PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phan Tự Vượng

PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số

: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009


LỜI CẢM ƠN
Tôi gởi cảm ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Bích Huy đã tận tình
hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy cô đã nhiệt tình giảng dạy trong
thời gian tôi học tập tại trường Đại học Sư phạm Tp HCM và đã tạo điều kiện
cho tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin cảm ơn bạn bè và người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Tp. HCM, tháng 10 năm 2009
Học viên

Phan Tự Vượng


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1
Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM – KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG ......................... 3
1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón .................................................. 3
1.2 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị ............................................................................ 10
1.3 Nguyên lý đệ quy tổng quát ......................................................................... 14
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG ......................... 19
2.1 Điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng ........................................................... 19
2.2 Điểm bất động của ánh xạ đa trị lõm............................................................ 27
Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ PHỤ THUỘC
THAM SỐ ........................................................................................ 39
3.1 Véctơ riêng của ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự............................. 39
3.2 Nhánh liên tục của tập nghiệm dương của phương trình với ánh xạ đa
trị phụ thuộc tham số..................................................................................... 43
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 47


1

MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài

Lý thuyết Phương trình với ánh xạ đơn trị trong không gian có thứ tự đã

được bắt đầu nghiên cứu từ những năm 1940 trong các công trình mở đầu của
M.Krein và A.Rutman và được phát triển rực rỡ vào khoảng 1950-1980 trong các
công trình của M.A.Krasnoselskii , H .Schaffer, H.Amann, N.E.Dancer …….Các
kết quả trừu tượng của lý thuyến này đã có rất nhiều ứng dụng trong việc nghiên
cứu định tính và định lượng nhiều lớp phương trình và bất phương trình vi phân
xuất phát từ vật lý, hoá học, y-sinh học… Đặc biệt các định lý về điểm bất động của
ánh xạ đơn trị trong không gian có thứ tự được chứng minh và áp dụng rộng rãi
trong lý thuyết phương trình vi phân. Sử dụng bổ đề Zorn , nguyên lý Entropy ,
nguyên lý đệ quy tổng quát, … các nhà toán học đã bỏ được giả thiết liên tục và
compact của các ánh xạ. Do đó, một cách rất tự nhiên ngưới ta tìm cách mở rộng
các kết quả này sang đa trị và tìm ra các ứng dụng của nó trong lý thuyết phương
trình. Một số định nghĩa và định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị được
Nishnianidze, W. V. Petryshyn, P. M. Fitzpatrick….. đưa ra đầu tiên trong các công
trình của họ vào những năm 1970. Trong những năm gần đây các tác giả S.Carl ,
S.Heikkila , Nguyễn Bích Huy….. đã chứng minh một số kết quả mới và ứng dụng
của nó trong phương trình vi phân , bài toán kinh tế và lý thuyết trò chơi…..
Trong luận văn này chúng tôi sử dụng các nguyên lý trên và phương pháp
xấp xỉ liên tiếp dạng mở rộng cũng như phương pháp bậc tôpô để nghiên cứu sự tồn
tại điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng , ánh xạ đa trị lõm và vectơ riêng của ánh
xạ đa trị trong không gian có thứ tự cùng áp dụng của nó trong phương trình với ánh
xạ đa trị phụ thuộc tham số.Các kết quả này gần giống với các kết quả ở trong đơn
trị.


2

2.

Nội dung luận văn
Nội dung của luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1 nhắc lại các khái niệm, kết quả được sử dụng.Trong đó gồm có
các khái niệm về không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón ; Bậc tôpô của ánh xạ
đa trị và Nguyên lí đệ quy tổng quát. Các kết quả này được trích dẫn từ các tài liệu
tham khảo.
Chương 2 gồm các định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị .
Phần 2.1 trình bày điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng và áp dụng vào
phương trình dạng Lu  Nu

1

trong đó L : V  P là ánh xạ đơn trị và

N : V  2 P \  là ánh xạ đa trị với V, P là các tập được sắp thứ tự, phần này chúng

tôi tham khảo trong [3] , [4].
Phần 2.2 trình bày về điểm bất động của ánh xạ đa trị lõm. Đây là một số
mở rộng của một kết qủa cổ điển và một số kết quả trong [10],[11].
Chương 3 gồm các kết quả về phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc
tham số.
Phần 3.1 sử dụng bậc tôpô của ánh xạ đa trị cô đặc trình bày các kết quả về
vectơ riêng của ánh xạ đa trị cô đặc trong không gian có thứ tự . Các kết qủa này
chúng tôi tham khảo trong [8].
Phần 3.2 trình bày mở rộng của một kết qủa cổ điển về nhánh liên tục của
tập nghiệm dương của phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số.

