ĐỘ ĐO - TÍCH PHÂN VÀ DUNG LƯỢNG Báo cáo nghiệm thu đề tài khoa họ c cấp cơ sở

Bộ Giáo dục và Đào tạo
Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh
------oooOOOooo------

Báo cáo nghiệm thu đề tài khoa học cấp cơ sở

ĐỘ ĐO - TÍCH PHÂN VÀ DUNG LƯỢNG

Mã số: CS.2007.19.04
Chủ nhiệm đề tài:
PGS.TS Đậu Thế Cấp

TP Hồ Chí Minh – 2008


I. Giới thiệu đề tài
Lý thuyết Độ đo và Tích phân có nhiều ứng dụng không chỉ
trong Giải tích Toán học mà còn trong nhiều ngành Toán học khác
đặc biệt là trong Xác suất – Thống kê. Vì lý do đó, Độ đo và Tích
phân là một môn học quan trọng của sinh viên ngành toán.
Là một môn học khó nhưng tài liệu tiếng Việt để học tập môn
Độ đo - Tích phân không nhiều, tài liệu bài tập để tham khảo lại còn
hiếm hơn.
Từ thực tế đó, mục đích chính của đề tài này là biên soạn một
quyển sách về Độ đo và Tích phân có thể sử dụng làm giáo trình
giảng dạy cho sinh viên, tham khảo cho học viên cao học. Quyển
sách đã được Nhà xuất bản Giáo dục phát hành rộng rãi, phục vụ bạn
đọc toàn quốc.
Quyển sách Độ đo và Tích phân cũng có thể coi là kiến thức
chuẩn bị để nghiên cứu về Dung lượng, một biến dạng của Độ đo.
Trong khuôn khổ đề tài, chúng tôi đã nghiên cứu dung lượng trong

không gian tôpô tổng quát, đóng góp mới của chúng tôi là đưa ra và
khảo sát khá triệt để dung lượng có giá trị rời rạc. Kết quả này đã
viết thành một bài báo đã được nhận đăng ở tạp chí Khoa học,
trường Đại học Sư phạm TP.Hồ chí Minh. Chúng tôi đang bổ sung
thêm để gửi công bố ở một tạp chí chuyên ngành.
Liên quan đến đề tài, chúng tôi đã hướng dẫn hai học viên cao
học làm luận văn tốt nghiệp, một người đã bảo vệ, người còn lại sẽ
bảo vệ vào tháng 9/2008.
Đề tài đã thực hiện đúng tiến độ và các chỉ tiêu đăng ký.

3


II. Các kết quả đã thực hiện
§1. Các sản phẩm
1. Giáo trình “Độ đo và Tích phân”

Giáo trình có ba chương: Chương 1: Độ đo; Chương 2: Tích
phân; Chương 3: Các vấn đề bổ sung.
Giáo trình đã trình bày các vấn đề lý thuyết cơ bản của Độ đo
và Tích phân với chứng minh đầy đủ và ngắn gọn.
Giáo trình có phần bài tập chọn lọc gồm 95 bài, có hướng dẫn
giải tương đương với một quyển sách bài tập.
Giáo trình đã được Nhà Xuất bản Giáo dục ấn hành, gồm 164
trang khổ 14.3×20.3 cm.
2. Bài báo “ Dung lượng trong không gian tôpô” (Capacities in
topological spaces)

Bài báo này có sự cộng tác của Th.S.Bùi Đình Thắng, trường
Đại học Sài Gòn.

Bài báo trình bày lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô
Hausdorff tổng quát. Phần dung lượng có giá trị rời rạc trong bài
toán theo chúng tôi là mới và có ý nghĩa. Công việc tiếp theo của
chúng tôi là khảo sát tích phân Choquet theo dung lượng có giá trị
rời rạc.
Bài báo gồm 10 trang đã được nhận đăng ở Tạp chí Khoa học
Tự nhiên trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh.

