích phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.6 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.7 Công thức Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Mô hình thị trường chứng khoán với thời gian liên tục . . . . . . . 75
3.2.1 Phương án đầu tư tự tài trợ và cơ hội có độ chênh thị giá 75
3.2.2 Mô hình quá trình giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.3 Mô hình Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.4 Phương pháp trung hòa rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.5 Phương pháp trung hòa định trước . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.6 Cấu trúc kỳ hạn của lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.7 Định giá phái sinh lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3
LỜI MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, lý thuyết quá trình ngẫu nhiên ngày càng trở nên
quan trọng trong kinh tế, tài chính. Tính không chắc chắn, sự biến động ngẫu
nhiên theo thời gian là các thuộc tính cơ bản trong nền kinh tế cũng như trong
thị trường tài chính. Lý thuyết quá trình ngẫu nhiên là công cụ toán học để
mô hình hóa thị trường tài chính. Ví dụ, một phương trình vi phân ngẫu nhiên
thường dùng để mô hình hóa cho sự dao động giá các tài sản tài chính, một quá
trình Poisson phù hợp với việc mô tả các biến cố vỡ nợ, du động ngẫu nhiên là

cơ sở của mô hình nhị thức
Mục đích của luận văn là tìm hiểu một số quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng
của chúng trong kinh tế, tài chính. Luận văn trình bày các phân phối xác suất
thường dùng trong lý thuyết tài chính, một số khái niệm cơ bản trong tài chính,
mô hình thị trường chứng khoán với thời gian rời rạc và liên tục trên cơ sở các
kết quả cơ bản của giải tích ngẫu nhiên.
Nội dung luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Trình bày các phân phối xác suất hữu ích trong tài chính và một
số khái niệm cơ bản trong tài chính.
Chương 2: Trình bày mô hình thị trường chứng khoán với thời gian rời
rạc, giới thiệu các khái niệm và kết quả quan trọng trong lý thuyết tài chính.
Lý thuyết về du động ngẫu nhiên và mô hình nhị thức sẽ được trình bày cuối
chương này.
Chương 3: Trình bày mô hình thị trường chứng khoán với thời gian liên
tục, giới thiệu một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng và các kết quả trong giải
tích ngẫu nhiên được ứng dụng trong tài chính. Mô hình Black-Scholes, phương
pháp trung hòa rủi ro, phương pháp trung hòa định trước, cấu trúc kỳ hạn của
lãi suất, định giá phái sinh lãi suất sẽ được trình bày trong chương này.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian thực hiện luận văn không nhiều,
4
kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót.
Em mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và
bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 25 tháng 08 năm 2014
Học viên
Trịnh Thị Trang
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các phân phối hữu ích trong tài chính
1.1.1 Phân phối nhị thức
Một biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Bernoulli với tham
số p (ký hiệu là X ∼ Be(p)) nếu nó nhận các giá trị 0 hoặc 1 và xác suất cho bởi:
P {X = 1} = 1 − P {X = 0} = p, 0 < p < 1.
Giá trị 1 (tương ứng 0) thường thể hiện thành công (thất bại) trong một phép
thử và do vậy p biểu thị xác suất thành công.
Một biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối nhị thức với tham
số (n, p) (ký hiệu là X ∼ B(n, p)) nếu tập các giá trị là {0, 1, . . . , n} và
P {X = k} = C
k
n
p
k
(1 − p)
n−k
, k = 0, 1, . . . , n.
Xét một dãy các phép thử độc lập, mỗi phép thử có phân phối Bernoulli. Khi
đó, X ∼ B(n, p) là số lần thành công trong n phép thử Bernoulli với xác suất
thành công p.
Ngoài ra, nếu X
1
, X
2
, . . . , X
n
là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, X
k
là kết quả của phép thử Bernoulli thứ k với xác suất thành công p thì
X =

n

k=1
X
k
(1.1)
6
có phân phối nhị thức với tham số (n, p).
Từ nay trở đi, chúng ta ký hiệu b
k
(n, p) = C
k
n
p
k
(1 − p)
n−k
và
B
k
(n, p) =
k

i=0
b
i
(n, p), B
k
(n, p) =
n


i=k
b
i
(n, p), k = 0, 1, . . . , n.
Vì b
k
(n, p) = b
n−k
(n, 1 − p) nên:
B
k
(n, p) = B
n−k
(n, 1 − p), k = 0, 1, . . . , n.
Hàm sinh các momen của X ∼ B(n, p) là
m(t) = E[e
tX
] =

pe
t
+ (1 − p)

n
, t ∈ R.
Kỳ vọng và phương sai của X ∼ B(n, p) lần lượt là
E [X] = np, V [X] = np (1 − p) .
1.1.2 Phân phối Poisson
Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ (ký

hiệu là X ∼ P oi(λ)) nếu tập giá trị là {0, 1, 2, . . .} và
P {X = n} =
λ
n
n!
e
−λ
, n = 0, 1, 2, . . .
ở đó λ > 0. Hàm sinh momen của X ∼ P oi(λ) là
m(t) = exp{λ

e
t
− 1

}, t ∈ R.
Kỳ vọng và phương sai của X là
E [X] = V [X] = λ.
Phân phối Poisson có thể được coi là giới hạn của các phân phối nhị thức.
Thật vậy, xét biến ngẫu nhiên nhị thức X
n
∼ B(n, λ/n) với λ > 0 và n đủ lớn.
Hàm sinh momen của X
n
là
m
n
(t) =

