Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Tính độc lập, độc lập đôi một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Tính m-phụ thuộc, m-phụ thuộc đôi một, m-phụ thuộc đôi một
theo khối và m-phụ thuộc theo khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Một số khái niệm hội tụ của các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5. Một số khái niệm về luật số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6. Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chương 2. Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên
m-phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1. Luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy các biến ngẫu nhiên
m-phụ thuộc theo khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc
đôi một theo khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1


MỞ ĐẦU
Luật số lớn đóng một vai trò rất quan trọng trong Lý thuyết Xác suất. Luật
số lớn đầu tiên của J.Bernoulli được công bố năm 1713. Về sau kết quả này
được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov,... mở rộng. Tuy nhiên, phải đến
năm 1909 luật mạnh số lớn mới được E.Borel phát hiện. Kết quả này được
Kolmogorov hoàn thiện năm 1926.
Năm 1987, Moricz đã đưa ra khái niệm m-phụ thuộc của dãy các biến ngẫu
nhiên. Trong thời gian gần đây, có nhiều bài báo nghiên cứu về Luật mạnh số

lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc.
Trên cơ sở đọc và tìm hiểu các tài liệu tham khảo, chúng tôi nghiên cứu đề
tài "Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc". Mục
đích chính của đề tài là thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên
m-phụ thuộc đôi một theo khối bằng cách sử dụng phương pháp tương tự như
trong một số tài liệu tham khảo [4], [5], [6].
Khóa luận gồm 2 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi đưa ra các
khái niệm về tính độc lập, độc lập đôi một, khái niệm về m-phụ thuộc, m-phụ
thuộc đôi một, m-phụ thuộc đôi một theo khối và m-phụ thuộc theo khối, khái
niệm về bị chặn ngẫu nhiên, khái niệm về Luật số lớn. Đồng thời chúng tôi đưa
ra một số bất đẳng thức và bổ đề thường sử dụng để chứng minh Luật mạnh
số lớn.
Chương 2. Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ
thuộc. Đây là nội dung chính của khóa luận, bao gồm hai tiết. Tiết 2.1 chúng
tôi trình bày chi tiết lại Luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy các biến ngẫu
nhiên m-phụ thuộc theo khối trong [5]. Tiết 2.2 chúng tôi thiết lập Luật mạnh
số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối. Kết quả
trong tiết này tổng quát Định lý 1 trong [6].

2


Khóa luận được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình của Thạc sĩ Lê Văn Thành. Nhân dịp này cho phép tác giả bày tỏ lời cảm
ơn sâu sắc nhất tới ThS. Lê Văn Thành, người thầy đã tận tình hướng dẫn
tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận. Tác giả xin gửi
lời cảm ơn tới thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng, thầy giáo PGS.TS. Trần
Xuân Sinh. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán,
các thầy cô giáo trong Khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy, cuối cùng tác giả

cảm ơn tất cả các bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp 45B Toán đã động viên
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và
hoàn thành khóa luận.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên khóa luận
không thể tránh khỏi những thiếu sót về cả nội dung lẫn hình thức. Vì vậy,
tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và
những góp ý của bạn đọc.
Vinh, tháng 05 năm 2008
Tác giả

3


CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong toàn bộ khóa luận ta luôn giả sử (Ω, F, P ) là không gian xác suất cố
định.
1.1. Tính độc lập, độc lập đôi một
1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là biến ngẫu nhiên, khi đó
F(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(R)}
được gọi là σ-đại số sinh bởi X.
Họ hữu hạn {Fi , 1 ≤ i ≤ n} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập nếu
n

n

Ai

P

=

i=1

P (Ai ),
i=1

đối với mọi Ai ∈ Fi (1 ≤ i ≤ n) bất kỳ.
Họ vô hạn {Fi , i ∈ I} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập nếu mọi
họ con hữu hạn của nó độc lập.
Họ các biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các σ-đại số
sinh bởi chúng {F(Xi ), i ∈ I} độc lập.
Họ các biến cố {Ai , i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên
{IAi , i ∈ I} độc lập.
1.1.2. Định nghĩa. Tập các biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} được gọi là độc
lập đôi một nếu Xi và Xj độc lập, với mọi i = j,

i, j ∈ I.

1.2. Tính m-phụ thuộc, m-phụ thuộc đôi một, m-phụ thuộc đôi một
theo khối và m-phụ thuộc theo khối
Giả sử m là số nguyên không âm.

