XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P-ADIC p

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
____________________________

VÕ THANH TÚ

XÂY DỰNG
TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P-ADIC 

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

p


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
____________________________

VÕ THANH TÚ

XÂY DỰNG
TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P-ADIC 
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN ĐÌNH LÂN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

p


LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành nhờ quá trình tích lũy kiến thức, tích lũy kinh nghiệm
lâu dài ở khoa Toán trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và đặc biệt là ở lớp cao học
toán khóa 19, chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số của trường Đại học Sư phạm TP. Hồ
Chí Minh.
Lời đầu tiên trong luận văn này tôi xin gửi đến TS. Nguyễn Đình Lân, PGS. TS Mỵ
Vinh Quang – người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập
và làm luận văn với lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất.
Xin chân thành cảm ơn các thầy: TS. Trần Huyên, PGS. TS Bùi Tường Trí, PGS. TS
Bùi Xuân Hải, TS. Lê Hoàn Hóa, TS. Đậu Thế Cấp, TS. Trần Tuấn Nam cùng với tất cả các
thầy cô khác đã trực tiếp tham gia giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá
trình học tập.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn các anh chị ở phòng Khoa học công nghệ và sau Đại học,
các đồng nghiệp, bạn bè và đặc biệt là Ban giám hiệu trường THPT Bình Phú đã động viên
và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập trong suốt thời gian qua và hoàn thành luận văn
này.
Một lần nữa xin chân thành cảm ơn!

TP.Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2011
Võ Thanh Tú

Mục lục
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................. 3
Mục lục ........................................................................................................ 4
MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 5
1.Lý do chọn đề tài: ................................................................................................... 5
2.Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu: ............................................................ 5
3.Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài: .............................................................. 5
4.Cấu trúc của luận văn: ............................................................................................ 5

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ................................................. 7
1.1 Chuẩn trên một trường ........................................................................................ 7
1.2 Xây dựng trường số p-adic  p ......................................................................... 16

Chương 2 : XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P–ADIC

p

... 25

2.1 Xây dựng trường các số phức p-adic  p .......................................................... 25
2.2 Một số tính chất của trường  p , sự giống nhau và khác nhau giữa trường các
số phức p-adic  p và trường các số phức  .......................................................... 40

2.3 Cấu trúc của nhóm nhân *p ............................................................................. 45

KẾT LUẬN ............................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 52


MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài:
Từ năm 1897, các số p-adic đã được Kurt Hensel (1861 – 1941) mô tả, hơn một trăm
năm qua các số p-adic dần phát triển rất mạnh, xâm nhập vào các lĩnh vực khác nhau của
toán học như lý thuyết số, tôpô đại số, giải tích…và cả trong vật lý đặc biệt là vật lý lượng
tử. Giải tích p-adic phát triển mạnh mẽ vào khoảng những năm 40 của thế kỷ XX và trở
thành một chuyên ngành độc lập nhờ vào việc phát hiện những mối liên hệ giữa giải tích padic với các vấn đề lớn của hình học đại số và số học.
Giải tích p-adic được xây dựng trên cơ sở trường các số phức p-adic  p . Bởi vậy, sự
nghiên cứu đầy đủ và chính xác các số phức p-adic là việc làm cần thiết và thú vị. Việc xây
dựng luận văn này là sự nghiên cứu và xây dựng đầy đủ, chi tiết các tính chất của trường số
phức p-adic  p , đặc biệt tìm tòi, nghiên cứu sự giống nhau và khác nhau của trường các số
phức p-adic  p và trường các số phức  . Bởi vậy, chúng tôi quyết định chọn đề tài “Xây
dựng trường các số phức p-adic  p ”.

2.Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
o Xây dựng một cách đầy đủ, hệ thống, hoàn chỉnh trường các số phức p-adic  p .
o Nghiên cứu, tìm tòi các tính chất tôpô đại số …của trường các số phức p-adic  p .
Đặc biệt là so sánh, tìm tòi, nghiên cứu sự giống nhau và khác nhau giữa trường các
số phức p-adic  p và trường các số phức  .
o Xây dựng nhóm nhân *p và nghiên cứu một số tính chất của nó.

3.Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:
Luận văn sẽ làm sáng tỏ hơn thuộc tính, tính chất tôpô và đại số cơ bản của trường số
phức  ; cũng như sự giống nhau và khác nhau giữa trường số phức  và trường các số
phức p-adic  p . Qua đó, giúp cho việc nghiên cứu các bài toán giải tích p-adic dễ dàng
hơn.

4.Cấu trúc của luận văn:
Nội dung luận văn gồm:
 Phần mở đầu
 Nội dung chính: gồm hai chương

Chương 1: Các kiến thức cơ bản
Chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về: chuẩn trên một trường, xây
dựng trường số p-adic  p , vành các số nguyên p-adic  p , các tính chất tôpô và đại số của

 p và  p ,…và các vấn đề liên quan cần cho chương 2.
Chương 2: Xây dựng trường các số phức p-adic  p
Chương này sẽ xây dựng một cách đầy đủ, hệ thống, hoàn chỉnh trường các số
phức p-adic  p . Nghiên cứu, tìm tòi các tính chất tôpô đại số …của trường các số phức padic  p . Đặc biệt là so sánh, tìm tòi, nghiên cứu sự giống nhau và khác nhau giữa trường
các số phức p-adic  p và trường các số phức  . Đồng thời xây dựng nhóm nhân *p và
nghiên cứu một số tính chất của nó.


Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
Chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về: chuẩn trên một trường, xây dựng
trường số p-adic  p , vành các số nguyên p-adic  p , các tính chất tôpô và đại số trên  p
và  p ,…và các vấn đề liên quan cần cho chương 2. Hầu hết các chứng minh trong chương
này được bỏ qua, có thể tìm các chứng minh đó trong phần tài liệu tham khảo.

1.1 Chuẩn trên một trường
1.1.1 Định nghĩa Cho F là một trường. Ánh xạ

: F →  được gọi là một chuẩn trên F

nếu thỏa các điều kiện sau:

i ) x ≥ 0, ∀x ∈ F , x = 0 ⇔ x = 0
ii ) xy= x y , ∀x, y ∈ F
iii ) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ F

1.1.2 Ví dụ
1) F =  ∨ F =  , giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên F
2) F =  , môđun của một số phức là chuẩn trên F
3) F là một trường. Xét ánh xạ:

:F →
1
x x =
0

neáu x = 0

là một chuẩn trên F, gọi là chuẩn tầm thường.

Dễ thấy

1.1.3 Tính chất Cho

là một chuẩn trên trường F có đơn vị 1. Với mọi x thuộc F ta có:

i ) 1 =−1 =1
ii ) x n= x , ∀n ∈ 
n

−1

) x −1 x , x ≠ 0
iii=
Chứng minh

neáu x ≠ 0


1
i) Ta có 12 =
1.1 =⇒
1 12 =1 và =
12 1.1
= 1=
1 1 ⇒1 =
2

2

Mà 1 ≠ 0 ⇒ 1 ≠ 0 ⇒ 1 =
1

1.
Lập luận hoàn toàn tương tự, ta được −1 =
=
ii) x n

x=
.
x...
x .. x x

x x .=

n

n - thöøa soá

−1

iii ) Ta có x . x −1 =
x.x −1 ==
1 1 ⇒ x −1 =
x .



1.1.4 Nhận xét Nếu F là trường hữu hạn thì trên F chỉ có duy nhất một chuẩn là chuẩn tầm
thường.
Chứng minh
Xét

là một chuẩn trên trường F. Giả sử F có q phần tử, thế thì nhóm nhân F* có

cấp q – 1. Khi đó, ∀x ∈ F * ta có x q −1 = 1 ⇒ x q −1 =
1⇔ x

⇒ x =
1 . Vậy

q −1

=
1

là chuẩn tầm thường trên F.



1.1.5 Định nghĩa
Cho

là một chuẩn trên trường F. Ta định nghĩa hàm d : F × F →  như sau:

d ( x, y ) = x − y , ∀x, y ∈ F .
là một chuẩn trên F nên ta dễ dàng kiểm tra được d là một mêtríc trên F và do

Do

đó (F, d) là một không gian mêtríc.
1.1.6 Định nghĩa Cho

1

,

2

là hai chuẩn trên trường F. ta nói rằng hai chuẩn này tương

đương nếu: {xn } là dãy Cauchy theo chuẩn
chuẩn

2

1

khi và chỉ khi {xn } là dãy Cauchy theo

.

Chú ý rằng: {xn } là dãy Cauchy theo chuẩn

m , n →+∞
, nghĩa là: xm − xn 
→ 0 . Hay

∀ε > 0, ∃n0 ∈  : ∀n, m > n0 , xm − xn < ε
1.1.7 Định lý (Các điều kiện để chuẩn tương đương) Cho F là một trường và
chuẩn trên trường F. Khi đó, các điều sau là tương đương:

1

,

2

là hai


1) ∀x ∈ F , x 1 < 1 ⇔ x 2 < 1
2) ∀x ∈ F , x 1 ≤ 1 ⇔ x 2 ≤ 1
3) ∃c ∈ *+ : ∀x ∈ F , x 2 =x 1

c

4) Các tôpô sinh bởi
5)

1

1

≤ c1

2

và

và

tương đương với

1.1.8 Hệ quả Cho
cho

1

1
2

,

2

≤ c2

2

2

(

là trùng nhau.
1



2

)

là hai chuẩn trên trường F. Nếu tồn tại hai số dương c1 , c2 sao
1

thì khi đó

1

=

2

.

Sau đây ta định nghĩa chuẩn phi Asimet
1.1.9 Định nghĩa Cho

là một chuẩn trên trường F. Chuẩn

được gọi là chuẩn phi

Acsimet trên F nếu nó thỏa thêm điều kiện:

iii′) x + y ≤ max{ x , y }, ∀x, y ∈ F
Chuẩn

thỏa iii) nhưng không thỏa iii’) được gọi là chuẩn Acsimet.

Ví dụ: Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Acsimet.
Thật vậy, nếu x + y =
0 thì x + y =0 ≤ max { x , y }
Nếu x + y ≠ 0 thì x ≠ 0 hoặc y ≠ 0 , do đó x + y =1 ≤ max { x , y } .
Cho p là một số nguyên tố cố định. Với mỗi x ∈  \ {0} , ta luôn có

x = pα

m
n

( m, n ∈ ,

(m, n) =1; (m, p ) =1; (n, p ) =1)