1 +


e
t
− 1

λ
n

n
, t ∈ R.
7
Cho n → ∞, ta được:
lim
n→∞
m
n
(t) = exp{λ

e
t
− 1

}, t ∈ R
chính là hàm sinh momen của biến ngẫu nhiên Poisson X ∼ P oi(λ). Do đó, X
n
hội tụ theo phân phối tới biến ngẫu nhiên X ∼ P oi(λ).
Giả sử X
1
∼ P oi(λ
1

), X
2
∼ P oi(λ
2
), X
1
, X
2
độc lập. Khi đó, X
1
+ X
2
∼
P oisson(λ
1
+ λ
2
). Ta có
P {X
1
= k|X
1
+ X
2
= n} =
P {X
1
= k}P {X
2
= n − k}

P {X
1
+ X
2
= n}
, k = 0, 1, . . . , n
= C
k
n

λ
1
λ
1
+ λ
2

k

λ
2
λ
1
+ λ
2

n−k
.
Như vậy, phân phối có điều kiện của X
1

với điều kiện {X
1
+ X
2
= n} xảy ra là
phân phối nhị thức B(n, λ
1
/(λ
1
+ λ
2
)).
1.1.3 Phân phối hình học
Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối hình học với tham số p
(ký hiệu là X ∼ Geo(p)) nếu tập giá trị của nó là {0, 1, 2, . . .} và
P {X = n} = p (1 − p)
n
, n = 0, 1, 2, . . .
Phân phối hình học biểu thị số lần thất bại cho tới lần thành công đầu tiên
trong dãy phép thử Bernoulli với xác suất thành công p. Kỳ vọng và phương sai
của biến ngẫu nhiên X ∼ Geo(p) lần lượt được cho bởi
E [X] =
1 − p
p
, V [X] =
1 − p
p
2
.
Các phân phối hình học thỏa mãn tính chất nhớ. Tức là, nếu X ∼ Geo(p) thì:

P {X − n ≥ m|X ≥ n} = P {X ≥ m}, m, n = 0, 1, 2, . . .
Thật vậy, ta có:
P {X ≥ n + m|X ≥ n} =
P {X ≥ n + m}
P {X ≥ n}
=
(1 − p)
n+m
(1 − p)
n
= (1 − p)
m
= P {X ≥ m}.
Phân phối hình học là phân phối rời rạc duy nhất có tính chất nhớ.
8
1.1.4 Phân phối chuẩn và phân phối loga chuẩn
Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ và
phương sai σ
2
(ký hiệu là X ∼ N(µ, σ
2
)) nếu hàm mật độ của X là
f(x) =
1
√
2πσ
exp

−
(x − µ)

2
2σ
2

, x ∈ R.
N(0, 1) được gọi là phân phối chuẩn tắc và hàm mật độ của nó là
φ(x) =
1
√
2π
e
−x
2
/2
, x ∈ R.
Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc là
Φ(x) =

x
−∞
1
√
2π
e
−t
2
/2
dt, x ∈ R.
Nếu X ∼ N(µ, σ
2

)thì biến ngẫu nhiên Y xác định bởi :
Y =
X − µ
σ
là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc. Ngược lại, nếu Y ∼ N(0, 1) thì
X = µ + σY ∼ N(µ, σ
2
).
Mệnh đề 1.1.1. Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc là
hàm chẵn và thỏa mãn
φ

(x) = −xφ(x), x ∈ R.
Do đó, chúng ta có Φ(x) = 1 − Φ(−x), x ∈ R.
Hàm sinh momen của X ∼ N(µ, σ
2
) là
m(t) = E

e
tX

=

∞
−∞
1
√
2πσ
exp


−
(x − µ)
2
2σ
2

exp{tx}dx
= exp{µt +
σ
2
t
2
2
}

∞
−∞
1
√
2πσ
exp{−
(x − (µ + σ
2
t)
2
)
2σ
2
}dx

= exp

µt +
σ
2
t
2
2

, t ∈ R. (1.2)
9
Giả sử X ∼ N(µ, σ
2
). Khi đó phân phối của biến ngẫu nhiên Y = e
X
được gọi
là phân phối loga chuẩn. Để thu được hàm mật độ của Y , trước hết ta xét hàm
phân phối
F (y) = P {Y ≤ y} = P {X ≤ ln y}, y > 0.
Vì X ∼ N(µ, σ
2
) nên
F (y) = Φ

ln y − µ
σ

, y > 0.
Do đó hàm mật độ của Y là
f(y) =

1
√
2πσy
exp

−
(ln y − µ)
2
2σ
2

, y > 0.
Từ (1.2) suy ra momen thứ n của Y :
E [Y
n
] = E

e
nX

= exp

nµ +
n
2
σ
2
2

, n = 1, 2, . . .

Mặc dù Y có momen mọi cấp nhưng hàm sinh momen của Y không tồn tại.
Thật vậy, với h > 0 bất kỳ ta có:
E

e
hY

= E

∞

n=0
h
n
Y
n
n!

=
∞

n=0
h
n
E[Y
n
]
n!
= ∞.
1.1.5 Phân phối χ

2
Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối χ
2
với n bậc tự do (ký
hiệu là X ∼ χ
2
n
) nếu nó có hàm mật độ như sau
ψ(x) =







1
2
n/2
Γ(n/2)
x
n
2
−1
e
−x/2
nếu x > 0
0 nếu x ≤ 0
ở đó Γ(x) là hàm gamma xác định bởi
Γ(x) =


∞
0
u
x−1
e
−u
du, x > 0.
Ta có: Γ(1) = 1, Γ(1/2) =
√
π, Γ(α) = (α − 1)Γ(α − 1). Vì vậy, Γ(n) = (n − 1)! với
mọi số nguyên dương n. Thực chất của phân phối χ
2
n
chính là phân phối của
10
biến ngẫu nhiên
n

i=1
X
2
i
trong đó X
1
, X
2
, . . . , X
n
độc lập cùng phân phối N(0, 1).