4


3.Luận văn thạc sỹ

Theo hướng đề tài chúng tôi đã hướng dẫn hai luận văn cao
học
1) Định lý giới hạn trung tâm và ứng dụng trong Xác suất –
Thống kê, của học viên cao học Nguyễn Đình Uông, đã bảo vệ tại
trường Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh, đã bảo vệ năm 2007.
Luận văn đã sử dụng biến đổi Fourier và biến diễn tích phân
để chứng minh định lý giới hạn trung tâm tổng quát. Sau đó luận văn
trình bày các ứng dụng của định lý trong Xác suất – Thống kê cả
trong lý thuyết cũng như các vấn đề cụ thể.
2) Lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô, của học viên
cao học Phan Phụng Hiệp, sẽ bảo vệ tại trường Đại học Sư phạm TP
Hồ Chí Minh trong năm 2008.
Luận văn trình bày lý thuyết dung lượng trong không gian
tôpô, định nghĩa tích phân Choquet theo dung lượng. Chứng minh
các định lý tương tự dung lượng trong ¡ n . Cho nhiều kết quả về
dung lượng có giá trị hữu hạn, dung lượng đặc trưng và tích phân
Choquet theo chúng.

§2. Địa chỉ ứng dụng
Giáo trình Độ đo và Tích phân đã được phát hành và được
đông đảo bạn đọc đón nhận.
Chương 1 và chương 2 của giáo trình này có thể làm tài liệu
giảng dạy cho sinh viên ngành toán, chương 3 của giáo trình này có
thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên cao học.
Bài báo “ Dung lượng trong không gian tôpô ” có thể làm tiền
đề để nghiên cứu tiếp về dung lượng theo hướng đó.

5


III. Các văn bản
1. Trang bìa, lời nói đầu, mục lục của sách “Độ đo và Tích
phân”.
2. Toàn văn bài báo “ Dung lượng trong không gian tôpô ” sẽ
in ở Tạp chí Khoa học Tự nhiên trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí
Minh, số 14(48).
3. Thuyết minh đề tài khoa học và công nghệ cấp trường.

6


❉❯◆● ▲×Ñ◆● ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆
❚➷P➷
a ✶✱

❉❛✉ ❚❤❡ ❈❛♣

a ❯♥✐✈❡rs✐t②

b

❇✉✐ ❉✐♥❤ ❚❤❛♥❣

♦❢ P❡❞❛❣♦❣② ♦❢ ❍♦❈❤✐▼✐♥❤ ❝✐t②✱ ❍♦❈❤✐▼✐♥❤ ❝✐t②✱ ❱✐❡t◆❛♠✳

b

❙❛✐●♦♥ ❯♥✐✈❡rs✐t②✱ ❍♦❈❤✐▼✐♥❤ ❝✐t②✱ ❱✐❡t◆❛♠✳

❆❜str❛❝t✳

■♥ t❤✐s ♥♦t❡ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❝❛♣❛❝✐t✐❡s ✐♥ ❍❛✉s❞♦r❢❢ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧
s♣❛❝❡s✱ t❤❛t ❣❡♥❡r❛❧✐③❡s t❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❝❛♣❛❝✐t② ✐♥ IRn✳ ❚❤❡ ❝❛♣❛❝✐t✐❡s ❢♦r
❞✐s❝r❡t❡ s✉♣♣♦rt ✇✐❧❧ ❛❧s♦ ❜❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞✳

✶ ▼ð ✤➛✉
▲þ t❤✉②➳t ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ r❛ ❜ð✐ ●✳❈❤♦q✉❡t ❬✶❪ ✈➔ ✤÷ñ❝ t✐➳♣ tö❝ ♣❤→t
tr✐➸♥ ❜ð✐ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ✭①❡♠ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✮✳
❉✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ ✤➣ ✤÷ñ❝ ①➨t tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤♦ ✤÷ñ❝ ❜➜t ❦ý ♥❤÷ ❧➔ ♠ët
❦❤→✐ q✉→t ❝õ❛ ✤ë ✤♦ ✈➔ ❣➛♥ ✤➙② ❧➔ tr♦♥❣ IRn ✈î✐ σ✲✤↕✐ sè ❇♦r❡❧✳ ❚r♦♥❣ ❜➔✐
♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ ❍❛✉s❞♦r❢❢
tê♥❣ q✉→t✳ ❙❛✉ ✤â ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ ❦❤↔♦ s→t ❦❤→ tr✐➺t ✤➸ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣
❝â ❣✐→ ❧➔ t➟♣ rí✐ r↕❝✳ ❚r♦♥❣ IRn ❝ô♥❣ ♠î✐ ①➨t tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝â ❣✐→
❤ú✉ ❤↕♥ ✭①❡♠ ❬✾❪✮✱ ❞♦ ✤â ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❧➔ ♠î✐ ❝↔ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧➔ IRn✳

✷ ❉✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ

❚r♦♥❣ s✉èt ❜➔✐ ♥➔② t❛ ❦þ ❤✐➺✉ X ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ ❍❛✉s❞♦r❢❢✳ K(X)✱
F(X)✱ G(X)✱ B(X) t❤❡♦ t❤ù tü ❧➔ ❤å ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝♦♠♣❛❝t✱ t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣✱
t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ✈➔ t➟♣ ❝♦♥ ❇♦r❡❧ ❝õ❛ X ✳ ❚❛ ❝â
K(X) ⊂ F(X) ⊂ F(X) ∪ G(X) ⊂ B(X)

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ❍➔♠ t➟♣ T : B(X) |→ [0; +∞) ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ tr➯♥
♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉
✭C1✮ T (∅) = 0✳
X

✶ ❈♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❛✉t❤♦r✳
❊✲♠❛✐❧ ❛❞❞r❡ss❡s✿ ❞❛✉t❤❡❝❛♣❅②❛❤♦♦✳❝♦♠ ✭❉❛✉ ❚❤❡ ❈❛♣✮✱

❜✉✐❞✐♥❤t❤❛♥❣✶✾✼✺❅②❛❤♦♦✳❝♦♠✳✈♥ ✭❇✉✐ ❉✐♥❤ ❚❤❛♥❣✮✳

✶


✭C ✮ T ✤❛♥ ❞➜✉ ❝➜♣ ❤ú✉ ❤↕♥✱ tù❝ ❧➔ ✈î✐ ❝→❝ t➟♣ A , A , . . . A
2

1

✤➲✉ ❝â

n

∈ B(X)✱ n ≥ 2✱

Ai )

✭✷✳✶✮

2

n

T(
i=1

tr♦♥❣ ✤â I(n) = {I :
I✳

(−1)#I+1 T (

Ai ) ≤

i∈I

I ∈ I(n)
I ⊂ {1, . . . n}, I = ∅}✱ #I

❧➔ sè ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣

✭C ✮ T (A) = sup{T (C) : C ∈ K(X), C ⊂ A} ✈î✐ ♠å✐ A ∈ B(X)✳
✭C ✮ T (A) = inf{T (G) : G ∈ G(X), G ⊃ C} ✈î✐ ♠å✐ C ∈ K(X)✳
3

4

❑þ ❤✐➺✉ M ❧➔ ♠ët σ✲✤↕✐ sè tr➯♥ X ✳
❇ê ✤➲ ✷✳✶✳ ❈❤♦ µ : M |→ [0; +∞) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ t➟♣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉
✤➙②✿ ❱î✐ ♠å✐ A, B ∈ M
µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∪ B).
✭✷✳✷✮
❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ ❤å ❝→❝ t➟♣ A1, . . . An ∈ M✱ n ≥ 2 t❛ ✤➲✉ ❝â
n

µ(
i=1

(−1)#I+1 µ(

Ai ) =
I ∈ I(n)

✭✷✳✸✮

Ai ).
i∈I

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➡♥❣ q✉✐ ♥↕♣ t❤❡♦ n✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭✷✳✷✮ t❛ ❝â
✭✷✳✸✮ ✤ó♥❣ ✈î✐ n = 2✳ ●✐↔ sû ✭✷✳✸✮ ✤ó♥❣ ✈î✐ n ≥ 2✱ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥â ✤ó♥❣
✈î✐ n + 1✳ ❑þ ❤✐➺✉
I(n + 1) = I(n) ∪ {n + 1} ∪ (In , n + 1),