4


1.2.1. Định nghĩa. Một họ các biến ngẫu nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n} được gọi
là m-phụ thuộc nếu n ≤ m + 1, hoặc n > m + 1 và họ {Xi , 1 ≤ i ≤ k} độc lập
với họ {Xi , l ≤ i ≤ n} khi l − k > m.
Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc nếu họ

{Xi , 1 ≤ i ≤ k} độc lập với họ {Xn , n ≥ l} khi l − k > m.
1.2.2. Định nghĩa. Một họ các biến ngẫu nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n} được gọi
là m-phụ thuộc đôi một nếu n ≤ m + 1, hoặc n > m + 1 và hai biến ngẫu nhiên
Xi và Xj độc lập với nhau khi j − i > m.
Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc đôi một
nếu Xi và Xj độc lập với nhau khi j − i > m.
1.2.3. Định nghĩa. Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là
m-phụ thuộc đôi một theo khối nếu với mỗi số nguyên dương p họ
{Xi , 2p−1 < i ≤ 2p } là m-phụ thuộc đôi một.
1.2.4. Định nghĩa. Giả sử {βk , k ≥ 1} là dãy số nguyên dương tăng ngặt
với β1 = 1, và đặt Bk = [βk , βk+1 ).
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc theo khối
đối với các khối {Bk , k ≥ 1} nếu với mỗi k ≥ 1, họ các biến ngẫu nhiên
{Xi , i ∈ Bk } là m-phụ thuộc.
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc đôi một theo
khối đối với các khối {Bk , k ≥ 1} nếu với mỗi k ≥ 1, họ các biến ngẫu nhiên
{Xi , i ∈ Bk } là m-phụ thuộc đôi một.
Đối với {βk , k ≥ 1} và {Bk , k ≥ 1} như đã nói ở trên chúng ta đưa vào các
ký hiệu sau đây:
B (l) = {k ∈ N : 2l ≤ k < 2l+1 }, l ≥ 0,
(l)

Bk = Bk ∩ B (l) , k ≥ 1, l ≥ 0,
(l)

Il = {k ≥ 1 : Bk = ∅}, l ≥ 0,
(l)

(l)

rk = min{r : r ∈ Bk }, k ∈ Il , l ≥ 0,

5


cl = cardIl , l ≥ 0,
(l)

dl = max(cardBk ), l ≥ 0,
k∈Il
∞

cl IB (l) (n), n ≥ 1,

ϕ(n) =
l=0
∞

dl IB (l) (n), n ≥ 1,

φ(n) =
l=0

ψ(n) = max ϕ(k), n ≥ 1,
với IB (l) là hàm đặc trưng của

k≤n
tập B (l) ,

l ≥ 0.

Với các ký hiệu trên ta đưa ra nhận xét dưới đây.
1.2.5. Nhận xét
(l)

Bk = B (l) , l ≥ 0.

i)
k∈Il

(l)

ii) Tồn tại k ∈ Il để rk = 2l , l ≥ 0.
iii) {ψ(n), n ≥ 1} là dãy số nguyên dương, không giảm.
M
(l)

Bk = {k ∈ N : 1 ≤ k < 2M +1 }.

iv)
l=0 k∈Il

(l)

v) 1 ≤ cardBk ≤ cardB (l) = 2l , k ∈ Il , l ≥ 0.
1.2.6. Nhận xét
i) Nếu βk = 2k−1 , k ≥ 1 thì ψ(n) = 1.
ii) Nếu βk = [q k−1 ] với k đủ lớn và q > 1 thì ψ(n) = O(1).
1.3. Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên
1.3.1. Định nghĩa. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là bị

chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số D < ∞ sao cho
P (|Xn | > t) ≤ DP (|DX| > t), t ≥ 0, n ≥ 1.
1.3.2. Nhận xét. Nếu dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} cùng phân
phối thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X1 .

6


1.4. Một số khái niệm hội tụ của các biến ngẫu nhiên
Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không
gian xác suất (Ω, F, P ).
1.4.1. Sự hội tụ theo xác suất
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là hội tụ theo xác suất đến
biến ngẫu nhiên X (khi n → ∞) nếu với mọi ε > 0 ta đều có
lim P (|Xn − X| > ε) = 0.

n→∞
P

Ký hiệu Xn −→ X.
1.4.2. Sự hội tụ hầu chắc chắn
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến
biến ngẫu nhiên X (khi n → ∞) nếu
P ω : lim Xn (ω) = X(ω) = 1.
n→∞

h.c.c

Ký hiệu Xn −→ X, hoặc lim Xn = X h.c.c.
n→∞

1.4.3. Định lý. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} hội tụ hầu chắc chắn
đến biến ngẫu nhiên X khi và chỉ khi với ε > 0 bất kỳ,
lim P

n→∞

sup |Xk − X| > ε

= 0.