Vì vậy, nếu X ∼ χ
2
n
thì kỳ vọng và phương sai lần lượt là:
E[X] =
n

i=1
E[X
2
i
] = n
V [X] =
n

i=1
V [X
2
i
] = n

E[X
4
1
] − E
2
[X
2
1
]


= 2n
Ngoài ra, nếu X ∼ χ
2
n
, Y ∼ χ
2
m
và X, Y độc lập thì X + Y ∼ χ
2
n+m
.
1.1.6 Phân phối mũ
Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối mũ với tham số λ > 0
(ký hiệu là X ∼ Exp(λ)) nếu nó có hàm mật độ như sau
f(x) =





λe
−λx
nếu x ≥ 0,
0 nếu x < 0.
Kỳ vọng và phương sai của X ∼ Exp(λ) lần lượt là E[X] = 1/λ, V [X] = 1/λ
2
.
Hàm sinh momen của X:
E


e
tX

=
λ
λ − t
, t < λ.
Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối Erlang bậc k với tham
số λ > 0 (ký hiệu X ∼ E
k
(λ)) nếu hàm mật độ có dạng:
f(x) =







λ
k
(k − 1)!
x
k−1
e
−λx
nếu x ≥ 0,
0 nếu x < 0.
Hàm phân phối của E

k
(λ) là:
F (x) =









1 − e
−λx
k−1

n=0
(λx)
n
n!
nếu x ≥ 0,
0 nếu x < 0.
11
Cho các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối X
i
∼ Exp(λ), i = 1, 2, . . Khi
đó,
S
k
= X

1
+ X
2
+ ··· + X
k
∼ E
k
(λ), k = 1, 2, . . .
1.1.7 Phân phối đều
Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên khoảng (a, b)
(ký hiệu là X ∼ U(a, b)) nếu nó có hàm mật độ như sau
f(x) =





1
b − a
nếu x ∈ (a, b),
0 nếu x ∈ (a, b).
Hàm phân phối của U(a, b) là
F (x) =














0 nếu x ≤ a,
x − a
b − a
nếu a < x < b,
1 nếu x ≥ b.
Kỳ vọng và phương sai lần lượt là:
E [X] =
a + b
2
, V [X] =
(b − a)
2
12
.
Nếu Y ∼ U(0, 1) thì (b − a)Y + a ∼ U(a, b).
1.2 Tài khoản tiền tệ
Xét một tài khoản gửi ngân hàng với số tiền gửi ban đầu là F = 1. Ký hiệu
B
t
là số tiền trong tài khoản sau t thời kỳ. Tiền lãi thu được ở thời kỳ t bằng
B
t+1
− B
t

. Nếu tính theo lãi kép thì:
B
t+1
− B
t
= rB
t
, t = 0, 1, 2, . . .
với r > 0 được gọi là lãi suất. Vì B
t+1
= (1 + r)B
t
nên
B
t
= (1 + r)
t
, t = 0, 1, 2, . . .
12
Tiền gửi B
t
thường gọi là tài khoản tiền tệ.
Giả sử lãi suất hàng năm là r và lãi được trả vào n thời điểm mỗi năm. Chúng
ta chia mỗi năm thành n khoảng thời gian bằng nhau. Vì vậy, lãi suất ở mỗi
thời kỳ là r/n. Dễ thấy rằng tổng số tiền gửi sau m thời kỳ là
B
m
=

1 +

r
n

m
, m = 0, 1, 2, . . . (1.3)
Ví dụ, khi lãi suất phải trả sau nửa năm thì số tiền gửi sau 2 năm là B
4
=
(1 + r/2)
4
.
Giả sử t = m/n với m, n là các số nguyên dương và B(t) là số tiền gửi ở thời
điểm t với lãi suất hàng năm là r. Từ (1.3) ta có:
B(t) =

1 +
r
n

nt
.
Cho n → ∞, ta được:
B(t) =

lim
n→∞

1 +
r
n


n

t
= e
rt
, t ≥ 0. (1.4)
Bây giờ ta xét trường hợp lãi suất biến đổi theo thời gian. Lãi suất ở thời
điểm t được cho bởi
r(t) = r
i
nếu t
i−1
≤ t < t
i
, i = 1, 2, . . .
với t
0
= 0. Từ (1.4), ta có: B(t
1
) = e
r
1
t
1
, B(t
2
)/B(t
1
) = e

r
2
(t
2
−t
1
)
, . . Vì vậy, nếu
t
n−1
≤ t < t
n
thì
B(t) = exp

n−1

k=1
r
k
δ
k
+ r
n
(t − t
n−1
)

, δ
k

≡ t
k
− t
k−1
.
Với hàm khả tích r(t) bất kỳ, ta có:

t
0
r(u)du = lim
n→∞

n−1

k=1
r
k
δ
k
+ r
n
(t − t
n−1
)

