Luận Văn thạc sĩ NGHIÊN CỨU VỀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÝ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC Nguyễn Thị Thanh Hương(2015)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thanh Hương

NGHIÊN CỨU VỀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÝ
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thanh Hương

NGHIÊN CỨU VỀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÝ
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Vũ Như Thư Hương, người đã
nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn
Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Nguyễn Thị
Nga đã nhiệt tình giảng dạy cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán, cung cấp
cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi xin cảm ơn
các Thầy, Cô ở Pháp đã cho tôi những lời góp ý chân thành và quý báu, giúp tôi có
những định hướng tốt hơn cho luận văn và có cái nhìn rộng mở đối với các vấn đề về
Didactic Toán.
Ngoài ra tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau đại học, Khoa Toán - Tin Trường
ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.
- Ban Giám hiệu cùng các Thầy Cô trong tổ toán Trường THPT Trần Khai
Nguyên - TP.HCM cùng tập thể học sinh khối 10 và 11 đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi
tiến hành thực nghiệm.
Xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các anh chị, các bạn cùng khóa đã
chia sẻ, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như là quá trình làm luận
văn.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong
gia đình đã luôn động viên tôi hoàn thành khóa học.

NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
DANH MỤC CÁC BẢNG
DANH MỤC CÁC HÌNH
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1
Chương 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG GIÁO TRÌNH TOÁN VÀ VẬT LÝ ĐẠI HỌC
1.1. Các hệ tọa độ trong giáo trình Toán ở bậc đại học......................................6
1.1.1. Hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy và hệ tọa độ Descartes vuông
góc Oxyz ........................................................................................... 6
1.1.2. Hệ toạ độ cầu .................................................................................... 12
1.1.3. Hệ toạ độ trụ ..................................................................................... 13
1.1.4. Hệ toạ độ cực ................................................................................... 15
1.2. Các hệ tọa độ trong giáo trình Vật lý ở bậc đại học ..................................18
1.2.1. Hệ toạ độ Descartes vuông góc ........................................................ 19
1.2.2. Hệ toạ độ cầu .................................................................................... 23
1.2.3. Hệ tọa độ cực ................................................................................... 24
1.2.4. Hệ tọa độ tự nhiên ............................................................................24
1.3. Kết luận .....................................................................................................26
Chương 2. HỆ TỌA ĐỘ TRONG CÁC THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT
LÝ Ở TRUNG HỌC ................................................................................29
2.1. Hệ toạ độ trong môn Toán bậc trung học ..................................................29
2.1.1. Hệ tọa độ trong SGK Toán 7 ........................................................... 30


2.1.2. Hệ tọa độ trong SGK Toán 9 ........................................................... 35
2.1.3. Hệ tọa độ trong môn Toán lớp 10 .................................................... 36
2.1.4. Hệ tọa độ trong môn Toán lớp 11 .................................................... 42
2.1.5. Hệ tọa độ trong môn Toán lớp 12 .................................................... 43
2.1.6. Kết luận phân tích SGK Toán bậc trung học ...................................50
2.2. Hệ toạ độ trong SGK Vật lý bậc trung học ...............................................51

2.2.1. Hệ toạ độ trong SGK Vật lý 9 .......................................................... 51
2.2.2. Hệ toạ độ trong SGK Vật lý 10 ........................................................ 51
2.2.3. Hệ tọa độ trong SGK Vật lý 12 ........................................................ 58
2.2.4. Kết luận phân tích SGK Vật lý bậc trung học .................................60
2.3. Kết luận .....................................................................................................60
Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ........................................................... 65
3.1. Thực nghiệm 1 ........................................................................................... 65
3.1.1. Giới thiệu thực nghiệm ....................................................................65
3.1.2. Phân tích tiên nghiệm các tình huống thực nghiệm ......................... 66
3.1.3. Phân tích hậu nghiệm .......................................................................75
3.1.4. Kết luận chung cho thực nghiệm 1 ..................................................82
3.2. Thực nghiệm 2 ........................................................................................... 82
3.2.1. Mục đích và đối tượng thực nghiệm ................................................82
3.2.2. Nội dung thực nghiệm......................................................................83
3.2.3. Phân tích tiên nghiệm .......................................................................84
3.2.4. Phân tích hậu nghiệm .....................................................................101
3.2.5. Kết luận chung cho thực nghiệm 2 ................................................112
3.3. Kết luận ...................................................................................................112


KẾT LUẬN ................................................................................................................113
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC 1
PHỤ LỤC 2. Biên bản