k≥n
h.c.c

h.c.c

1.4.4. Định lý. Cho Xn −→ X, Yn −→ Y . Khi đó
h.c.c

Xn + Yn −→ X + Y.
Chứng minh. Đặt

A1 = ω : lim Xn (ω) = X(ω) ,
n→∞

A2 = ω : lim Yn (ω) = Y (ω) .
n→∞

7

Khi đó ta có
P (A1 ) = P (A2 ) = 1,
Ta suy ra
P (A1 ∩ A2 ) = 1.
Nếu ω ∈ A1 ∩ A2 thì
lim Xn (ω) = X(ω)

n→∞

lim Yn (ω) = Y (ω)

n→∞

Do đó
lim (Xn (ω) + Yn (ω)) = X(ω) + Y (ω).

n→∞

Chứng tỏ ta có
ω ∈ ω : lim (Xn + Yn )(ω) = (X + Y )(ω) ,
n→∞

Nên ta có
A1 ∩ A2 ⊂ ω : lim (Xn + Yn )(ω) = (X + Y )(ω) .
n→∞

Suy ra
P ω : lim (Xn + Yn )(ω) = (X + Y )(ω) = 1.
n→∞

Vậy ta có
h.c.c

Xn + Yn −→ X + Y.
1.5. Một số khái niệm về luật số lớn
Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không
gian xác suất (Ω, F, P ).
Đặt Sn = X1 + X2 + · · · + Xn .

8


1.5.1. Luật yếu số lớn
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là tuân theo luật yếu số lớn
nếu
Sn − ESn P
−→ 0.
n
1.5.2. Luật yếu số lớn tổng quát
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là tuân theo luật yếu số lớn
tổng quát nếu tồn tại hai dãy số (an ), (bn ), 0 < bn ↑ ∞ sao cho
Sn − an P
−→ 0.
bn
1.5.3. Luật mạnh số lớn
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là tuân theo luật mạnh số
lớn nếu
Sn − ESn h.c.c
−→ 0.

n
1.5.4. Luật mạnh số lớn tổng quát
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là tuân theo luật mạnh số
lớn tổng quát nếu tồn tại hai dãy số (an ), (bn ), 0 < bn ↑ ∞ sao cho
Sn − an h.c.c
−→ 0.
bn
1.6. Một số bất đẳng thức
Bổ đề sau đây giúp ta chứng minh các định lý ở chương 2.
1.6.1. Bổ đề Toeplitz. Cho ani , 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1, và xi , i ≥ 1 là các số
n

|ani | ≤ C < ∞. Khi

thực sao cho với mọi i cố định, lim ani = 0 và với mọi n,
n→∞

i=1
n

n

đó, nếu lim xn = 0 thì lim
n→∞
n

thì lim

n→∞

n→∞

ani xi = 0, và nếu lim

n→∞

i=1

ani xi = x.
i=1

9

ani = 1, lim xn = x
i=1

n→∞


Chứng minh. Nếu lim xn = 0 thì với mọi ε > 0 tồn tại nε sao cho
n→∞

|xn | < C −1 ε, với mọi n ≥ nε .
Do đó, với n ≥ nε ta có
nε −1

n

ani xi ≤

n

|ani xi |

|ani xi | +
i=1
nε −1

i=1

≤

i=nε

|ani xi | + ε.
i=1

Theo giả thiết ta suy ra lim ani = 0, với mọi i = 1, 2, . . . , nε − 1.
n→∞

Do vậy ta có

n

lim

n→∞

ani xi = 0.
i=1

n

Nếu lim

n→∞

ani = 1, lim xn = x thì từ kết quả trên và đẳng thức
n→∞

i=1
n

n

ani xi = x
i=1

n

ani (xi − x),

ani +
i=1

i=1

n

ta cũng thu được lim

n→∞

ani xi = x.
i=1

Định lý sau đây là một kết quả nổi tiếng có tên là Bổ đề Kronecker, được sử
dụng rất nhiều khi chứng minh các định lý dạng Luật mạnh số lớn.
∞

1.6.2. Bổ đề Kronecker. Giả sử 0 < bn ↑ ∞, và chuỗi số
Khi đó
lim

n→∞

1
bn

n

xk
k=1

10

= 0.

xn
hội tụ.

n=1 bn


Chứng minh. Đặt
xn
, n ≥ 1,
bn
an = bn − bn−1 , n ≥ 1, b0 = 0,

yn =

n

yi , n ≥ 1.