3.

Phương pháp nghiên cứu

1.

Sử dụng các nguyên lí tổng quát về tập có thứ tự như bổ đề Zorn,

nguyên lí Entropy, nguyên lí đệ qui.
2.

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dạng mở rộng.

3.

Phương pháp bậc tôpô.


3

Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM - KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG
1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón
Định nghĩa 1.1.1
Cho X là không gian Banach và K là tập con của X. K được gọi là nón nếu:
i)

K đóng, khác rỗng và K    .

ii)

a, b  ; a, b  0; x, y  K  ax  by  K .

iii)

x  K và  x  K  x  0

Ví dụ 1: Cho X 

n

Khi đó K là nón trong

.Ta xét K  1 ,  2 ,...,  n  :  i  ,  i  0, i  1, 2,..., n
n

.

Định nghĩa 1.1.2
Trong không gian Banach X với nón K, ta xét quan hệ  như sau:
x, y  X , x  y  y  x  K

Khi đó quan hệ  có các tính chất:
1) Phản xạ: x  x  0  K  x  x, x  X
2) Phản xứng: x, y  K , nếu x  y và y  x thì y  x  K và x  y  K .
Do iii) ta có y  x  0 nên x  y
3) Bắc cầu:
x, y , z  X nếu x  y và y  z thì y  x  K và z  y  K

Do ii) ta có z  x   y  x    z  y   K . Do đó x  z .
Vậy  là quan hệ thứ tự trên X.


4

Mệnh đề 1.1.1
Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K. Khi đó:
 x   y
i)   0, x, y, z  X ; x  y  
x  z  y  z

ii) Nếu xn  yn , n và lim xn  x, lim yn  y thì x  y.
n 

n 

iii) Nếu dãy  xn  tăng (giảm) và hội tụ về x thì xn  x,  xn  x  n.
Chứng minh
i)

Ta có x  y  y  x  K   y   x    y  x   K   x   y.

Tương tự x  y  y  x  K  y  x   y  z    x  z   K  x  z  y  z.
ii)

xn  yn  yn  xn  K .

Vì lim  yn  xn   y  x và K đóng nên y  x  K .Do đó x  y .
n 

iii)

Giả sử  xn  tăng. Với mỗi n, ta có xn  xn  m .

Cho m   ta có xn  x, n.

Định nghĩa 1.1.2
i)

Nón K trong X được gọi là nón miniheral mạnh nếu mọi tập M bị

chặn trên trong X đều tồn tại supM.
ii)

Nón K trong không gian Banach X được gọi là nón chuẩn nếu N  0

sao cho x, y  X , x  y thì x  N y
Khi đó số N được gọi là hằng số chuẩn của K.
iii)

Nón K trong X được gọi là nón đều (chính qui) nếu mọi dãy đơn điệu

tăng bị chặn trên trong X đều hội tụ.
iv)

Nón K trong X được gọi là nón tách (nón sinh) nếu
x  X , u , v  K : x  u  v


5

Ví dụ 2:
1) K   f  C 1  0,1 : f  0 không là nón chuẩn trong C1  0,1 .
2) K   x  C 1  0,1 : x  t   0, x  t   0, t   0,1 là nón chuẩn trong C1  0,1 .
3) Nón các hàm không âm hầu khắp nơi trong L  0,1 là nón đều trong L  0,1
4) Nón các hàm không âm trong C0,1 không là nón đều.

Mệnh đề 1.1.2
Cho K là nón chuẩn trong X . Khi đó:
i) u , v  X , u  v thì u,v   x  X : u  x  v là tập đóng và bị chặn.
ii) Nếu xn  yn  zn ,  n  1, 2,... và lim xn  lim zn  x thì lim yn  x
n 

n 

 

iii) Nếu dãy đơn điệu  xn n có dãy con xn

k

k

n 

hội tụ về x thì  xn n hội tụ về x

Chứng minh
i) u , v đóng:
Giả sử xn  u , v , n và lim xn  x .
n 

Ta có u  xn  v, n  u  x  v  x  u , v
u , v bị chặn:
x  u , v thì u  x  v  x-u  K, v-u  K và x-u  v-u

Vì K là nón chuẩn nên x  u  N v  u  x  u  N v  u

Do đó x  N v  u  u  M
ii) Giả sử xn  yn  zn , n  0  yn  xn  zn  xn
Do K là nón chuẩn nên yn  xn  N zn  xn
Vì lim xn  lim zn  x nên z n  xn  0.
n 

n 

Từ (*) cho n   thì yn  xn  0
Do đó yn   yn  xn   xn  x  n   

 *


6

 

iii) Giả sử  xn n là dãy tăng có dãy con xn

k

Ta có xn  x   , k0 : x  xn
k

k0





N

k

hội tụ về x

.

