TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ TRÊN C(X

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Văn Ðông

TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ
TRÊN C(X)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phạm Văn Ðông

TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ
TRÊN C(X)
Chuyên ngành : Hình học và Tôpô
Mã số
: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN THÁI SƠN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS.
Nguyễn Thái Sơn. Thầy đã rất nhiệt tình trong công tác hướng dẫn để tôi hoàn
thành luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy. Tôi cũng chân
thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin Trường Đại học
Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và
phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học Cao học. Đặc biệt là
thầy TS. Nguyễn Hà Thanh đã giúp tôi tìm được nhiều tài liệu hay phục vụ
cho việc thực hiện đề tài luận văn.
Trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tôi đã có liên lạc với giáo sư
S.Kundu - là tác giả nhiều bài báo liên quan đến đề tài chúng tôi quan tâm và
cũng đã nhận được nhiều tài liệu quý báu từ giáo sư. Xin chân thành biết ơn
Giáo sư S.Kundu.
Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng
Khoa học Công nghệ và Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường
Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Bình
Thạnh, tỉnh Tây Ninh, cùng toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã
động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này.
Tp. Hồ Chí Minh, năm 2009
Tác giả
Phạm Văn Đông


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian tôpô..................................................................................... 3
1.2. Các lớp không gian tôpô ...................................................................... 11
1.3. Không gian tuyến tính tôpô.................................................................. 15
1.4. Cái đều và tôpô đều.............................................................................. 17
1.5. Không gian giả-compăc ....................................................................... 20
Chương 2: ĐỊNH NGHĨA VỀ TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ
2.1. Các định nghĩa khác nhau về tôpô giả compăc-mở ............................. 21
2.2. So sánh tôpô giả compăc-mở với tôpô compăc-mở và tôpô hội tụ đều.... 32
Chương 3: ÁNH XẠ CẢM SINH, TÍNH MÊTRIC HÓA
VÀ TÍNH TÁCH ĐƯỢC TRÊN Cps(X)
3.1. Ánh xạ cảm sinh................................................................................... 39
3.2. Tính mêtric hóa và tính tách được trên Cps(X) ................................... 47
KẾT LUẬN .................................................................................................... 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 60


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như đã biết, trên tập hợp C(X) tất cả các hàm liên tục có giá trị thực
trên không gian Tychonoff X có một số tôpô tự nhiên. Những tôpô này được
sinh ra từ khái niệm hội tụ của dãy hàm. Hơn nữa, hàm liên tục và độ đo Baire
trên không gian Tychonoff có liên hệ với nhau trong quá trình tính tích phân.
Một số tôpô lồi địa phương trên không gian những hàm liên tục cũng đã được
nghiên cứu để làm rõ mối liên hệ này. Chúng cho phép tạo ra lý thuyết không
gian lồi địa phương đủ mạnh thuận lợi cho việc ứng dụng vào lý thuyết độ đo
tôpô.
Ba tôpô thông dụng trên C(X) là tôpô compăc-mở k, tôpô hội tụ đều u
và tôpô hội tụ điểm p. Tôpô compăc-mở và tôpô hội tụ đều trên C(X) trùng

với nhau nếu và chỉ nếu X là compăc. Bởi vì tính compăc là điều kiện mạnh
như thế nên có một “lỗ hổng” giữa hai tôpô này. Đặc biệt, nó được thấy rõ
trong lý thuyết độ đo. Chính cái “lỗ hổng” đó mà trong năm thập kỷ qua, có
một vài tôpô được giới thiệu làm cầu nối giữa k và u, cụ thể là tôpô chặt, tôpô
 -compăc-mở, tôpô hội tụ đều trên các tập con  -compăc và tôpô hội tụ đều

trên những tập con giới nội.
Trong một bài báo khoa học đăng năm 2006, S.Kundu và Pratibha Garg
đã giới thiệu một tôpô tự nhiên khác nữa trên C(X), đó là tôpô giả compăcmở. Nó được kí hiệu là ps và không gian tôpô tương ứng là Cps(X). Mặc dù,
tôpô giả compăc-mở ps được đề cập ngẫu nhiên, song nó đáng được nghiên
cứu nhiều hơn nữa. Chính vì thế chúng tôi chọn đề tài luận văn là
“TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ TRÊN C(X)”.