Sn+1 =
i=1

lim Sn+1 = S.

n→∞

Khi đó
lim

n→∞

1
bn

n

xk
k=1

1
bn

= lim

n→∞

n

bk (Sk+1 − Sk )
k=1

1
Sn+1 −
bn

= lim

n→∞

1
n→∞ bn

n

ak Sk
k=1

n

= S − lim

ak Sk
k=1

=S−S

(Do Bổ đề Toeplitz)

= 0.
1.6.3. Bất đẳng thức Markov. Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ và
0 < p < ∞. Khi đó với mọi ε > 0 bất kỳ ta đều có
E|X|p
P (|X| > ε) ≤
.
εp
Chứng minh. Với ε > 0 bất kỳ ta có
0 ≤ εp I(|X| > ε) ≤ |X|p I(|X| > ε) ≤ |X|p .
Từ đó ta có
E (εp I(|X| > ε)) ≤ E|X|p ,
Do đó
εp P (|X| > ε) ≤ E|X|p .
Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.
11

1.6.4. Định lý. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên, và p > 0.
Nếu

∞

E|Xn |p < ∞,

(1.2)

n=1

thì
h.c.c

Xn −→ 0.

(1.3)

Chứng minh. Với ε > 0 bất kỳ và mọi k ≥ 1 ta có
∞

sup |Xn | > ε

P

P (|Xn | > ε)

≤

n≥k

n=k

1
≤ p
ε

∞

E|Xn |p

(1.4)

n=k

(Do bất đẳng thức Markov).
Từ (1.2) và (1.4) ta có lim P
k→∞

sup |Xn | > ε

= 0.

n≥k

h.c.c

Vậy Xn −→ 0.
1.6.5. Định lý. Giả sử biến ngẫu nhiên X không âm, α > 0 và EX α < ∞.

Khi đó

∞

EX α = α

xα−1 P (X > x) dx.
0

Chứng minh. Ta có
EX α =

X α dP
Ω


=

∞


Ω
∞


αxα−1 I(X > x) dx dP

0




xα−1

=α
0
∞

I(X > x) dP  dx
Ω

xα−1 P (X > x) dx.

=α
0

12

(Định lý Fubini)


1.6.6. Định lý. Giả sử {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là họ các biến ngẫu nhiên, 0 < p ≤ 1,
và E|Xi |p < ∞, i = 1, 2, . . . , n. Khi đó
n

p

Xi

E

n

E|Xi |p .

≤

i=1

(1.5)

i=1

Chứng minh. Do 0 < p ≤ 1 nên ta có
n

p

Xi

n

|Xi |p .

≤

i=1

i=1

Lấy kỳ vọng hai vế ta suy ra (1.5).
1.6.7. Định lý. Cho biến ngẫu nhiên X và r > 0. Khi đó
∞

∞

P |X| ≥ n

1
r

1

r

≤ E|X| ≤

n=1

P |X| ≥ n r .

(1.6)

n=0

Chứng minh. Đặt

∞

jI(j≤|X|r

Y =
j=1
∞

Z=

(j + 1)I(j≤|X|r j=0

Khi đó Y ≤ |X|r ≤ Z, do đó EY ≤ E|X|r ≤ EZ.

(1.7)

Mặt khác
∞

∞

P |X| ≥ n

1
r

∞

P (j ≤ |X|r < j + 1)

=

n=1

n=1 j=n
j
∞

P (j ≤ |X|r < j + 1)

=
j=1 n=1
∞

jP (j ≤ |X|r < j + 1)

=
j=1

= EY.

(1.8)

13


∞

∞

P |X| ≥ n

1
r

∞

P (j ≤ |X|r < j + 1)

=
n=0 j=n
j
∞

n=0

P (j ≤ |X|r < j + 1)

=
j=0 n=0
∞

(j + 1)P (j ≤ |X|r < j + 1)

=
j=0

= EZ.

(1.9)

Từ (1.7), (1.8) và (1.9) ta thu được (1.6).

Khi chứng minh các định lý giới hạn nói chung và Luật mạnh số lớn nói
riêng, người ta thường sử dụng bổ đề sau.
1.6.8. Bổ đề Borel-Cantelli. Giả sử {An , n ≥ 1} là dãy các biến cố bất
kỳ.
∞

P (An ) < ∞ thì P (lim sup An ) = 0.

a) Nếu
n=1
∞

P (An ) = ∞ và {An , n ≥ 1} độc lập thì P (lim sup An ) = 1.