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

ĐHSP

: Đại học Sư phạm

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

KNV

: Kiểu nhiệm vụ

Nxb

: Nhà xuất bản

SBT

: Sách bài tập

SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên

THCS

: Trung học cơ sở

THPT

: Trung học phổ thông

TP.HCM

: Thành phố Hồ Chí Minh

tr

: Trang


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1. Đặc trưng, vai trò của các hệ tọa độ ở môn Toán và Vật lý bậc đại học ......26
Bảng 2.1. Thống kê các KNV trong SGK và SBT Toán 7............................................34
Bảng 2.2. Thống kê các KNV trong SGK và SBT Toán 9............................................36
Bảng 2.3. Thống kê các KNV trong SGK và SBT Đại số và Hình học 10 ..................42
Bảng 2.4. Thống kê các KNV trong SGK - SBT Giải tích và Hình học 12 .................49
Bảng 2.5. Thống kê các KNV trong phân môn Vật lý bậc trung học .......................... 60
Bảng 2.6. Đặc trưng và vai trò của hệ tọa độ Descartes vuông góc ở phân môn Toán và
Vật lý bậc trung học ..................................................................................... 61
Bảng 3.1. Thống kê kết quả các chiến lược ở bài toán 1 ...............................................75
Bảng 3.2. Thống kê kết quả sử dụng chiến lược ở Bài toán 2......................................79

DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 3.1. Bài làm của HS27 .................................................................................76
Hình 3.2. Bài làm của HS41 .................................................................................76
Hình 3.3. Bài làm của HS29 .................................................................................77
Hình 3.4. Bài làm của HS15 .................................................................................77
Hình 3.5. Bài làm của HS30 .................................................................................78
Hình 3.6. Bài làm của HS41 .................................................................................80
Hình 3.7. Bài làm của HS29 .................................................................................80
Hình 3.8. Bài làm của HS63 .................................................................................81
Hình 3.9. Bài làm của HS59 .................................................................................81
Hình 3.10. Bài làm của nhóm 3 (pha 1) ..............................................................102
Hình 3.11. Bài làm của nhóm 5 (pha 3) ..............................................................107
Hình 3.12. Bài làm của nhóm 1 (pha 3) ..............................................................109


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Toán học tác động trong tất cả các môn khoa học và nó có mối liên hệ chặt chẽ
với Vật lý. Thật vậy, làm thế nào có thể nghiên cứu cơ học cổ điển nếu không có công
cụ tính toán vi phân và tích phân hoặc nghiên cứu vật lý lượng tử mà không có không
gian Hilbert?
Trong Vật lý, hệ trục tọa độ được sử dụng rất nhiều như khảo sát các tính chất
chuyển động của vật, thể hiện sự thay đổi giá trị của một đại lượng nào đó hay đặc
trưng cho một đại lượng bất kì…
Trong các giáo trình, sách giáo khoa Toán, hệ trục tọa độ xuất hiện trước hết với
tư cách là đối tượng nghiên cứu, sau đó với tư cách là một công cụ giải quyết nhiều bài
toán thuộc nội dung toán học khác nhau như vẽ đồ thị của hàm số, biểu diễn giá trị

lượng giác của một cung, biểu diễn hình học số phức,… Ngoài ra, trong một số bài
toán hình học mà phương pháp chứng minh bằng hình học gặp khó khăn, nếu ta gắn
một hệ trục tọa độ vào thì bài toán sẽ dễ dàng hơn. Thế thì kiểu nhiệm vụ chọn hệ trục
tọa độ có phải là kiểu nhiệm vụ tường minh đối với học sinh hay không?
Về tri thức hệ trục tọa độ, sách giáo khoa Toán 7 và Hình học 10 định nghĩa:
Trên mặt phẳng, ta vẽ hai trục số Ox, Oy vuông góc với nhau và cắt nhau tại gốc
của mỗi trục số (như hình 16). Khi đó ta có hệ
trục tọa độ Oxy.
Các trục Ox, Oy gọi là các trục tọa độ. Ox
gọi là trục hoành, Oy gọi là trục tung. Người
ta thường vẽ Ox nằm ngang, Oy thẳng đứng.
Giao điểm O biểu diễn số 0 của cả hai trục
gọi là gốc tọa độ.