2. Mục đích
Nghiên cứu tôpô giả compăc–mở trên C  X  theo quan điểm tôpô.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Một số tính chất cơ bản của không gian tôpô giả compăc-mở C ps  X  .
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Giới thiệu thêm một tôpô lồi địa phương khác nữa giữa tôpô compăcmở và tôpô hội tụ đều trên C(X).
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và phần
kết luận. Trong đó chương 2 và chương 3 là phần chính của luận văn, ở đây
các không gian được xét đều là không gian Tychonoff. Cụ thể:
Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát về đề tài.
Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức về tôpô đại cương.
Chương 2: Nêu định nghĩa tôpô giả compăc-mở và so sánh tôpô này
với hai tôpô đã biết là tôpô compăc-mở và tôpô hội tụ đều.
Chương 3: Trình bày ánh xạ cảm sinh, tính mêtric dưới, tính mêtric
hóa và tính tách được của C ps  X  .

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và các vấn đề mở cần tiếp tục

nghiên cứu sau đề tài.


Chương 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, luận văn trình bày lại các kiến thức tôpô đại cương
có liên quan đến các chương sau. Ở đây, các định lí, các hệ quả, các bổ đề và
các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứng minh, được trích dẫn từ các tài liệu
[1], [2], [3] và [4]. Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài.
1.1. Không gian tôpô
1.1.1. Định nghĩa không gian tôpô

Cho tập X . Một họ  các tập con của X được gọi là một tôpô trên X
nếu thỏa các điều kiện sau:

 1 ) X ,  thuộc ;
 2 ) Hợp của tùy ý các tập thuộc  là thuộc  ;
 3 ) Giao của hữu hạn các tập thuộc  là thuộc  .
Tập X cùng với một tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô, kí
hiệu là  X ,  hay ngắn gọn là X nếu không cần chỉ rõ  là tôpô trên X. Các
phần tử của không gian gọi là các điểm.
Cho  X ,  là một không gian tôpô. Tập G  được gọi là tập mở của
X. Tập con F của X gọi là tập đóng nếu X \ F mở.
1.1.2. Lân cận

a) Cho  X ,  là không gian tôpô và x  X . Tập V  X được gọi là
một lân cận của x nếu tồn tại tập mở G sao cho x V  G.

Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x.
b) Nhận xét. Một tập là mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm
thuộc nó.
1.1.3. Cơ sở và tiền cơ sở

Cho  là một tôpô trên X . Một họ con  của  gọi là một cơ sở của 
nếu mọi tập thuộc  đều bằng hợp của một họ các tập thuộc  . Hay, họ con

 của  là cơ sở của  nếu G  , x  G, V   : x V  G.
Một họ con  của  gọi là một tiền cơ sở của  nếu họ tất cả các giao
hữu hạn các tập thuộc  là một cơ sở của  . Như vậy họ con  của  là tiền
cơ sở của  nếu mọi G  và mọi x  G , tồn tại W1 ,W2 ,...,Wn   sao cho

x W1  W2  ...  Wn  G .
Hiển nhiên, một tôpô hoàn toàn được xác định khi biết một cơ sở hay
tiền cơ sở của nó.
1.1.4. Cơ sở lân cận

Một họ Ux các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x hay cơ sở

địa phương của x nếu mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận U Ux sao cho
U  V.
1.1.5. Điểm tụ

Cho A là một tập con của không gian tôpô X và x  X . Nếu mọi lân
cận V của x ta đều có V \  x   A   thì x được gọi là điểm tụ hay điểm

giới hạn của tập A.

1.1.6. Phần trong, bao đóng, trù mật

Cho X là không gian tôpô và tập A  X .
1.1.6.1. Các định nghĩa

 Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở được chứa
trong A, kí hiệu A0 .
 Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí
hiệu Ā hay cl X A.
 Tập con A được gọi là trù mật hay trù mật khắp nơi trong X nếu
A  X.
1.1.6.2. Định lí

Tập con A trù mật trong không gian tôpô X nếu và chỉ nếu mọi x  X
và mọi lân cận V của x, V  A  .
1.1.7. Không gian tách được
1.1.7.1. Định nghĩa

Không gian tôpô X gọi là tách được nếu và chỉ nếu tồn tại trong nó một
tập con đếm được trù mật.
1.1.7.2. Định lí

Không gian mà tôpô có cơ sở đếm được là tách được.
1.1.7.3. Định lí

Cho X là một không gian mêtric. Khi đó C p  X  là tách được nếu và
chỉ nếu card(X)  20 .