Ta có
xn  x, k và x n  xn nên x n  x, n
k

k

Khi đó n  nk thì
0

xn  xn  x  0  x  xn  x  xn
k0

k0

 x  xn  N x  xn

k0



Vậy lim xn  x .
n 

Định lí 1.1.1

Trong không gian Banach X với nón chuẩn K tồn tại chuẩn . * tương
đương với chuẩn ban đầu . sao cho
x, y  X , 0  x  y  x *  y *

Chứng minh

Đặt A   B  0,1  K    B  0,1  K 
* Ta chứng minh: B  0,1  A  B  0, r  , với r  0 đủ lớn.
+ Do 0  K    K  nên B  0,1  A.
+ Chứng minh A  B  0, r  , r  0 .
Thật vậy, nếu ngược lại ta có thể xây dựng dãy

 xn n  A

xn  n và y n , zn  B  0,1 , un , vn  K sao cho xn  yn  un  zn  vn

Vì un  vn  zn  yn nên un  vn  2
Do K là nón chuẩn nên un  N un  vn  2 N
Do đó n  xn  yn  un  1  2 N , n

(vô lý)

với


7

* Xét phiếm hàm Minkovski của tập A:
x


x *  inf   0 :  A x  A




* x  X , x  0, gọi 0  x * thì

x
x
 B  0,1 và
 A.
2 x
0

x
x
x
 A và
 B  0, r  nên x *  2 x và
r
2 x
0
x *

Theo trên ta có



1
x * x  r x *
2

Khi x  0 thì đẳng thức xảy ra.
Do đó chuẩn . * tương đương với chuẩn ban đầu .
y 
x

* Giả sử 0  x  y , ta có   0 :     0 : 
 



Thật vậy, xét  sao cho
Vì x  0 nên
Vì x  y nên
Mà

y



Do đó
Vì vậy

x


x



K 


y





y


x


y



A
0



x



x



 B  0,1  K

K

 K nên theo định nghĩa A ta có
x



A
x *  y *.

y



 u  v với u  B  0,1  K


8

Định lí 1.1.2

i) K là nón đều khi và chỉ khi mọi dãy đơn điệu giảm bị chặn dưới đều hội tụ.
ii) K là nón đều thì K là nón chuẩn.
Chứng minh

i)    Giả sử K là nón đều.
Xét dãy x1  x2  ...  xn  ...  x
Ta có dãy  x1  xn n đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi x1  x nên hội tụ
Vậy  xn n hội tụ.

 

Xét dãy x1  x2  ...  xn  ...  x

Ta thấy dãy  x1  xn n đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên hội tụ.
Vậy  xn n hội tụ.
ii) Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử K không là nón chuẩn.
Khi đó N , xN  K , y N  K , 0  xN  yN nhưng xN  N y N
Cho N  n 2  n  1, 2,... ta được các dãy  xn n  K ,  yn n  K thỏa

0  xn  yn , xn  n 2 yn
Rõ ràng xn  0 . Xét các dãy xn 

xn
y
, yn  n
xn
yn

Ta có 0  xn  yn , xn  1, yn 

1
nên chuỗi
n2



 y
n 1

n

hội tụ.



Đặt y   yn thì y1  y2  ...  yn  y  n 
n 1

Ta thấy dãy zn  x1  x2  ...  xn tăng và bị chặn trên bởi y.
Vì K là nón đều nên  zn n hội tụ. Dẫn đến xn  zn  zn 1  0
Điều này mâu thuẫn với điều kiện xn  1 . Vậy K là nón chuẩn


9

Mệnh đề 1.1.3

Nếu nón K trong X có điểm trong u0 thì
i)   0 sao cho x  X thì  x u0  x   x u0
ii) K là nón tách.