ở đó giới hạn lấy trên mọi phân hoạch của đoạn [0, t].
13
Định lý 1.2.1. Giả sử lãi suất giao ngay ở thời điểm t là r(t). Nếu tính theo lãi
kép liên tục thì tài khoản tiền tệ ở thời điểm t được cho bởi
B(t) = exp



t
0
r(u)du

, t ≥ 0
với giả thiết tích phân tồn tại.
1.3 Thị trường trái phiếu
1.3.1 Trái phiếu chiết khấu và trái phiếu có phiếu lãi
Trái phiếu chiết khấu là loại trái phiếu mà người phát hành chi trả cho người
sở hữu trái phiếu số tiền theo mệnh giá (in trên trái phiếu) vào đúng thời điểm
đáo hạn. Giá của một trái phiếu chiết khấu nhỏ hơn mệnh giá của nó, và phần
chênh lệch gọi là phần chiết khấu và đấy chính là phần lãi trả cho trái phiếu cho
đến khi đáo hạn.
Trái phiếu có phiếu lãi là loại trái phiếu mà người phát hành, ngoài số tiền
theo mệnh giá phải trả vào ngày đáo hạn, còn phải trả thêm cho người sở hữu
trái phiếu một số tiền lãi theo một số định kỳ cố định ghi rõ trên trái phiếu,
trong phạm vi trái phiếu còn giá trị (trước thời điểm đáo hạn).
1.3.2 Hoa lợi lúc đáo hạn
Xét một chứng khoán phải trả số tiền S(T) vào thời điểm đáo hạn T . Giả sử
nhà đầu tư mua một chứng khoán ở thời điểm t với giá S(t). Lợi suất trên mỗi
đơn vị thời gian R(t, T ) được cho bởi
R(t, T ) =
S(T ) − S(t)
(T − t)S(t)
, t ≤ T. (1.5)
Do đó:
S(T ) = S(t) [1 + (T −t)R(t, T )] .
14

Bây giờ ta giả sử lợi suất trên mỗi đơn vị thời gian được tính trong trường
hợp lãi kép. Khi đó:
S(T ) = S(t)

1 +
(T − t)R
n
(t, T )
n

n
, n = 1, 2, . . .
ở đó chỉ số n trong R
n
(t, T ) có nghĩa là lãi được trả vào n thời điểm mỗi năm.
Ký hiệu lợi suất trên mỗi đơn vị thời gian tính theo lãi kép liên tục là Y (t, T ) =
lim
n→∞
R
n
(t, T ). Khi đó:
S(T ) = S(t)e
(T −t)Y (t,T )
, t ≤ T,
hay
Y (t, T ) =
1
T − t
ln
S(T )

S(t)
, t ≤ T.
Lợi suất trên mỗi đơn vị thời gian tính theo lãi kép liên tục được gọi là hoa lợi
lúc đáo hạn. Nói riêng, nếu chứng khoán là trái phiếu chiết khấu không bị mất
vì phá sản (default-free discount bond) trả 1$ vào lúc đáo hạn T và giả sử v(t, T )
là giá ở thời điểm t của trái phiếu thì
Y (t, T ) = −
ln v(t, T )
T − t
, t ≤ T. (1.6)
1.3.3 Lãi suất giao ngay
Cho đường hoa lợi Y (t, T ), t < T của trái phiếu chiết khấu không bị mất vì
phá sản, lãi suất giao ngay ở thời điểm t được định nghĩa là
r(t) = lim
T →t
Y (t, T ).
Từ (1.6) ta có:
r(t) = − lim
T →t
ln v(t, T )
T − t
= −
∂
∂T
ln v(t, T )


T =t
. (1.7)
15

1.3.4 Hoa lợi định trước và lãi suất định trước
Hoa lợi f(t, T, τ) ở thời điểm t của trái phiếu chiết khấu không bị mất vì phá
sản trên khoảng thời gian tương lai [T, τ ] xác định từ phương trình
v(t, τ)
v(t, T )
= e
−(τ−T )f(t,T,τ )
, t ≤ T < τ.
Hoa lợi f(t, T, τ ) được gọi là hoa lợi định trước (forward yield). Từ phương trình
trên ta có
f(t, T, τ) = −
ln
v(t, τ)
v(t, T )
τ −T
, t ≤ T < τ.
Lãi suất định trước (forward rate) được định nghĩa là
f(t, T ) = lim
τ→T
f(t, T, τ)
= − lim
h→0
ln v(t, T + h) − ln v(t, T)
h
= −
∂
∂T
ln v(t, T ), t ≤ T. (1.8)
Từ đó
v(t, T ) = exp


−

T
t
f(t, s)ds

, t ≤ T.
Từ (1.7) và (1.8) ta có
r(t) = f(t, t).
Người ta đã chứng minh được rằng khi lãi suất tất định thì phải có
r(T ) = f(t, T ), t ≤ T.
Do đó
v(t, T ) = exp

−

T
t
r(s)ds

=
B(t)
B(T )
, t ≤ T.
1.4 Hợp đồng ký kết trước và hợp đồng tương lai
Một hợp đồng ký kết trước là một sự thỏa thuận giữa hai bên về việc mua
hay bán một tài sản vào một thời điểm cụ thể trong tương lai với mức giá định
16
trước. Giả sử hai bên ký một hợp đồng ký kết trước vào thời điểm t. Bên A

