Ứng dụng của toán học và một số mô hìnhtoán học trong kinh tế

LỜI MỞ ĐẦU
*

*
*

Phát triển kinh tế là mục tiêu của tất cả các nước trên thế giới . để đạt được
mục tiêu đó thì đòi hỏi các nước phải có sự kết hợp hài hòa việc phát triển
của tất cả các ngành khác nhau . trong quá trình phát triển kinh tế đó thì
toán học là một yếu tố có ứng dụng rất quan trọng . việc ứng dụng tốt các
mô hình kinh tế vào trong nền kinh tế đòi hỏi các nước phải có một cơ sở
toán học vững chắc . bằng chứng là các mô hình kinh tế từ trước đến nay
như mô hình IS_LM ,mô hình tăng trưởng SOLOW ... tất cả đều in đậm
dấu ấn của toán học trong đó.
Ngày nay vai trò của toán học được thể hiện qua nhiều khía cạnh khác
nhau từ giảng dạy nghiên cứu đến chính sách kinh tế . nhiều người cho
rằng toán học là phần tương ứng lý thuyết của kinh tế lượng một ngành có
mục đích phân giải các hiện tượng kinh tế bằng các phương pháp thống kê.
Trên bình diện chính sách kinh tế thì các mô hình kinh tế toán và kinh tế
lượng được các viện nghiên cứu và các cơ quan chính phủ sử dụng rộng rãi
và thường xuyên trong việc đánh giá và dự báo ảnh hưởng của các chu
trình, xu hướng kinh tế hay các chính sách kinh tế công
Do đó có thể nói rằng ngày nay toán học có một vai trò rất quan trọng
trong tất cả các lĩnh vực đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế . dựa vào toán
học chúng ta có thể tiến hành phân tích và dự báo sự biến động trong nhiều
lĩnh vực khác nhau như về giá cả và tài chính . . .
Sau đây chúng ta xẽ đi xem xét tầm quan trọng của toán học trong kinh tế
và sự ứng dụng của nó ở trong một số các mô hình tăng trưởng và phát
triển kinh tế.

3

NỘI DUNG
*

*
*

I _ Ứng dụng của toán học và một số mô hình
toán học trong kinh tế.
1 _ Lịch sử của toán trong kinh tế học
Sự ứng dụng của toán trong kinh tế không phải là một hiện tượng mới.
Thật ra toán đã đóng vai trò đáng kể trong kinh tế học trên dưới một thế kỷ
nay mặc dù các thuyết kinh tế cổ điển đã được phát triển và hệ thống hoá
mà không cần dùng toán. Lấy thí dụ, hai kinh tế gia cổ điển lớn nhất là
Adam smith và David Ricardo , chỉ dùng thí dụ bằng số để minh hoạ các
lý thuyết của mình. Họ phối hợp các quan sát thực tế một cách phi toán
với các lý luận suy diễn về liên hệ nhân quả để giải thích hệ thống kinh tế
làm việc như thế nào. Ngay trong công trình của các kinh tế gia cổ điển vĩ
đại cuối cùng như John stuart Mill và Karl Marx, công thức toán hay đồ thị
cũng chỉ là một loại tốc ký hay phương cách trình bày mà thôi. Một ngoại
lệ đáng kể là thuyết dân số của Thomas Malthus (1798) trong đó Malthus
lập luận rằng dân số tăng theo cấp số nhân trong khi thực phẩm chỉ tăng
theo cấp số cộng.
Ngày nay, phần lớn các nhà kinh tế đồng ý rằng Augustin Cournot, triết gia
và toán gia Pháp, xứng đáng nhận danh hiệu “cha đẻ của kinh tế toán
học”. Cournot (1838) được coi là khai sinh ra kinh tế toán học vì ông đã
hệ thống hoá sự ứng dụng ký hiệu, công thức và lý luận toán trong kinh tế.
Sau thời Cournot, hầu hết các kinh tế gia danh tiếng đều phải sử dụng toán,
không ít thì nhiều, trong việc phát triển và truyền đạt các lý thuyết của

mình . Cournot được xem là một trong những kinh tế gia đầu tiên đã thành
công trong việc thành lập một lý thuyết giá trị nhất quán qua các phân tích
về tiêu thụ. Một vài đóng góp cụ thể của ông cho kinh tế gồm có: ý niệm
hàm và xác xuất trong phân tích kinh tế, hàm cầu, hàm cung, thuyết độc
quyền và lưỡng độc quyền . Cũng nên nhắc là thuyết lưỡng độc quyền của
Cournot đánh dấu bước đầu nghiêm túc của thuyết trò chơi và giải pháp
của Cournot là một hình thức hạn chế của cân bằng Nash.
4