[SGK Toán 7 (tập 1), tr.66]


2

a) Định nghĩa
Hệ trục tọa độ (O; 𝑖⃗, 𝑗⃗) gồm hai trục (𝑂; 𝑖⃗) và (𝑂; 𝑗⃗) vuông góc với nhau. Điểm
gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục (𝑂; 𝑖⃗) được gọi là trục hoành và
kí hiệu là Ox, trục (𝑂; 𝑗⃗) được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ 𝑖⃗ và 𝑗⃗
là

các

vectơ

đơn

vị

trên

Ox

và

Oy

và

|𝑖⃗| = |𝑗⃗| = 1. Hệ trục tọa độ (O; 𝑖⃗, 𝑗⃗) còn được kí hiệu là Oxy (hình 1.22)

[SGK Hình học 10, tr.22]
Các hệ trục tọa độ được giới thiệu và sử dụng trong các sách giáo khoa Toán đều
có một đặc điểm là: trục Ox nằm ngang với chiều dương hướng từ trái qua phải; trục
Oy thẳng đứng với chiều dương hướng từ dưới lên trên. Nhưng trong Vật lý thì điều
này có thể ngược lại, chẳng hạn trong việc khảo sát chuyển động ném ngang của vật:
Ta hãy khảo sát chuyển động của một vật bị ném ngang từ một điểm O ở độ cao h
so với mặt đất. Sau khi được truyền một vận tốc đầu vo , vật chỉ còn chịu tác dụng
của trọng lực (bỏ qua sức cản của không khí).
1. Chọn hệ tọa độ
Ta chọn hệ tọa độ Đề-các có gốc tại O, trục hoành
Ox hướng theo vectơ vận tốc vo , trục tung Oy hướng
theo vectơ trọng lực P

[SGK Vật lý 10, tr.85]

3

Như vậy, khác với bộ môn Toán hệ trục tọa độ trong Vật lý là hệ trục tọa độ mà
trục Ox có thể không vẽ nằm ngang - trục Ox được chọn song song với mặt phẳng
nghiêng có góc nghiêng   30o và trục Oy không vẽ thẳng đứng.
Với sự khác biệt ở hai môn Toán - Lý, cụ thể khi hệ trục tọa độ thay đổi như vậy
thì ảnh hưởng đến học sinh như thế nào? những khó khăn có thể xảy ra với học sinh?
học sinh có nhận biết rằng hệ trục tọa độ đang sử dụng bên Vật lý cũng là hệ trục tọa
độ đã được học bên Toán?
Ở Việt Nam hiện nay lại có ít công trình nghiên cứu về hệ trục tọa độ. Một công
trình mà chúng tôi tham khảo được là: đề tài mang tên “Các hệ trục tọa độ đã học ở
trung học phổ thông” của hai tác giả Lê Ngọc Thế Quỳnh, Nguyễn Kiến Trạch. Đây là
bài tiểu luận cho môn Phương pháp nghiên cứu khoa học tại trường Đại học sư phạm
Thành phố Hồ Chí Minh. Tiểu luận này đã giới thiệu tóm tắt về hệ trục tọa độ
Descartes trong không gian hai chiều và ba chiều, hệ tọa độ cực, hệ tọa độ cầu, hệ tọa
độ trụ và ứng dụng của các hệ tọa độ này trong các ngành khoa học.
Có nhiều hệ tọa độ khác nhau, nhưng chỉ có hệ trục tọa độ Descartes là được đưa
vào giảng dạy. Cùng là hệ trục tọa độ Descartes nhưng được sử dụng không hoàn toàn
giống nhau trong Toán và trong Vật lý ở trung học, liệu có gây khó khăn gì cho học
sinh hay không?
Với những ghi nhận ban đầu như trên, chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu của
mình tập trung vào việc tìm kiếm những mối liên quan giữa Toán và Lý trong chủ đề
hệ trục tọa độ ở trường trung học và đó cũng là lí do để chúng tôi chọn cho luận văn
thạc sĩ của mình đề tài:
“Nghiên cứu về hệ trục tọa độ trong dạy học Toán và Vật lý ở trường trung học”
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu
trong khuôn khổ của lí thuyết didactic toán, mà cụ thể là phân tích tri luận, thuyết nhân
học (quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức toán học). Nhờ vào phân tích tri thức

luận chúng tôi phân tích một số giáo trình Toán và Vật lý ở bậc đại học đối với khái
niệm hệ trục tọa độ. Nhờ các tổ chức toán học, chúng tôi có thể phân tích được sách


4

Toán và Vật lý của Việt Nam đã cho học sinh tiếp cận như thế nào về khái niệm hệ
trục tọa độ. Chúng tôi sử dụng công cụ của lí thuyết tình huống (Đồ án didactic) để
tiến hành xây dựng một đồ án dạy học.
3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
-

Mục tiêu của luận văn là xây dựng một tiểu đồ án sư phạm nhằm giúp học sinh

thấy được sự cần thiết phải thay đổi phương và chiều của các trục tọa độ Ox, Oy trong
từng tình huống thích hợp để có thể vận dụng vào lĩnh vực ngoài toán học, cụ thể là ở
môn Vật lý.
-