1.1.8. Các tiên đề đếm được
1.1.8.1. Tiên đề đếm được thứ hai

Không gian tôpô được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu nó
có một cơ sở đếm được.
1.1.8.2. Tiên đề đếm được thứ nhất

Không gian tôpô được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu
mọi điểm xX đều có một cơ sở lân cận đếm được.
1.1.8.3. Định lí

Không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai thì thỏa mãn tiên đề
đếm được thứ nhất.
1.1.8.4. Định lí

Một không gian rời rạc thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu và chỉ
nếu nó hữu hạn.
1.1.9. Ánh xạ liên tục
1.1.9.1. Định nghĩa

Cho X và Y là các không gian tôpô. Ánh xạ f : X  Y được gọi là
liên tục tại x  X nếu mọi lân cận V của f  x  trong Y đều tồn tại lân cận
U của x trong X sao cho f U   V .
Một ánh xạ gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi xX.


1.1.9.2. Định lí

Nếu f : X  Y và g : Y  Z là các ánh xạ liên tục thì g  f liên tục.
1.1.9.3. Định lí

Với mọi ánh xạ f : X  Y , các điều kiện sau đây là tương đương.
a ) f liên tục;
b) f 1  G  mở trong X với mọi tập G mở trong Y ;
c) f 1  G  mở trong X với mọi tập G thuộc một cơ sở của Y ;
d ) f 1  G  mở trong X với mọi tập G thuộc một tiền cơ sở của Y ;

 

e) f A  f  A  với mọi tập con A của X .
1.1.10. So sánh hai tôpô
1.1.10.1. Định nghĩa

Cho hai tôpô  1 và  2 trên cùng một tập hợp X , ta bảo  1 là mịn hơn

 2 (hay  2 là thô hơn  1 ) nếu, kí hiệu X i là tập hợp X với tôpô  i  i  1, 2  ,
ánh xạ đồng nhất X 1  X 2 là liên tục. Nếu ngoài ra  1   2 ta bảo  1 là chặt
chẽ mịn hơn  2 (và  2 là chặt chẽ thô hơn  1 ). Ta kí hiệu X 1  X 2 , X 1  X 2
và X 1  X 2 để chỉ rằng tôpô trên X 2 là trùng với tôpô trên X 1 , tôpô trên X 2
là mịn hơn hay trùng với tôpô trên X 1 và tôpô trên X 2 là chặt chẽ mịn hơn
trên X 1.
Hai tôpô mà cái này mịn hơn cái kia là so sánh được với nhau.


1.1.10.2. Định lí

Cho hai tôpô  1 và  2 trên cùng một tập hợp X , các khẳng định sau
đây là tương đương.
a)  1 mịn hơn  2 ;
b) Với mọi x  X , mọi lân cận của x trong  2 là một lân cận của x

trong  1;
c) Mọi tập con mở của X trong  2 là mở trong  1.
1.1.11. Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phôi
1.1.11.1. Định nghĩa phép đồng phôi

Cho X , Y là các không gian tôpô. Ánh xạ f : X  Y được gọi là một
phép đồng phôi hay ánh xạ tôpô nếu f là song ánh, liên tục và f 1 liên tục.
1.1.11.2. Định nghĩa ánh xạ mở, ánh xạ đóng

Cho X , Y là các không gian tôpô.
Ánh xạ f : X  Y được gọi là mở (hay ánh xạ mở) nếu mọi tập G mở
trong X thì f  G  mở trong Y .
Ánh xạ f : X  Y được gọi là đóng (hay ánh xạ đóng) nếu mọi tập F
đóng trong X thì f  F  đóng trong Y .
Nếu f : X  Y là một đơn ánh và f : X  f  X  là một phép đồng
phôi thì f gọi là một phép nhúng đồng phôi từ X vào Y .