Các công trình của Cournot đánh dấu sự chuyển đổi từ kinh tế cổ điển qua
kinh tế tân cổ điển . Cả hai thuyết đều quan tâm đến sản xuất, phân bố, trao
đổi và tiêu thụ của cải (của cải theo nghiã hàng hoá). Các kinh tế gia cổ
điển chú ý đến sản xuất và phân phối của cải qua thời gian. Họ nhấn mạnh
tỷ lệ tăng truởng dân số và nguồn lực vật chất, và xem xét hậu quả của các
nhân tố này lên tiến bộ kinh tế cũng như phúc lợi của nhân dân và xã hội.
Các kinh tế gia tân cổ điển ít quan tâm đến các khiá cạnh động. Thay vào
đó, họ đặt câu hỏi: “trong một nền kinh tế với dân số có sở thích, nguồn
lực và kỹ thuật cho sẵn, làm sao các nguồn lực có thể phân phối qua một
hệ thống thị trường để cực đại hoá sự thoả mãn của người tiêu thụ?” .
Ngày nay, sự chuyển đổi từ kinh tế cổ điển qua tân cổ điển là sự xê dịch từ
phân tích kinh tế vĩ mô sang vi mô. Đường hướng mới này có thể giải
quyết một cách toán học bằng phương pháp giải tích. Walras (1874) lý
luận: “Chỉ có toán mới có thể giúp chúng ta hiểu ý nghĩa của điều kiện hữu
dụng tối đa (maximum utility).”
Kinh tế tân cổ điển khởi đầu với ba kinh tế gia là : Stanley Jevon (Anh),
Carl Menger (Áo) và Léon Walras (Pháp). Ba kinh tế gia này thường được
xem là ông tổ của “Cách mạng Biên tế” (Marginalist Revolution). Danh từ
biên tế liên quan đến kết quả toán của điều kiện biên tế cho cân bằng thị
trường. Quan trọng nhất trong ba kinh tế gia này là Walras . ông đã khám

phá ra lý thuyết cân bằng tổng thể .Thuyết này giải thích quân bình của
một hệ thống kinh tế thị trường qua quá trình điều chỉnh giá cả mà trong đó
các tác nhân kinh tế riêng rẽ không thể ảnh hưởng lên giá thị trường. Nói
tóm gọn, Walras đã xếp đặt một chương trình nghiên cứu mà rất nhiều kinh
tế gia thế kỷ 20 đã theo đuổi. Cùng với học trò là Vilfredo Pareto, Walras
sáng lập trường phái Lausanne, có thể xem là trường phái kinh tế toán đầu
tiên trên thế giới.
Từ khi kinh tế tân cổ điển xuất hiện đến nay, phấn lớn những đóng góp
quan trọng nhất cho lý thuyết kinh tế là từ kinh tế gia có đầu óc toán học.
Những kinh tế gia này đều xem toán là cần thiết và không thể thiếu. Hai
ngoại lệ đáng chú ý là hai kinh tế gia Anh, Alfred Marshall và John
Maynard Keynes .Tuy Marshall đã mang tính nghiêm túc của toán vào
kinh tế, nhưng ông tỏ vẻ nghi ngờ vai trò của toán trong kinh tế. Ông cho
rằng các biến số thật trong đời sống quá nhiều và tương hỗ với nhau do
đó các cố gắng toán hoá sẽ làm vấn đề quá phức tạp, không nghiên cứu
được, và nếu phải bỏ sót để vấn đề có thể phân tích được, thì lời giải thích
sẽ trở thành thiếu thực tế. Keynes, giống như Marshall, ban đầu được đào
5


tạo để trở thành một nhà toán học và cũng nghi ngờ vai trò của toán trong
kinh tế. Keynes chỉ dùng một ít toán và lý luận rằng khả năng của toán
trong việc thu hút nội dung của kinh tế rất là hạn chế. Việc này dễ hiểu
được vì quan tâm chính của Keynes là chính sách kinh tế và một kinh tế
gia muốn phát biểu các đề xuất cho các vần đề kinh tế khẩn cấp, phải dùng
ngôn ngữ càng ít toán càng tốt. Nhưng cũng vì thế mà công trình vĩ đại
nhất của Keynes (1936) có nhiều chỗ không rõ ràng và mâu thuẫn . Dù sao
Keynes cũng dặt nền móng cho kinh tế vĩ mô hiện đại và mở màn cho một
chương trình nghiên cứu thúc đẩy vai trò của toán trong kinh tế và ứng
dụng của toán trong các công trình thực nghiệm.