muốn mua tài sản nào đó vào thời điểm đáo hạn T với giá giao nhận F
T
(t). Bên
B đồng ý bán tài sản này cho bên A vào thời điểm và giá như trên. Ở thời điểm
ký kết hợp đồng, giá giao nhận được chọn sao cho giá trị của hợp đồng đối với
hai bên bằng 0. Vào thời điểm đáo hạn T , bên A phải mua tài sản đó với giá
F
T
(t) và giả sử ở thời điểm này giá thị trường của tài sản này là S(T ). Khi đó,
lợi nhuận (hoặc thiệt hại) của hợp đồng là
X = S(T ) − F
T
(t).
Giá S(T ) không biết trước được nên X là một biến ngẫu nhiên. Giả sử S(T ) = S
vào thời điểm đáo hạn, hàm thu hoạch (payoff function) cho bên A là:
X(S) = S − F
T
(t).
Hàm thu hoạch cho bên B là
X(S) = F
T
(t) − S.
Một hợp đồng tương lai cũng là một sự thỏa thuận giữa hai bên về việc mua
hay bán một tài sản vào thời điểm cụ thể trong tương lai với mức giá xác định
trước. Hợp đồng này được giao dịch thông qua sàn giao dịch tương lai. Trong
khi hợp đồng tương lai nói đến việc mua bán trong tương lai thì mục đích của
sở giao dịch tương lai là giảm thiểu rủi ro phá vỡ hợp đồng giữa hai bên. Do
đó, việc mua bán đòi hỏi cả hai bên đặt cọc một khoản tiền ban đầu, gọi là tiền
ký quỹ (hay "biên", margin). Ngoài ra, thông thường do giá tương lai thay đổi
hàng ngày nên mức chênh lệch giữa giữa giá đã ấn định trước và giá tương lai

mỗi ngày cũng được tính toán hàng ngày. Trung tâm giao dịch sẽ rút tiền trong
tài khoản ký quỹ của một bên và chuyển vào tài khoản của bên kia, sao cho mỗi
bên sẽ nhận được khoản lãi hay lỗ thích hợp mỗi ngày. Nếu tài khoản ký quỹ
xuống thấp hơn một giá trị nào đó thì người ta sẽ yêu cầu thêm khoản ký quỹ
(gọi là "gọi vốn biên") và chủ sở hữu sẽ phải bổ sung thêm tiền vào tài khoản
17
này. Quy trình này gọi là ghi giá thị trường (marking to the market). Do đó, vào
ngày giao hàng, số tiền mua bán không phải theo giá ghi trong hợp đồng mà là
giá trị giao ngay (do mọi khoản lãi và lỗ trước đó đã được thanh toán thông qua
quá trình ghi giá thị trường).
1.5 Quyền chọn
Một quyền chọn là quyền được mua hay bán một chứng khoán nào đó với
những điều kiện nào đó được đặt trước. Có hai loại quyền chọn cơ bản: quyền
chọn mua và quyền chọn bán. Quyền chọn mua là một loại hợp đồng trong đó
người nắm giữ quyền chọn có quyền (nhưng không bị bắt buộc) mua một loại
tài sản nào đó (tài sản có thể là cổ phiếu, trái phiếu, hoặc là một món hàng hóa
nào đó) với một giá đã được định trước trong một thời gian đã định. Trong giao
dịch này có hai phía: người mua quyền chọn mua, hay còn được gọi là người
nắm giữ quyền chọn, và người bán quyền chọn mua. Người mua quyền chọn mua
phải trả cho người bán quyền một khoản phí giao dịch (option premium). Người
nắm giữ quyền chọn mua sẽ quyết định thực hiện quyền của mình khi thấy có
lợi nhuận và người bán quyền chọn mua có nghĩa vụ phải bán tài sản đó cho
người nắm giữ quyền chọn mua. Trong trường hợp cảm thấy không có lợi vì lý
do nào đó (giá trên thị trường giảm ) người nắm giữ quyền chọn có thể không
thực hiện quyền (hủy hợp đồng).
Quyền chọn bán là một loại hợp đồng trong đó người nắm giữ quyền chọn
có quyền (nhưng không bị bắt buộc) bán một loại tài sản nào đó (tài sản có thể
là cổ phiếu, trái phiếu, hoặc là một món hàng hóa nào đó) với một giá đã được
định trước trong một thời gian đã định. Trong giao dịch này có hai phía: người
mua quyền chọn bán, hay còn được gọi là người nắm giữ quyền chọn, và người

bán quyền chọn bán. Người mua quyền chọn bán phải trả cho người bán quyền
chọn bán một khoản phí giao dịch. Người nắm giữ quyền chọn bán sẽ quyết định
18
thực hiện quyền của mình khi thấy có lợi nhuận và người bán quyền chọn bán có
nghĩa vụ phải mua tài sản đó từ người nắm giữ quyền chọn bán. Trong trường
hợp cảm thấy không có lợi vì lý do nào đó (giá trên thị trường tăng ) người
nắm giữ quyền chọn có thể không thực hiện quyền (hủy hợp đồng). Có hai kiểu
quyền chọn thông dụng là quyền chọn kiểu châu Âu và quyền chọn kiểu Mỹ.
Các quyền chọn kiểu Mỹ có thể được thực hiện vào bất kỳ thời điểm nào trước
hoặc vào lúc đáo hạn. Còn các quyền chọn kiểu châu Âu chỉ được thực hiện vào
lúc đáo hạn.
Điểm khác biệt quan trọng của hợp đồng quyền chọn với các hợp đồng ký
kết trước và hợp đồng tương lai là người giữ hợp đồng có quyền thực hiện hoặc
không thực hiện quyền của mình. Bây giờ, ta gọi S(T ) là giá của tài sản cơ sở
vào lúc đáo hạn T và giả sử một nhà đầu tư mua một quyền chọn mua kiểu châu
Âu với giá thực hiện K. Nếu S(T ) > K thì nhà đầu tư sẽ mua tài sản với giá
thực hiện K và lập tức bán nó với giá thị trường S(T ). Khi đó, nhà đầu tư lãi
S(T ) − K. Ngược lại, nếu S(T ) < K thì nhà đầu tư sẽ không thực hiện quyền.
Hàm thu hoạch của quyền chọn mua được cho bởi
X = {S(T ) − K}
+
ở đó {x}
+
= max{x, 0}. Tương tự, hàm thu hoạch của quyền chọn bán với thời
điểm đáo hạn T và giá thực hiện K được cho bởi
X = {K − S(T )}
+
.
19
Chương 2