α gọi là p-số mũ của x, ký hiệu ord p ( x) = α .
Quy ước: ord p (0) = ∞, ∞ ± a = ∞ .
1.1.10 Mệnh đề Cho p là một số nguyên tố, ∀x, y ∈  ta có

i )ord
=
ord p ( x) + ord p ( y )
p ( xy )
ii )ord p ( x + y ) ≥ min{ord p ( x), ord p ( y )}
Chứng minh


mu
u
α m
i) Giả
sử x p=
suy ra
=
, y p β . Khi đó, xy = pα + β
nv
n
v
ord p ( xy ) = α + β = ord p ( x) + ord p ( y )
ii) Ta xét các trường hợp sau
+) x + y =
0 : Khi đó, ord p ( x + y ) = ∞ ⇒ ord p ( x + y ) ≥ min{ord p ( x), ord p ( y )}
+) x = 0 ∨ y = 0 : Nếu x = 0 thì ord p ( x + y ) =
ord p ( y ) và ord p ( x) = ∞ . Vì

ord p ( x) = ∞ suy ra

ord p ( y ) ≤ ord p ( x) ⇒ min{ord
=
ord p ( y ). =
Mà ord p ( x + y ) ord p ( y )
p ( x ), ord p ( y )}
⇒ ord p ( x + y ) =
min{ord p ( x), ord p ( y )}
u
α m
sử x p=
+) x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 : Không mất tính tổng quát, giả
=
, y p β , với
n
v

mv + p β −α un
p
. Khi đó suy ra
ord p ( x) = α ≤ β = ord p ( y ) . Thế thì x + y =
nv
α

min{ord p ( x), ord p ( y )} .
ord p ( x + y ) ≥ α =
Vậy ord p ( x + y ) ≥ min{ord p ( x), ord p ( y )} .



1.1.11 Mệnh đề Cho ρ là một số thực thỏa 0 < ρ < 1 và p là một số nguyên tố. Ánh xạ
ρ

: → 
x xρ =ρ

ord p ( x )

là một chuẩn phi Acsimet trên  với quy ước ρ ∞ = 0 .
Chứng minh Ta chứng minh bằng định nghĩa
i) Rõ ràng x ρ ≥ 0, ∀x ∈  . Mặt khác, x ρ = 0 ⇔ ρ
ii) ∀x , y ∈ , xy=
ρ
ρ

ord p ( xy )

= ρ

iii) ∀x, y ∈ , x +=
yρ ρ

≤ max{ρ

ord p ( x )

,ρ

ord p ( y )

{

⇒ x + y ρ ≤ max x ρ , y ρ
Chú ý 1) 0 < ρ1 , ρ 2 < 1 ⇒

ord p ( x )+ ord p ( y )

ord p ( x + y )

= ρ

≤ρ

ord p ( x )

ord p ( x )

.ρ

= 0 ⇔ ord p ( x) = ∞ ⇔ x = 0

ord p ( y )

= xρ yρ

min{ord p ( x ),ord p ( y )}

}

}


ρ1



ρ2


Chứng minh Với mọi x ∈  , ta có:
p
=
x ρ ρ=
1

ord ( x )

1

(ρ

)

log ρ2 ρ1 ord p ( x )
2

=

(ρ

)

ord p ( x ) log ρ2 ρ1
2

log ρ2 ρ1

= xρ

Đặt c log ρ2 ρ1 > 0 , ta được x ρ = x ρ . Vậy
=
c

1

2

ρ1

2



ρ2

.

2) Với mỗi số nguyên tố p, ta có chuẩn

1
=
xp  
 p
Chuẩn

p

ord p ( x )

, ∀x ∈ 
được gọi là chuẩn p-adic hay chuẩn p. Rõ ràng chuẩn p là chuẩn phi Acsimet.

3) Cho no là số tự nhiên lớn hơn 1. Với mỗi x ∈  , ta luôn có

x = ao + a1no +  + as nos (*)
trong đó, 0 ≤ ai < no − 1, as ≠ 0 . Biểu diễn (*) được gọi là biểu diễn no - phân của x. Ta dễ
dàng chứng minh được nos ≤ x < nos +1 và do đó, s ≤ log no x < s + 1 nên s = log no x 
1.1.12 Định lý (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Acsimet) Cho F là một trường,
là một chuẩn trên F. Các điều sau là tương đương
i)

là chuẩn phi Acsimet

ii) 2 ≤ 1
iii) n ≤ 1, ∀n ∈ N = {n = n.1/ n ∈ ,1 − ñôn vò cuûa F}
iv)  bị chặn. Nghĩa là, ∃c > 0 : n ≤ c, ∀n ∈ 
1.1.13 Hệ quả Nếu F là trường đặc số p thì mọi chuẩn trên F đều là chuẩn phi Acsimet.
Chứng minh
Với mọi m ∈  , ta có m = pq + r ,0 ≤ r ≤ p − 1 suy ra m.1= pq.1 + r.1= r.1 . Do đó,

=
 {0,1,.. p − 1} , tức  bị chặn. Vậy mọi chuẩn trên F đều là chuẩn phi Acsimet. 
1.1.14 Các tính chất cơ bản của chuẩn phi Acsimet
Cho F là một trường với chuẩn phi Acsimet

. Ta có các khẳng định sau:

i. ∀x, y ∈ F , x ≠ y ⇒ x + y =
max{ x , y } . Nghĩa là, mọi tam giác đều cân
trong không gian mêtríc sinh bởi chuẩn

.


ii. Các tập

Ba (r ) = {x ∈ F : x − a < r}
Ba (r ) = {x ∈ F : x − a ≤ r}
S a ( r ) = { x ∈ F : x − a = r}
là các tập vừa đóng vừa mở.
iii. Mọi điểm thuộc hình cầu đều là tâm của nó. Nghĩa là,

∀b ∈ Ba (r ) ⇒ Ba (r ) =Bb (r )

0
iv. Dãy {xn } ⊂ F là dãy Cauchy ⇔ lim xn +1 − xn =
n →∞

v. Nếu {xn } là dãy Cauchy. Khi đó,

+) xn → 0 thì xn → 0
+) xn → 0 thì

{ x } là dãy dừng. Nghĩa là:
n

∃N ∈  : ∀n ≥ N , x=
xn+=
xn+=

n
1
2
vi. Ký hiệu A =∈
{x F : x ≤ 1}, M =∈
{x F : x < 1} . Khi đó,
+) A là vành con chứa đơn vị của F
+) M là iđêan tối đại của A. Do đó, A
thặng dư của F đối với chuẩn

M

là một trường, gọi là trường

.