Trong thế kỷ 20, các công trình kinh tế toán to lớn nhất xuất hiện sau Thế
chiến Thứ hai , ba thí dụ tiêu biểu nhất đó là :
Thí dụ thứ nhất, Paul Samuleson, lý thuyết gia kinh tế lỗi lạc nhất của thế
kỷ 20. Samuelson (1947) được nhiều người xem là cha đẻ của kinh tế toán
học hiện đại qua cuốn sách “ Nền tảng của Phân tích Kinh tế “ , dùng ngôn
ngữ toán nghiêm túc thống nhất các thuyết kinh tế bằng một vài nguyên lý
cơ bản, và đặt nền tảng cho các nghiên cứu kinh tế toán hiện đại .
Thí dụ thứ nhì là mô hình cạnh tranh hoàn hảo Arrow–Debreu–McKenzie
(ADM), dựa trên các công trình của Arrow & Debreu (1954) và Lionel
McKenzie (1954). Mô hình ADM là mô hình trung tâm của lý thuyết cân
bằng tổng thể và thường được dùng làm một tham khảo tổng quát cho các
mô hình kinh tế vi mô khác. So sánh với các mô hình trước đó, mô hình
ADM dùng một ý niệm hàng hoá rất tổng quát, phân biệt hàng hoá bằng
không gian lẫn thời gian .
Thí dụ thứ ba là lý thuyết trò chơi. nhà bác học von Neumann được xem
là cha đẻ của thuyết trò chơi vì ông đã phát triển khá hoàn hảo và phổ
thông hoá thuyết này . Von Neumman đề xuất thuyết trò chơi như một thứ
ngôn ngữ mới dùng để biểu diễn và giải quyết các vấn đề kinh tế một cách
chính xác. Lối tư duy mới này nhấn mạnh sự tương tác chiến lược giữa các
tác nhân kinh tế (cá nhân, doanh nghiệp, chính phủ, ...). Như vậy, lý thuyết
cân bằng tổng thể có thể xem là một trường hợp đặc biệt của thuyết trò
chơi.
Ngoài von Neumann, nhiều toán gia khác cũng tìm cách ứng dụng toán
thuần lý vào lĩnh vực kinh tế trong nửa sau thế kỷ 20. Nổi tiếng nhất có lẽ
là toán gia Steve Smale . Smale đã đóng góp rất nhiều cho lý thuyết kinh tế
6


trong thập kỷ 1970. Ông đã thành công trong việc mang giải tích toàn bộ
vào những nghiên cứu về cân bằng kinh tế tổng quát.

2_ Hạn chế của toán trong kinh tế
Để có một cái nhìn khách quan và toàn diện hơn, chúng ta xét qua vài thí
dụ về các ứng dụng toán không thành công lắm trong kinh tế. Hai thí dụ
tiêu biểu nhất có lẽ là thuyết tai biến (catastrophe theory) và thuyết hỗn
độn (chaos theory). Sau nhiều thập kỷ phát triển dần dần, thuyết tai biến
chính thức xuất hiện vào đầu thập kỷ 1970 qua những công trình đột phá
của René Thom (1969) Sau đó, thuyết tai biến đã được áp dụng trong khá
nhiều nghiên cứu kinh tế, thí dụ như thị trường chứng khoán, thị trường
độc quyền, chu trình kinh tế, mô hình lạm phát, đầu cơ hối suất, thuyết
tăng trưởng, kinh tế thành phố và vùng, kinh tế sinh thái, ... Vào cuối thập
kỷ 1970, nhiều tác giả bắt đầu chỉ trích sự lạm dụng của thuyết tai biến
(không phải chỉ trong kinh tế) vì ba lý do chính như sau :
Thuyết tai biến dựa quá nhiều trên các phương pháp định tính, nhiều ứng
dụng đòi hỏi các định lượng hoá giả mạo hay phương pháp thống kê không
thích hợp, và rất nhiều mô hình không thoả những điều kiện toán cần cho
thuyết tai biến.
Ngày nay, phần đông các nhà kinh tế có một cái nhìn đúng đắn và lạc quan
hơn về thuyết tai biến. Tuy không phải là kỹ thuật tổng quát có thể dùng
cho mọi trường hợp, thuyết tai biến vẫn đóng một vai trò nhất định nào đó
trong việc nghiên cứu hiện tượng bất liên tục động trong kinh tế .
Giống như thuyết tai biến, thuyết hỗn độn có nguồn gốc sâu xa từ những
công trình nghiên cứu về toán và cơ học thiên thể của “toán gia phổ quát
cuối cùng” Henri Poincaré vào cuối thế kỷ 19. Poincaré nhận thấy rằng
các hệ thống xác định, động, phi tuyến, đơn giản dưới một số điều kiện nào
đó tiến hoá một cách có vẻ như ngẫu nhiên, phức tạp. Những hệ thống này
rất nhạy cảm với điều kiện ban đầu và do đó dự đoán dài hạn với bất kỳ độ
chính xác nào đòi hỏi các điều kiện ban đầu được định rõ tới mức chính
xác vô cực. Bắt đầu từ giữa thập kỷ 1970, thuyết hỗn độn đã được áp dụng
vào rất nhiều lĩnh vực kinh tế khác nhau .