Câu hỏi nghiên cứu
Đối với các câu hỏi nghiên cứu sau, chúng tôi sẽ xem xét trong hai thể chế dạy

học Toán và Vật lý:
CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, những hệ toạ độ nào được xây dựng?
Chúng có những đặc trưng gì? Vai trò và chức năng của chúng?
CH2: Hệ toạ độ nào được chọn đưa vào giảng dạy ở bậc trung học? Mối quan hệ
thể chế với khái niệm hệ tọa độ đã được xây dựng và tiến triển ra sao? Những tương
đồng và khác biệt nào có thể được ghi nhận? Có những tổ chức toán học nào gắn liền
với khái niệm này? Có những ràng buộc nào của thể chế đối với khái niệm này?
CH3: Sự ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đến mối quan hệ cá nhân của học

sinh đối với tri thức hệ tọa độ?
4. Phương pháp nghiên cứu
Trước tiên, chúng tôi nghiên cứu tri thức luận thông qua phân tích một số giáo
trình Toán và Vật lý ở bậc đại học. Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu cách trình bày các
vấn đề về khái niệm hệ tọa độ ở cấp độ tri thức bác học.
Dựa vào phân tích trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu thể chế dạy học Toán và Vật lý ở
Việt Nam liên quan đến khái niệm hệ tọa độ.
Những kết quả đạt được ở trên cho phép đề ra các câu hỏi mới và các giả thuyết
nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm chứng bằng các thực nghiệm.


5

5. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 phần:
MỞ ĐẦU
Trong phần này chúng tôi trình bày lí do chọn đề tài, khung lý thuyết tham chiếu,
trình bày lại câu hỏi nghiên cứu, mục đích, mục tiêu nghiên cứu, phương pháp nghiên
cứu và cấu trúc của luận văn.
Chương 1: Hệ tọa độ trong giáo trình Toán và Vật lý đại học
Trong chương này, chúng tôi trình bày việc phân tích khái niệm hệ tọa độ ở cấp
độ tri thức bác học. Cụ thể là đề cập một số hệ tọa độ được đưa vào giảng dạy ở bậc
đại học, phân tích cách trình bày khái niệm hệ tọa độ trong một số giáo trình Toán và
Vật lý ở bậc đại học. Thực hiện điều này để trả lời cho câu hỏi CH1.
Chương 2: Hệ tọa độ trong các thể chế dạy học Toán và Vật lý ở trung học
Chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế của thể chế dạy học Toán ở trường
trung học cơ sở và trung học phổ thông ở Việt Nam với khái niệm hệ tọa độ. Đồng
thời, chúng tôi kết hợp nghiên cứu môn Vật lý để tìm câu trả lời cho câu hỏi CH2 và
CH3.
Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm

Chương này bao gồm hai thực nghiệm:
Thực nghiệm 1: tìm hiểu quan hệ cá nhân của HS với khái niệm hệ trục tọa độ
Oxy và kiểm chứng giả thuyết GT về sự tồn tại quy tắc hợp đồng R.
Thực nghiệm 2: Trên cơ sở kiểm chứng được giả thuyết trên, chúng tôi xây
dựng một tiến trình dạy học nhằm giúp học sinh thấy được sự cần thiết phải thay đổi
phương và chiều của trục tọa độ Ox, Oy trong từng tình huống thích hợp để có thể vận
dụng vào lĩnh vực ngoài toán học, cụ thể là ở môn Vật lý.
KẾT LUẬN
Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1, 2, 3
của luận văn.


6

e

Chương 1.
HỆ TỌA ĐỘ TRONG GIÁO TRÌNH TOÁN VÀ VẬT LÝ ĐẠI HỌC
Trong chương này chúng tôi làm rõ các đặc trưng của khái niệm hệ tọa độ ở cấp
độ tri thức bác học. Cụ thể hơn, thông qua phân tích một số giáo trình Toán và Vật lý ở
bậc đại học chúng tôi làm rõ tiến trình, cách thức đưa vào, định nghĩa và vai trò của nó,
cũng như sự nối khớp (nếu có) của tri thức này trong hai lĩnh vực Toán và Vật lý.
1.1. Các hệ tọa độ trong giáo trình Toán ở bậc đại học
Trong phần này, chúng tôi tham khảo tài liệu Giáo trình Toán học cao cấp của tác
giả Nguyễn Đình Trí. Chúng tôi chọn tài liệu này để phân tích là vì giáo trình trên
dành cho sinh viên các trường đại học kĩ thuật và cũng là giáo trình toán học thuần túy.
Hơn nữa giáo trình bao gồm cả ba tập: Đại số và Hình học giải tích, Phép tính giải tích
một biến số, Phép tính giải tích nhiều biến số. Như vậy, sử dụng giáo trình này để phân
tích có thể nói là khá đầy đủ cho các lĩnh vực thuộc chuyên ngành Toán học.
1.1.1. Hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy và hệ tọa độ Descartes vuông góc

Oxyz
Theo Nguyễn Đình Trí (2006), trục số thực được định nghĩa:
Để biểu diễn hình học tập hợp các số thực R, ta xét trục Ox, với O là điểm gốc.
Mỗi điểm M trên trục Ox được ứng với số thực x sao cho̅̅̅̅̅
𝑂𝑀 = 𝑥. Mỗi số thực x
được ứng với điểm M trên trục Ox sao cho ̅̅̅̅̅
𝑂𝑀 = 𝑥. Đó là một song ánh giữa tập
hợp R và trục Ox. Người ta gọi trục Ox là đường thẳng thực hay trục số thực.