Chứng minh
i) Không mất tính tổng quát, giả sử x > y . Khi đó,

x + y ≤ max{ x , y } = x ⇔ x + y ≤ x

(1)

Maët khaùc, x = x + y − x ≤ max{ x + y , x }.

Mà x > y ⇒ max{ x + y , x } = x + y . Nên suy ra x ≤ x + y

(2)

Từ (1) và (2) suy ra x + y = x = max{ x , y }
ii) Rõ ràng Ba (r ) là tập mở. Ta chỉ còn phải chứng minh Ba (r ) là tập đóng, tức ∀x ∉ Ba (r ) ,
ta chứng minh ∃ε > 0, Ba (r ) ∩ Bx (ε ) =∅ . Giả sử ngược lại:
Chọn ε =

r
r
r
, giả sử ∃y ∈ Ba ( r ) ∩ Bx   ta suy ra y − x < và y − a < r
2
2
2

Khi đó, x − a = x − y + y − a ≤ max{ x − y , y − a } < r ⇔ x − a < r

⇒ x ∈ Ba (r ) (mâu thuẫn)


Vậy Ba (r ) ∩ Bx (ε ) =
∅ , tức Ba (r ) là tập đóng.
iii) ∀b ∈ Ba (r ) ta chứng minh Ba (r ) = Bb (r ) .

∀x ∈ Ba (r ) ⇔ x − a < r ⇔ x − b + b − a < r
⇔ max{ x − b , b − a } < r ⇔ x − b < r (do b − a < r ) ⇔ x ∈ Bb (r ) ⇔ Ba (r ) =
Bb (r ) .
iv) Giả sử {xn } là dãy Cauchy. Khi đó,

∀ε > 0, ∃N : ∀n > N , xn+1 − xn < ε ⇒ lim xn+1 − xn =
0 . Ngược lại,
n →∞

lim xn +1 − xn = 0 ⇒ ∀ε > 0, ∃N : ∀n > N , xn +1 − xn < ε . Với mọi m, n > N , giả sử rằng
n →∞

m > n ta có
xm − xn = xm − xm−1 + xm−1 − xm− 2 +  xn+1 − xn ≤ max{ xm − xm−1 , xn+1 − xn } < ε
⇔ xm − xn < ε

⇒ {xn }

là

dãy Cauchy.
v) xn → 0 ⇔ xn − 0 = xn → 0

xn → 0 ⇔ xn → 0 suy ra ∃ε > 0 và dãy con {nk } sao cho xnk < ε . Mặt khác, { xn } là
dãy Cauchy nên ∃N : ∀m, n > N , xn − xm < ε . Ta sẽ chứng minh xm = xm+1 =  , ∀m > N .
Cố định nk > N , ta có: xm = xm − xnk + xnk = max{ xm − xnk , xnk }(theo i ))

= xnk , ∀m > N
Vậy {xn } là dãy dừng.

vi) A là vành con chứa đơn vị của trường F. Với mọi x, y ∈ A , ta có

x − y ≤ max { x , y } ≤ 1 ⇒ x − y ∈ A
xy ≤ x y ≤ 1 ⇒ xy ∈ A
1 = 1 ⇒ 1∈ A
Suy ra A là vành con chứa đơn vị của F. Bây giờ ta chứng minh M là iđêan tối đại của A. Rõ
ràng M là iđêan của A, ta chỉ còn phải chứng minh tính tối đại của nó. Giả sử M ⊂ I ⊆ A , ta
≠

chứng minh I = A.
Vì M ⊂ I nên ∃a ∈ I \ M ⊂ A , suy ra a ≥ 1 , mà a ∈ A ⇒ a ≤ 1
≠

⇒ a =1 ⇒

1
1
=1 ⇒ ∈ A
a
a


1
⇒ 1= a. ∈ I ⇒ I= A . Vậy I là iđêan tối đại của A.
a



1.1.15 Định lý Ostrowski: Mọi chuẩn không tầm thường trên trường số hữu tỷ  hoặc
tương đương với chuẩn

thường

p

( p nguyên tố) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông

trên  .

Chứng minh
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: ∃n ∈  : n > 1
Gọi n0 = min {n ∈  / n > 1} . Vì n0 > 1 nên n0 = n0α (α = log n0 n0 >0)
Ta viết n trong hệ đếm n0 như sau:

n = a0 + a1n0 + a2 n02 + ... + as n0s (a i ∈ ,0 ≤ a i < n0 , as ≠ 0, s = log n0 n  ) . Khi đó:
n ≤ a0 + a1 n0 + a2 n02 + ... + as n0s
= a0 + a1 n0α + a2 n02α + ... + as n0sα
Do ai < n0 , ∀i nên ai ≤ 1 ( theo cách chọn n0 ). Suy ra:


1
1
1 
sα
n ≤ 1 + n0α + n02α + ... + n=
n0sα 1 + α + 2α + ... + sα 
0
n0 
 n0 n0
Đặt c =1 +