Ứng dụng của thuyết hỗn độn trong kinh tế gây ra vài trở ngại chính như
sau :

7


Thứ nhất, sự có mặt của thuyết hỗn độn làm dự đoán dài hạn không khả
thi, và người dự báo sẽ phải trả giá cực kỳ cao nếu chỉ muốn tăng tầm xa
dự báo lên chút ít. Tính không dự đoán dài hạn này cũng trái ngược với
giả thiết kỳ vọng hợp lý (rational expectations), một ý niệm cơ bản trong
các lý thuyết kinh tế hiện đại.
Thứ hai, các nhà nghiên cứu chưa tìm được bằng chứng có tính thuyết
phục về sự hiện diện của hỗn độn xác định trong các chuỗi dữ kiện kinh tế
thời gian. Nếu như thế, các nhà kinh tế có nên tiếp tục bỏ công sức vào
thuyết hỗn độn hay nên khảo sát các dạng động lực phi tuyến khác với khả
năng tiên đoán tốt hơn? Tuy nhiên, thuyết hỗn độn nói chung không bị các
nhà kinh tế tránh né như thuyết tai biến. Một số nhà kinh tế cho rằng thuyết
hỗn độn vẫn cần cho lý thuyết kinh tế, nhưng các dụng cụ và phương pháp
nghiên cứu phải khác hơn những kỹ thuật dùng trong quá khứ.

3 _ vai trò của toán trong nghiên cứu kinh tế
Toán chỉ là một phương tiện, không phải là cứu cánh, và do đó tầm nhìn về
sự kiện và ý nghĩa phải nhất thiết đi trước việc phân tích vấn đề (hai thí dụ
tốt cho điểm này là tác phẩm “Sự Thịnh vượng của các Quốc gia” của
Adam Smith (1776) và “Lý thuyết Chung” của Keynes (1936))
Phẩm chất của một lý thuyết kinh tế hoàn toàn không tùy thuộc vào chiều
sâu hay tính phức tạp của nội dung toán trong thuyết đó (hai thí dụ là Định
luật Coase (1937) và Thuyết Thị trường Hàng hoá xấu của George Akerlof
(1970)).
Cuộc tranh cãi về vai trò của toán trong kinh tế học đúng ra không phải

tranh luận về nên hay không nên dùng toán trong kinh tế, mà là về “dùng
bao nhiêu toán” và “dùng toán loại nào” (hình học, đại số, giải tích , thống
kê, toán số). Không phải ngẫu nhiên mà Francis Edgeworth (1881) gọi giải
tích là “tiếng mẹ đẻ của kinh tế học”.
Để thấy rõ được vai trò của toán trong kinh tế chúng ta xẽ đi xem xét hai
thí dụ sau :
Thí dụ thứ nhất : dựa trên công trình của Allingham và Sandmo (1972) về
sự trốn thuế. Mô hình này đã gây một tiếng vang khá lớn trong lý thuyết tài
chính công và đã được nới rộng rất nhiều. sau đây chúng ta xẽ đi xem xét
8