ð ✤➙② (In, n + 1) = {I ∪ {n + 1} :

I ∈ I(n)}✳

✷

✣➦t A =

n
i=1

Ai ✳

❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t


q✉✐ ♥↕♣ t❛ ❝â
n+1

µ(

Ai ) = µ(A

An+1 )

i=1

= µ(A) + µ(An+1 ) − µ(A

An+1 )
n

= µ(A) + µ(An+1 ) − µ (
n

= µ(

Ai )

Ai ) + µ(An+1 ) − µ(

i=1

(−1)#I+1 µ(

I ∈ I(n)

i∈I

Ai ) + µ(An+1 )
i∈I

I ∈ I(n)

(−1)#I +1 µ(

+

(−1)#I+1 µ(
I ∈ I(n + 1)

Ai )

i∈I

I ∈ (I(n), n + 1)
=

(−1)#I+1 µ(

Ai ) + µ(An+1 ) −
i∈I

I ∈ I(n)
=

(Ai ∪ An+1 ))

i=1

(−1)#I+1 µ(

=

tr♦♥❣ ✤â I

An+1

i=1
n

Ai ),
i∈I

= I ∪ {n + 1}✱ I ∈ I(n)✳

❱➟② ✭✷✳✸✮ ✤ó♥❣ ✈î✐ n + 1✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳ ▼ët ✤ë ✤♦ µ tr➯♥ B(X) ❣å✐ ❧➔ ✤ë ✤♦ ❇♦r❡❧ ❝❤➼♥❤ q✉✐ ♥➳✉
✈î✐ ♠å✐ E ∈ B(X) ✤➲✉ ❝â
✶✳ µ(E) = inf{µ(U ) : U ∈ G(X), U ⊃ E}❀
✷✳ µ(E) = sup{µ(C) : C ∈ K(X), C ⊂ E}✳
❚ø ❜ê ✤➲ ✷✳✶ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉✐ ❝õ❛ ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ tr➯♥ IRn t❛ ❝â
✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳ ❛✮ ❍➔♠ t➟♣ µ : B(X) |→ [0, +∞) t❤♦↔ ♠➣♥ ✭C1✮✱ ✭C3✮✱ ✭C4✮
✈➔ ✭✷✳✷✮ ❧➔ ♠ët ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ tr➯♥ X ✳
❜✮ ▼å✐ ✤ë ✤♦ ❝❤➼♥❤ q✉✐ tr➯♥n B(X) ✤➲✉ ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣n tr➯♥ X ✳ ✣➦❝ ❜✐➺t ✤ë ✤♦
▲❡❜❡s❣✉❡ m tr➯♥ B(IR ) ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ tr➯♥ IR ✳
✸

Ai )


t T : M | [0, +) ồ ỹ
T (A B) = max{T (A), T (B)}

ợ ồ A, B M
ờ T t ỹ t ồ ồ A1, . . . An M t õ
(1)#I+1 T (

Ai ) = min{T (Ai ) : 1 i n}
iI

I I(n)

ự ự q t n ợ ồ A1, A2 M t

õ
T (A1 ) + T (A2 ) T (A1 A2 ) = T (A1 ) + T (A2 ) max{T (A1 ), T (A2 )}
= min{T (A1 ), T (A2 )},

tự ú ợ n = 2 sỷ ú ợ n 2 ợ
ồ ồ A1, . . . An+1 M ổ t tờ qt t õ t tt
T (A1 ) = min{T (Ai ) : 1 i n + 1}
T (An+1 ) = max{T (Ai ) : 1 i n + 1}.

tt q t õ
(1)#I+1 T (
I I(n + 1)

(1)#I+1 T (

Ai ) =
iI

I I(n)
+

Ai ) + T (An+1 )
iI

(1)#I +1 T (

Ai )

iI

I (In , n + 1)
= T (A1 ) + T (An+1 )
+(Cn1 + Cn2 ã ã ã + (1)n Cnn )T (An+1 )
= T (A1 ) + (1 1)n T (An+1 )
= T (A1 ).