1
1
1
+ 2α + ... + sα + ... . Rõ ràng, c là cấp số nhân lùi vô hạn nên c là hằng số. Vì
α
n0 n0
n0

thế: n ≤ c.n0sα ≤ c.nα (do a s ≠ 0)
Vậy với mọi k ta có : n k ≤ c.(n k )α ≤ c.nα ⇒ n ≤ k c .nα
Cho k → ∞ thì n ≤ nα

 n ≤ nα (∀n)
Như vậy ta đã có: 
α
 n0 = n0

 n0s +1 − n ≤ (n0s +1 − n)α

Suy ra 
s +1
α ( s +1)
 n0 = n0

(1)


Vậy :

n ≥ n0s +1 − n0s +1 − n ≥ n0α ( s +1) − (n0s +1 − n)α
α ( s +1)

≥ n0

s +1
0

− (n

s α
0

α ( s +1)

− n=
)
n0

α
 
1 
1 − 1 −  
  n0  

α
 
1 
Đặt c ' = 1 − 1 −   thì n ≥ c '.n0( s +1)α > c '.nα
  n0  

Vậy với mọi k ta có : n k > c '.(n k )α ≤ c '.nα ⇒ n > k c '.nα
Cho k → ∞ thì n ≥ nα

(2)

Từ (1) và (2) ta có n = nα
Do đó:

∀

Vậy:

m
∈ , m ∈ , n ∈  + :
n
α
 − n = n = nα
m
m
m
⇒
=
=

α
n
n
n
 m = m



Trường hợp 2: n ≤ 1, ∀n ∈ 
Gọi n0 là số tự nhiên lớn hơn 0, bé nhất thỏa n0 < 1
Khi đó: n0 n1.n2 (n1 , n2 < n0 )
Giả sử n0 không là số nguyên tố. =
Do cách chọn n0 nên n1 = n2 =1 . Suy ra n0 = 1 (vô lý)
Vậy n0 = p là số nguyên tố.
Ta sẽ chỉ ra rằng q = 1 với mỗi số nguyên tố q khác p.
Thật vậy :
Giả sử tồn tại q ∈  : q < 1 (q là số nguyên tố). Khi đó, với số tự nhiên M, N đủ lớn, ta có :

1
1
N
M
qN =
q < , pM =
p <
2
2
Do ( q N , p M ) = 1 nên ta có thể tìm được hai số nguyên m, n sao cho:

mp M + nq N =
1
Suy ra :


1=

1 =mp M + nq N ≤ mp M + nq N =m p M + n q N
≤ pM + qN <

1 1
1 (vô lý)
+ =
2 2

Vậy q = 1 với mỗi số nguyên tố q khác p.
Với x là số hữu tỷ bất kỳ, x được phân tích duy nhất dưới dạng

=
x pα .

m
=
, =
(m, p ) 1;(
n, p ) 1
n

Đặt p= ρ < 1 . Ta có:

x = ρα .

m
n

Do m, n đều phân tích được dưới dạng tích của các số nguyên tố khác p nên chuẩn của các
số nguyên tố đó bằng 1. Vì thế: m =n =⇒

ρα =
ρ
x =
1
Vậy:



ord p x



p

1.2 Xây dựng trường số p-adic  p
1.2.1 Mở đầu
Từ Định lý Ostrowski, ta thấy giá trị tuyệt đối không tầm thường trên  là giá trị
tuyệt đối thông thường

, hoặc là giá trị thuyệt đối phi Acsimet

làm đầy đủ  theo giá trị tuyệt đối thông thường
đầy đủ  theo

p

p

. Mặt khác ta biết rằng

ta được trường số thực  . Vậy làm

ta sẽ được trường mới mà ta sẽ gọi là trường các số p-adic  p . Cụ thể

cách xây dựng như sau:
Xét

p

1
là chuẩn p-adic trên =
; x p  
 p

dãy Cauchy trong  theo chuẩn

p

ord p ( x )

, ∀x ∈  . Ký hệu S là tập tất cả các

. Trên S xét quan hệ tương đương ~ cho như sau:

∀{xn },{ yn } ⊂ ,{xn } ~ { yn } ⇔ lim( xn − yn ) =
0.
n →∞

S=
Ký hiệu =

p
~

{{x }:{x } Cauchy trong  theo } . Ta sẽ trang bị hai phép
n

n

p

toán cộng và nhân cho  p để nó trở thành một trường.
Phép cộng: ∀x= {xn }, y= { yn } ∈  p , x + y= {xn + yn }


Phép nhân: ∀=
x {xn }, =
y { yn } ∈  p , x.=
y {xn . yn }
Ta dễ dàng chứng minh được với hai phép toán cho như trên  p là một trường với:
Phần tử không:=
0 {=
xn 0}
Phần tử đơn vị:=
xn 1}
1 {=
Phần tử đối: x = {xn } ⇒ − x = {− xn }
Phần tử nghịch đảo:
Với {xn } ≠ 0 ⇒ xn / 0 ⇒ ∃N > 0 : ∀n > N , xn = a ≠ 0 .