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.14-15]
Trục số thực được giới thiệu từ nhu cầu biểu diễn hình học tập hợp số thực. Với
cách định nghĩa trục số thực, phương và chiều của nó không được quy định sẵn nhưng


7

qua hình vẽ minh họa ngầm ẩn phương của trục số nằm ngang với chiều dương hướng
từ trái sang phải.
a) Hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy
Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy được mô tả trong giáo trình Toán học cao
cấp của tác giả Nguyễn Đình Trí như sau:
Xây dựng một song ánh giữa tập tích Đềcác
R  R và một mặt phẳng P bằng cách vẽ

một trục số nằm ngang hướng từ trái sang
phải, có gốc là O, gọi là trục số Ox trục số
Oy vuông góc với Ox, hướng từ dưới lên
trên; các đơn vị chọn trên Ox và Oy không
nhất thiết phải giống nhau, nhưng thường
người ta chọn các đơn vị đó giống nhau

(hình 2.1). Trục Ox được gọi là trục hoành, Oy là trục tung. Mỗi điểm nằm trên
trục hoành bên phải gốc O ứng với một số thực dương, mỗi điểm nằm trên trục
hoành bên trái gốc O ứng với một số thực âm. Trên trục tung Oy, mỗi điểm nằm
trên gốc O ứng với một số thực dương, mỗi điểm nằm dưới gốc O ứng với một số
thực âm; gốc O ứng với số không trên mỗi trục.
Xét một cặp số thực có thứ tự (a, b)  R  R , quy ước phần tử đầu tiên trong cặp đó
(a) là phần tử của trục hoành, và phần tử thứ hai (b) là phần tử của trục tung,
như vậy có nghĩa là:
1. Tọa độ đầu tiên của cặp số thực có thứ tự (x,y) (tức là tọa độ x) là khoảng cách
có dấu từ một điểm đến trục tung, khoảng cách có dấu đó lấy dấu dương nếu điểm
ở bên phải trục tung và lấy dấu âm nếu điểm đó ở bên trái trục tung.
2. Tọa độ thứ hai của cặp số thực có thứ tự (x;y) (tức là tọa độ y) là khoảng cách
có dấu từ một điểm đến trục hoành, khoảng cách đó lấy dấu dương nếu điểm ở
trên trục hoành, dấu âm nếu điểm ở dưới trục hoành.
Như vậy, một điểm M bất kì trong mặt phẳng được ứng với một cặp số thực có thứ
tự (x; y); ngược lại, mỗi cặp số có thứ tự ( x, y)  R  R được ứng với một điểm M
của mặt phẳng với một cặp số thực có thứ tự (x; y), x được gọi là hoành độ của


8

điểm M và y là tung độ của điểm M. Kí hiệu M(x; y) được đọc là điểm M có
hoành độ là x và tung độ là y.
Mặt phẳng xác định bởi trục hoành Ox và trục tung Oy được gọi là mặt phẳng
tọa độ, hệ tọa độ xây dựng theo kiểu trên gọi là hệ tọa độ vuông góc Đềcác, chính
hệ tọa độ vuông góc Đềcác này đã xác định song ánh giữa cặp số có thứ tự
( x, y)  R  R và một điểm của mặt phẳng tọa độ.

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.45]
Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy được định nghĩa dựa trên lý thuyết tập hợp.

Giáo trình đã mặc định trục hoành Ox được vẽ nằm ngang với chiều dương hướng từ
trái sang phải, trục tung Oy được vẽ thẳng đứng với chiều dương hướng từ dưới lên
trên. Độ dài đơn vị trên hai trục tọa độ không nhất thiết bằng nhau nhưng thường
người ta chọn bằng nhau.
Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy được sử dụng để biểu diễn số phức, dạng
lượng giác của số phức cũng chính là biểu diễn một điểm hoặc một vectơ trong mặt
phẳng tọa độ Oxy.
Công thức đổi trục trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy
a) Công thức tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục
O’x’y’ nếu O’x’//Oy (hình 25). Phép tịnh tiến trục
được hoàn toàn xác định khi cho tọa độ (a, b) của
O’ đối với hệ Oxy.
Xét một điểm M trong mặt phẳng, liên hệ giữa
các tọa độ (x, y) của M trong hệ Oxy với các tọa

 x  a  x
độ (x’,y’) cũng của M trong hệ O’x’y’ là 
 y  b  y
Đó là công thức tịnh tiến trục (từ Oxy sang O’x’y’)
x   a  x
 y  b  y