ú ợ n + 1
t T : B(X) | [0, +) ồ ở ỹ
õ t ỹ tọ (C1) (C3) (C4)
ứ ờ t õ ỵ s



✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳ ▼å✐ ✤ë ✤♦ ❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ X ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ tr➯♥ X ✳
✣à♥❤ ❧þ ✷✳✸✳ ❈❤♦ T ❧➔ ♠ët ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ tr➯♥ X ✳ ❑❤✐ ✤â
❛✮ T ❧➔ ❤➔♠ t➟♣ ❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠✱ tù❝ ❧➔ ♠å✐ A✱ B ∈ B(X)✱ A ⊂ B t❤➻ T (A) ≤
T (B)✳

❜✮ ❱î✐ ♠å✐ A✱ B ∈ B(X)✱ A ∩ B = ∅ ✤➲✉ ❝â
T (A) + T (B) ≥ T (A ∪ B).

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❛✮ ❚❤❡♦ (C3)
T (A) = sup{T (C) : C ⊂ A, C ∈ K(X)}
≤ sup{T (C) : C ⊂ B, C ∈ K(X)}
= T (B).

❜✮ 0 = T (A ∩ B) ≤ T (A) + T (B) − T (A ∪ B)✳
❉♦ ✤â T (A) + T (B) ≥ T (A ∪ B)✳

❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳ ◆➳✉ A✱ B ∈ B(X) ✈➔ T (A) = 0 t❤➻ T (A ∪ B) = T (B)✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✺✳ ❚❛ ❣å✐ ❣✐→ ❝õ❛ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ T ✱ ❦þ ❤✐➺✉ s✉♣♣ T ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣
S

♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ X s❛♦ ❝❤♦

T (X \ S) = 0.

❍➺ q✉↔ ✷✳✷✳ ❱î✐ ♠å✐ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ T tr➯♥ X t❛ ❝â
❛✮ T (s✉♣♣ T ) ≥ T (B) ∀B ∈ B(X)
❜✮ T (s✉♣♣ T ) = T (X)✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❛✮ ✣➦t A = B \ s✉♣♣ T ✱ t❛ ❝â A ⊂ X \ s✉♣♣ T ♥➯♥ T (A) = 0✳
❱➻ B = A ∪ (B ∩ s✉♣♣ T ) ♥➯♥ t❤❡♦ ❤➺ q✉↔ ✷✳✶
T (B) = T (B ∩ s✉♣♣ T ) ≤ T (s✉♣♣ T ).

❜✮ ❚❤❡♦ ❛✮ t❛ ❝â T (s✉♣♣ T ) ≥ T (X) ✈➔ ❞♦ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠ ♥➯♥ T (s✉♣♣ T ) ≤
T (X)✳

❱➟② T (s✉♣♣ T ) = T (X)✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✻✳ ▼ët ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ T tr➯♥ X ❣å✐ ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ ①→❝ s✉➜t ♥➳✉

T (s✉♣♣ T ) = T (X) = 1✳

✺


✸ ❉✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝â ❣✐→ rí✐ r↕❝
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✶✳ ❚➟♣ ❝♦♥ D ❝õ❛ X ❣å✐ ❧➔ rí✐ r↕❝ ♥➳✉ ♠å✐ x ∈ D✱ tç♥ t↕✐

❧➙♥ ❝➟♥ ♠ð Ux ❝õ❛ x tr♦♥❣ X s❛♦ ❝❤♦ D ∩ Ux = {x}✳

❇ê ✤➲ ✸✳✶✳ ❈❤♦ D ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣✱ rí✐ r↕❝ ❝õ❛ X ✳ ❑❤✐ ✤â
❛✮ ▼å✐ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ D ✤â♥❣ tr♦♥❣ X ✳
❜✮ ❚➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ D ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ♥â ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❛✮ A ⊂ D t❤➻ A ✤â♥❣ tr♦♥❣ D✳ ❱➻ D ✤â♥❣ tr♦♥❣ X ♥➯♥ A
✤â♥❣ tr♦♥❣ X ✳
❜✮ ◆➳✉ C ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ✈æ ❤↕♥ ❝õ❛ D t❤➻ C ❦❤æ♥❣ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ D ❞♦ ✤â ❝ô♥❣
❦❤æ♥❣ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ X ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✷✳ ❍å sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ {t }✱ i ∈ I ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ tê♥❣ ✈➔ ❝â tê♥❣
i