Mô hình thị trường chứng khoán
với thời gian rời rạc
2.1 Các kết quả cơ bản
2.1.1 Quá trình giá
Một họ các biến ngẫu nhiên {X(t), t ∈ T } được tham số hóa bởi thời gian
t ∈ T được gọi là một quá trình ngẫu nhên (với mỗi t ∈ T , X(t) là một biến
ngẫu nhiên). Quá trình ngẫu nhiên là công cụ toán học để mô hình hệ thống
thay đổi ngẫu nhiên theo thời gian. Cho (Ω, F, P ) là một không gian xác suất,
xét một quá trình ngẫu nhiên {X(t)} xác định trên đó. Với mỗi ω ∈ Ω cố định,
hàm X
ω
: t → X
ω
(t) được gọi là một quỹ đạo của {X(t)}.
Bây giờ, chúng ta xét tập các thời điểm T = {0, 1, . . . , T } với T < ∞ và t = 0
là thời điểm hiện tại. Xét một thị trường tài chính gồm có n + 1 chứng khoán
ký hiệu lần lượt là 0, 1, 2, . . . , n. Trong đó, 0 là chứng khoán không rủi ro, còn n
chứng khoán còn lại là các chứng khoán rủi ro (n ≥ 1). Gọi S
i
(t) là giá của chứng
khoán i ở thời điểm t (i = 0, 1, 2, . . . , n), giá S
i
(0) được biết bởi tất cả các nhà
đầu tư trong thị trường. Trong khi giá tương lai S
0
(t) của chứng khoán không
có rủi ro là một biến ngẫu nhiên dương thì giá tương lai của các chứng khoán
rủi ro S
i
(t), i = 1, 2, . . . , n là các biến ngẫu nhiên không âm. Chúng ta ký hiệu

20
giá các chứng khoán ở thời điểm t bởi véc tơ
S(t) = (S
0
(t), S
1
(t), . . . , S
n
(t))

, t = 0, 1, . . . , T.
Quá trình ngẫu nhiên nhiều chiều {S(t), t = 0, 1, . . . , T } xác định trên (Ω, F, P )
được gọi là quá trình giá. Ta ký hiệu thông tin về các giá chứng khoán có trong
thị trường ở thời điểm t là F
t
. Ví dụ, F
t
là σ-trường nhỏ nhất chứa {S(u), u =
0, 1, . . . , t}. Dãy thông tin {F
t
, t = 0, 1, . . . , T } thỏa mãn F
0
⊂ F
1
⊂ ··· ⊂ F
T
⊂ F
được gọi là một bộ lọc.
Định nghĩa 2.1.1. Một biến ngẫu nhiên X là F
t

-đo được (hoặc đo được đối với
F
t
) nếu {x
1
< X ≤ x
2
} ∈ F
t
với x
1
< x
2
bất kỳ.
Gọi θ
i
(t) (t = 1, 2, . . . , T ) là số lượng chứng khoán i từ thời điểm t −1 tới thời
điểm t, và đặt θ(t) = (θ
0
(t), θ
1
(t), . . . , θ
n
(t))

. Véc tơ θ(t) được gọi là phương án
đầu tư ở thời điểm t và quá trình {θ(t), t = 1, 2, . . . , T} được gọi là quá trình
phương án đầu tư. Quá trình θ(t) có thể thay đổi theo quá trình giá. Vì hiện
tại chúng ta không biết quá trình giá tương lai nên các phương án đầu tư θ(t)
(t = 2, 3, . . . , T) là các biến ngẫu nhiên nhiều chiều. Thông tin chúng ta có thể

sử dụng quyết định θ(t) là F
t−1
. Nói cách khác, phương án đầu tư θ(t) ở thời
điểm t là F
t−1
-đo được.
Định nghĩa 2.1.2. Một quá trình ngẫu nhiên {X(t), t = 0, 1, . . . , T } được gọi là
thích nghi với bộ lọc {F
t
} nếu mỗi X(t) đo được đối với F
t
. Quá trình {X(t)}
được gọi là khả đoán nếu X(t) đo được đối với F
t−1
với mọi t = 1, 2, . . . , T.
Trong thị trường chứng khoán thời gian rời rạc, quá trình giá {S(t)} thích
nghi với bộ lọc {F
t
}, còn quá trình phương án đầu tư {θ(t)} khả đoán đối với
{F
t
}. Gọi d
i
(t) (t = 1, 2, . . . , T ) là cổ tức mà chứng khoán i trả vào thời điểm t. Cổ
tức tích lũy được trả bởi chứng khoán i cho tới thời điểm t là D
i
(t) =

t
s=1

d
i
(s).
Dĩ nhiên, các cổ tức tương lai là các biến ngẫu nhiên và các quá trình cổ tức
{d
i
(t)} là các quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc {F
t
}.
21
Quá trình giá trị {V (t), t = 0, 1, . . . , T } là một quá trình ngẫu nhiên xác định
bởi
V (t) =
n