[…] 

đây là công thức tịnh tiến trục (từ O’x’y sang Oxy)


9

b) Công thức quay trục

Khi ta quay hệ cũ Oxy một góc  xung
quanh gốc O ta được một hệ mới Ox’y’.
Phép quay trục được xác định hoàn toàn bởi
góc  (hình 26).
Xét một điểm M trong mặt phẳng. Nó có tọa
độ (x, y) đối với hệ cũ và tọa độ (x’, y’) đối
với hệ mới. Ta có OM  OP  PM . Chiếu
đẳng thức hình học này lên hai trục Ox và Oy ta được liên hệ giữa (x, y) và
(x’, y’):

 x  x cos   y sin 

đây là công thức quay trục (từ Oxy sang Ox’y’).
 y  x sin   y  cos 
[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.172-173]
Hệ trục tọa độ Oxy có thể có những cách biểu diễn khác chẳng hạn như tịnh tiến
hệ tọa độ cũ hoặc quay hệ tọa độ cũ một góc 𝛼 xung quanh gốc tọa độ O. Nhờ vào việc
đổi trục từ hệ tọa độ cũ sang hệ tọa độ mới mà phương trình bậc hai tổng quát đối với
x, y trở nên đơn giản.
 Kiểu nhiệm vụ T5: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y  f ( x)
Kỹ thuật  5 :+ Tìm miền xác định của hàm số f.
+ Xác định chiều biến thiên
+ Tìm cực trị (nếu có).
+ Tính lồi, lõm, điểm uốn (nếu có).
+ Tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên
+ Vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ Oxy.


10

Công nghệ  5 :Tọa độ của một điểm; Đồ thị của hàm số; mối liên hệ giữa đạo

hàm với chiều biến thiên; tính lồi lõm, tiệm cận.
Ví dụ: Thí dụ trang 171
Xét hàm số f ( x) 

x3
x 1

+ […] Miền xác định Df là (,0]  (1, )

3
3
x

f ( x)  0 khi x  0 và x  ; f ( x)
+ […] Ta có: f ( x)   x  
;
2  ( x  1)3
2

không xác định khi 0  x  1 .
Bảng dấu của đạo hàm f ( x)
Từ bảng dấu của f  suy ra: f ( x) giảm khi x  0 hoặc 1  x 
khi x 

3
; f ( x) tăng
2

3
2

+ Cực trị: Đạo hàm f  đổi dấu từ - sang + khi vượt qua x 

3
3
do đó x  là
2
2

3 3 3
điểm cực tiểu, f   
; lưu ý x  0 không phải là điểm cực trị.
2
2
+ […] f(x) là hàm số lồi.
+ x  1 là điểm hàm số không xác định, do đó đồ thị có một tiệm cận đứng có
phương trình x  1 .[…] Vậy f ( x) có hai tiệm cận xiên: y  x 

y  x 

1
khi x  
2

[…]+ Từ những kết quả trên có bảng biến thiên sau:

1

khi x   ;
2


11

+ Đồ thị của hàm số:

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.171-174]
b) Hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz
Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz không được định nghĩa tường minh trong
các giáo trình mà nó được sử dụng như một trường hợp mở rộng của hệ tọa độ
Descartes vuông góc trong mặt phẳng ra không gian 3 chiều.
Phương trình tham số của một đường cong L trong R 3 được thiết lập nhờ vào tọa
độ của một điểm trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz. Hệ tọa độ Descartes
vuông góc Oxyz còn được sử dụng để biểu diễn những miền cần tích tích phân bội ba,
miền cần tính diện tích hoặc thể tích, miền cần tính tích phân mặt, miền cần tính tích
phân đường loại 2 theo một đường kín L trong không gian cùng với S là một mặt định
hướng giới hạn bởi L.
Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz dùng để biểu diễn hình học phương trình
của các mặt bậc hai (mặt elipxôit, mặt hypebôlôit một tầng, mặt hypebôlôit hai tầng,
mặt parabôlôit eliptic, mặt parabôlôit hypebôlic, mặt trụ bậc hai, mặt nón bậc hai).