Chứng minh

i) u0  int K  r  0 : B  u0 , r   K
* Với x  0 ta có u0 
Do đó 

rx
rx
 B  u0 , r  nên u0 
0
2 x
2 x

2
2
x u0  x  x u0
r
r

* Khi x  0 thì bất đẳng thức trên vẫn đúng.
ii) Theo i) x  X ,   0 sao cho  x u0  x   x u0
Đặt u 

 x u0  x
2

và v 

 x u0  x
2

thì u  0, v  0 và x  u  v

Do đó ta được u , v  K và x=u-v .
Vậy K là nón tách.
Định lí 1.1.3

Nếu K là nón tách thì tồn tại hằng số M  0 sao cho x  X , u , v  K :
x  u  v, u  M x , v  x


10

1.2 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị
Bổ đề 1.2.1

Cho X là không gian mêtric , Y là không gian định chuẩn và F : X  2Y
là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên có tập giá trị lồi đóng. Khi đó với mọi   0 tồn
tại ánh xạ liên tục f : X  co  FX  sao cho với mọi x  X , tồn tại y  X và

z  Fy sao cho d  x , y    và f ( x )  z   .
Chứng minh

Với x  X và   0 do F nửa liên tục trên nên tồn tại  x  0 sao cho

F  B( x,  x )   B  Fx,   . Ta có thể giả sử  x  
Gọi

Ui iI

là họ tập mở hữu hạn làm mịn địa phương của

x


 B( x , ) : x  X  và i iI là một phân hoạch phụ thuộc duy nhất vào Ui iI
2


Ta định nghĩa f : X  Y xác định bởi f ( x ) 




ở đây Ui  B  xi ,

 ( x ) y
iI

i

i

x  X

x 

 và yi  Fxi
2

Rõ ràng f : X  co  FX  liên tục.
Với x  X cho trước đặt I 0  i  I : i ( x )  0 .

 

Khi đó tồn tại i0  I 0 sao cho  xi  max  xi
0

iI 0



Đặt y  xi0 . Với i  I 0 ta có x  Ui  B  xi ,



Do đó ta có f ( x ) 

 xi 



 nên xi  B xi ,  xi0
2 

 ( x ) y  B  Fy,  
iI

i

i

Lấy z  Fy sao cho f ( x )  z   ta có điều phải chứng minh.




11

Định nghĩa 1.2.1

Cho X là không gian Banach,   X là tập mở bị chặn và F :   2 X là
ánh xạ đa trị nửa liên tục trên có tập giá trị lồi đóng .Giả sử F là tập compact
tương đối và x  Fx với mọi x  . Khi đó ta định nghĩa bậc tôpô của ánh xạ
F trên  tại 0 xác định bởi deg  I  F , ,0   lim deg  I  f , ,0 
 0

Với f định nghĩa ở bổ đề 1.2 .1.
Định lý 1.2.1 [7]

Bậc tôpô xác định ở định nghĩa 1.2.1 có các tính chất sau:
i)

deg  I , ,0  = 1 khi và chỉ khi 0

ii)

Nếu deg  I  F , ,0   0 thì F có điểm bất động trên  .

iii)

Đặt Ft :  0;1    2 X là ánh xạ compact nửa liên tục trên có tập

giá trị lồi đóng và x  Ft x   t, x    0;1   . Khi đó deg  I  Ft , ,0  không
phụ thuộc vào t   0;1
iv)

Nếu   1   2 , 1     và x  Fx , x  1   2 thì

deg  I  F , ,0   deg  I  F , 1 ,0   deg  I  F , 2 ,0 
Cho X là không gian Banach ta định nghĩa độ đo phi compact của một tập
hợp bị chặn trong X là hàm số  : 2 X 



thỏa các điều kiện sau:

i)

 ( A)  0 khi và chỉ khi A là tiền copmact ( tức là A hoàn toàn bị chặn)

ii)

  A  B   max   A  ,   B 

iii)

 coA    A 

 

Hai ví dụ tiêu biểu của độ đo phi compact là độ đo phi compact
Kuratowski:


12

  A  = inf{ r>0 : A được phủ bởi một số hữu hạn các tập hợp có đường
kính nhỏ hơn r }
và độ đo phi compact Hausdorff:

  A  =inf{ r>0 : A được phủ bởi một số hữu hạn các hình cầu có bán kính
nhỏ hơn r }
Định nghĩa 1.2.2

Cho X là không gian Banach và F : X  2 X là xạ đa trị . Khi đó
i)

F gọi là cô đặc nếu   F       với   X và      0

ii)

F gọi là k-set co nếu   F   k     với   X và      0

Với là độ đo phi compact Kuratowski hoặc độ đo phi compact Hausdorff.
Nhận xét Mọi ánh xạ cô đặc đều là ánh xạ k-set co với k=1.