mô hình nguyên thủy. Đây là một mô hình tương đối đơn giản, thuộc loại
cân bằng cục bộ , tĩnh và ngẫu nhiên với một biến số nội sinh duy nhất.
Vấn đề: Một kinh tế nhân sẽ tuân thủ luật thuế thu nhập như thế nào, giả sử
một hệ thống kiểm tra và nộp phạt cho sẵn?
Giả thiết : Kinh tế nhân cực đại hoá hàm hữu dụng (utility function) tùy
thuộc vào thu nhập sau thuế.
Mô hình hoá vấn đề:
Gọi:
y = thu nhập thật (y > 0)
t = thuế suất (0 < t < 1)
x = thu nhập khai báo (x < y)
z º y – x = số lượng thu nhập trốn thuế
p = xác xuất bị kiểm tra (0 < p < 1)
q = tỉ lệ nộp phạt cho mỗi đồng trốn thuế
u = hàm hữu dụng (tăng và lõm theo thu nhập)
Đặt vấn đề : Nếu trốn thuế và không bị Cục Thuế kiểm tra, thu nhập sau
thuế của người đóng thuế sẽ là :
y - tx = (1-t)y + tZ.

Nếu bị kiểm tra, thu nhập sau thuế và sau khi bị phạt của người đóng thuế
sẽ là :
y-tx-(t+θ)Z =(1-t)y-θtZ
Như vậy, vấn đề này có thể đặt dưới dạng toán như sau:
Chọn z để cực đại hoá hàm EU= pu[(1-t)y-qtZ]+(1-p)u[(1-t)y+tZ] → max
tùy theo y, t, p, q , 0 < t < 1 và 0 < p < 1 cho sẵn.

9


Phân tích mô hình: Trong một mô hình như trên, ta gọi các thông số như
y, t, p, q, t và p là các biến số ngoại sinh (exogenous variables) và biến số
chọn lựa Z là biến số nội sinh. Đi tìm cân bằng của mô hình là tìm cực trị
của biến số nội sinh Z theo tập hợp các biến số ngoại sinh. Vì đây là một
vấn đề cực đại hoá bị ràng buộc, phép toán vi phân là dụng cụ phân tích
thích hợp. Lấy đạo hàm của EU theo Z, điều kiện bậc một cực đại của EU
là:
- pqu ’[(1-t)y-qtZ] +(1-p)tu’[(1-t)y + tZ)] = 0
Trong đó u’ là đạo hàm bậc một của u . lưu ý là điều kiện bậc hai cho cực
đại toàn bộ thoả mãn vì giả thiết u” < 0. Trên nguyên tắc, ta có thể giải
phương trình trên để tìm trị của Z theo y, t, p,q, tức là :
Z = f(y, t, p, q)
Đây là dạng rút gọn của mô hình. Phân tích so sánh tĩnh có nghiã là chúng
ta xác định dấu của các đạo hàm bậc một từng phẩn của f. Trong trường
hợp này, trong khi cả hai fp và fq đều âm (nếu xác xuât kiểm tra tăng hay tỉ
lệ nộp phạt tăng, số lượng thu nhập trốn thuế sẽ giảm), dấu của fy và ft
không rõ (nghiã là ảnh hưởng của thu nhập hay thuế suất lên số thu nhập
trốn thuế không minh bạch trong trường hợp tổng quát).
Thí dụ bên trên cho thấy sức mạnh cũng như hạn chế của các phương pháp
toán trong việc mô hình hoá các hành xử về thuế. Trong khi phép tính vi

phân cung cấp một dụng cụ phân tích rất mạnh, công thức hoá một mô
hình kết hợp tính trung thực của người đóng thuế hay tìm được kết quả
minh bạch mà không cần đòi hỏi thêm giả thiết về ý muốn của người đóng
thuế không phải là chuyện dễ dàng.
Thí dụ thứ hai : là mô hình tăng trưởng nội sinh . trong mô hình này dân
số (đồng nghĩa với lực lượng lao động) tăng theo luật số mũ với một tỷ lệ
cho sẵn. Người lao động làm việc trong khu vực kiến thức hay sản xuất.
Kiến thức nẩy sinh ra vốn con người (human capital) trong khi sản phẩm
cuối (final output) có thể tiêu thụ hay để dành thành vốn nhân tạo (physical
capital).
Đặt:
L(t) = tổng lao động tại thời điểm t;