12

1.1.2. Hệ toạ độ cầu
Hệ tọa độ cầu được định nghĩa như sau:
Tọa độ cầu của một điểm M ( x, y, z ) trong không
gian Oxyz là bộ ba số (r , ,  ) , trong đó r  OM , 

là góc giữa trục Ox và OM  , M  là hình chiếu của
M lên mặt phẳng Oxy, là góc giữa trục Oz và

OM (hình 3.31). Với mọi điểm M ( x, y, z) , ta có 0  r  ,0     ,0    2
Giữa các tọa độ đề các và tọa độ cầu của điểm M, có mối liên hệ

x  r sin  cos , y  r sin  sin , z  r cos .
Nếu r  0,0     ,0    2 , thì các công thức trên xác định một song ánh
giữa các tọa độ đềcác và tọa độ cầu. Riêng điểm góc tọa độ có r  0, và  tùy ý,
còn những điểm trên Oz có r xác định,   0 hoặc    , tùy ý.

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.125]
Hệ tọa độ cầu trong không gian Oxyz được định nghĩa dựa trên hệ tọa độ
Descartes vuông góc Oxyz . Thông qua mối liên hệ giữa các tọa độ Descartes và tọa độ
cầu của điểm M cho phép chuyển một biểu thức của hàm số trong hệ tọa độ Descartes
vuông góc Oxyz sang tọa độ cầu từ đó tính tích phân ba lớp của một số hàm số đơn
giản hơn.
 Các kiểu nhiệm vụ gắn liền với hệ tọa độ cầu
 Kiểu nhiệm vụ T6 : Tính tích phân bội ba của hàm số f ( x, y, z ) được giới hạn bởi
miền V trong hệ tọa độ cầu.
Kỹ thuật  6 :+ Chuyển biểu thức dưới dấu tích phân f ( x, y, z ) sang tọa độ cầu.
+ Xác định miền lấy tích phân V'.
+ Tính tích phân bội ba

 f (r sin  cos  , r sin  , r cos )r
V'

2

sin  drd d

13

Công nghệ  6 : Định nghĩa hệ tọa độ cầu; Công thức tính tích phân bội ba trong hệ
tọa độ cầu; các định lý về biến đổi tương đương và hệ quả các

phương trình.
Ví dụ: Tính I  
V

1
x  y2  z2
2

dxdydz ,V là miền giới hạn bởi hai mặt cầu

x2  y 2  z 2  1, x2  y 2  z 2  4

Chuyển sang tọa độ cầu, ta có I   r sin  drd d
V'

Miền V’ được xác định bởi 1  r  2,0    2 ,0     .
2

Vậy I 



2

3
0 d 0 sin  d 1 rdr  2 .2. 2  6

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.126]
1.1.3. Hệ toạ độ trụ
Theo Nguyễn Đình Trí (2006) hệ toạ độ trụ được mô tả trong giáo trình Toán học
cao cấp (Tập 3: Phép tính giải tích nhiều biến số) như sau:
Tọa độ trụ của một điểm M ( x, y, z ) trong không gian

Oxyz là bộ ba số (r ,  , z), trong đó (r ,  ) là tọa độ
cực của điểm M ( x, y) , hình chiếu của M lên mặt
phẳng Oxy (hình 3.28). Với mọi điểm của không gian,
ta có r  0, o    2 ,   z  
Giữa các tọa độ đề các ( x, y, z ) và tọa độ trụ (r ,  , z ) của điểm M có mối liên hệ:

x  r cos  , y  r sin , z  z . Nếu r  0,0    2 ,   z   thì các công
thức trên xác định một song ánh giữa các tọa độ đề các và tọa độ trụ. Riêng các
điểm trên trục Oz có z xác định. r  0 và  tùy ý.

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.122-123]


14

Hệ tọa độ trụ được xây dựng dựa trên hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz , sự
xuất hiện của hệ tọa độ trụ làm cho phương trình của một số hình trong không gian
đơn giản từ đó việc áp dụng vào tính tính phân bội ba được thực hiện dễ dàng hơn.
 Các kiểu nhiệm vụ gắn liền với hệ tọa độ trụ
 Kiểu nhiệm vụ T7 : Tính tích phân bội ba của hàm số f ( x, y, z ) được giới hạn bởi

miền V trong hệ tọa độ trụ.
Kỹ thuật  7 : + Chuyển biểu thức dưới dấu tích phân f ( x, y, z ) sang hệ tọa độ trụ.
+ Xác định miền lấy tích phân V'.
+ Tính tích phân bội ba  f (r cos  , r sin  , z )rdrd dz .
V'

Công nghệ  7 : Hệ tọa độ trụ; Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ; các định lý về
biến đổi tương đương và hệ quả các phương trình.
Ví dụ: Tính I   x 2  y 2 .zdxdydz ,V là miền hình trụ giới hạn bởi các mặt
V

x2  y 2  2 y, z  0, z  a (hình 3.29)