b) Nếu
n=1

∞

Am , n ≥ 1

Chứng minh. a) Vì

là dãy giảm nên với mọi n ≥ 1, ta có

m=n
∞

0 ≤ P (lim sup An ) = lim P

∞

Am

n→∞

m=n

≤ lim

n→∞

P (Am ) = 0,
m=n

Từ đó ta thu được P (lim sup An ) = 0.
b) Nếu {An , n ≥ 1} độc lập thì {An , n ≥ 1} cũng độc lập. Do đó
∞

P

∞

Am

=

m=n

P (Am ).

m=n

Mà ta có
P (Am ) = 1 − P (Am ) ≤ e−P (Am )
(Do 1 − x ≤ e−x , 0 ≤ x ≤ 1).
Nên ta có
∞

0≤P

∞

Am
m=n

∞

e−P (Am ) = e

P (Am ) ≤

=
m=n

∞

−

m=n

14

P (Am )
m=n

= e−∞ = 0.


Từ đó ta có

∞

∞

P

Am

=1−P

Am

m=n

= 1.

m=n

Như vậy ta có
P (lim sup An ) = 1.

1.6.9. Bất đẳng thức Doob. Nếu {Xi , Fi , 1 ≤ i ≤ N } là hiệu martingale,
và E|Xi |p < ∞, 1 < p < ∞ thì
p

k

E

k≤N

≤

Xi

max

p
p−1

i=1

N

p

p

Xi .

E

i=1

1.6.10. Bất đẳng thức Marcinkiewicz-Zygmund. Nếu {Xn , n ≥ 1} là
dãy biến ngẫu nhiên độc lập và EXn = 0, n ≥ 1, thì với p ≥ 1 luôn tồn tại
hằng số dương Ap , Bp phụ thuộc vào p thỏa mãn


1
2

n

Xj2 

Ap 



n

≤

j=1

Xj
j=1

p

p

n

1

2

Xj2 

≤ Bp 
j=1

.
p

1.6.11. Bất đẳng thức Redemacher-Menshov. Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy
các biến ngẫu nhiên trực giao. Khi đó với n ≥ 1 ta có
k

E

max

1≤k≤n

n

Xi

2

2

EXi2 .

≤ 4 log (n + 1)

i=1

i=1

15


CHƯƠNG 2
LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
m-PHỤ THUỘC
Trong chương này, ký hiệu C chỉ một hằng số. Hằng số đó không nhất thiết
giống nhau giữa các dòng. Ký hiệu log chỉ logarit cơ số 2.
2.1. Luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy các biến ngẫu nhiên
m-phụ thuộc theo khối
Trong tiết này chúng tôi trình bày chi tiết hơn hai định lý trong [5]. Định lý
2.1.6 là Định lý 3.1 trong [5], Định lý 2.1.7 là Định lý 3.3 trong [5].
2.1.1. Bổ đề. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với
EXn = 0, n ≥ 1 và giả sử p > 1 thì
p

j

E

max

1≤j≤n

Xi2

≤ CE

Xi

p
2

n

i=1

,

(2.1)

i=1

ở đây C là hằng số không phụ thuộc vào n.
Chứng minh. Đặt
Fn = σ(X1 , X2 , . . . , Xn ), n ≥ 1
Khi đó ta có {Xn , Fn , n ≥ 1} là hiệu martingale.
Áp dụng bất đẳng thức Doob và bất đẳng thức Marcinkiewicz-Zygmund ta
thu được (2.1).

2.1.2. Bổ đề. Giả sử {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là họ các biến ngẫu nhiên m-phụ
thuộc với EXi = 0, 1 ≤ i ≤ n, và giả sử p ≥ 1. Khi đó tồn tại hằng số C chỉ
phụ thuộc vào m và p sao cho
p

j

E

max

1≤j≤n

Xi
i=1

n

E|Xi |p , 1 ≤ p ≤ 2

≤C
i=1

16

(2.2)


p

j

E

max

1≤j≤n

Xi

n

≤ Cn

p
−1
2

i=1

E|Xi |p , p ≥ 2.

(2.3)

i=1

Chứng minh. Nếu n ≤ m + 1, Bổ đề 2.1.2 hiển nhiên đúng. Ta chứng minh
Bổ đề 2.1.2 trong trường hợp n > m + 1.
Trong trường hợp p = 1, với mọi n ≥ 1 ta có
j

j

E

≤E

Xi

max

1≤j≤n

|Xi |

max

1≤j≤n

i=1

i=1

n

|Xi |

=E
i=1
n

E|Xi |,

=
i=1

(2.2) được chứng minh.
Trong trường hợp p > 1, với n > m + 1 ta có
p

j

E

max

1≤j≤n

Xi



m+1

≤E

i=1

max
j=1

p

k
0≤k(m+1)≤n−j

Xi(m+1)+j 
i=0

m+1

≤ (m + 1)p−1

E

≤C

max
0≤k(m+1)≤n−j

j=1
m+1

Xi(m+1)+j
i=0

p



2

2

Xi(m+1)+j

E
j=1

p

k

(2.4)