10


Lp(t)= tổng lao động dùng trong sản xuất tại thời điểm t (0 £ Lp(t) £ L(t);
A(t) = trữ lượng kiến thức tại thời điểm t;
K(t) = trữ lượng vốn nhân tạo tại thời điểm t,
Q (t) = tổng sản phẩm tại thời điểm t; và
C (t) = tổng tiêu thụ tại thời điểm t.
Dưới một số giả thiết sự tăng trưởng qua thời gian của nền kinh tế có thể
diễn tả bắng hệ thống phương trình vi phân sau:

trong đó :
n (tỷ lệ tăng dân số) n ≥ 0
a (tỷ lệ hiệu quả trong khu vực kiến thức). a > 0 và L(0), A(0) và K(0) cho
sẵn.
Tổng sản phẩm là hàm của hai nhân tố không thể thiếu: vốn nhân tạo (K)
và vốn con người dùng trong sản xuất (ALp):

Q(t) = F[K(t), A(t)Lp(t)]
ALp có thể xem là lao động trong sản xuất tính theo đơn vị hiệu quả thay vì
đầu người. Hàm sản xuất F được giả sử là hàm đồng nhất bậc một, tăng
nghiêm ngặt , lõm .
Để hoàn tất mô hình ta giả sử một chính phủ vĩnh cửu cho nền kinh tế.
Chính phủ này đánh thuế lên người làm việc trong khu vực sản xuất (vì
những người thợ này hưởng lợi trực tiếp từ kiến thức) để trả cho khu vực
kiến thức. Thuế suất tại thời điểm t là r(t), được cho bởi điều kiện :

11


r(t) w(t) L(t) = w(t)[L(t)–Lp(t)]

trong đó :
w(t) là lương thợ sản xuất tại thời điểm t. Đơn giản hoá, ta có :
r(t) = 1 – Lp(t)/L(t).
Hơn nữa, chính phủ chọn C(t) và Lp(t) để cực đại hoá hàm phúc lợi xã hội.

Theo bốn ràng buộc về
và Q, r (> n) là tỷ suất chiết khấu xã hội
Mô hình tăng trưởng nội sinh như trên trở thành bài toán diều khiển tối ưu
với hai biến điều khiển là C(t) và Lp(t) và hai biến trạng thái là K(t) và
A(t)

Nếu hạn chế thêm n = 0 và
(0 < β < 1), chúng ta
có thể mô tả sự tiến hoá của nền kinh tế với các công thức tường minh và
chứng minh rằng, tuỳ theo điều kiện ban đầu, nền kinh tế hoặc đạt cân
bằng vững ngay từ đầu, hoặc sẽ tiến tới cân bằng vững một cách đều đặn

khi thời gian tiến tới vô hạn

Thí dụ này làm sáng tỏ các lời phát biểu của Debreu nói trên: làm sao toán
có thể giúp chúng ta tìm ra những kết quả mạnh hơn dưới những giả thiết
yếu hơn và các điều kiện tổng quát hơn. Về ý kinh tế, kiến thức trong mô
hình như trên là một đầu vào thuần túy công , không thể cung cấp được
trong nền kinh tế thị trường .

12


II _ MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG SOLOW.
Mô hình tăng trưởng Solow là một mô hình thuyết minh về cơ chế tăng
trưởng kinh tế do Robert Solow và Trevor Swan xây dựng rồi được các
học giả kinh tế khác bổ sung. Solow đã nhận được giải Nobel về kinh tế
năm 1987 nhờ cống hiến này. Mô hình này còn gọi là Mô hình tăng
trưởng tân cổ điển vì một số giả thiết của mô hình dựa theo lý luận của
kinh tế học tân cổ điển. Mô hình này còn có cách gọi khác, đó là Mô hình
tăng trưởng ngoại sinh, bởi vì không liên quan đến các nhân tố bên trong,
rốt cục tăng trưởng của một nền kinh tế sẽ hội tụ về một tốc độ nhất định ở
trạng thái bền vững. Chỉ các yếu tố bên ngoài, đó là công nghệ và tốc độ
tăng trưởng lao động mới thay đổi được tốc độ tăng trưởng kinh tế ở trạng
thái bền vững.
Ký hiệu
•
•
•
•
•
•

•
•
•
•
•
•
•
•

Y là sản lượng thực tế (hoặc thu nhập thực tế).
K là lượng tư bản đem đầu tư.
L là lượng lao động.
y là sản lượng trên đầu lao động.
k là lượng tư bản trên đầu lao động.
S là tiết kiệm của cả nền kinh tế.
s là tỷ lệ tiết kiệm.
I là đầu tư.
i là đầu tư trên đầu lao động.
C là tiêu dùng cá nhân trong nền kinh tế.
c là tiêu dùng cá nhân trên đầu lao động.
δ là tỷ lệ khấu hao tư bản.
Δ là lượng tư bản tăng thêm ròng.
n là tốc độ tăng dân số, đồng thời là tốc độ tăng lực lượng lao động.