Chuyển

sang

độ

tọa

trụ,

ta

có

3

I   r zdrd dz   r drd  zdz , trong đó D là miền

2

2

V'

D

0

giới hạn bởi đường x2  y 2  2 y , hay r  2sin 


a2
I   d
2 0




2sin 


0



2sin 

a2 1

r dr   r 3
2 03 0
2

d



4a 2
4a 2
3
sin

d


(1  cos 2  ) sin  d
3 0
3 0

Đặt u  cos  , ta có du   sin  d , vậy I  

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.123-124]

4a 2
3

1

2

 (1  u )du 
1

16a 2
9


15

1.1.4. Hệ toạ độ cực
Hệ toạ độ cực được định nghĩa trong giáo trình Toán học cao cấp (Tập 2: Phép
tính giải tích một biến số) của tác giả Nguyễn Đình Trí như sau:
Trong mặt phẳng chọn một điểm O cố định, gọi là cực và một vectơ đơn vị ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃, tia
mang vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 gọi là trục cực; hệ toạ độ xác định bởi cực và trục cực được gọi
là hệ toạ độ cực (hình 5.12a)
Vị trí của mỗi điểm M trong mặt phẳng được xác
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , nghĩa là xác định bởi góc
định bởi vectơ 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) và 𝑟 = |𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ; 𝜑 được gọi là góc
𝜑 ≔ (𝑂𝑃
cực và r được gọi là bán kính cực. Góc 𝜑 là một
góc định hướng, lấy giá trị dương nếu chiều quay
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃đến trùng với ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 ngược chiều kim đồng hồ và
lấy giá trị âm nếu ngược lại. Nếu 0    2 và r  0 ; cặp số có thứ tự (r ,  )

được gọi là các toạ độ cực của điểm M trong mặt phẳng. Bằng cách xây dựng như
thế, ta đã thiết lập một song ánh giữa tập tích Đềcác [0, 2 ]  [0, ) và các điểm
trong mặt phẳng toạ độ cực; mỗi điểm M trong mặt phẳng ứng với một cặp số thứ
tự (r ,  ) ; riêng điểm O thì r  0 còn 𝜑 có thể lấy tuỳ ý; và mỗi cặp số thứ tự

(r ,  ) ứng với một điểm M của mặt phẳng.

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.183]
Hệ toạ độ cực được xây dựng dựa trên hệ tọa độ Descartes vuông góc, mối liên
hệ giữa toạ độ Descartes vuông góc và toạ độ cực của điểm M:
Ta lấy trục hoành trùng với trục cực và trục tung ứng với tia  


; gọi ( x, y) và
2

(r ,  ) lần lượt là toạ độ của cùng một điểm M trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc
và hệ toạ độ cực (hình 5.12). Khi đó, theo các định lí về phép chiếu vuông góc ta

 x  r cos 
0    2 ; r  0
có: 
 y  r sin 


16

Ngược lại, ta có: r 2  x 2  y 2 ; tan  

y

. Trong công thức này có hai góc  tương
x

ứng (vì 0    2 ) ta sẽ lấy góc  sao cho sin  cùng dấu với y vì y  r sin  .

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.183-184]
Nhờ mối liên hệ này mà việc tính tích phân kép của một số hàm số hai biến trở
nên đơn giản, qua đó có thể tính diện tích của hình phẳng, thể tích của vật thể dễ dàng.
Khi biết tọa độ của một điểm trong hệ tọa độ Descartes vuông góc có thể tính được tọa
độ của điểm ấy trong hệ tọa độ cực.


Các kiểu nhiệm vụ gắn liền với hệ tọa độ cực



Kiểu nhiệm vụ T8 : Tìm tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ cực khi biết tọa độ
của điểm M trong hệ tọa độ Descartes vuông góc.
Kỹ thuật  8 : + Áp dụng định lý Py-ta-go tính r .
+ Tính tan  suy ra góc  sao cho sin  cùng dấu với y
+ Kết luận toạ độ cực của điểm M.
Công nghệ 8 : Hệ toạ độ cực; Cung góc lượng giác.
Ví dụ: Biểu thức qua hệ tọa độ cực của điểm M ( 3,1) . Ta có
r  3  1  2, tan   

11
5
1
5
và  

; chỉ lấy   5 vì sin
 0 , do
; 
6
6
6
6
3

đó tọa độ cực của điểm ( 3,1) là  2, 5  .
6




[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.184]


Kiểu nhiệm vụ T9 : Tính diện tích hình phẳng (hoặc độ dài) của đường cong cho
trong hệ tọa độ cực.


1
Kỹ thuật  9 : Áp dụng công thức S   r 2 ( )d để tính diện tích;
2


( s   r 2 ( )  r '2 ( )d để tính độ dài).