Mọi ánh xạ compact đều là ánh xạ cô đặc và cũng là ánh xạ k-set co vì vế
trái của bất đẳng thức ở định nghĩa trên bằng 0.
Cho X là không gian Banach và K  X là tập lồi đóng, U  X là tập mở

và U  K   . Ta ký hiệu U  K  U K
Giả sử F : U K  2 K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên , cô đặc và

x  Fx x   K (U K ) . Ta xây dựng họ siêu hạn các tập hợp K

như sau:

K 0  coF (U K ) . Với mỗi số siêu hạn  mà K  được định nghĩa với mọi    ,





khi đó ta đặt K  coF K 1  U K nếu  là số siêu hạn loại 1 và K 
nếu  là số siêu hạn loại 2. Ta có



K

K

 



giảm và do đó tồn tại  sao cho







K  K ,    . Hơn nữa x x  U K  Fx  K và coF K  U K  K


13

mà F là cô đặc nên K là tập compact. Khi đó ta định nghĩa chỉ số điểm bất động

iK  F,U  của F trên U như sau:
Nếu U  K    thì iK  F ,U   0



Nếu U  K    thì iK  F ,U   deg I  F   ,  1 (U ),0





, với  là



phép chiếu liên tục của X lên K và deg I  F   ,  1 (U ),0 là bậc tôpô của ánh
xạ đa trị xác định ở định nghĩa 1.2.1.
Định lý 1.2.2 [ 9 ]

Cho X là không gian Banach và K  X là tập lồi đóng, U  X là tập mở
Ánh xạ đa trị

F : U K  2K

là nửa liên tục trên , cô đặc

và x  Fx x   K (U K ) .
Khi đó:
i)

Nếu iK  F ,U   0 thì F có điểm bất động.

ii)

Nếu x0  U K thì iK  F0 ,U K   1 với F0 x   x0  x  U K

iii)

Nếu U  U1  U 2 , U1  U   và x  Fx , x   KU1   KU 2 thì

iK  F ,U   iK  F ,U1   iK  F ,U2 
iv)

Nếu H :  0;1  U K  2 K là nửa liên tục trên và

  H  0;1          với   U K thỏa      0
và x  H  t, x  t   0;1 x  K UK 
thì iK  H 1,  ,U  = iK  H  0,  ,U 

14

Định lý 1.2.3 [ 9 ]

Cho X là không gian Banach với nón K và r1 , r2   0;   , đặt r  max r1 , r2  .
Ánh xạ đa trị F : B  0; r   K  2 K là nửa liên tục trên và cô đặc . Giả sử ánh xạ
F thoả :
i) Tồn tại w  K , w   sao cho x  F  x   tw t >0,x   K B  0; r1 
ii)  x  F  x 

 >1,x   K B  0; r2 

Khi đó F có điểm bất động x0 thoả min r1 ; r2   x0  max r1 ; r2 

1.3 Nguyên lý đệ quy tổng quát
Định nghĩa 1.3.1

Cho tập hợp P   , khi đó  P,   được gọi là tập sắp thứ tự một phần nếu
trên P có quan hệ thứ tự  thỏa:
i) Phản xạ: x  x x  P
ii) Đối xứng: Nếu x  y và y  x thì x  y x, y  P
iii) Bắc cầu: Nếu x  y và y  z thì x  z x, y, z  P
Ta ký hiệu x  y nếu x  y và x  y .
Ví dụ:



,   ,  ,   ,  ,   là các tập được sắp thứ tự.

Định nghĩa 1.3.2

Tập hợp có thứ tự P gọi là sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của nó
đều có phần tử đầu tiên.
Mệnh đề 1.3.1 (Nguyên lí đệ quy)

Cho D là tập hợp các tập con của tập sắp thứ tự  P,   ,   D và ánh xạ
F : D  P . Khi đó tồn tại duy nhất tập sắp tốt C của P sao cho:

1) x  C  x  F  C x 

 *

(với C x   y  C , y  x ). (1.3.1)

2) Nếu C  D thì F  C  không phải là cận trên chặt của C.