1.1.11.3. Định lí

Cho f : X  Y là song ánh liên tục. Khi đó các điều kiện sau là tương
đương.
(a ) f là phép đồng phôi;

b  f
c

là ánh xạ mở;

f là ánh xạ đóng.

1.1.12. Các tiên đề tách
1.1.12.1. Định nghĩa các Ti - không gian

Cho X là không gian tôpô. Khi đó:


X gọi là T0 - không gian nếu hai điểm khác nhau bất kì x, y  X

có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x.


X gọi là T1 - không gian nếu hai điểm khác nhau bất kì x, y  X

có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x.


X gọi là T2 - không gian hay không gian Hausdorff nếu hai điểm

khác nhau bất kì x, y  X tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho
U  V  .



X gọi là T3 - không gian hay không gian chính qui nếu X là T1 -

không gian và với mọi x  X và mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn

tại các tập con mở U , V sao cho x U , F  V và U  V  .



X gọi là T 1 không gian hay không gian hoàn toàn chính qui
3

2

hay không gian Tychonoff nếu X là T1 - không gian và với mọi x  X và mọi
tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại hàm liên tục f : X   0,1 sao
cho f  x   0 và f  y   1 với mọi y  F .


X gọi là T4 - không gian hay không gian chuẩn tắc nếu X là T1 -

không gian và hai tập con đóng bất kì không giao nhau A, B trong X , tồn tại
các tập con mở U , V sao cho A  U , B  V và U  V  .
Ta gọi T0 , T1 , T2 , T3 , T 1 , T4 là các tiên đề tách.
3

2

Nhận xét. T j - không gian  Ti - không gian với j  i.
1.1.12.2. Định lí

Cho X là không gian tôpô. Khi đó X là T1- không gian nếu và chỉ nếu
mọi tập con chỉ gồm một điểm của X là tập đóng.
1.1.13. Tổng và tích của các không gian
1.1.13.1. Tổng

Cho

 X  ,  

I

là một họ các không gian tôpô. Đặt X   I X  .

Xét họ  các tập con G của X thỏa mãn G  X    với mọi   I . Khi đó

 là một tôpô trên X . Không gian X với tôpô  gọi là tổng của họ các
không gian đã cho, kí hiệu X  I X  .


1.1.13.2. Tích

Cho  X  ,  I là một họ các không gian tôpô.
Đặt X   I X I và   : X  X  là phép chiếu hay ánh xạ tọa độ
thứ  . Các không gian X  gọi là không gian tọa độ. Ta gọi tôpô tích trên X
là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu   liên tục.
Như vậy, tôpô tích có tiền cơ sở là họ tất cả các tập  1 U  ,

U    ,

 I

hay có cơ sở là họ tất cả các tập có dạng

 

 ni1 i1 U i ,U i  i , 1 ,..., n  I .

Tôpô tích còn gọi là tôpô Tychonoff. Tập X cùng với tôpô Tychonoff
gọi là tích của họ không gian đã cho.
1.2. Các lớp không gian tôpô
1.2.1. Không gian compăc
1.2.1.1. Định nghĩa không gian compăc

Một không gian tôpô được gọi là không gian compăc nếu mọi phủ mở
của nó đều có chứa phủ con hữu hạn.
Tập con A trong không gian tôpô X được gọi là tập compăc nếu mọi
phủ mở của A đều có chứa phủ con hữu hạn.
1.2.1.2. Sự compăc hóa

Giả sử X là một không gian không compăc.


Không gian compăc Y cùng với ánh xạ h : X  Y sao cho h là phép
đồng phôi từ X lên h(X) và h(X) trù mật khắp nơi trong Y được gọi là một
compăc hóa của không gian X.
1.2.1.3. Compăc hóa Stone–Čech

Giả sử X là không gian hoàn toàn chính quy và kí hiệu C là tập hợp tất
cả các hàm liên tục f : X   0,1 .
C

Ánh xạ e : X   0,1 ,  f  e  x    f  x  x  X , f  C được gọi là
C

ánh xạ kết hợp với C. Đặt  X  e  X  thì   X , e  được gọi là compăc

Stone–Čech hoặc đơn giản là  X nếu đồng nhất X với e  X  .
1.2.1.4. Compăc hóa thực Hewitt

Không gian  X   p   X : với mỗi f  C  X  có một hàm mở rộng
liên tục trên X   p được gọi là compăc hóa thực Hewitt của X .
1.2.1.5. Không gian realcompăc

Một không gian X được gọi là realcompăc nếu X   X .
1.2.1.6. Định lí về tính compăc trong không gian mêtric

Gọi A là một tập con của không gian mêtric X . Khi đó các phát biểu
sau là tương đương.

 i  A là tập compăc;

 ii  A là tập compăc đếm được;
 iii  A là tập compăc theo dãy.