❜➡♥❣ s ♥➳✉

ti , J ⊂ I, #J < +∞} = s < +∞.

ti = sup{
i∈I

i∈J

❇ê ✤➲ ✸✳✷✳ ◆➳✉

ti < +∞

t❤➻ t➟♣ I0 = {i ∈ I :

ti > 0}

❧➔ ✤➳♠ ✤÷ñ❝✳

i∈I

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t An = {i ∈ I0 :

1
}✳
n

ti >

❚❛ ❝â

∞

I0 =

An
n=1

◆➳✉ I0 ❦❤æ♥❣ ✤➳♠ ✤÷ñ❝ t❤➻ tç♥ t↕✐ n0 s❛♦ ❝❤♦ An0 ✈æ ❤↕♥✳ ❑❤✐ ✤â
ti ≥

ti =
i∈I

i∈I

ti = +∞.
i ∈ An

0

❇ê ✤➲ ✸✳✸✳ ◆➳✉ µ : B(X) |→ [0, +∞) ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ ✤ë ✤♦✱ ❝â ❣✐→ ❧➔ t➟♣ rí✐
r↕❝ D t❤➻ D ❧➔ t➟♣ ✤➳♠ ✤÷ñ❝✳

✻


ự ồ x D õ à({x}) > 0 tỗ t x D à({x}) = 0
t D = D \ {x} t õ ờ à(X \ D ) = 0 t ợ
D t õ ọ t õ t t ồ t ỳ A D
à({x}) à(D) < +

à(A) =
xA



à({x}) < +

ứ õ t ờ D ữủ

xD

T ởt ữủ tr X õ t rớ r D

t tx = T ({x}) ợ ồ x D t ồ T T1 tr B(X)

sup{tx : x A D} A D =
T (A) =

0
A D = ,
T1 (A) =






tx



AD =

xAD



0

A D = .
ỵ T ởt ữủ tr X õ t rớ r D
õ T ữủ tr X
T (A) T (A) ợ ồ A B(X)
ự T tọ (C1) (C3) ợ ồ C K(X)
G =
Ux
(X \ D) t ự C T (C) = T (C D) =
xCD

T (G D) = T (G) õ (C4 ) ự T tọ (C2 ) t
ờ t s ự T ỹ t ồ A B B(X)
õ
T (A B) = sup{tx : x (A B) D}
= max{sup{tx : x A D}, sup{tx : x B D}}
= max{T (A), T (B)}

ố ũ ồ A B(X)
T (A) = sup{tx : x A D}
= sup{T ({x}) : x A D}
T (A)




❍➺ q✉↔ ✸✳✶✳ ❈❤♦ D ❧➔ ♠ët t➟♣ rí✐ r↕❝ tr♦♥❣ X ✱ ♠é✐ x ∈ D ❝❤å♥ ♠ët ❣✐→
trà dx > 0✳ ❱î✐ ♠å✐ A ∈ B(X) ✤➦t

♥➳✉
♥➳✉

sup{dx : x ∈ A ∩ D}
T (A) =
0

A∩D =∅
A ∩ D = ∅.

❑❤✐ ✤â T ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ sup{dx : x ∈ D} < ∞✳ ❱î✐ ❞✉♥❣
❧÷ñ♥❣ ♥➔② t❛ ❝â T = T∞✳

✣à♥❤ ❧þ ✸✳✷✳ ❈❤♦ T ❧➔ ♠ët ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝â ❣✐→ ❧➔ t➟♣ rí✐ r↕❝ D✳ ❑❤✐ ✤â T1 ❧➔
❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ D ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ✈➔
tx < ∞✳ ❱î✐ ♠å✐ A ∈ B(X)
x∈D

t❛ ❝â

T (A) ≤ T1 (A).