13


Hệ giả thiết
Giả thiết 1 :
Giá cả linh hoạt trong dài hạn. Đây là một quan điểm của kinh tế học tân

cổ điển. Khi này, lao động L được sử dụng hoàn toàn, và nền kinh tế tăng
trưởng hết mức tiềm năng và ổn định.
Đồng thời, lúc này, toàn bộ tiết kiệm S sẽ được chuyển thành đầu tư I Và
do đó ta có
sY = I.
Mặt khác, giá cả lao động (tức tiền công thực tế) và giá tư bản (tức lãi suất
đi vay) lúc này cũng sẽ linh hoạt. Vì thế, có thể kết hợp hai yếu tố này để
sản xuất môt cách tùy thích.
Giả thiết 2:
Mức sản lượng thực tế Y phụ thuộc vào lượng lao động L, lượng tư bản K
vài năng suất lao động A. Từ đó, ta có một hàm sản xuất vĩ mô :
Y = F(A,L,K).
Giả thiết là hàm này có dạng Cobb-Douglas, tức là:

Với hàm số dạng Cobb-Douglas, nếu ta nhân các số nhân trong vế phải với
cùng một số, thì tích số bên vế trái sẽ tăng lên cùng số đó lần. Do vậy, nếu
nhân 1/L với L và K, thì vế trái sẽ thành Y/L tức là sản lượng thực tế trên
đầu lao động y (y=Y/L). Còn K/L tức lượng tư bản trên đầu lao động k
(k=K/L). Hàm sản xuất vĩ mô sẽ có dạng sau:

Giả thiết 3:

14


Nền kinh tế đóng cửa và không có sự can thiệp của Chính phủ. Do đó, tổng
sản lượng Y bằng tổng của tiêu dùng cá nhân C và đầu tư I hay :
Y=C+I
tương đương với : Y = C + sY hay C = (1-s)Y.
Nếu tính trên đầu lao động L, thì sẽ có tiêu dùng cá nhân trên đầu người c

bằng sản lượng thực tế trên đầu người y nhân với 1-s hay :
c = (1-s)y.
Lưu ý : 0 < s < 1.
Giả thiết 4:
Có sự khấu hao tư bản. Với tỷ lệ khấu hao δ, mức khấu hao sẽ là δY.
Đầu tư I làm tăng lượng tư bản trong khi khấu hao δK làm giảm lượng tư
bản, nên mức tư bản thực tế tăng thêm ΔK sẽ bằng I - δK.
Có thể viết quan hệ trên thành:

Giả thiết 5:
Tư bản K và lao động L tuân theo Quy luật lợi tức biên giảm dần. Có
nghĩa là khi khi tăng k thì ban đầu y tăng rất nhanh đến một lúc nào đó nó
tăng chậm lại.
Giả thiết 6:
Hàm y = f(k) là một hàm tăng. Đồ thị của nó có dạng đường cong. Hàm i =
sf(k) = sy cũng như vậy, bởi vì đầu tư trên đầu lao động i là một bộ phận
của sản lượng trên đầu lao động y.
Chú ý rằng để hàm số y = f(k) là hàm tăng thì đạo hàm bậc một y' phải lớn
hơn 0, mặt khác do nó tuân theo quy luật năng suất cận biên giảm dần nên
đạo hàm bậc hai y’’ phải nhỏ 0. Đồ thị của hàm số y = f(k) có hình dạng
như trong hình vẽ ( ở trang bên).

15


Giả thiết 7:
Thay đổi trong lực lượng lao động L thể hiện bằng phương trình sau:

trong đó, gL là hàm số của L.
Đồng thời giả thiết là tốc độ thay đổi lao động đúng bằng tốc độ thay đổi

dân số n.

Xác định mô hình:

Hình 1

Khi tư bản trên đầu lao động k tăng, thì giá trị khấu hao δk tăng, hơn nữa,
dẫn đến tư bản mới trên đầu lao động nk tăng. Gọi δk + nk hay (δ+n)k là
đầu tư cần thiết, vì nó bù đắp phần tài sản bị hao mòn và đáp ứng vốn cho
lao động mới tăng thêm.
Điểm A trên Hình 1 là giao của đường đầu tư cần thiết (δ+n)k và đường
đầu tư trên đầu lao động i. Nó cho thấy đó là một sự cân bằng.
16