1.2.1.7. Định lí

Cho X là một không gian compăc Hausdorff. Khi đó các phát biểu sau
là tương đương.

i 

X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai;

 ii  Không gian C  X 
 iii 

với mêtric cận trên là không gian tách được;

X là không gian mêtric hóa.

1.2.2. Không gian compăc theo dãy

Một tập con A của một không gian X được gọi compăc theo dãy nếu
và chỉ nếu với mỗi dãy trong A có một dãy con hội tụ tới một điểm thuộc A.
1.2.3. Không gian paracompăc

Không gian tôpô X được gọi là paracompăc nếu nó chính qui và mỗi
phủ mở của nó có cái mịn mở hữu hạn địa phương.
1.2.4. Không gian compăc theo dãy

Một không gian tôpô X được gọi là compăc theo dãy nếu với mỗi dãy
trong X có một dãy con hội tụ.
1.2.5. Không gian compăc đếm được

Một tập con A của một không gian X được gọi compăc đếm được nếu
và chỉ nếu với mỗi tập con vô hạn B của A có điểm tụ thuộc A.
1.2.6. Không gian Lindelof

Một không gian tôpô X được gọi là không gian Lindelof nếu với mỗi


phủ mở của nó có một phủ con đếm được.
1.2.7. Không gian mêtric hóa
1.2.7.1. Định nghĩa không gian mêtric hóa

Không gian tôpô (X, ) được gọi là không gian mêtric hóa (hay không
gian mêtric hoá được) nếu trên X có một mêtric d sao cho tôpô sinh bởi
mêtric d trùng với tôpô  trên X.
1.2.7.2. Định nghĩa hữu hạn địa phương

Cho X là không gian tôpô. Một họ  các tập con của X được gọi là hữu
hạn địa phương trong X khi và chỉ khi mỗi điểm của X có một lân cận chỉ giao
hữu hạn với một số phần tử của họ .
1.2.7.3. Định nghĩa cái mịn

Một cái mịn của một phủ trên không gian X là cái phủ mới của không
gian này sao cho với mỗi tập trong phủ mới là một tập con của một tập nào đó
thuộc phủ cũ.
1.2.7.4. Tập hợp điểm-hữu hạn

Một tập A những tập con của một không gian tôpô X được gọi là
điểm-hữu hạn nếu với mỗi điểm của X chỉ thuộc một số hữu hạn những tập
thuộc A.
1.2.7.5. Tập hình sao-hữu hạn

Một tập A những tập con của một không gian tôpô X được gọi là hình
sao-hữu hạn nếu với mỗi tập thuộc A chỉ giao với một số hữu hạn những tập
thuộc A.


1.2.7.6. Tập hợp dạng G

Tập con của không gian tôpô được gọi là tập hợp dạng G (hay

G  tập) khi và chỉ khi nó là giao của một họ đếm được các tập con mở của

không gian đó.
1.2.7.7. Không gian có dạng không-tập-chéo

Một không gian X được gọi là có dạng không-tập-chéo nếu tồn tại một
hàm liên tục f : X  X   0,1 sao cho   f 1  0  với    x, x  : x  X .
1.3. Không gian tuyến tính tôpô
1.3.1. Khái niệm không gian tuyến tính tôpô

Một không gian tuyến tính (thực hay phức) có thể đồng thời được trang
bị một cấu trúc tôpô. Khi ấy ta có một không gian vừa tuyến tính vừa tôpô.
Một không gian tuyến X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu
trúc đại số gọi là một không gian tuyến tính tôpô (hay không gian vectơ tôpô).
1.3.2. Định lí

i) V là một lân cận của gốc khi và chỉ khi V  a là một lân cận của a.
ii) Nếu V là lân cận của gốc thì với mọi   0, V cũng là lân cận
của gốc.
Như vậy, tôpô của không gian hoàn toàn xác định bởi tập các lân cận
của gốc: biết tập này thì mọi lân cận của một điểm tùy ý sẽ suy ra bằng một
phép tịnh tuyến. Do đó sau đây ta thường chỉ nói về các lân cận của gốc, và
để cho gọn, ta sẽ nói tắt “lân cận” (chứ không nói rõ “của gốc”), trừ trường
hợp sợ nhầm lẫn.