i=0
θ
i
(t) {S
i
(t) + d
i
(t)}, t = 1, 2, . . . , T, (2.1)
với V (0) =

n
i=0
θ
i
(1)S

i
(0) là giá trị phương án đầu tư ban đầu và V (t) (t ≥ 1)
là giá trị phương án đầu tư ở thời điểm t. Quá trình giá trị {V (t)} thích nghi
với bộ lọc {F
t
} vì các quá trình giá và cổ tức thích nghi với {F
t
} và quá trình
phương án đầu tư là quá trình khả đoán.
Định nghĩa 2.1.3. (Phương án đầu tư tự tài trợ) Quá trình phương án
đầu tư {θ(t), t = 1, 2, . . . , T} được gọi là tự tài trợ nếu
V (t) =
n

i=0
θ
i
(t + 1)S
i
(t), t = 0, 1, . . . , T − 1. (2.2)
Trong một vài trường hợp, để thuận tiện người ta xét lợi suất của chứng
khoán tốt hơn là xét giá của chứng khoán đó. Cụ thể, gọi S
i
(t) là giá của chứng
khoán i ở thời điểm t và định nghĩa:
R
i
(t) =
∆S
i

(t) + d
i
(t + 1)
S
i
(t)
, t = 0, 1, . . . , T − 1, (2.3)
ở đó ∆S
i
(t) ≡ S
i
(t + 1) − S
i
(t). Quá trình {R
i
(t), t = 0, 1, . . . , T − 1} được gọi là
quá trình lợi suất của chứng khoán i. Khi cho lợi suất R
i
(t) ta thu được:
S
i
(t + 1) = (1 + R
i
(t))S
i
(t) − d
i
(t + 1).
Vì vậy, nếu chúng ta biết giá ban đầu S
i

(0), quá trình lợi tức {d
i
(t)} và quá trình
lợi suất {R
i
(t)} thì chúng ta có thể thu được quá trình giá {S
i
(t)}.
Đặt ∆V (t) ≡ V (t + 1) − V (t). Nếu phương án đầu tư là tự tài trợ thì từ (2.1)
và (2.2) ta phải có:
∆V (t) =
n

i=0
θ
i
(t + 1) {∆S
i
(t) + d
i
(t + 1)}, t = 0, 1, . . . , T − 1. (2.4)
22
Từ (2.3) ta có:
∆S
i
(t) + d
i
(t + 1) = S
i
(t)R

i
(t).
Đặt
w
i
(t) ≡
θ
i
(t + 1)S
i
(t)
V (t)
, i = 0, 1, . . . , n.
Lợi suất của phương án đầu tư ở thời điểm t được cho bởi
R(t) ≡
∆V (t)
V (t)
=
n

i=0
w
i
(t)R
i
(t), t = 0, 1, . . . , T − 1.
Ở đây,

n
i=0

w
i
(t) = 1 do V (t) =

n
i=0
θ
i
(t + 1)S
i
(t). Do đó, lợi suất của phương
án đầu tư là tổ hợp tuyến tính của các lợi suất của các chứng khoán được xét.
Đây là một trong các lý do tại sao chúng ta thường xét các quá trình lợi suất
hơn các quá trình giá.
2.1.2 Giá trị phương án đầu tư và tích phân ngẫu nhiên rời
rạc
Giả sử quá trình phương án đầu tư {θ(t)} tự tài trợ và ta đặt
G
i
(t) ≡ S
i
(t) + D
i
(t), t = 0, 1, . . . , T,
và i = 0, 1, . . . , n. Đại lượng G
i
(t) biểu thị lợi nhuận thu được từ chứng khoán i
tới thời điểm t. Vì
∆G
i

(t) = ∆S
i
(t) + d
i
(t + 1),
nên
∆V (t) =
n

i=0
θ
i
(t + 1)∆G
i
(t), t = 0, 1, . . . , T − 1,
và
V (t) = V (0) +
n

i=0
t−1

u=0
θ
i
(u + 1)∆G
i
(u), t = 1, 2, . . . , T. (2.5)
23
Ở đó, tổng

I
i
(t) ≡
t−1

u=0
θ
i
(u + 1)∆G
i
(u), t > 0,
được gọi là tích phân ngẫu nhiên rời rạc của {θ
i
(t)} đối với quá trình ngẫu nhiên
{G
i
(t)}. Khi các chứng khoán không trả cổ tức thì
V (t) = V (0) +
n

i=0
t−1

u=0
θ
i
(u + 1)∆S
i
(u), t = 1, 2, . . . , T.
Ngược lại, giả sử giá trị phương án đầu tư tương lai V (t) được cho bởi (2.5). Khi

đó, có thể chỉ ra rằng phương án đầu tư là tự tài trợ.
Định lý 2.1.1. Giá trị phương án đầu tư tương lai V (t) có dạng (2.5) nếu và
chỉ nếu phương án đầu tư là tự tài trợ.
Bây giờ, ta giả sử {Z(t), t = 0, 1, . . . , T } là một quá trình dương và xét giá
định danh
S
∗
i
(t) ≡
S
i
(t)
Z(t)
.
Quá trình {Z(t)} được gọi là đương kim (numeraire, đơn vị đo lường giá trị).
Ở đây, chúng ta chọn chứng khoán không rủi ro S
0
(t) là đương kim. Khi đó,
S
∗
0
(t) = 1, t = 0, 1, . . . , T . Giả sử chứng khoán không rủi ro S
0
(t) không trả cổ tức,
tức là d
0
(t) = 0, t = 1, 2, . . . , T . Đặt
d
∗
i