0≤i(m+1)≤n−j

(Do Bổ đề 2.1.1).
Nếu 1 < p ≤ 2 thì

m+1

2

m+1

2
 ≤
Xi(m+1)+j

E
j=1

p

j=1

0≤i(m+1)≤n−j





E

|Xi(m+1)+j |p 
0≤i(m+1)≤n−j

(Do Định lý 1.6.6)
n

E|Xi |p .

=
i=1

17

(2.5)

Từ (2.4) và (2.5) ta thu được (2.2).
Nếu p ≥ 2 thì
p



m+1

2

p

2
 ≤ n 2 −1
Xi(m+1)+j

E
j=1





E

|Xi(m+1)+j |p 

m+1
j=1

0≤i(m+1)≤n−j

0≤i(m+1)≤n−j

n−j
≤ n, j = 1, 2, . . . , m + 1
m+1
n

=n

p
−1
2

E|Xi |p .

(2.6)

i=1

Từ (2.4) và (2.6) ta thu được (2.3).
2.1.3. Bổ đề. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên , giả sử
{bn , n ≥ 1} là một dãy số dương không giảm, và giả sử {kn , n ≥ 0} là dãy số
dương thỏa mãn
bk
bkn+1
> 1 và sup n+1 < ∞
n≥0 bkn

n≥0 bkn
inf

Thì
1
lim
n→∞ bn

(2.7)

n

Xi = 0 h.c.c

(2.8)

i=1

khi và chỉ khi

lim 

n→∞

1
bkn+1 − bkn

k

Xi  = 0 h.c.c. (2.9)

max

kn ≤k


i=kn

2.1.4. Nhận xét. Ta thấy rằng nếu (2.9) giữ nguyên với một dãy số nguyên
dương {kn , n ≥ 1} nào đó thỏa mãn (2.7) thì (2.9) được giữ nguyên đối với
mọi dãy số nguyên dương {kn , n ≥ 0} thỏa mãn (2.7). Vì vậy, không mất tính
tổng quát ta giả sử kn = 2n , n ≥ 0 trong trình tự chứng minh luật mạnh số lớn
(2.8).
b2n+1
b 2n
> 1 ta có
< 1, ∀n ≥ 0.
n≥0 b2n
b2n+1
Do đó luôn tồn tại hằng số C đủ nhỏ để
2.1.5. Nhận xét. Từ điều kiện inf

b2n
≤ 1 − C, ∀n ≥ 0,
b2n+1
18


hay

b2n+1 − b2n ≥ C b2n+1 , ∀n ≥ 0.
2.1.6. Định lý. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên với
EXn = 0, n ≥ 1, giả sử p ≥ 1 và {bn , n ≥ 1} là dãy số dương không giảm thỏa
mãn
b2n+1
>1
n≥0 b2n
inf

b2n+1
< ∞.
n≥0 b2n

sup

và

(2.10)

Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối đối với các
khối {Bk , k ≥ 1} và nếu
∞
n=1

E|Xn |2p
b2p
n

(ϕ(n))2p−1 (φ(n))p−1 < ∞,

thì
1
lim
n→∞ bn

(2.11)

n

Xi = 0 h.c.c.

(2.12)

i=1

Chứng minh. Đặt
j
(l)
Tk

(l)

j∈Bk

Tl =

k ∈ Il , l ≥ 0,

Xi ,

= max

(l)

i=rk

1
b2l+1

(l)

Tk ,

l ≥ 0.

k∈Il

Với l ≥ 0, ta có
E(Tl )2p ≤

1

(l)
2p−1
E(Tk )2p
2p cl
b2l+1
k∈Il




≤

(l) p−1
cardBk

1


C 2p c2p−1

l
b2l+1
k∈Il


E|Xi |2p 
(l)

i∈Bk

(Do Bổ đề 2.1.2)
≤C
=C

1

2p−1
2p cl

b2l+1

dp−1
l

E|Xi |2p
k∈Il i∈B (l)
k

1

2p−1 p−1
dl
2p cl
b2l+1
i∈
k∈Il

19

E|Xi |2p
(l)