1.3.3. Các định nghĩa

 Một tập A gọi là hấp thu nếu mọi x  A tồn tại một số   0 sao
cho hễ    thì x   A;


A gọi là cân đối nếu mọi x  A ta có  x  A khi   1.

1.3.4. Định lí

Trong mỗi không gian tuyến tính tôpô X bao giờ cũng có một cơ sở
lân cận  của gốc sao cho:

 i  Mỗi V  

đều cân đối và hấp thu;

 ii  Nếu V  

thì V   với mọi   0;

 iii  Mỗi V  

bao hàm một W   sao cho W  W  V ;

 iv  Với mỗi cặp V1 ,V2  

tồn tại W   sao cho W  V1  V2 .

Ngược lại, nếu trong một không gian tuyến tính X lấy một họ     
các tập con của X thỏa mãn các điều kiện trên thì có một tôpô duy nhất trên
X tương hợp với cấu trúc đại số, nhận  làm cơ sở lân cận của gốc.

1.3.5. Không gian lồi địa phương
1.3.5.1. Tôpô lồi địa phương

Trong số các không gian tuyến tính tôpô, một lớp không gian đặc biệt
quan trọng đó là các không gian lồi địa phương.
1.3.5.2. Định nghĩa

Một không gian tuyến tính tôpô X gọi là không gian lồi địa phương (và
tôpô của nó gọi là tôpô lồi địa phương) nếu trong X có một cơ sở lân cận


(của gốc) gồm toàn tập lồi. Vì khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi
nên trong không gian lồi địa phương mỗi điểm đều có một cơ sở lân cận lồi.
1.3.5.3. Định lí

Trong mỗi không gian lồi địa phương có một cơ sở lân cận lồi, cân đối
và hấp thu.
Ngược lại, nếu  0 là một họ tùy ý các tập con lồi, cân đối, và hấp thu
của một không gian tuyến tính X thì có một tôpô trên X tương hợp với cấu
đại số, trong đó mỗi tập thuộc họ  0 là một lân cận. Tôpô ấy lồi địa phương
và nhận làm cơ sở lân cận họ tất cả các tập có dạng   ni1 Vi    0,Vi   0  .
1.3.5.4. Định lí

Trong một không gian tuyến tính X cho một họ sơ chuẩn  tùy ý. Trên
X có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại số, trong đó mỗi sơ chuẩn thuộc

họ  đều liên tục. Tôpô ấy lồi địa phương và nhận làm cơ sở lân cận của gốc
họ tất cả các tập có dạng  x : sup1  i  n pi  x     (   0, pi   ).
1.4. Cái đều và tôpô đều
1.4.1. Định nghĩa

Cái đều trên tập X đó là họ U khác rỗng những tập con của X  X
thỏa mãn các điều kiện sau:

a

Mỗi một phần tử của họ U đều chứa đường chéo ;

 b  Nếu U U

thì U 1 U ;

c

Nếu U U thì V  V  U với một V nào đó thuộc U ;

d 

Nếu U U và U  V  X  X thì V U .


Cặp  X ,U



được gọi là không gian đều.