0, n ≤ N

Khi đó dãy { yn } với yn =  −1
 xn , n > N
là một dãy Cauchy trong  theo chuẩn

p

, và dễ thấy {xn }.{ yn } = 1 . Tức phần tử nghịch

đảo của {xn } là phần tử { yn } .
Xét θ :  →  p ,θ ( x)= {xn = x}, ∀x ∈  , ta chứng minh được θ là đơn cấu trường.
Do đó, ta có thể coi  ⊂  p .
Với mỗi=
x {xn } ∈  p , ta định nghĩa x p = lim xn p . Định nghĩa này hợp lý vì:
n →∞

1) Luôn tồn tại lim xn
n →∞

p

+ Nếu xn → 0 ⇒ xn p → 0 ⇒ x p =
0
+ Nếu xn →
/ 0 ⇒ xn

thế

=
x {=
xn } { yn }

xn − yn p ≥ xn p − yn

thì
p p

0 . Mặt
xn  yn ⇒ lim( xn − yn ) =
x →∞

0 hay lim xn
suy ra lim( xn p − yn p ) =

nữa, mọi dãy Cauchy trong (,

p

p

khác,

ta

Giả sử
luôn

có

= lim yn p .
n →∞

định nghĩa như trên là một chuẩn trên  p . Hơn

) đều hội tụ trong ( p ,

).

1
Tóm lại:=
+) x p  
 p

p

n →∞

n →∞

Ta dễ dàng chứng minh được

p

= a ≠ 0, ∀n > N ⇒ xn p → a ⇒ x p = a

x p không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện.

2)

rộng của (,

p

ord p ( x )

, ∀x ∈ 

p

) ,tức ( p ,

p

) là một mở


S=
+) =
p
~

{{x }:{x } Cauchy trong  theo }
n

n

p

+)=
x {xn } ∈  p , x p = lim xn
n →∞

p

1.2.2 Nhận xét Với mọi=
x {xn } ∈  p , ta luôn có lim xn = x .
x →∞

Chứng minh
nên ∃N > 0 : ∀n, m > N , xm − xn p < ε . Khi đó,

∀α > 0 , do {xn } là dãy Cauchy

x − xn p = lim xi − xn p ≤ ε ⇔ x − xn p ≤ ε , ∀n > N ⇔ lim xn = x
i →∞



n →∞

1.2.3 Định nghĩa
Với

a, b ∈  p

ta

định

nghĩa

quan

hệ

đồng

dư

trong

p

là:

a ≡ b (mod p n ) ⇔ a − b p n
1.2.4 Nhận xét Với a, b ∈  p , a ≡ b (mod p n ) ⇔ a − b p ≤ p − n .
1.2.5 Bổ đề
Cho x ∈  p , x p ≤ 1 . Khi đó, ∀n ∈ , ∃r ∈  : x − r p < p − n (r ∈ {0,1,.. p n − 1})

1.2.6 Định lý Cho x ∈  p , x p ≤ 1 . Khi đó, x có một đại diện là {an }n= 1,+∞ thỏa hai điều kiện
1) an ∈ ,0 ≤ an < p n (n =
1, 2,...)
2) an ≡ an +1 (mod p n ), n =
1, 2,...
1.2.7 Nhận xét
Với x ∈  p , x p ≤ 1 , theo Định lý 1.2.6, tồn tại dãy Cauchy {an } trong  thỏa hai
điều kiện an ∈ ,0 ≤ an < p n (n =
1, 2,...) và an ≡ an +1 (mod p n ), n =
1, 2,... để x = {an } . Khi
đó, với mỗi n ∈  ta có các khai triển p – phân

an =bo′ + b1′ p +  bn′ −1 p n −1 , bi′ =0, p − 1
an =bo + b1 p +  bn−1 p n−1 + bn p n , bi =0, p − 1


Mặt khác, an ≡ an +1 (mod p n ) ⇔ an − an+1  p n nên suy ra

bo′ + b1′ p +  bn′ −1 p n −1 =bo + b1 p +  bn −1 p n −1
⇒ an = bo + b1 p + bn−1 p

n −1

+∞

⇒=
x lim=
an lim ∑ bi=
p

n −1

∑b p

i

n →∞

n →∞
=i 0=i 0

i

i

+∞

Tóm lại với mọi x ∈  p , x p ≤ 1, ∃bi ∈ {0,1,.., p − 1}: x =
∑ bn p n , gọi là khai triển p-adic của
n =0

x.
+∞

Nhận xét +) Nếu x = ∑ bn p n mà bo= b=
= bm−=
0, bm ≠ 0 thì x p = p m
1
1
n =0

+) Nếu x ∈  p , x p =p m (m ∈ ) thì=
x

+∞

∑bp ,
i

i= −m

i

bi ∈ {0,1,.., p − 1}

1.2.8 Định nghĩa Ta định nghĩa

p =
{x ∈  p : x p ≤ 1}; *p =
{x ∈  p : x p =
1}; M p =
{x ∈  p : x p < 1}
*
Chú ý =
1) M p =
p p
p \p

2) M p là iđêan tối đại của vành  p . Và trường thặng dư của ( p ,

p
Mp

=

p

p p

p

) là

.

Ta có các mệnh đề sau là một số tính chất của vành  p

1.2.9 Mệnh đề

Fp = 

p

p p

≅

p

=
Fp . Nghĩa là, trường thặng dư của ( p ,

p

) là

p

Chứng minh Xét tương ứng f : 

p

→

p

p p

, a + p  a + p p . Ta sẽ chứng minh f

là đẳng cấu vành.
+) f là ánh xạ đơn ánh:

∀a, b ∈ , a − b = pc ∈ p (c ∈ ) ⇔ a − b = pc ∈ p (c ∈  p ) . Thật vậy, c ∈  thì rõ ràng

c ∈  p . Ngược lại, c ∈  p . Ta có:


=
c

a −b
⇒ c=
p
p

a −b p
pp

≤ 1 ⇒ a − b p ≤ p −1 ⇔ a − b p1 ⇒ c ∈ 

Vậy f là ánh xạ đơn ánh.
+) f là toàn ánh:

∀a + p p ∈

p

, vì a ∈  p nên a=

p p

+∞

⇒ a − ao = p ∑ an p n −1. Mà

+∞

+∞

∑ an p=n ao + p∑ an p n−1

=
n 0=
n 1

+∞

∑a

=

n 1=
n 1

n

p n −1 ∈  p ⇒ a − ao ∈ p p ⇒ a + p p = ao + p p

=
f (ao + p) ⇔ f (ao + p) =+
a p p
Vậy f là toàn ánh.
+) f là đẳng cấu: kiểm tra trực tiếp ta được f là đồng cấu vành, do đó, f là đẳng cấu.
Vậy:

p

p p

≅

p

=
Fp



1.2.10 Mệnh đề  p là vành chính và tập các iđêan của  p lập thành một dây chuyền. Cụ
thể:  p ⊃ p p ⊃ p 2 p ⊃  p n  p ⊃  ⊃ 0 .
Chứng minh Giả sử I là một iđêan không tầm thường của  p . Với mỗi x ∈ I \ {0} , do

x p p − m , m ∈  . Gọi a là phần tử của I sao cho a p = p − m lớn nhất. Ta
x p ≤ 1 suy ra=
chứng minh I = p m  p .
+) I ⊆ p m  p : ∀x ∈ I , x =p m

x
pm

p

x
, trong đó,
pm

xp
p−m
x
= m ≤ −m =
1 ⇒ m ∈  p ⇒ x ∈ p m p ⇒ I ⊆ p m p
p
p
p
p

x
+) p m  p ⊆ I : ∀x ∈ p m  p , với a ∈ I đã chọn ở trên, ta phân tích x = a. . Ta có
a
x ∈ p m  p , x = p m c(c ∈  p ) ⇒ x p = p − m c p ≤ p − m . Mà
⇒

x
p−m
x
≤ − m =1 ⇒ ∈  p
ap p
a

x
. Mà=
a ∈ I , x a. , I   p ⇒ x ∈ I ⇒ p m  p ⊆ I
a

x
a

=
p

xp
ap

=

xp
p−m


Như vậy I = p m  p , với=
m min{m ∈  : ∃a ∈ I ,=

a p p − m } . Hay  p là vành chính
và tập các iđêan của  p lập thành một dây chuyền. Cụ thể:

 p ⊃ p p ⊃ p 2 p ⊃  p n  p ⊃  ⊃ 0 .



1.2.11 Mệnh đề  p là tập compăc
Chứng minh
Giả sử {xn } là một dãy trong  p . Ta có x=
n
Xét dãy {a0 n }n=

0, +∞

+∞

∑a
i =0

in

p i , ain ∈ {0,1,.., p − 1} .

. Vì a0 n ∈ {0,1,.., p − 1} nên có vô hạn chỉ số n để a0n bằng nhau

và đều bằng b0 ∈ {0,1,.., p − 1}
Lại xét dãy {a1n }n=

0, +∞

. Vì a1n ∈ {0,1,.., p − 1} nên có vô hạn chỉ số n để a0n bằng nhau

và đều bằng b1 ∈ {0,1,.., p − 1} .
Bằng quy nạp ta có thể xây dựng được dãy con chỉ số con n j sao cho
j →+∞

+∞

xkn=
bk ,0 ≤ k < j . Ta sẽ chứng minh xkn j → x =
∑ bi pi .
j
i =0

j →+∞

j →+∞

Thật vậy, xkn j − x < p − j → 0 ⇒ xkn j → x
p

Vậy  p là tập compăc.



1.2.12 Mệnh đề  p compăc địa phương
Chứng minh
Với mọi x ∈  p , ta chứng minh x có một lân cận mở compăc. Xét tập

x+p =
B x (1) là một lân cận mở của x. Ta sẽ chứng minh x +  p =
B x (1) là compăc. Thật
vậy, vì f :  p → x +  p , a  a + x là phép đồng phôi với f −1 : x +  p →  p , y  y − x , mà

 p là tập compăc nên x +  p là compăc.
Vậy  p compăc địa phương.

1.2.13 Mệnh đề ∀x ∈ , ∀r ∈ * , B ( x, r ), B ( x, r ) là compăc
Chứng minh




Ta có P m  p đồng phôi với  p vì các ánh xạ
−1

f
f
 p 
→ p m  p →
p

x



pm x



p − m x : là các song ánh liên tục. Do đó,

∀m ∈ , p m  p compăc, mà p m  p = B (0, p − m ) ⇒ B (0, p − m ) compăc
Mặt khác, ∀r ∈ * , ∃m ∈  : B (0, r ) ⊂ B (0, p − m ) . Suy ra, B (0, r ) compăc

⇒ ∀x ∈ , ∀r ∈ * , B ( x, r ), B ( x, r ) compăc.