15

Chứng minh

Đặt x0  F     P, k  min y   C2 \ C1 
Gọi M là tập tất các xích sắp tốt C của P có tính chất:
x  C thì x  F  C x  .

Ta có M   vì C   x0   M
Ta sẽ chứng minh  M  M
Bổ đề 1.3.1

Nếu C1 , C2  M và C2  C1 thì C1  C2 x với x  min  C2 \ C1 
Chứng minh

Vì

x  min  C2 \ C1 

nên

C2 x  C1 .

Thật

vậy,

lấy

y  C2 x

thì

y  C2 và y < x nên y  C2 \ C1 suy ra y  C1
Giả sử C1 \ C2 x   đặt y  min  C1 \ C2 x  .
Ta có: C1 y  C2 x   C1  C2  (do C2 x  C1 )
Ta sẽ chứng minh C1 y  C2 x
Thật vậy, giả sử C1 y  C2 x khi đó z  min  C2 x \ C1 y  nên

C 
x

2

z

 C1 y suy ra C2 z  C1 y (vì z  x )

(1)

Mặt khác z  C2 x   C1  C2  nên z  C1
Mà z  C1 y , do đó y  z
Ta có C1 y  C2 x nên C1 y  C2 y  C2 z

(2)

Từ (1) và (2) suy ra C2 z  C1 y hay z  F  C2 z   F  C1 y   y,
Mâu thuẫn vì z  C2 x , y  C2 x
Suy ra C2 x  C1 y hay y  F  C1 y   F  C2 x   x mâu thuẩn vì y  C1 , x  C1
Vậy C1 \ C2 x   hay C1  C2 x


16

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề 1.3.1:
1) Theo bổ đề trên thì hai xích bất kì thuộc M đều chứa nhau.
Đặt C   M . Nếu ta chứng minh được C thỏa điều kiện (*) thì suy ra C
chính là xích duy nhất của P thỏa mãn điều kiện của mệnh đề.
a) Chứng minh C sắp tốt:
Lấy   D  C
Chọn C1  M sao cho D  C1   , đặt x  min  D  C1 
Lấy bất kì y thuộc D thì C2  M để y  C2

- Nếu y  C1 thì x  y
-Nếu y  C1 thì C2  C1 nên theo bổ đề trên ta có C1  C2 k với
k  min  C2 \ C1  , mà

y  C2 , y  C1 nên y   C2 \ C1  do đó k  y . Suy ra

C2 k  C2 y , tức là y  C1  C2 k  C2 y . Do x  C1 nên x  y .

Vậy x  y, y  D suy ra x  min D tồn tại hay C là xích xếp tốt.
b) Chứng minh C thỏa điều kiện (*):
Lấy x  C , chọn C1  M sao cho x  C1 .
Lấy y  C x thì C2  M để y  C2 x .
- Nếu C2  C1 thì y  C1x .
- Nếu ngược lại C2  C1 thì theo bổ đề trên C1  C2 k với k  min  C2 \ C1  .
Do x  C1 nên x  C2 k suy ra xSuy ra C1 x   C2 k   C2 x hay y  C1x
x

Tức là y  C1x , y  C x hay C x  C1x
Hiển nhiên có C1 x  C x . Do đó C1 x  C x
Suy ra x  F  C1 x   F  C x 
Vậy C thỏa điều kiện (*) và ta có điều phải chứng minh.
Nếu C  D , đặt a  F  C 


17

Ta sẽ phủ định mệnh đề x  a, x  C
Thật vậy, nếu x  a, x  C thì a  F  C   F  C a 
Suy ra a  C , mâu thuẫn . Vậy F(C) không phải là một cận trên chặt của C.

Mệnh đề 1.3.2

Cho G : P  P và c  P khi đó tồn tại duy nhất tập sắp tốt C=C(G) trong





P ( gọi là tập sắp tốt của phép lặp cG) sao cho x  C  x  sup c, G  C x 

(1.3.2)

Chứng minh

Đặt D  { W  P / W là tập xếp tốt và tồn tại sup(c, G W ) }
Định nghĩa

f : D  P xác định bởi f (W )  sup{c, G W } thì f thỏa mãn

các điều kiện của mệnh đề 1.3.1
Áp dụng mệnh đề 1.3.1 ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.3.3

Cho F : P  2 P \  và c  P . Gọi M là tập tất cả các lựa chọn của F , tức là
M  G : P  P G ( x)  F ( x) x  P

(1.3.3)

Với mỗi G : P  P ta gọi CG là đoạn đầu dài nhất của tập sắp tốt C(G) của
phép lặp cG sao cho hạn chế G

CG

của G lên CG là tăng .