Tại trạng thái vốn trên đầu lao động k1 nhở hơn k*, thì đầu tư i = sy lớn hơn
đầu tư cần thiết (δ+n)k, có nghĩa là k = sy – (δ+n)k > 0 do đó dẫn đến k
tăng.
Ngược lại, tại trạng thái vốn trên đầu lao động k2 lớn hơn k*, thì đầu tư i =
sy nhỏ hơn đầu tư cần thiết (δ+n)k, có nghĩa là k = sy – (δ+n)k < 0, do đó
k giảm.
Ta có, k tăng lên đến mức k*, và ngược lại khi nó giảm, thì giảm đến mức
k*. Cả hai trường hợp tăng và giảm đều đạt đến một trạng thái cân bằng.
Và người ta gọi đó là điểm ổn định hay trạng thái ổn định.
Tại trạng thái ổn định k*, chúng ta nhận thấy rằng đầu tư và đầu tư cần
thiết cân bằng nhau, hay ?k = sy – (δ+n)k* = 0, tốc độ tăng của sản lượng
trên lao động bằng không (gy = 0), và tốc độ tăng của vốn trên mỗi lao
động bằng không (gk = 0).
Ngoài ra mô hình tăng trưởng solow_swan còn chịu tác động bởi một yếu
tố khác đó là tiến bộ công nghệ . trong thời đại ngày nay khi khoa học công

nghệ đã trở thành ngành sản xuất trực tiếp thì sản phẩm của ngành này
chính là tiến bộ công nghệ . việc sản xuất và sử dụng những sản phẩm đặc
biệt này đòi hỏi những yếu tố vật chất nhất định , phải có đầu tư vốn ( vốn
vật chất và vốn con người ) .thành ra chúng ta có thể coi tác động của tiến
bộ công nghệ được vật chất hóa trong vốn và trong lao động . sự vật chất
hóa của tiến bộ công nghệ trong lao động biểu hiện ở việc sử dụng lao
động hiệu quả hơn với một số lao động nhất định , do tác động của tiến bộ
công nghệ xẽ tương đương với việc sử dụng nhiều hơn .
Như vậy sự tăng trưởng của nguồn lao động ngoài việc do tăng tự nhiên
theo mức độ tăng của dân số mà còn tăng bởi tác động của tiến bộ công
nghệ.

17


KẾT LUẬN
*

*
*

Toán đóng một vai trò rất quan trọng, có thể nói là không thể thiếu, trong
bộ môn kinh tế. Vai trò này có xu hướng ngày càng tăng dần theo thời
gian, mặc dù vẫn còn sự phê bình, chống đối việc dùng toán làm một
phương pháp chính để phân tích, thông hiểu một hệ thống nhân văn phức
tạp như hệ thống kinh tế...Nói chung, toán đã giúp kinh tế, nhất là kinh tế
lý thuyết, tiến triển rất nhiều. Toán hoá đã và đang làm thay đổi bản chất
và phạm vi của bộ môn kinh tế. Toán cũng ảnh hưởng rất lớn đến sự truyền
đạt ý niệm và đề xuất kinh tế, không những giữa các nhà kinh tế với nhau,
mà còn giữa các nhà kinh tế và dân chúng, và giữa các nhà kinh tế và các

nhà làm chinh sách.
Có thể nói rằng ngày nay toán học đã và đang có một vai trò rất quan trọng
trong tất cả các lĩnh vực đặc biệt là trong kinh tế . điều này đã được tất cả
các nhà kinh tế khẳng định thông qua việc vận dụng toán vào trong các mô
hình kinh tế . dựa vào các mô hình này chúng ta có thể tiến hành phân tích,
dự báo được các kết quả có thể xảy ra và từ đó có những quyết định hợp lý.
do vậy có thể khẳng định rằng toán học là một yếu tố không thể thiếu được
trong quá trình phát triển kinh tế và muốn phát triển được kinh tế thì chúng
ta cần phải có được một cơ sở toán học vững chắc làm nền tảng.

18


PHỤ LỤC
LỜI MỞ ĐẦU.............................................................................3
NỘI DUNG
I _ ứng dụng của toán học và một số mô hình toán học trong kinh
tế................................................................................. 4→17
1 _ Lịch sử của toán trong kinh tế học ..............................

4→7

2 _ Hạn chế của toán trong kinh tế.....................................

7→8

3 _ vai trò của toán trong nghiên cứu kinh tế..................... 8→12
II _ Mô hình tăng trưởng solow......................................... 13→17
KẾT LUẬN........................................................................

19

18