Sau đây là một số tính chất tôpô khác của  p , trước tiên ta có định nghĩa:
1.2.14 Định nghĩa
• Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập hợp

{

B ( a, r ) = x ∈  p : x − a p < r

}

• Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập hợp

{

B [ a, r ] = x ∈  p : x − a p ≤ r

}

• Mặt cầu tâm a bán kính r là tập hợp

{

D ( a, r ) = x ∈  p : x − a p =r

}

Từ định nghĩa ta thấy  p là hình cầu mở tâm 0, bán kính bằng 1 và *p là mặt cầu
tâm 0 bán kính bằng 1.
1.2.15 Mệnh đề:
a) Mọi hình cầu, mặt cầu trong  p đều là những tập vừa mở vừa đóng.
b) Hai hình cầu bất kỳ trong  p hoặc lồng nhau hoặc rời nhau.
c) Mọi hình cầu, mặt cầu trong  p đều có vô số tâm. Mọi hình cầu đều có vô số bán
kính.
d)  p chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu.
Tiếp theo ta phát biểu Bổ đề Hensel


Cho đa thức f ( x) = co + c1 x + c2 x 2 +  + cn x n ∈  p [ x], cn ≠ 0 . Ta có

f ′( x) = c1 + 2c2 x +  + ncn x n −1 .
1.2.16 Bổ đề Cho ao ∈  p , tồn tại duy nhất dãy số tự nhiên a1 , a2 ,.., an ,.. thỏa ba điều kiện
i) an +1 ≡ an (mod p n +1 ), ∀n ∈ *
ii) 0 ≤ an < p n +1 , ∀n ∈ *
iii) f (an ) ≡ 0(mod p n +1 )
1.2.17 Bổ đề Hensel Cho đa thức f ( x) =co + c1 x +  cn x n ∈  p [ x], cn ≠ 0 . Nếu tồn tại phần
tử ao ∈  p thỏa điều kiện

 f (ao ) ≡ 0(mod p )

 f ′(ao ) ≡/ 0(mod p )

Thì tồn tại duy nhất a ∈  p để

a ≡ ao (mod p )

 f (a) = 0
Tiếp theo ta định nghĩa “đại diện Teichmüller” được đề cập trong chương 2
1.2.18 Định nghĩa
Ta chứng minh được rằng  p luôn chứa p nghiệm a0 , a1 ,.., a p −1 của phương trình

x p = x trong đó, ai ≡ i (mod p ) . Các nghiệm đó gọi là “đại diện Teichmüller” của
{0,1, 2,.., p − 1} và đôi khi sử dụng trong khai triển p-adic thay cho {0,1, 2,.., p − 1} . Thật vậy,
′( x) px p −1 − 1 . Với mỗi i ∈ {0,1,.., p − 1} thì (i, p ) = 1 ,
Đặt f ( x=
) x p − x , ta có f=
theo định lý Fermat nhỏ,

i p ≡ i (mod p ) ⇔ i p − i ≡ 0(mod p ) ⇔ f (i ) ≡ 0(mod p )
′(i ) pi p −1 − 1 ≡ −1(mod p ) ⇒ f ′(i ) ≡/ 0(mod p)
f=

 f (ai ) = 0
Theo Bổ đề Hensel ⇒ ∃!ai ∈  p , 
ai ≡ i (mod p )


Tức ai là nghiệm của phương trình x p = x . Mà i ∈ {0,1,.., p − 1} nên phương trình x p = x
có p nghiệm ao , a1 ,.., a p −1 thỏa ai ≡ i (mod p ) .
Ví dụ: Khi p > 2, ta tìm “đại diện Teichmüller” hữu tỉ của  p
Xét phương trình

x p − x =
0
(*)

x
∈


m
Rõ ràng x = 0 là một nghiệm của (*). Giả sử x =
≠ 0,(m, n) =
1 . Ta có
n
x≠0

xp =
x ⇔ x p −1 =
1⇔

m p −1
n p −1
=
1 ⇔ m p −1 =
p −1
n

m | n
⇒
⇒ m =± n ⇒ x ∈ {−1;1}
n | m

Vậy  p chỉ có ba “đại diện Teichmüller” hữu tỉ là 0, 1, -1.




Chương 2 : XÂY DỰNG TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P–ADIC

p

2.1 Xây dựng trường các số phức p-adic  p
Ta biết rằng trường các số phức  là mở rộng của trường các số thực  có hai tính
chất khá tốt là: đóng đại số và compăc địa phương. Vậy trong trường hợp chuẩn phi
Acsimet liệu có tồn tại trường nào là mở rộng của trường  p và có hai tính chất trên không
? Câu trả lời là phủ định. Trước tiên ta cần Bổ đề sau:

1 , ký hiệu
2.1.1 Bổ đề: Với m ∈ , ( m, p ) =

m

1=
1} . Khi đó, nếu z ∈ m 1, z ≠ 1
{z ∈ F : z m =

thì z − 1 p =
1
Chứng minh

{

}

1 . Giả sử z − 1 p < 1. Đặt a = z − 1 ≠ 0 thì 0 ≠ a p < 1
Ta có, z − 1 p ≤ max z p , 1 p =
và z = a + 1. Khi đó,

1 =z m =(1 + a ) =1 + Cm1 a + ... + Cmm−1a m−1 + a m
m

Suy ra

Cm1 a + ... + Cmm−1a m−1 + a m = 0 ⇒ a ( Cm1 + ... + Cmm−1a m− 2 + a m−1 ) = 0
⇒ a p m + ... + Cmm−1a m− 2 + a m−1 =
0
p

Ta

lại

( m, p ) = 1

có,

i i −1
C=
Cmi
ma
p

nên

m p =1

và

do

a p <1

nên

ta

cũng

có

i −1

p

a p ≤ a p=
< 1, ∀i 2,3,..., m.

Do đó, theo nguyên lý tam giác cân, ta có m + ... + Cmm−1a m− 2 + a m−1 =
1
p

Suy ra, a p = 0 ⇒ a = 0 ⇒ z = 1 . Ta gặp mâu thuẫn

Vậy z − 1 p =
1.



2.1.2 Định lý: Không tồn tại một trường F với chuẩn phi Acsimet mở rộng của trường  p
với chuẩn

p

có hai tính chất: đóng đại số và compăc địa phương.