Bk


2p−1 p−1
dl
E|Xi |2p
2p cl

b2l+1
i=2l
2l+1 −1
E|Xi |2p
2p−1
(φ(i))p−1 ,
C
2p (ϕ(i))
bi
i=2l

=C

≤
Do đó

2l+1 −1

1

∞

∞

ETl2p

≤C

E|Xi |2p
b2p

i

i=1

l=0

Từ đó và (2.11) ta có

(ϕ(i))2p−1 (φ(i))p−1 ,

∞

ETl2p < ∞.
l=0

Do đó
lim Tl = 0 h.c.c (Do Định lý 1.6.4).

l→∞

Ta có
1
b2l+1 − b2l

k

Xi ≤

max

2l ≤k<2l+1

i=2l

k

C
b2l+1

max

2l ≤k<2l+1

Xi
i=2l

(Do Nhận xét 2.1.5)
≤ CTl
(Do Nhận xét 1.2.5),
Nên
lim

l→∞

1
b2l+1 − b2l

k

max

2l ≤k<2l+1

Xi

= 0 h.c.c.

i=2l

Theo Bổ đề 2.1.3 ta thu được (2.12).
2.1.7. Định lý. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên với
EXn = 0, n ≥ 1, giả sử p ≥ 1 và giả sử {bn , n ≥ 1} là dãy số dương thỏa mãn
(2.10). Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối đối
với các khối {Bk , k ≥ 1} và nếu
∞
n=1

E|Xn |2p
b2p
n

(φ(n))p−1 < ∞,

20

(2.13)


thì

n

Xi
i=1

lim

n→∞

bn (ψ(n))

2p−1
2p

= 0 h.c.c.

(2.14)

Chứng minh. Đặt
j
(l)
Tk

τl =

k ∈ Il , l ≥ 0,

Xi ,

= max

(l)

j∈Bk

(l)

i=rk

1

(l)

(b2l+1 − b2l ) (ψ(2l ))

2p−1
2p

Tk , l ≥ 0.
k∈Il

Với l ≥ 0 ta có
2p


Eτl2p ≤

C

E

l ))2p−1
b2p
(ψ(2
2l+1

(l)
Tk 


k∈Il

(Do Nhận xét 2.1.5)
≤
≤

C

(l)
E(Tk )2p
c2p−1
l
2p
b2l+1 (ψ(2l ))2p−1
k∈Il

C

(l)
E(Tk )2p
2p

b2l+1 k∈Il




≤

C
b2p
2l+1


(l)
 cardBk

p−1

k∈Il


E|Xi |2p 
(l)

i∈Bk

(Do Bổ đề 2.1.2)
≤

C

p−1
E|Xi |2p
2p dl
b2l+1
k∈Il i∈B (l)
k

=

C

p−1
2p dl
b2l+1
i∈

E|Xi |2p
(l)

Bk

k∈Il

=

≤

C

2l+1 −1

p−1
E|Xi |2p
2p dl
b2l+1
i=2l
2l+1 −1
E|Xi |2p
p−1
C
.
2p (φ(i))
bi
i=2l

21


Do đó

∞

∞

Eτl2p

E|Xi |2p

≤C
i=1

l=0
∞

Từ đó và (2.13) ta có
l=0

(φ(i))p−1 ,

b2p
i

Eτl2p < ∞.

Do đó lim τl = 0 h.c.c (Do Định lý 1.6.4).

(2.15)

l→∞

Với n ≥ 0, giả sử M ≥ 0 thỏa mãn 2M ≤ n < 2M +1 , ta có
j

n

Xi
0≤

maxM +1

i=1

bn (ψ(n))

1≤j<2

≤

2p−1
2p

Xi
i=1

b2M (ψ(2M ))
M

(l)

l=0 k∈Il

≤

2p−1
2p

Tk

2p−1

b2M (ψ(2M )) 2p
(Do nhận xét 1.2.5)
M

≤
l=0

b2l+1 − b2l
τl .
b 2M

Đặt
aM l =

b2l+1 − b2l
,
b 2M

Khi đó
lim aMl = 0,

M →∞
M

|aMl | =
l=0

=

1

b 2M
1
b 2M

M

(b2l+1 − b2l )
l=0

(b2M +1 − b1 )

≤C

b2n+1
< ∞).
n≥0 b2n

(Vì sup

Kết hợp với (2.15), áp dụng Bổ đề Toeplitz ta có
M

lim

M →∞

l=0

b2l+1 − b2l
τl = 0 h.c.c,

b2M

Kết hợp với (2.16) ta thu được (2.14)
22

(2.16)


2.2. Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc
đôi một theo khối
Định lý 1 trong [6] thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ
thuộc đôi một theo khối. Trong tiết này chúng tôi thiết lập luật mạnh số lớn
cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối đối với các khối
{Bk , k ≥ 1} bằng cách mở rộng Định lý 1 trong [6] cho dãy các biến ngẫu nhiên
m-phụ thuộc đôi một theo khối đối với các khối {Bk , k ≥ 1}. Kết quả chính
trong tiết này là Định lý 2.2.3.
Trước khi đưa ra kết quả chính ta cần sử dụng bổ đề sau.
2.2.1. Bổ đề. Giả sử {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là họ các biến ngẫu nhiên m-phụ
thuộc đôi một thỏa mãn EXi = 0, 1 ≤ i ≤ n, thì
2

k

E

max

1≤k≤n

Xi

n

EXi2 .