(t) =
d
i
(t)
S
0
(t)
, V
∗
(t) =
V (t)
S
0
(t)
.
Từ (2.1) ta có quá trình giá trị định danh {V
∗
(t)} được cho bởi:
V
∗
(t) =
n

i=0
θ
i
(t) {S
∗
i
(t) + d

∗
i
(t)}, t = 1, 2, . . . , T, (2.6)
với V
∗
(0) =

n
i=0
θ
i
(1)S
∗
i
(0). Từ (2.2) thấy rằng quá trình phương án đầu tư
{θ(t)} là tự tài trợ nếu và chỉ nếu
V
∗
(t) =
n

i=0
θ
i
(t + 1)S
∗
i
(t), t = 1, 2, . . . , T. (2.7)
24
Giả sử quá trình phương án đầu tư {θ(t)} là tự tài trợ. Khi đó, do ∆S

∗
0
(t) = 0
nên từ (2.6) và (2.7) ta có:
V
∗
(t + 1) − V
∗
(t) =
n

i=1
θ
i
(t + 1) {∆S
∗
i
(t) + d
∗
i
(t + 1)},
ở đó ∆S
∗
i
(t) = S
∗
i
(t + 1) − S
∗
i

(t). Vì vậy, nếu đặt
∆G
∗
i
(t) ≡ ∆S
∗
i
(t) + d
∗
i
(t + 1), t = 0, 1, . . . , T −1, (2.8)
thì ta có:
V
∗
(t) = V
∗
(0) +
n

i=1
t−1

u=0
θ
i
(u + 1)∆G
∗
i
(u), t = 1, 2, . . . , T. (2.9)
Quá trình phương án đầu tư {θ(t)} trong (2.9) cũng giống trong (2.5). Trong

(2.8), ∆G
∗
i
(t) ≡ G
∗
i
(t +1) −G
∗
i
(t) trừ khi các chứng khoán rủi ro không trả cổ tức,
trong trường hợp này ta có:
V
∗
(t) = V
∗
(0) +
n

i=1
t−1

u=0
θ
i
(u + 1)∆S
∗
i
(u), t = 1, 2, . . . , T.
2.1.3 Cơ hội có độ chênh thị giá và phương án đầu tư đáp ứng
Một tài sản phái sinh là một biến ngẫu nhiên X biểu thị một thu hoạch ở

thời điểm tương lai T nào đó. Tài sản phái sinh là phần của một hợp đồng mà
người mua và người bán tạo ra ở thời điểm t = 0. Người bán hứa trả người mua
số tiền X(ω) vào thời điểm T nếu ω ∈ Ω xảy ra. Vì vậy, khi nhìn ở thời điểm
t = 0, thu hoạch X là một biến ngẫu nhiên. Trong hai định nghĩa dưới đây, V (T )
là giá trị phương án đầu tư được cho bởi (2.5).
Định nghĩa 2.1.4. Một tài sản phái sinh X được gọi là đạt được nếu tồn tại
phương án đầu tư tự tài trợ {θ(t), t = 1, 2, . . . , T}(gọi là phương án đầu tư đáp
ứng) thỏa mãn V (T ) = X. Tức là,
X = V (0) +
n

i=0
T −1

t=0
θ
i
(t + 1)∆G
i
(t) (2.10)
25
với phương án đầu tư tự tài trợ {θ(t)} nào đó. Trong trường hợp này, phương án
đầu tư được gọi là sinh ra tài sản phái sinh X.
Định nghĩa 2.1.5. (Cơ hội có độ chênh thị giá) Một phương án đầu tư tự
tài trợ {θ(t), t = 1, 2, . . . , T } được gọi là một cơ hội có độ chênh thị giá nếu thỏa
mãn các điều kiện:
(i) P{V (0) = 0} = 1,
(ii) P{V (T ) ≥ 0} = 1,
(iii) P{V (T ) > 0} > 0.
Cả ba điều kiện có nghĩa là cơ hội có độ chênh thị giá là phương án đầu tư

kiếm được lợi nhuận từ vốn đầu tư ban đầu bằng 0.
Ta phát biểu một định lý quan trọng sau:
Định lý 2.1.2. Cho một tài sản phái sinh X, giả sử tồn tại một phương án
đầu tư đáp ứng {θ(t), t = 1, 2, . . . , T } như trong (2.10). Nếu không có cơ hội có độ
chênh thị giá trong thị trường thì V (0) là giá đúng của tài sản phái sinh X.
Từ định lý trên cho chúng ta thấy rằng: Khi xét hai phương án đầu tư tự tài
trợ P1 và P2 có giá trị ở thời điểm đáo hạn như nhau, để ngăn ngừa các cơ hội
có độ chênh thị giá thì giá trị ban đầu của hai phương án phải bằng nhau.
Ví dụ 2.1.1. (Quyền chọn mua bán cặp đôi) Xét các quyền chọn bán và
quyền chọn mua kiểu châu Âu viết trên chứng khoán S(t) với giá thực hiện K
và thời điểm đáo hạn T. Gọi c và p tương ứng là phí của quyền chọn mua và
quyền chọn bán. Ta xét hai phương án đầu tư:
P1: Mua quyền chọn mua và K đơn vị của trái phiếu chiết khấu thời điểm đáo
hạn T .
P2: Mua quyền chọn bán và chứng khoán cơ sở.
Vào thời điểm đáo hạn T , giá trị của phương án P1 là:
{S(T ) − K}
+
+ K,
26