Họ con  của cái đều U được gọi là cơ sở của nó khi và chỉ khi mỗi
phần tử nào đó của họ U đều chứa một phần tử nào đó của họ  . Nếu  là
cơ sở của cái đều U thì cái đều này hoàn toàn được xác định bởi họ  : tập
con U của tích X  X thuộc U khi và chỉ khi U chứa một phần tử nào đó
của họ  .
1.4.2. Định lí

Họ  các tập con của tích X  X là một cơ sở của cái đều trên X khi
và chỉ khi đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:

a

Mỗi phần tử của họ  đều chứa đường chéo đường chéo ;

 b  Nếu U  

thì U 1 chứa một phần tử nào đó của họ  ;

c

Nếu U   thì V  V  U với một phần tử V nào đó trong  ;

d 

Giao của hai phần tử bất kì của họ  đều chứa một phần tử

nào đó của  .
Trong đó U 1   x, y  :  y, x  U  và    x, x  : x  X .
1.4.3. Tôpô đều

Giả sử

 X ,U 

là không gian đều; họ tất cả những tập con T của

không gian X sao cho với bất kì điểm x  T đều tồn tại U U sao cho
U  x   T được gọi là tôpô  ứng với cái đều U hay tôpô đều, với
U  x    y :  x, y  U .


1.4.4. Định lí

Phần trong của một tập con A của không gian X đối với tôpô đều là
tập tất cả những điểm x sao cho U  x   A với một U nào đó trong U .
Từ định lí này, suy ra ngay U  x  là lân cận của điểm x đối với bất kì
U của cái đều U . Do đó họ tất cả các tập dạng U  x  , trong đó U U là cơ
sở của tôpô tại điểm x (Họ này thực sự trùng với hệ lân cận của điểm x,
nhưng điều đó không quan trọng lắm).
1.4.5. Định lí

Nếu  là cơ sở của một cái đều U nào đó thì đối với mỗi điểm x, họ
tất cả các tập hợp U  x  trong đó U   lập thành cơ sở của tôpô tại điểm x.
1.5. Không gian giả-compăc
1.5.1. Tập giới nội
1.5.1.1. Định nghĩa

 Một tập hợp những số thực S được gọi là bị chặn trên nếu có
một số k sao cho k  s với mọi s  S . Số k được là cận trên của S .

 Tương tự, một tập hợp những số thực S được gọi là bị chặn dưới
nếu có một số m sao cho m  s với mọi s  S . Số m được là cận dưới của S .

 Một tập những số thực S được gọi giới nội nếu nó bị chặn trên
và bị chặn dưới. Do đó một tập những số thực được gọi giới nội nếu nó được
chứa trong một khoảng hữu hạn.

1.5.1.2. Định nghĩa

Một không gian tôpô X được gọi là không gian giả-compăc nếu với
mọi ánh xạ liên tục f : X 

thì f  X  giới nội.

1.5.1.3. Các kết quả

 Nếu ta kí hiệu F  X  , K  X  , KC  X  , PS  X  lần lượt là các
tập hợp: tất cả những tập con hữu hạn, tất cả những tập con compăc, tất cả
những tập con compăc đếm được, tất cả những tập con giả-compăc của X thì
ta có F  X   K  X   KC  X   PS  X  .

 Nếu A  PS  X  thì f  A   f  A  với f : X 

là ánh xạ liên

tục.

 Bao đóng của một tập giả compăc lại là một tập giả compăc.
 Nếu A là một tập con đóng trong một không gian Hausdorff
chuẩn tắc X thì các phát biểu sau là tương đương.

i  A

là tập compăc đếm được;

 ii  A là tập giả-compăc.
 


Chương 2: ĐỊNH NGHĨA VỀ TÔPÔ GIẢ COMPĂC-MỞ

2.1. Các định nghĩa khác nhau về tôpô giả compăc-mở
2.1.1. Nhắc lại định nghĩa không gian giả compăc

Một không gian X được gọi là giả compăc nếu f  X  là một tập con
với mỗi f  C  X  .

giới nội của

2.1.2. Các định nghĩa khác nhau về tôpô giả compăc-mở

Với bất kì tập con giả compăc A của X và bất kì tập mở V của

, ta

định nghĩa

 A,V    f  C  X  : f  A  V .
Kí hiệu PS  X  là tập hợp tất cả những tập con giả compăc của X .
2.1.2.1. Định nghĩa 1

Tôpô giả compăc-mở trên C  X  được xác định bởi tiền cơ sở là

{[A,V ]: A Î

PS (X ), với V là tập mở của R}

và kí hiệu không gian tương ứng với tôpô này là C ps  X  .
● Chú ý
 Ta có

 A,V    f  C  X  : f  A  V  



 



 f  C  X  : f  A  V 

 f  C  X  : f A  V   A,V  .