2

≤ C(m + 1)(log 2n)

i=1

i=1

Chứng minh. Nếu n ≤ m + 1 Bổ đề 2.2.1 hiển nhiên đúng. Ta chứng minh
Bổ đề 2.2.1 trong trường hợp n > m + 1.
Với n > m + 1, ta có
2

k

E

max

1≤k≤n

Xi
i=1



m+1

≤E

max
j=1

2

k
0≤k(m+1)≤n−j

Xi(m+1)+j 
i=0

m+1

≤ (m + 1)

2

k

E

max
0≤k(m+1)≤n−j

j=1

Xi(m+1)+j
i=0

m+1
2

2
EXi(m+1)+j

≤ C(m + 1) log (n + 1)
j=1 0≤i(m+1)≤n−j

(Do bất đẳng thức Redemacher-Menshov và
n−j
≤ n, j = 1, 2, . . . , m + 1)
m+1
n
2

EXi2 .

≤ C(m + 1)(log 2n)

i=1

23


Ta nhắc lại một số kết quả về chuỗi số, các kết quả này được sử dụng để

chứng minh Định lý 2.2.3.
2.2.2. Một số kết quả về chuỗi số
Cho f là hàm liên tục, dương, giảm trên [a, ∞), a ∈ N. Đặt
y

F (y) =

f (x) dx,
a

và xét chuỗi

∞

f (a + k).
k=0

Khi đó
Sn+1 − f (a) ≤ F (a + n) ≤ Sn , ∀n ≥ 1.
Từ đó ta có các kết quả sau:
∞ log2 j
log2 n
≤ C α−1 , α > 1, n ≥ 2,
i)
α
j
n
j=n
n

1
≤ log n + 1, n ≥ 1,
i=1 i
n 1
1
iii)
≤
C
, 0 < α < 1, n ≥ 1.
α
α−1
i
n
i=1
ii)

2.2.3. Định lý. Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc
đôi một theo khối đối với các khối {Bk , k ≥ 1}. Giả sử {Xn , n ≥ 1} bị chặn
ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X. Nếu
E(|X|r (log+ |X|)2 ) < ∞,
thì
lim

1

(2.17)

(Xj − EXj ) = 0 h.c.c.

(2.18)

n

1

n→∞

(1 ≤ r < 2),

1

n r ψ 2 (n)

j=1

Chứng minh. Đặt
Yn = Xn I(|X

1
n |≤n r )

,

j

(l)

Tk = max

(l)

j∈Bk

(Yi − EYi ) , k ∈ Il , l ≥ 0,
(l)
i=rk

24


1

τl =
2

l+1
r

(l)

l

1

− 2 r ψ 2 (2l ) k∈Il

Tk , l ≥ 0.

Với n ≥ 1 ta có
∞

EYn2 = 2

xP |Xn |I(|X

1
n |≤n r )

xP |Xn |I(|X

1
n |≤n r )

>x

dx

>x

dx

0
1

nr

=2
0
1

nr

≤2

xP (|Xn | > x) dx.
0

Ta có
1

∞
n=1

2

log n
n

2
r

∞

EYn2 ≤ 2

nr

2

log n

xP (|Xn | > x) dx

2

nr

n=1

0
1

∞

≤C

2

log n

jr

n

xP (|DX| > x) dx

2

nr

n=1

j=1

1

(j−1) r
1

∞

∞

=C

jr

2

log n

xP (|DX| > x) dx

2

nr

j=1 n=j

1

(j−1) r
1

jr

∞

≤C

j

r−2
r

log2 j

j=1

xP (|DX| > x) dx
1

(j−1) r
∞
2

log n

(Vì
n=j

n

2
r

=O j

r−2
r

log2 j , j ≥ 2)

1

jr

∞

log2 j

≤C
j=1

xr−1 P (|DX| > x) dx
1

(j−1) r

∞

log2 jP (|DX|r > j)

≤C
j=1

≤ CE(|X|r (log+ |X|)2 ) < ∞.
25