Định nghĩa quan hệ thứ tự trên M như sau:
(o) F  G nếu và chỉ nếu CF  CG và G

CF

F

CF

Khi đó ( M ,  ) có phần tử lớn nhất.
Chứng minh

Lấy G0  M và gọi D là tập chứa tập  và các tập con W sắp tốt, có cận
trên chặt của ( M ,  ) mà G0  min W .Đặt f : D  M là ánh xạ thoả f     G0 và
f biến mỗi tập con khác rỗng W của D thành một cận trên chặt của nó. Theo mệnh
đề 1.3.1 tồn tại duy nhất tập sắp tốt  của thoả G    G  f  G  .


18

Từ định nghĩa (o) của  thì CF , F   là họ chứa nhau các tập con sắp tốt
của P do đó tập C   CF F   là sắp tốt . Hơn nữa cũng định nghĩa (o) thì các
hàm F

CF



, F   chứa nhau nên g   F

CF



, F   là hàm từ C vào P.

Vì mỗi hàm F   là tăng trên CF nên g tăng và g  x   F  x  x  C . Lấy
G  M sao cho G C  g thì G tăng trên C. Nếu x  C thì tồn tại F   sao cho x  CF .
Vì F

CF

g

CF

G

CF









nên x  sup c, F  CFx   sup c, G  CFx 

Điều này đúng với mọi F   mà x  CF do đó





 

x  sup c, G  CFx   sup c, G  CFx : F  , x  CF 



(1.3.4)

Điều này chứng tỏ C  CG . Nếu C  CG thì G là một cận trên chặt của  ,
do đó f   tồn tại và là một cận trên chặt của  , điều này mâu thuẫn với kết quả
ở mệnh đề 1.3.1. Vậy C  CG
Nếu F  M và G  F thì F

CG

G

CG

do F

C

 g . Do đó theo chứng minh

trên thì CF  C  CG .
Kết hợp với (o) suy ra G=F hay G là phần tử lớn nhất của ( M,  ) .


19

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG
2.1 Điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng

Trong phần này chúng ta khảo sát sự tồn tại điểm bất động lớn nhất và bé
nhất của ánh xạ đa trị F : P  2P \  với P là tập được sắp thứ tự.
Định nghĩa 2.1.1

a) Với A, B  2 x thì A  B  u  A, v  B :u  v
b) Cho P  X và ánh xạ đa trị F : P  2P \  . Khi đó v  P gọi là điểm
bất động của F nếu v  Fv .
* v  Fv gọi là điểm bất động cực đại của F nếu u  Fu và v  u thì u  v .
* v  Fv gọi là điểm bất động cực tiểu của F nếu u  Fu và u  v thì u  v .
Định nghĩa 2.1.2

Cho các tập sắp thứ tự X , P, ta nói ánh xạ đa trị F : X  2 P \  tăng
phía trước nếu x  y trong X và z  F  x  thì  z   F  y    ; F tăng phía sau nếu
x  y trong X và w  F  y  thì  w  F  x    . Nếu F vừa tăng phía trước vừa

tăng phía sau thì ta nói F tăng.
Định nghĩa 2.1.3

Cho A là tập con khác rỗng của Y trong tập sắp thứ tự P. Ta nói A compact
thứ tự phía trước trong Y nếu mọi xích C của P mà có supermum trong P thì
  y   A : y  C   , trong đó  y   A  , y  C . Nếu mọi xích C của P , có

infimum trong P mà   y   A : y  C   , trong đó  y   A  , y  C thì ta
nói A compact thứ tự phía sau trong Y . Nếu A vừa compact thứ tự phía trước vừa
compact thứ tự phía sau thì ta nói A compact thứ tự trong Y. Nếu Y=A thì ta nói A
compact thứ tự .