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆➳✉ T1 ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ t❤➻ T1(D) =

tx < ∞

✈➔ t❤❡♦ ❜ê

x∈D

✤➲ ✸✳✷✱ D ✤➳♠ ✤÷ñ❝✳ ◆❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ T1 t❤ä❛ ♠➣♥ (C1)✱ (C3)✳ ❱î✐ ♠å✐
C ∈ K(X)✱ ❞♦
G=

Ux

(X \ D)

x∈C∩D

❧➔ ♠ð ❝❤ù❛ C ✈➔
T1 (C) = T1 (C ∩ D) = T1 (G ∩ D) = T1 (G)

♥➯♥ T t❤ä❛ ♠➣♥ (C4)✳
❱î✐ ♠å✐ A✱ B ∈ B(X) t❛ ❝â
T1 (A ∪ B) =

tx
x ∈ (A ∪ B) ∩ D

=

tx −

tx +

x∈A∩D
x∈B∩D
= T1 (A) + T1 (B) − T1 (A ∩ B).

tx
x∈A∩B∩D

❱➟② T1 t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✷✳✶✮ ✈➔ ❞♦ ✤â ❧➔ ♠ët ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳
❱î✐ ♠å✐ a✱ b ∈ D✱ a = b t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ✷✳✸ ❜✮
T ({a, b}) ≤ T ({a}) + T ({b})

✽


tø ✤â t✐➳♣ tö❝ sû ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ✷✳✸ ❜✮ ✈➔ q✉✐ ♥↕♣ t❤❡♦ sè ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ C t❛ ❝â
T (C) ≤

T ({x}) = T1 (C)
x∈C

✈î✐ ♠å✐ C ⊂ D,
T (A) =
=
=
≤
=
=

#C < ∞✳

❇➙② ❣✐í ✈î✐ ♠å✐ A ∈ B(X) t❛ ❝â

T (A ∩ D)
sup{T (C) : C ⊂ A ∩ D, C ❝♦♠♣❛❝t} (❞♦ C4 )
sup{T (C) : C ⊂ A ∩ D, #C < ∞} ✭❞♦ ❜ê ✤➲
sup{T1 (C) : C ⊂ A ∩ D, #C < ∞}
T1 (A ∩ D)
T1 (A).

✸✳✶ ❜✮

❍➺ q✉↔ ✸✳✷✳ ◆➳✉ T ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝â ❣✐→ D ❧➔ t➟♣ rí✐ r↕❝ ✈➔
∞

T ({x}) <
x∈D

t❤➻ T∞ ✈➔ T1 ❧➔ ❝→❝ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ ✈➔
T∞ (A) ≤ T (A) ≤ T1 (A)

✈î✐ ♠å✐ A ∈ B(X)✳
❍➺ q✉↔ ✸✳✸✳ ❈❤♦ D ❧➔ t➟♣ rí✐ r↕❝ ✈➔ ✤â♥❣ tr♦♥❣ X ✱ ✈î✐ ♠é✐ x ∈ D✱ ❝❤å♥
dx > 0✳ ❱î✐ ♠å✐ A ∈ B(X) ✤➦t
T (A) =






dx

x∈A∩D



0

♥➳✉

A∩D =∅

♥➳✉

A ∩ D = ∅.

❑❤✐ ✤â T ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝â ❣✐→ D ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ D ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ✈➔

∞✳

❱î✐ ❞✉♥❣ ❧÷ñ♥❣ ♥➔② t❛ ❝â T = T1✳

✾

dx <
x∈D


❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

[1] ●✳❈❤♦q✉❡t✱ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❝❛♣❛❝✐t✐❡s✱ ❆♥♥✳■♥st✳❋♦✉r✐❡r ✺✭✶✾✺✸✲✶✾✺✹✮✱ ✶✸✶✲✷✾✺✳
[2] ❙✳●r❛❢✱ ❆ ❘❛❞♦♥✲◆✐❦♦❞②♠ t❤❡♦r❡♠ ❢♦r ❝❛♣❛❝✐t✐❡s✱ ❏✳❘❡✐♥❡ ✉♥❞ ❆♥❣❡✲