20

Nhận xét:
Mọi tập sắp thứ tự P là compact thứ tự.Nếu tập con A của P có phần tử lớn
nhất ( bé nhất) thì A compact thứ tự phía trước ( phía sau) trong mọi tập con của P
chứa A. Một tập compact thứ tự không nhất thiết phải compact tôpô cũng không
nhất thiết phải đóng. Ngược lại một tập con A compact trong không gian tôpô có
thứ tự thì hiển nhiên compact thứ tự trong mọi tập con chứa A.
Bổ đề 2.1.1

Tập con A của tập sắp thứ tự P là compact thứ tự phía trước trong A khi và
chỉ khi mỗi xích của A có supermum trong P đều có chặn trên trong A.
Chứng minh

Giả sử A compact thứ tự phía trước và C là một xích trong A có supermum
trong P. Khi đó y   y   A, y  C nên  y   A  , y  C .
Suy ra tồn tại x    y   A : y  C . Hơn nữa x  A và y  x do đó x là

chặn trên của C trong A.
Ngược lại nếu x  A là một chặn trên của C trong A thì x   y   A, y  C
do đó x    y   A : y  C . Điều này đúng với mọi xích C của A có supermum
trong P nên A compact phía trước.
Định nghĩa 2.1.4

Ta nói tập con A của tập sắp thứ tự P là đầy đủ tương đối theo xích trong P
nếu mọi xích khác rỗng của A đều có supermums và infimums trong P. Tập hợp tất
cả các supermums và infimums của các xích của A gọi là bao đóng thứ tự của A ,
0

ký hiệu bởi A


21

Định nghĩa 2.1.5

Ta nói tập con A của tập sắp thứ tự P có sup-center c trong P nếu c  P và
sup c, x tồn tại với mọi x  A . Nếu inf c, x tồn tại với mọi x  A thì c là inf-

center của A trong P . Nếu c vừa là sup-center vừa là inf-center thì ta nói C là ordercenter của A.
Mệnh đề 2.1.1

Giả sử F : P  2P \  tăng phía trước và có giá trị compact thứ tự phía
0

trước trong F[P] với F[P} là tập đầy đủ tương đối theo xích trong P và F [ P] có





sup-center trong P. Khi đó tồn tại x  P sao cho x   F x   .
Chứng minh
0

Gọi c  P là sup-center của F [ P] và M được định nghĩa như ở mệnh đề
1.3.3 cùng với quan hệ thứ tự  .
Theo mệnh đề 1.3.3 thì ( M ,  ) có phần tử lớn nhất là G. Gọi C(G) là tập
xếp tốt của phép lặp cG và C  CG là đoạn đầu dài nhất của C(G) khi G tăng . Do C
sắp tốt và G tăng trên C nên G[C] là tập xếp tốt chứa trong F[P].
Theo giả thiết thì w=supG[C] tồn tại trong P. Hơn nữa x  sup c, w tồn
0

tại do c là sup-center của F [ P] . Suy ra =sup{c,G[C]}, kết hợp với (1.3.4) suy ra





với mỗi x  C thì x  sup c, G  C x   sup c, G  C   x .Điều này chứng tỏ x là
một chặn trên của C.
Cố định y  G C  . Khi đó y  G  x   F  x  với x  C . Do x  x và F tăng
phía trước nên  y   F  x    .Điều này đúng với mọi y của xích G[C] trong F[P]
và



do



F x



là

compact



  y   F x : y  G C    .

thứ

tự

phía

trước

trong

F[P]

nên

22





Chọn z    y   F  x  : y  G C  .
Do z   y   F  x  và y  z ,y  G C  nên w = supG[C]  z
Ta sẽ chứng minh x  max C .
Thật vậy, giả sử ngược lại x là cận trên chặt của C . Lấy A  M sao cho
A



C x

G

 

C  x, z

. Do G tăng trên C và A  x   G  x   w  z  A  x  x  C nên A

tăng trên C   x .

 





Hơn nữa x  sup c, G C   sup c, A C   sup c, A  y  C  x : y  x 

do đó C   x là tập con của đoạn đầu dài nhất CF của tập xếp tốt của phép lặp cA
khi A tăng .
Suy ra C  CG  C A và A

CG

A

CA

hay G  A , điều này mâu thuẫn vì G là

phần tử lớn nhất của ( M ,  ) .





Vậy x  max C . Do G tăng trên C nên x  sup c, G C   sup c, G  x  .

 



Ta có G  x   x và G  x   F  x  nên G x  x   F x .
Tương tự mệnh đề 2.1.1 ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.2

Giả sử F : P  2P \  tăng phía sau và có giá trị compact thứ tự phía
0

sau trong F[P] với F[P} là tập đầy đủ tương đối theo xích trong P và F [ P] có infcenter trong P. Khi đó tồn tại x  P sao cho  x   F  x    .