✇❛♥❞t❡ ▼❛t❤❡♠❛t✐❦ ✸✷✵✭✶✾✽✵✮✱ ✶✾✷✲✷✶✹✳
[3] P✳❏✳❍✉❜❡r✱ ❚❤❡ ✉s❡ ♦❢ ❈❤♦q✉❡t ❝❛♣❛❝✐t✐❡s ✐♥ st❛t✐st✐❝s✱ ❇✉❧❧✳■♥t❡r♥❛t✳❙t❛t✐st✳
✹✺✭✶✾✼✸✮✱ ✶✽✶✲✶✾✶✳
[4] P✳❏✳❍✉❜❡r✱ ❱✳❙tr❛ss❡♥✱ ▼✐♥✐♠❛① t❡st ❛♥❞ ◆❡②♠❛♥✲P❡❛rs♦♥ ❧❡♠♠❛ ❢♦r ❝❛✲
♣❛❝✐t✐✱ ❆♥♥✳❙t❛t✐st✳ ✶✭✶✾✼✸✮✱ ✷✺✶✲✷✻✸✳
[5] ◆✳❚✳❍✉♥❣✱ ◆✳❚✳◆❤✉✱ ❚♦♥❣❤✉✐ ❲❛♥❣✱ ❖♥ ❝❛♣❛❝✐t✐❡s ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧s ✐♥ ✐♥t❡r✲
✈❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✱ ■♥t❡r✳❏✳❯♥❝❡rt❛✐♥t②✱ ❋✉③③✐♥❡ss ❛♥❞ ❑♥♦✇❧❡❣❡❞✲❇❛s❡❞ ❙②st❡♠
✺✭✶✾✾✼✮✱ ✸✺✾✲✸✼✼✳
[6] ◆✳❚✳❍✉♥❣✱ ❇✳❇♦✉❝❤♦♥✲▼❡✉♥✐❡r✱ ❘❛♥❞♦♠ s❡ts ❛♥❞ ❧❛r❣❡ ❞❡✈✐❛t✐♦♥s ♣r✐♥✲
❝✐♣❧❡ ❛s ❛ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♠❡❛s✉r❡s✱ ❙♦❢t ❈♦♠♣✉t✐♥❣ ✽✭✷✵✵✸✮✱ ✻✶✲✼✵✳
[7] ❏✳❇✳❑♦❞❛♥❡✱ ▲✳❲❛ss❡r♠❛♥✱ ❙②♠♠❡t✐❝ ❝♦❤❡r❡♥t✱ ❈❤♦q✉❡t ❝❛♣❛❝✐t✐❡s✱ ❆♥♥✳❙t❛t✐st✳✷✹✭✶✾✾✻✮✱
✶✷✺✵✲✶✷✻✹✳
[8] ●✳▼❛t❤❡r♦♥✱ ❘❛♥❞♦♠ s❡ts ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛❧ ❣❡♦♠❡tr②✱ ❏✳❲✐❧❡②✱ ✶✾✼✺✳
[9] ◆✳◆❤✉②✱ ▲✳❳✳❙♦♥✱ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ❝❛♣❛❝✐t✐❡s ✐♥ IRd ❛♥❞ t❤❡ ❈❤♦q✉❡t ✐♥t❡❣r❛❧
❢♦r ❝❛♣❛❝✐t✐❡s✱ ❆❝t❛✳▼❛t❤✳❱✐❡t♥❛♠✳✷✾✭✷✵✵✹✮✱ ✹✶✲✺✻✳

[10] ◆✳◆❤✉②✱ ▲✳❳✳❙♦♥✱ ❚❤❡ ✇❡❛❦ t♦♣♦❧♦❣② ♦♥ t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❝❛♣❛❝✐✲
t✐❡s ✐♥ IRd✱ ❱✐❡t♥❛♠ ❏✳▼❛t❤✳✸✸✭✷✵✵✺✮✱ ✷✹✶✲✷✺✶✳
[11] ❚✳◆♦r❜❡r❣✱ ❘❛♥❞♦♠ ❝❛♣❛❝✐t✐❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✱ Pr♦❜✳❚❤❡♦r② ❘❡✲
❧❛t✳❋✐❡❧❞s ✼✸✭✶✾✽✻✮✱ ✷✽✶✲✷✾✼✳

✶✵